08 funciones hiperbolicas
2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS. 1.- Definición de las funciones hiperbólicas. 2 senh x x e e x 2 cosh x x e e x 1 1 tanh 2 2 x x x x x x e e e e e e x 2.- Funciones recíprocas. x x senh 1 csch x x cosh 1 sech x x tanh 1 coth x x e e x 2 csch x x e e x 2 sech 1 1 coth 2 2 x x x x x x e e e e e e x 3.- Identidades hiperbólicas fundamentales. 1 csch senh x x 1 sech cosh x x 1 coth tanh x x x x x cosh senh tanh x x x senh cosh coth 4.- Identidades pitagóricas. 1 senh cosh 2 2 x x x x 2 2 csch 1 coth x x 2 2 sech tanh 1 5.- Otras identidades. x e x x senh cosh x e x x senh cosh 6.- Equivalencia entre las funciones hiperbólicas. x senh x cosh x tanh x csch x sech x coth x senh 1 1 cosh 2 x x x 2 tanh 1 tanh x csch 1 x x sech sech 1 2 1 coth 1 2 x x cosh x 2 senh 1 1 x 2 tanh 1 1 x x csch csch 1 2 x sech 1 1 coth coth 2 x x x tanh x x 2 senh 1 senh x x cosh 1 cosh 2 1 x 2 csch 1 1 x 2 sech 1 x coth 1 x csch x senh 1 1 cosh 1 2 x x x tanh tanh 1 2 1 x x 2 sech 1 sech 1 coth 2 x x sech x 2 senh 1 1 x cosh 1 x 2 tanh 1 x x 2 csch 1 csch 1 x x coth 1 coth 2 x coth x x senh senh 1 2 1 cosh cosh 2 x x x tanh 1 x 2 csch 1 x 2 sech 1 1 1 7.- Argumento doble. x x x cosh senh 2 2 senh x x x 2 2 senh cosh 2 cosh 1 senh 2 2 cosh 2 x x 1 cosh 2 2 cosh 2 x x x x x 2 tanh 1 tanh 2 2 tanh 8.- Argumento triple. x x x senh 3 senh 4 3 senh 3 x x x cosh 3 cosh 4 3 cosh 3 x x x x 2 3 tanh 3 1 tanh tanh 3 3 tanh 9.- Argumento mitad. 2 1 cosh 2 senh x x 2 1 cosh 2 cosh x x 1 cosh 1 cosh 2 tanh x x x 1 cosh senh 2 tanh x x x x x x senh 1 cosh 2 tanh x x x csch coth 2 tanh 1 cosh 1 cosh 2 coth x x x 1 cosh senh 2 coth x x x x x x senh 1 cosh 2 coth x x x csch coth 2 coth ) 1 2 (cosh senh 2 1 2 x x ) 1 2 (cosh cosh 2 1 2 x x 10.- Suma y diferencia de dos argumentos. y x y x y x senh cosh cosh senh ) ( senh y x y x y x senh senh cosh cosh ) ( cosh 11.- Fórmulas de reducción. x x senh ) ( senh x x csch ) ( csch x x cosh ) ( cosh x x sech ) ( sech x x tanh ) ( tanh x x coth ) ( coth 12.- Suma y diferencia de funciones hiperbólicas. 2 cosh 2 senh 2 senh senh y x y x y x 2 cosh 2 senh 2 senh senh y x y x y x 2 cosh 2 cosh 2 cosh cosh y x y x y x 2 senh 2 senh 2 cosh cosh y x y x y x 13.- Producto. ] ) ( cosh ) ( cosh [ senh senh 2 1 y x y x y x ] ) ( cosh ) ( cosh [ cosh cosh 2 1 y x y x y x ] ) ( senh ) ( [senh cosh senh 2 1 y x y x y x 14.- Gráficos de las funciones hiperbólicas. x y senh x y cosh x y tanh x y csch x y sech x y coth 15.- Derivadas de las funciones hiperbólicas. x d u d u u x d d cosh ) senh ( x d u d u u x d d senh ) (cosh x d u d u u x d d 2 sech ) (tanh x d u d u u u x d d coth csch ) csch ( x d u d u u u x d d tanh sech ) sech ( x d u d u u x d d 2 csch ) (coth 16.- Integrales de las funciones hiperbólicas. C u u d u cosh senh C u u d u senh cosh C u u d u ) sech ( ln tanh C u u d u )] ( [tanh ln csch 2 1 C u u d u ) senh ( tan sech 1 C u u d u ) senh ln( coth C u u d u tanh sech 2 C u u d u coth csch 2 C u u d u u sech tanh sech C u u d u u csch coth csch
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
1.- Definición de las funciones hiperbólicas.
2senh
xx eex
2cosh
xx eex
1
1tanh
2
2
x
x
xx
xx
e
e
ee
eex
2.- Funciones recíprocas.
xx
senh
1csch
x
xcosh
1sech
x
xtanh
1coth
xx eex
2csch
xx eex
2sech
1
1coth
2
2
x
x
xx
xx
e
e
ee
eex
3.- Identidades hiperbólicas fundamentales.
1cschsenh xx 1sechcosh xx 1cothtanh xx x
xx
cosh
senh tanh
x
xx
senh
coshcoth
4.- Identidades pitagóricas.
1senhcosh 22 xx xx 22 csch1coth xx 22 sechtanh1
5.- Otras identidades. xexx senhcosh xexx senhcosh
6.- Equivalencia entre las funciones hiperbólicas.
xsenh xcosh xtanh xcsch xsech x coth
xsenh 1 1cosh2 x x
x
2tanh1
tanh
xcsch
1
x
x
sech
sech1 2 1coth
1
2 x
xcosh x2senh1 1 x2tanh1
1
x
x
csch
csch1 2 xsech
1
1coth
coth
2 x
x
xtanh x
x
2senh1
senh
x
x
cosh
1cosh2 1
x2csch1
1
x2sech1
xcoth
1
xcsch xsenh
1 1cosh
1
2 x
x
x
tanh
tanh1 2 1
x
x
2sech1
sech
1coth2 x
xsech x2senh1
1
xcosh
1 x2tanh1
x
x
2csch1
csch
1
x
x
coth
1coth2
x coth x
x
senh
senh1 2 1cosh
cosh
2 x
x
xtanh
1 x2csch1
x2sech1
1
1
7.- Argumento doble.
xxx coshsenh22senh xxx 22 senhcosh2cosh
1senh22cosh 2 xx 1cosh22cosh 2 xx x
xx
2tanh1
tanh22tanh
8.- Argumento triple.
xxx senh 3senh 43senh 3 xxx cosh3cosh43cosh 3
x
xxx
2
3
tanh31
tanhtanh33tanh
9.- Argumento mitad.
2
1cosh
2senh
xx 2
1cosh
2cosh
xx 1cosh
1cosh
2tanh
x
xx
1cosh
senh
2tanh
x
xx x
xx
senh
1cosh
2tanh
xxx
cschcoth2
tanh
1cosh
1cosh
2coth
x
xx 1cosh
senh
2coth
x
xx x
xx
senh
1cosh
2coth
xxx
cschcoth2
coth
)12(coshsenh2
12 xx )12(coshcosh2
12 xx
10.- Suma y diferencia de dos argumentos. yxyxyx senhcoshcoshsenh)(senh yxyxyx senhsenhcoshcosh)(cosh
11.- Fórmulas de reducción. xx senh)(senh xx csch )(csch xx cosh)(cosh
xx sech )(sech xx tanh)(tanh xx coth)(coth
12.- Suma y diferencia de funciones hiperbólicas.
2cosh
2senh2senhsenh
yxyxyx
2cosh
2senh2senhsenh
yxyxyx
2cosh
2cosh2coshcosh
yxyxyx
2senh
2senh2coshcosh
yxyxyx
13.- Producto.
])(cosh)(cosh[senhsenh2
1 yxyxyx ])(cosh)(cosh[coshcosh2
1 yxyxyx
])(senh)([senhcoshsenh2
1 yxyxyx
14.- Gráficos de las funciones hiperbólicas.
xy senh xy cosh xy tanh
xy csch xy sech xy coth
15.- Derivadas de las funciones hiperbólicas.
xd
uduu
xd
dcosh)senh (
xd
uduu
xd
dsenh )(cosh
xd
uduu
xd
d 2sech)(tanh
xd
uduuu
xd
dcothcsch )csch (
xd
uduuu
xd
dtanhsech )sech (
xd
uduu
xd
d 2csch)(coth
16.- Integrales de las funciones hiperbólicas.
Cuudu coshsenh Cuudu senh cosh Cuudu )sech (lntanh
Cuudu )]([tanhlncsch 2
1 Cuudu
)senh(tansech 1 Cuudu )senhln(coth
Cuudu tanhsech2 Cuudu cothcsch2 Cuuduu sech tanhsech
Cuuduu csch cothcsch
17.- Definición de las funciones hiperbólicas inversas.
Definición Domino Rango
Seno hiperbólico inverso )1(lnsenh 21 xxx R R
Coseno hiperbólico inverso )1(lncosh 21 xxx [ 1 , ) [ 0 , )
Tangente hiperbólica inversa
x
xx
1
1lntanh 1 ( -1 , 1 ) R
x
xx
1
1lntanh
2
11
Cosecante hiperbólica inversa
x
xx
2
111
lncsch ( - , 0 ) (0 , ) ( - , 0 ) (0 , )
2
21 11
lncschx
x
xx
Secante hiperbólica inversa
x
xx
2
111
lnsech ( 0 , 1 ] [ 0 , )
2
21 11
lnsechx
x
xx
Cotangente hiperbólica inversa
1
1lncoth 1
x
xx ( - , -1 ) ( 1 , ) ( - , 0 ) ( 0 , )
1
1lncoth
2
11
x
xx
18.- Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas.
xy 1senh xy 1cosh xy 1tanh
xy 1csch xy 1sech xy 1coth
27.- Identidades hiperbólicas inversas.
1senh 1cosh 1tanh 1csch 1sech 1coth
1senh 1 21 1cosh 2
1
1tanh
1csch 1
2
1
1
1sech
2
1 1coth
1cosh 1senh 21 1
1tanh
2
1 1
1csch
2
1
1sech 1
1coth
2
1
1tanh 2
1
1senh
2
1
1
1cosh
1
2
11
csch
21 1sech
1coth 1
1csch
1senh 1
1cosh
2
1
1
1tanh
2
1
1
1sech
2
1
1coth 21
1sech
2
11
senh
1cosh 1
21 1tanh 2
1
1csch
1 2
1
1
1coth
1coth 1
1senh
2
1
1cosh
2
1
1tanh 1
1csch 21
1sech
21
1
19.- Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas.
xd
ud
uu
xd
d
1
1)senh(
2
1
xd
ud
uu
xd
d
1
1)(cosh
2
1
xd
ud
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d2
1
1
1)(tanh
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1
1
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ud
uuu
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d
2
1
1
1)sech(
xd
ud
uu
xd
d2
1
1
1)(coth
20.- Integrales de las funciones hiperbólicas inversas.
cxxxxdx
211 1senhsenh cxxxxdx
1coshcosh 211
21.- Integrales cuyas primitivas son funciones hiperbólicas inversas.
Cauuau
ud
)(ln 22
22
C
a
u
au
ud
1
22senh
Cauuau
ud
)(ln 22
22
C
a
u
au
ud
1
22cosh
Cua
ua
aua
ud
ln2
122
Ca
u
aua
ud
1
22tanh
1
Cua
ua
aau
ud
ln2
122
Ca
u
aua
ud
1
22coth
1
Cu
uaa
auau
ud
22
22ln
1 C
a
u
auau
ud
1
22csch
1
Cu
uaa
auau
ud
22
22ln
1 C
a
u
auau
ud
1
22sech
1
Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / [email protected] / PIN: 58B3CF2D – 569A409B.
http://www.slideshare.net/asesoracademico/
Abril 2016.
