06 integracion multiple

MATEMÁTICA III. CÁLCULO VECTORIAL PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 6: INTEGRACIÓN

MÚLTIPLE.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 6. Integración múltiple.

Matemática III. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática III (Cálculo Vectorial) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática III en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



6.1.- INTEGRALES DOBLES.

1. [RL] Calcular las integrales.

a) y

xdx

y2

1 b)

24

0

2x

ydyx

c) x

ydyx0

)2( d) 2

0

xx

y

ydey

Respuesta: a) )2(ln yy ; b) 2

4 42 xx ; c)

2

3 2x; d) )1(

22 22 xx exex

2. Evalúe cada integral doble en el rectángulo indicado R.

a)

R

yx ydxde con }]1,1[],1,1[/),({ yxyxR

b) R

ydxdy

2cos

con }11,11/),({ yxyxR

c) R

Adyx )(cos con }0,0:),({22 yxyxR

d) R

ydxdxy )](sen [ 2 con }0,10/),({ xyxyxR

Respuesta: a) 22 2 ee ; b) 8 ; c) 0; d)

611

3. Resolver las siguientes integrales definidas.

a) 3

1

2

1

2 )23( ydxdxy b)

3

0

2

0

22

1694 ydxd

yx

c) 4

0 0

y

ydxd d)

1

0

1

1

2

2

y

yydxd

e) 2

1

2

0

3x

xdydyx f) 4

0 0

29y

ydxdy

g)

A xA

xdydyxx0 0

23 )( h) 1

0)5(

x

xxdydyx

i)

0

sen

0

x

xdydy j) 2

0

cos

0sen

y

ydxdyx

k) e x

xxdydy

1

2

ln l) 1

0

3x

xxdyde x

y



m) xdydxx

1

0 0

21 n)

4

0

2

0 )1()1(

1xdyd

yx

Respuesta: a) 24; b) 72

1583 ; c) 8; d) 21 ; e) 42; f)

398 ; g) 5

151 A ; h)

41 ; i)

41 ; j)

211 ; k)

3

912

41

367 ee

4. Las integrales iteradas siguientes no pueden evaluarse exactamente en términos de

funciones elementales mediante el orden de integración propuesto. Invierta el orden de

integración y realice el cálculo.

a) 4

0

23)(sen

xxdydy b)

1

0

1 2

y

x ydxde

c)

0

sen

xxdyd

y

y

Respuesta: a) 0; b) )1(21 e ; c) –2

6.2.- APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES.

Área de una región plana.

5. Usar integrales dobles para obtener el área de la región limitada por las curvas que se

indican en cada caso:

a) xy , 2xy b) 2yx , 2 yx c) 2xy , 32 xy

d) 32 xy , 26 xxy e) xy 2 , 1x , 0y

6. Utilice integrales dobles para calcular el área de la región limitada por las curvas del

plano x y. Dibuje la región.

a)

62

62

xy

xy b)

1

92

2

xy

xy c)

2

2

9

9

xy

xy

d)

2

3

xy

xy e)

yx

xy

4

42

2

f)

xy

yx

6

162

22

g)

1

4

52

xy

xy

xy

h)

5

2

2

xy

y

xy

)

2

1

21

xy

xy

xy



j)

xy

x

y x

2

1

2

k)

2

1

4

42

xy

y

y

xy

Respuesta (En unidades cuadradas): c) 72; d) 121 .

Área de una superficie.

Volumen.

7. Hallar el volumen del sólido limitado por 2),( xyxf , la curva 2xy y la recta

2 xy .

8. Determine el volumen limitado por 22

),( yxeyxyxf y el rectángulo 30 x y

20 y .

9. Determine el volumen del sólido limitado por la superficie yxyxfz 2),( y R la

región limitada por las curvas 2xy , 2xy con ]1,1[x .

10. Encuentre en cada situación el volumen del sólido limitado por la superficie dada

),( yxf y la región limitada por las curvas dadas.

a) xyxf ),( y R limitada por xy 2 , yx 2 .

b) 2),( yyxf y R limitada por xy sen , xy cos , ],0[4

x

c) 52),( yxyxf y R limitada por xy 2 , yx 2 .

Centros de masa.

Momentos de inercia.

6.3.- INTEGRALES TRIPLES.

11. Calcular las integrales triples.

a) 3

0

2

0

1

0)( zdydxdzyx b)

9

0

3/

0

9

0

22y xy

ydxdzdz

c)

2

0

4

4 0

2

2

2x

x

x

xdydzdx

Respuesta: a) 18; b) 729/4; c) 128/15



12. Resolver las siguientes integrales definidas.

a) 2

1

3

2

2

0

222 )( ydxdzdzyx b) 1

0

1

0

1

2

2x y

yxdydzdx

c) 1

0

1

0

1

2

2x y

yxdydzdxy d)

1

0 0 0)(

x yx

xdydzdzyx

e)

5

5

25

25

8

0

2

2

x

x

yx

xdydzd f)

2/

0

2/

0cos

z

zx

zdxdydz

y

g) 4/

0

cos2

sen 2

sen

0

2 cos

r

drdzdr

Respuesta: a) 27

1064 ; b) 101 ; c)

601 ; d)

87 ; e)

42575 ; f) 1

21 ; g)

21

6.4.- APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.

Volumen.

Centros de masa

Momentos de inercia.



BIBLIOGRAFÍA.

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DEMIDOVICH, B y otros. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial MIR,

Moscú, 1977.

DEMIDOVICH, B. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, 1988.

LANG, S, A Second Course in Calculus, 2 ed., Adisson – Wesley Publishing Company,

Inc., California, 1969.

LARSON, R y HOSTETLER, R, Cálculo y Geometría Analítica, 2 ed., Editorial

Interamericana de Venezuela, C.A., división de Mc Graw – Hill Internacional, Caracas,

1986.

LARSON, R, HOSTETLER, R y EDWARDS, B, Cálculo con Geometría Analítica, 8 ed.,

Mc Graw – Hill Interamericana Editores S.A de C.V, México, 2006.

LARSON, R y EDWARDS, B, Cálculo, 9 ed., Mc Graw – Hill Interamericana Editores

S.A de C.V, México, 2010.

LEITHOLD, L, El Cálculo, 7 ed., Oxford University Press México, S.A de C.V. México,

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MARSDEN, J y TROMBA, A. Cálculo Vectorial, Quinta Edición., Pearson Educación

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PURCELL, E, VARBERG, D y RIGDON, S, Cálculo, 9 ed., Pearson Educación de

México, S.A de C.V, México, 2007.

SPIEGEL, M. Cálculo Superior., Mc Graw – Hill Interamericana de México, S.A de C.V.

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THOMAS, G, Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica., Aguilar S. A de Ediciones.

Madrid, 1979.

ZILL, D, y WRIHGT, W. Cálculo de varias variables. Cuarta edición. Mc Graw – Hill /

Interamericana Editores S.A. de C.V. México, 2011.

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