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Mecnica de slidos Captulo VI La flexin

Flexin ortogonal o biflexinRicardo L. Parra Arango

Universidad Nacional de Colombia - BogotDepartamento de Ingeniera Civil y Agrcola

2015 I

Resumen

La flexin ortogonal, tambin denominada biflexin, es un tipo de flexin que se carateriza por la presenciasimultnea de flexin sobre dos planos ortogonales de la seccin. Estas acciones de flexion actuan tantosobre el eje fuerte como sobre el eje dbil. La flexin ortogonal genera tensin o compresin a dos planosde fibras del elemento estructural. Estos planos de fibras al igual que las solicitaciones y flexiones seencuentran ubicados en forma ortogonal unos de los otros.

I. Naturaleza y orgen

La flexin ortogonal se presenta en casi to-dos los elementos estructurales en el espacio.Algunos de los casos ms claros, donde se pue-de apreciar el carcter ortogonal de la biflexinse presentan en la Fig. [1] y se describen acontinuacin.

Vigas de fachadas. Las cargas de grave-dad de la fachada actuan en el plano dela fachada. Las cargas horizontales comoel viento actuan normal a la fachada.Columnas en sistemas de prticos espa-ciales. La vigas, generalmente dispuestasen forma ortogoanal, conectadas a cadacolumna le transmiten momentos en dosplanos, que generan dos estados de fle-xin ortogonal sobre la columna.Elementos prefabricados. Durante elmontaje de elementos prefabricados serecurre al uso de gruas para levantar lasvigas originando un plano de carga de-bido al peso propio de la viga. Para lalocalizacin de elemento prefabricado serecurre, con frecuencia, al uso de tensoreslaterales que generan el segundo planoortogonal de carga.Vigas carrilera en puentegruas. La cargadel puente grua debida al peso propioy al peso a izar definen un plano verti-cal de solicitaciones. El plano horizontalde solicitaciones se define por la fuerzalateral de arranque o frenado, debida aldeplazamiento del aparejo de carga ensentido transversal a la viga carrilera.

Figura 1: Presencia de la flexin ortogonal a) Viga defachada b) Columna de prtico espacial c) Vigacarrilera d) Elemento prefabricado

Como se puede deducir de los casos men-cionados, no siempre los sistemas de apoyo enlos dos planos coinciden, razn por la cual esnecesario identificar cada sistema, tanto solici-

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taciones como apoyos, en su plano de accin.

II. Hiptesis y simplificaciones

Para el estudio de la flexin ortogonal o bi-flexin tienen validez las siguientes hiptesis:

Aplica el modelo propuesto por Euler yBernoulli, segn el cual la pendiente ogiro del eje neutro corresponde a la deri-vada de la curva elstica o deflexin encada uno de los planos.Las caras de la seccin transversal per-manecen planas, antes y despes de ladeformacin.La lnea de accin de las cargas en losdos planos pasa por el centroide de laseccin. Por lo tanto las flexiones estnorientadas respecto al eje fuerte y al ejedbil de la seccinLas flexiones que actuan ortogonalmen-te, generan esfuerzos normales sobre laspartculas de la seccin de la misma na-turaleza.Aplica el principio de superposicin, esdecir los esfuerzos y deformaciones nor-males a la seccin son el resultado dela suma de esfuerzos o deformacionesoriginados en cada plano.

III. Terminologa y convenciones

Como se trata del mismo fenmeno en dosplanos, el elemento estructural se orientar lon-gitudinalmente en la direccin del eje x deun sistema cartesiano xyz. De esta forma losconceptos vistos para la flexin pura quedarnasociados a los ejes y y z en la siguiente forma:

Flexin en el plano x-y

qy(x) Carga distribuida en la direccin yPy Carga concentrada en la direccin ymz(x) Momento distribuido alrededor de zMz Momento concentrado alrededor de zVy(x) Cortante en la direccin yMz(x) Flexin alrededor de zv(x) Deflexin en la direccin y(x) Giro o pendiente alrededeor de zz(x) Curvatura alrededeor de zEN z-z Eje neutro normal a la direccin yIzz Momento de inercia al rededor de EN zzy Distancia del EN z-z a una fibra yex(x, y) Elongacin de la fibra y

x(x, y) Esfuerzo normal de la fibra y

Flexin en el plano x-z

qz(x) Carga distribuida en la direccin zPz Carga concentrada en la direccin zmy(x) Momento distribuido alrededor de yMy Momento concentrado alrededor de yVz(x) Cortante en la direccin zMy(x) Flexin alrededor de yw(x) Deflexin en la direccin z(x) Giro o pendiente alrededeor de yy(x) Curvatura alrededeor de yEN y-y Eje neutro normal a la direccin zIyy Momento de inercia al rededor de EN yyz Distancia del EN y-y a una fibra zex(x, y) Elongacin de la fibra zx(x, z) Esfuerzo normal de la fibra z

Figura 2: Solicitaciones, acciones internas de fuerza ycurvaturas en los planos xy y xz

Las siguientes son las convenciones de sig-nos adoptadas:

Las solicitaciones, tanto cargas como mo-mentos son positivas si siguen las direc-ciones y giros definidos por el sistemacartesiano conocidos como Regla de lamano derecha.Las distancias a la fibra y y a la fibra zde la seccin transversal, as como las de-flexiones v(x) y w(x) son positivas en ladireccin de los ejes y z z respectivamen-te.El giro es positivo en el sentido de laRegla de la mano derecha; mientras que el

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giro es positivo en sentido contrario ala Regla de la mano derecha.Las cortantes Vy(x) y Vy(x) son positi-vas si con respecto a un punto del tramo deestudio le generan un giro horario al mismo.Las flexiones Mz(x) y My(x) as comolas curvaturas z(x, y) y y(x, z) son po-sitivas si le producen tensin a una fibra deltramo en estudio, previamente sealada. Pa-ra la demostracin se considerarn comofibras a tensin las fibras inferiores en ladireccin y y las fibras posteriores en ladireccin z.Las deformaciones ex(x, y) y ex(x, z) ascomo los esfuerzos x(x, y) y x(x, z) sonpositivos si producen alargamiento y ten-sin y negativos si producen acortamien-to y compresin respectivamente.

IV. Esfuerzos y deformaciones

La demostracin de las expresiones de es-fuerzos y deformaciones, vistas en el subcap-tulo de flexin pura, se presentan a continuacinen forma de paralelo para cada uno de los pla-nos definidos en la Fig.[2]

Cuadro 1: Paralelo entre deformaciones, esfuerzos y cur-vaturas debidas a la flexin ortogonal

Plano xy Plano xz

Fibra a tensin y Fibra a tensin z(x) = d v(x)dx (x) = d w(x)dx

z(x) = d2

dx2 v(x) y(x) =d2

dx2 w(x)

ex(x, y) = z(x) y ex(x, z) = y(x) zx(x, y) =Mz(x)Izz y x(x, z) =

My(x)Iyy z

z(x) =Mz(x)E Izz y(x) =

My(x)E Iyy

De la Tab. [1] se puede concluir que tan-to la flexin Mz(x, y) como My(x, z) producendeformaciones y esfuerzos normales a las par-tculas de la seccin transversal. Debido a queestas deformaciones y esfuerzos son, respec-tivamente, de la misma naturaleza se puedeaplicar el Principio de superposicin para obteneruna expresin de las deformaciones y esfuer-zos para elementos solicitados ortogonalmente.

ex(x, y, z) = z(x) y y(x) z (1)

reemplazando los valores correspondientes delas curvaturas, se obtiene:

ex(x, y, z) = Mz(x)E Izz yMy(x)E Iyy

z (2)

A partir de la superposicin de esfuerzos seobtiene la siguiente expresin:

x(x, y, z) = Mz(x)Izz yMy(x)

Iyyz (3)

Se observa que la Ec. [2] y la Ec. [3], tan-to para deformaciones como para esfuerzos,quedan en trminos de tres variables x, y y z.Esto quiere decir que las fibras de la seccintransversal estan solicitadas por un gradientede deformacin o esfuerzo que vara en lalongitud del elemento estructural, el peralteo altura y la profundidad o el ancho de laseccin transversal.

Como corolario a la observacin anterior sepuede deducir que debido a la superposicinde esfuerzos los ejes que antes se denominabaneje fuerte y eje dbil experimentarn una rotacinen el sentido del esfuerzo ms dominante.

En la Fig. [3] se presenta la distribucin deesfuerzos debidos a flexiones ortogonales y lasuperposcin de los mismos sobre una seccintransversal de forma rectangular.

Figura 3: Superposicin de esfuerzos y rotacin de ejesfuerte y dbil sobre una seccin rectangular

Como se aprecia en la Fig. [3] los esfuerzosse comportan linealmente sobre los lados dela seccin transversal, por lo tanto la ubicacindel eje neutro se puede obtener aplicando laRegla de las proporciones a los lados donde elesfuerzo cambia de signo.

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V. Ejemplos

Los siguientes ejemplos muestran la impor-tancia que tiene el efecto de considerar la super-posicin de esfuerzos, as como que la rotacinde los ejes fuerte y dbil pude conducir, se-gn la seccin transversal, a una prdida decapacidad de la seccin para resistir la flexin.

I. Ejemplo No 1

Sistema y solicitacinElemento de seccin tip cajn, solicitado a fle-xin en dos planos ortogonales

Material y seccinE = 200 GPafy = 327, 20 MPa

yG = 400 mmzG = 300 mmIzz = 4, 236 109 mm4

Iyy = 1, 715 109 mm4

Pregunta y problemaIdentificar los puntos de la seccin transversal,en los cuales se presentan los esfuerzos mxi-mos y mnimos. Dibujar el comportamiento deesfuerzos sobre la seccin y sealar la nuevaposicin del eje neutro.

Estratgia y solucinUtilizando las expresiones de esfuerzos paracada uno de los planos se identifican los es-fuerzos mximos y mnimos en cada plano de

flexin. Aplicando la Ec. [3] se obtienen losesfuerzos en los puntos crticos de la seccin.Sobre el diagrama final de esfuerzos se identi-fican los puntos de esfuerzo nulo, que definenla lnea en la cual se encuentra el nuevo EN.

EsfuerzosEsfuerzos en las fibras superior s e inferioris,ix (x, y) =

3200 106 N mm4, 236 104 mm4

(+400 mm)

supx = 302, 10 MPa

in fx =+ 302, 10 MPa

Esfuerzos en las fibras anterior a y poste-rior p

a,px (x, z) = 1500 10

6 N mm1, 715 104 mm4

(+300 mm)antx =+ 262, 39 MPa

posx = 262, 39 MPa

Superposicin de esfuerzosLa superposicin de esfuerzos en los cuatrovrtices de la seccin transversal, obtenidos apartir de la Ec. [3] arroja los siguientes resulta-dos(s,i),(a,p)x (x, y, z) = s,ix (x, y) +

a,px (x, z)

(s,i),(a,p)x =

+ 302, 10

+ 262, 39 MPa

sup,antx = 39, 71 MPa

in f ,antx =+ 564, 49 MPa

in f ,posx =+ 39, 71 MPa

sup,posx = 564, 49 MPa

Los diagramas de esfuerzos en cada planoy la superposicin de los mismos, se presentanen la siguiente figura.

Se concluye, de la superposicin de esfuer-zos, que los esfuerzos in f ,antx = +564, 49 MPay sup,posx = 564, 49 MPa superan el valor m-ximo del esfuerzo admisible del material fy =327, 20 MPa.

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La ubicacin del nuevo eje neutro se ob-tiene calculando las coordenadas (y; z) de lospuntos con esfuerzo nulo sobre los lados poste-rior y anterior de la seccin transversal, a partirde la siguiente proporcin:

y39, 71

=800 y564, 49

de donde se obtiene:

y = 53 mm

800 y = 747 mmPor lo tanto los puntos (y; z) que definen elnuevo eje neutro son:

Ppos (53; 0) y Pant (747; 600)

adicionalmente, el nuevo eje neutro debe pasarpor el centroide G de la seccin G(400; 300).

II. Ejemplo No 2

Sistema y solicitacinUn elemento de fachada se encuentra bajo dostipos de solicitaciones ortogonales. Aunque elsistema de apoyo es el mismo en las dos di-recciones las solicitacione actuan en diferentestramos del elemento

Material y seccinE = 10,0GPaadm = 0,80KN/cm2 a tensinadm = 0,45KN/cm2 a compresin

yG = 20 mmzG = 15 mmIzz = 160000 cm4

Iyy = 90000 cm4

Pregunta y problemaCalcular e identificar la ubicacin de los esfuer-zos mximos y mnimos. Indicar la posicindel eje neutro debido a la superposicin deesfuerzos.

Estrategia y solucinIdentificar las solicitaciones y acciones internaspara los dos sistemas ortogonales xy y yz.A partir de las flexiones mximas y mnimas,calcular los esfuerzos en dichas posiciones.Superponer los estados de esfuerzos.

Sistema en el plano xyEl sistema, solicitaciones y diagrama de la fle-xin se presenta en la siguiente figura.

La flexin Mz se dibuj del lado solicitado atensin, es decir las fibras inferiores. La flexinmnima se presenta en los apoyos A y B y laflexin mxima se presenta en el centro de laluz C, con los siguientes valores

Mz(A) = 40, 00 KN mMz(C) = 10, 00 KN m

Los esfuerzos en el plano xy asociados a lasfibras superior e inferior de la seccin transversalen los puntos (A) y (C) son:

s,ixz(A) =4000 KN cm

160000 cm4(+20 cm)

supxz (A) = + 0, 50 KN/cm2

in fxz (A) = 0, 50 KN/cm2

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s,ixz(C) =1000 KN cm

160000 cm4(+20 cm)

supxz (C) = 0, 13 KN/cm2

in fxz (C) = + 0, 13 KN/cm2

Sistema en el plano xzEl sistema, solicitaciones y diagrama de la fle-xin se presenta en la siguiente figura.

La flexin My se dibuj del lado solicitadoa tensin, es decir las fibras posteriores. La fle-xin mxima se presenta en el centro de la luz,con el siguiente valor

My(C) = 22, 50 KN mLos esfuerzos en el plano xz asociados a lasfibras anterior y posterior de la seccin transver-sal en el punto (C) son:

a,pxy (C) = 2250 KN cm90000 cm4

(+15 cm)antxz (C) = 0, 38 KN/cm2

posxz (C) = + 0, 38 KN/cm2

Superposicin de esfuerzosEn la seccin ubicada en los apoyos A y B slose presentan esfuerzos en el plano xy. En elcentro de la luz denotado por C se presentauna superposicin de esfuerzos:

(s,i),(a,p)x (C) = s,ixz(C) +

a,pxy (C)

(s,i),(a,p)x =

+ 0, 13

+ 0, 38 KN/cm2

sup,antx = 0, 51 KN/cm2

in f ,antx =+ 0, 25 KN/cm2

in f ,posx =+ 0, 51 KN/cm2

sup,posx = 0, 25 KN/cm2

La ubicacin del nuevo eje neutro se obtienecalculando las coordenadas (y; z) de los pun-tos con esfuerzo nulo sobre los lados posteriory anterior de la seccin a partir de la siguienteproporcin:

y0, 51

=40 y0,25

de donde se obtiene:

y = 26, 84 cm

40 y = 13, 16 cm

Por lo tanto los puntos (y; z) que definen elnuevo eje neutro son:

Ppos (26, 84; 0) y Pant (13, 16; 30)

adicionalmente, el nuevo eje neutro debe pasarpor el centroide G de la seccin G(20; 15). Eneste caso el eje neutro experiment una rota-cin en sentido horario.

VI. Conclusin

La presencia de solicitaciones que generenflexin ortogonal o biflexin implica una su-perposicin tanto de deformaciones, como deesfuerzos de las partculas de la seccin trans-versal. El resultado de esta superposcin, es unestado de deformaciones y esfuerzos con valormximos y mnimos, diferentes a los que se ten-dran en cada uno de los planos consideradosindependientemente.

Referencias

[1] Beer F., and Johnston, E. Mecnica demateriales. McGraw Hill, 1982.

[2] Craig, R. Mechanics of materials. Wiley &Sons, 2011.

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[3] Gere, J. and Goodno, B. Mechanics ofmaterials. Cengage Learning, 2012.

Bogot, Ciudad UniversitriaAbril 16 de 2015

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Naturaleza y orgenHiptesis y simplificacionesTerminologa y convencionesEsfuerzos y deformacionesEjemplosEjemplo No 1Ejemplo No 2

Conclusin