Diap 06 1 Integracion

8/17/2019 Diap 06 1 Integracion

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UTN FRD Cálculo Avanzado

Integración Numérica

• Hay infinidad de casos en los que necesitamos calcularintegrales de funciones de una variable.

• Si sólo se conoce una tabla de valores del integrandoparece natural aproximar la integral por la integral delpolinomio interpolador en el mismo intervalo.

• Cuando se tiene una expresión analítica del integrando,puede no conocerse una primitiva o ser muy difícil decalcular.

• En estos casos también puede ser útil hacer una tablaevaluando la función en ciertos puntos del intervalo deintegración y aproximar la integral de la función por laintegral del polinomio interpolador en el mismo intervalo.


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Ejemplo

dxe x

∫ −1

0

2

2

Sabiendo que las derivadas del integrando en el intervalo deintegración están acotadas según

31 ≤≤′′

(x) f y(x) f

IV

• Evaluar


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Fórmulas de Newton-Cotes cerradas• Se divide el intervalo de integración [a,b] mediante una

partición de puntos igualmente espaciados – x0, x1, …, xn (con x0 = a y xn = b)(*).

(*) Si los extremos del intervalo no son puntos de la tabla las fórmulas se llaman “abiertas”.

(#) h es la distancia entre puntos de la tabla y se llama paso de cálculo.

– (se define h = (b - a)/n entonces xk = a + kh k = 0, 1,…, n)(#)

• Se determina el polinomio interpolador de f por la tabla.• Se aproxima la integral de f por la del polinomio interpolador.


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Fórmulas de Newton-Cotes

• En la práctica sólo se usan con n no mayor a 4, pues para n mayores seobtienen fórmulas con mayores errores de representación.

• Además veremos que hay formas mejores de aumentar la precisión sinaumentar el grado de los polinomios.

( ) =+=+= ∫∫∫∫ b

a

b

a n

b

a n

b

a E(x)dx(x)dxPdx E(x)(x)P f(x)dx

⇒+ =+

= ∫∑ ∫∫∫ ∑ ==

b

a

n

j

b

a j j

b

a

b

a

n

j

j j E(x)dx(x)dxl f E(x)dxdx(x)l f 00

( ) ∫=

+=

∑∫ E H f f(x)dxn

j j j

b

a 0

( )( ) ( ) ( )

( )∫∫

+

−−−==

+

∫

b

a

)(n

n

b

a j j dx

!n

(x) f x x x x x x E y(x)dxl H

1

θ1

10 L

donde


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Fórmulas de Newton-Cotes• La fórmula se reducen a una C.L. de los valores tabulados.

• Como los puntos están igualmente espaciados, los

coeficientes de la C.L. sólo dependen de n y el tamaño delintervalo.

• Para cada n se tiene una fórmula.

– n = 1 Regla del Trapecio

– n = 2 Regla 1/3 de Simpson

– n = 3 Regla 3/8 de Simpson

– n = 4 Regla de Boole


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Regla del Trapecio

( )10

2

1

0

f f h

f(x)dx x

x+≅∫

2

1

0

0

11

1

0

h

dt thdxh

x x

(x)dxl H

x

x

b

a==

−==

∫∫∫

abh −=h

• Corresponde al caso n=1

• La tabla tiene dos puntos

• El polinomio es de primer grado

( ) 211

1

0

000

1

0

hhdt t hdxh x x(x)dxl H

x

x

b

a=−=

−−== ∫∫∫


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Ejemplo

En este caso

h = 1

a = x0 = 0

b = x1 = 1

dxe

x

∫ −1

0

2

2

( ) 803265.0102

11

0

=+≅∫ ) f() f( f(x)dx x

x

08.012

1

12

3

≅≤′′=∫

)( f h

E η


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Regla 1/3 de Simpson

( )210

43

2

0

f f f h

f(x)dx x

x++≅∫ )( f

h E IV η

90

5

−=∫

2

abh

−=

h h

con η en (a, b)

Debido a que (x-x0)(x-x1)(x-x2) es impar en el intervalo, el TM del valor medio ponderado se

aplica previa integración por partes que aumenta el orden de la derivada y el exponente de h

• Esta fórmula resultamás precisa de loesperado

• Esto es debido a lacancelación parcial delos errores en ambasmitades del intervalo


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EjemploEn este caso

h = 0.5

a = x0 = 0

b = x2 = 1

dxe

x

∫ −1

0

2

2

( ) ( ) 856086.0)1()5.0(4)0(3

5.02

0 =++≅∫ f f f dx x f x

x

001.0390

5.0

90

55

≅≤=∫

)( f h

E IV η

El error es casi 80 veces inferior a Regla del Trapecio


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Otras fórmulas de Newton-Cotes• Con n = 3 se obtiene la Regla 3/8 de Simpson

( )3210 33

8

33

0

f f f f h

f(x)dx x

x+++≅∫ )( f

h E IV η

80

3 5−=

∫

• La regla 3/8 no es más precisa que la regla 1/3 y es más complicada,

por lo cual no suele usarse.

• Con n = 4 se obtiene la Regla de Boole

( )43210 7321232745

24

0 f f f f f

h

f(x)dx

x

x ++++≅∫ )( f h

E VI

η 945

8 7

−=∫


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Fórmulas compuestas• Las fórmulas para n>7 tienen coeficientes positivos y

negativos, con grandes valores absolutos, que provocan

mayores errores propagados.• Debido a esto no conviene usar fórmulas de alto grado.

• Para obtener mayor precisión es preferible dividir el

intervalo de integración en subintervalos menores yaplicar una regla de grado bajo en cada uno.

• Así se obtienen las llamadas Fórmulas Compuestas.


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Fórmula de Trapecios compuesta

• Consiste en dividir el intervalo en n subintervalos igualesde tamaño h=(b-a)/n y aplicar en cada uno de ellos laRegla del Trapecio.


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EjemploEn este caso

h=0.25

a=x0=0

x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75

b=x4=1

dxe

x

∫ −1

0

2

2

Usando Trapecios compuesto con n=4

85245902

175050250

2

02504

4

0

.) f(

). f(). f(). f() f(

.T f(x)dx x

x=

++++=≅∫

005.012

25.0

12

22

≅≤′′−

= )( f hab

E T η

La cota de error mejoró mucho respecto a la regla del trapecio no compuesta.


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Fórmula de Simpson compuesta• El intervalo [a,b] se divide en n/2 subintervalos iguales

[x2i,x2i+2] donde xi=a+ih y h=(b-a)/n (con n par)

• Aplicamos en cada subintervalo la regla 1/3 de Simpson


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Fórmula de Simpson compuesta

• El error es O(h 4 )

( )nnnnb

a f f f f f f f f

hS f(x)dx ++++++++==

−−∫ 1243210 4224243L

)( f hab

E IV

S ξ 4

180

−−=

n

abh

−=


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EjemploEn este caso

h=0.25

a=x0=0

x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75

b=x4=1

dxe

x

∫ −1

0

2

2

Usando Simpson compuesto con n=4

( ) 855651017504502250403

2504

4

0

.) f(). f(). f(). f() f(.

S f(x)dx x

x=++++=≅∫

00007.03180

25.0

180

4

4

≅≤

−

= )( f hab

E IV S η

A pesar de usar la misma cantidad de puntos que Trapecios compuesto no

n=4, esta fórmula es mucho más precisa.

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