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Mecnica de slidos Captulo VI La flexin - Flexin desviada

Flexin desviadaRicardo L. Parra Arango

Universidad Nacional de Colombia - BogotDepartamento de Ingeniera Civil y Agrcola

2015 I

Resumen

La flexin desviada se caracteriza por ser un tipo de flexin, en el cual la solicitacin tiene una inclinacinrespecto a los ejes fuerte y dbil de la seccin transversal. La flexin desviada puede provenir de unasolicitacin, como por ejemplo una carga, o de una inclinacion del elemento estructural respecto al planodonde acta el peso propio.

I. Naturaleza y orgen

La flexin desviada se presenta en elemen-tos estructurales en el espacio, en los cuales lassolicitaciones generan cierta desviacin en sulnea de accin respecto a los ejes fuerte y dbil.Algunos de los casos, en los cuales se apreciala presencia de la flexin desviad, se describena continuacin y se presentan en la Fig. [1]

Vigas inclinadas. Debido a la inclinacinde las vigas, la accin del peso propiopresenta una desviacin respecto al ejevertical induciendo flexin desviada.

Elementos prefabricados. Durante elmontaje de elementos prefabricados segua, desde tierra, la ubicacin final delprefabricado. En esta operacin se puededesviar levemente el eje vertical del ele-mento ocasionando und flexin desviadasobre el prefabricado.

Imperfecciones de alineamiento. Otrasituacin en la cual se presenta flexindesviada se debe a las imperfecciiones enel montaje de elementos que van a estarsolicitados a flexin. Leves desviacionesdel eje vertical producen flexin desvia-da.

Vigas o correas de cubierta doblementesimtricas. La solicitacin del peso pro-pio y la carga presentan una inclinacinrespecto a los ejes de la seccin transver-sal debido a la posicin inclinada de lacubierta. Esta inclinacin genera un casode flexin desviada.

Figura 1: Presencia de la flexin asimtrica. a) Viga decubierta casi plana b) Isaje de prefabricados c)Disposicin inclinada de vigas d) Muros decontencin

La flexin desviada se debe fundamental-mente a una inclinacin de la solicitacin ode la seccin transversal respecto al plano delcentroide.

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II. Hiptesis y simplificaciones

Para el estudio de la flexin desviada tienenvalidez las siguientes hiptesis:

Aplica el modelo propuesto por Euler yBernoulli, segn el cual la pendiente ogiro del eje neutro corresponde a la deri-vada de la curva elstica o deflexin encada uno de los planos.Las caras de la seccin transversal per-manecen planas, antes y despes de ladeformacin.La seccin transversal presenta doble ejede simetra.La lnea de accin de la solicitacin pasapor el centroide de la seccin transversal.Las flexin desviada puede ser descom-puesta en dos flexin dispuestas ortogo-nalmente. Por lo tanto aplica la formula-cin hecha en el subcaptulo flexin orto-gonal o biflexin.Aplica el principio de superposicin, esdecir los esfuerzos y deformaciones nor-males a la seccin son el resultado de lasuma de esfuerzos o deformaciones origi-nados en cada plano de las componentesde la flexin desviada.

III. Terminologa y convenciones

La terminologa y convenciones utilizadapara la flexin ortogonal son vlidas para la fle-xin asimtrica. Se relacionan a continuacin lostrminos necesarios para la demostracin.

Flexin en el plano x-y

Py Carga concentrada en la direccin yMz(x) Flexin alrededor de zENzz Eje neutro normal a la direccin yIzz Momento de inercia al rededor de zy Distancia del ENzz a una fibra yx(x, y) Esfuerzo normal de la fibra y

Flexin en el plano x-z

Pz Carga concentrada en la direccin zMy(x) Flexin alrededor de yENyy Eje neutro normal a la direccin zIyy Momento de inercia al rededor de yz Distancia del ENyy a una fibra zx(x, z) Esfuerzo normal de la fibra z

Inclinacin de la carga respecto a y

Nuevo sistema de ejes -- Nuevo sistema de ejes rotadosEN Eje neutro rotado Rotacin del EN

Convenciones de signos adoptadas:Las solicitaciones, tanto cargas como mo-mentos son positivas si siguen las direc-ciones y giros definidos por el sistemacartesiano conocidos como regla de lamano derecha.Las distancias a la fibra y as como lasdeflexiones v(x) son positivas en la direc-cin del eje y.Las flexin Mz(x) y My(x) son positivassi le producen tensin a una fibra del tramoen estudio, previamente sealada. Se consi-deran a tensin las fibras in f eriores en elplano xy y anterioere en el plano xz.Las deformaciones ex(x, y) as como losesfuerzos x(x, y) son positivas si produ-cen alargamiento y tensin y negativossi producen acortamiento y compresinrespectivamente.La inclinacin de la carga o solicitacin es positiva en sentido antihorario y semide desde el eje y.La rotacin del eje neutro ENes posi-tiva en el sentido horario.

IV. Descomposicin de la carga

En la Fig. [2] se presenta la descomposicinde una carga puntual P en dos componentesortogonales a los ejes y y z.

Py = P cos() (1)

Pz = P sin() (2)

Figura 2: Descomposicin de una solicitacin asimtricao desviada a.) Planos ortogonales b.) Inclina-cin de la solicitacin

Las componentes de carga de las Ec. [1] yEc. [2] generan a una distancia x una flexin

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en los planos xy y xz:

Mz = Py x = P cos() x (3)

My = Pz x = P sin() x (4)

La relacin entre flexiones se puede expre-sar en trminos de la inclinacin de la carga.

MyMz

= tan() (5)

V. Deformaciones y esfuerzos

Las expresiones de deformaciones y esfuer-zos resultantes, se obtienen de aplicar el princi-pio de superposicin.

ex(x, y, z) = Mz(x)E Izz y My(x)E Iyy

z (6)

x(x, y, z) = Mz(x)Izz y My(x)

Iyyz (7)

VI. Ecuacin del eje neutro

Considerando que sobre el eje neutro losesfuerzos son nulos, la Ec.[7] da orgen a laecuacin del eje neutro:

Mz(x)Izz

y +My(x)

Iyyz = 0 (8)

que en forma de relacin, se puede igualar a laEc.[5].

MyMz

= IyyIzz

yz

= tan() (9)

La Ec.[9] se dedujo a partir de la suposicin deser la ecuacin del eje neutro; por lo tanto elpar de coordenadas y, z deben estar localizadassobre el eje neutro como se indica en la Fig.[3]

Figura 3: Rotacin y ubicacin de un punto y, z sobre elnuevo eje neutro

De la Fig.[3] se obtiene el valor de la rota-cin para el nuevo eje neutro

tan() =yz

(10)

Reemplazando la Ec.[10] en la Ec.[9] se obtiene,finalmente, una expresin que relaciona tantola inclinacin de la carga como la rotacindel eje neutro .

tan() = IzzIyy

tan() (11)

La inclinacin de la carga se asumi positivase gira en sentido antihorario desde el eje y. Larotacin del eje neutro EN se asumi positivasi el sentido de la rotacin es horario.

VII. Ejemplos

En los siguientes ejemplos se muetra comoen forma sistemtica se puede obtener la rota-cin del eje neutro adems de las solicitacionesmximas y mnimas de las fibras en la seccintransversal.

I. Ejemplo No 1

Sistema y solicitacinElemento de seccin tipo doble T o I, solicitadopor una carga vertical con una leve desviacinrespecto al eje vertical.

Material y seccinE = 200 GPafy = 250 MPa

yG = 30, 48 cmzG = 8, 89 cm

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Izz = 87409 cm4

Iyy = 1756 cm4

Pregunta y problemaIdentificar los puntos de la seccin transversal,en los cuales se presentan los esfuerzos mxi-mos y mnimos. Dibujar el comportamiento deesfuerzos sobre la seccin y evaluar la rotacindel eje neutro.

Estrategia y solucinLos esfuerzos mximos y mnimos se obtienena partir de la ecuacin de superposicin deesfuerzos Ec.[7]. Para calcular los esfuerzosse requiere conocer las flexiones mximas entrminos de la carga. La rotacin del eje neutrose obtiene a partir de la Ec.[11].

Descomposicin de la cargaLa inclinacin de la carga respecto al eje y es = 180 1= 179.

Las componentes de la carga son:

Py = 44, 48 cos(179) = 44, 47 KNPz = 44, 48 sin(179) = 0, 78 KN

Flexiones mximasEl comportamiento de la flexin tanto en elplano xy como en el plano yz se presenta enlas siguientes figuras.

De estos diagramas de obtienen las flexio-nes mximas. Mz produce compresin a lasfibras inferiores, por lo tanto es negativa. Mzproduce tensin a las fibras posteriores, por lotanto es positiva.

Mz =44, 47 KN 3, 65 m = 162, 32 KN mMy = 0, 78 KN 3, 65 m = 2, 81 KN m Esfuerzos

Los esfuerzos se obtienen, primero para las fi-bras superior e inferior del plano xy y para lasfibras anterior y posterior del plano xz; luego sesuperponen segn la Ec.[7]

x(x, y) = 162, 32 100 KN cm87409 cm4(+30, 48 cm)

(s,i)x =

+ 5, 66 KN(cm2

x(x, z) = 2, 81 100 KN cm1756 cm4(+8, 89 cm)

(a,p)x =

+ 1, 42 KN/cm2

De la superposicin de esfuerzos se obtienenlos esfuerzos mximos y mnimos:

x(sup, ant) = +5, 66 1, 42 = +4, 24 KN/cm2x(in f , ant) = 5, 66 1, 42 = 7, 08 KN/cm2x(in f , pos) = 5, 66 + 1, 42 = 4, 24 KN/cm2x(sup, pos) = +5, 66 + 1, 42 = +7, 08 KN/cm2

La rotacin del eje neutro se deduce a partir dela Ec.[11]

= tan1(87409

1756tan(179)

)= 40, 99

rotacin, que ocurre en el sentido horario res-pecto del ENzz.

La distribucin y superposcin de esfuer-zos, as como la rotacin del eje neutro ENse presentan en la siguitne figura.

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II. Ejemplo No 2

Sistema y solicitacinElemento de seccin rectangular solicitado porun momento inclinado en el extremo.

Material y seccinE = 20 GPaadm = 5 MPa

yG = 20 cmzG = 10 cmIzz = 106666 cm4

Iyy = 26666 cm4

Pregunta y problemaIdentificar los puntos de la seccin transversal,en los cuales se presentan los esfuerzos mxi-mos y mnimos. Dibujar el comportamiento deesfuerzos sobre la seccin y evaluar la rotacindel eje neutro.

Estrategia y solucinLos esfuerzos mximos y mnimos se obtienena partir de la ecuacin de superposicin deesfuerzos Ec.[7]. Las flexiones mximas co-rresponden al valor de las componentes delmomento aplicado en el extremo. La rotacindel eje neutro se obtiene a partir de la Ec.[11].

Descomposicin del momentoLa inclinacin del momento actuante es de M= 143, 13 respecto al eje y.

La inclinacin de la carga, respecto al ejey, que producira este momento se encuentraen un plano ortogonal, es decir P = M + 90

= 233, 13. Esta transformacin se requiere, yaque la Ec.[11] se dedujo para la inclinacin dela carga, no del momento.

Flexiones mximasLas componentes de la flexin mxima en losplanos xy y xz corresponden a las componentesde los momentos:

My = 12 cos(143, 13) = 9, 60 KN mMz = 12 sin(143, 13) = 7, 20 KN m

EsfuerzosLos esfuerzos en los planos xy y xz se obtie-nen, primero para las fibras superior , inferior,anterior y posterior, y luego se superponen.

x(x, y) = 7, 20 100 KN cm106666 cm4(+20 cm)

(s,i)x =

+ 0, 14 KN(cm2

x(x, z) = 9, 60 100 KN cm26666 cm4(+10 cm)

(a,p)x =

+ 0, 36 KN/cm2

La superposicin de esfuerzos se realizasegn la Ec.[7]. De esta superposicin se obtie-nen los esfuerzos mximos y mnimos en losvrtices de la seccin transversal.

x(sup, ant) = 0, 14 0, 36 = 0, 50 KN/cm2x(in f , ant) = +0, 14 0,36 = 0,22 KN/cm2x(in f , pos) = +0, 14 + 0, 36 = +0, 50 KN/cm2

x(sup, pos) = 0, 14 + 0, 36 = +0, 22 KN/cm2

El eje neutro ENzz experimenta una rotacin ,la cual se calcla segn la Ec.[11]

= tan1(106666

26666tan(233, 13)

)= 79, 38

rotacin, que ocurre en el sentido antihorario,respecto al ENzz. De esta forma se ubica el

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nuevo eje neutro EN .

La distribucin y superposcin de esfuer-zos, as como la rotacin del eje neutro ENse presenta en la siguitne figura.

VIII. Conclusin

La flexin desviada al igual que la flexinortogonal, genera estados de deformaciones yesfuerzos en dos planos ortogonales. La super-posicin de estos estados, bien sea de defor-maciones o esfuerzos, permite evaluar y ubicarla presencia de mximos y mnimos. La ecua-cin del eje neutro es un caso particualar de lasuperposicin de esfuerzos, en el cual todoslos esfuerzos deben ser nulos. La rotacin deleje neutro, en el caso dela flexin desviada, seobtiene directamente a partir de las relacionesdel inercias de la seccin y del ngulo de incli-nacin de la carga, repecto al eje y.

Referencias

[1] Beer F., and Johnston, E. Mecnica demateriales. McGraw Hill, 1982.

[2] Craig, R. Mechanics of materials. Wiley &Sons, 2011.

[3] Gere, J. and Goodno, B. Mechanics ofmaterials. Cengage Learning, 2012.

Bogot, Ciudad UniversitriaAbril 21 de 2015

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Naturaleza y orgenHiptesis y simplificacionesTerminologa y convencionesDescomposicin de la cargaDeformaciones y esfuerzosEcuacin del eje neutroEjemplosEjemplo No 1Ejemplo No 2

Conclusin