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Mecnica de slidos Captulo VI La flexin - Flexin generalizada

Flexin generalizada o asimtricaRicardo L. Parra Arango

Universidad Nacional de Colombia - BogotDepartamento de Ingeniera Civil y Agrcola

2015 I

Resumen

En la flexin asimtrica o generalizada se resumen los casos de flexin pura, ortogonal y desviada. Eneste caso se plantean expresiones generales para secciones bisimtricas, unisimtricas y asimtricas oirregulares. Para ello se requiere de la ubicacin de los ejes principales ya que con respecto a ellos se definela rotacin del nuevo eje neutro.

I. Naturaleza y orgen

Por su carcter general la flexin asimtricaresume todos los casos de flexin vistos ante-riormente. Los casos, en los cuales se apreciala presencia de la flexin generalizada, se des-criben a continuacin y se presentan en la Fig.[1]

Cargas inclinadas. Toda inclinacin de lalnea de accin de una carga con respectoa los ejes de una seccin, puede ser trata-da como una flexin generalizada.

Seccin transversal inclinada. La inclina-cin de una seccin respecto a la lnea deaccin de una carga, genera una flexingeneralizada.

Las secciones transversales que no pre-sentan ejes de simetra constituyen elcaso tpico para la aplicacin de la teorade la flexin generalizada o asimtrica.

Figura 1: Presencia de la flexin generalizada o asimtri-ca. a) Carga con inclinacin b) Seccin trans-versal inclinada c) Seccin transversal irregu-lar o asimtrica.

II. Hiptesis y simplificaciones

Para el estudio de la flexin generalizada oasimtrica tienen validez las siguientes hipte-sis:

Aplica el modelo propuesto por Euler yBernoulli, segn el cual la pendiente ogiro del eje neutro corresponde a la deri-vada de la curva elstica o deflexin encada uno de los planos.Las caras de la seccin transversal per-manecen planas, antes y despes de ladeformacin tanto en el plano xy comoen el plano xz.La lnea de accin de la solicitacin pasapor el centroide de la seccin transversal.La flexin asimtrica puede ser descom-puesta en dos flexiones, dispuestas orto-gonalmente. Por lo tanto, aplica la for-mulacin hecha en el subcaptulo flexinortogonal o biflexin referente a la evalua-cin de las flexiones en los plano xy yxz.Al igual que la flexin, la curvatura nor-mal a la superfcie neutra, es el resultadode la superposicin de las curvaturas enlos planos xy y xz.Aplica el principio de superposicin, esdecir los esfuerzos y deformaciones nor-males a la seccin son el resultado de lasuma de esfuerzos o deformaciones origi-nados en cada plano de las componentesde la flexin asimtrica.En general la orientacin de la flexin ge-neralizada no coincide con los ejes prin-cipales.

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III. Terminologa y convenciones

La terminologa y convenciones utilizadapara la flexin ortogonal son vlidas para la fle-xin generalizada, se relacionan a continuacinlos trminos necesarios para la demostracin.

Flexin en el plano x-y

Py Carga concentrada en la direccin yMz(x) Flexin alrededor de zEN zz Eje neutro normal a la direccin yIzz Momento de inercia al rededor de zy Distancia del EN zz a una fibra yex(x, y) Elongacin de la fibra yx(x, y) Esfuerzo normal de la fibra yz(x) Curvatura en el plano xy

Flexin en el plano x-z

Pz Carga concentrada en la direccin zMy(x) Flexin alrededor de yEN yy Eje neutro normal a la direccin zIyy Momento de inercia al rededor de yIyz Momento de inercia al rededor de y zz Distancia del EN yy a una fibra zex(x, z) Elongacin de la fibra zx(x, z) Esfuerzo normal de la fibra zy(x) Curvatura en el plano xz

Rotaciones y ejes Inclinacin de la carga respecto a y Rotacin del eje neutro EN Rotacin de los ejes principales y zy-z Sistema de ejes principales- Sistema del eje neutro rotadoEN Eje neutro rotado

Convenciones de signos:Las solicitaciones, tanto cargas como mo-mentos son positivas si siguen las di-recciones y giros definidos por el siste-ma cartesiano conocido como regla de lamano derecha.Las distancias a la fibra y y z son po-sitivas en la direccin de los ejes y y zrespectivamente.Las flexiones Mz(x) y My(x) son positi-vas si le producen tensin a una fibra deltramo en estudio, previamente sealada. Pa-ra la demostracin se considerarn comofibras a tensin las fibras inferiores en elplano xy y las fibras posteriores en el planoxz.Las deformaciones ex(x, y) y ex(x, z) as

como los esfuerzos x(x, y) y x(x, z) sonpositivos si producen alargamiento y ten-sin y negativos si producen acortamien-to y compresin respectivamente.El signo de las curvaturas z(x) y y(x)es consistente con la convencin adopta-da para la flexin. Es decir las curvaturasson positivas si tienen concavidad en elsentido de los ejes y y z respectivamente.La inclinacin de la carga o solicitacin, es positiva en sentido antihorario medidadesde el eje y.La rotacin del eje neutro ENes posi-tiva en el sentido horario.La rotacin de los ejes principales espositiva en el sentido horario.

IV. Descomposicin de la carga

Al igual que en la flexin ortogonal y des-viada la carga se descompone en cargas en lasdos direcciones y y z. En la Fig. [2] se presentala descomposicin de una carga puntual P endos componentes ortogonales a los ejes y y z.

Py = P cos() (1)

Pz = P sin() (2)

Figura 2: Descomposicin de una solicitacin asimtricaa.) Componentes de flexin b.) Inclinacin dela solicitacin

V. Descomposicin de la flexin

Las componentes de flexin en cada planopueden evaluarse como el producto de las fuer-zas de la Ec. [1] y Ec. [2] por una distancia xen la siguiente forma:

Mz(x) = Py x = P cos() x (3)

My(x) = Pz x = P sin() x (4)

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VI. Deformacionesy curvaturas

El punto de partida para la deduccin delas expresiones de la flexin generalizada es lasuperposicin o descomposicin de las curva-turas en los planos xy y yz como se indica enla Fig.[3]

La curvatura del tramo es el resultado dedos curvaturas ortogonales, por lo tanto se pue-de concluir que estas tienen la siguiente rela-cin:

z(x) = sin() (5)

y(x) = cos() (6)

donde es la rotacin del eje neutro y es lacurvatura correspondiente.

Figura 3: Superposicin o descomposicin de las curva-turas

Las deformaciones y curvaturas se evalande acuerdo a la teora de flexin para cadaplano en la siguiente forma:a.) para el plano xy

ex(x, y) = ddx y (7)ex(x, y) = E z(x) y (8)

b.) para el plano xz

ex(x, z) = ddx z (9)ex(x, z) = E y(x) z (10)

VII. Esfuerzos

Los esfuerzos en los dos planos se obtienena partir de la ley constitutiva del material, eneste caso la Ley de Hooke. Multiplicando lasEc.[8] y Ec.[10] por el mdulo de Young E seobtiene:a.) para el plano xy

x(x, y) = E z(x) y (11)

b.) para el plano xz

x(x, z) = E y(x) z (12)

La superposicin de los esfuerzos en el planoxy Ec.[11] y en el plano xz Ec.[12] arroja lasiguente expresin.

x(x, y, z) = E z(x) y E y(x) z (13)

VIII. Participacin de la seccin

La sumatoria de los esfuerzos de la Ec.[13]sobre las partculas de la seccin generan laflexin en cada plano.a.) para el plano xy

Mz(x) =

Ax(x, y, z) y dA (14)

b.) para el plano xz

My(x) =

Ax(x, y, z) z dA (15)

Reemplazando la expresin de la superposi-cin de esfuerzos Ec.[13] en la Ec.[14] y laEc.[15] se obtienen expresiones para la flexinen trminos de las dos curvaturas.a.) para el plano xy

Mz(x) =

A

(E z(x) y E y(x) z) ydA= E

Az(x)y2dA E

Az(x)yzdA

(16)b.) para el plano xz

My(x) =

A

(E z(x) y E y(x) z)) z dA= E

Ay(x)yzdA E

Ay(x)z2dA

(17)Las integrales sobre el rea, de la ecuacin

anterior, se conocen como el segundo momento

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del rea o simplemente momentos de inercia.

Izz =

Ay2 dA

Iyy =

Az2 dA

Iyz =

Ayz dA

(18)

Reemplazando las inercias de la Ec.[18] enla Ec.[16] y en la Ec.[17] se obtienen expresionespara las flexiones en trminos de las curvaturasen la siguiente forma:a.) para el plano xy

Mz(x) = EIzzz(x) EIyzz(x)

b.) para el plano xz

My(x) = EIyzy(x) EIzzy(x)

IX. Componentes de la curvatura

Las ecuaciones anteriores constituyen unsistema de ecuaciones simultneas, a partir delcual se obtienen expresiones para las curvatu-ras.

E[

Izz IyzIzy Iyy

] {z(x)y(x)

}=

{Mz(x)My(x)

}(19)

El carcter tensorial de la matriz de coeficientesen la ecuacin anterior, indica que existen iner-cias extremas de la seccin donde se presentanvalores mximos y mnimos. Estas inercias co-rresponden a los valores propios de la matriz yse conocen como las inercias alrededor de losejes principales Izz y Iyy. La evaluacin de losvectores propios permite identificar la rotacinde los ejes principales respecto de los ejes dereferencia zz.

Las curvaturas en cada una de los planosxy y yz toman los siguientes valores:

z(x) =Mz(x)Iyy My(x)Iyz

E(Iyy Izz I2yz)(20)

y(x) =My(x)Izz Mz(x)Iyz

E(Iyy Izz I2yz)(21)

Estas expresiones gobiernan la curvatura en losplanos xy y xz tal como se indic en la Fig.[3]

X. Superposicin de esfuerzos

La superposicin de esfuerzos en trminosde las flexiones y las inercias de la seccin, seobtiene reemplazando la Ec.[20] y la Ec.[21] enla Ec.[13]. Luego de simplificar los mdulos deYoung, se obtiene la ecuacin de la superposicinde esfuerzos.

x(x, y, z) = Mz(x)Iyy My(x)Iyz(Iyy Izz I2yz)

y

My(x)Izz Mz(x)Iyz(Iyy Izz I2yz)

z(22)

XI. Ecuacin del eje neutro

A partir de la Ec.[22] y considerando quesobre el eje neutro no actan esfuerzos, se ob-tiene la ecuacin del eje neutro.

Mz(x)Iyy My(x)Iyz(Iyy Izz I2yz)

y

My(x)Izz Mz(x)Iyz(Iyy Izz I2y)

z = 0(23)

Ecuacin que en forma de cociente se convierteen:

yz= My(x)Izz Mz(x)Iyz

Mz(x)Iyy My(x)Iyz (24)

La Ec.[23] se dedujo a partir de la suposi-cin de ser la ecuacin del eje neutro, por lotanto el par de coordenadas y, z debe estar loca-lizado sobre el eje neutro, tal como lo muestrala Fig.[4]

Figura 4: Rotacin de ejes principales y eje neutro

Como se aprecia en la Fig.[4] el par de coor-denadas y y z definen adems la rotacin deleje neutro repecto al eje z, asumida positivaen sentido horario.

tan() =yz

(25)

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Igualando la Ec.[25] con la Ec. [24] se obtie-ne, finalmente una expresin que relaciona lascomponentes de la flexin en trminos de lainclinacin de la carga, como de las propie-dades de inercia de la seccin..

tan() =yz= My(x)Izz Mz(x)Iyz

Mz(x)Iyy My(x)Iyz (26)

En la siguiente figura se muestran las ro-taciones de los ejes principales y la del ejeneutro. corresponde a la rotacin de los ejesprincipales yz y se asume positiva en sentidoantihorario medida desde el eje centroidal y.

Figura 5: Rotacin de ejes principales y eje neutro

La rotacin del eje neutro EN se asumipositiva si el sentido de la rotacin es horario.Se aprecia que si la seccin es simtrica la iner-cia Iyz es nula; por lo tanto la Ec.[26] conducea las mismas expresiones deducidas para laflexin ortogonal y flexin desviada, por eso sedenomina flexin generalizada.

XII. Ejemplos

Los siguiente ejemplos muestran la aplica-cin de las ecuaciones desarrolladas para laflexin generalizada. Se calculan y diagramanlas distribuciones de esfuerzos debidas a laasimetra de carga o seccin. Igualmente se in-dica, en forma numrica y grfica la rotacindel nuevo eje neutro y la ubicacin de los ejesprincipales. No se profundiza en el clculo deinercias, inercias principales y su rotacin, yaque estos temas son prerequsitos del curso.

I. Ejemplo No 1

Sistema y solicitacinElemento de seccin angular, solicitado en un

extremo por un momento flector al rededor dez. La seccin angular est dispuesta en formaasimtrica.

MaterialE = 100 GPaadm = 120 MPa

Propiedades de la seccinLa siguientes propiedades son suminstradaspor el fabricante. (Verificarlas asumiendo unperfil de elementos rectangulares, sin redon-deos)yG = 3, 92 cmzG = 1, 08 cmIzz = 24, 50 cm4

Iyy = 8, 70 cm4

Iyz = 8, 30 cm4

Pregunta y problemaCalcular el estado de los esfuerzos en los vr-tices sealados de la seccin transversal comoA, B y C. Dibujar el comportamiento de esfuer-zos sobre la seccin, calcular la rotacin deleje neutro y referirla a la rotacin de los ejesprincipales.

Estrategia y solucinEn este caso slo acta un momento Mz. Elcomportamiento de los esfuerzos se obtiene apartir de la ecuacin de superposicin de es-fuerzos Ec.[22] en trminos de Mz y las inercias.La rotacin del eje neutro se obtiene a partir dela Ec.[26]. Los momentos de inercia y los ejes

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principales as como su rotacin se obtienen apartir de la Ec.[19]

Flexin mximala flexin mxima Mz(x) es constante en todoel elemento y corresponde a la solicitacin Mz.El comportamiento de la flexin tanto en elplano xy como en el plano yz se presenta enlas siguientes figuras.

Mz = 60 KN cm

EsfuerzosConocidas las flexiones y las propiedades de laseccin, el comportamiento de los esfuerzos seobtiene a partir la Ec.[22] donde no se incluyeMy(x) debido a que es cero.

x(x, y, z) = 60 8, 70 y 60 8, 30 z24, 50 8, 70 8, 30 8, 30x(x, y, z) = 3, 616 y + 3, 452 z

Evaluando la expresin anterior para las coor-denadas y, z de los puntos A, B y C se obtiene:

A = x( 2, 08; 2, 92) = 2, 55 KN/cm2

B = x(3, 92;1, 08) = 10, 45 KN/cm2C = x( 2, 08;1, 08) = 11, 25 KN/cm2

Se aprecia que todas las fibras de la seccinestan solicitadas por debajo del esfuerzo admi-sible a tensin y compresin adm = 120 MPa.

Rotacin del eje neutroLa rotacin del eje neutro se obtiene a partirde la Ec.[26]

= tan1(60 8, 30

60 8, 70

) = 43, 65

rotacin que ocurre en el sentido horario, me-dida a partir del eje centroidal z.

Inercias principalesLas inercias principales I1 y I2 correspondena la relacin de los vectores propios de lamatriz de coeficientes de la Ec.[19]; para ello secalcula el determinante de la siguiente matriz

det[

Izz IyzIzy Iyy

]= 0

reemplazando los valores conocidos de las iner-cias

det[

24, 50 8, 308, 30 8, 70

]= 0

se obtiene

1 I1 = 28,06 cm42 I2 = 5, 14 cm4

comparados con las inercias refereidas a losejes centroidales z y y las inercias principalesrepresentan los valores extremos mximos ymnimos.

La rotacin de los ejes principales equivalea los vectores propios de la matriz de coefi-cientes de la Ec.[19]. Es importante anotar quelas inercias estn ordenadas as, primer colum-na asociada a Izz y segunda columna asociadaa Iyy. Los coeficientes de los vectores propiosquedan asociados a z y y con el mismo criterio.[

Izz IyzIzy Iyy

] {n1n2

}=

{00

}reemplazando las inercias y el primer valorpropio se obtiene la rotacin para el eje z[

24, 50 28, 06 8, 308, 30 8, 70 28, 06

] {n1n2

}=

{00

}de la primer ecuacin 3, 56 n1 + 8, 30 n2 = 0del sistema anterior se tiene

tan() =yz

=n2n1

= 3, 568, 30

= 0, 4289

por lo tanto = 23, 20

La rotacin desde el eje centroidal y ocurreen el sentido antihorario ya que la tangente en

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este cuadrante es positiva. En forma equiva-lente se puede establecer que el eje principalmenor z rota en sentido antiorario el msmongulo, pero a partir del eje centroidal z.

En la siguiente figura se indican las rota-ciones de los ejes neutros y de los ejes prin-cipales , medidas a partir del eje centoridalz

Se aprecia que los ejes principales no coin-ciden con el eje neutro.

Las inercias principales y la rotacin desus ejes tambin pueden obtenerse a partir decrculo de Mohr.

XIII. Conclusin

La flexiones ortogonal y la flexin desviadason casos particulares de la flexin generaliza-da. La flexin generalizada implicael clculode las inercias principales y la ubicacin de losejes principales. El eje neutro de la seccin enflexin generalizada no siempre coincide conlos ejes principales. La expresin para la super-posicin de esfuerzos en la flexin generalizadaresulta en trminos de las flexiones alrededoerde los ejes y y z as como de las tres inercias dela seccin. La rotacin de los ejes principaleses una propedad de la seccin, independien-te de la solicitacin, mientras que la rotacindel eje neutro depende de la orientacin de lasolicitacin.

Referencias

[1] Beer F., and Johnston, E. Mecnica demateriales. McGraw Hill, 1982.

[2] Craig, R. Mechanics of materials. Wiley &Sons, 2011.

[3] Gere, J. and Goodno, B. Mechanics ofmaterials. Cengage Learning, 2012.

Bogot, Ciudad UniversitriaAbril 23 de 2015

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Naturaleza y orgenHiptesis y simplificacionesTerminologa y convencionesDescomposicin de la cargaDescomposicin de la flexinDeformacionesy curvaturasEsfuerzosParticipacin de la seccinComponentes de la curvaturaSuperposicin de esfuerzosEcuacin del eje neutroEjemplosEjemplo No 1

Conclusin