07 - Trabajo Practico N° 2A

UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632

T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES

HOJA

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CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL

EJERCICIO N° 2A-1

Las coordenadas de un punto material que se mueve en el plano x-y vienen dadas por x=2t3+3t,

y=t3/3 – 8 donde x e y están en metros y t en segundos. Determinar la velocidad v y la aceleración a,

los ángulos que los vectores forman con el eje x cuando t=3 s

s=[2t 2+3 t ;t3

3– 8]

s '=v=[4 t+3 ; t2]

s' '=v '=a=[4 ;2 t ]

Si t= 3 segundos

Velocidad:

v=s '=[15; 9] [m/s]

ӏ v ӏ=√(15m /s )2+(9m /s )2[m/s]

ӏ v ӏ=17,4928[m/s]

Angulo respecto al eje x:

α=cos−1 15m /s17,4928m /s [°]

α=30,963 °Angulo entre la velocidad y el eje x

Aceleración:

s ' '=v '=a=[4 ;6][m/s²]

ӏ a ӏ=√(4m /s ²)2+(6m /s ²)2[m/s²]

ӏ a ӏ=7,211[m/s²]

Angulo respecto al eje x:

α=cos−1 4m /s ²7,211m / s ² [°]

α=56,31 ° Angulo entre la aceleración y el eje x



HOJA

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EJERCICIO N° 2A-2

Calcular la velocidad inicial mínima necesaria, u, para que un proyectil disparado desde el punto A,

alcance un blanco B situado en el mismo plano horizontal a una distancia de 10km.

En el eje x

ax= 0

vx= vx0

x= vx0 .t

En el eje y

ay= -g

vy= -g.t +vy0

y= -g.t2/2 +vy0.t

Donde vx0 = u.Cos (α) y vy0 = u.Sen (α)

Suponiendo que α es igual a 45° obtenemos

x=vx0 .t [m]

10000 = u.Cos (45°).t [m]

t= 10000u .cos 45 °

[s] Ecuación N° 1

10 Km



HOJA

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y=−g t 2

2+vy 0. t[m]

Igualando y a cero

0=t .(−¿2

+vy 0)[m]

t=2u sin 45°g

[s] Ecuación N° 2

Igualando la ecuación N° 1 con la ecuación N° 2

2u sin 45°g

= 10000u .cos45 °

[s]

u2= 10000.g2. sin 45 ° .cos 45 °

[m2/s2]

u=√ 10000.9,812. sin 45 ° .cos 45 °

[m/s]

u=313,209m /s



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EJERCICIO N° 2A-4

En el instante t= 3,65s la velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y es 6,12i + 3,24j[m/s].

Su aceleración media durante los 0,02 s siguientes es 3i +6j [m/s2]. Hallar su velocidad v en el

instante t= 3,67 s y el ángulo θ entre el vector aceleración media y el vector velocidad en el mismo

instante.

v0=6,12i + 3,24j[m/s] si t= 3,65 s

a= es 3i +6j [m/s2]

ӏ a ӏ=√(3m / s ²)2+(6m / s ²)2[m/s²]

ӏ a ӏ=3√5[m/s²]

El vector velocidad es:

v=(6,12+3.t)i+ (3,24+6.t)j[m/s]

La velocidad si t= 0.02 s

v=6,18i + 3,36j[m/s]

ӏ v ӏ=√(6,18m / s)2+(3,36m /s )2[m/s]

ӏ v ӏ=7,03[m/s]

El ángulo entre los dos vectores es:

θv=cos−1 6,18m /s7,03m /s

θv=28,532°



HOJA

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θa=cos−1 3m/ s3√5m / s

θa=63,435 °

∆θ=θa−θv

∆θ=63,435 °−28,532 °

∆θ=34,9029 ° Angulo entre vectores



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EJERCICIO N° 2A-6

Un punto se mueve el plano x-y con una componente y de la velocidad, en metros por segundos,

dada por vy=8.t. Su aceleración en la dirección x, en metros por segundos al cuadrado, viene dada

por ax= 4.t, con t en segundos. Cuando t=0, y=2, x=0 y vx=0. Hallar la ecuación de la trayectoria y

calcular la celeridad del punto cuando la coordenada x alcanza el valor 18 m.

En el eje x

ax= 4t

vx= 2.t2+v0x

x=2.t3/3 + v0x.t + xo

En el eje y

ay= 8

vy= 8.t

y= 4.t2 +yo

x=23. t 3 Ecuación N° 1

x=4.t 2+2 Ecuación N° 2

Trabajando con las dos ecuaciones

t=3√ 32x Ecuación N° 1

t=√ y−24

Ecuación N° 2

Igualándolas y despejándolas obtenemos

144 x2=( y−2)3

Celeridad cuando x= 18 m



HOJA

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x=23. t 3 Ecuación N° 1

18m=23. t 3

t=3√ 3.18m2

t=3 s

Con el tiempo calculado obtenemos la celeridad cuando x= 18 m

ӏ v ӏ=√(vc)2+(vy )2[m/s]

ӏ v ӏ=√(2. t 2)2+(8. t)2[m/s]

ӏ v ӏ=√(2.(3 s)2)2+(8.(3 s ))2[m/s]

ӏ v ӏ=30[m/s]



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EJERCICIO N° 2A-7

Demostrar el conocido hecho de que, para una velocidad de lanzamiento dada vo, el ángulo de

lanzamiento θ=45° produce el máximo alcance R. Hallar éste. (Téngase en cuenta que esta conclusión no

es válida cuando en el análisis se incluye la resistencia del aire.)

R=√x2+ y2

Ecuación del movimiento en y:

y=−g t2

2+v 0. sin θ .t

Ecuación del movimiento en x:

x=v0 .cosθ . t

Igualando la ecuación de y a 0 (cero)

0=−g . t 2

2+v0. sin θ . t

t=2v0 .sin θ

g

Remplazando la última ecuación en el movimiento en x obtenemos:

x=2v0

2 .sin θ .cosθg

Diferenciando x en función de θ

dxdθ

=2v0

2 .(cosθ2−sinθ2)g

Igualando a 0 obtenemos

cosθ2=sin θ2

tanθ2=1

θ=π4

Este es el ángulo para el cual la distancia R es máxima



HOJA

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EJERCICIO N° 2A-8

Durante un cierto intervalo del movimiento el pasador P es obligado a moverse por la ranura parabólica

fija merced a la guía ranura vertical, la cual se mueve en la dirección x a la velocidad constante de 20

mm/s. Las cantidades están todas en milímetros y segundos. Calcular los módulos de la velocidad v y la

aceleración a del pasador P cuando x= 60 mm.

En el eje x

vx= 20

x= 20.t

En el eje y

ay= 5

vy= 5.t

y= 5.t2/2

Si t= 3 segundos la celeridad es:

ӏ v ӏ=√(vx)2+(vy )2[mm/s]

ӏ v ӏ=√(20mm /s)2+(5.(3 s))2[mm/s]

ӏ v ӏ=25[mm/s]

Si t= 3 segundos la aceleración es:

ӏ a ӏ=√(ax)2+(ay)2[mm/s²]

ӏ a ӏ=√(0)2+(5)2[mm/s²]

ӏ a ӏ=5[mm/s²]



HOJA

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EJERCICIO N° 2A-9

La velocidad de un proyectil en la boca de un fusil de largo alcance, situado en A, es u= 400 m/s. Hallar

los dos ángulos de elevación θ que permitirán al proyectil alcanzar el blanco B de la montaña.

En el eje x

ax= 0

vx= v0x

x=v0x.t

En el eje y

ay= -g.t2/2 + vyo.t

vy= -g.t + vyo

y= 4.t2 +yo

Si x= 5000 m

5000=400 t cosθ

t= 5000400 cosθ

Ecuación N° 1

Si y= 1500 m

1500=400. t sin θ−9,81. t 2

2Ecuación N° 2

Remplazando la ecuación N° 1 con la ecuación N° 2



HOJA

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1500=5000. tan θ−4,905.( 5000400 cosθ

)2

1500=5000. tan θ−766,40.¿¿

1500=5000. tan θ−766,40−766,4 .( tan θ)2

0=5000. tan θ−2266,40−766,4 .( tan θ)2

Donde las soluciones son:

tanθ1=6,03

θ1=26,1 °

tanθ2=0,49

θ2=80,58°



HOJA

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EJERCICIO N° 2A-14

La boquilla de agua despide con una velocidad vo= 14 m/s y con un angulo θ= 40°. Determinar,

respecto al pie B del murete, el punto en que el agua llega al suelo. Despreciar el efecto del espesor

del murete.

Ecuaciones del movimiento:

En el eje x

ax= 0

vx= v0.cos θ

x=v0 .cosθ t

En el eje y

ay= -g

vy= -g.t +v0.sen θ

y= -g.t2/2 + v0.sen θ.t +yo Ecuación N° 1

Utilizando la ecuación N° 1 e igualarla a 0.

0=14. sen ( 40 ) . t−12

.9,81 .t 2+ 0,3 [m]

t=1,8674 s

Con t se puede calcular la coordenada en x

x=14. cos ( 40° ) .1,8674[m ]

x=16,8047m

Queda a una distancia igual a

1 m

19 m

19 m

0.3m



HOJA

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d=19m−x

d=19m−16,8047m

d=2,952m



HOJA

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EJERCICIO N° 2A- 16

Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m con una velocidad inicial de 180 m/s con

un ángulo de 30° con la horizontal. Si se desprecia la resistencia del aire, calcular: a) la distancia x donde

el proyectil golpea al suelo, b) la altura hmax.


En el eje x

ax= 0

vx= v0.cos θ

x=v0 .cosθ t

En el eje y

ay= -g

vy= -g.t +v0.sen θ

y= -g.t2/2 + v0.sen θ.t +yo Ecuación N° 1

Igualando la ecuación N° 1

0=150+180. sin 30° . t−4,905. t2 [m]

t=19,8864 s

La distancia en x es:

x=180. cos30 °−9,81. t [m]

x=3099,9829m

Altura máxima

Si vy=0

0=180.sin 30 °−9,81.t [m/s]

t= 9,1743 s

hmax=150+180. sin 30 ° .9,1743−4,905. 9,17432[m]

hmax=562 ,849m



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EJERCICIO N° 2A–18

Durante un vuelo de prueba, un helicóptero parte del reposo en t=0 s, los acelerómetros montados a

bordo indican que sus componentes de aceleración entre t=0s y t=10s están dadas por ax= 0,6.t [m/s2],

ay= 1,8 – 0,36.t [m/s2].Determinar la velocidad y posición del helicóptero en función del tiempo.


En el eje x

ax= 0,6.t

vx= v0.cos θ + 0,3.t2

x=v0 .cosθ t+ 0,1.t3 Ecuación N° 1

En el eje y

ay= 1,8-0,36.t

vy= 1,8.t-0,36.t2 +v0.sen θ

y=0,9.t2-0,06.t3+voy.t Ecuación N° 2

Ecuación N° 1: es la posición x en función del tiempo.

Ecuación N° 2: es la posición y en función del tiempo.

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