06 logaritmos y exponenciales
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LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. 1.- Funciones algebraicas. Funciones en cuya ecuación funcional intervienen sumas, diferencias, productos, cocientes, potencia y raíces de polinomios. Ejemplos: Polinomios, funciones racionales, funciones con radicales. 2.- Funciones transcendentes. Funciones cuya ley de asociación no se puede representar mediante términos racionales o algebraicos. Ejemplos: Exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas. 3.- Definición de función logarítmica de base a (log a x). Si 0 a y 1 a , entonces b x a log si y sólo si x a b . ( b x a log se lee <<el logaritmo en base a del número x es b>>). 4.- Definición del logaritmo natural. La función logaritmo cuya base es e (el exponencial) se llama función logaritmo natural y se denota por x x e ln log . Por definición: x t d t x 1 1 ln 5.- Definición de e (El exponencial). x x e 1 ) 1 ( lim 0 x (Con doce dígitos significativos, e = 2.71828182846). 6.- Características de las funciones logarítmicas y = log a x. Dominio: ( 0 , ) Recorrido: (– , ) Intersección: ( 1 , 0 ) Siempre creciente. x a log lim x x a log lim 0 x (Asíntota vertical). Continua. 7.- Propiedades de los logaritmos. 7.1.- 0 1 log a 7.2.- 1 log a a 7.3.- y x y x a a a log log ) . ( log 7.4.- y x y x a a a log log log 7.5.- x n x a n a log ) ( log 7.6.- x n x a n a log 1 log 7.7.- a x x a ln ln log (Cambio de base). 7.8.- a x x b b a log log log 7.9.- a b b a log 1 log (Idénticas propiedades son válidas si x a log es sustituido por x x e ln log ). 8.- Derivadas de funciones logarítmicas. 8.1.- x x x d d 1 ] [ln 8.2.- x e x x d d a a 1 ) (log ] [log x a x x d d a 1 ln 1 ] [log 8.3.- x d u d u u x d d 1 ] [ln 8.4.- x d u d u e u x d d a a 1 ) (log ] [log u u u x d d 1 ] [ln u u e u x d d a a 1 ) (log ] [log u u a u x d d a 1 ln 1 ] [log 9.- Regla del logaritmo en integración. Para toda función diferenciable u: C u x d u u ln . En particular, C x x d x ln 1 10.- Definición de función exponencial de base a. Si 0 a y 1 a , entonces nos referimos a x a y como la función exponencial de base a. 11.- Propiedades de los exponentes. 11.1.- 1 0 a 11.2.- a a 1 11.3.- y x y x a a a . 11.4.- y x y x a a a 11.5.- y x y x a a ) ( 11.6.- x x x b a b a . ) . ( 11.7.- x x x b a b a 11.8 x x a b b a 11.9.- x x a a 1 12.- Relación entre funciones exponenciales (Cambio de base). a x x e a ln para todo a > 0. 13.- Características de las funciones exponenciales a x y a –x . Gráfica de x a y Dominio: ( - , ) Recorrido: ( 0 , ) Intersección: ( 0 , 1 ) Siempre creciente. x a lim x 0 lim x x a (Asíntota horizontal). Reflexión de x a y en el eje y. Continua.
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LOGARITMOS Y EXPONENCIALES.
1.- Funciones algebraicas. Funciones en cuya ecuación funcional intervienen sumas, diferencias, productos, cocientes, potencia y
raíces de polinomios. Ejemplos: Polinomios, funciones racionales, funciones con radicales.
2.- Funciones transcendentes.
Funciones cuya ley de asociación no se puede representar mediante términos racionales o algebraicos. Ejemplos: Exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e
hiperbólicas inversas.
3.- Definición de función logarítmica de base a (logax).
Si 0a y 1a , entonces bxa log si y sólo si xab .
( bxa log se lee <<el logaritmo en base a del número x es b>>).
4.- Definición del logaritmo natural.
La función logaritmo cuya base es e (el exponencial) se llama función logaritmo natural y se denota por
xxe lnlog . Por definición: x
tdt
x1
1ln
5.- Definición de e (El exponencial).
xxe
1
)1(lim0x
(Con doce dígitos significativos, e = 2.71828182846).
6.- Características de las funciones logarítmicas y = logax.
Dominio: ( 0 , )
Recorrido: (– , ) Intersección: ( 1 , 0 )
Siempre creciente.
xa
loglimx
xa
loglim0x
(Asíntota vertical).
Continua.
7.- Propiedades de los logaritmos.
7.1.- 01log a 7.2.- 1log aa
7.3.- yxyx aaa loglog).(log
7.4.- yxy
xaaa logloglog
7.5.- xnx a
n
a log)(log 7.6.- xn
x an
a log1
log
7.7.- a
xxa
ln
lnlog (Cambio de base). 7.8.-
a
xx
b
b
alog
loglog
7.9.-
ab
b
alog
1log
(Idénticas propiedades son válidas si xalog es sustituido por xxe lnlog ).
8.- Derivadas de funciones logarítmicas.
8.1.-
xx
xd
d 1][ln 8.2.-
xex
xd
daa
1)(log][log
xa
xxd
da
1
ln
1][log
8.3.-
xd
ud
uu
xd
d 1][ln 8.4.-
xd
ud
ueu
xd
daa
1)(log][log
uu
uxd
d
1][ln
uu
euxd
daa
1
)(log][log
uua
uxd
da
1
ln
1][log
9.- Regla del logaritmo en integración.
Para toda función diferenciable u: Cuxdu
u
ln . En particular, Cxxd
x ln
1
10.- Definición de función exponencial de base a.
Si 0a y 1a , entonces nos referimos a xay como la función exponencial de base a.
11.- Propiedades de los exponentes.
11.1.- 10 a 11.2.- aa 1
11.3.- yxyx aaa . 11.4.- yx
y
x
aa
a
11.5.- yxyx aa )( 11.6.- xxx baba .).(
11.7.- x
xx
b
a
b
a
11.8 xx
a
b
b
a
11.9.- x
x
aa
1
12.- Relación entre funciones exponenciales (Cambio de base). axx ea ln para todo a > 0.
13.- Características de las funciones exponenciales ax y a–x.
Gráfica de xay
Dominio: ( - , )
Recorrido: ( 0 , ) Intersección: ( 0 , 1 )
Siempre creciente.
xalim
x
0limx
xa (Asíntota horizontal).
Reflexión de xay en el eje y.
Continua.
Gráfica de xay
Dominio: (-,)
Recorrido: ( 0 , ) Intersección: ( 0 , 1 )
Siempre decreciente.
0limx
xa (Asíntota horizontal)
xalim
x
Reflexión de xay en el eje y.
Continua.
14.- Propiedades inversas de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Si 0a y 1a , entonces:
14.1.- uau
a )(log
14.2.- uaua
log .
14.3.- ueu )(ln 14.4.- ue u ln .
15.- Propiedades inversas y cambio de base.
15.1.- uaa b
u
b )(log)(log
15.2.- au bb ualoglog
. 15.3.- au ua lnln
16.- Derivadas de funciones exponenciales.
16.1.- xx eexd
d][ 16.2.- xx aaa
xd
d)(ln][
Si u es una función diferenciable de x, entonces:
16.3.- ueexd
d uu ][ 16.4.- uaaaxd
d uu )(ln][
17.- Integrales de funciones exponenciales.
17.1.- Cexde xx 17.2.- Caa
xda xx
ln
1
17.3.- Cexdue uu 17.4.- Caa
xdua uu
ln
1
Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / [email protected] / PIN: 58B3CF2D – 569A409B.
http://www.slideshare.net/asesoracademico/
Abril 2016.
