0aplicaciones_lineales_1_
description
Transcript of 0aplicaciones_lineales_1_
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
1
CLASE SOBRE APLICACIONES LINEALES
1. INTRODUCCIÓN
El problema que se va a abordar es la forma de RELACIONAR los
elementos de dos espacios vectoriales, mediante expresiones matemáticas.
Estos conceptos se utilizan en diversas ramas de la ciencia como el
procesado de imágenes, las gráficas por ordenador, los circuitos
electrónicos, la vibración de cuerpos elásticos, la mecánica cuántica, las
cadenas de Markov y los estudios de Fractales.
Brevemente se revisa el CONCEPTO DE APLICACIÓN.
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera se dice que se ha definido una
aplicación de A en B si todos los elementos de A tienen imagen en B y
además una SOLA imagen.
: ! / ( )f A B x A y B y f x
1 2 1 2( ) ( )f x f x x x
Al conjunto A se denomina Conjunto Inicial y al conjunto B, Conjunto Final.
A Los elementos x A (del conjunto A) se les denominan
ANTECEDENTES y los elementos de B que se obtienen mediante la
aplicación f son las IMÁGENES.
El subconjunto de B que posee las imágenes de los elementos de A, se
denomina conjunto IMAGEN. Se representa por
Im / , ( ) ( )f y B x A y f x f A .
Puede haber elementos de B que no tengan antecedente en A y también
pueden existir elementos de B que tengan varios antecedentes en A.
Ejemplo: Sea los conjuntos 1, 1, 2 y 1, 3, 4A B . Se define la
aplicación :f A B 2! ( ) ,x A y f x x y B “tiene por
cuadrado”. Los antecedentes son todos los elementos de A. Las imágenes
están en el conjunto Imagen Im 1, 4f .
Se observa que el elemento 3 B no tiene antecedente en A por que no es
cuadrado de ninguno de los elementos del conjunto A. y el elemento 1 B
tiene dos antecedentes en A 1,1 cuyo cuadrado es 1.
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
2
TIPO DE APLICACIÓN
Una Aplicación puede ser
SOBREYECTIVA: Todos los elementos de B tienen al menos un antecedente en A.
/ ( )y B x A y f x
INYECTIVA: A elementos distintos del conjunto A corresponden imágenes distintas del conjunto B.
1 2 1 2( ) ( )f x f x x x
BIYECTIVA: Es una aplicación que al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva. Es decir todo elemento de B tiene un y sólo un antecedente en el conjunto A.
! / ( )y B x A y f x
No son aplicaciones
a) 2: 1 0f R R x R x x ya que esta ecuación no tiene
solución real.
b) 2: 0f R R x R x y x ya que esta ecuación tiene dos
raíces reales 2 0y x y x . Para evitar las dos imágenes, en
estos casos, se dice que existe la rama + que sí sería aplicación y
respectivamente la rama – que también lo sería.
c) En el ejemplo usado al definir la aplicación, si cambiamos el conjunto
inicial: 1, 1, 2,3 y 1, 3, 4A B la correspondencia “tiene por
cuadrado” no es aplicación porque el elemento 3 A no tiene imagen en
el conjunto B ya que entre sus elementos no se encuentra el 9.
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
3
2. DEFINICIÓN DE APLICACIÓN LINEAL
Sea E y F dos k-ev (definidos sobre el mismo cuerpo K) con elementos
neutros respectivos 0E E y 0F F . De dimensiones
dim( ) , dim( )E n F m
:f E F es una APLICACIÓN LINEAL de E en F o también
Homomorfismo de espacios vectoriales, si verifica dos condiciones
1. , ( ) ( ) ( )x y E f x y f x f y La aplicación f conserva la SUMA.
2. , ( ) ( )x E K f x f x La aplicación f conserva el
PRODUCTO POR ESCALAR.
Ejemplos que no son aplicación lineal
La aplicación 2: ( )f R R f x x NO es aplicación lineal ya que no se
conserva la suma
2 2 2
2 2
( ) ( ) 2
( ) ( )
f x y x y x y xy
f x f y x y
NO es aplicación lineal 2 2: ( , ) ( ,1)f R R f x y x porque no se
conserva el producto por escalar
2( , ) 2 ,2 2 ,1
2 , 2 ,1 2 ,2
f x y f x y x
f x y x x
Estas dos condiciones se suelen condensar en una SÓLA que expresa: La
imagen de una combinación lineal de dos vectores de E es también una
combinación lineal de sus imágenes.
, , , ( ) ( ) ( )K x y E f x y f x f y
Habitualmente evitaremos escribir el punto para expresar la ley de
composición externa: Producto de escalar por vector.
Ejemplos:
1. La proyección de un vector del espacio geométrico sobre el plano XY es
una aplicación lineal.
3 3: ( , , ) ( , ,0)f R R f x y z x y . En efecto 3, , ,R u v R
Sean 1 1 1 1 2 2 2 2( , , ) , ( , , )u x y z u x y z dos vectores de 3R
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) , ,f x y z x y z f x x y y z z
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
4
1 2 1 2 1 1 2 2, ,0 ( , ,0) ( , ,0)x x y y x y x y
1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , )f x y z f x y z
2. La traslación en el plano geométrico NO es aplicación lineal.
2 2: ( , ) 1, 1f R R f x y x y Traslación a (1,1)
Sean 1 1 1 2 2 2( , ) , ( , )u x y u x y dos vectores de
2R
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ,f u u f x y x y f x x y y
1 2 2 2( 1, 1)x x x y
Por otra parte 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( 1, 1) ( 1, 1)f u f u x y x y
1 2 1 2( 2, 2)x x y y
La imagen de la suma NO es suma de imágenes.
3. En la geometría vectorial de dimensión 2 y 3 son aplicaciones lineales:
Simetrías
Rotaciones
Homotecias
Proyecciones 4. En el Análisis son aplicaciones lineales:
Derivación
Integración
Transformaciones integrales o Transformada de Fourier o Transformada de Laplace
3. TIPO DE APLICACIONES LINEALES
1. Si :f E F es INYECTIVA es un MONOMORFISMO.
2. Si :f E F es SOBREYECTIVA es un EPIMORFISMO.
3. Si :f E F es BIYECTIVA es un ISOMORFISMO.
4. Si E F es un ENDOMORFISMO.
5. Un endomorfismo biyectivo es un AUTOMORFISMO.
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
5
6. Si F K , :f E K es una FORMA LINEAL. Siendo K el cuerpo
de escalares que es espacio vectorial.
Algunos ejemplos:
La IDENTIDAD ( )Ex E id x x es Automorfismo.
El Endomorfismo NULO 0( ) 0Ex E f x
4. ESPACIO VECTORIAL DE LAS APLICACIONES LINEALES
El conjunto de las aplicaciones lineales de dos espacios vectoriales
( , )L E F con las operaciones
, ( )( ) ( ) ( )
, ( )( ) ( )
f g L f g x f x g x
f L K f x f x
se comprueba que tiene estructura de espacio vectorial de dimensión m n .
En particular el espacio vectorial de las Formas Lineales se denomina
Espacio Dual.
5. EXPRESIÓN MATRICIAL
Sea E y F dos k-ev de dimensiones respectivas dim( )E n y
dim( )F m . Con bases 1 2, , ,E nB e e e , 1 2, , ,F mB
Se considera la aplicación lineal :f E F .
Las imágenes de los vectores de la base de E:
1 1 2 2
1
( ) ; 1..m
j j j mj m ij i
i
f e a a a a j n
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
( )
( )
( )
m m
m m
n n n mn m
f e a a a
f e a a a
f e a a a
Un vector cualquiera de E: 1 1 2 2 n nu E u x e x e x e .
Su imagen es un vector de F: 1 1 2 2( ) m mf u y y y .
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
6
1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2( ) ( )m m m mx a a a x a a a
1 1 2 2( )n n n mn mx a a a 1 1 2 2 m my y y
Igualando coordenadas resulta la EXPRESIÓN MATRICIAL
1 2
11 12 11 1
21 22 22 2
1 2( ) ( ) ( )n
n
n
m m mnm nf e f e f e
a a ay xa a ay x
a a ay x
; ,
1.. 1..
i m n j
i m j n
y A x
1 1 2 2
1
n
i ij j i i i n n
j
y a x a x a x a x
OBSERVACIONES
1. Para obtener la imagen de un vector de E, basta con realizar el producto
de dos matrices. Una es la matriz mnA que define la aplicación lineal y la
otra es una matriz columna en la que figuran las coordenadas del vector de
E, respecto a la base EB .
2. Conviene saber que el número de filas de la matriz mnA coincide con la
dimensión del espacio final F, dim(F) = m. El número de columnas coincide
con la dimensión del espacio inicial E, dim(E) = n.
3. Las columnas de la matriz mnA , asociada a la aplicación lineal son las
imágenes de los vectores de la base de E , EB .
4. Si las dimensiones de los espacios vectoriales son iguales
dim( ) dim( )E F n , la matriz nA es cuadrada de orden n. Si la
aplicación lineal es un isomorfismo la matriz nA es regular y existe su
inversa 1A.
5. Dado un vector de F para obtener su antecedente basta resolver un
sistema lineal de ecuaciones. Habrá solución si el vector elegido pertenece
al conjunto Imagen en otro caso el sistema resulta incompatible.
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nf u f x e x e x e x f e x f e x f e
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
7
6. IMAGEN Y NÚCLEO
IMAGEN El subespacio imagen se expresa:
Im / , ( )f y F x E f x y .
Este subespacio se engendra mediante las columnas de la matriz A , ya
que éstas son las imágenes de los vectores de la base de E . Se verifica
que Im f F
Si el rango de la matriz A es ( )rg A r una base del subespacio Imagen
estará formado por las r columnas de A que sean linealmente
independientes.
dim(Im )f r
NUCLEO
El núcleo de un homomorfismo está compuesto por aquellos vectores de E
cuya imagen es el 0F F . Se expresa:
ker / ( ) 0Ff u E f u
Se verifica que (0 ) 0E Ff . En efecto
( 0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) 0E E E Fx E f x f x f f x f
Además ( ) ( )f x f x
( ) / ( ) 0
( ) ( ) ( ) (0 ) 0 ( ) ( )
E
E F
x E x E x x
f x x f x f x f f x f x
Si el rango de la matriz A es ( )rg A r . Para obtener una base del núcleo
se parte de un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo de m
ecuaciones con n incógnitas que siempre admite la solución trivial (0,...,0) ,
es decir el vector nulo.
1 1 2 2 0 1...i i i n na x a x a x i m
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
0
0
0
n
n
m m mn n
a a a x
a a a x
a a a x
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
8
Al ser r el número de filas de la matriz A linealmente independientes, resultan sólo r ecuaciones libres con n incógnitas, es decir un sistema indeterminado que son las ecuaciones implícitas del núcleo. Dado que hay n r incógnitas libres se puede afirmar que la dimensión del núcleo es
dim(ker )f n r
Por tanto se pueden despejar r incógnitas en función de las n r restantes, obteniendo así unas ecuaciones paramétricas del núcleo con n r parámetros, de modo que al dar valores adecuados a los parámetros
se puede obtener una base del núcleo.
En el caso ker 0 dim(ker ) 0r n f f . La aplicación es Inyectiva,
la única solución del sistema es la trivial.
Se verifica dim(ker ) dim(Im ) dim( )n r r n
f f E
Ejemplo: Sea el endomorfismo 2 2:f R R referido a la base 1 2,B e e
Definido 1 1
2 2
1 1
1 1
y x
y x
Obtener el Núcleo y la Imagen.
Solución
Como el ( ) 1rg A se verifica que dim(ker ) 2 1 1f n r .
La ecuación implícita del núcleo es 1 2 0x x
Las ecuaciones paramétricas del núcleo son 1
2
x
x
Una base del núcleo es ker
1
1fB
1 2u e e
Una base del subespacio imagen: Im
1
1fB
1 2v e e
que es una columna de la matriz A . dim(Im ) 1f r
7. PROPIEDADES
1. El NUCLEO es un subespacio vectorial de E.
Se utiliza el Criterio de subespacio vectorial
, ,K u v kerf Comprobar que u v kerf
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
9
( ) ( ) 0Ff u f v ya que ambos vectores son del núcleo
( ) ( ) ( ) 0 0 0F F Ff u v f u f v
Luego u v kerf por tanto es subespacio vectorial.
Además se verifica que (0 ) 0 0 kerE F Ef f .
2. LA IMAGEN es un subespacio vectorial de F.
Se utiliza el Criterio de subespacio vectorial
, K , , Im Comprobar que Imu v f u v f
, Im , / ( ) , ( )u v f x y E u f x v f y
( ) ( ) ( ) Imu v f x f y f x y u v f
ya que x y E es su antecedente.
3. Una aplicación f es INYECTIVA si y sólo si ker 0Ef
Directo: f es inyectiva ker 0Ef
Partir de que f es inyectiva y comprobar que ker 0Ef
Si f es inyectiva se verifica:( ) ( )
ker ( ) (0 ) 0E E
f x f y x y
x f f x f x
Luego el núcleo SOLO tiene el vector 0E
Recíproco: Si ker 0Ef f es inyectiva
Partir de que el núcleo solo tiene el vector 0E y comprobar que la aplicación
es inyectiva. Es decir ( ) ( )f x f y x y
Sean dos vectores ,x y E con imágenes ( ), ( )f x f y F . Si se verifica
( ) ( ) ( ) ( ) 0Ff x f y f x f y ( ) 0Ff x y
Si ( ) 0 ker 0F Ef x y x y f x y x y dado que en el
núcleo sólo está el vector 0E .
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
10
4. Dos K-ev son ISOMORFOS dim( ) dim( )E F
Directo: :f E F es Isomorfismo dim( ) dim( )E F n
Por ser Isomorfismo la aplicación es biyectiva, por tanto inyectiva y
sobreyectiva.
Si se verifica dim( )E n . Hay que comprobar que dim( )F n .
Si f es inyectiva dim(ker ) 0f n r n r
Si f es sobreyectiva Im dim(Im ) dim( )f F f r n F n . Por
tanto ambos espacios vectoriales tienen la misma dimensión.
Recíproco: Si dim( ) dim( )E F n Existe una aplicación lineal f que es
un isomorfismo.
Para probar que f es isomorfismo hay que demostrar que es una aplicación
inyectiva y sobreyectiva y por tanto biyectiva.
Sea 1 2, , ,E nB e e e una base de E y 1 2, , ,F nB una base de
F. Se considera la aplicación lineal :f E F definida por
1 1 2 2 n nu E u e e e ; 1 1 2 2( ) n nf u .
1. La aplicación así definida es sobreyectiva porque
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nf u f e e f e f e
Luego 1 1( ) , , ( )n nf e f e . Es decir las imágenes de los vectores de
la base de E forman una base de F: Im f F .
2. La aplicación así definida es inyectiva porque si se verifica:
( ) 0 0F Ef u u ; 1 1( ) 0n n Ff u
1 1 10 0n n F n por ser i una base de F. Si
( ) 0Ff u u kerf , y como 1 1 2 2 0n n Eu e e e u ya
que son nulos los i por tanto ker 0Ef f es inyectiva.
NOTA: Se considera la aplicación lineal ,1: nf E M que asocia a cada
vector de E una matriz columna, en la que sus elementos son las
coordenadas del vector. Se trata de un Isomorfismo que posibilita trabajar
con matrices en vez de vectores.
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
11
8. CAMBIO DE BASE
Utilizando las fórmulas de cambio de base en espacios vectoriales: En E:
1...
( ) ( )i ii n
u e P
; En F: 1...
( ) ( )i ii m
v Q
. y P Q son las matrices de cambio de
base en cada espacio vectorial. Las coordenadas se relacionan: En E:
Antiguas Nuevas
'x P x ; En F: Antiguas Nuevas
'y Q y
Expresión matricial: y A x , tras el cambio ' ' 'y A x
Sustituyendo y y x en la expresión matricial resulta:
1' ' ' 'y A x Q y A P x y Q A P x
Por tanto
1
' ' '
' '
y A x
y Q A P x
1'A Q A P que es la fórmula
que relaciona las matrices A y A’ de la aplicación lineal asociadas a las
respectivas bases de E y F.
Ejercicio de cambio de Base
Dada la aplicación lineal 3 2:f R R definida por su expresión:
1
1
2
2
3
1 3 5
2 4 6
xy
xy
x
referida a las respectivas bases canónicas: 1 2 3, ,e e e y 1 2,
Efectuar el cambio de base:
1 2 3 1 2 3
1 1 2
( ) ( ) 1 1 3
0 1 1
u u u e e e
; 1 2 1 2
1 1( ) ( )
1 2v v
SOLUCIÓN
Se utiliza la fórmula deducida anteriormente 1'A Q A P , siendo
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
12
1 3 5
2 4 6A
;
1 1 2
1 1 3
0 1 1
P
; 1 1
1 2Q
Se obtiene 1
2 1
1 1Q
y al aplicar la fórmula anterior
1
2 1
1 1Q
1 3 5
2 4 6A
1 1 2
1 1 3
0 1 1P
=
'
14 10 54
10 7 38A
Comprobación:
1
4( )
6f u
que al expresarlo en la base nueva resulta
1 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 6 4(2 ) 6( ) 14 10f u v v v v v v
que es la primera columna de la matriz A’ de la aplicación lineal.
Análogamente para los demás vectores de la nueva base.
2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3 4 3(2 ) 4( ) 10 7f u v v v v v v
3 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 16 22 16(2 ) 22( ) 54 38f u v v v v v v
9. APLICACIÓN COMPUESTA
Dados tres K-ev , ,E F G . Se consideran las aplicaciones lineales:
: , :f E F g F G . Sean A la matriz asociada a f y B la matriz
asociada a g . Se considera la aplicación compuesta h g f definida
:: ,
f g
h E Gh E G E F G
; ( ) ( ( ))h x g f x .
La matriz asociada a h es B A .
La composición de aplicaciones tiene la propiedad asociativa pero en
general no tiene la propiedad conmutativa.
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Se dan los R-ev: 3( )P x espacio vectorial de los polinomios de coeficientes
reales de grado menor o igual a 3. 2M espacio vectorial de las matrices
cuadradas de orden 2.
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
13
Se considera la aplicación lineal 3 2: ( )f P x M definida
3 2( )0
a b df ax bx cx d
b c
1. Definir las bases canónicas de 3( )P x y
2M .
2. Expresión matricial asociada a las bases canónicas.
3. Ecuaciones implícitas del subespacio de 2M : Im f
4. Base del subespacio de 3( )P x : ker f
5. Hallar la matriz de la Aplicación Lineal si cambia la base de 3( )P x .
3
2 3
( )' 2 , , 1, 1P xB x x x
SOLUCIÓN
1. Las base canónicas de 3( )P x y 2M son respectivamente
3
3 2
( ) , , ,1P xB x x x ; 2
1 0 0 1 0 0 0 0, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1MB
2. Para hallar la matriz de la aplicación lineal hay que obtener las
imágenes de los vectores de la base canónica de E.
3 21 0 0 1 0 0 0 1
( ) , ( ) , ( ) , (1)0 0 1 0 1 0 0 0
f x f x f x f
1 1
2 2
3 3
4 4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1;
0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
y x
y xA
y x
y x
3. Una base del subespacio imagen se forma con las columnas de la
matriz que son linealmente independientes.
Im
1 0 0
0 1 0, ,
0 1 1
0 0 0
fB
; Ecuaciones Paramétricas
1
2
3
4 0
y
y
y
y
Al eliminar los tres parámetros entre las cuatro ecuaciones
paramétricas, resulta una Ecuación Implícita del subespacio Im f
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
14
4 0y
La dimensión del subespacio imagen es el rango de la matriz A. Por
tanto se verifica que dim(Im ) 3f r
4. Las ecuaciones implícitas de ker f , se obtienen al igualar al vector
20M
las ecuaciones de la aplicación lineal.
dim(ker ) 4 3 1f n r
Implícitas
1
2 4
2 3
0
0
0
x
x x
x x
Paramétricas
1
2
ker
3
4( )
0 0
1
1
1
f
p x
x
x aB
x a
x a
2( ) ker ; ( ) 1p x f p x x x . 2
0 0( 1)
0 0f x x
5. P es la matriz de cambio de base en 3( )P x :
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
2 0 1 1
P
Habiendo escrito por columnas las coordenadas de los vectores de la base
nueva 3
2 3
( )' 2 , , 1, 1P xB x x x expresados los vectores en la base
canónica de 3( )P x .
La matriz de cambio de base en 2M : 1Q I Q I
Por tanto 1'A Q A P I A P A P
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 2 1
0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 0
A P
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
15
0 0 0 1
2 0 2 1'
0 1 1 0
0 0 0 0
A
También podría obtenerse la matriz A’ mediante las imágenes de los
vectores de la nueva base que son las columnas de A’.
2 30 2 0 0 0 2 1 1
(2) , ( ) , ( 1) , ( 1)0 0 1 0 1 0 0 0
f f x f x f x
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
16
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
1. SIMETRÍA DE EJE X
INYECTIVA
SOBREYECTIVA
' ' 1 0
' ' 0 1
1 0 0Im ; ker ; ker 0
0 1 0
x x x x
y y y y
xf f f
y
Por tanto es Biyectiva
2. SIMETRÍA DE EJE Y
INYECTIVA
SOBREYECTIVA
' ' 1 0
' ' 0 1
1 0 0Im ; ker ; ker 0
0 1 0
x x x x
y y y y
xf f f
y
Por tanto es Biyectiva
3. SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN
INYECTIVA
SOBREYECTIVA
' ' 1 0
' ' 0 1
1 0 0Im ; ker ; ker 0
0 1 0
x x x x
y y y y
xf f f
y
Por tanto es Biyectiva
4. HOMOTECIA DE CENTRO EL ORIGEN Y RAZÓN K
INYECTIVA
SOBREYECTIVA
' ' 0
' ' 0
0 0Im ; ker ; ker 0
0 0
x kx x k x
y ky y k y
k xf f f
k y
Por tanto es Biyectiva
5. TRASLACIÓN: NO ES APLICACIÓN LINEAL, ES APLICACIÓN AFIN.
' '
' '
Guía: vector que se suma a todos los vectores
x a x x a x
y b y y b y
a
b
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
17
EJERCICIO ROTACIÓN
Obtener la matriz de la rotación 2 2:R R R , siendo R la rotación de ángulo
en sentido anti horario.
SOLUCIÓN
cos( )
( )
x r
y rsen
' cos( )
' ( )
x r
y rsen
' cos( )cos( ) ( ) ( ) cos( ) ( )
' ( )cos( ) cos( ) ( ) ( ) cos( )
x r rsen sen x ysen
x rsen r sen xsen y
' cos( ) ( )
' ( ) cos( )
x sen x
y sen y
Como 2 2
cos( ) ( )cos ( ) ( ) 1
( ) cos( )
sensen
sen
; ker 0f en
consecuencia la aplicación es inyectiva y al ser sobreyectiva resulta
biyectiva y por tanto existe matriz inversa.
1cos( ) ( )
( ) cos( )
senA
sen
En particular para 2
.
' 0 1
' 1 0
x x
y y
;
0 1 '
1 0 '
x x
y y
P(x,y)
P(x’,y’)