08_0202_EO2
213
1 Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Eléctrica DISEÑO DE CONTROLADORES PID EN TIEMPO DISCRETO, Y ANÁLISIS DE RESPUESTA UTILIZANDO HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES Steeve Erasmo Toledo Chojolán Asesorado por el Ing. Enrique Edmundo Ruiz Carballo Guatemala, octubre de 2007
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1
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica Eléctrica
DISEÑO DE CONTROLADORES PID EN TIEMPO DISCRETO, Y
ANÁLISIS DE RESPUESTA UTILIZANDO HERRAMIENTAS
COMPUTACIONALES
Steeve Erasmo Toledo Chojolán
Asesorado por el Ing. Enrique Edmundo Ruiz Carballo
Guatemala, octubre de 2007
2
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DISEÑO DE CONTROLADORES PID EN TIEMPO DISCRETO, Y
ANÁLISIS DE RESPUESTA UTILIZANDO HERRAMIENTAS
COMPUTACIONALES
TRABAJO DE GRADUACIÓN
PRESENTADO A LA JUNTA DIRECTIVA DE LA
FACULTAD DE INGENIERÍA
POR:
STEEVE ERASMO TOLEDO CHOJOLÁN
ASESORADO POR EL ING. ENRIQUE EDMUNDO RUIZ CARBALLO
AL CONFERÍRSELE EL TÍTULO DE
INGENIERO ELECTRÓNICO
GUATEMALA, OCTUBRE DE 2007
3
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA
NÓMINA DE JUNTA DIRECTIVA DECANO Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos
VOCAL I Ing. Glenda Patricia García Soria
VOCAL II Ing. Alba Maritza Guerrero de López
VOCAL III Ing. Miguel Ángel Dávila Calderón
VOCAL IV Br. Kenneth Issur Estrada Ruiz
SECRETARIA Inga. Marcia Ivónne Véliz Vargas
TRIBUNAL QUE PRACTICÓ EL EXAMEN GENERAL PRIVADO
DECANO Ing. Sydney Alexander Samuels Milson
EXAMINADOR Ing. Enrique Edmundo Ruiz Carballo
EXAMINADOR Ing. Guillermo Antonio Puente Romero
EXAMINADOR Ing. Marvin Marino Hernández Fernández
SECRETARIO Ing. Pedro Antonio Aguilar Polanco
4
5
6
7
8
9
AGRADECIMIENTOS A:
Mis padres: Por sus consejos, apoyo, amor y
comprensión, los cuales son la base
fundamental de los emprendimientos en
mi vida.
Mis hermanos: Por su cariño y palabras de aliento.
Toda mi familia: Por creer en mí, y por apoyarme en todo
momento.
Mis amigos: Javier Monroy, Edgar Mendoza, Rolando
Yach, Ronald Fuentes, Alejandro
Vettorazzi, Juan Pozuelos, Osman
Gómez, Pedro Obregón, Mario Mérida,
Mynor Herrera, Juan Fernando López,
10
José Asensio, Erick Gálvez, Omar
Molina, Carlos Melgar, y a todas las
personas que de alguna u otra forma han
contribuido a la realización de este logro.
11
ACTO QUE DEDICO A:
Dios:
Por darme la vida, y permitirme alcanzar esta meta.
Mis padres:
Erasmo Gildardo Toledo Sosa y Verónica Chojolán de Toledo,
por su amor y enseñanzas.
Mis hermanos:
Christian, Fredy y Stéphanie
12
13
I
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES V
LISTA DE SÍMBOLOS IX
GLOSARIO XI
RESUMEN XIII
OBJETIVOS XV
INTRODUCCIÓN XVII
1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA Z
1.1 Conceptos generales de la transformada de Laplace 1
1.1.1 Transformada de Laplace 2
1.1.2 Transformada Inversa de Laplace 3
1.1.3 Teoremas Importantes de la transformada de Laplace 4
1.2 Relación entre la transformada de Laplace y la
transformada z. 9
1.3 Transformada z y transformada z inversa 11
1.3.1 Transformada z 11
1.3.1.1 Transformada z de algunas funciones
elementales 14
1.3.2 Teoremas y propiedades de la transformada z 21
1.4 La transformada z inverza 25
2. SISTEMAS DE CONTROL
2.1 Conceptos generales de sistemas de control 47
2.1.1 Tipos de sistemas de control 48
2.1.2 Sistemas de control lineales y no lineales 48
2.1.3 Sistemas variantes e invariantes con el tiempo 48
II
2.1.4 Sistemas de control en tiempo continuo 49
2.1.5 Sistemas de control en tiempo discreto 49
2.1.6 Sistemas de lazo abierto 50
2.1.7 Sistemas de lazo cerrado 51
2.1.8 Efectos de la realimentación 53
2.2 Control PID. 56
2.3 Análisis de controladores PID en tiempo continúo 56
2.3.1 Controlador PID 57
2.3.2 Diseño del controlador PID Continuo 58
2.3.3 Ubicación del regulador PID en un sistema de control 61
2.3.4 Análisis de control proporcional, integral y derivativo 62
2.3.4.1 Control proporcional 62
2.3.4.2 Control integral y PI 64
2.3.4.3 Control derivativo 67
2.4 Aplicaciones de los controladores PID. 73
3. DISCRETIZACIÓN DE CONTROLADORES PID ANALÓGICOS
3.1 Función de transferencia de controladores PID en
tiempo continúo 85
3.2 Discretización utilizando la transformada z 86
3.2.1 Muestreador mediante impulsos 87
3.2.2 Circuitos para la retención de datos 90
3.2.3 Retenedor de orden cero 92
3.2.4 Transformada z de funciones que utilizan
retenedor de orden cero 95
3.2.5 Sumatoria de convolución 97
3.2.6 Función de transferencia pulso 101
3.2.7 Transformada asterisco de Laplace 103
III
3.2.8 Procedimiento para obtener funciones de
transferencia pulso 104
3.2.9 Función de transferencia pulso de elementos
en cascada 107
3.2.10 Sistemas de transferencia pulso de sistemas en
lazo cerrado 109
3.2.11 Función de transferencia pulso de un controlador
digital 113
3.2.12 Función pulso de un sistema de control digital en
lazo cerrado 115
3.2.13 Función de transferencia pulso de un controlador
PID digital 116
3.3 Discretización de lazos que utilizan controladores PID. 120
3.4 Discretización de lazos de control que utilizan
controladores PI 123
4. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
4.1 Diseño y análisis de lazos de control que usan controladores PID
discretos utilizando medios computacionales 127
4.2 Respuesta al escalón de lazos con controladores PID continuos 138
4.2.1 Herramientas de Software adicionales para el análisis de
sistemas de control 145
4.3 Respuesta dinámica debida a un escalón de lazos
de control que utilizan controladores PID discretos 152
4.4 Comparación y análisis de respuesta entre controladores
continuos y discretos. 159
4.5 Ventajas y desventajas de diseño, para la utilización de
controladores PID discretos y continuos 166
IV
4.6 Código fuente del programa asistente de sintonía para
reguladores PID 167
4.6.1 Código fuente de Matlab utilizado para el análisis de
sistemas continuos 170
4.6.2 Código fuente de Matlab, para el análisis de sistemas
discretos 172
CONCLUSIONES 175
RECOMENDACIONES 177
BIBLIOGRAFÍA 179
V
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
FIGURAS
1. Señal de una rampa unitaria muestreada 16
2. Funciones continuas )(1 tx y )(2 tx con valores iguales al
tiempo de muestreo 25
3. Diagrama de bloqies de un sistema de control de datos
muestreados 50
4. Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo abierto 51
5. Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo cerrado 52
6. Diagrama básico, sistema de control realimentado 53
7. Implementación de un algoritmo PID, utilizando
amplificadores operacionales 58
8. Ubicación del regulador PID en un sistema de control 61
9. Respuesta al escalón, de un sistema de control en lazo
cerrado con control proporcional en un proceso de
segundo orden 63
10. Modelo utilizado para control tipo P, realizado en Simulink 64
11. Respuesta a una entrada escalón de un control PI
en un proceso de segundo orden 66
12. Respuesta al escalón producida por un control PD 69
13. Respuesta al escalón, producida por un regulador PID 70
14. Función de transferencia de un proceso 74
VI
15. Proceso de primer orden 75
16. Planta típica para aproximación de procesos de segundo orden 80
17. Modelo de proceso de segúndo orden controlando con un
regulador PID 85
18. Muestreador mediante impulsos 87
19. Muestreador mediante impulsos como modulador 88
20. Retenedor de orden cero 92
21. Función de transferencia de un retenedor de orden cero 93
22. Sistema en tiempo continuo exitado con una señal muestreada
mediante impulsos 98
23. Sistemas en tiempo continuo con y sin muestreador de entrada 105
24. Sistemas en cascada muestreados 108
25. Sistema de control en lazo cerrado 110
26. Diagrama de bloques de un sistema de control digital 115
27. Función )(hTf 120
28. Sistema de control continuo en lazo cerrado 121
29. Diagrama de bloques, sistema de control discreto 121
30. Sistema de control continuo en lazo cerrado utilizando un
controlador PI 124
31. Sistema de control discreto, regulado con un controlador PI 125
32. Sistema de control en tiempo continuo 128
33. Ubicación de polos y ceros de la función de transferencia
de una planta de segundo orden 129
34. Diagrama de Bode en lazo abierto para planta de segundo
orden con retardo puro de 0.5 Seg. 130
35. Diagrama de Nyquist para una planta de segundo orden
con retardo puro de 0.5 segundos 132
36. Respuesta a lazo cerrado debido a una entrada
escalón unitario 133
VII
37. Panel de control para el programa asistente de sintonía 134
38. Respuesta al escalón de un sistema de control continuo
controlado con un regulador PID 139
39. Diagrama de Bode para sistema de control continuo 140
40. Diagrama de Nyquist para sistema de control continuo 142
41. Lugar geométrico de las raíces para un sistema de
control continuo 143
42. Ubicación del bloque de función Signal Constraint 146
43. Modelo Simulink para sistema de control continuo 147
44. Ubicación del menú para sintonía de parámetros en el
bloque de función Signal Constraint 148
45. Ventana para indicación de márgenes de parámetros de
sintonía en el bloque Signal Constraint 149
46. Ventana para especificar parámetros de desempeño en el
bloque Signal Constraint 150
47. Respuesta al escalón, utilizando parámetros de sintonía
obtenidos utilizando el bloque Signal Constraint 151
48. Función de transferencia pulso de un modelo discreto 153
49. Respuesta escalón unitario del sistema discreto
de la figura 48 154
50. Diagrama de Bode para sistema discreto de la figura 48 156
51. Diagrama de Nyquist para el sistema discreto mostrado
en la figura 48 157
52. Lugar geométrico de las raíces para el sistema discreto
de la figura 48 158
53. Modelos continuo y discreto equivalentes 160
54. Respuesta al escalón conjunta de los sistemas de control
mostrados en la figura 53 161
VIII
55. Comparación de respuesta al escalón entre modelos
continuo y discreto 162
56. Comparación entre diagramas de Bode para sistemas
continuo y discreto 163
57. Comparación entre diagramas de Nyquist para Sistemas
continuo y discreto 165
58. Panel de control del programa asistente para sintonía de
reguladores PID 168
59. Diagrama de bloques de conexión en Labview 169
TABLAS
I. Tabla de transformadas z 20
II. Ecuación en diferencias 36
III. Configuraciones típicas de sistemas de control
muestreados 112
IX
LISTA DE SÍMBOLOS
Z Transformación z 1−Z Transformación z inversa
L Transformada de Laplace
1−L Transformación inversa de Laplace
)(zX Función de la variable z
sX Señal de referencia
iX Señal de error o entrada
oX Señal de salida o controlada
Xf Señal de realimentación
A Ganancia de laso directo
B Ganancia de realimentación
dip KKK ,, Ganancias proporcional, integral y derivativa respectivamente
ρ Densidad de masa de líquido
)(1 tq Taza de flujo másico de líquido de entrada
)(1 th Nivel del lìquido de tanque
Tδ Muestreador mediante impulsos
hG Función de transferencia de un retenedor de orden cero
)(* sE Transformada asterisco de Laplace
)(zGD Función de transferencia pulso de un PID digital
X
XI
GLOSARIO
Muestreo Toma periódica de muestras de amplitud de una
determinada señal continua
Discreto Elemento que posee una cantidad finita de valores
definidos
Discretización Proceso por el cual se determina un sistema equivalente
discreto
PID Algoritmo de control proporcional, integral y derivativo
Matlab MatrixLaboratory. Lenguaje de alto nivel para la
computación técnica, de la empresa Mathworks Inc.
XII
XIII
RESUMEN
En el presente trabajo se realiza una comparación entre la respuesta
dinámica de lazos de control con reguladores tipo PID. En tiempo continuo y en
tiempo discreto, tomando como parámetros de desempeño su respuesta
temporal, y su respuesta frecuencial, utilizando gráficas de respuesta al
escalón unitario para el caso temporal y diagramas de Bode, Nyquist y del lugar
geométrico de las raíces para el caso del análisis en frecuencia.
En el primer capítulo se exponen diferentes herramientas matemáticas
fundamentales, tales como la transformada de Laplace y la transformada z,
describiendo sus distintos teoremas y propiedades más utilizadas en sistemas
de control automático. El capítulo dos se concentra en los tipos y propiedades
de los sistemas de control automático, se presentan diferentes tipos de
sistemas de control y las variables que intervienen en ellos. En el capítulo tres
se describen los tipos, características y propiedades de sistemas de control en
tiempo discreto, así como el concepto de función de transferencia pulso. Por
último en el capítulo cuatro se diseñan, analizan y comparan, sistemas de
control en tiempo discreto y continuo, utilizando herramientas de software para
obtener distintas gráficas de desempeño y con esto, poder estimar las distintas
características y ventajas de cada uno de los controles estudiados.
XIV
XV
OBJETIVOS
• GENERAL
Diseñar y analizar la respuesta dinámica de controladores PID discretos contra
PID analógicos, utilizando la ayuda de equipo de software.
• ESPECÍFICOS
1. Definir criterios de selección de controladores PID, de acuerdo a
las necesidades de un proceso.
2. Definir criterios de selección de sintonía de un controlador PID, de
acuerdo a las acciones de control que exija un proceso
automatizado.
3. Definir características importantes de este tipo de dispositivos de
control.
4. Ejemplificar la forma de funcionamiento y desempeño de un
controlador PID dentro de un lazo de control.
5. Comparar la respuesta dinámica entre un controlador en tiempo
continuo contra uno de similares características en tiempo
discreto.
XVI
6. Proveer información especifica sobre análisis y diseño de
reguladores analógicos y digitales, para su aplicación en la
industria.
XVII
INTRODUCCIÓN
Los sistemas de control automático, son dispositivos utilizados en la
industria, que permiten el control de variables críticas de un proceso industrial.
Estos sistemas permiten que las variables controladas permanezcan en un
punto de referencia, o en cierto rango aceptable respecto a este punto, Esto
con el fin que los procesos industriales sean eficientes, con lo que se logra
maximizar y eficientar la producción, además de minimizar costos ya que los
lazos de control permiten una optimización de las materias primas y la
minimización de la energía utilizada en producción.
El uso de sistemas de control como el PID, es tal que aproximadamente el
95 % de los lazos de control que existen en las aplicaciones industriales son de
este tipo, de los cuales la mayoría son controles PI, lo que muestra la
preferencia del usuario en el uso de algoritmos simples de control.
El algoritmo PID es una solución bastante buena para resolver el control
de muchas aplicaciones en la industria y debido a la aparición de
Microprocesadores y Microcontroladores en el ámbito industrial, se fundamenta
el interés por el estudio y análisis de sistemas de control en el dominio temporal
discreto.
El desarrollo del presente trabajo está basado en el estudio y diseño de
controladores PID, en tiempo discreto, y el análisis de su respuesta dinámica,
en tiempo y frecuencia, utilizando software de análisis como Matlab 7 y Labview
8.
XVIII
Estos paquetes de software nos permitirán realizar comparaciones de
respuesta dinámica, entre controladores analógicos contra su similar en tiempo
discreto, donde los dos tipos de controladores deberán cumplir con los mismos
parámetros de desempeño. Además, valiéndonos de las herramientas de
software, implementaremos un programa, el cual, aprovechándose de las
ventajas de ambos paquetes, permitirá realizar en forma fácil y rápida un
análisis de diversas características de los ejemplos de sistemas de control
planteados en este trabajo. El presente trabajo pretende ayudar a la
comprensión de dispositivos reguladores tal como los del tipo PID. En su forma
discreta y continua, además de presentar las bases para el estudio de otros
algoritmos de control discretos, ya que los principios utilizados en su análisis y
diseño, son fundamentales en la implementación de diversos tipos de
controladores.
Consideramos que el estudio del diseño de controlares PID y en general
de reguladores, es de suma importancia práctica, ya que es un tema de gran
aplicabilidad utilizado en la industria.
XIX
XX
1
1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA
TRANSFORMADA z
1.1 Conceptos generales de la transformada de Laplace
La teoría de las transformadas o transformaciones de Laplace, conocida
también con el nombre de cálculo operacional, ha venido a constituir una parte
esencial de la matemática requerida por los ingenieros, físicos, matemáticos y
científicos. Esto se debe a que, los métodos de la transformada de Laplace,
constituyen un instrumento fácil y efectivo para la solución de muchos
problemas de la ciencia y la ingeniería.
El método de la transformada de Laplace es una herramienta matemática
utilizada ampliamente para solucionar ecuaciones ordinarias lineales, y es
ampliamente utilizada en la simulación de sistemas físicos, circuitos eléctricos, y
el modelado y análisis de sistemas de control automático.
La transformada de Laplace tiene dos características importantes que la
hacen de mucha utilidad, las cuales son:
1) La solución de la ecuación homogénea y la solución particular se
obtienen en una sola operación.
2) La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una
ecuación algebraica de s. La solución final se obtiene tomando la
transformada inversa de Laplace.
2
1.1.1 Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de f(t) se define para alguna σ real finita,
como:
(1.1)
La cual debe cumplir con la condición:
(1.2)
La variable s se denomina el operador de Laplace, que es una variable
compleja; esto es, jws += σ . La ecuación también se conoce como la
transformada de Laplace unilateral. Ya que la integral se evalúa desde t = 0
hasta ∞. Esto simplemente significa que todas la información contenida en f(t)
antes de t = 0, se ignora o se considera cero. Esta suposición no implica
ninguna limitante en las aplicaciones de la transformada de Laplace a
problemas lineales, ya que en los estudios en el dominio del tiempo, la
referencia de tiempo se escoge a menudo en t = 0. Además, para un sistema
físico cuando una entrada se aplica en t = 0, la respuesta del sistema no
comienza antes que t = 0; esto es, la respuesta no precede a la excitación. Tal
sistema es también conocido como causal o simplemente, físicamente
realizable.
Estrictamente, la transformada de Laplace unilateral se define desde t = 0-
hasta t = ∞. El símbolo t = 0- implica que el limite t → 0 se toma por la
izquierda de t = 0. Este proceso limita situaciones en donde la función f(t) no es
continua o tiene un impulso en t = 0.
dtetfsFtσ−
∞
∫=0
)()(
dtetft
∫∞
−
0
)(σ
3
[ ])()(1
sFLtf−=
Para los temas tratados en el presente trabajo, la ecuación (1.1) que
define la transformada de Laplace, no se utilizara, ya que las expresiones de
transformadas que se utilizan a menudo ya están dadas en tablas de
transformadas de Laplace.
Por tanto solo se utilizara 0 t = o to t = como el tiempo inicial en la definición de
la transformada de Laplace en las discusiones subsecuentes.
1.1.2 Transformada inversa de Laplace
Dada la transformada de Laplace F(s), la operación para obtener f(t) se
denomina como la transformada inversa de Laplace, y se define por:
(1.3)
La integral de la transformada inversa de Laplace se representa como:
(1.4)
En donde c es una constante real que es mayor que las partes reales de
todas las singularidades de F(s). La ecuación 1.4, representa una integral de
línea que se evalúa en el plano s. Para funciones simples, la operación de la
transformada inversa de Laplace, se puede llevar a cabo sin realizar la
evaluación de esta integral, utilizando una tabla de transformadas. Cuando las
ecuaciones se tornan muy complejas, se utilizan diferentes métodos para su
evaluación, como por ejemplo la expansión en fracciones parciales.
dsesFj
tfst
jc
jc)(
2
1)( ∫
∞+
∞−=
π
4
En el presente trabajo no se expondrá este método, pero se puede referir
a cualquier libro, el cual trate sobre la solución de ecuaciones diferenciales para
tal efecto.
1.1.3 Teoremas importantes de la transformada de Laplace
En muchos problemas, se suelen utilizar los teoremas de las propiedades
de la transformada de Laplace, ya que de esta forma el trabajo se simplifica.
Estas propiedades se presentan a continuación en forma de teoremas.
Teorema 1
Sea k una constante y F(s) es la transformada de Laplace de f(t).
Entonces:
(1.5)
Teorema 2
Sean F1(s) y F2(s) las trasformadas de Laplace de f1(t) y f2(t),
respectivamente. Entonces:
(1.6)
[ ] )()( skFtkfL =
[ ] )()()()( 2121 sFsFtftfL ±=±
5
Teorema 3
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t),
cuando t, tiende a 0. La transformada de Laplace de la derivada con respecto
al tiempo de f(t) es:
(1.7)
En general para las derivadas de orden superior de f(t),
+++−=
−
−−−
→ 1
121
0
)(...
)()(lim)(
)(n
nnn
t
n
n
n
dt
tfd
dt
tdfstfssFs
df
tfdL
(1.8)
En donde )0()(if denota la derivada de i-ésimo orden de f(t) con respecto
a t, evaluada en t = 0.
)0()()(lim)()(
0fssFtfssF
dt
tdfL
t−=−=
→
)0()0()0()0()( )()1()1(21 innnnfffsfssFs
−−− −⋅⋅⋅−−−=
6
s
sFdfL
t )()(
0=
∫ ττ
Teorema 4. Integración
La transformada de Laplace de la primera integral de f(t) con respecto al
tiempo, es la transformada de Laplace de f(t) dividida entre s, esto es:
(1.9)
Para la integración de n-ésimo orden:
(1.10)
Teorema 5. Traslación en el tiempo
La transformada de Laplace de f(t) retrasada un tiempo T es igual a la
transformada de Laplace de f(t) multiplicada por Tse
− ; esto es:
(1.11)
En donde ( )Ttus − , denota la función escalón unitario que esta desplazada
en tiempo a la derecha por T.
nn
ttt
s
sFdtdtdtdfL
n )()( 121
000
21
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −∫∫∫ ττ
( )[ ] )()( sFeTtuTtfLTs
s
−=−−
7
)(limlim0
ssFst ∞→→
=
)(lim)(lim0
ssFtfst →∞→
=
Teorema 6. Teorema del valor inicial
Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:
(1.12)
Si es que el límite existe.
Teorema 7. Teorema del valor final
Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), y si sF(s) es analítica sobre
el eje imaginario y es el semiplano derecho del plano s, entonces:
(1.13)
El teorema del valor final es de mucha utilidad en el análisis de sistemas
de control, ya que proporciona el valor final en el tiempo de una función de s. El
teorema del valor final no tiene validez si sF(s) contiene algún polo cuya parte
real es cero o positiva, lo que equivale al requisito de que sF(s) sea analítica en
el semiplano derecho como se especifica en el teorema.
8
[ ] )()( αα ±=± sFtfeL
−=
−= ∫∫
tt
dtffLdtffL0
120
21 )()()()( ττττττ
Teorema 8. Traslación compleja
La transformada de Laplace de f(t) multiplicada por t
eα±
, donde α es una
constante, es igual a la transformada de Laplace F(s), con s remplazada por
α±s ; esto es:
(1.14)
Teorema 9. Convolución real (multiplicación compleja)
Sean )(1 sF y )(2 sF las transformadas de Laplace de )(1 tf y )(2 tf ,
respectivamente, y que )(1 tf = 0, )(2 tf =0, para t < 0, entonces:
(1.15)
(1.16)
Donde el símbolo “∗ ” denota la convolución en el dominio del tiempo.
La ecuación anterior nos indica que la multiplicación de dos funciones en
el dominio complejo s, es equivalente a la convolución de las dos funciones en
el dominio del tiempo. Es importante recordar que la transformada inversa de
Laplace de dos funciones en el dominio de s no es igual al producto de las dos
funciones reales correspondientes en el dominio de t; esto es, en general:
[ ])()()()( 2121 tftfLsFsF ∗=
9
(1.17)
Existe también una relación dual al teorema de la convolución real,
llamada convolución compleja o multiplicación real. Esencialmente, el teorema
establece que la multiplicación en el dominio real de t es equivalente a la
convolución en el dominio complejo de s; esto es:
[ ] )()(()( 2121 sFsFtftfL ∗= (1.18)
En este caso “∗ ” denota la convolución compleja.
1.2 Relación entre la transformada de Laplace y la transformada z.
Se presentara en la siguiente sección la transformada z, que es la
contraparte discreta de la transformada de Laplace, y que es la generalización
en tiempo discreto de la transformada de Fourier. Se nota que, las propiedades
de la transformada z, son estrechamente paralelas a las de la transformada de
Laplace. Sin embargo existen importantes diferencias entre la transformada z y
la transformada de Laplace, las cuales surgen de las diferencias fundamentales
entre sistemas en tiempo continuo y en tiempo discreto.
El uso de la transformada z en el análisis de sistemas de control, tiene el
mismo papel que la transformada de Laplace, con la diferencia, que en la
transformada z las señales o sistemas, no son continuos sino, discretos.
[ ] )()()()( 2121
1 tftfsFsFL ≠−
10
La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales lineales
invariantes en el tiempo en ecuaciones algebraicas de la variable s, la
transformada z convierte una ecuación en diferencias lineal e invariante en el
tiempo, que representa la dinámica del sistema, a una ecuación algebraica de la
variable z. Para obtener la respuesta del sistema a una entrada dada se deben
resolver estas ecuaciones en diferencias, y con el método de la transformada z,
esto se convierte en un problema algebraico.
La transformada z se puede aplicar a señales en tiempo continuo x(t), a la
señal muestreada x(kT) y a una secuencia de números x(k). En ocasiones se
suele utilizar la nomenclatura x(k), como x(kT), y esto no deberá ocasionar
ningún tipo de confusión.
La transformada z es un método muy poderoso en el estudio de sistemas
en tiempo discreto, ya que nos permite obtener, por medio de una función de
transferencia de la variable z, la respuesta transitoria de un sistema
muestreado.
11
[ ] [ ] ∑∞
=
−===0
)()()()(k
kzkTxkTxZtxZzX
[ ] ∑∞
=
−==0
)()()(k
kzkxkxZzX
1.3 Transformada z y transformada z inversa
A continuación se presentaran los conceptos fundamentales y
propiedades de la trasformada y transformada inversa de la variable compleja z,
las cuales son base fundamental del estudio de sistemas de control en tiempo
discreto.
1.3.1 Transformada z
Debido a que la transformada z se utiliza sólo para sistemas en tiempo
discreto, al considerar la transformada z de una función del tiempo x(t), solo se
toman en cuenta los valores muestreados de x(t), esto es, x(0), x(T), x(2T),…,
donde T es el período de muestreo.
La transformada z de una función del tiempo x(t), donde t es positivo, o
de la secuencia de valores x(kT), donde k adopta valores de cero o enteros
positivos y T es el período de muestreo, se define mediante la siguiente
ecuación:
(1.19)
Cuando la señal es una secuencia de números x(k), la transformada z se
define como
(1.20)
La transformada z definida mediante la ecuación (1.19) y (1.20) se conoce
como transformada z unilateral.
12
[ ] [ ] k
k
zkTxkTxZtxZzX −∞
−∞=
∑=== )()()()(
[ ] k
k
zkTxkTxZzX −∞
−∞=
∑== )()()(
El símbolo “z”, denota “obtener la transformada z”. En la transformada z
unilateral se supone que x(t)=0 para t<0 o x(k)=0 para k<0. Es de importancia
notar que la transformada z, es una transformación que convierte una
secuencia en el tiempo )(kTx en una función compleja )(zx .
Nos damos cuenta que la transformación al dominio de z, permite un análisis de
sistemas lineales e invariantes en el tiempo con relativa facilidad.
Se debe notar que trabajando con una secuencia de tiempo )(kTx que se
obtuvo mediante el muestreo de una señal )(tx la transformada z; de )(zX lleva
implícito el periodo de muestreo T.
Cuando se trabaja con una secuencia en el tiempo que no implica el
periodo de muestreo, tal como ),(tx la transformada no incluye a T,
explícitamente. A continuación se define la transformada z de ),(tx donde -
,∞<<∞ t o de ),(kx donde k adopta valores enteros tales como ,1± ,2± ,3±
etc.
(1.21)
O la ecuación:
(1.22)
El tipo de transformada definido en las dos ecuaciones 1.21 y 1.22 se
denomina transformada bilateral, y se asume que la función )(tx es distinta de
cero cuando 0<t y se considera que la secuencia )(kx tiene valores distintos
de cero para 0<k .
13
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++= −−− kzkTxzTxzTxxzX )()2()()0()( 21
Debido a que la transformada z unilateral presenta una solución apropiada
en su región de convergencia, para el desarrollo y análisis de muchos sistemas,
en el presente trabajo solo se utilizara esta.
Se debe notar que cuando la serie infinita )(zX , en 1−z converge fuera del
circulo ,Rz = donde R es el radio de convergencia absoluta, y utilizando el
método de la transformada z para resolver problemas en tiempo discreto, no se
necesita especificar los valores de z para los cuales )(zX converge.
Debe notar que al expandir la ecuación 1.22 para diferentes valores de k,
tenemos:
(1.23)
La expansión en la ecuación 1.23, nos demuestra que podemos escribir la
transformada z, en forma de serie, de cualquier función )(tx por simple
inspección, en donde kz − indica la posición en el tiempo en que fue tomada la
amplitud de )(tx .
Por otra parte si la transformada z de una función esta dada como la
ecuación 1.23, la transformada z inversa se puede encontrar por simple
inspección como una secuencia de la función )(ktx que equivalga a los valores
de )(tx en los valores de tiempo correspondientes.
Si la transformada z esta escrita como el cociente de dos polinomios de la
variable z, la transformada z inversa se puede obtener por los métodos
siguientes: Método de la división directa, método computacional, método de
expansión en fracciones parciales y el método de la integral de inversión.
14
1.3.1.1 Transformada z de algunas funciones elementales
Se debe notar que en la transformada z unilateral, al muestrear una señal
discontinua )(tx , se asume que la función es continua por la derecha; ósea si
la discontinuidad se presenta en 0=t , entonces se supone que )0(x es igual a
)0( +x en lugar del promedio de la discontinuidad, [ ] 2/)0()0( ++− xx .
Función escalón unitario
Ejemplo 1.1
Se encontrará la transformada z de la función escalón unitario:
=,0
),(1)(
ttx
0
0
<
≥
t
t
SOLUCIÓN: Refiriéndonos a la ecuación 1.21.
[ ] ∑ ∑∞
=
∞
=
−−==0 0
1)(1)(k k
kkzztZzx
⋅⋅⋅++++= −−− 3211 zzz
11
1−−
=z
1−
=z
z
Se asume que )(tx es continua por la derecha, esto es .1)0( =x
15
Observe que se dice que la serie converge cuando .1>z ya que la suma
infinita de la serie es igual a un valor finito. No se necesita especificar la región
de z en la que )(zX converge, solo es necesario saber que converge.
Función rampa unitaria
Ejemplo 1.2
Encuentre la transformada z de la rampa unitaria siguiente:
=,0
,)(
ttx
0
0
<
≥
t
t
Solución:
[ ] ∑∑ ∑∞
=
−∞
=
∞
=
−− ====00 0
1)()(k
k
k k
kkzTkTzzkTxtZzX
)32( 321 ⋅⋅⋅+++= −−− zzzT
21
1
)1( −
−
−=
z
zT
2)1( −
=z
TzT
16
Figura 1. Señal de una rampa unitaria muestreada
)(tx
0 t
Funcion polinomial ka
Ejemplo
Encuente la trasformada z de x(k) definida como
=,0
,)(
ka
tx0
,....2,1,0
<
=
k
k
Donde a es una constante, refiriéndose a la ecuación 1.20.
[ ] ∑∑∞
=
−∞
=
− ===00
)()()(k
kk
k
kkzazkxaxZzX
⋅⋅⋅+++++= −−−− 33322211 zazazaaz
11
1−−
=az
17
az
z
−=
Función exponencial
Ejemplo
Encuentre la transformada z de
=−
,0
,)(
ate
tx 0
0
<
≤
t
t
Tenemos que ,)( aktektx −= donde ⋅⋅⋅= ,2,1,0k
Entonces tenemos:
[ ] ∑∑∞
=
−−∞
=
−− ===00
)()(k
kakT
k
katzezkxeZzX
⋅⋅⋅++++= −−−−−− 332211 zezeze aTaTaT
11
1−−−
=ze
aT
aT
ez
z−−
=
18
Función senoidal
Ejemplo
Sea la función
=,0
,)(
senwttx
0
0
<
≤
t
t
Según la identidad )(2
1 jwtjwtee
jsenwt
−−=
Como la transformada z de la función exponencial es
[ ]11
1−−
−
−=
zeeZ
aT
at
Se substituye
[ ]
−== − )(
2
1)( jwtjwt
eej
ZsenwtZzX
−−
−=
−−− 11 1
1
1
1
2
1
zezej jeTjwT
( )( ) 21
1
12
1−−−
−−
++−
−=
zzee
zee
j jwTjwT
jwTjwT
21
1
cos21 −−
−
+−=
zwTz
senwTz
1cos22 +−
=wTzz
zsenwT
19
Función coseno
Ejemplo
Sea la función
=,0
,cos)(
wttx
0
0
<
≤
t
t
Si realizará en forma similar a la función senoidal
)(2
1cos)( jwtjwt
eewtzX−+==
−+
−=
−−− 11 1
1
1
1
2
1
zeze jwTjwt
( )
( ) 21
1
1
2
2
1−−−
−−
++−
+−=
zzee
zeejwtjwt
jwtjwt
21
1
cos21
cos1−−
−
+−
−=
zwTz
wTz
1cos2
cos2
2
+−
−=
wTzz
wTzz
Cuando se trabaja con fuciones de s, y se desea encontrar la
transformada z, se puede llevar esta funcion de s a una funcion de t, y luego
encontrar la transformada z de la misma, o utilizar una tabla de las
transformadas mas comunes y de esta manera poder encontrar la transformada
z directamente de una funcion de s o de t.
20
Tabla I. Transformadas z
21
[ ] [ ] )()()( zaXtxaZtaxZ ==
1.3.2 Teoremas y propiedades de la transformada z
Al igual que con la transformada de Laplace, el uso de teoremas y
propiedades de la transformada z, facilita el análisis de sistemas de control en
tiempo discreto; se supone que la función del tiempo tiene transformada z y que
es 0 para .0<t
A continuación se presentan los teoremas y propiedades más importantes
de la transformada z, dejando las demostraciones para textos de matemáticas
discretas.
Multiplicación por una constante
Si )(zX es la transformada z de ),(tx tenemos
(1.24)
22
)()()( kgkfkx βα +=
)()()( zGzFzX βα +=
[ ] ( )zaXkxaZ k 1)( −=
Linealidad de la transformada z
Esta es una propiedad importante. Esto significa que, si )(kf y )(kg ,
tienen transformad z y α y β son escalares, entonces )(kx formada por una
combinacion lineal.
(1.25)
Tiene la transformada z
(1.26)
Multiplicación por ka
Si )(zX es la transformada z de ),(kx entonces la transformada z de ka ,
)(kx esta dada por :)( 1zaX −
(1.27)
23
[ ] )()( zXznTtxZ n−=−
[ ] ( )
−=+ ∑
−
=
−1
0
)()(n
k
knzkTxzXznTtxZ
[ ] )()( aTat zeXtxeZ =−
Teorema de corrimiento
Se conoce tambien como teorema de traslación real. Si 0)( =tx para 0<t
y )(tx tiene la transformada z, );(zX tenemos que.
(1.28)
y
(1.30)
En donde n es un entero positivo.
Teorema de traslación compleja
Si )(tx tiene la transformada z, )(zx , entonces la transformada z de
)(txe at− esta dada por ).( aTzeX Esto se conoce como teorema de translación
compleja.
(1.31)
24
)(lim)0( zXxz ∞→
=
[ ] )(1lim)(lim1
1zXzkx
zk
−
→∞→−=
Teorema del valor inicial
Si )(tx tiene la transformada z, )(zX y si )(lim zXz ∞→
existe, entonces el valor
)0(x de )(tx o )(kx está dado por.
(1.32)
El teorema del valor inicial es de mucha utilidad si se quiere verificar algún
error en la transformada z, ya que el valor )0(x , regularmente se conoce, y se
puede emplear una verificacion del mismo.
Teorema del valor final
Suponga que ),(kx donde 0)( =kx para ,0<k tiene la transformada z,
)(zX y que todos los polos de )(zX estan dentro de un circulo unitario, con la
posibilidad de un solo polo en 1=z . Entonces el valor final de ),(kx esto es, el
valor de )(kx a medida que k tiende al infinito, puede darse como.
(1.33)
Este teorema es de gran importancia cuando se quiere determinar el
comportamiento de )(kx a medida que ∞→k a partir de su transformada z,
).(zX
25
1.4 La transformada z inverza
Se utiliza una 1−Z , para denotar la operación de transformada z inverza, la
cual da como resultado la funcion del tiempo )(kx de )(zX .
Nos damos cuenta que la transformada z inversa nos devuelve una unica
secuencia de los valores muestreados en el tiempo, lo cual implica que tenemos
una unica función )(kx , pero podemos tener muchas funciones )(tx , para esta
secuencia, ya que no tenemos ninguna información de )(tx entre instantes de
muestreo, y varias funciones del tiempo )(tx diferentes pueden cumplir con las
muestras tomadas, o tener la misma )(kTx . Vease la figura 2.
Figura 2. Funciones continuas )(1 tx y )(2 tx con valores iguales al tiempo
de muestreo
)(2 tx )(1 tx
0 T T2 T3 T4 T5
26
n
nn
m
mm
azaz
bzbzbzX
⋅⋅⋅++
+⋅⋅⋅++=
−
−
1
1
1
10)(
La secuencias del tiempo )(kx o )(kTx que provienen de la
transformación z inversa de )(zX , se obtienen cuando )(zX proviene de )(kx o
)(kTx respectivamente.
Al obtener la transformada z de funciones sencillas, se puede hacer uso
de una tabla de transformadas z , pero si las funciones son muy extensas,
realizar la transformada z requerira una tabla muy extensa, para realizar estas
transformadas z, tambien se puede utilizar otros metodos, los cuales no
requieren el uso de tablas.
1. Método de la diivisión directa
2. Método computacional
3. Método de expansión en fracciones parciales
4. Método de la integral de inversión
Se debe recordar que al obtener la transformada z inversa, se asume que
la secuencias del tiempo )(kx o )(kTx son cero para .0<k
Polos y ceros en el plano z
Es importante realizar algunos comentarios sobre la función de
transferencia pulso. En muchas aplicaciones esta función de transferencia
puede tener la forma.
(1.34)
27
)())((
)())(()(
21
210
n
m
pzpzpz
zzzzzzbzX
−⋅⋅⋅−−
−⋅⋅⋅−−=
n
n
n
m
mnmn
zazaza
zbzbzbzX
−−−
−+−−−−
+⋅⋅⋅+++
+⋅⋅⋅++=
2
2
1
1
)1(
1
)(
0
1)(
Donde nm < , o la forma
(1.35)
Donde los ip representan los polos de la función ),(zX y los jz son los
ceros. Como en el caso de la transformada de Laplace, la ubicación de los
polos y los ceros juega un papel importante en el comportamiento de la función
de transferencia o secuencia )(kx , y tambien tiene una representacion sobre el
plano complejo z.
Tambien se suelen expresar las funciones de transferencia, como un
cociente de polinomios de 1−z , tal como:
(1.36)
Donde 1−z es interpretado como el operador retraso unitario. Se debe
notar que se puede expresar )(zX , en términos de z o en terminos de 1−z ,
dependiendo de la conveniencia del caso.
28
Metodo de la división directa
Este método es de mucha utilidad cuando no se requiere de una solución
en forma cerrada, (aunque se puede obtener para casos especiales), o se
necesitan solo de algunos terminos de la secuencia )(kx ,
La transformada z inversa, por este metodo se obtiene expandiendo )(zX
en una serie infinita de potencias de 1−z .
Nos damos cuenta de cómo obtener la transformada z inversa de )(zX
realizando una simple división, del hecho que si la transformada z es una serie
infinita de potencias de 1−z multiplicadas por factores que representan los
valores de )(kx o )(kTx , la transformada z inverza se puede obtener por simple
inspección.
Al realizar la division el cociente de la misma representa al numerador y al
denominador de la función de z, en forma de una serie de potencias de z, si la
serie converge, los coeficientes de kz − son los valores de )(kx o )(kTx .
Ejemplo 1.7
⋅⋅⋅+−+−=+
= −−−−
−
−4321
1
1
1)( zzzz
z
zzX
29
Método computacional
En la actualidad con el desarrollo de procesadores y computadoras muy
potentes, es posible el analisis y modelación de sistemas de control o
simulaciones, de sistemas con relativa facilidad y rapidez, gracias a software
que se ha especializado, para su utilización en ingeniería e investigaciónes
cientificas, por lo que diseñar se hace una tarea menos laboriosa y complicada.
En el presente trabajo utilizaremos el programa Matlab 7 y para el ultimo
capitulo tambien incluiremos el programa Labview 8, ya que nos proporcionan
herramientas poderosas de analisis visual y matematico. Se pondra énfasis en
en los resultados obtenidos gráfica y analíticamente, con el fin de analizar el
desempeño, y evaluar distintos parametros de los procesos industriales que se
pretenden controlar.
Se escoge el programa Matlab, ya que nos ofrece una buena variedad de
herramientas gráficas y analíticas para el análisis y simulación de sistemas de
control, ya sea en tiempo continuo, o en tiempo discreto. Tambien utilizamos el
programa Labview 8, de National Instruments, ya que nos permite desarrollar
interfases visuales muy versatiles y con gran facilidad de diseño. A
continuación se presentará un ejemplo de cómo encontrar la función del tiempo
para una función de z, utilizando la pantalla de comandos de Matlab,
Se daran dos enfoques los cuales son:
• Enfoque por Matlab
• Solución de ecuaciones en diferencias
30
23
5.0)(
2
2
++
+=
zz
zzzF
2.02.1
510
)(
)()(
2 +−
+==
zz
z
zX
zYzF
Enfoque de Matlab
Para realizar la transformada inverza en Matlab, nos valemos de la función
delta de Kronecker ),(kToδ la cual se define de la siguiente manera:
,1)( =kToδ para 0=k
=0, para 0≠k
Suponemos que ),(kx la entrada al sistema ),(zG es la entrada delta de
Kroneker, entonces:
,1)( =kx para 0=k
=0, para 0≠k
Tenemos que la transformada z de la entrada delta de Kronecker es
X(z)=1
Definimos ahora el sistema )(zF mediante la función
(1.37)
Mediante la entrada delta de Krokener, la ecuación anterior se puede
rescribir como:
(1.38)
31
2.02.1
510)()(
2 +−
+==
zz
zzXzY
Utilizando Matlab, se puede encontrar la transformada inverza, del sistema
anterior, la entrada X(z) es la transformada z de la entrada delta. En Matlab la
entrada delta se define como:
x=[1 zeros(1,N)]
Donde N corresponde con el final de la duración del tiempo discreto
considerado para la transformada z inverza.
Debido a que la trnsformada z de la entrada delta de Kronecker X(z) es igual a
la unidad, la respuesta del sistema a esta entrada es
(1.39)
Por lo tanto, la transformada z inversa de X(z) está dada por
y(0),y(1),y(2),….. Se obtendra y(k) hasta k=50.
Para obtener la transformada z inverza de X(z) con Matlab, se procede
como sigue, utilizando el work space de Matlab.
Se definen dos variables una llamada numerador y la otra llamada
denominador.
Numerador=[10 5 ]
Denominador=[ 1 -1.2 0.2]
32
Se introduce la entrada delta de Kronecker como sigue:
x=[1 zeros(1,50)]
Luego se introduce el comando
y=filter(Numerador,Denominador,x)
Esto se utiliza para obtener la respuesta )(ky desde 0=k hasta 40=k .
A continuacion se presenta el programa que se utiliza para encontrar la
transformada z, o la respuesta a la entrada delta.
% Programa en Matlab para encontrar la transformada z inverza
% Se introduce el numerador y denominador
Numerador=[10 5 ]
Denominador=[ 1 -1.2 0.2]
% Introduce la entrada que en este caso sera la funcion delta de Kronecker x y
% el comando para el filtro
x=[1 zeros(1,50)]
y=filter(Numerador,Denominador,x)
33
El programa devolvera en el work space la salida y(k) desde k=0 hasta
k=50 de la siguiente manera.
y =
Columns 1 through 8
10.0000 17.0000 18.4000 18.6800 18.7360 18.7472 18.7494 18.7499
Columns 9 through 16
18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500
Columns 17 through 24
18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500
Columns 25 through 32
18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500
Columns 33 through 40
18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500
Columns 41 through 48
18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500
Columns 49 through 51
18.7500 18.7500 18.7500
34
Los valores obtenidos, representan la transformada z inversa de la
siguiente forma:
10)0( =y , 17)1( =y , 4.18)2( =y , 68.18)3( =y , 736.18)4( =y , 7472.18)5( =y ,
7494.18)6( =y , 7499.18)7( =y ……. 75.18)50( =y .
Se puede realizar una grafica para representar los datos obtenidos,
utilizando un programa para este fin, como el siguiente:
% Gráfica de de la transformada inversa obtenida utilizando la entrada delta de % Kronecker Numerador=[10 5];
Denominador=[1 -1.2 0.2];
x = [1 zeros(1,50)];
v=[0 50 -1 20]; axis(v); k = 0:50; y = filter(Numerador,Denominador,x);
plot(k,y,'o') grid title('Respuesta a la entrada delta de Kronecker') xlabel('k ') ylabel('y(k)')
35
[ ] )()( zXkxZ =
Enfoque de la ecuación en diferencias
Las utilidad de éste método con la transformada z, es que permite obtener
la respuesta en forma cerrada para ).(kx
Al describir una ecuación en forma cerrada en el plano z, se toma la
transformada z de cada uno de los terminos en la ecuación.
Tenemos que:
(1.40)
Entonces ),1( +kx ),2( +kx ),...3( +kx y ),1( −kx ),2( −kx ),...3( −kx se
pueden expresar en términos de )(zX y de las condiciones iniciales. Sus
transformadas z exactas se resumen en la tabla II.
36
)(2642.0)1(3679.0)(3679.0)1(3679.1)2( kukukxkxkx ++=++−+
Tabla II. Ecuación en diferencias
Funcion discreta Transformada z
)4( +kx )3()2()1()0()( 2344 zxxzxzxzzXz −−−−
)3( +kx )2()1()0()( 233 zxxzxzzXz −−−
)2( +kx )1()0()( 22 zxxzzXz −−
)1( +kx )0()( zxzzX −
)1( −kx )(1 zXz −
)2( −kx )(2 zXz −
)3( −kx )(3 zXz −
)4( −kx )(4 zXz −
Ejemplo
Tenemos la siguiente ecuación en diferencias:
Donde )(kx es la salida y 0)( =kx para 0≤k y donde )(ku es la entrada y
esta dada por
37
,0)( =ku 0<k
1)0( =u
2142.0)1( =u
2142.0)2( −=u
,0)( =ku ,...5,4,3=k
Determinaremos la salida ).(kx
Solución: Al tomar la transformada z de la ecuación en diferencias dada,
se obtiene
[ ] [ ] )(2642.0zu(0)-zU(z)0.39790.3679X(z)])0()([3679.1)1()0()( 22 zUzxzzXzxxzzXz +=+−−−−
Al sustituir 1−=k en la ecuacion en diferencias dada, se encuentra que
)1(2642.0)0(3679.0)1(3679.0)0(3679.1)1( −+=−+− uuxxx
Puesto que 0)1()0( =−= xx y debido a que 0)1( =−u y ,1)0( =u se obtiene
3679.0)0(3679.0)1( == ux
Al sustituir los datos iniciales
,0)0( =x ,3679.0)1( =x 1)0( =u
En la transformada z de la ecuación en diferencias, se tiene que
)(2642.03679.0)(3679.0)(3679.0)(3679.13679.0)(2 zUzzzUzXzzXzzXz +−=+−−
38
Al resolver para ),(zX se encuentra que
La transformada z de la entrada )(ku es
[ ] 21 2142.02142.01)()( −− −+== zzkuZzU
Por tanto,
( )21
22142.02142.01
3679.03679.1
2642.03679.0)(
−− −++−
+= zz
zz
zzX
21
4321
3679.03679.11
05659.002221.03430.03679.0−−
−−−−
+−
−−+=
zz
zzzz
⋅⋅⋅+++++= −−−−− 543218463.03679.0 zzzzz
Asi, la transformada z inversa de )(zX da como resultado
0)0( =x
3679.0)1( =x
8463.0)2( =x
,1)( =kx ,...5,4,3=k
)(3679.03679.1
2642.03679.0)(
2zU
zz
zzX
+−
+=
39
Método de expansión en fracciones parciales
Este método es identico al método utilizado para la transformada de
Laplace, este método se utiliza para que los términos expandidos sean faciles
de identificar en una tabla de transformadas z.
Cuando se encuentra la transformada z inversa y )(zX tiene varios o un
cero en el origen, se expande zzX /)( o )(zX en la suma de terminos de primer
y segundo orden utilizando el metodo de expansion en fracciones parciales,
para luego utilizar una tabla de transformadas, se debe notar el hecho de que la
razón por la cual se expande zzX /)( es para que los términos expandidos sean
mas simples, esto no tiene ningun efecto final sobre la transformada inversa, ya
que nos valemos del teorema de corrimiento y realizamos las moficaciones
correspondientes al final.
Para utilizar el método de expansion en fracciones parciales, se debe
considerar )(zX como:
(1.41)
Luego se factorizan el polinomio del denominador y se encuentran los
polos de )(zX .
(1.42)
nm ≤,)(1
1
1
1
1
1
nn
nn
mm
mm
o
azazaz
bzbzbzbzX
++⋅⋅⋅++
++⋅⋅⋅++=
−−
−−
,)())((
)(21
1
1
1
n
mm
mm
o
pzpzpz
bzbzbzbzX
−⋅⋅⋅−−
++⋅⋅⋅++= −
−
40
De esta expresion se expande zzX /)( en fracciones parciales. Pero se
debe notar que si se utilizo el teorem de corrimiento para tomar la transformada
z inversa, se debe expandir )(zX , en fracciones parciales en lugar de zzX /)( .
Un procedimiento común donde todos los polos son diferentes y existe por
lo menos un cero en el origen, es dividir ambos lados de la igualdad, y expandir
esta expresión ( zzX /)( ), en fracciones parciales en la forma:
(1.43)
El coeficiente ia se puede encontrar al multiplicar ambos lados de la
igualdad por el coeficiente )( ipz − y haciendo que ipz = . Esto provocará que
todos los términos exepto el de ia , se hagan cero, ya que el término ipz − se
hace uno debido a que es igual al denominador del término ia , y el valor seria.
(1.44)
Nótese que dicha forma para determinar ia es válida para polos simples
solamente.
Nos damos cuenta que la técnica de de expansion en fracciones parciales,
es la misma que se utiliza para la transformada de Laplace, la única diferencia
es que podemos expanidir zzX /)( o )(zX , según nos convenga, tomando las
consideraciones necesarias y valiendonos del teorema de corrimiento cuando
sea necesario.
n
n
pz
a
pz
a
pz
a
z
zX
−+⋅⋅⋅+
−+
−=
2
)( 2
1
1
( )piz
iiz
zXpza
=
−=
)(
41
Ejemplo
Determine la transformada inverza )(ktx , dado que ""a es una constante y
T , es el período de muestreo utilizando el método de fracciones parciales.
Tenemos que la expansión en fracciones parciales es:
aTezzz
zX−−
−−
=1
1
1)(
111
1
1
1−−− −
−−
=zez
aT
Según tabla de transformadas
11
11
1 =
−=
−
−
zZ
akT
aTe
zeZ
−
−−
− =
− 1
1
1
1
Donde tenemos que el resultado de la transformada inversa es:
,1)( akTeKTx −−= ,.....2,1,0=k
))(1(
)1()(
aT
aT
ezz
zezX
−
−
−−
−=
42
Método de la integral de inversión
Se utiliza para obtener la transformada z inversa. La integral de inversión
de la transformada z, )(zX , se define como:
(1.45)
En donde c es un círculo con centro en el origen del plano z, donde todos
los polos de 1)( −kzzX , estan dentro.
La ecuación que proporciona la transformada z inversa en terminos de los
residuos se puede obtener si utilizamos la teoría de variable compleja y es
como sigue.
mKKKkxkTx +⋅⋅⋅++== 21)()(
∑=
=m
i 1
[ siduoRe de 1)( −kzX en el polo 1zz = de 1)( −kzzX ] (1.46)
En donde ,1K mKK ,...2 denota los residuos de 1)( −kzzX en los polos 1z ,
2z ,…, mz respectivamente. Al evaluar los residuos, observe que si el
denominador de 1)( −kzzX contiene un polo simple en izz = entonces el residuo
K correspondiente esta dado por
(1.47)
Si 1)( −kzzX contiene un polo múltiple jz de orden ,q entonces el residuo
K esta dado por
[ ] ∫−− ===
c
k dzzzXj
kxkTxzXZ 11 )(2
1)()()(
π
[ ]1)()(lim−
→
−= k
i
zz
zzXzzKi
43
(1.48)
Observe que los valores de k en las tres ecuaciones anteriores son
enteros positivos.
Si )(zX tiene un cero de orden r en el origen , entonces 1)( −kzzX en la
ecuación 1.46 involucrará un cero de orden r+k-1 en el origen. Si ,1≥r
entonces 01 ≥−+ kr para ,0≥k y no hay plo en 0=z en 1)( −kzzX . Sin
embargo, si ,0≤r entonces habra un polo en 0=z para uno o mas valores
positivos de .k En tal caso, es necesaria la inversion por separado de la
ecuacion 1.46 para cada valor de .k
Debe observarse que el método de la integral de inversión, cuando se
evalua por residuos, es una técnica muy sencilla para obtener la transformada z
inversa, siempre que 1)( −kzzX , no tenga polos en el origen, .0=z
Sin embargo, si 1)( −kzzX tiene un polo simple o uno multiple en 0=z , el
calculo se torna tedioso y el método de expansion en fracciones parciales
podria ser mas secillo de aplicar, Por otra parte en algunos problemas, el
método de expansión en fracciones parciales puéde ser muy laborioso. En
estos casos se debe utilizar el método de la integral de inversión.
[ ]1
1
1
)()(lim)!1(
1 −
−
−
→−
−= kq
jq
q
zjzzzXzz
dz
d
qK
[ ] )()( skFtkfL =
44
Ejemplo
Obtenga la transformada z inversa de
)()1()(
22
2
Tezz
zzX
−−−=
Se debe notar que
)()1()(
22
11
T
kk
ezz
zzzX
−
+−
−−=
Para =k 0, 1, 2,…, 1)( −kzzX tiene un polo simple en Tezz 2
1
−== y un polo
doble en .12 == zz A partir de la ecuacion 1.46, tenemos.
∑=
−
+
=
−−=
2
1
122
1
)()1()(
iT
k
zzpoloelenezz
zresiduodekx
21 KK +=
En donde tenemos que
=1K [Residuo en el polo simple Tez
2−= ]
( )22
)1(2
22
12
)1()()1(
limT
Tk
T
kT
aTe
e
ezz
zez
ez−
+−
−
+−
− −=
−−−
→=
]1[2 == zdoblepoloelenresiduok
45
−−−
−=
−
+
→ )()1()1(lim
)!12(
122
12
1 T
k
z ezz
zz
dz
d
−=
−
+
→ aT
k
z ez
z
dz
d 1
1lim
22
12
1 )(
)()1(lim
T
kTk
z ez
zezzk−
+−
→ −
−−+=
22
2
2 )1(1 T
T
Te
e
e
k−
−
− −−
−=
Por tanto tenemos que
22
2
222
22
21)1(1)1(
)(T
T
TT
kTT
e
e
e
k
e
eeKKkTx
−
−
−−
−−
−−
−+
−=+=
,)1(
)1(
)1( 22
22
2 T
kTT
Te
ee
eT
kT−
−−
− −
−−
−= =k 0, 1, 2,…
El método de la transformada z, tiene el mismo objetivo que el de la
transformada de Laplace, unicamente que para el caso de sistemas discretos,
lineales e invariantes en el tiempo.
Con el método de la transformada z la solución de ecuaciones en
diferencias, lineales e invariantes en el tiempo se convierte en un problema
algebraico, ademas debemos notar que la transformada z nos permite el uso de
formas convencionales de diseño usadas en el análisis de sistemas de control
analógico.
46
47
2. SISTEMAS DE CONTROL
2.1 Conceptos generales de sistemas de control
En la vida diaria del hombre se encuentran diversos tipos de controladores
y sistemas de control, los cuales son necesarios para funciones complejas de
producción, asi como para tareas muy simples y rutinarias. Un ejemplo muy
sencillo de sistema de control es el del interruptor que utilizamos para encender
y apagar una lámpara, en el cual, la tarea de controlador la realiza una persona,
el acutador es la lámpara, la variable manipulada la energía eléctrica y el
interruptor, la variable controlada y realimentación la iluminación producida por
la lámpara. De tal forma que, este sistema de control es de lazo abierto si la
persona que acciona el interruptor no pueda percibir la iluminación producida
por la lámpara, y de lazo cerrado si la persona percibe ésta.
El motivo principal del uso de un sistema de control es mantener cierta
variable o variables de algun tipo, en un valor, o rango de valores previamente
definidos. A traves de los componentes de un sistema de control, en lazo
abierto, o en lazo cerrado, o la configuración necesaria, según sea la necesidad
de las personas o procesos de producción.
48
2.1.1 Tipos de sistemas de control
Los sistemas de control se pueden clasificar de varias maneras, por
ejemplo según se analicen, como lineales y no lineales, variantes e invariantes
con el tiempo. Según el tipo de señal con que trabajen como continuos o
discretos, como modulados o no modulados, o segun su propósito o finalidad
principal, por ejemplo, un sistema de control de velocidad.
2.1.2 Sistemas de control lineales y no lineales
Debemos decir en primer lugar, que los sistemas lineales practicamente
no existen, ya que todos los sistemas son no lineales en algun grado. La
suposición de la linealidad de los sistemas, se realiza para obetener modelos
ideales, y con esto facilitar el analisis y diseño de sistemas de control, ya que
existe gran cantidad de herramientas analiticas, para este fin
2.1.3 Sistemas variantes e invariantes con el tiempo
Se dice que un sistema de control es invariante, cuando ningun parámetro
del mismo varia durante su tiempo de funcionamiento.
Estos sistemas practicamente no existen, ya que sabemos que los
circuitos electronicos y los sistemas fisicos tienden a variar sus propiedades
bajo ciertas circunstancias de operación.
49
2.1.4 Sistemas de control en tiempo continuo
Se dice que un sistema es funcion continua del tiempo, cuando en varias
partes del mismo, su funcion depende de la variable tiempo “t”.
Podemos definir dos tipos de sistemas de control en tiempo continuo como
sistemas de control de corriente alterna y de corriente directa, cuando hacemos
referencia a los sistemas de corriente alterna, se dice que estos estan
modulados según algun esquema de modulación.
Cuando se hace referencia a un sistema de control de corriente directa, no
se debe pensar estrictamente que la dirección de las señales o corrientes
correctivas es unidireccional, ya que si fuera asi no se produciria en algunos
casos la acción correctiva necesaria.
2.1.5 Sistemas de control en tiempo discreto
Estos se diferencian de los sistemas en tiempo continuo, en que las
señales en algun o algunos puntos del sistema de control, estan en forma de
pulsos o codificados digitalmente.
Se Puede dividir éstos sistemas, en sistemas de control de datos
muestreados y sistemas de control digital. En los sistemas de datos
muestreados las señales en el sistema se encuentran en forma de pulsos
digitales, mientras que en un sistema de control digital, nos referimos a la
utilizacion en si, de un controlador digital, como una computadora,
microcontrolador o cualquier sistema digital.
50
Los sistemas de datos muestreados, solo reciben información durante
instantes especificos, por lo que fuera de estos instantes el sistema no tiene
información alguna del proceso controlado.
Figura 3. Diagrama de bloques de un sistema de control de datos
muestreados
Muestreador
Entrada )(te )(te∗ )(th Salida
2.1.6 Sistemas de lazo abierto
Estos sistemas se caracterizan por el hecho de no poseer una señal de
retroalimentación; osea la variable controlada o de salida no regresa para ser
comparada con la variable de referencia, y por lo tanto, no se verifica el grado
de corrección del error en el sistema de control.
Los componentes básicos de un sistema de lazo abierto se denotan en la
figura 4.
Reten de
Datos
Proceso
Controlado
51
Controlador Proceso
Controlado
Figura 4. Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo abierto
Variable Manipulada
Referencia
Variable Controlada
La estabilidad de este tipo de sistema de control depende de la fiabilidad
de los elementos del proceso, y del hecho que las señales perturbadoras no
tengan una axión desestabilizante considerable, por lo regular estos sistemas
se utilizan cuando no es primordial una gran exactitud de regulación en un
proceso.
2.1.7 Sistemas de lazo cerrado
La característica primordial de éstos sistemas es el hecho que la variable
de salida o controlada, regresa o retroalimenta la entrada, con lo que se logra
comparar continuamente el error existente entre la referencia o consigna y esta
variable controlada.
Perturbaciones
52
Controlador Proceso
Controlado
Instrumentos
de Medición
Perturbaciones
La ventaja de comparar continuamente la variable controlada y el punto de
consigna, es el hecho que se pueden tomar diferentes acciones correctivas
según sea el error o diferencia entre estas variables.
De esta forma se logra un sistema que responde rápidamente a cambios
en los procesos o demandas externas al sistema de control.
Los componentes y las variables que intervienen en un sistema basico de
lazo cerrado se ilustran en la siguiente figura 5.
Figura 5. Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo cerrado
Error Variable Manipulada Referencia
Variable Controlada
Señal de Realimentación
53
2.1.8 Efectos de la realimentación
Nos damos cuenta que la realimentación tiene un efecto muy importante
como lo es la reducción del error entre la variable controlada y el punto de
consigna, sin embargo no es el único efecto que tiene sobre el sistema de
control, ya que también tiene la característica de variar algunos parámetros del
sistema como lo son la ganancia global, estabilidad, ancho de banda, margen
de fase, perturbaciones y sensibilidad.
Figura 6. Diagrama básico, sistema de control realimentado
Ganancia
de lazo
directo
A
Ganancia de
Realimentación
β
Xs
Xf
XoXi
54
Tomando en cuenta el sitema estático de la figura 6, en donde A es la
ganancia de lazo directo, β es la ganancia de realimentación, en la cual las
señales se pueden dirigir en el sentido indicado, Xs es la señal de cualquier
fuente para la referencia, Xi la señal de error y de entrada al bloque de
ganancia de lazo directo, Xo es el valor de la variable controlada o de salida y
Xf es la señal de realimentación. Tenemos que la ganancia total del sistema
se puede deducir de la siguiente manera.
Definimos para el sistema de la figura 6
(2.1)
Simplificando para Xs
(2.2)
La relación de entrada-salida con realimentación se define como:
(2.3)
Y tenemos que:
(2.4)
(2.5)
Sustituyendo las ecuaciones 2.4 y 2.5 en ec. 2.3
(2.6)
XfXsXi −=
XfXiXs +=
XfXi
Xo
Xs
Xo
+=
AXiXo =
XoXf β=
XoXi
AXi
Xs
Xo
β+=
55
2.7)
Reduciendo tenemos la relación de entrada-salida como:
(2.8)
Empleando la ecuación anterior y algunas propiedades de los sistemas
realimentados se puede analizar las caracteristicas dinamicas de un sistema de
control.
No esta demás recalcar que la realimentación puede afectar el valor de la
ganancia total del sistema, por ejemplo, la señal de realimentación de la figura 6
regresa con un valor negativo por lo que se dice que el sistema tiene
realimentación negativa, con esto notamos que la realimentación puede
aumentar o disminuir la ganancia total del sistema.
La ganancia del sistema es un factor que puede variar en diferentes
momentos de operación, o a diferentes frecuencias de operación, por lo que la
realimentación también puede ayudar a estabilizar este parámetro.
La realimentación tiene el efecto de compensar, como ya mencionamos
anteriormente la variación de los parámetros de operación del sistema de
control, y a la cantidad o porcentaje de variación de estos parámetros, se le
denomina sensibilidad, la cual varía en diferente medida en sistemas de control
mecánico, eléctrico y electrónico.
( )βAXi
AXi
Xs
Xo
+=
1
βA
A
Xs
Xo
+=
1
56
La realimentación también actúa sobre señales aleatorias que afectan al
sistema, a las cuales se les denomina perturbaciones o ruido, estas señales
existen en todos los sistemas y son inevitables, pero con el uso de la
realimentación se pueden reducir sus efectos, aunque tomando en cuenta que
la cantidad de corrección dependerá del lugar en donde actúen estas señales
en el sistema de control.
2.2 Control PID
Se le denomina de esta forma a un proceso controlado por un sistema de
compensación en lazo cerrado, basado en un regulador de acciones
proporcional, integral y derivativa o PID, de tal forma que se logran
caracteristicas dinámicas estables, o dicho de otra forma se logra que el
sistema responda a cambios en sus variables en una forma estable.
2.3 Análisis de controladores PID en tiempo continuo
Se denomina análisis en tiempo continuo, debido al hecho que el tipo de
controlador que se utiliza en este momento es del tipo de señales analógicas,
osea el controlador o sistema no deja de percibir información sobre el proceso
en ningun momento del mismo. Caso que no ocurre en sistemas como en la
figura 3, en el cual se cuenta con un muestrador, que permite al sistema percibir
información solo en instantes espaciados, con un tiempo períodico.
57
2.3.1 Controlador PID
El regulador PID (Proporcional, Integral y Derivativo) es parte de un
sistema de control realimentado, cuyo propósito es hacer que el error en estado
estacionario, entre la señal de referencia y la señal de salida del proceso, sea
cero de manera asintótica en el tiempo, lo que se logra mediante el uso de la
acción integral. Además el controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a
través de la acción derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del
proceso.
Los controladores PID son suficientes para resolver el problema de control
de muchas aplicaciones en la industria, particularmente cuando la dinámica del
proceso lo permite (En general, procesos que pueden ser descritos por
dinámicas de primer y segundo orden).
El controlador PID es un elemento importante en sistemas de control
distribuido, de tal forma que un gran porcentaje de reguladores utilizados en la
industria son del tipo PID, y mas especificamente del tipo PI, demostrando que
el usuario busca la simplicidad en los algoritmos de control.
El regulador PID se utiliza en el control de procesos industriales con
mucha frecuencia como controlador en la implementación de esquemas de
compensación en sistemas de control, por lo regular de un grado de libertad.
Osea el esquema utiliza un solo regulador, aunque este regulador pueda variar
mas de un parametro de regulación.
El esquema más utilizado en sistemas de control de procesos industriales
es el de compensación en serie, o cascada, mostrado en la figura 6
58
2.3.2 Diseño de un controlador PID continuo
Para desarrollar una indea de las características y la forma de
implementar un algoritmo PID, se realizara el diseño de este utilizando
amplificadores operacionales, aunque es posible implementar un algoritmo en
distintas formas de software o hardware. Se pretende en este momento
introducir nociones basicas y definir parametros de regulación ajustables en
estos controladores, como lo son las constantes pK , dK y iK .
Figura 7. Implementación de un algoritmo PID, utilizando
amplificadores operacionales
PR
FR
DC
DR
IR
IC
R
R
R
R
)(sE
)(sVP)(sVD
)(sV I
++ SK
S
KKsE D
IP)(=)(sVo
59
Se sabe que la ganancia de los diferentes Amplificadores operacionales
que componen el diagrama de regulador PID mostrado en la figura 7, se define
como:
Amplificador Negador
(2.9)
Amplificador Derivativo
(2.10)
Amplificador Integrador
(2.11)
Amplificador Sumador, para este caso:
(2.12)
Sustituyendo en la ecuación 2.12 del amplificador sumador tenemos.
(2.13)
(2.14)
P
FP
R
R
sE
sV −=
)(
)(
sRCsE
sVDD
D −=)(
)(
sRCsE
sV
II
I 1
)(
)( −=
( )DIPDIp VVVVR
RV
R
RV
R
RsVo ++−=
++−=)(
( )
−−−−=++−= )(
11)()()( sE
sRCssERCsE
R
RVVVsVo
II
DD
P
FDIP
++=
sRCsRC
R
RsEsVo
II
DD
P
F 11)()(
60
Definimos tres constantes de sintonia en los controladores PID, que para el
caso de la ecuación 2.14 es:
(2.15)
En donde DT y IT se definen como el tiempo derivativo y el tiempo de
integración respectivamente.
Ahora se define:
(2.16)
La ecuación 2.16 muestra la relación existente entre las constantes de
sintonia y la variación de las caracteristicas de respuesta dinamica de la función
de transferencia de un regulador PID, y debido a esta dependencia la relación
existente hacia la respuesta total del sistema.
Las tres constantes anteriormente definidas, son las parametrizaciones
necesarias que se deben definir en un regulador PID, para el control adecuado
(Lograr un sistema estable), de procesos industriales. Debemos hacer notar que
el valor de estas constantes, depende de las características dinámicas del
proceso a controlar, para este fin existen en la practica, metodos empíricos,
como los desarrollados por Ziegler y Nichols, para un calculo aproximado,
necesitándose de un ajuste fino de las mismas, valiéndose de métodos de
prueba y error.
P
FP
R
RK = DDDD TRCK ==
III
ITRC
K11
==;;
++=
sKsKK
sE
sVoidp
1
)(
)(
61
2.3.3 Ubicación de un regulador PID en un sistema de control
La figura 8, nos muestra la forma en que esta ubicado un regulador PID
dentro de un sistema de compensación.
Es importante hacer notar que el punto de referencia o consigna en estos
sistemas, por lo general, cambia sus valores, en la forma de un escalon, esto se
debe a que dicha variable por lo regular es indicada por un operario de una
forma arbitraria. De este modo el cambio más abruptuo esperado sera este
escalon, y tomaremos en cuenta variaciones del tipo escalon para el análisis de
estabilidad, ya que es el caso, en plantas industriales y procesos de producción.
Figura 8. Ubicación del regulador PID en un sistema de control
Referencia Variable controlada
Proceso Controlado
Instrumento. de Medida
62
pp EKP =
2.3.4 Análisis de controles proporcional, integral y derivativo
2.3.4.1 Control proporcional
El controlador de tipo continuo más simple utilizado en los sistemas
realimentados es el controlador proporcional (P). Con un controlador
proporcional la acción correctiva, o acción de control, es proporcional al error
del proceso, es decir, proporcional a la diferencia entre la referencia y la
variable medida. La relación lineal entre el error y la señal de salida del
controlador se puede expresar por medio de la siguiente ecuación:
(2.17)
Donde
P es la señal de salida del controlador
pK es la ganancia proporcional
pE es el error del proceso (referencia menos variable medida).
El controlador proporcional no puede eliminar completamente el error del
proceso. Esto se debe a que para mantener la señal de salida del controlador
con un valor dado, se requiere un error de régimen. Generalmente, a este error
se le llama desviación proporcional o error en estado estacionario, y representa
la principal desventaja de los controladores proporcionales.
63
Se puede ayudar a hacer mínimo el error en estado estacionario,
aumentando en lo posible la ganancia proporcional. Lamentablemente,
incrementando la ganancia proporcional, también se aumenta la tendencia
hacia la inestabilidad. En realidad, cuando la ganancia es muy elevada, el
controlador presenta oscilaciones alrededor de la referencia. Por lo tanto,
aumentar la ganancia proporcional no es una solución ideal para eliminar el
error de estabilidad de un proceso.
Figura 9. Gráficas de respuesta al escalón, de un sistema de control de
lazo cerrado con un control proporcional en un proceso de
segundo orden
3=pK
50=pK
15=pK
64
Notamos en la figura 9, que el error en estado estacionario (desviación
proporcional) con 3=pK es considerable, y se reduce con el aumento en la
constante proporcional, pero a costa de la estabilidad.
Otra característica importante que observamos con el aumento en la
constante proporcional, es una disminución del tiempo de respuesta del
proceso, aunque con un aumento de la inestabilidad, mencionada
anteriormente.
Figura 10. Modelo utilizado para un control Tipo P, realizado en simulink
2.3.4.2 Control integral y PI
Uno de los métodos para eliminar el error en estado estacionario que se
da, en un sistema de control que cuenta únicamente con un controlador
proporcional, es agregando una desviación en la salida del controlador.
Para que el error del proceso resulte nulo, el valor de esa desviación se ajusta
manualmente con el valor nominal de la carga.
65
opp PEKP +=
Por lo último, este método suele llamarse reposición manual. Cuando se
agrega una desviación en la salida del controlador, la forma de la ecuación que
relaciona el error del proceso y la señal de salida del controlador, se transforma
en:
(2.18)
Donde Po , es la desviación en la salida del controlador.
Este método para eliminar el error del proceso funciona para una carga
dada. Si ésta cambia, ese error no es más nulo. Por lo tanto, este método se
puede emplear en los sistemas de control de procesos en que el valor medio de
la carga es constante.
Ahora debemos incluir un término que se encargue del tiempo que dura
este error (para generar un reset automático). Si hacemos que un número varíe
de acuerdo con el tamaño y el tiempo que dure el error, entonces podríamos
sustituir al reset manual.
Por cada unidad de tiempo, agregamos una pequeña cantidad a nuestro
valor el cual equivale al área formada entre el tiempo y el error.
El método por el cual conseguimos incluir un término que varie deacuerdo
al tamaño y duración del error en estado estacionario, es utilizar una acción
integral, la cual nos permite acumular la diferencia existente entre la variable de
proceso y la referencia durante el tiempo que dura el error.
66
La acción integral nos permite corregir el error en estado estacionario, con
ciertas limitantes, tales como la tendencia a oscilaciones o inestabilidad, si
agregamos demasiada ganancia Integral a nuestro regulador, como lo muestra
la grafica de la figura 11, con una ganancia integral 6=iK .
Como notamos en la figura 11, la acción integral, es suficiente, para
corregir el error de estado, existente en un control P, de alli que un control PI
es suficiente para la regulación de muchas aplicaciones en plantas industriales.
Figura 11. Respuesta a una entrada escalón de un control PI en un
proceso de segundo orden
6=iK
1=iK25.0=iK
4=iK
3=pK
67
dt
tdekd
)(= Derivativa Acción
Notamos claramente el efecto que provoca la acción integral sobre un
control proporcional con una 3=pK , la grafica de la figura 9, ilustra el control
puramente proporcional, y la grafica de la figura 11, nos muestra las diferentes
acciones de corrección ocurridas con el aumento en la accion integral, vemos
que el error de estado estacionario es corregido levemente con 25.0=iK ,
aumentando su efecto al aumentar esta acción pero incrementando el
sobrepaso inicial hasta llegar a valores que pueden volver inestable el sistema,
como es este caso, con una constante de integración con valor 6=iK .
2.3.4.3 Control derivativo
En un control con acción derivativa se hace una corrección que es proporcional a la derivada del error respecto al tiempo.
(2.19) Donde: dttde /)( es un cambio en el error.
dK : es la ganancia del control derivativo.
El controlador derivativo es útil porque responde a la rapidez de cambio de
error y puede producir una corrección significativa antes de que la magnitud real
del error sea grande. Por está razón se dice, a veces, que el control derivativo
se anticipa al error y de está manera inicia una prematura corrección del error,
sin embargo, a pesar de su utilidad no puede usarse solo, porque no responde
a un error en estado estable, por lo tanto, debe usarse en combinación con
otras acciones de control.
68
Características:
a) Tiene efecto únicamente en la parte transitoria, por eso disminuye las
oscilaciones, estabilizándose más rápido “se anticipa al error”.
b) Se basa en la pendiente del error.
c) En estado estable nunca actúa y por eso nunca se encuentra un control
derivativo solo.
69
Figura 12. Respuesta al escalón producida por un control PD
Notamos en la gráfica 12, la acción de un control PD sobre la respuesta al
escalon, de un sistema de segundo orden. Nos damos cuenta que esta acción,
reduce notablemente el sobrepaso inicial, debido a que se opone al cambio
repentino, pero a valores grandes produce una respuesta muy lenta, la cual no
se desea en la regulación de procesos o sistemas de control, ademas con
valores pequeños, proporciona un efecto el cual no realiza una reducción
adecuada de las oscilaciones iniciales, con lo que se debe tener un equilibrio
entre estabilidad y velocidad de respuesta.
6=dK
10=dK
100=dK
0=dK
50=PK
3=dK
70
PID
PI
P
Es importante hacer notar que en sistemas fisicos reales, las
perturbaciones aleatorias propias del proceso, pueden ser un factor
determinante en la elección de la constante derivativa, ya que a valores grandes
de DK , las perturbaciones crean oscilaciones que incrementan con el tiempo.
Figura 13. Respuesta al escalón, producida por un regulador PID
(a)
71
(b)
Vemos en la figura 13. El tipo de respuesta conseguido con las costantes
de sintonia indicadas. Se ve que la respuesta con mejores caracteristicas de
estabilidad, se consigue en este caso, con el regulador pid, aunque
dependiendo del tipo de proceso regulado, solo se suele utilizar un control PI, y
ya que el control PD no es prácticamente realizable, se suelen utilizar en la
práctica solamente controladores P, PI y PID.
PD
PI
PIDP
15=PK 4=dK 4=iK
72
Podemos observar claramente en la figura 13 a. La respuesta de un
sistema de segundo orden, con funcion de transferencia 1/ 2)1/(1 +s , a una
entrada escalon, y notamos algunas de las caracteristicas anteriormente
descritas para cada tipo de regulador. Por ejemplo, notamos que el regulador
P, proporciona una respuesta de corrección rapida al cambio de entrada, pero
nunca corrige el error en estado estacionario, ademas crea un sobrepaso inicial
bastante alto.
En el regulador PD, se nota que es reducido el sobrepaso inicial, y se
consiguen buenas caracteristicas en cuanto a tiempo de respuesta, pero se
sigue, teniendo problemas en reducir el error en estado estacionario.
Con el regulador PI, se consigue corregir el error en estado estacionario,
pero como notamos, el efecto integral puede provocar un sobrepaso aun mas
elevado que el producido por un regulador P solamente, aunque con las
sintonia adecuada se pueden obtener buenas caracteristicas de respuesta.
En el caso del regulador PID, se logra para este tipo de proceso, un
equilibrio bastante bueno entre tiempo de respuesta, corrección del error en
estado estacionario y un aceptable grado de sobrepaso inicial, por lo que el
regulador PID, combina las buenas caracteristicas de cada una de las acciones
de regulación. Debemos hacer notar que en muchas ocasiones debido a las
caracteristicas dinamicas de los procesos, es suficiente utilizar reguladores PI,
con los que se obtienen muy buenas características de regulación, y de hecho
en la práctica se suelen utilizar con mucha frecuencia este tipo de reguladores.
73
2.4 Aplicaciones de los controladores PID
Los reguladores PID son de mucha utilidad, en la regulación de procesos
industriales, de tal modo que la gran mayoria de reguladores utilizados en la
industria, son de este tipo, ya que por lo general, se busca simplicidad en las
estrategias de control. Se suelen utilizar en plantas industriales, en el control de
niveles, presiones, flujos, temperaturas, movimientos o posiciones, velocidades
etc.
Los procesos anteriormente mencionados, poseen ciertas caracteristicas
dinamicas, muy importantes, como por ejemplo el tiempo muerto, constantes de
tiempo, tiempo de establecimiento o ganancias de proceso. las cuales definen,
la clasificación del proceso, en procesos de primer orden, de segundo orden o
de orden superior.
En el presente caso, el estudio de respuesta, en lazos de control con
reguladores PID, se limitará hasta procesos de segundo orden, ya que es hasta
los cuales se alcanza una regulación adecuada o estable, y por lo tanto, es la
situación que se encuentra en la practica, debiendose utilizar para procesos de
orden superior, otro tipo de estrategias de control. Por tal razón, se propondra
un modelo equivalente para estos procesos, con el fin de realizar analisis de
respuesta o modelaciones, ya que las características dinámicas de estos
procesos industriales son iguales cualitativamente, aunque cambian
cuantitativamente dependiendo de la variable o proceso a ser regulado.
74
)(
)()(
SQ
SHSG =
Función de transferencia de un proceso
Todos los procesos pueden ser caracterizados por su función de
transferencia. Aunque las variables de entrada y de salida, pueden ser
descritas por funciones en el dominio del tiempo f(t) , son comunmente
representadas en el dominio de la frecuencia como transformadas de Laplace
F(s) , debido a que se pueden analisar con mas facilidad.
Consecuentemente, la función de transferencia de un procesos puede ser
definida como la transformada de Laplace de la función en el tiempo de la
variable de salida, dividida la transformada de Laplace de la función en el
tiempo de la variable de entrada, como se muestra en la ecuación 2.20.
(2.20)
)(SG = Función de transferencia del proceso, en el dominio de la frecuencia
)(SH = Transformada de Laplace de la variable de salida en el tiempo
)(SQ = Transformada de Laplace de la variable de entrada en el tiempo
Figura 14. Función de transferencia de un proceso
)(SH)(SG
)(SQ
75
Procesos de primer orden
Se definen de esta manera, los procesos industriales que constan de un
elemento resistivo, y un elemento capacitivo, la figura 15 muestra un ejemplo de
un proceso de primer orden típico en una planta. El tanque representa la
capacitancia del proceso y la valvula la resistencia.
Figura 15. Proceso de primer orden
La función de transferencia del proceso puede ser determinada basada en
la ley de conservación de masa, que define que la materia no puede ser creada
ni destruida. Esto implica que, en estado estacionario, la taza de flujo masico
del líquido de entrada al tanque, ),(1 tq es igual a la taza de flujo masico de
líquido que sale del tanque, ).(2 tq Este enfoque implica la siguiente relación de
balance de masa en estado estacionario:
76
dt
hAdtqtq
)()()( 11
21
ρρρ =−
1
12
)()(
R
thtq =
dt
dhA
R
thtq 1
1
1
11
)()( =−
(2.21)
En donde
ρ = Densidad de masa del líquido
)(1 tq = Taza de flujo másico del líquido de entrada
)(2 tq = Taza de flujo másico del líquido de salida
)(1 th = Nivel del líquido en el tanque
Asumimos que el tanque drena a traves de una tuberia de resistencia 1R
que varia linealmente con el nivel del líquido en el tanque, 1h , la taza de flujo
másico que deja el tanque es, )(2 tq , puede ser definida por la siguiente
relación:
(2.22)
Substituyendo para )(1 tq
(2.23)
Ahora considere la ecución 2.23 bajo condiciones de estado estacionario
en un punto inicial en el tiempo .0=t En estas condiciones el nivel del tanque,
1h , es constante, asi la ecuacion anterior puede ser escrita como:
77
[ ] [ ]dt
hthdAhth
Rqq
t
ttt
)0(11
1)0(11
1
)0(1)(1
)()(
1 =
==
−+−=−
)0(111 )()( =−= tqtqtQ
)0(111 )()( =−= ththtH
)()(1
)( 111
1
1 sHsAsHR
sQ +=
(2.24)
En un momento igual a cero, se realiza, un cambio en la taza de flujo
másico, en forma de escalón desde su estado estacionario con valor ).(1 tq la
respuesta dependiente del tiempo del proceso al cambio en escalón en la taza
de flujo es
(2.25)
Ahora dejamos
(2.26)
Y tenemos que
(2.27)
Por lo que tenemos que la ecuacion 2.25, se vuelve
(2.28)
Consecuentemente, la función de transferencia del proceso de primer
orden es
(2.29)
1)(
)(
1
1
1
1
+=
sT
R
sQ
sH
01
)0(1
)0(1 =−=
=R
hq
t
t
78
Donde:
1R = Ganancia del proceso
=1T Constante de tiempo del proceso, igual a 11RA .
Esta forma de función de transferencia, es denominada de primer orden,
debido a que el polinomio que aparece en su denominador es de grado uno, y
es una función tipica para un proceso de primer orden.
Función de transferencia de un proceso de segundo orden
Como fue mencionado previamente, un proceso de segundo orden, son
los procesos que constan de dos elementos capacitivos, y dos elementos
resistivos. Los procesos de segundo orden, se clasifican como no interactivos e
interactivos.
La figura 16, muestra un ejemplo de la diferencia que existe entre
procesos interactivos y no interactivos de segundo orden. Se puede observar,
que en el proceso no interactivo, el nivel del tanque dos, no tiene impacto sobre
la taza de flujo que sale del tanque uno. Mientras que en el proceso interactivo,
la taza de flujo que sale del tanque uno, que es también la taza de flujo que
entra en el tanque dos, es dependiente del nivel del liquido en ambos tanques
uno y dos.
79
La función de transferencia entre las varibles de salida del proceso de
segundo orden, interactivo o no interectivo, puede ser deducida utilizando el
mismo metodo previamente presentado para procesos de primer orden. Asi, la
relación del balance de masa en estado estacionario, es primero utilizada para
encontrar la ecuación diferencial, que describa el proceso en terminos de la
variable independiente t. Se utiliza la transformada de Laplace para encontrar la
función de transferencia en función de la variable compleja s.
Consideremos el proceso no interactivo de la figura 16 (a). Como fue
presentado anteriormente, la función de transferencia que relaciona el nivel del
líquido en el tanque uno, ),(1 sH y la taza de flujo entrando al tanque uno, ),(1 sQ
es como sigue.
(2.30)
Donde 1T = constante de tiempo del proceso, y es igual 11TA .
1)(
)(
1
1
1
1
+=
sT
R
sQ
sH
80
Figura 16. Planta tipica para aproximación de procesos de segundo
orden
(a)
(b)
81
1
12
R
HQ =
12
2
1
2
+=
sT
R
Q
H
+
+=
11
1
2
2
11
2
sT
R
sTQ
H
Por otro lado, la taza de flujo entrando al tanque dos, ),(2 sQ es definida
por:
(2.31)
Consecuentemente tenemos que:
(2.32)
En donde 222 TAT =
Por tanto la función de transferencia total, que relaciona el nivel del líquido
del tanque 2, ),(2 sH y la taza de flujo entrando al tanque 1, ),(1 sQ es:
(2.33)
En donde 222 RAT =
En la demostración anterior, notamos que la función de transferencia de
un procesos de segundo orden, no interactivo, es simplemente el producto de
las funciones de tranferencia individualmente.
82
[ ])()(1
)( 21
1
2 ththR
tq −=
dt
dhAtqtq 1
121 )()( =−
2
23
)()(
R
thtq =
dt
dhAtqtq 2
232 )()( =−
)()()( 2121 sHsHsQR −=
La funcion anterior, también demuestra que la constante de tiempo de un
proceso se incrementa cuando el orden N del proceso aumenta.
Consecuentemente, el incremento del orden N de un proceso, retarda la
respuesta dinamica de un proceso, cuando es sujeto a un cambio en escalón de
la variable de entrada.
Ahora considere el proceso interactivo de la figura 15 b. Las ecuaciones
que describen este proceso son mas complejas que las que describen el
proceso no interactivo, esto es por una parte debido a que la taza de flujo en la
tuberia que conecta al tanque uno y dos, es dependiente del nivel del líquido en
ambos tanques.
La ecuaciones diferenciales lineales son
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.35)
La transformacion de Laplace de estas ecuaciones es
(2.36)
83
)()()( 1121 ssHAsQsQ =−
)()( 232 sHsQR =
)()()( 2232 ssHAsQsQ =−
( ) 1)(
)(
2121
2
21
2
1
2
++++=
sRATTsTT
R
sQ
sH
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Usando las ecuaciones 2.36 a 2.39, se puede demostrar que la función de
transferencia total que relaciona el nivel del liquido en el tanque 2, ),(2 sH y el
flujo entrante al tanque uno, ),(1 sQ es.
(2.40)
Asumiendo que el tanque uno y el tanque dos son de identico tamaño y
capacidad, ( 21 TTT == ), se puede hacer una comparación de las ecuaciones
2.33 y 2.40 y se concluiria, que la constante de tiempo para el proceso
interactivo, es mas grande que para el proceso no interactivo.
Es importante mencionar, que se pueden modelar muchas variaciones de
procesos, pero el analisis principal, es el desarrollado anteriormente, y
realizando diferentes tipos de sistemas, las ecuaciones pueden volverse mas
extensas y complejas.
84
85
3. DISCRETIZACIÓN DE CONTROLADORES PID ANALÓGICOS
3.1 Función de transferencia de lazos de control que utilizan
controladores PID en tiempo continuo
Anteriormente se define la ganancia de lazo cerrado, por medio de la
ecuación 2.8, la cual por conveniencia se escribe nuevamente a continuación.
(2.8)
Ya que hemos determinado anteriormente una representación
aproximada, de cada uno de los elementos que componen el sistema de control
de un procesos, se muestra en la figura 16, el modelo equivalente, para un
sistema de control en tiempo continuo, el cual modela un proceso de segundo
orden, utilizando un regulador tipo PID, presentado como una función de la
frecuencia.
Figura 17. Modelo de proceso de segundo orden controlado con un
regulador PID
βA
A
Xs
Xo
+=
1
sKs
KK dip ++1
+
+ 21
1
2
1
1 Ts
R
Ts
)( dtse
−
1
+−
86
En la figura 17, se añade en el lazo directo, el factor stde
− , el cual se
relaciona a un retrazo puro, en la respuesta del sistema, con un valor de retrazo
( dt ), al que se le denomina tiempo muerto, y que existe en todos los sistemas
de control, debido a una fracción de tiempo en el que no se compensa
inmediatamente un cambio en el punto de referencia, y que es debido a por
ejemplo el tiempo de respuesta de todos o cualquiera de los componentes del
sistema de control. Este factor es de importancia, debido a que la estabilidad
del sistema, esta relacionada con este tiempo, y de hecho es un factor a tomar
en el calculo de las constantes de sintonia de un regulador PID.
3.2 Discretización utilizando la transformada z
Los lazos de control continuo, estan formados de tal forma que los
componentes del sistema, siempre tienen informacion sobre la variable
controlada, la cual es comparada en todo momento con la consigna y en base a
esto realizar una acción correctiva o de compensación. Esto no sucede en los
sistemas de control discreto, ya que en éstos la información de la variable
controlada o el error, entre esta variable y la consigna, solo se obtiene durante
el instante de muestreo. La transformada z es utilizada para el análisis y diseño
de sistemas discretos, en los que asumimos un périodo de muestreo constante
y que sera el mismo para cualquier cantidad de muestreadores en nuestros
sistema, ademas de poseer la misma fase.
87
∑∞
=
−=0
* )()()(k
kTtkTxtx δ
)()()()()()0()(* kTtkTxTtTxtxtx −+⋅⋅⋅⋅+−+= δδδ
)()(0
kTttk
T −=∑∞
=
δδ
Figura 18. Muestreador mediante impulsos
3.2.1 Muestreador mediante impulsos
Este muestreador, consta de una serie de impulsos comenzando en t=0,
con un periodo T, y una amplitud igual al valor de x(t) en el instante de
muestreo, se puede representar por la ecuación 3.1 y la representaremos como
)(* tx .
(3.1)
Desarrollando la ecuacion 3.1
(3.2)
y tenemos que un tren de pulsos unitario se define como sigue
(3.3)
)(tx
t0
)(* tx
0 t
)(tx )(* tx
)(sX )(* sXTδ
88
∑∞
=
−=0
)(k
kTSekTx
Osea el muestreador mediante impulsos, se considera como un
modulador, en el cual se puede considerar a x(t) como la señal moduladora, y a
)(tTδ , como la señal portadora, como se muestra en la figura 19.
Figura 19. Muestreador mediante impulsos como modulador
Ahora encotremos la transformada de Laplace de la ecuacion 3.2. como
sigue:
⋅⋅⋅⋅+−+−+== ]]]] )2([)2()([)()([)0()([)( ** TtLTxTtLTxtLxtxLtX δδδ
⋅⋅⋅⋅+++= −− TSTS eTxeTxx 2)2()()0(
(3.4)
*
89
∑∞
=
−= =
0
ln)/1( )(|)(k
k
zTs zkTxsX
∑∞
=
−= ==
=
0
*
ln)/1(
* )()(ln1
|)(k
k
zTs zkTxzXzT
XsX
Si ahora se define
zeTS =
Despejando para s tenemos
zT
s ln1
=
Entonces la ecuacion 3.4 se convierte en
(3.4b)
Notamos que el segundo miembro de la ecuación 3.4b, es la transformada
z de la secuencia ),0(x ),(Tx ),.....,2( Tx que surge a partir de )(tx en ,kTt =
donde ,....2,1,0=k por lo que se puede definir.
)(|)( ln)/1(
*zXsX zTs ==
Y tenemos que la ecuación 3.4b. se comvierte en
(3.5)
Entonces definimos que si una señal continua )(tx , se muestrea mediante
impulsos periodicos, la señal obtenida se puede representar con la ecuación
3.1, que por conveniencia se escribe a continuación.
90
01
1
1)( aaaakTh n
n
n
n ++⋅⋅⋅++=+ −− ττττ
)()( 1
1
1 kTxaaakTh n
n
n
n ++⋅⋅⋅++=+ −− ττττ
∑∞
=
−=0
*)()()(
k
kTtkTxtx δ
3.2.2 Circuitos para la retención de datos
En circuitos reales, la duracion del muestreo es muy corta, en
comparación de con la constante de tiempo mas pequeña de la planta. Un
muestreador convierte una señal en tiempo continuo, en una señal discreta que
proporciona informacion unicamente en los instantes de muestreo.
La retención de datos es un proceso en el cual se genera una señal
continua, a partir de la información de pulsos en tiempo discreto, osea se
reproduce aproximadamente la señal continua aplicada a un muestreador. La
señal entre intervalos de muestreo )(th , y con con una duración
TktkT )1( +<≤ , se puede aproximar mediante un polinomio en τ como se
muestra en la ecuacion 3.6.
(3.6)
En donde tenemos que .0 T<≤ τ Observe que la señal )(kTh debe ser
igual a ).(kTx
)()( kTxkTh =
Entonces se puede escribir la ecuación 3.6 como sigue
(3.7)
91
)()( kTxkTh =+τ
La ecuacion 3.7 es un retenedor de n-ésimo orden, y debido a que un
retenedor de n orden, utiliza muestras anteriores, para extrapolar una señal
continua, entre un tiempo de muestreo y el siguiente, la señal en tiempo
continuo se mejora si al aumentar la cantidad de muestras. Pero a costa de
aumentar el tiempo de retraso, el cual en sistemas de control, es de mucha
importancia para la estabilidad.
Para obtener el retenedor de datos mas sencillo se utiliza n=0 en la
ecuación 3.7 esto es cuando
(3.8)
En donde, T<≤ τ0 y ,...2,1,0=k la ecuación 3.8 significa que el circuito
retiene la amplitud de la muestra de un instante de muestreo al siguiente, y
dicho retenedor es denominado de orden cero, o sujetador o generador de
señal de escalera.
Tenemos que la función de transferencia de un retenedor de orden cero
esta dada por la ecuación 3.9 la que se demostrara posteriomente.
s
eG
Ts
h
−−=
1
92
TtparakTxtkTh <≤=+ 0),()(
Figura 20. Retenedor de orden cero
3.2.3 Retenedor de orden cero
En la figura 20 se muestra un retenedor de orden cero, el cual suavisa la
señal de la última muestra, hasta la siguiente, asi sucecivamente para producir
la señal )(th la cual es constante, de tal forma que tenemos
(3.9 )
Encontraremos un modelo para el retenedor de orden cero, a partir del
hecho que la integral de una función impulso, es una constante, y suponemos
que el retenedor de orden cero es un integrador, y la entrada al retenedor es un
tren de impulsos, de tal modo que se puede construir un modelo para el
retenedor y el muestreador real como se muestra en la figura 21, donde )(0 sGh
en la función de transferencia del retenedor de orden cero.
Retenedor de
Orden Cero
)(th)(tx )(kTx
93
∑∞
=
+−−−=0
)1((1)(1)[(k
TktkTtkTx ]
Figura 21. Función de transferencia de un retenedor de orden cero
(a)
(b)
En la figura 21 a. tenemos que la señal de )(tx es cero para 0<t .
Entonces relacionamos )(1 th con )(tx asi:
)]2-1(-)-)[1((] TtTtTxTttxh +−−= )(1)(1)[0(1
⋅⋅⋅+−−−+ ])3(1)2(1)[2( TtTtTx
(3.10)
Y sabemos que
skTtL
-kTse] =− )(1[
)(0 sGh )(tx )(* tx )(2 th
Tδ )(* sX )(2 sH
)(tx
T
)(1 th)(kTx Retenedor de
orden cero
94
∑∞
=
−−−
=0
)(1
k
kTsTs
ekTxs
e
∑∞
=
−−−
=0
2 )(1
)(k
kTsTs
ekTxs
esH
)()()( *
02 sXsGsH h=
)(1 *
sXs
eTs−−
=
La transformada de Laplace de la ecuación 3.10 es
∑∞
=
+−− −==
0
)1(
11 )()()([k
TskkTs
s
eekTxsHthL ]
(3.11)
Según el modelo utilizado en la figura 21, tenemos que
)()([ 122 sHsHhL ==]
De este modo tenemos que
(3.12)
De la figura 21 b. Tenemos
(3.13)
Debido a
∑∞
=
−=0
*)()(
k
kTsekTxsX
Reescribimos la ecuación 3.12 como
(3.14)
95
)()1()(
)1()( 1 sGes
sGesX TsTs −− −=−=
Al comparar las ecuaciones 3.13 y 3.14 tenemos que la función de
transferencia del retenedor de orden cero es:
s
eG
Ts
h
−−=
1
Podemos resumir que un muestreador real y retenedor de orden cero es
reemplazable por un sistema en tiempo continuo, matematicamente
equivalente.
3.2.4 Transformada z de fuciones que involucran un retenedor de orden
cero
Consideramos la necesidad de encontrar la transformada z de la función
),(sG a la salida de un retenedor de orden cero.
)(1
)( sGs
esX
Ts−−=
Escribimos )(sX como sigue:
(3.15)
Donde
s
sGsG
)()(1 =
96
)()( 11 sGesX Ts−=
Y consideramos la función
(3.16)
Consideramos que )(1 sX es el producto de dos transformadas de Laplace,
de dos funciones, y esta puede calcularse por una integral de convolución a
partir de la ecuación 3.16 como sigue:
∫ −=t
dgtgtx0
101 )()()( τττ
En donde tenemos que
[ ] )(1
0 TteLgTs −== −− δ
[ ])()( 1
1
1 sGLtg −=
Donde
∫ −−=t
dgTttx0
11 )()()( τττδ
)(1 Ttg −=
Por tanto si escribimos
[ ] )()( 11 zGtgZ =
97
[ ]
−== −
s
sGZzsXZzX
)()1()()( 1
La transformada z de )(1 tx es
[ ] [ ] )()()( 1
1
11 zGzTtgZtxZ −=−=
Valiendonos de las ecuaciones 3.15 y 3.16 tenemos que
[ ])()()( 11 sGesGZzX Ts−−=
[ ] [ ])()( 11 txZtgZ −=
)()( 1
1
1 zGzzG −−=
( ) )(1 1
1 zGz −−=
O
(3.17)
Asi se deduce que si )(sX incluye un factor Tse
−−1 entonces la
transformada z de ),(sX se obtiene reemplasando Tse
−−1 por )1( 1−− z y
obteniendo la transformada z de ./)( ssG
3.2.5 Sumatoria de convolución
Considere el sistema mostrado en la figura 22. Notamos que la señal
mediante impulsos )(* tx es la entrada al sistema en tiempo continuo cuya
función de transferencia es ),(sG y la salida es una señal en tiempo continuo.
98
[ ] k
k
zkTyzYtyZ −∞
=
∑== )()()(0
Tδ
)(ty
)(* ty
Suponemos un muestreador a la salida de ),(sG sincronizado con la
entrada, entonces la salida es un tren de impulsos. Se supone que 0)( =ty para
.0<t Y la transformada z de )(ty sera:
(3.18)
Figura 22. Sistema en tiempo continuo exitado con una señalmuestreada
mediante impulsos
Si se considera un mestreador ficticio en la salida y seobserva la
secuancia de valores que toma )(ty solo en los instantes ,kTt = entonces la
transformada z de la salida )(* ty puede estar dada por la ecuación 3.18.
Para sistemas en tiempo discreto se utiliza una función similar a la integral
de convolución utilizada para sistemas continuos la cual relaciona las señales
de entrada y salida de la siguiente forma:
ττττττ dgtxdxtgtyt t
)()()()()(0 0∫ ∫ −=−=
)(sG )(sG )(* tx)(tx
Tδ
99
∑ ∑∞
=
∞
=
−=−=0 0
* )()()()()(k k
kTtkTxkTttxtx δδ
∑=
−=k
h
hTxhTkTgkTy0
)()()(
∑=
−=k
h
hTghTkTx0
)()(
)(*)()( kTgkTxkTy =
Y tenemos una sumatoria de convolución similar en sistemas en tiempo
discreto debido a que
(3.19)
Notamos que una salida no puede preceder a la entrada, tenemos que
0)( =tg para 0<t o 0)( =− kTtg para .kTt < Como consecuencia la ecuación
3.19 se puede combinar en una sola ecuación como sigue.
)()()2()2()()()0()()( kTxkTtgTxTtgTxTtgxtgty −+⋅⋅⋅⋅+−+−+=
∑=
≤≤−=k
h
kTthTxhTtg0
0)()(
Entonces los valores de muestreo para la salida )(ty en
,...)2,1,0( == kkTt estan dados por las ecuaciones
(3.20)
(3.21)
Las sumatorias de las ecuaciones 3.20 y 3.21 son llamadas sumatorias
de convolución. Observe que suele utilizarse la notación siguiente para la
sumatoria de convolución.
(3.22)
100
∑∞
=
−=0
)()()(h
hTxhTkTgkTy
∑∞
=
−=0
)()(h
hTghTkTx
Ya que se supone 0)( =tx para ,0<t se tiene que 0)( =− hTkTx para
.kh > y debido tambien a que 0)( =− hTkTg para ,kh > se puede suponer que
los valores de h en las ecuaciones 3.20 y 3.21 se pueden tomar desde 0 hasta
∞ sin alterar el valor de la sumatoria. Entonces las ecuaciones 3.20 y 3.21 se
pueden rescribir asi
(3.23)
(3.24)
Es importante mencionar que para sistemas discretos, si el polinomio del
denominador de ),(sG no es mayor en dos grados que el polinomio del
numerador, la salida puede o sera discontinua, y no se describe la respuesta
real, para evitar esto, el grado del polinomio del denominador, debe ser dos
grados mayor que el del numerador. En otras palabras se necesita que existan
dos polos mas que ceros en la función ),(sG para asegurarse que la salida
describe la respuesta real del sistema.
101
)()( zXzG=
3.2.6 Función de transferencia pulso
A partir de la ecuación 3.23 tenemos
,...2,1,0,)()()(0
=−=∑∞
=
khTxhTkTgkTyh
Donde 0)( =− hThTg para .kh > Por lo tanto, la transformada de z de
)(kTy se convierte en
∑∞
=
−=0
)()(k
kzkTyzY
∑∑∞
=
∞
=
−−=0 0
)()(k h
kzhTxhTkTg
∑∑∞
=
∞
=
+−=0 0
)()()(
m h
hmzhTxmTg
∑ ∑∞
=
∞
=
−−=0 0
)()(m h
hmzhTxzmTg
(3.25)
Donde hkm −= y
∑∞
=
− ==0
)()(m
mzmTgzG Transformada z de )(tg
102
0=k
0≠k
==,0
,1)()( 0 kTkTx δ
)()()( zXzGzY =
La ecuación 3.25 relaciona la salida pulso y la entrada pulso del sistema, y
nos proporciona un medio para determinar la transformada z de la secuencia de
salida para cualquier secuencia de entrada. Tenemos que la ecuación 3.25 es
igual entonces.
(3.26)
A la ecuación 3.26 se le denomina función de transferencia pulso del
sistema en tiempo discreto.
Debemos observar que es también la transformada z de la respuesta del
sistema a la entrada de la función delta de Kronecker:
Debido a que sabemos que la transformada z de la entrada delta de
Kronecker es igual a uno, esto es.
∑∞
=
− ==0
1)()(k
kzkTxzX
Y tenemos que la respuesta a la entrada delta de Kronecker es
)()( zGzY =
103
)()()( * sXsGsY =
,.....2,1,0),()( ** =±= kkjwsXsX s
)()()( *** sXsGsY =
3.2.7 Transformada de Laplace asterisco de la señal que involucra tanto
transformadas de Laplace ordinarias como asterisco
Nos damos cuenta de la necesidad de ser capaces de obtener
transformadas de Laplace, para sistemas que contienen muestreadores en
distintos lugares de su configuración.
Tenemos ahora un muestreador mediante impulsos, seguido de una
función lineal )(sG en tiempo continuo, suponemos que todas las condiciones
iniciales son cero, de tal modo que la salida es:
(3.27)
Notamos que ),(* sX es periódica con período de ,/2 swπ y ),(sG no
periódica, y del hecho que:
(3.28)
Y sabemos que al tomar la transformada de Laplace asterisco de la
ecuación 3.27, podemos factorizar )(* sX de manera que:
[ ] [ ] )()()()()()()( ******* sXsGsXsGsXsGsY ===
(3.29)
La transformada z se puede considerar una notación corta para la
transformada de Laplace asterisco.
104
Para resumir, establecemos que al tomar la transformada de Laplace
asterisco de un producto de transformadas, donde algunas son transformadas
ordinarias y otras asterisco, las funciones que ya son asterisco, se pueden
factorizar de la operación de transformada de Laplace asterisco.
3.2.8 Procedimiento para obtener funciones de transferencia pulso
A partir de la figura 23 a, se determina la función de transferencia pulso
para ese sistema. Debemos notar la existencia de un muestreador mediante
impulsos en la entrada. Tenemos que la función es
[ ])()()(
)(sGZzG
zX
zY==
105
)(sX)(sG )(sG
)(tx )(ty
)(sY
Figura 23. Sistemas en tiempo continuo con y sin muestreador de
entrada
(a)
(b)
Ahora consideramos la figura 23 b, la función de transferencia es )(sG
)()(
)(sG
sX
sY=
Es importante notar que la función pulso del sistema en la figura 23 b, no
es [ ],)(sGZ como por ejemplo con la figura 23 a, en la cual existía un
muestreador mediante impulsos y teníamos que
)()()( * sXsGsY =
)(sG )(sG )(* tx)(tx
)(*ty
Tδ
)(ty
)(*tyTδ
106
Y si tomamos la transformada asterisco queda
)()()( *** sXsGsY =
Que es lo mismo que escribir
)()()( zXzGzY =
Mientras que para el sistema de la figura 23 a, la transformada de Laplace
de la salida es
)()()( sXsGsY =
Lo cual implica que
[ ] [ ]*** )()()()( sGXsXsGsY ==
Que es lo mismo que escribir en términos de la transformada z
[ ] [ ] [ ] )()()()()()( zGXsGXZsXsGZsYZzY ====
En resumen, cuando la entrada al sistema )(sG es una señal muestreada
mediante impulsos, la función de transferencia será
[ ])()( sGZzG =
107
3.2.9 Función de transferencia pulso de elementos en cascada
Primero consideraremos el sistema de la figura 24 a. y determinaremos su
función de transferencia, de este modo tenemos que
)()()( * sXsGsU =
)()()( * sUsHsY =
Tenemos que al tomar la transformada de Laplace asterisco que
)()()( *** sXsGsU =
)()()( **** sUsHsY =
Y por tanto nos queda que
)()()()()()( ******** sXsGsHsUsHsY ==
O
)()()()( ***** sXsGsHsY =
En términos de la transformada z tenemos
)()()()( zXzGzHzY =
Y la función de transferencia pulso para la figura 24 a. es
108
)(sG )(sG )(* tx)(tx
Tδ Tδ
)(ty)(* tu)(tu)(sH
Tδ
)(*ty
)()()(
)(zGzH
zX
zY=
Figura 24. Sistemas en cascada muestreados
(a)
(b)
Ahora consideremos el sistema mostrado en la figura 24 b, ahora
tenemos que
)()()()()()( *** sXsGHsXsHsGsY ==
)(sG )(sG )(* tx)(tx
Tδ
)(ty)(sH
Tδ
)(*ty
109
En donde tenemos que
)()()( sHsGsGH =
Ahora tenemos que al tomar la transformada de Laplace asterisco
[ ] )()()( *** sXsGHsY =
Y en términos de la transformada z tenemos
)()()( zXzGHzY =
Por lo que la función de transferencia pulso es
[ ])()()(
)(sGHZzGH
zX
zY==
3.2.10 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado
Ahora encontraremos, la función pulso de un sistema muestreado en lazo
cerrado como se muestra en la figura 25. Debemos notar que un muestreador
fuera del lazo no tiene efecto en la operación del sistema.
110
Figura 25. Sistema de control en lazo cerrado
De la figura 25 deducimos que
)()()()( sCsHsRsE −=
)()()( * sEsGsC =
Por lo que tenemos
)()()()()( * sEsGsHsRsE −=
Entonces, al tomar la transformada de Laplace asterisco, obtenemos
)()()()( **** sEsHGsRsE −=
o
)(1
)()(
*
**
sGH
sRsE
+=
)(sG
)(sH
)(sR )(sE )(*sE
Tδ
)(sC
111
)(1
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zC
+=
Y tenemos que
)()()( *** sEsGsC =
Por lo tanto:
)(1
)()()(
*
***
sGH
sRsGsC
+=
En términos de la notación de la transformada z, tenemos
)(1
)()()(
zGH
zRzGzC
+=
Y la función de transferencia pulso para este sistema en lazo cerrado es
(3.30)
En la Tabla III se muestran 5 configuraciones típicas para sistemas de
control en tiempo discreto en lazo cerrado
112
Tabla III. Configuraciones típicas de sistemas de control muestreados
)(1
)()()(
zGH
zRzGzC
+=
)()(1
)()()(
zHzG
zRzGzC
+=
)()(1
)()()()(
21
21
zHGzG
zRzGzGzC
+=
113
3.2.11 Función de transferencia pulso de un controlador digital
Se vera a continuación una forma de escribir la función de transferencia
pulso, la cual es utilizada para facilitar el análisis de sistemas de control digital
en tiempo discreto.
Suponemos que la entrada al controlador es ),(ke y la salida es ).(km En
general, la salida podemos escribir la salida en forma de una ecuación en
diferencias de la siguiente forma.
)(1
)()()(
21
12
zHGG
zRGzGzC
+=
)(1
)()(
zGH
zGRzC
+=
114
)()1()( 10 nkebkebkeb n −+⋅⋅⋅+−+=
n
n
n
nD
zaza
zbzbb
zE
zMzG
−−
−−
+⋅⋅⋅++
+⋅⋅⋅++==
1
1
1
10
1)(
)()(
( ) ( ) )(21)( 21 nkmakmakmakm n −+⋅⋅⋅+−+−+
(3.31)
La transformada z de la ecuación
)()()()( 2
2
1
1 zMzazMzaaMzazMn
n
−−− +⋅⋅⋅+++
)()()(1
10 zEzbzEzbzEbn
n
−− +⋅⋅⋅++=
O
)()()()1(1
10
2
2
1
1 zEzbzbbzMzazazan
n
n
n
−−−−− +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++
Entonces la función de transferencia pulso )(zGD para el control digital
puede escribirse como
(3.32)
115
)()(1
)()(
)(
)(
zGzG
zGzG
zR
zC
D
D
+=
3.2.12 Función de transferencia pulso de un sistema de control digital
en lazo cerrado
En la figura 26 a, se muestra el diagrama de bloques de un sistema de
control digital, y en la figura 26 b, se muestra el diagrama de bloques
equivalente que muestra las funciones de transferencia de los bloques.
Utilizando las propiedades anteriormente estudiadas, para la transformada
de Laplace asterisco, se puede llegar a concluir que la función de transferencia
pulso en la forma de la transformada z, en lazo cerrado del sistema de la figura
26 b, queda
(3.33)
Figura 26. Diagrama de bloques de un sistema de control digital
(a)
116
++= ∫
t
d
i dt
tdeTdtte
TteKtm
0
)()(
1)()(
(b)
El bloque )(zGD representa la función de transferencia pulso, para el
controlador digital, el cual si se escoge adecuadamente, cambiara las
características de estabilidad del sistema completo, y para nuestro caso de
estudio, será la función pulso de un regulador PID digital.
3.2.13 Función de transferencia pulso de un controlador PID digital
Hemos estudiado anteriormente la forma de la función de un controlador o
regulador PID, la cual definimos como
(3.34)
Podemos discretizar la ecuación 3.34 al aproximar el término integral
mediante una sumatoria trapezoidal y el término derivativo mediante la
diferencia de dos puntos, para obtener:
117
⋅⋅⋅+
++
++=
2
)2()(
2
)()0()()(
TeTeTee
T
TkTeKkTm
i
[ ]
−−++−
+= ∑=
k
h
d
i
TkekTeT
ThTeThe
T
TkTeKkTm
1
))1(()(2
)())1(()()(
−−
+
+−+
T
TkekTeT
kTeTked
)1(()(
2
)())1((
O
(3.35)
Se define
0)0(),(2
)())1((==
+−fhTf
hTeThe
En la figura 27. Se muestra la función ),(hTf entonces tenemos que
∑∑==
=+− k
h
k
h
hTfhTeThe
11
)(2
)())1((
Al deducir la transformada z, de la ecuación anterior, tenemos
[ ])0()(1
1(
2
)())1((1
11
fzFz
hTfZhTeThe
Zk
h
k
h
−−
=
=
+−−
==
∑∑
La que es igual a
)(1
11
zFz
−−=
118
Notamos que
[ ] )(2
1)()(
1
ZEz
hTfZzF−+
==
Por lo que tenemos que
)()1(2
1
2
)())1((1
1
1
zEz
zhTeTheZ
k
h−
−
= −
+=
+−∑
Entonces tenemos que la ecuación 3.35 nos da como resultado
)()1(1
1
21)( 1
1
1
zEzT
T
z
z
T
TKzM d
i
−+
−
++= −
−
−
Esta última ecuación se puede rescribir como sigue
)()1(1
1
21)( 1
1zEz
T
T
zT
T
T
TKzM d
ii
−+
−+−= −
−
)()1(1
)( 1
1zEzk
z
KKzM D
I
p
−+
−+= −
−
En donde definimos, la relación entre las constantes de sintonía PID
analógicas con las de sintonía digital.
=−=−=22
IP
KK
Ti
KTKK Ganancia Proporcional
119
)1(1)(
)()( 1
1
−
−−+
−+== zk
z
KK
zE
zMzG D
IpD
==Ti
KTK I Ganancia Integral
==T
KTdK D Ganancia Derivativa
Notamos de la ecuación anterior de la ganancia proporcional para el
regulador digital, es mas pequeña que la ganancia K del controlador analógico
en un factor igual a .2/IK
Entonces tenemos que la función de transferencia pulso para un
controlador PID digital es
(3.36)
A la función de transferencia de la ecuación anterior, se le denomina forma
posicional del esquema de control PID.
120
)1(
1
+=
sGP
Figura 27. Función ).(hTf
3.3 Discretización de funciones de transferencia de lazos de control que
utilizan controladores PID
Utilizaremos para ejemplo de discretización de sistema de control continuo
una planta con función de transferencia ),(zGP y que pertenece a un proceso
de primer orden, con la siguiente función de transferencia.
(3.37)
Realizamos un sistema de control continuo en lazo cerrado para esta
planta, tal y como se muestra en la figura 28. Este es un sistema compensado,
el cual responderá regulando la variable de salida en una forma estable, si es
que se ajustan debidamente las constantes de sintonía asociadas al controlador
PID.
121
Figura 28. Sistema de control continuo en lazo cerrado
Utilizaremos ahora un sistema de control discreto, para regular la planta
de primer orden. Nos valdremos para discretizar la planta de un muestreador y
retenedor de orden cero, y se usara un periodo de muestreo ,T de un segundo,
la configuración del sistema de control discreto a lazo cerrado se muestra en la
figura 29.
Figura 29. Diagrama de bloques sistema de control discreto
(a)
++ D
I
TsT
sK 1
Retenedor
de orden
cero
Controlador
PID digital
Planta )(te )(kTe
T
)(kTm
)(sGh )(sG p
)(tc)(tr
)(zGD
122
1
1
3679.01
6321.0)(
)1(
11−
−−
−==
+
−
z
zzG
ss
eZ
s
(b)
Tenemos que la función de transferencia para el retenedor de orden cero
)(zGh que utilizaremos en nuestro sistema discreto, y que posee un periodo de
muestreo 1=T seg. Es:
s
esG
s
h
−−=
1)(
La transformada z del conjunto retenedor y planta de proceso será
(3.38)
Utilizando la ecuación anterior, y la función de transferencia pulso de un
controlador PID digital )(zGD , construimos el modelo de sistema de control
digital en función de la transformada z, mostrado en la figura 29 (b); para el que
la función de transferencia pulso se deduce substituyendo las ecuaciones
)(zG y )(zGD en la ecuación 3.30, la cual se dedujo anteriormente en la
sección 3.2.10. y que a continuación escribimos por conveniencia.
)1(1
1
1
−
−−+
−+ zk
z
KK D
Ip 1
1
3679.01
6321.0−
−
− z
z
123
1
21
1
2.08.02.1−
−−
−
−−=
z
zzGD
54321
54321
0465.01222.01621.0064.1977.11
04651.00131.08444.0543.17585.0
)(
)(−−−−−
−−−−−
−+−+−
−−+−=
zzzz
zzzzz
zR
zC
)()(1
)()(
)(
)(
zGzG
zGzG
zR
zC
D
D
+=
La función de transferencia pulso del regulador PID digital, asignándole
arbitrariamente ,2.0,1 == IP KK y .2.0=DK Queda.
(3.39)
Y la función de transferencia pulso de todo el sistema de control digital, en
función de la transformada z, después de algún trabajo algebraico, es la
siguiente.
(3.40)
3.4 Discretización de funciones de transferencia de lazos de control que
utilizan controladores PI
Siguiendo con el ejemplo de la planta anterior, se muestra en la figura 30,
un sistema de control continuo en lazo cerrado, el cual utiliza un controlador o
regulador, del tipo PI, por lo que su algoritmo de control es mas sencillo.
124
1
1
55
56)(
−
−
−
−=
z
zzGD
Figura 30. Sistema de control continuo en lazo cerrado utilizando un
controlador PI
Realizaremos ahora un sistema de control discreto, para controlar la
planta de primer orden del lazo de control de la figura 30. El sistema tendrá un
muestreador como se ve en la figura 31. Con periodo 1=T seg. Y que utiliza un
regulador PI para controlar la variable de salida de la planta de primer orden,
modelada por la ecuación 3.37. Tenemos que la función de transferencia pulso
para el controlador digital PI, con ,1=PK y 2.0=IK será.
(3.41)
Para este período de muestreo de un segundo, tenemos que la función de
transferencia pulso de la combinación retenedor de orden cero y planta de
proceso es igual que para el ejemplo de la sección 3.3, como sigue:
125
1
1
718.2
718.1)(
)1(
11−
−−
−==
+
−
z
zzG
ss
eZ
s
Vemos el diagrama equivalente de nuestro sistema de control discreto en
la figura 31, mostrada a continuación
Figura 31. Sistema de control discreto, usando un controlador PI
Utilizando la configuración utilizada en el ejemplo de la sección anterior, la
cual se muestra en la figura 29 (a). La función de transferencia pulso será
después de alguna manipulación algebraica como sigue
21
21
179541416795
)56(859
)(
)(−−
−−
−−
−=
zz
zz
zR
zC
1
1
55
56−
−
−
−
z
z
1
1
718.2
718.1−
−
− z
z
126
127
4. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
4.1 Diseño y análisis de lazos de control que usan controladores PID
discretos utilizando medios computacionales
Existen diversas técnicas o criterios de análisis para el diseño de sistemas
de control, tales como:
El criterio de Routh-Hurwitz
Criterio de Nyquist
Diagramas de Bode
Lugar de la raíces
En el presente nos valdremos de herramientas de cómputo, que nos
permiten simular gran cantidad de modelos en un tiempo muy corto y de forma
muy sencilla, lo cual es una de las mayores ventajas del diseño de controles
automáticos hoy en día.
Cada técnica de análisis y diseño tiene ciertas ventajas, y con la utilización
de herramientas de software, obtenemos de forma sencilla y con relativa
facilidad diferentes criterios en conjunto. De esta forma obtendremos un mejor
criterio de análisis para la estabilidad absoluta y relativa de los sistemas
estudiados.
128
Asumimos algún conocimiento en el diseño de sistemas de control en
nuestro análisis, de tal forma que nos valdremos de las herramientas de
software, para mostrar ejemplos de las potentes herramientas graficas que se
tienen al alcance, tal como el caso de Matlab 7 y otras que utilizaremos en el
presente trabajo.
Figura 32. Sistema de control en tiempo continuo
Notamos, en este sistema una planta de proceso de segundo orden.
Analizaremos únicamente procesos de fase mínima, los cuales son físicamente
realizables, y de interés para nuestro estudio.
Como ejemplo, verificamos que nuestro sistema es de fase mínima, o que
no posee raíces o polos en el semiplano derecho del plano complejo excepto en
s=0. Y utilizamos el comando pzmap(planta) de tal forma que la grafica de
polos y ceros se observa en la figura 33.
( )( )ss
et
5151
5.0
++
−
++ sK
s
KK D
I
P 1
129
Las instrucciones de Matlab utilizadas para la realización de la grafica son
las siguientes:
planta=tf(1,[25 10 1],'inputdelay',0.5) %Función de transferencia de la planta
pzmap(planta) %Gráfica las raíces y polos de la F.T. de la planta
Figura 33. Ubicación de polos y ceros de la función de transferencia
de la planta de segundo orden
Confirmamos que por ejemplo, la planta en estudio es de fase mínima, lo
que por lo general se refiere a sistemas físicos reales de proceso.
130
Ahora seguiremos el análisis, realizando el diagrama de bode a lazo
abierto para la planta de segundo orden de la figura 32, con esto
determinaremos el grado de estabilidad que posee actualmente.
Figura 34. Diagrama de Bode en lazo abierto para planta de segundo
orden con retardo puro de 0.5 Seg.
Notamos que esta planta contiene un retrazo puro de 0.5 segundos, el
cual tiene influencia considerable en la estabilidad, reflejándose su efecto, en la
pronunciada pendiente hacia abajo, del diagrama de Bode para la fase.
131
La pendiente pronunciada del diagrama de fase, indica que al aumentar la
ganancia podremos añadir mucho menos fase al sistema, antes de hacerlo
inestable, ya que el margen de fase disminuye rápidamente, conforme la
frecuencia de cruce de ganancia aumenta.
A continuación las instrucciones utilizadas, para obtener los diagramas de
Bode de la figura 34.
p= tf(1,[1 10 25],'inputdelay',0.5) % Función de transferencia de la planta
margin(p) % Diagramas de bode de magnitud y fase
Los márgenes de ganancia y fase se indican a continuación:
Margen de ganancia = 31.8 dB. a 3.72 rad/seg
Margen de fase = Infinito
La Interpretación que se puede dar a estos márgenes, es que se puede
añadir una ganancia de 31.8 dB. (Sin añadir fase), antes de que el sistema se
convierta en inestable, o que podemos añadir una fase infinita (sin añadir
ganancia a la planta), y el sistema nunca se volverá inestable.
Como se observa en el diagrama de Nyquist en la figura 35, si se llega a
agregar una fase de 180º (sin añadir ganancia), a la planta, la grafica de
Nyquist pasaría sobre el punto (-1,0) y el sistema se volvería críticamente
estable.
132
Figura 35. Diagrama de Nyquist para planta de segundo orden con
retardo puro de 0.5 Seg.
También vemos de la gráfica de Bode, que a bajas frecuencias, la
ganancia es baja, con lo que podemos anticipar un posible error en estado
estacionario.
A continuación se presenta la gráfica de respuesta de la planta, en lazo
cerrado sin regulador, debida a una entrada escalón unitario.
133
Figura 36. Respuesta a lazo cerrado debido a una entrada escalón
unitario
A partir de ahora analizaremos, el sistema de control a lazo cerrado de la
figura 32, el cual posee la acción de un controlador PID. Para este fin se usara
un programa realizado en el entorno de LabView 8 de National Instruments, el
cual nos permite graficar, sintonizar y analizar sistemas de control continuo y
discreto.
Este programa se ha realizado en LabView 8 ya que nos permite trabajar
con objetos gráficos de una manera muy sencilla y rápida, y además de todas
las ventajas propias de este programa, posee un Matlab Script Node, el cual
nos proporciona todas las características y ventajas del Work Space, tales
como fácil y rápido análisis matemático y gráfico. Por tanto hemos obtenido una
potente herramienta de diseño para el análisis de lazos de control.
134
A continuación presentamos la interfaz gráfica diseñada para analizar
lazos de control PID, a la que llamaremos “Asistente de Sintonía”, en el cual
podemos debido al alcance de nuestro estudio, modelar y graficar la respuesta
de plantas de proceso hasta de segundo orden del tipo de fase mínima con
tiempo muerto.
Figura 37. Panel de control para programa asistente de sintonía
Se muestra en la figura 37. El panel frontal, en el cual existen tres
recuadros los cuales son utilizados para diferentes funciones.
135
El recuadro de la parte superior, esta formado por campos en los cuales
se ingresan los parámetros que se usan para construir la función de
transferencia en tiempo continuo del proceso en análisis. Es importante
mencionar que el programa determina automáticamente la función discreta de
la planta de proceso continua, utilizando un muestreador y retenedor de orden
cero, además determina en su totalidad la función discreta para todo el sistema
de control.
El botón ubicado en la parte derecha del recuadro superior, se utiliza para
intercambiar el tipo de sistema de control a analizar, ósea intercambiar entre las
graficas de respuesta en tiempo discreto y continuo, de tal forma que cuando el
botón esta activo las gráficas de respuesta serán las continuas, y cuando esta
apagado las discretas.
A continuación realizamos una pequeña descripción de los parámetros
utilizados para la implementación de la función de transferencia de proceso.
• K = Ganancia del proceso
• 1τ = Primer constante de tiempo
• 2τ = Segunda constante de tiempo
• dt = Tiempo muerto
En la parte intermedia de nuestro panel se encuentra un recuadro, el cual
contiene diferentes parámetros de respuesta de la actual planta de proceso a
lazo cerrado, los cuales son determinados y desplegados por el programa
automáticamente. Estos parámetros son utilizados para analizar la estabilidad
absoluta y relativa de nuestro sistema. Y se mencionan a continuación.
136
• Margen de ganancia
• Margen de fase
• Frecuencia de cruce de fase y de ganancia en rad/seg
• Ancho de banda
• Pico de resonancia
• Porcentaje de sobrepaso
• Tiempo de subida
En la parte inferior del panel se ubica el recuadro que corresponde al
bloque de controles para la sintonía de los algoritmos de regulación PID, el cual
se utiliza para ingresar los valores de las constantes PID, que corresponden a
,PK IK y DK , solo para el algoritmo del regulador continuo. Ya que para el
algoritmo discreto el valor de estas constantes se dimensiona automáticamente,
utilizando las ecuaciones obtenidas en la sección 3.2.13. Con el fin de tener
algoritmos de regulación equivalentes para su análisis.
En la esquina inferior derecha del panel, encontramos un text ring, el cual
es utilizado para seleccionar el tipo de grafica a mostrar. Esto es importante, ya
que nos permite desplegar rápidamente diferentes graficas de respuesta en
tiempo y frecuencia de forma interactiva.
Entre los diferentes tipos de grafica que podemos escoger, tenemos:
• Respuesta al escalón unitario
• Respuesta al impulso
• Diagramas de Bode
• Lugar geométrico de las raíces
• Diagrama de Nyquist
137
Por último, en la parte inferior sobre el panel principal, encontramos un
campo llamado tiempo de simulación, el cual se utiliza, para indicarle al
programa el valor del eje de tiempo en segundos que deberá utilizar, al realizar
gráficas que requieran este parámetro.
El programa implementado facilita el análisis y diseño de sistemas de
control, ya que nos permite graficar en forma rápida y sencilla la respuesta para
diversos sistemas de control continuo o discreto, de tal forma que no es
necesario realizar tabulaciones para comparar características de respuesta
dinámica. Sino más bien con el uso de estas herramientas de software, la tarea
de diseño se reduce a cambiar los valores de las constantes de sintonía y
parámetros del sistema analizado, en forma interactiva, hasta visualizar el
alcance de características de estabilidad absoluta y relativa deseadas.
El código fuente y el diagrama de conexiones de nuestro programa
Asistente de sintonía, se presenta al final del capítulo.
138
4.2 Gráficas de respuesta dinámica debida a un escalón, para lazos de
control que utilizan controladores PID continuos
En este momento nos daremos a la tarea de diseñar el regulador PID,
adecuado, para controlar el proceso del sistema en la figura 32, y con la ayuda
de nuestro programa asistente de sintonía, encontramos las siguientes
constantes, que cumplen con los parámetros de estabilidad absoluta y relativa
deseados.
pK =8.986
iK =0.1021
dK =2.491
Los parámetros de estabilidad absoluta y relativa alcanzados, se muestran
a continuación:
Margen de ganancia=10.7927 dB
Margen de fase = 166.644 º
Ancho de banda = 1.76533 rad/seg
Pico de resonancia = 0.0093016 dB
Porcentaje de sobrepaso = 3,99361 %
Tiempo de subida=1.3872 seg.
Frecuencia de cruce de fase =0.2089 rad/seg
Frecuencia de cruce de ganancia =2.8274 rad/seg
A continuación se muestra en la figura 38 el tipo de respuesta alcanzado
debido a la señal de entrada del tipo escalón unitario, con lo parámetros
indicados anteriormente.
139
Figura 38. Gráfica de respuesta al escalón de un sistema de control
continuo controlado con un regulador PID
Como se muestra en la figura 38, se alcanzaron buenas características de
estabilidad relativa, tales como sobrepaso menor al 5%, tiempo de subida de
aproximadamente 1.38 seg. El cual es un tiempo relativamente pequeño.
A continuación se presentaran las gráficas de respuesta a lazo cerrado del
sistema de control de la figura 32. Con el fin de tomar idea de su grado de
estabilidad.
140
Figura 39. Diagrama de Bode para sistema de control continuo
A partir de la gráfica de Bode de la figura 39. Observamos buenas
características de estabilidad relativa tal como margen de fase de 167º, al que
se le puede dar la interpretación de la cantidad de retardo puro que se puede
añadir al sistema en lazo cerrado, antes de que este se vuelva inestable.
Tenemos un margen de ganancia de 10.8 db. El cual puede tener la
interpretación de la cantidad de ganancia a lazo cerrado que se puede añadir al
sistema, antes de que se vuelva inestable. Los márgenes de ganancia y fase
son de interés especial, debido a que son una medida de la cantidad en que
podrían variar las características del sistema de control, antes de volverse
inestable.
141
El ancho de banda con valor de 1.765 rad/seg, que es de un valor
pequeño, se puede interpretar sobre la estabilidad como la inmunidad del
sistema a perturbaciones o ruido de alta frecuencia, pero un ancho de banda
pequeño, también se relaciona con un tiempo de subida grande o respuesta
lenta, de lo que deducimos una relación inversa entre estas variables. El ancho
de banda también se interpreta como la característica de filtrado de ruido y la
robustez del sistema, y representa una medida de la sensibilidad a la variación
de parámetros.
De la gráfica de la figura 39. También vemos un pico de resonancia con un
valor de 0.0093 dB. El cual es un valor pequeño, y cuyo efecto en la estabilidad
relativa se refleja en un sobrepaso pequeño.
142
Figura 40. Diagrama de Nyquist para sistema de control continuo
Con la ayuda del diagrama de Nyquist, mostrado en la figura 40,
respaldamos nuestras aseveraciones, sobre el hecho de que el sistema de
control a lazo cerrado, necesita una fase adicional de 167º para volverse
inestable, ya que con esta fase adicional, el diagrama de Nyquist rotaria lo
suficiente para pasar sobre el punto (-1,0).
143
El diagrama de Nyquist nos sirve para tener una indicación del grado de
estabilidad relativa, de tal forma que mientras más lejos este la traza de Nyquist
de encerrar o pasar por el punto (-1,0), mayor será el grado de estabilidad
relativa. En este caso podemos asumir que nuestro sistema es estable y bien
amortiguado.
Figura 41. Lugar geométrico de las raíces para un sistema de control
continuo
144
El diagrama del lugar geométrico de las raíces, mostrado en la figura 41.
Nos indica, que la función de transferencia a lazo cerrado para nuestro sistema
de control, es de fase mínima, esto es de interés debido a que los sistemas de
control de procesos en la vida real, son de este tipo.
Esta gráfica nos proporciona la trayectoria que seguirán las raíces de la
función de transferencia a lazo cerrado, a diferentes valores de las constantes
de sintonía PID. También nos proporciona información como el lugar y valor del
factor de amortiguamiento relativo, y el de la frecuencia natural no
amortiguada.
Existen métodos analíticos para determinar la estabilidad absoluta de un
sistema de control, estos métodos determinan la ubicación en la que se
encuentran las raíces de la función de transferencia sin resolverlas
directamente, tal es el caso del Criterio de Routh-Hurwitz el que nos permite
determinar la existencia de alguna raíz ubicada en la parte izquierda del plano
s. Notamos que con el uso de herramientas de software esta tarea se realiza
rápidamente de forma gráfica, con lo que se logra obtener una mejor idea del
grado de estabilidad del sistema de manera rápida.
145
4.2.1 Herramientas de Software adicionales para el análisis de sistemas
de control
Es importante mencionar algunas otras herramientas de software que
pueden ser de mucha utilidad para el análisis de sistemas de control. Ya que
por ejemplo Matlab tiene para el diseño y sintonía de lazos de control, un
toolbox incluido en versiones como la 7. En la parte del Simulink Control
Optimization. Esta herramienta de sintonía llamada Signal Constraint, realiza el
cálculo de los parámetros de sintonía para algoritmos de control de forma
automática utilizando un algoritmo genético para tal efecto, solamente es
necesario conectar la entrada de este bloque de función, al punto de la variable
a optimizar en nuestro modelo de Simulink, luego se define en este bloque
cuales son las variables a calcular y cual es el rango máximo y mínimo que
pueden tomar. Este bloque de función esta ubicado en el Simulink Library
Browser como se muestra en la figura 42.
146
Figura 42. Ubicación del bloque de función Signal Constraint
Se hará un paréntesis en este momento con efecto de ejemplificar el uso
del bloque de función Signal Constraint para la sintonía de lazos cerrados de
control.
A continuación se presenta la forma en que se utilizara el bloque Signal
Constraint para la optimización de lazos de control, como el mostrado en la
figura 43, Para determinar las constantes de sintonía necesarias que cumplan
con los requerimientos de estabilidad relativa a requerir.
147
1916 2
5.0
++
−
ss
eS
Figura 43. Modelo Simulink para sistema de control continuo
El sistema mostrado esta regulado por un PID cuya función de
transferencia es como la mostrada en el sistema de la figura 32, la planta de
proceso que se regulara tiene la función de transferencia siguiente.
(4.1)
Para lograr que el bloque de función determine las variables de sintonía
adecuadas a nuestros requerimientos para el regulador PID, se debe primero
definir en este el nombre de las variables del modelo buscadas, que para este
caso fueron definidas como P, I y D. Además de indicarle o definir los
parámetros de desempeño deseados.
Comenzaremos definiendo en el bloque de función, las variables a
determinar. Para esto se ingresa a los parámetros del bloque haciendo doble
clic sobre el. Luego se elige en el menú optimization la opción Tuned
Parameters, como se muestra en la figura 44.
148
Figura 44. Ubicación del menú para sintonía de parámetros en el bloque
de función Signal Constraint
En este momento aparecerá el panel llamado Tuned Parameters, en el
cual presionando el boton “Add”, agregamos las variables que serán
determinadas en la optimización. En la parte derecha en el recuadro
Optimization Settings, podemos definir márgenes para cada uno de los valores
que pueden tomar dichas variables a determinar, como se muestra en la figura
45.
149
Figura 45. Ventana para indicación de márgenes de los parámetros de
sintonía en el bloque Signal Constraint
En este caso se le indica que las variables serán las de las ganancias P, I
y D.
Luego de definidas las variables de sintonía, continuamos indicando los
parámetros de desempeño que requerimos. Esto se logra accediendo al menú
Goals, eligiendo la opción Desired Response y luego en este panel
seleccionando la opción Especify Step Response Characteristics, aparecerán
las opciones de la figura 46, las cuales debemos ingresar y luego pulsar OK.
150
Figura 46. Ventana para especificar parámetros de desempeño en el
bloque signal constraint
A continuación de haber ingresar los requerimientos de respuesta,
debemos pulsar el botón Start Optimization, en la parte superior del panel
Signal Constraint, que se mostró en la figura 44.
Después de algunos ciclos de cálculo, los valores determinados para
cumplir los requerimientos de desempeño están cargados en las variables de
nuestro modelo Simulink. La respuesta al escalón para el presente caso se
muestra en la figura 47.
151
Figura 47. Gráfica de respuesta al escalón, utilizando parámetros de
sintonía obtenidos utilizando el bloque Signal Constraint
Se ve la gran utilidad de esta herramienta, para el análisis y diseño de
sistemas de control, con la cual se ha logrado de una forma rápida y fácil,
encontrar el valor de las constantes de sintonía PID que cumplen los
requerimientos de desempeño o estabilidad relativa definidos previamente.
152
+−
++−
zzz
zzz
9231.0922.1
0001871.0001153.00001974.023
22
4.3 Gráficas de respuesta dinámica debida a un escalón, de lazos de
control que utilizan controladores PID discretos.
Ahora analizaremos la respuesta de un sistema de compensación en
tiempo discreto obteniendo un sistema equivalente discreto a partir del sistema
de control utilizado en la sección anterior y que fue mostrado en la figura 32.
Discretizamos la planta de proceso, utilizando un muestreador y un
retenedor de orden cero, con las siguientes instrucciones en Matlab, las cuales
facilitan el trabajo y realizan toda esta operación.
proceso = tf(1,[25 10 1],'inputdelay',0.5) % Función de transferencia de la planta
procesoz = c2d(proceso,0.2,’zoh’) %Discretización utilizando retenedor de
%orden cero
Se ha utilizado un tiempo de muestreo de 0.2 segundos. La función de
transferencia discreta de la planta se muestra a continuación.
(4.2)
El sistema de control discreto total se muestra en la figura 47,
incluyéndose la función de transferencia pulso del regulador PID discreto, en su
forma de velocidad, y que fue determinada en el capítulo anterior.
153
Figura 48. Función de transferencia pulso de un modelo discreto
La relación existente entre las constantes de sintonía del regulador PID en
tiempo continuo, y las constantes de sintonía para el PID en tiempo discreto
son:
−=
2
TKKKKP
ip
p
TKKKI ip=
T
KKKD
dp=
A continuación en la figura 48. Presentamos la respuesta al escalón
unitario, de nuestro sistema de control discreto, utilizando constantes de
sintonía, que fueron determinadas anteriormente con la ayuda de nuestro
programa asistente de sintonía, para el regulador continuo de la figura 32. Y por
conveniencia se copian a continuación.
−+
−+ −
−)1(
1
1
1zK
z
KK D
I
P
+−
++−
zzz
zzz
9231.0922.1
0001871.0001153.00001974.023
22
154
pK =8.986
iK =0.1021
dK =2.491
Como ya hemos mencionado anteriormente, estas constantes de sintonía
del control continuo, son dimensionadas automáticamente por el programa
asistente de sintonía, con el fin de que el algoritmo discreto de control sea
equivalente.
Figura 49. Respuesta escalón unitario del sistema discreto de la figura
48
155
Se observa de la figura 49. Que las características de estabilidad relativa o
respuesta transitoria, tienen alguna semejanza al sistema continuo del que
partimos para nuestro modelo discreto, aunque el sistema en tiempo discreto en
general presenta características de mayor inestabilidad.
Las características de estabilidad son:
Margen de ganancia= 3.31 dB.
Margen de fase = 43.8287 º
Ancho de banda = 2.2 rad/seg
Pico de resonancia = 1.004 dB.
Porcentaje de sobrepaso = 14.85 %
Tiempo de subida= 2 seg.
Frecuencia de cruce de fase = 2.2544 rad/seg
Frecuencia de cruce de ganancia = 1.7089 rad/seg
A continuación se presentan las graficas de Bode, Nyquist y del lugar
geométrico de las raíces, las cuales nos darán una mejor perspectiva de la
estabilidad relativa y absoluta del sistema de control discreto.
156
Figura 50. Diagrama de Bode para sistema discreto de la figura 48
A partir de la figura 50. Vemos características importantes en los
diagramas de Bode, como por ejemplo la poca ganancia del sistema a bajas
frecuencias, lo cual repercute en un tiempo de establecimiento considerable.
Observamos también un pico de resonancia, el cual se ve reflejado sobre
la estabilidad relativa, como un sobrepaso considerable de alrededor del 14 %.
Vemos que en este sistema el margen de ganancia disminuye con
rapidez, al aumentar en un valor poco considerable la frecuencia de cruce de
ganancia, lo que significa que el sistema se hace rápidamente inestable a
aumentos pequeños en la ganancia del sistema.
157
Figura 51. Diagrama de Nyquist del sistema discreto mostrado en la
figura 48
De la figura 50 podemos observar que el sistema es estable, ya que no
encierra al punto (-1,0). Observamos sin embargo, que no es un sistema bien
amortiguado y estable, ya que a aumentos pequeños de la ganancia y fase, el
sistema podrá ser llevado rápidamente al punto de inestabilidad (alcanzar el
punto (-1,0)). Por tal motivo, para este diseño podrían buscarse constantes de
sintonía que mejoren estas condiciones de estabilidad, de tal forma que el
diagrama de Nyquist se aproxime distancias mayores al punto crítico, esto
significa alcanzar mayores márgenes de ganancia y fase.
158
Figura 52. Grafica del lugar geométrico de las raíces para el sistema
discreto de la figura 48
En la figura 51. Observamos en primer lugar que el sistema es estable ya
que todos los polos de la función de transferencia a lazo cerrado, se encuentran
dentro del círculo unitario. También esta gráfica nos ofrece una idea de la
estabilidad absoluta del sistema al observar la distancia existente entre el
círculo unitario y la ubicación de los polos, sabiendo que un polo que se
encuentra ubicado sobre el círculo unitario, tornara el sistema críticamente
estable.
En la figura aparecen los ceros de la función a lazo cerrado fuera y sobre
el círculo unitario, lo que no es una condición que afecte la estabilidad absoluta
y de hecho, estos pueden estar localizados en cualquier parte del plano z.
159
13
14.0
+⋅=
+⋅ sFsJ
K
Existen algunas pruebas analíticas al igual que para sistemas continuos,
que se utilizan, para determinar la estabilidad absoluta de un sistema sin
obtener directamente las raíces, tal es el caso de la prueba de Jury y la de
Schur-Cohn. Estas pruebas determinan la existencia de alguna raíz inestable,
pero como ya se ha visto, utilizando herramientas de software, esto se logra
mas eficaz y rápidamente.
4.4 Comparación y análisis de respuesta entre controladores continuos
y discretos
Realizaremos ahora una comparación entre la regulación de procesos con
sistemas de control discreto y continuo paralelamente. Para tal efecto
regularemos un proceso de primer orden, el cual corresponde, por fines
didácticos, a la función de transferencia de un motor de corriente directa, y
después de algunas simplificaciones la función de transferencia queda como se
presenta a continuación.
(4.3)
En donde
=J Momento de inercia del eje del rotor y de la carga.
=F Coeficiente de fricción viscosa del motor y de la carga.
kifkfK =
=kf Constante de proporcionalidad entre la corriente de campo y el flujo.
160
1
1
9355.01
009029.0
9355.0
009029.0−
−
−=
− z
z
z
A continuación realizaremos la discretización de la función de
transferencia utilizando un muestreador y retenedor de orden cero, para una
taza de muestreo de 0.2 seg. La función de transferencia es la siguiente. Esta
se realiza utilizando las instrucciones en Matlab utilizadas anteriormente.
(4.4)
Se muestra en la figura 53, el modelo de sistema de control en tiempo
discreto y continuo, para las plantas continua y discreta.
Figura 53. Modelos continuo y discreto equivalentes
(a)
(b)
−+
−+ −
−)1(
1
1
1zK
z
KK D
I
P 1
1
9355.01
009029.0−
−
− z
z
++ )1 sK
s
KK d
i
p 13
14.0
+⋅ s
161
Para empezar la comparación de desempeño entre sistemas de control
continuo y discreto, realizaremos ahora la grafica de respuesta al escalón
unitario para los sistemas de la figura 53. Con una taza de muestreo de 0.2 seg.
Para el caso del sistema discreto. Las constantes de sintonía para el regulador
discreto son las mismas utilizadas para el regulador continuo, y se determinan
utilizando el programa asistente de sintonía, de tal forma que tienen los valores
siguientes.
pK =19.2391
iK =0.901
dK =0.008
Figura 54. Respuesta al escalón conjunta de los sistemas de control
mostrados en la figura 53
162
De la figura 54. Vemos que el efecto del muestreo o discretización, es
desestabilizante, reflejándose este en un sobrepaso mayor y un tiempo de
establecimiento mas largo. Es importante decir que el aumento en la taza de
muestreo disminuye este efecto y la reducción de esta, aumenta la inestabilidad
del sistema.
Como ya hemos mencionado, la inestabilidad del sistema discreto se
reduce aumentando la taza de muestreo, sin embargo debemos tomar en
cuenta que la taza de muestreo no es una variable de libre elección, y depende
de factores tales como la velocidad de procesamiento, la cantidad de lazos de
control utilizados o la velocidad del proceso a controlar. También se puede
tomar en cuenta la regla práctica que indica que se debe tomar una frecuencia
de muestreo con un valor de 10 veces el ancho de banda del sistema de control
en lazo cerrado.
Figura 55. Comparación de respuesta al escalón entre modelos continuo
y discreto
163
Vemos en la figura 55, nuevamente la grafica de respuesta al escalón para
el sistema continuo y para el sistema discreto, ahora con un tiempo de
muestreo de 0.8 seg. Y como dijimos anteriormente la reducción de la taza de
muestreo, redujo la estabilidad relativa del sistema.
A continuación se muestra el diagrama de Bode para los sistemas
continuo, y discreto con una taza de muestreo de 0.2 seg. Las líneas
punteadas corresponden al diagrama de Bode del sistema discreto.
Figura 56. Comparación entre diagramas de Bode para sistema continuo
y discreto
164
En la figura 56. Observamos las características en frecuencia para los
sistemas de control digital y analógico. Del cual determinamos las siguientes
características.
Mg continuo = Infinito
Mf continuo= 132º
Mg discreto = 19.4 dB.
Mf discreto = 123º
De la comparación de las trazas de Bode para los sistemas continuo y
discreto, nuevamente notamos que el sistema en tiempo discreto es más
inestable. Determinamos que para el sistema continuo tenemos un margen de
ganancia infinito, lo que implica poder agregar cualquier cantidad de ganancia al
sistema y este seguiría siendo estable, además el margen de fase es de 132º,
indicando mayor estabilidad que el margen de fase de 123º para el sistema
discreto, ante un aumento en tiempos de retardo o fase en el sistema.
El margen de ganancia para el sistema discreto es de 19.4 dB. Lo que
indica un menor grado de estabilidad que el sistema continuo, en otras palabras
se podrá llevar a la inestabilidad al sistema discreto añadiendo ganancia,
mientras que no será igual para el sistema continuo.
165
Figura 57. Comparación entre diagramas de Nyquist para sistemas
continuo y discreto
En la figura 57 se muestra el diagrama de Nyquist para los sistemas
continuo y discreto, siendo la grafica de la parte de adentro la correspondiente
al sistema continuo, y la grafica exterior la correspondiente al sistema discreto.
En general los dos sistemas se notan estables y bien amortiguados, esto
también se deriva del hecho que en el presente ejemplo se han graficado
sistemas de control para un proceso de primer orden, que en general presenta
características de respuesta estables.
Sin embargo, vemos que el hecho de muestrear el sistema ha causado
variación en la estabilidad relativa y absoluta, observando que los sistemas
discretos tienden en general a características más inestables que los sistemas
continuos.
166
4.5 Ventajas y desventajas de diseño, para la utilización de controladores
PID discretos y continuos
Ya que hemos verificado características de estabilidad absoluta y relativa
entre sistemas de control continuo y discreto, podemos afirmar que los sistemas
muestreados o sistemas de control discretos, tienden a tener un mayor grado
de inestabilidad, debido al mismo hecho de utilizar únicamente muestras de las
señales de control.
Es importante observar, que aunque la inestabilidad de los reguladores
digitales es su mayor desventaja, la misma se compensa tomando en cuenta
las diversas ventajas en cuanto a su implementación y diseño. Debido a que en
esta implementación, son utilizados microprocesadores y sistemas digitales que
permiten gran flexibilidad al diseñador.
Algunas de las ventajas principales en la utilización de reguladores
digitales son:
• Se pueden utilizar una variedad más amplia de leyes y herramientas de
control que las usadas con controles analógicos.
• Los sistemas de control discretos, utilizando microprocesadores digitales,
son capaces de ejecutar cálculos complejos con exactitud constante a
alta velocidad.
• Tienen mejor desempeño y un costo menor que sus contrapartes
analógicas.
167
• Los componentes utilizados en la implementación de reguladores digitales
son de construcción robusta y de alta confiabilidad.
Para finalizar podemos mencionar que los reguladores analógicos
actualmente están o han sido substituidos por sus contrapartes digitales,
utilizándose estos controladores analógicos solo en pequeña escala.
4.6 Código fuente del programa asistente de sintonía para reguladores
PID
En el análisis de sistemas de control en la actualidad, es de mucha utilidad
valernos de las herramientas de software que están a nuestra disposición, ya
que son un medio de fácil y rápido análisis de sistemas de control, así como
para cualquier otro tipo de sistemas a estudiar.
Por tal motivo, en este trabajo desarrollamos un programa al que
llamamos “Asistente de sintonía”, el cual fue desarrollado en el entorno grafico
de LabView 8, de National Instruments, el cual posee una forma de
programación grafica a base de iconos y objetos, los cuales son muy fáciles de
utilizar y parametrizar. Además de las buenas características de programación
grafica ofrecida por Labview, posee un Matlab Script, el cual permite el ingreso
de instrucciones como si estuviéramos desarrollando un M-file para el entorno
de Matalab. El objetivo de utilizar estos programas, fue el de aprovechar las
ventajas de combinar la programación grafica y muy flexible en conjunto de
estas dos herramientas.
168
A continuación en la figura 56. Se presenta nuevamente, el panel
principal de la interfaz gráfica, que fue desarrollado para nuestro programa
asistente de sintonía, y que fue explicado brevemente en la sección 4.1.
Figura 58. Panel de control del programa asistente para la sintonía de
reguladores PID
Los objetos del panel mostrado en la figura 58 se ven reflejados como
iconos, en el diagrama de bloques que se utiliza para su interconexión y
formulación de relaciones lógicas.
169
La configuración de conexiones de cada uno de los objetos utilizados en la
interfase gráfica de la figura 56. Véase figura 57. En dicha figura aparece cada
objeto referenciado con su correspondiente incono.
Figura 59. Diagrama de bloques de conexión en Labview
170
Se observa en la figura 57. Que el programa está ubicado dentro de una
estructura while, la cual se deja de ejecutar al pulsar el botón stop.
Debido a que se analizaron dos tipos de sistemas de control, (continuos y
discretos). Se utilizó una estructura case, la cual tiene dos opciones, que
permiten trabajar con las instrucciones que se refieren a sistemas en tiempo
continuo, o con instrucciones que se refieren a sistemas de control discreto.
Esta selección, se realiza por medio del botón etiquetado discreto/continuo.
Como ya se mencionó anteriormente el programa cuenta con una
estructura Matlab Script para sistemas continuos, y otra para sistemas
discretos, cada uno con su respectivo código fuente, el cual se presenta a
continuación.
4.6.1 Código Fuente de Matlab utilizado para el análisis de sistemas
continuos
%************************** Planta y controlador PID **************************
retardo= tf(1,[((Tdead *Tdead)/2) Tdead 1]) %Aproximacion de Pade para
retardo puro
planta1= tf(Gana , [(Tuno*Tdos) (Tuno+Tdos) 1]);
pid= tf([D*P P I*P] , [1 0]); %Funcion de transferencia del regulador PID
total= planta1*retardo*pid;
sistema= (total/(1+total)); %TF del sistema en lazo cerrado
171
%****************************** Sobrepaso máximo *****************************
[y,t] = step(sistema);
SobPasMax=max(y);
SobPasPerc=(SobPasMax-1)*100;
%************************ Margen de ganancia y de fase *********************
[Gm1,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sistema) %Proporciona Mg y Mp Para la planta
Gm=20*log10(Gm1);
%***************************** Pico de resonancia *****************************
[Mag,Fase,W]=bode(sistema); %Devuelve los vectores de magnitud, fase y
pulsacion en tres
Mr=max(Mag); %Valor en el Pico de resonancia
MrDb=20*Log10(Mr);
%******************************* Ancho de banda *******************************
Banda=bandwidth(sistema);
%*************************** Tiempo de levantamiento ************************
[y,t]=step(sistema,8);
maximo=max(y);
[i]=find(y==maximo);
tiempo=t(i);
[y,t]=step(sistema,tiempo);
step(sistema,tiempo);
maximo=max(y);
[i]=find(y==maximo);
noventa=(y(i)*0.9);
[Nov]=find(noventa-0.01 < y & y < noventa+0.01,i);
172
diez=(y(i)*0.1);
[Die]=find(diez-0.01 < y & y < diez+0.01,i);
tr=t(Nov(1))-t(Die(1));
%********************************* Tipo de gráfica *****************************
if (Grafica==1)
step(sistema,simu)
end
if (Grafica==2)
margin(sistema)
end
if (Grafica==3)
nyquist(sistema)
end
if (Grafica==4)
rlocus(sistema)
sgrid
end
4.6.2 Código fuente de Matlab, para el análisis de sistemas discretos
%**************** Planta y controlador PID discretos *************************
planta1= tf(Gana , [(Tuno*Tdos) (Tuno+Tdos) 1],'inputdelay',Tdead);
dproceso=c2d(planta1,Ts,'zoh')
KP=P-(P*I*Ts/2) % Equivalencias de constantes de sintonía continuas
KI=P*Ts*I % a discretas
173
KD=(P*D)/Ts
pidz=tf([(KP+KI+KD) -(KP+2*KD) KD],[1 -1 0],Ts) %PID discreto Forma
% posicional
totalz=((dproceso*pidz)/(1+(dproceso*pidz)))
%***************************** Sobrepaso máximo *******************************
[yz,tz] = step(totalz);
SobPasMaxz=max(yz);
SobPasPercz=(SobPasMaxz-1)*100;
%************************** Margen de fase y ganancia **********************
[Gmz,Pmz,Wcgz,Wcpz] = margin(totalz); %Proporciona Mg y Mp Para la
planta
Gmz1=20*log10(Gmz);
%************************** Pico de resonancia ********************************
[Magz,Fasez,Wz]=bode(totalz); %Devuelve los vectores de magnitud, fase y
%pulsación
Mrz=max(Magz); %Valor en el Pico de resonancia
MrDbz=20*Log10(Mrz);
%***************************** Ancho de banda *********************************
Bandaz=bandwidth(totalz);
%****************************** Tiempo de subida ******************************
[yz,tz]=step(totalz,40);
maximoz=max(yz);
[iz]=find(yz==maximoz);
174
tiempoz=tz(iz);
[yz,tz]=step(totalz,tiempoz);
step(totalz,tiempoz);
maximoz=max(yz);
[iz]=find(yz==maximoz);
noventaz=(yz(iz)*0.9);
[Novz]=find(noventaz < yz );
diezz=(yz(iz)*0.1);
[Diezd]=find(yz < diezz);
trzd=tz(Novz(1))-tz(Diezd(1));
%****************************** Tipo de gráfica *********************************
if (Grafica==1)
step(totalz,simuz)
end
if (Grafica==2)
margin(totalz)
end
if(Grafica==3)
nyquist(totalz)
end
if(Grafica==4)
pzmap(totalz)
end
175
CONCLUSIONES
1. Los reguladores PID, son algoritmos de control de gran preferencia por
su sencillez, y se encuentran en la mayoría de controles en la industria
actualmente.
2. El diseño de lazos de control, se puede basar en un análisis unificado
entre las necesidades de desempeño en frecuencia y en tiempo, ya que
cada uno de éstos aporta diferentes criterios de estabilidad absoluta y
relativa.
3. El análisis aislado y comparación entre un sistema de control analógico
contra un equivalente digital, demuestra la existencia de mejores
características de estabilidad absoluta y relativa para el sistema
analógico. Sin embargo, los sistemas analógicos no ofrecen las grandes
ventajas en cuanto a flexibilidad de diseño e implementación, además de
la confiabilidad y bajo coste económico de los sistemas digitales. Debido
a lo anterior, en la actualidad los reguladores digitales han sustituido o
sustituirán a sus semejantes analógicos.
4. El hecho de realizar muestreo en los sistemas digitales, introduce
claramente un efecto desestabilizante, el cual es la principal desventaja
de un regulador digital frente a su equivalente analógico.
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5. Los algoritmos de control discreto, se implementan digitalmente por
medio de procesadores o sistemas de computación, con lo que se logra
alcanzar flexibilidad sobre opciones adicionales a la estrategia de control
básica utilizada, como por ejemplo, control adaptativo.
6. Las potentes herramientas de Software y Hardware, en la actualidad nos
ofrecen una gran ventaja en el diseño y análisis de sistemas de control,
con lo que se facilita enormemente modelar, diseñar e implementar
características necesarias, en un algoritmo de control.
7. El paquete de Software Matlab 7, con sus diferentes herramientas
especializadas, como el Control Toolbox, es capaz de analizar y
maximizar algoritmos de control, tal como controles PID en tiempo
discreto y continuo, con relativa facilidad y rapidez.
8. El paquete de Software Labview 8, nos permite realizar interfaces
gráficas de forma rápida, unificando diversas herramientas de análisis
para sistemas de control. Labview también permite utilizar ventanas para
comandos Matlab, de tal forma que se aprovechan de forma unificada,
las características gráficas que nos ofrece Labview, con la gran cantidad
de herramientas de cálculo y análisis que nos ofrece Matlab.
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RECOMENDACIONES
1. Es fundamental el conocimiento y uso de herramientas matemáticas
para el análisis de sistemas digitales tal y como lo es para sistemas
continuos, ya que todo sistema en la actualidad se fundamenta en este
tipo de herramientas.
2. Es de primordial importancia para ingenieros e investigadores el uso de
tecnología y herramientas de software moderno, que les permita el
análisis y procesamiento de información de forma rápida y concisa, para
obtener de este modo, resultados eficaz y eficientemente.
3. Todos los sistemas de control en la actualidad son o están siendo
reemplazados, por equivalentes digitales, por lo que la implementación y
comparación entre los mismos tiene gran importancia para comprender y
evaluar las diferentes ventajas que cada sistema nos ofrece.
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BIBLIOGRAFÍA
1. Ogata, Katsuhiko. Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Pearson
Educación.
2. Ogata, Katsuhiko. Problemas de Ingeniería de Control Utilizando
Matlab. Prentice Hall
3. Kuo C. Benjamín. Sistemas de Control Automático. Prentice Hall
Hispanoamericana, S.A.
4. The Mathworks, Inc. Homepage. www.mathworks.com. Junio, 2007.
5. The National Instrument, Inc. Homepage. www.ni.com. Junio,2007
