Potencias y Logaritmos
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I
Tabla de ContenidosIntroducción ……………………………………………………………………………...1Capítulo 1 Leyes de los exponentes.. ……………………………………………………..3
Definición de potencias enteras.......................................................................................3Potencias con exponentes enteros y positivos. ...........................................................3Ejemplos......................................................................................................................4Potencias con exponentes enteros y negativos. ..........................................................4
Ejemplos. ……………………….……………………………………………………4Potencias con exponentes fraccionarios......................................................................5Ejemplos. ....................................................................................................................5Potencias con exponentes fraccionarios......................................................................6
Propiedades de los exponentes........................................................................................6Potencias de igual base. ............................................................................................6Ejemplos. ....................................................................................................................6Productos de potencia con la misma base. ..................................................................6Ejemplos. ....................................................................................................................6Cocientes de potencias con la misma base. ................................................................7Ejemplos. ....................................................................................................................7Potencia de una potencia. ...........................................................................................8Ejemplos. ....................................................................................................................8Potencia de un producto...............................................................................................9Ejemplos. ....................................................................................................................9Potencia de un cociente. .............................................................................................9Ejemplos. ....................................................................................................................9Raíz enésima de un producto. ...................................................................................10Ejemplos. ..................................................................................................................10Raíz enésima de un cociente. ....................................................................................10Ejemplos. ..................................................................................................................11
Capítulo 2 Leyes de los logaritmos..................................................................................12Definición......................................................................................................................12Propiedades de los logaritmos.......................................................................................13
Logaritmo de un producto. .......................................................................................13Ejemplos. ..................................................................................................................13Logaritmo de un cociente. ........................................................................................13Ejemplos. ..................................................................................................................13Logaritmo de una potencia. ......................................................................................14Ejemplos. ..................................................................................................................14Logaritmo de una raíz. ..............................................................................................14Ejemplos. ..................................................................................................................14
Conclusiones......................................................................................................................16Lista de referencias............................................................................................................17
Lista de figuras
Figura 1. Clasificación de los exponentes.........................¡Error! Marcador no definido.
II
Introducción
La Ingeniería Económica es una especialidad que integra los conocimientos de
ingeniería con los elementos básicos de la microeconomía. Su principal objetivo es la
toma de decisiones basada en las comparaciones económicas de las distintas alternativas
tecnológicas de inversión. Las técnicas empleadas abarcan desde la utilización de
planillas de cálculo estandarizadas para evaluaciones de flujo de caja, hasta
procedimientos más elaborados, tales como análisis de riesgo e incertidumbre, y pueden
aplicarse tanto a inversiones personales como industriales.
En las economías emergentes, existen dificultades reales respecto al
entendimiento práctico y a la aplicación de conceptos claves como la depreciación
(amortización), la financiación y formación de costos, particularmente cuando se trata
con industrias pequeñas y medianas. Esta situación ciertamente impide la posibilidad de
actividades autosustentables, muy frecuentemente impide la introducción de las
necesarias mejoras técnicas y contribuye al desgaste de los recursos humanos y
financieros.
Principios de la ingeniería económica
El desarrollo, estudio y aplicación de cualquier disciplina debe comenzar con una
base fundamental; la cual en ingeniería económica se definirá como un conjunto de
principios, o conceptos fundamentales, que proporcionan una doctrina comprensiva para
llevar a cabo la metodología.
1
La experiencia ha mostrado que la mayoría de los errores cometidos en esta
disciplina tienen su origen en transgresiones o en el seguimiento inadecuado de los siete
principios básicos, que a continuación se definen:
- Desarrollar las alternativas: La elección (decisión) se da entre las alternativas. Es
necesario identificar las alternativas y después definirlas para el análisis subsecuente.
- Enfocarse en las diferencias: Al comparar las alternativas debe considerarse solo
aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las diferencias en los
posibles resultados.
- Utilizar un punto de vista consistente: Los resultados probables de las alternativas,
económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo consistentemente desde un punto de
vista definido (perspectiva – punto de vista).
- Utilizar una unidad de medición común: Utilizar una unidad de medición común para
enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las
alternativas.
- Considerar los criterios relevantes: La selección de una alternativa (toma de decisiones)
requiere del uso de un criterio (o de varios criterios). El proceso de decisión debe
considerar los resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en alguna
otra unidad de medida o hechos explícitos de una manera descriptiva.
2
Capítulo 1
Leyes de los Exponentes
Las potencias están formadas por una base y un exponente. El exponente nos
indicará cuántas veces debemos multiplicar la base por sí misma y se clasifica de la
siguiente manera.
Figura 1. Clasificación de los exponentes.
Definición de potencias enteras
Potencias Con Exponentes Enteros y Positivos.
Una potencia es una expresión de la forma:
an=a x a xa … x a
Donde a es cualquier número real y n es un entero positivo. Es decir, es un
número a multiplicado consigo mismo n veces.
Simbología y elementos de una potencia.
b=an
3
Donde b es la potencia (resultado obtenido), a es la base (número que se
multiplica) y n es el exponente (número de veces que se multiplica la base).
Ejemplos.
a) (5)4=5x 5 x5 x5=625
b)(−3)2=(−3 ) (−3 )=9 c) ( 43)
2
=43
x43=1024
243
d) ¿
Potencias con exponentes enteros y negativos.
Para poder calcular potencias con exponentes negativos, se la usa la siguiente
expresión que realmente es una propiedad de los exponentes.
a−n= 1
an
Ejemplos.
a) 5−4= 1
54
5−4= 15 x5 x5 x5
5−4= 1625
5−4=0,0016
b) (−3)−2= 1
(−3)2
(−3)−2= 1(−3)(−3)
(−3)−2=19
4
(−3)−2=0,11
c) (√3 )−6= 1
√36
(√3 )−6= 127
(√3 )−6=1,037
d) ¿
¿ La división entre cero no está definida, por lo tanto
¿
Entonces la expresión a−n= 1
an es válida si y solo si a ≠0.
Potencias con exponentes fraccionarios.
Encontrar una raíz enésima equivale realizar el proceso inverso de calcular una
potencia.
Decimos que a es una raíz enésima de b, si an=b , es decir “la base”, un número a
que multiplicado consigo mismo “n” veces dé el número b.
La notación para la raíz enésima es: a=n√b si y solo si an=b.
Ejemplos.
a) 4√625=¿
4√625=(± 5)
b) 3√27=¿entonces
3√27=(3)
c) 3√45 ≈ 3,55683
5
3,55683 ≈ 45
3√45 ≈ 3,5568
Otra forma de representar una raíz enésima es como potencia con exponente
fraccionario de la forma a=b1n.
Potencias con exponentes fraccionarios.
Una potencia con exponentes fraccionarios tiene la forma
n√am=amn =¿
Propiedades de los exponentes
Potencias de igual base.
“Todo Número (excepto el cero) elevado a la CERO es igual a UNO”.
a0=1
Ejemplos.
a) 20=1
b) (−4)0=1
c) ∏0=1
d) (∏¿¿√3e+x4+1)0=1¿
Producto de potencias con la misma base.
“Para multiplicar potencias que tienen la misma base se escribe la base y los
exponentes se SUMAN”.
an x am=an+m.
Ejemplos.
6
a) y10∗y5= y15
b) z−7 * z3=z−7+3
z−7 * z3=z−4
z−7 * z3= 1
z4
c) b23∗b
47=b
(2x 7) +(3 x 4 )3x 7
b23∗b
47=b
14+1221
b23∗b
47=b
2621 aplicando la expresión de raíz de una potencia de exponentes
fraccionarios
b23∗b
47=b
2621
Cociente de Potencias Con la misma base.
“Para dividir potencias que tienen la misma base, se escribe la base y los
exponentes se restan”.
an
am =an−m
Ejemplos.
a)y5
y10= y5−10
y5
y10= y−5
y5
y10=1y5
7
b)b−6
b−9= y−6−(−9¿)¿
b−6
b−9= y3
c)b
23
b47
=b23−4
7
b23
b47
=b(7 x2 )−(3 x 4 )
3 x7
b23
b47
=b221
b23
b47
=21√b
2
Potencia de una potencia.
“Para Elevar una potencia a otra potencia, se escribe la base y los exponentes se
multiplican”.
¿
Ejemplos.
a) ¿
¿
b) ¿
¿
8
¿
c) ¿
¿
¿
Potencia de un producto.
“La Potencia De Un Producto es igual al Producto De Las Potencias”.
¿
Ejemplos.
a) ¿
b) ¿
¿
¿
c) ¿
¿
¿
Potencia de un cociente.
“La Potencia De Un Cociente es igual al Cociente De Las Potencias”.
¿
Ejemplos.
a) ¿
b) ¿
¿
9
¿
Raíz enésima de un producto.
“La Raíz Enésima De Un Producto es igual al Producto De Las Raíces Enésimas”.
n√a . b=n√a . n√b
Ejemplos.
a) 5√r . s=5√r . 5√ s
b) 3√¿¿
3√¿¿
c) √9 . x=√9 .√ x
√9 . x=3√x
√9 . x=3 . x12
d) 4√¿¿
4√¿¿
4√¿¿
Raíz enésima de un cociente.
“La Raíz Enésima De Un Cociente es igual al Cociente De Las Raíces Enésimas”.
n√ ab=
n√an√b
,b ≠ 0
Ejemplos.
a) 3√¿¿
10
3√¿¿
b) 9√¿¿
9√¿¿
9√¿¿
Capitulo dos
Leyes de los Logaritmos
Definición
El logaritmo es una función matemática inversa de una función exponencial o con
exponente.
11
Se define el logaritmo de un número, al exponente (a) al cual es necesario elevar
otro número llamado base (b) para encontrar el número propuesto(N) inicialmente.
ba=N
a=log b N
Donde a es el logaritmo de N en base b.
Ejemplos.
a) 25=32
5=log232
b) 2−2= 14
−2=log214
c) log3 √243=x
√243=3x
24312=3x
¿
¿
x=52
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de un producto.
“Es igual a la suma de los logaritmos de los factores”.
12
log (a )+ log (b )=log(a. b)
Ejemplos.
a) log3 (10. 5 )=log310+ log35
log3 (10. 5 )=2,096+1,465
log3 (10. 5 )=3,561
b) log5 (16. 4 )=log5 10+ log5 4
log5 (16. 4 )=1,723+0,861
log5 (16. 4 )=2,584
c) log a2+ loga7=loga(2 .7)
log a2+ loga7=loga(14)
Logaritmo de un cociente.
“Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador”.
log (a )−log (b )=log ( ab)
Ejemplos.
a) 2 log (4 x)−log (2 x )=log (4 x)2−log (2 x)
2 log (4 x)−log (2 x )= log 42 x2
log 2 x
2 log(4 x)−log (2x )= log16 x2
log 2 x
2 log(4 x)−log (2x )=log(8 x¿¿¿)¿¿¿
b) log (2 z )−log ( z2)=log(2 z)log(z)2
13
log (2 z )−log ( z2)=log2z
Logaritmo de una potencia.
“Es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia”.
log ab=b log (a)
Ejemplos.
a) log 284=4 log2 8
log 284=4(3)
log 284=12
b) log7 45=5 log7 4
log7 45=5 (0,7124)
log7 45=3,5621
Logaritmo de una raíz.
“El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el
índice de la raíz”.
log bn√a=
logb a
n
Ejemplos.
a) log 2√4=log2 4
2
log 2√4=22
log 2√4=1
14
b) log 24√8=1
4log28
log 24√8=1
4(3)
log 24√8=3
4
Conclusiones
15
Dentro de la ingeniería económica se utiliza varios conceptos matemáticos, tales
como las leyes de exponentes y logaritmos. Estos conocimientos son de importante
dominio por lo que se hace necesario su estudio a través del cual concluimos que las
potencias están formadas por una base y un exponente donde el exponente indica cuántas
veces se debe multiplicar la base por sí misma, que poseen una clasificación clara y
concisa y a su vez unas propiedades o leyes fundamentales que permiten la resolución de
los mismos de forma correcta.
De igual forma, los logaritmos desde su definición de función matemática
inversa de una función exponencial o con exponente, es decir un logaritmo es un
exponente (a) al cual es necesario elevar otro número llamado base (b) para encontrar el
número propuesto(N) inicialmente. Este proceso requiere el uso de las propiedades para
solucionar cálculos matemáticos que requieran la aplicación de logaritmos ya seas
decimales como naturales.
En definitiva, el manejo adecuado de conceptos básicos como los anteriormente
mencionados permiten tornar la ingeniería económica como una disciplina que se
preocupa de los aspectos económicos de la ingeniería; que implica la evaluación
sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos, y así sus
principios y metodología constituyen parte integral de la administración y operación
diaria de compañías y corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados,
unidades o agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas.
Lista de referencias
16
Logaritmos. [En línea]. Perú: Universidad Peruana Cayetano Heredia. Disponible en:
http://www.upch.edu.pe/vracad/cfpu/pdf/logaritmos.pdf. [2015, 19 de enero].
Ruiz, M. Fundamentos de Matemáticas. [En línea]. Matemáticas financieras. Disponible
en: http://www.marcelrzm.comxa.com/MateFin/13LeyesLogaritmos.pdf. [2015,
19 de enero].
Logaritmos. [En línea]. Matemáticas a distancia. Disponible en:
https://elprofemates.files.wordpress.com/2008/11/logaritmos.pdf. [2015, 19 de
enero].
Chapuz, A. Como aprendo algebra…Fácil y rápido. [En línea]. Disponible en:
http://comoaprendomatematicas.com/blog/wp-content/uploads/2012/06/
leyes.exponentes.pdf. [2015, 19 de enero].
17