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8. El interior de una estrella

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8. EL INTERIOR DE UNA ESTRELLA

En este Capítulo procederemos a identificar los procesos que tienen lugar dentro de una

estrella con los resultados hallados en Capítulos anteriores. También incluiremos algunas

herramientas útiles para el análisis de la evolución estelar y por último presentaremos un

modelo simple de la estructura del interior estelar.

Cúmulos globulares

Con la aparición de los primeros telescopios, los astrónomos comenzaron a rastrear el cielo y

encontraron que además de estrellas había objetos nebulosos, la mayoría de los cuales no son

visibles a simple vista. A medida que los telescopios se perfeccionaban, se descubrieron más

objetos nebulosos. Podríamos decir que la observación de éstos fue casual, ya que algunos

astrónomos los identificaron tan sólo para no confundirlos con otros objetos de su interés1.

Recién a principios del siglo XX surgió la Astronomía Extragaláctica, al reconocer la

existencia de sistemas estelares externos a la Vía Láctea. Como ya vimos en el Capítulo 5 los

cúmulos globulares son agrupaciones de estrellas muy compactas, cuya zona central es más

concentrada. Un típico cúmulo globular muestra una concentración de estrellas casi esférica,

cuya cantidad oscila entre 104 y 106 aproximadamente. Estos cúmulos son las reliquias mas

antiguas que podemos estudiar en detalle, por este motivo su estudio es tan interesante, ya

que han proporcionado un gran caudal de información que ayudó a resolver muchas

incógnitas acerca de la evolución estelar. Al ser los objetos más viejos de la galaxia

podemos por medio de ellos analizar la evolución estelar porque sus miembros son estrellas

nacidas simultáneamente pero con diferente masa, y son tan antiguos que estrellas con masas

tan bajas como la del Sol han evolucionado para convertirse en gigantes.

1 Charles Messier creó en 1784 el primer catálogo con este fin.


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El diagrama de Hertzsprung-Russell

Al observar estrellas de diferentes masas en distintos estadios de su evolución conviene

ordenarlas y clasificarlas según criterios accesibles a la observación. El diagrama de

Hertzsprung-Russell, llamado así en honor a sus creadores2, nos permite desentrañar la ley

de desarrollo estelar. Este diagrama relaciona dos parámetros: el color y la magnitud

absoluta, lo que equivale a una relación entre temperatura y luminosidad. El brillo observado

de una estrella se expresa por medio de su magnitud aparente. El ojo desnudo puede detectar

estrellas hasta la magnitud 6. Sirio A, la estrella más brillante del cielo, tiene magnitud

4.1− . Se utiliza una escala logarítmica y por convención, si los flujos de energía recibidos

desde dos estrellas son 1f y 2f , la diferencia de magnitud entre las mismas es:

( )211021 /log5.2 ffmm −=− (8.01)

Como el flujo de energía recibido desde una estrella es proporcional a su luminosidad e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, la diferencia de magnitudes de dos

estrellas idénticas a diferentes distancias está dada por:

( ) ( )211021

221021 /log5/log5.2 ddddmm =−=− (8.02)

La radiación que recibimos de una estrella se extiende más allá del espectro visible, y para

tener en cuenta esto los astrónomos diferencian la magnitud visual que tiene en cuenta el

brillo en el espectro visible, y la magnitud bolometrica3. Definiendo esta última como la

magnitud absoluta correspondiente a la estrella en cuestión medida a la distancia de 10

parcecs4 con un detector que responde a todo el espectro electromagnético, comparada con la

del Sol:

72.4)/(log5.2 10 +−=�

LLM B (8.03)

donde W104 26×=�

L es la luminosidad del Sol, y 4.72 es la magnitud absoluta del Sol.

2 El astrónomo danés Ejnar Hertzsprung quien lo diseñó originalmente en 1911 y el norteamericano Henry Norris Russell lo perfeccionó en 1913. 3 La magnitud bolométrica suele llamarse comúnmente magnitud absoluta y así lo haremos de aquí en más. 4 1 parsec = 1610086.3 × m = 3.26 años luz.


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Se define también la temperatura superficial efectiva de una estrella como la temperatura de

un cuerpo negro del mismo tamaño que aquel cuya luminosidad queremos conocer. Para una

estrella de luminosidad L y radio R:

424 ETRL σπ= (8.04)

Como dijimos la temperatura superficial está relacionada con el color de la estrella mediante

el espectro de la radiación de un cuerpo negro, pero generalmente se utiliza el parámetro de

color porque es una magnitud fácilmente observable por medio de filtros de color en el

telescopio con el cual se observa a la estrella. Para nuestros fines basta recordar que el color

es una medida de la temperatura superficial. La otra propiedad relacionada con la

temperatura es la absorción de las líneas espectrales. Cuando la radiación atraviesa la

fotósfera (la región superficial de donde proviene la mayor parte de la radiación detectada)

ciertas longitudes de onda características son absorbidas por los iones y átomos de manera

que el espectro contiene líneas oscuras de absorción, que permiten clasificar las estrellas de

acuerdo a su tipo espectral. Estos tipos se denotan con la secuencia de letras O, B, A, F, G, K

y M, la cual refleja una disminución de la temperatura superficial ya que la absorción de

líneas depende del grado de excitación e ionización de la fotósfera.

Ahora que sabemos relacionar los parámetros observables con los parámetros que nos

interesan, es decir luminosidad y temperatura superficial, podemos observar distintas

estrellas y construir un gráfico que relacione estas propiedades. En el diagrama de

Hertzsprung-Russell la luminosidad se representa en las ordenadas y la temperatura en las

absisas. En el diagrama se puede observar que la distribución de las estrellas no es uniforme,

sino que éstas se concentran en distintos sectores a los cuales se les llama grupos y se los

numera con números romanos (Figura 8.01). La mayoría de las estrellas se ubica en la

Secuencia Principal (V), que es una banda que cruza el gráfico desde las estrellas azules de

gran luminosidad (arriba a la izquierda) hasta las estrellas rojas de baja luminosidad (abajo a

la derecha). Por encima de la secuencia principal y hacia la derecha se ubican las Gigantes

(II y III) generalmente rojas y la Supergigantes (Ia y Ib). Finalmente en la parte inferior

aparecen las Enanas Blancas en menor cantidad.


65

Figura 8.01. El diagrama de Hertzsprung-Russell que relaciona la magnitud absoluta con la temperatura superficial para 22000 estrellas catalogadas. Los tipos espectrales O y B corresponden a temperaturas entre 5101× K y 5103× K, el tipo A entre 21075× K y 5101× K, el tipo F entre 6000K y 7500K, el tipo G entre 5000K y 6000K, el tipo K entre 3500K y 5000K, el tipo M menores que 3500K.

Como veremos, se puede hallar una relación entre la luminosidad y la masa que permite

deducir la masa de las estrellas de los distintos sectores. En la banda de la Secuencia

Principal se observan las estrellas de menor luminosidad, y más frías, de color naranja y rojo.

Su consumo más lento de combustible nuclear las ha dejado con suficiente hidrógeno para

permanecer en la secuencia principal prácticamente por una eternidad. Luego la Secuencia


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Principal se interrumpe al pasar a luminosidades altas. Las estrellas más masivas, o sea las

que se quemaron más rápido, de la línea superior, han consumido ya desde hace tiempo la

mayoría de su hidrógeno y se han transformado en Gigantes Rojas. Al hacer ésto se

apartaron de la secuencia media desplazándose hacia la parte superior derecha del diagrama,

y más tarde terminaron su combustible colapsando en Enanas Blancas o tal vez explotando

como supernovas. Observando los puntos donde se corta la secuencia principal, podemos

decir que las estrellas situadas por debajo de una determinada masa son de la Secuencia

Principal, mientras que en el dominio de las masas mayores, esta secuencia no está ocupada.

Esta observación ha proporcionado la clave final para comprender el desarrollo temporal de

las estrellas.

Ionización de átomos en las estrellas

En el Capítulo 7 se halló la ecuación de Saha para la ionización del hidrógeno, proceso que

es fundamental en el interior estelar. Aplicando estos resultados al caso del Sol podemos ver

algunos aspectos de su funcionamiento. Ya dijimos que podemos considerar que el Sol está

compuesto principalmente por hidrógeno con una densidad 33 m kg104.1 −×≈ρ a una

temperatura 6106×≈T K, entonces usando la ecuación (7.13) hallamos que

aproximadamente el 95% del hidrógeno está ionizado. Este cálculo no es exacto ya que si

bien los electrones y protones son pequeños y forman un gas ideal, el tamaño del átomo de

hidrógeno es comparable a la distancia de separación típica ( ) m10/ 103/1 −− ≈= Hmd ρ entre

las partículas a esta densidad. Por lo tanto los átomos interactúan con el gas y la probabilidad

de ionización crece. Podemos intentar extender nuestro razonamiento a la ionización de

átomos más pesados en el Sol. Aunque en estos materiales los electrones están ligados más

fuertemente, la ionización es casi completa porque las cantidades de átomos pesados son

pequeñas y están dispersos en la gran sopa de hidrógeno que es el Sol. Consideremos por

ejemplo, una pequeña cantidad de átomos de Carbono disueltos en el Sol, cuyo hidrógeno

está completamente ionizado de manera que 329m108/ −×≈≈ He mn ρ . Como el núcleo de


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Carbono tiene Z=6 su energía de ionización es unas Z2 = 36 veces mayor que la del átomo de

hidrógeno, por lo que tendremos que adaptar la ecuación de Saha para hallar el índice de

ionización para los átomos que hayan perdido sólo 5 electrones, el cual depende de la

concentración de electrones provista por la ionización del hidrógeno:

( )( ) 10

10

5

6 1580003621

≈≈×−

T

eC

C enn

n (8.05)

Como antes, este cálculo subestima el grado de ionización, pero no obstante indica que la

mayoría de los átomos están ionizados. Recordemos que las estrellas se clasifican de acuerdo

a su tipo espectral (O, B, A, F, G, K y M), clasificación que relaciona la composición

química con la temperatura superficial. Si conocemos la composición química, temperatura y

densidad de la atmósfera de una estrella podemos determinar el grado de ionización

utilizando la ecuación de Saha. En general, los elementos metálicos (Li, Na, Mg, Al, K, Ca,

etc) con una energía de ionización aproximada de 5 eV se encuentran mayoritariamente

ionizados. Elementos como H, C, N, O, F, P, S, Cl, Ar, con energías de ionización entre 10 y

20 eV están parcialmente ionizados y los gases nobles como He y Ne, con energías de más

de 20 eV sólo algo ionizados aún en las atmósferas estelares mas calientes. La situación

general se puede describir considerando los elementos más representativos de cada tipo:

Sodio (Na), 14.5=Iε eV, T

e

en

T

n

n 600002/321

Na

Na 10 −≈+

Hidrógeno (H), 6.13=Iε eV, T

e

en

T

n

n 1580002/321

H

H 10 −≈+

Helio (He), 6.24=Iε eV, T

e

en

T

n

n 2860002/321

He

He 10 −≈+

(8.06)

Las distintas exponenciales en (8.06) causan que el grado de ionización de cada elemento sea

muy diferente, en el caso del Sol con una temperatura superficial de 6000K tenemos:

710H

H

Na

Na

n

n

n

n ++ ≈ y 1010−++ ≈H

H

He

He

n

n

n

n (8.07)

La ionización de los elementos metálicos juega un papel central en la atmósfera de las

estrellas. Como podemos observar en (8.07) la cantidad de Sodio ionizado es muy superior a


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la del hidrógeno ionizado y esto compensa la relativa escasez de Sodio con respecto al

hidrógeno en la atmósfera del Sol, causando que a pesar de que la materia estelar está

compuesta principalmente de hidrógeno y Helio, la mayoría de los electrones de la atmósfera

estelar proviene de la ionización de elementos metálicos como el Sodio. Es más, el grado de

ionización del hidrógeno y el Helio dependen de la concentración de estos electrones libres.

Como la densidad de electrones libres en el Sol es 319m10 −≈en de (8.06) obtenemos que:

3

Na

Na 10≈+

n

n, 4

H

H 10−≈+

n

n, 14

He

He 10−≈+

n

n (8.08)

Queda claro que en la atmósfera solar el hidrógeno está parcialmente, el Helio muy poco y el

Sodio mayormente ionizado. El grado de ionización es alto en las atmósferas estelares.

Figura 8.02. Grado de ionización del Na, H y He en función de la temperatura para la concentración de electrones solar típica ne=1019m−3.

Gra

do

de

ion

izac

ión

1

0.5

0 2000 3000 4000 5000 6000

None

Sodio

Gra

do

de

ion

izac

ión

1

0.5

0 5000 7000 9000 11000 13000

None

Hidrógeno

Temperatura [K]

Gra

do

de

ion

izac

ión

1

0.5

0 12000 14000 16000 18000

None

Helio


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Utilizando (7.12) y (8.06) podemos calcular el grado de ionización en función de la

temperatura para distintos elementos. Como se observa en la Figura 8.02, para la

concentración de electrones del Sol ( 319m10 −=en ) el 50% del Sodio está ionizado a los

3700K, el 50% del hidrógeno está ionizado a los 9000K y el 50% del Helio esta ionizado a

los 15500K. Estas consideraciones permiten explicar la relación entre la temperatura

superficial y la clasificación espectral. Ésta se basa en la observación de las líneas de

absorción del espectro de la estrella. Por ejemplo la observación de líneas de absorción de la

serie de Balmer muestra que la temperatura es tal que hay átomos de hidrógeno en el nivel

2=n , que pueden excitarse a otros niveles. Pero la presencia de átomos en este nivel solo es

posible en determinado rango de temperaturas ya que si la atmósfera está muy caliente todos

los átomos están ionizados y si está muy fría los átomos están en el estado fundamental o

formando moléculas. Este análisis, entonces, indica que la absorción de estas líneas sólo es

posible en estrellas de los grupos A y F donde las temperaturas están comprendidas entre los

11000K y los 6000K. Este tipo de consideraciones aplicadas a las líneas de absorción de

otros elementos permite, por ejemplo, afirmar que el espectro de las estrellas de los grupos O

y B están caracterizados por las líneas de absorción debidas al He¯, que no aparecen en

estrellas mas frías. Las líneas debidas a la presencia de metales neutros son características

del espectro de estrellas de los grupos G, K y M. Las líneas espectrales debidas a la

absorción de fotones con energías particulares se ven siempre sobre un fondo opaco y

luminoso producido por la absorción y emisión de fotones con un continuo de energías en la

región visible del espectro electromagnético. Por ejemplo, los electrones absorben y emiten

fotones al acelerarse cuando pasan cerca de iones. Estos procesos se conocen como

bremsstrahlung y bremsstrahlung inverso, y son particularmente importantes en las

atmósferas calientes. Pero en las atmósferas frías se produce otro proceso de interés: la

continua producción y destrucción de iones H¯. Este último es un protón ligado a dos

electrones, pero el núcleo tiene carga +1, por lo que el segundo tiene una baja energía de

ligadura, tan solo 0.75 eV. Entonces los fotones que son emitidos y absorbidos tienen una

longitud de onda de 1650nm. La reacción se puede escribir:


70

HH +⇔+ −− eγ (8.09)

Sin embargo, el gas de hidrógeno absorberá o emitirá fotones de esta forma si hay electrones

libres, de modo que una masa de hidrógeno caliente se puede volver opaca en presencia de

electrones libres, una pequeña cantidad de elementos metálicos fácilmente ionizables puede

proveer estos electrones libres. Para ver esto último supongamos que una cantidad de estos

elementos, que notaremos X, están parcialmente ionizados. La concentración de estas

partículas y su grado de ionización están dados por:

[ ]++ +==XXXXe nnnn χ (8.10)

Si suponemos que todos estos elementos metálicos tienen la misma energía de ionización del

Sodio, la ecuación de Saha nos indica que:

Te

X

X eT

n 60000

2/3212 10

1 ≈−χ

χ (8.11)

Por lo tanto el equilibrio dinámico de la reacción está determinado por la concentración de

electrones provistos por la ionización de X. Podemos escribir entonces la ecuación de Saha

para el índice de ionización del hidrógeno:

Te eT

n

n

n 8700

2/321H

H

10≈−

(8.12)

donde ne queda determinado por (8.10) y (8.11). Para ilustrar el comportamiento podemos

graficar las ecuaciones (8.11) y (8.12). La fracción Xχ de átomos metálicos ionizados y la

concentración de electrones libres crecen con la temperatura hasta que todos los átomos X se

encuentran ionizados a unos 4000K. La concentración de H¯ refleja este cambio de la

abundancia de electrones libres ya que crece con la temperatura mientras encuentre

electrones libres, pero disminuye cuando ne se aproxima al nivel de saturación y la

temperatura se torna demasiado alta para que el ión H¯ sobreviva.


71

Figura 8.03. Grado de ionización de los elementos metálicos e índice de ionización del hidrógeno para una concentración de electrones libres inicial de ne=1019m−3.

Como muestra la Figura 8.03 a la temperatura de 3000K se encuentran abundantes electrones

libres e iones H¯ en equilibrio según la reacción (8.09) donde se emite y absorbe radiación

visible. Si la temperatura es menor que ésta el número de electrones libres decrece y el

número de iones H¯ en equilibrio con esos electrones cae abruptamente. Como resultado el

gas se vuelve oscuro y opaco. Esto implica que las temperaturas superficiales observadas son

siempre mayores a 3000K. Este resultado tiene una implicación para la evolución de una

estrella que ha abandonado la Secuencia Principal. Al abandonar esta fase la luminosidad

aumenta y la temperatura superficial decrece, entonces las estrellas se mueven hacia arriba y

hacia la derecha en el diagrama H-R5. Como la temperatura superficial no puede ser menor

que 3000K ya que si no dejaría de emitir radiación visible, la estrella sólo puede incrementar

5 Diagrama de Hertzsprung-Russell que en adelante escribiremos así.

2 3 4 5

None

1 0.5

0

XX

Temperatura [10−3 K]

2 3 4 5

4

3

2

1

0 None

n H¯/

nH ×

107

Temperatura [10−3 K]


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su luminosidad si se expande a temperatura superficial casi constante. Durante esta fase la

estrella entra en la región de las llamadas Gigantes. Ésta, y otras etapas de una estrella con la

masa del Sol se muestran en el diagrama H-R de la Figura 8.04.

Figura 8.04. El diagrama H-R para una estrella de la masa del Sol. Las flechas indican el sentido del desplazamiento a lo largo del tiempo.

Por otro lado vimos en el Capítulo anterior que cuando la temperatura sube lo suficiente se

produce la creación de pares electrón-positrón. Ya vimos que la concentración de electrones

está dada por la ionización de la materia estelar, y que en la región central de una estrella que

ha evolucionado solo quedan rastros de hidrógeno sin quemar. De acuerdo con la ecuación

(7.17) la concentración de electrones es aproximadamente:

He m

n2

ρ≈ (8.13)

A modo de ejemplo, consideremos 37 m kg10 −≈ρ y 910≈T K. Entonces nos queda

333m103 −×≈−en , y usando (7.20) podemos calcular la concentración en equilibrio de

electrones y positrones:

Temperatura superficial [K]

Lu

min

osi

dad

[L�]

Enana blanca

Secuencia principal (enanas)

Subgigante

Gigante roja

Súpergigante roja

Nebulosa planetaria

Agigantamiento asintótico


73

100

−

+ ≈ ee

nn (8.14)

Por otro lado cuando la densidad es elevada y los electrones están degenerados como ocurre

en el centro de estrellas muy masivas a temperaturas elevadas y densidad comparativamente

bajas, se generan neutrinos según (7.21). Los neutrinos producidos pueden escapar muy

fácilmente de la estrella proveyendo así un mecanismo muy efectivo para la pérdida de

energía. Este mecanismo es muy importante en estrellas cuyos núcleos alcanzan 910≈T K

con densidades para las cuales los electrones no están muy degenerados (por ejemplo

menores a 39 m kg10 − ). Aunque este proceso recibe el nombre de enfriamiento por neutrinos,

en realidad no lleva al enfriamiento. De hecho estimula la tasa de fusión manteniendo

constantes las condiciones dentro de la estrella, es decir acelera el ritmo de evolución de la

estrella.

En las estrellas la fusión no se produce debido a que la temperatura interna sea lo

suficientemente alta como para que los núcleos atómicos adquieran energía suficiente para

pasar la barrera de Coulomb. Por ejemplo a la temperatura de 107K, kT es del orden de

1KeV muy por debajo de los MeV requerida por la (7.24). La fracción de núcleos con

energías del orden de los MeV es aproximadamente 1000−e , pero la fusión se produce por

efecto túnel cuando los núcleos se aproximan y ocurre con una tasa proporcional a la

probabilidad de penetración dada por (7.28). Veamos un ejemplo para dos protones con

temperatura del orden 107K, según (7.27) KeV 493≈GE , 1≈kT KeV. Según (7.28) la

probabilidad de penetración es del orden de 22−e , y sin duda es baja lo cual nos indica que el

ritmo de fusión nuclear es bajo causando que las estrellas tarden millones de años en

consumir su combustible. Por ejemplo cuando una estrella comienza a fusionar hidrógeno, el

proceso comienza por vía de la cadena protón-protón descripta por (7.40). La característica

esencial de esta reacción es su lentitud, de hecho es tan lenta que su sección eficaz no puede

ser medida en laboratorio. Pero valores teóricos para el factor S de la ecuación (7.39) lo

estiman en 22108.3 −× KeV barns, con este valor y las ecuaciones (7.33) y (7.36) es posible

calcular la vida media del protón antes de una fusión. Para el caso del Sol podemos estimar


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que en su núcleo 61015×=T K, 35 m kg10 −=ρ y 5.01 =X ; con lo que calculamos

3311 m103/ −×≈= Hp mXn ρ y su ritmo de fusión es 3113 ms105 −−× . Los cual indica que un

protón en el centro del Sol puede, en promedio, deambular por 9109× años antes de

fusionarse con otro protón. Estos tiempos enormes fijan la escala temporal de la fase de las

estrellas en la que queman hidrógeno. El porcentaje de las veces que se dan las tres ramas de

la cadena protón-protón (ver Figura 7.03) nos permite calcular la energía liberada por el Sol

con este proceso:

157.2515.02/2.2685.0 =×+× MeV (8.15)

Combinando esto con el ritmo estimado de la reacción vemos que el Sol produce

3m W 120 − .

Es útil contar con una expresión que nos de la tasa de producción de energía en función de la

temperatura, densidad y fracción de masa del hidrógeno. Si usamos la expresión (7.36) con

EG = 493 KeV para temperaturas cercanas a la del centro del Sol, el ritmo de fusión queda

proporcional a T4 y a np2 o sea 22

1 ρX . Si tomamos como referencia al Sol debemos

normalizar el ritmo de la reacción a 3m W 120 − con el T, ρ y X1 solares, pudiendo escribir:

34221

37 m W 105.9 −−− ×= TXpp ρε (8.16)

En las estrellas de la secuencia principal que tienen una masa comparable con la del Sol la

combustión del hidrógeno está dada principalmente por la cadena protón-protón. Por otro

lado la cadena Carbono-nitrógeno también se produce en el interior de nuestro Sol. En éste

caso el ritmo de producción de energía esta controlado por la reacción (7.42). La vida media

del núcleo de nitrógeno en el centro del Sol se puede estimar si suponemos que

35 m kg10 −≈ρ , 61015×≈T K, 5.01 ≈X y 3.3≈S KeV barns. Sustituyendo estos valores en

las ecuaciones (7.33) y (7.36) resulta que la vida media del 14N es de aproximadamente

8105× años. El ritmo de fusión por unidad de volumen depende, por supuesto, de la

abundancia de nitrógeno en el centro del Sol la cual se estima en 0.6%, por lo que el ritmo de

fusión es más o menos 1312 sm106.1 −−× , de modo que este ciclo no es importante para

nuestra estrella, donde el 98.4% de la producción de energía proviene de la cadena protón-


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protón. La etapa de combustión del hidrógeno en el Sol dura un tiempo típico de 1010 años.

En las estrellas más masivas de la secuencia principal la temperatura no es muy superior a la

del Sol pero su luminosidad es mucho mayor, demasiado alta para ser explicada por la

dependencia T4 de la cadena protón-protón. Un ejemplo de este tipo de estrella es Sirio A, y

para explicar su luminosidad se debe invocar el ciclo Carbono-nitrógeno. Como el Carbono

es escaso dentro de la estrella debe ser reciclado continuamente. Esta cantidad de Carbono

proviene de la combustión del Helio en generaciones anteriores de estrellas. Si calculamos la

EG de la reacción (7.42) y usamos la ecuación (7.36) encontramos que la tasa de fusión es

proporcional a T18, lo cual explica la luminosidad de estas estrellas ligeramente más

calientes. Este ciclo juega un papel importante en la alquimia estelar ya que durante su

desarrollo se producen 13C, 14N y 15N además del He que aparece cada vez que termina un

ciclo, pero en un momento cualquiera dentro de una estrella hay ciclos empezados en

cualquier estadio de su evolución por lo que encontraremos una cantidad de estos elementos,

y puesto que la reacción más lenta es la (7.42) el elemento más abundante será el 14N. Para

estrellas masivas el ritmo de fusión es mucho mayor y la etapa de quemar hidrógeno dura

aproximadamente 106 años, muchísimo menos que para nuestro Sol.

Como el producto de la fusión del hidrógeno es el Helio, al agotarse el hidrógeno el núcleo

de la estrella queda poblado de Helio, y al irse agotando el hidrógeno la estrella abandona el

equilibrio hidrodinámico. Veamos por qué. Ya que la energía liberada por la fusión del

hidrógeno depende de la fracción de masa (X1) del mismo, cuando ésta disminuye

apreciablemente la energía producida también disminuye y llega a un nivel en el cual ya no

puede compensar la energía radiada de modo que el núcleo no tendrá mas remedio que

contraerse, como ya explicamos. Durante la contracción, según (4.02) y (4.03), la mitad de la

energía gravitatoria liberada escapa como radiación y la otra aumenta la temperatura, lo que

causa que se comience a fusionar el hidrógeno que rodea al núcleo incrementando la presión,

y dando como resultado que las capas externas se expanden. Parte del Helio generado en las

capas externas se deposita en el núcleo volviéndolo mas denso y caliente. Si la estrella es

suficientemente masiva (�

MM 5.0> ) el núcleo adquiere la temperatura y la presión


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necesaria para que su componente principal, el Helio, comience a fusionarse dando Carbono.

Si la materia del núcleo no está degenerada, esta nueva reacción causa que la estrella se

expanda y se enfríe, con lo que el ritmo de fusión disminuye y la estrella se convierte en una

gigante roja, con un núcleo formado principalmente por Carbono y Oxígeno. El Helio se

quema a su alrededor y más lejos del núcleo se quema el hidrógeno remanente. Por otro lado

si la materia del núcleo está degenerada el exceso de energía producido por la fusión del

Helio produce la expansión del sistema y como los electrones tienden a quedar menos

localizados, debido al principio de incerteza su energía cinética disminuye, lo cual sin

embargo no tiene demasiada influencia sobre la alta temperatura. El ritmo de fusión se

vuelve descontrolado y se produce una liberación explosiva de energía. Sólo una parte de

ésta se escapa por radiación, y la mayoría se consume en sacar a los electrones de su estado

degenerado, de resultas de lo cual el núcleo se expande y el ritmo de fusión se controla. Esto

ocurre en estrellas con la masa del Sol. Si la estrella tiene una masa superior (�

MM 8> )

puede pasar a quemar Carbono para formar Ne, Na y Mg. Si la temperatura excede los 109K

comienza a intervenir la reacción (7.22), la desintegración de núcleos juega un papel

importante durante las etapas avanzadas de la producción de núcleos en estrellas masivas. Si

la masa es mayor aun (�

MM 11> ) se alcanzan temperaturas del orden de 9103× K por lo

que pueden fusionar el silicio para producir hierro, que es la fusión más pesada que tiene

lugar en una estrella. El destino final de la estrella depende mucho de la masa que quede en

el núcleo cuando la fusión ya no puede detener el colapso gravitacional.

En el caso de una estrella con la masa del Sol, cuando se agota el hidrógeno y el Helio

central termina la etapa de fusión en su núcleo y éste queda formado por C y O, con una

envoltura de H y He. Al cesar la fusión dentro del núcleo, éste se contrae, y la liberación de

energía gravitatoria eleva la temperatura causando que el ritmo de fusión del Helio en la

envoltura aumente, por lo que ésta se expandirá para formar una nebulosa planetaria. Por

otro lado el núcleo continúa su colapso pero no alcanza temperaturas suficientes como para

fusionar el Carbono. Agotadas las reservas de combustible nuclear, sólo el colapso puede

seguir produciendo energía, y dicho colapso prosigue hasta que en cualquier punto de la


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estrella se alcanza el equilibrio entre la gravedad y la presión de los gases estelares, cuando

bajo el extraordinario peso de los gases exteriores, los átomos se dividen en sus

componentes, perdiendo todos sus electrones, y el gas se degenera. Los electrones libres son

más rápidos cuanto mayor es la densidad y ejercen una presión que impide el colapso de la

estrella. Ésta se reduce a proporciones mínimas, con un radio del orden del de la Tierra; si

esto ocurre la estrella se convierte en una enana blanca.

Llegado este punto conviene sintetizar y ampliar lo que sabemos de las ecuaciones que

determinan la evolución estelar, para poder explicar con claridad la estructura interna de

sistemas complejos como las enanas blancas.

El modelo de Clayton

Las ecuaciones fundamentales que encontramos hasta ahora son cuatro (2.01), (2.05), (6.66)

y (6.68):

24)( rrdr

dm πρ= (2.01) 2

)()(

r

rmGr

dr

dP ρ−= (2.05)

)(4 2 rr

dr

dL επ= (6.66) [ ] 23 4)(4

)()()(3

rrTac

rLrr

dr

dT

rad πκρ−=

(6.68)

El problema de la evolución estelar se reduce al de hallar la solución de este sistema de

cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: P(r), m(r), T(r), L(r). Para encontrarla necesitamos

cuatro condiciones de contorno de las cuales dos son obvias: m(0)=0 y L(0)=0, pero las otras

dos dependen del modelo estelar que usemos. Comentaremos las consideraciones del modelo

de Clayton6, el cual supone una forma para la presión. Tengamos en cuenta que en el centro

de una estrella la presión es mucho mayor que la presión media, por otro lado la condición

de equilibrio hidrostático impone fuertes restricciones sobre la presión. Cerca del centro

donde r es pequeño podemos aproximar la densidad por un valor constante Cρ , por lo tanto

la masa encerrada m(r) es aproximadamente 3/4 3rCπρ y la ecuación (2.05) se convierte en:

6 Propuesto por Clayton en 1986.


78

3

42 πρ rGdr

dPC−= (8.17)

Cerca de la superficie, donde r encierra casi toda la masa, podemos aproximar m(r) por la

masa total de la estrella, por lo que tenemos que (2.05) se vuelve:

2

)(

r

rGM

dr

dP ρ−= (8.18)

Entonces el equilibrio hidrostático impone que el gradiente de presiones es cero en el centro

de la esfera, puede crecer linealmente muy cerca del centro pero vuelve a ser nulo en la

superficie. Se propone entonces que el gradiente de presiones tiene la forma:

a

r

CreGdr

dP2

2

3

4 −−= ρπ

(8.19)

donde a es una longitud característica a determinar. La expresión (8.19) es una buena

aproximación del gradiente de presión para valores pequeños de r, pero es bastante grosera

para r grandes. Esto último mejora si el parámetro a es pequeño comparado con el radio R de

la estrella. Este parámetro fija también el valor máximo de drdP/ a una distancia

2/ar = del centro de la estrella.

Figura 8.05. Variación típica del gradiente de presión dentro de una estrella.

Integrando la ecuación (8.19) obtenemos la expresión de la presión:

Distancia al centro r

Gra

die

nte

de

pres

ión

d

P/d

r

None


79

−=

−−2

2

2

2

22

3

2)( a

R

a

r

C eeaGrP ρπ (8.20)

Si calculamos la masa encerrada en una esfera de radio r combinando (2.01) y (2.05)

tenemos:

dPrdrrGm 44)( π−= (8.21)

Integrando ambos miembros de la igualdad y reemplazando la expresión hallada de la

presión podemos obtener:

)(3

4)(

3

xr

rm CΦ= ρπ (8.22)

con arx /= y:

( ) 22

2236''6)( 24

0

'52 xx

x exxdxexr −− +−−==Φ ∫ (8.23)

A partir de la ecuación (8.22) podemos encontrar la densidad:

)(4

1)(

23

2 x

ex

dr

dm

rr

x

C Φ==

−

ρπ

ρ (8.24)

Para hallar la temperatura necesitamos la ecuación de estado del material. Por ejemplo si

suponemos que la estrella está sostenida por un gas ideal usando nkTP = y la (1.16) nos

queda:

)(

)()(

r

rP

k

mrT

ρ= (8.25)

con el m definido según (1.16). El modelo se simplifica si la masa de la estrella está

concentrada hacia el centro, de manera que la densidad central sea mucho mayor que la

densidad media. En este caso a es muy pequeño comparado con R, y los términos

proporcionales a 22 / Rae− se pueden despreciar. La masa total queda:

3

64)/(

3

4 33 aaR

aM CC ρπρπ ≈Φ= (8.26)

Entonces la densidad media de la estrella es aproximadamente ( ) CRa ρ3/6 . Poniendo

0=r en (8.20) obtenemos la presión central:


80

3/43/23/1

22

361

3

2 2

2

Ca

R

CC GMeaGP ρπρπ

≈

−=

− (8.27)

Con la ayuda de (6.26) podemos expresar a en términos de M y ρ :

3/43/23/1

36 CC GMP ρπ

≈ (8.28)

Esta ecuación predice una relación entre la presión y la densidad central de la estrella que se

espera sea válida para cualquier estrella homogénea en la que la masa se concentra hacia el

centro.

Masa mínima de una estrella de la secuencia principal

En la práctica la mayor parte de las estrellas en su etapa inicial tienen una masa entre 0.1 M�

y 50 M�. Este rango tan acotado está determinado por la condición de equilibrio. La masa de

la protoestrella debe ser suficiente para alcanzar la temperatura de fusión del hidrógeno. Pero

inicialmente la energía irradiada es suplida por la contracción gravitatoria, la presión es baja

y en una primera aproximación los electrones y los iones se comportan como un gas ideal

clásico de modo que la presión y la temperatura centrales cumplen la relación:

m

kTP CC

C

ρ= (8.29)

Si igualamos esta presión con la presión necesaria para soportar el sistema (8.28) vemos que

la temperatura central durante el período de contracción lenta es:

3/13/23/1

36 CC MmGkT ρπ

≈ (8.30)

La temperatura es mayor si la densidad central crece, y seguirá creciendo hasta que una

buena parte de la energía se genere por fusión, o que los electores en el centro se vuelvan

degenerados. En el primer caso la fusión nuclear es la fuente de energía y detiene la

contracción gravitacional. En el segundo caso los electrones que ocupan niveles de energía

más bajos de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli, se oponen a la compresión y

soportan el sistema. Por lo tanto la protoestrella no se convertirá en estrella si los electrones


81

se degeneran antes de encenderse la fusión. Para estimar la temperatura máxima que se

alcanza en el centro, vamos a suponer que todos los electrones están degenerados y los iones

son clásicos. En este caso la presión central es:

CiCNRC kTnnKP += 3/5 (8.31)

Donde KNR esta dada por (6.51). Imponiendo la condición de equilibrio hidrostático

igualamos la presión dada por la ecuación (8.31) a la necesaria para soportar la masa M:

3/1

3/13/23/1

36

−

≈H

CNRCHC m

KMGmkTρρπ

(8.32)

Esta ecuación nos da la temperatura central de una masa de hidrógeno que se contrae durante

la etapa en que los electrones están degenerados en el centro y los iones son clásicos. A

diferencia de (8.30) tiene dos términos, el primero proviene de los iones clásicos y el

segundo de los electrones degenerados y se vuelve importante a altas densidades. Con la

ecuación (8.32) podemos calcular la temperatura en el centro en función de Cρ , ver Figura

8.06.

Figura 8.06. Temperatura de una nube de hidrógeno en contracción con masa M

�/16.

20000300004000050000600007000080000

160

170

180

1906108.1 ×

6106.1 ×

6104.1 ×

6102.1 ×

6100.1 × 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

TC [

K]

ρC [kg m−3]


82

En la Figura 8.06 podemos observar con claridad que, como esperábamos, la temperatura

crece con la densidad, pero cuando la presión debida a los electrones degenerados se torna

importante crece mas lentamente; finalmente a altas densidades predomina la presión de los

electrones y CT deja de crecer. Evidentemente )( CCT ρ tiene un máximo, que podemos

encontrar fácilmente:

[ ] 3/43/823/2

max 436M

K

mGkT

NR

HC

≈ π (8.33)

Podemos encontrar también la condición para que una protoetrella comience a fusionar

hidrógeno igualando la temperatura central a la mínima requerida para la ignición:

( ) 4/3

4/3

3/82

2/1

min

436ign

H

NR kTmG

KM

≈π

(8.34)

Si tomamos la temperatura de ignición del hidrógeno K105.1 6×≈ignT , o sea el 10% de la

temperatura central del Sol, resulta que la masa mínima de una estrella es de 0.05 M�.

Cálculos mas precisos indican que esta masa es de 0.08 M�.

Masa máxima de una estrella de la secuencia principal

Como vimos anteriormente el equilibrio hidrostático se vuelve inestable si la presión que

contrarresta la gravedad proviene de partículas relativistas, como por ejemplo fotones. Esto

impone un límite superior para la masa de una estrella de la secuencia principal. Para hallar

este límite supondremos que los electores, iones y fotones en el centro de la estrella están en

equilibrio térmico. La presión central es la suma de la presión de los electrones e iones, que

llamaremos gP y la presión de radiación ejercida por los fotones rP , entonces grC PPP += .

Anteriormente probamos que a altas temperaturas y bajas densidades los electrones e iones

forman un gas ideal clásico, por lo que:

CC

g kTm

Pρ= (8.35)

Como vimos en el Capítulo 7 los fotones forman un gas de Bosones y podemos usar la

relación (6.57):


83

4

3 Cr Ta

P = (8.36)

Introducimos ahora el parámetro X para indicar la fracción de la presión total que

representan las dos contribuciones de la presión de manera que:

Cg XPP = y Cr PXP )1( −= (8.37)

Eliminando TC en la combinación de las ecuaciones (8.35) y (8.36) encontramos:

3/43/1

4

)1(3

−=m

k

X

X

aP C

C

ρ (8.38)

Ahora podemos igualar esta presión con la requerida para soportar la estrella dada por el

equilibrio hidrostático. Obtenemos:

3/43/1

43/2

3/113

36

−≈

m

k

X

X

aGM

π (8.39)

Podemos ver que la masa determina la fracción X, la cual decrece cuando aumenta M, por lo

que la presión de radiación se vuelve mas importante cuando la masa es grande. Si la estrella

es muy masiva rP es importante y se vuelve inestable. Usando la ultima relación podemos

hallar una cota máxima para la masa de una estrella, por ejemplo si pedimos que la presión

de radiación no supere el 50% de la presión total en el centro de la estrella, de esta manera X

no debe superar el valor 0.5. Suponiendo que 61.0=m uma, resulta que la masa no puede ser

superior a 100 M�. La observación indica que en la secuencia principal es muy poco

frecuente encontrar estrellas que superen las 50 M�.

Unidad fundamental de masa estelar

Los límites máximo y mínimo para la masa de una estrella están impuestos por el efecto

desestabilizador de la presión de radiación y por la necesidad de la fusión nuclear,

respectivamente. Este rango de masas es sorprendentemente angosto, típicamente de 0.1 M�

a 50 M� y como vemos usar la masa del Sol como unidad de masa resulta cómodo. Pero

queremos expresar los resultados en función de constantes fundamentales de la naturaleza,

por lo que buscaremos una unidad de masa fundamental. Introduzcamos entonces una


84

medida adimensional de la energía gravitatoria entre dos nucleones separados a la distancia

fundamental cmH/h (que a menos del factor 1/2π es igual a la longitud de onda Compton

del protón), ponemos mH porque la masa del átomo de hidrógeno es casi igual a la masa de

los nucleones (protón y neutrón). Si esta energía la expresamos en unidades de la energía en

reposo de un nucleón 2cmH obtenemos:

392

109.5 −×==c

GmHG

hα (8.40)

Este pequeño número Gα será nuestra medida de la fuerza gravitatoria entre nucleones, y es

análogo a la constante de estructura fina α de la fuerza electromagnética.

La ecuación (8.34) que determina la masa mínima de una estrella de la secuencia principal

contiene la constante NRK definida según (6.51) y depende de la constante de Planck y la

masa del electrón que son constantes fundamentales de la naturaleza. Si usamos que

6105.1 ×≈ignT K podemos escribir la masa mínima como:

HG mM 2/3min 03.0 −= α (8.41)

Para escribir la masa máxima volveremos a considerar que el límite lo encontramos

considerando que la mitad de la presión en el centro proviene de la radiación. Por lo que

reemplazando 5.0=X en (8.39) y suponiendo 61.0=m uma encontramos que podemos

expresar la masa máxima como:

HG mM 2/3max 56 −≈ α (8.42)

Con estos resultados podemos definir la masa estelar fundamental *M como:

HG mM 2/3*

−= α (8.43)

y la usaremos como escala de masa de las estrellas de la secuencia principal. Con lo cual

podemos decir que una protoestrella con masa *MM << no conseguirá fusionar su

hidrógeno por lo que no se convertirá en una estrella, una con *MM ≈ será estable y tendrá

una “larga vida”, y una con *MM >> será inestable debido a la presión de radiación. La


85

masa del Sol era una buena escala de masa estelar por eso no nos debe sorprender que sea

comparable con la masa estelar fundamental:

�MM 85.1* = (8.44)

Utilizando esta unidad de masa es muy fácil saber la cantidad de nucleones de una estrella

típica, este número es:

572/3** 102×=== −

GHm

MN α (8.45)

9. Las enanas blancas

86

9. LAS ENANAS BLANCAS

Reseña histórica

La historia de las enanas blancas comienza en 1844, cuando Friedrich W. Bessel vio que la

imagen de Sirio, la estrella más brillante de nuestro firmamento, fluctuaba. Bessel llego a la

conclusión de que Sirio está acompañada por otra estrella oscura que, al orbitar, tira de ella,

generando una variación ondulante de su posición en el cielo. Bessel no vio la estrella

oscura, pero diecinueve años después Alvan Clark localizó la compañera oscura de Sirio

mientras probaba unas lentes nuevas de 18 pulgadas. Pero había algo extraño en la

compañera de Sirio. En 1910 Henry Norris Russell percibió que esta estrella no se ajustaba a

la secuencia principal, y tal excepción le hizo sospechar que la correlación que había

descubierto entre el brillo superficial y la densidad de las estrellas fuera errónea. En los siete

años siguientes se descubrieron dos estrellas excepcionales del mismo tipo. Normalmente,

las estrellas de baja luminosidad habrían de ser de color rojo pero la compañera de Sirio

ardía al rojo blanco. La única explicación de su brillo era que fuera extremadamente

pequeña. Pero si era tan pequeña no tendría masa suficiente como para provocar en una

estrella tan grande como Sirio el movimiento observado. Una solución a este dilema era

suponer que la compañera de Sirio era ciertamente muy pequeña pero estaba compuesta de

materia 3.000 veces más densa que la de las estrellas ordinarias. Dicha solución parecía un

disparate, pues en las primeras décadas del siglo XX no se sabía que existiese una forma tan

densa de materia. Para resolver el problema de la compañera de Sirio habría que esperar a

que se formulara la teoría cuántica en 1927 y a las investigaciones que realizó en 1930 un

indio de diecinueve años, Subrahmanyan Chandrasekhar1. Partiendo de los trabajos previos

que había realizado en Inglaterra Ralph H. Fowler, que demostraban que cuando una estrella

agota su combustible nuclear tiene que colapsar, Chandrasekhar vio en que se convertiría: en

una nueva forma de materia superdensa que resistiría el colapso gravitatorio, siempre que su

1 Quien obtuvo el Premio Novel en 1983 por haber formulado la teoría de los estadios tardíos de la evolución de estrellas masivas.


87

masa total no fuera demasiado grande. Hoy los astrónomos han localizado ya más de

trescientas enanas blancas.

Relación entre la masa y la densidad central

Explicaremos la estructura de las enanas blancas suponiendo que éstas se encuentran

sostenidas únicamente por la presión de un gas de electrones completamente degenerados.

Comenzaremos por obtener la relación entre la masa y la densidad central. La densidad de

electrones en el centro de la estrella está dada por:

H

cee m

Ynρ= (9.01)

donde Ye es el número de electrones por nucleón, que de acuerdo con la ecuación (7.17) es

( ) 2/1 1XYe +≈ . Supongamos que la estrella está soportada por un gas de electrones

degenerado no relativista, de modo que la presión está dada por (6.19), en la cual podemos

reemplazar (9.01) para obtener:

3/5

3/5

==

H

ceNReNR m

YKnKP

ρ (9.02)

Por otro lado, según el modelo de Clayton para materia de alta densidad la presión necesaria

para soportar a la estrella es aproximadamente ( ) GM c3/43/13/2 36/ ρπ . Podemos igualar esta

presión a (9.02) y despejar cρ :

32

*

1.3

≈

h

cm

M

M

Y

m e

e

Hcρ (9.03)

Aquí hemos usado el valor de KNR dado por (6.51), *M es la masa fundamental (8.43) y M la

masa de la enana blanca. Estas consideraciones se hicieron pensando que el gas es no

relativista pero como vimos en el Capítulo 6 un gas de Fermiones se vuelve relativista

cuando la densidad de electrones es grande comparada con ( )3/ hcme , por eso la hipótesis no

relativista cae cuando ne es grande en comparación con 3)//( cmhm eH . Por lo tanto la

ecuación (9.03) vale cuando M es pequeña con respecto a *M . Por ejemplo consideremos


88

una enana blanca con masa igual a 0.4M�; la densidad central que predice (9.03) es

38 m kg104.5 −× , y para esta densidad la energía de Fermi de los electrones es 0.19mec2 por lo

que considerar el modelo no relativista está en el límite de lo aceptable. Pero de ninguna

manera será una buena aproximación para masas mayores a 0.4M�, pues entonces no

podremos usar la aproximación no relativista. Si tenemos en cuenta estos efectos la densidad

es mayor que la indicada por (9.03) y crece más rápidamente que M2.

Para estudiar el caso ultra-relativista procedemos de igual modo que antes, pero tomando la

presión dada por (6.50) en la cual podemos reemplazar (9.01) para obtener:

3/4

3/4

==

H

ceUReUR m

YKnKP

ρ (9.04)

donde KUR está dado por (6.51). Igualando esta expresión a la presión necesaria para soportar

la estrella llegamos a que:

3/43/23/13/4

36 cH

ceUR MG

m

YK ρπρ

≈

(9.05)

En la fórmula (9.05) podemos la ver que existe una masa límite para la cual la densidad

central es muy grande comparada con 3)//( cmhm eH , de hecho tiende a infinito. Esta masa se

denomina masa de Chandrasekhar, y está dada por:

43.436

2/322/1

≈

≈G

K

m

YM UR

H

eCH π

Ye2M

� (9.06)

Si CHMM << el equilibrio es posible y la densidad se puede calcular usando (9.03). Para

masas mayores pero tales que CHMM < los electrones se vuelven relativistas y la densidad

será mayor pero el equilibrio es posible. Pero si CHMM > la presión del gas de electrones

no es suficiente para detener el colapso gravitatorio, la contracción de la estrella continúa y

la densidad tiende a infinito a menos que otro mecanismo físico detenga el colapso. Por lo

tanto las enanas blancas deben tener una masa menor que la masa de Chandrasekhar.

En el caso intermedio en que M es menor pero no muy lejano a CHM tenemos que usar la

relación general entre energía y momento:


89

22422 cpcme +=ε (9.07)

La presión del gas se obtiene escribiendo la velocidad como pp pcv ε/2= , y como los

electrones están degenerados ocupan todos los estados con velocidad menor a

mv FF /2ε≡ . Usando la densidad de estados correspondiente podemos ver que la presión

está dada por:

∫=Fp

p

dpph

Vcp

VP

0

23

22

42

3

1 πε

(9.08)

Si usamos el momento adimensional cmpx e/= como variable de integración obtenemos:

( )∫ +=

Fx

e dxx

x

h

cmP

02/12

4

3

54

13

8π (9.09)

El límite superior de la integral es el momento adimensional de Fermi xF que vale:

cm

h

m

Yx

eH

ceF

3/1

8

3

=

πρ

(9.10)

La integral se puede calcular y llegamos a la presión del gas:

)(3/4FeUR xInKP = (9.11)

donde:

( ) ( )

+++

−+= 224

1ln13

21

2

3xxxxx

xxI (9.12)

A bajas densidades 1<<Fx por lo que 5/4)(1 FxF xxI

F → << y la formula (9.11) tiende a su

expresión no relativista de acuerdo con (9.02). Cuando la densidad es alta 1>>Fx por lo que

1)(1

→ >>FxFxI y la fórmula (9.11) tiende a su expresión ultrarelativista (9.04).

Para estudiar el caso ultrarelativista procedemos igual que antes pero usando la (6.50) en la

cual podemos reemplazar (9.01) para obtener:

3/4

3/4

==

H

ceUReUR m

YKnKP

ρ (9.13)


90

Si imponemos la condición de equilibrio hidrostático en el centro de la estrella igual que

hicimos antes resulta:

( ) 3/43/23/13/4

36 eFH

ceUR MGxI

m

YK ρπρ

≈

(9.14)

de donde podemos despejar:

( )[ ] CHF MxIM 2/3≈ (9.15)

Figura 9.01. Resultado de (9.14) en el que se muestra la masa de una enana blanca en unidades de MCH con Ye = 0.5, en función de densidad central. Se aprecia que cuando la masa tiende a la masa de Chandrasekhar la densidad crece indefinidamente.

En la Figura 9.01 muestran los resultados de (9.14), y se puede apreciar que para masas bajas

la densidad no es tan alta, cuando la masa es mayor los electrones se vuelven relativistas y la

densidad en el centro aumenta más rápidamente con la masa, finalmente cuando la masa se

acerca a CHM los electrones se vuelven ultrarelativistas y la densidad en el centro crece

indefinidamente.

La masa y el radio

De acuerdo con la Figura 9.01 la densidad de una enana blanca se incrementa rápidamente

cuanto mayor es su masa, esto implica que las enanas de menor tamaño son las más masivas.

M/M

CH

0.99996

0.99998

ρC [kg m−3]

0 9102× 9104× 9104× 9108× 91010×

None1

0.99994

0.99992


91

Si suponemos que los electrones son no relativistas en su mayoría, la estructura de la estrella

es similar a un modelo politrópico con 3/5ρ∝P , y en este caso se puede ver que la densidad

media es 6/cρ ; esto junto a la (9.03) permiten demostrar que:

( )3

2

*5 /

51.0

cmh

m

M

M

Y e

H

e

≈ρ (9.16)

y que:

cm

h

M

MY

MR

eGe

2/13/1

*3/5

3/1

77.04

3 −

≈

= α

ρπ (9.17)

Podemos observar que el tamaño característico de una enana blanca está determinado por la

constante fundamental 39109.5 −×=Gα y la longitud de onda Compton del electrón

12104.2/ −×== cmh eCλ m, este tamaño característico es del orden del radio de la Tierra:

72/1 103×≈−CG λα m (9.18)

La densidad característica:

383

m kg101 −×≈C

Hm

λ (9.19)

es inmensamente superior a cualquier densidad con la que estemos familiarizados. Para dar

una idea de cuán grande es esta densidad media diremos que un dado como los que se usan

para jugar a la generala hecho de materia que tenga esta densidad pesaría en la Tierra media

tonelada. Podemos expresar el radio en términos del radio del Sol (R�= 81096.6 × m) para

5.0=eY :

74

1≈R (M�/M)1/3R

� (9.20)

Esta expresión se puede usar para encontrar la relación entre la masa y la luminosidad;

reemplazando (9.20) en la definición de esta última (8.04) hallamos:

3/2

2 600074

1

≈ ETL (M

�/M)1/3L

� (9.21)


92

Por ejemplo una enana blanca de masa M = 0.4 M� y TE = 104 K tiene una luminosidad

3103 −× L�.

Enfriamiento de una enana blanca

Si las teorías presentadas hasta ahora son exactas, el estado de enana blanca es la última fase

de la evolución de las estrellas de poca masa. Posteriormente se produce lentamente la

muerte térmica. Al cesar la contracción gravitacional y agotarse las reservas de combustible

nuclear, la enana blanca, aún muy caliente, empieza a enfriarse como una barra de hierro

recién sacada del fuego. La mayor parte de una enana blanca está compuesta por un sistema

denso de iones clásicos y electrones degenerados rodeado por una fina capa de un gas de

partículas clásicas. El enfriamiento está dado principalmente por la conducción del calor

debida a los electrones en el interior y por la difusión de radiación a través de la capa

externa. Pero el proceso de enfriamiento es muy lento por la gran energía térmica de los

iones en el interior y la gran opacidad del gas que compone la capa envolvente, además la

estrella irradia poca energía al ser tan pequeña su superficie, y cada vez menos a medida que

su temperatura disminuye. Por lo tanto una enana blanca tarda muchísimo tiempo en morir.

Para explicar el enfriamiento consideraremos un modelo simple consistente en una esfera

metálica caliente rodeada por una capa aislante de gas ionizado. Los electrones degenerados

tienen un camino libre medio largo porque gracias a la degeneración sólo pueden pasar a

estados que están desocupados, entonces poseen una alta conductividad térmica.

Considerando esto último supondremos que la temperatura en el interior es casi uniforme. A

la temperatura interior la llamaremos Ti, y supondremos que la energía térmica de los iones,

típicamente 3kTi/2 por ion, se pierde a medida que el calor es transportado a través de la capa

envolvente. Por lo tanto las propiedades de ésta son las que controlan el ritmo de perdida de

energía. Mientras pierde energía la estructura de la enana blanca cambia muy poco a causa

de la degeneración de su material. Comenzaremos entonces analizando la capa envolvente.

Suponemos que el gas ionizado de la capa exteriores es clásico e ideal, por lo tanto su

presión está dada por:


93

m

kTP

ρ= (9.22)

Existe un gradiente de presión determinado por el equilibrio hidrostático (2.05) y un

gradiente de temperatura producido por el flujo de calor hacia la superficie, que

supondremos determinado por la difusión de radiación (6.68):

2

)()(

r

rrmG

dr

dP ρ−= y 32

)()(

16

3

Tr

rrL

acdr

dT κρπ

−= con c

aσ

4= (9.23)

donde σ es la constante de Boltzmann. Como no se genera energía, L(r) es la luminosidad

superficial, reemplazando m(r) por M y combinando las ecuaciones (9.23):

κπ 3

3

16 T

L

MGac

dr

dP

= (9.24)

Supondremos además que la opacidad de la envoltura está dada por la absorción ligado-libre

y que el 90% de la masa es Helio y el 10% elementos pesados. En estas condiciones

podemos usar la ley de Kramers (6.63) para aproximar la opacidad, y la podemos combinar

con (9.22) para escribir:

2/90

2

2/719

2/70 kg

m1034.4

T

P

k

m

TT

=×== κρρκκ (9.25)

Sustituyendo en la ecuación (9.24) obtenemos una ecuación diferencial que relaciona la

presión y la temperatura de la capa envolvente:

P

TC

dT

dP 2/15

= con L

M

m

GacC

03

16

κπ= (9.26)

Integrando (9.26) y usando la condición de borde P = 0 a T = 0 obtenemos:

2/172

174T

CP = (9.27)

La presión, temperatura y densidad se incrementan hacia el interior de la enana blanca.

Estamos interesados en la densidad de electrones porque se vuelven degenerados cuando nos

acercamos al centro. Como aproximadamente 2/3 de las partículas de la capa externa son

electrones entonces:

kT

Pne 3

2= (9.28)


94

Esta ecuación combinada con (9.27) obtenemos:

4/132/1

17

4

3

2ie TC

kn

= (9.29)

Cuando la densidad de electrones deja de cumplir la condición (6.10) los electrones dejan de

comportarse como un gas clásico. Esto sucede si Qe nn >> , siendo nQ la concentración

cuántica no relativista definida por (6.07). Entonces podemos obtener una expresión de la

temperatura interior suponiendo que a esta temperatura Qe nn 10= y usando las ecuaciones

(9.29) y (9.28) tenemos que:

4/132/12/3

2 17

4

3

2210 i

e TCkh

kTm

=

π (9.30)

Reemplazando el valor de C y usando al Sol como unidad de luminosidad y masa2 llegamos

a la siguiente expresión:

K/

/107

7/2

7

×≈

�

�

MM

LLTi (9.31)

Por ultimo podemos escribir la luminosidad en función de la temperatura:

�

�

LM

MTL i

2/7

7 K107

×≈ (9.32)

La fuente de luminosidad de la enana blanca es la energía térmica del gas clásico de iones

del interior. Por ejemplo, si se trata un gas clásico de Carbono ionizado la energía es

aproximadamente:

iH

i kTm

MNkTE

=≈

122

3

2

3 (9.33)

Esta energía es de J108 40× si la masa es 0.4 M� a 108 K. Pero en verdad, aunque puede

parecer raro, hay grandes analogías entre las propiedades de la materia del centro de una

enana blanca (hiperdensa) y de la materia ordinaria a bajas temperaturas, próximas al cero

absoluto. Los electrones libres se mueven con velocidad relativista casi sin encontrar

2 Recordemos que L

� = W1086.3 26× y M

� = kg1099.1 30×


95

resistencia, como ocurre a temperaturas próximas al cero absoluto en los fenómenos de

superconductividad. Dentro de este gas de electrones móviles los núcleos (de Helio, Carbono

o hierro) tienden a rechazarse por tener carga positiva, y buscan una posición de relativo

equilibrio colocándose en el vértice de una red cristalina, igual que los átomos de la materia

sólida ordinaria, aunque con la diferencia que en la materia ordinaria basta que la

temperatura aumente un centenar o un millar de grados para que la red cristalina se destruya

y la materia sea licúe o vaporice, mientras que para destruir la red cristalina en el centro de

las enanas blancas se necesitan temperaturas de centenares de millones de grados. Se piensa

que la formación de un núcleo cristalino sólido en la región central de las enanas blancas es

posible, sobre todo si el corazón de la estrella es rico en Carbono o hierro, y que la

temperatura del centro de estas estrellas no es suficiente para que se destruya un núcleo

sólido.

Volviendo al tema que nos interesa, con la luminosidad (9.32) y la reserva de energía de la

estrella (9.33) podemos hallar el ritmo de enfriamiento. Si igualamos la tasa de eliminación

de de la energía interna a la luminosidad queda:

2/7

7 K107

×−= ii T

dt

dT α con añopor K 612

3

2 ≈

≈

�

�

LM

m

kHα (9.34)

Esta simple ecuación diferencial se puede integrar para hallar la expresión de la temperatura

interna en función del tiempo. Las condiciones iniciales están determinadas por las

características del proceso de formación de la enana blanca. Por ejemplo si se forma después

del ciclo de combustión de Helio su temperatura inicial es de unos 108K y si �

MM 4.0=

resulta �

LL = . En la Figura 9.02 se muestra el descenso de la luminosidad a través del

tiempo, y se puede ver que para que la luminosidad descienda de L� a

�L410− es necesario

esperar mil millones de años.


96

Figura 9.02. Se muestra el descenso de la luminosidad de una enana blanca de Carbono con temperatura inicial de 108 K.

El cálculo anterior es puramente estimativo, pues cálculos más precisos deben tener en

cuenta las propiedades de los iones y la energía perdida por emisión de neutrinos.

Vimos anteriormente que la luminosidad de la estrella depende de la temperatura superficial

como TE4, y como acabamos de ver la luminosidad va decreciendo a un ritmo lento. Esto

implica que la capa exterior de la enana blanca también se enfría con ese ritmo. Si

representamos la evolución de la estrella en el diagrama de H-R vemos que una enana blanca

sigue una trayectoria específica durante su enfriamiento. Claramente al enfriarse se desplaza

hacia la derecha y como su luminosidad disminuye se desplaza hacia abajo. Si observamos

un número grande de enanas blancas esperamos entonces encontrar las estrellas de distintas

edades en sucesivos puntos de la trayectoria predicha por la teoría. El diagrama de H-R para

las enanas blancas catalogadas se muestra en la Figura 9.03 y en efecto muestra la curva

teórica de evolución de una enana blanca. La curva teórica de evolución que pasa por un

punto del diagrama es única y depende de la masa de la estrella por eso podemos estimar la

masa y el estadio de evolución ubicando la estrella en el diagrama.

100 10-3 10-4

101 103 105 107 109 None

L/L�

Tiempo [años]


97

Figura 9.03. Se muestra el diagrama H-R de enanas blancas catalogadas. En el mismo podemos observar la evolución de las enanas blancas, que se desplazan de izquierda a derecha en el diagrama a medida que pasa el tiempo. Las estrellas no siguen todas la misma trayectoria porque tienen distintas masas.

Para terminar de comprender el diagrama recordemos que para que la temperatura

superficial, que al principio es de unos treinta mil grados, descienda hasta los siete mil tienen

que pasar unos tres mil millones de años; para pasar de siete mil a cuatro mil grados una

enana blanca necesita cinco mil millones de años. Por otra parte, según las teorías más

acreditadas, la edad del Universo no es superior a veinte mil millones de años, y por lo tanto

probablemente ninguna enana blanca ha alcanzado la muerte térmica. Otra cuestión que se

presta a confusión es la siguiente: una estrella del tipo que consideramos es enana porque

contiene la masa un Sol en un volumen como el de la Tierra, aunque podría no ser blanca. En

efecto, a medida que la estrella se enfría su color cambia: con siete mil grados el color es

amarillento, con cuatro mil es naranja y de tres mil hacia abajo es roja. Por tanto se podría

dar el caso de una enana blanca roja. Al decir enana blanca no nos referimos al color de la

estrella colapsada: es un sinónimo de estrella degenerada, aunque es cierto que la mayoría de

las que conocemos son de color blanco.

Dos estrellas de idéntica masa evolucionan más o menos paralelamente. Pero una estrella de

masa superior gasta más rápidamente su combustible nuclear, y se convierte antes en una

gigante roja e inicia primero el descenso final hacia el estadio de enana blanca. Algunas de

Enanas Blancas

Temperatura superficial

Lu

min

osi

dad

[L�]


98

las enanas blancas, como la compañera de Sirio, forman parte de un sistema estelar binario

cuyo otro elemento es una estrella normal. La enana puede orbitar muy cerca de la estrella

normal y extraer gas de ella. El gas, principalmente hidrógeno, cae sobre la enana y se

acumula, comprimido a presiones y temperaturas cada vez mayores por la intensa gravedad

de la enana blanca, hasta que la atmósfera robada a la gigante roja sufre reacciones

termonucleares y la enana experimenta una breve erupción que la hace brillar. En efecto al

fundirse el hidrógeno en Helio, explota sobre la superficie de la enana como millones de

bombas de hidrógeno. Una binaria de este tipo se llama nova. Se han observado cientos de

explosiones de tipo nova de este género, que aportan una confirmación suplementaria de las

extrañas propiedades de las enanas blancas. Para observar una enana blanca vieja tendríamos

que buscarla en los cúmulos globulares, donde debería haber cientos de miles, al menos en

teoría. Pero por ahora no las podemos observar por la enorme distancia de dichos cúmulos y

la débil luminosidad de las enanas blancas. Por ahora debemos limitarnos a estudiar las

enanas blancas más cercanas.

10. Otros posibles finales

99

10. OTROS POSIBLES FINALES

En el Capítulo anterior vimos que una enana blanca se mantiene en equilibrio si su masa es

menor que la masa de Chandrasekhar. Una estrella que tiene una masa once veces superior a

la del Sol durante su permanencia en la secuencia principal alcanza, en su etapa de gigante

roja, una masa de 6M�, y su núcleo post-nebulosa planetaria es de 1,44 M

�. Después de que

la estrella ha agotado su combustible nuclear, ha generado un masivo núcleo de hierro, y

pierde el equilibrio de sustentación frente a su propia gravedad, y se desploma en una

explosión de Supernova. Las explosiones de supernovas no son fenómenos frecuentes y,

normalmente, son detectados por medio de telescopios, aunque algunas de ellas se han

observado a simple vista1. Lo que queda después de la explosión es un núcleo de neutrones

calientes sujetos entre sí por las fuerzas nucleares, que forman un único núcleo de gran masa

con un peso atómico de 1056, y de unos treinta kilómetros de diámetro. Allá por 1933, el

físico Lev Landau e independientemente los astrofísicos Fritz Zwicky y Walter Baade,

postularon teóricamente la existencia de objetos de este tipo. Landau mostró que estrellas

con una masa superior a 1,44 M� (límite de Chandrasekhar) pueden balancear la fuerza de

gravedad al hacer que los neutrones se compacten apilándose entre sí. Landau dedujo que

estas estrellas de neutrones, a pesar de ser más masivas que el Sol, deberían ser muy

pequeñas. En 1939, Robert Oppenheimer2 y George Volkoff estimaron teóricamente la masa

mínima y máxima de las estrellas de neutrones. Aunque el valor preciso es todavía incierto

no es probable que exceda las tres masas solares con un diámetro de hasta 20 kilómetros.

La estructura de una estrella de neutrones se puede estudiar del mismo modo que la de una

enana blanca, esto es lo que haremos en este Capítulo.

1 Toktagu relata: “El día chi-chbou del quinto mes del primer año del reinado de Chi-Ho (4 de julio de 1054), apareció en el sudeste de Thien-K'uan una estrella que medía varios centímetros. Al cabo de un año se desvaneció”. Otras famosas supernovas en nuestra galaxia han sido las descubiertas por Tycho Brahe en 1572, por Johannes Kepler en 1604. 2 El director del proyecto que desarrollo la primera bomba atómica.


100

Colapso del núcleo estelar

Se espera que una estrella con masa mayor que 11 M� pase por todas las etapas de fusión

nuclear. La combustión del silicio se da a los K103 9× y deja la estrella con un núcleo de

hierro rodeado de capas esféricas concéntricas de Silicio, Oxígeno, Neón, Carbono, Helio e

hidrógeno. Como no se puede liberar energía por fusión de Fe el núcleo se contrae.

Inicialmente esta contracción puede ser controlada por la presión del gas denso de electrones

degenerados en el núcleo, pero la fusión del silicio en la capa que rodea al núcleo deposita

más hierro sobre éste lo que causa que los electrones se vayan volviendo más relativistas.

Cuando la masa del núcleo se acerca a �

MM CH 4.1≈ los electrones se vuelven

ultrarelativistas y ya no pueden soportar el núcleo. Al contraerse una estrella sabemos que

convierte su energía gravitatoria en energía interna. Si ésto lleva a la activación de la fusión

nuclear exotérmica la energía cinética interna crece, la presión aumenta y se opone a la

contracción. Por otro lado si se activan procesos de absorción la energía cinética es

absorbida produciendo que la capacidad de la presión para frenar la contracción disminuya y

entonces la estrella continúa el colapso sin oposición. Existen dos procesos de absorción que

pueden producir este efecto: la fotodesintegración de los núcleos atómicos y la captura de

electrones vía decaimiento beta inverso, y son tan efectivos que podemos describir el colapso

como una caída libre (Capítulo 2) y usar (2.07) para estimar el tiempo del mismo que resulta

ser 3101 −×≈CLt s.

Fotodesintegración de núcleos

Dijimos que al contraerse el núcleo se eleva la temperatura causando que los fotones puedan

ganar energía suficiente como para fotodesintegrar los núcleos de hierro mediante la

reacción:

n4He31Fe 456 +⇔+γ (10.01)

Esta reacción es endotérmica y la energía absorbida es:

( ) MeV 4.124413 25614 ≈−+= cmmmQ (10.02)


101

Entonces un kg de hierro puede absorber J 102 14× , energía equivalente a 50 kilotones de

TNT. En el equilibrio hidrostático podemos escribir la siguiente relación entre los

potenciales químicos:

5614 413 µµµ =+ (10.03)

Usando (6.08) y (6.09) en (10.03) podemos encontrar la relación entre las concentraciones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kT

Q

Q

QQ en

nn

g

gg

n

nn −=

56

41

134

56

41

134

56

41

134 (10.04)

Como el spin del neutrón es ½, g1 = 2. Para los núcleos de hierro y Helio podemos suponer

g4 = g56 = 1. Podemos ver entonces que si la densidad y la temperatura alcanzan los valores

K 10y Kg/m 10 10312 == Tρ entonces ¾ de los núcleos de hierro están disociados.

A temperaturas superiores se puede producir la reacción:

np 22He4 +⇔+γ (10.05)

que libera Q = 38.3 MeV. Si inicialmente tenemos un núcleo de hierro con una masa

comparable a MCH entonces se absorben por medio de la reacción (1.01) J 104 44× y otros

J 1045 por medio de la (10.05), de modo que la energía total que puede ser absorbida es

comparable con la emitida por el Sol durante diez mil millones de años.

Captura de electrones

Un neutrón libre es inestable y tiene una vida media de 10.25 minutos antes de decaer en un

protón, un electrón y un neutrino mediante el decaimiento beta:

eepn ν++→ − (10.06)

Las energías del neutrino y el electrón suman 1.3 MeV, entonces sólo se producen electrones

con energía de hasta 1.3 MeV. El principio de exclusión nos dice que si los electrones

degenerados ocupan todos los niveles de energía menores o igual a este valor los neutrones

no pueden decaer. Por el contrario si la densidad es suficiente se produce el proceso inverso,

llamado decaimiento beta inverso:

enpe ν+→+− (10.07)


102

Este proceso se puede dar aún si los protones están ligados formando un núcleo y produce

núcleos con más neutrones. Consideremos por ejemplo la reacción ee ν+→+− MnFe 5656 ; el

Mn56 no tiene una vida media muy larga, pero antes de decaer puede capturar otro electrón

para formar Cr56 , y este último puede capturar otro electrón. El proceso de captura de

electrones se vuelve muy rápido cuando la densidad supera 314 kg/m 10 , y la consecuencia de

esto es que los neutrinos se llevan la energía de los electrones degenerados atravesando las

capas de la estrella hacia el espacio exterior. Por consiguiente la presión generada por los

electrones desaparece y la estrella se precipita sobre sí misma, contrayéndose rápidamente al

tiempo que ocurre una explosión de neutrinos. La energía perdida por este proceso es

aproximadamente J 106.1 45× .

Fuerzas nucleares

Uno de estos dos procesos (la fotodesintegración y/o la captura de electrones) causa que la

estrella colapse hasta alcanzar una densidad comparable con la densidad nuclear, entonces

comienzan a actuar las fuerzas nucleares, las cuales podrían oponerse a la gravedad y detener

el colapso. Podemos estimar la densidad de un núcleo estelar en este estado en función del

número de nucleones y del radio efectivo del núcleo del hidrógeno 150 102.1 −×=r m.

Sabiendo que el radio R de un núcleo atómico que contiene A nucleones es 3/10ArR=

podemos calcular la densidad:

3173

Kg/m 103.24

3 ×==R

AmNNUC π

ρ (10.08)

Se estima que el colapso se detiene cuando la densidad supera en dos o tres veces NUCρ . Se

espera que las partículas colapsadas reboten y produzcan una onda de choque a través de la

materia que rodea al núcleo y producir una supernova. Hay dos tipos de supernova, las del

tipo I no presentan líneas de hidrógeno en su espectro, en general se trata de sistemas

binarios en los cuales uno de sus componentes es una enana blanca que extrae materia de su

compañera incrementando su masa hasta alcanzar la masa MCH, entonces se contrae y se


103

inicia la fusión del Oxígeno y Carbono en su interior, pero como la materia en su interior

esta degenerada el exceso de energía tiende a bajar la energía de los electrones degenerados

evitando que la temperatura disminuya de manera que el mecanismo de control del ritmo de

fusión no se activa y la estrella se comporta como una enorme bomba de fusión. Tras la

explosión puede o no quedar un núcleo residual. En las supernovas del tipo II se detectan

líneas de hidrógeno y su luminosidad decae en forma irregular.

En general después del colapso queda un núcleo residual en el que la fuerza nuclear soporta

el peso de la estrella formando una estrella de neutrones pero si la masa del núcleo residual

es muy grande no hay fuerza capaz de detener el colapso y se forma un agujero negro.

La energía liberada en el colapso que da lugar a una estrella de neutrones está determinada

principalmente por el cambio de su energía gravitacional. Antes del colapso tiene una masa

parecida a la del Sol en una esfera de 100 Km de radio y luego queda más o menos la misma

masa concentrada en un radio de 10 Km. En una estrella de neutrones de radio R y masa M la

energía liberada se aproxima por:

J Km10

1032

462

×=≈

RM

M

R

GMELIB

�

(10.09)

Esta energía es un orden de magnitud mayor que la energía absorbida en la

fotodesintegración de núcleos atómicos y que la energía perdida por captura de electrones.

Puesto que sobra el 90% de la energía, es razonable suponer que tiene que haber una etapa

intermedia. Se cree que durante esta etapa se crea una estrella de neutrones caliente, grande y

opaca a la radiación, que se va enfriando y contrayendo vía la emisión de neutrinos.

El resultado final es un núcleo rico en neutrones en donde neutrones libres, núcleos y

electrones degenerados se mantienen en equilibrio. Como ya mencionamos los neutrones no

decaen debido al principio de exclusión. En efecto, para que ocurra el decaimiento beta, se

debe cumplir que:

)()()( −+> epn FFF εεε (10.10)

El equilibrio en el cero absoluto se caracteriza por:

)()()( −+= epn FFF εεε (10.11)


104

Cuando la densidad es del orden de NUCρ podemos considerar a los protones y neutrones

como no relativistas mientras que los electrones, de menor masa, son relativistas.

Suponemos además que la concentración de electrones es igual a la concentración de

protones. Podemos entonces usar la ecuación (10.11) para obtener la relación entre las

concentraciones de equilibrio. Para esto reemplazamos la expresión de la energía relativista

y no relativista según corresponda y obtenemos:

( ) 223/223/23/1

28

3

28

3

8

3cmm

m

hn

m

hnhc

npn

n

n

p

pp −≈

−

+

πππ (10.12)

Por ejemplo si la densidad típica es 317 m kg102 −× esta relación nos dice que hay un electrón

por cada 200 neutrones.

Tamaño de una estrella de neutrones

Podemos proceder de forma análoga a lo realizado para las enanas blancas, sólo que ahora

supondremos que la estrella de neutrones está soportada por un gas ideal de neutrones

degenerados. Considerando la relación entre las concentraciones podemos aproximar

nCn mn /ρ≈ , además podemos fijar Ye = 1 y aproximar la masa del átomo de hidrógeno por

la masa del neutrón, y entonces la condición de equilibrio queda:

( )3

2

* /1.3

cmh

m

M

M

n

nC

≈ρ (10.13)

Siguiendo la analogía con las enanas blancas la ecuación (9.19) queda para nuestro caso:

cm

h

M

MR

nG

2/13/1

*77.0 −

≈ α (10.14)

Pero ésta es una aproximación bastante mala ya que en realidad a estas densidades los

efectos relativistas en los neutrones no son despreciables y dado que el campo gravitatorio es

muy intenso hay que usar la Teoría General de la Relatividad. Aún así este análisis permite

realizar algunos cálculos a veces útiles.

No podemos sacar más conclusiones válidas considerando los modelos simplificados

empleados hasta aquí. Por eso nos limitaremos a comentar que considerando los efectos


105

relativistas y empleando la Teoría General de la Relatividad se encuentra la masa límite

análoga a la masa de Chandrasekhar. Si la estrella de neutrones tiene una masa menor a este

límite se mantiene como tal, pero más allá de este valor crítico no hay equilibrio posible y no

se puede detener el colapso. La estrella acaba su existencia como un agujero negro cuyo

campo gravitacional es tan grande que ni siquiera la luz puede escapar de él. Los agujeros

negros son actualmente objeto de estudio y su comprensión todavía no es completa.

11. Bibliografía

106

11. BIBLIOGRAFÍA

[1] A. C. Phillips - The Physics of Stars, Second Edition- Wiley (2001)

[2] Julio Gratton - Termodinámica e Introducción a la Mecánica Estadística - FCEyN UBA (2003)

[3] Julio Gratton - Introducción a la Mecánica Cuántica - FCEyN UBA (2003)

[4] Fausto Gratton - Introducción a la Mecánica Estadística - FCEyN UBA (2002)

[5] G. A. Vázquez Rodríguez - Evolución Químico-Espectral de Poblaciones Estelares - IA UNAM (2001)

[6] M. Faraggi y E. Hernández - Cúmulos Globulares (Parte I) - Revista Astronómica 255 - AAAA (1997)

[8] R. Sánchez - El Universo Invisible - Revista Astronómica 252 - AAAA (1995)

[9] Carl Sagan - Cosmos sexta edición - Planeta (1982)

[10] C. Scavino - La conquista del espacio - Nueva Lente (1984)

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