0_VariableAleatoria y F. de Probabilidad

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOCURSO: ESTADÍSTICA GENERAL

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCION DE

PROBABILIDAD

PROFESOR DR. CISTOBAL EXEBIO C

Es una descripción numérica del resultado de un experimentoaleatorio. Ejemplo: Experimento: Lanzar dos monedas. Ω : CC, CS, SC , SS X : Nro de caras. X (CC) = = 2 X (CS) = X (SC) = 1 X ( SS) = = 0 Luego, la variable X es una variable aleatoria por asignar

numeros a cada uno de los resultados del espacio muestral

VARIABLE ALEATORIA

Material preparado por Dr. Cristobal Exebio C.

Ejemplo 2 : Experimento : Lanzar dos dados

Ω = (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Variable X : Suma de puntos sobre los dados

X(1,1)= = 2 X(1,2)=X(2,1)= = 3 X(1,3)=X(2,.2)=X(3,1)= = 4 X(1,4)=X(2,3)=X(3,2) =X(4,1)= = 5 X(1,5)=X(2,4)=X(3,3)=X(4,2)=X(5,1)= = 6 X(1,6)=X(2,5)=X(3,4)=X(4,3)=X(5,2)=X(6,1)= = 7 X(2,6)=X(3,5)=X(4,4)=X(5,3)=X(6,2)= = 8 X(3,6)=X(4,5)=X(5,4)=X(6,3)= = 9 X(4,6)=X(5,5)=X(6,4) = 10 X(5,6)=X(6,5)= = 11 X(6,6)= = 12

La variable X definida al asignar valores numericos a todos los resultados del espacio muestral se constituye en una variable aleatoria


Tipos de Variables

De acuerdo a lo anterior las podemos clasificar como discretas o continuas

Las discretas son variable aleatorias con un recorrido en los números enteros positivos o negativos.

El recorrido se denota por Rx. Para el primer ejemplo Rx : 0,1,2 Para el segundo ejemplo Rx : 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12

Las continuas son variables que pueden asumir cualquier

valor en un intervalo o conjunto de intervalos, como veremos posteriormente


-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

NumerosEnteros

Numeros Reales o Recta Numerica

Recorrido de la Variable :

Discreta Rx:

Continua Rx:


Funcion de Probabilidad

Es un conjunto de pares ordenados cuyas primeras componentes son los valores de la variable aleatoria y las segundas componentes son las probabilidades que corresponden a cada valor de dicha variable.

Ejemplo:Experimento: Lanzar dos monedas. Ω : CC, CS, SC , SS Variable X : Nro de caras. X (CC) = = 2 P( X =2)= 1/4 X (CS) = X (SC) = 1 P( X =1)= 2/4 X ( SS) = = 0 P( X=0 )= 1/4


La funcion de probabilidad expresada en forma tabular toma la forma:

x 0 1 2 Valores de X

P( X= x) 1/4 2/4 1/4 Probabilidad de X

Se puede observar que los valores de X son numeros enteros, por ser variable discreta y las probabilidades estan comprendidas entre cero y la unidad. Ademas, la suma de las probabilidades es igual a la unidad, esto es la probabilidad del espacio muestral Estas son sus propiedades, las cuales se expresan mediante:

1)()(.

0)()(.

xpxXPb

xpxXPa


Material preparado por Dr. Cristóbal Exebio C.

Función de probabilidad

Una vez definida una variable aleatoria X, podemos definir una función de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:

)()(

]1,0[:

xXPxpx

p

La función de probabilidad debe cumplir:

x

xpii

xxpi

1)()(

0)()((Suma sobre todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria).

Es una funcion que va de los numeros reales al espacio de probabilidad

Notacion de la probabilidad de que la variable tome el valor x

Material preparado por el Dr. Cristóbal Exebio C

Función de probabilidad discreta

Valores

S

C

C

S

S

S

C

C

Probabilidad 0 1/4 = 0,25

1

2

1/2 = 0,50

1/4 = 0,25

1 1,00

Para nuestro ejemplo. X : obtener cara al lanzar dos monedas, vemos que las propiedades se cumplen.

Ejemplo:Funcion de probabilidad de la variable aleatoria, X : suma de puntos al lanzar dos dados

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Se puede observar :•Que los valores de la variable aleatoria X son números enteros, así la distribución será discreta.•Que las probabilidades son números que varían entre 0 y 1.Que la suma de las probabilidades es igual a 36/36 = 1. (Compruebe)


Grafica de la Función de probabilidad de la variable aleatoria X:

Observa que cumple las dos condiciones: la probabilidades siempre positiva con valores en [0,1] y Ʃp(x)=1.

Suma de puntos obtenida al lanzar dos dados normales



Función de distribución

Dada una variable aleatoria X se llama función de distribución a la función F definida como:

)()(

]1,0[:

xXPxFx

F

En el ejemplo de los dos dados: F(5) = P(X 5) = P(x = 2 ó x = 3 ó x = 4 ó x = 5)Asi, F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

Note que las probabilidades se acumulan hasta el valor x que toma la variable.


Grafica de la función de distribución de la variable aleatoria X : Suma de puntos sobre los dados

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F1

1/2

1/36


Ejemplo: Dibujamos la función de probabilidad p(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como:

X = Número obtenido al lanzar un dado.

X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

1

0.5

10

F(x)

x6Función de distribución F(x)

2 3 4 50

61

1 x

p(x)

6Función de probabilidad p(x)

2 3 4 5


Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X b) de que X asuma algún valor en un intervalo. Observa que:

P(a < X b) = F(b) - F(a)

Los sucesos X a y a< X b son mutuamente excluyentes. Entonces:

F(b) = P(X b)=P(X a) + P(a < X b) =F(a) + P(a <X b)En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8.

P(4 X 8) =P(3 < X 8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

Si X es una v.a. discreta con valores xi, y una función de probabilidad p(xi)=P(X= xi) entonces el valor esperado (también llamado esperanza o simplemente media) de X es dada por:

i iiX xpxXE )()(

i iiX xpxXE )()(

Es decir, la esperanza de una v.a. X es una suma ponderada de los diferentes valores de X, donde los pesos de las ponderaciones corresponden a las probabilidades de xi.

Valor Esperado de v.a. discretas


Ejemplo

Considera el siguiente juego: en una urna hay cuatro bolas, 2 blancas, 1 negra y 1 roja. Si salen las blancas, ganas 1, si sale la negra ganas cero y si sale la roja, ganas 2. ¿Cuál es el valor esperado de este juego? O en otras palabras, cuánto dinero estarías dispuesto a pagar, como máximo para jugar a este juego?

Solucion Sea X =ganancia obtenida en este juego. x: 0 1 2 P(x): 1/4 1/2 1/4 Entonces E(X)=0x1/4+1x1/2+2x1/4=1 Si el precio del juego fuera 1, entonces, el ingreso esperado sería:

E(X)-1=0. Es decir, si se jugara muchas veces a este juego, cada vez pagando 1 por jugar, a la larga ni se perdería ni se ganaría nada.


Ejemplo 2.

Tiramos 4 veces una moneda. X = Número de caras. Calcular E(X) .

La función de probabilidad de X es x: 0 1 2 3 4 P(x): 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16Entonces,


2)161

(4)164

(3)166

(2)164

(1)161

(0)( XE


Tarea:

a.Construya el espacio muestral de experimento de lanzar cuatro monedas.b. Calcule la probabilidad de cada suceso elemental o resultado del experimento.c. Construya la funcion de probabilidad y constate si es igual a la anterior.

Si es igual, aprendio a construir una funcion de probabilidad.

Felicitaciones y siga por la senda del exito.

Cálculo de la esperanza de una función de X

Y es una v.a. función de la v.a. X, esto es Y=g(X), en concreto g(X)=X2 donde X es el resultado al lanzar un dado.

Podemos obtener fácilmente la función de probabilidad de Y: Xi : 1 2 3 4 5 6 Y : 1 4 9 16 25 36 p(y): 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

- Fíjate que la p(yi)=p(xi) para todo i! ¿Porqué?- Por tanto E(Y)=15.16. Luego:

i iii ii xpyypyYE )()()(

i iii ii xpyypyYE )()()(


Nota: La probabilidad del valor de Yi no cambia

1. Si a y b son constantes y X es una v.a. Entonces

2. La esperanza de la suma de dos variables es la suma de las esperanzas:

(a + b X)=a + b E(X)

E(a X +b Y)=a E(X)+b E(Y)

Propiedades del valor esperado


Tarea: Realiza los siguientes ejercicios.

Se sabe que E(X) es 3. Calcula la esperanza de las siguientes v.a., Y=2X Asi: E(Y) = E(2X) = E(2)*E(X) = 2 (3) = 6 Z=5X+6 W=Y+Z V=X+W P = 1.32 X + 2 Por último, ¿qué vale la esperanza de una

constante?


Sea X una v.a. discreta. Denotamos E(X)= m. La varianza de X es

22222 )()()()()( XEXExpxXEi ii 22222 )()()()()( XEXExpxXE

i ii

Es decir, la varianza es una suma ponderada del cuadrado de las desviaciones de cada valor de X con respecto a su esperanza.

La desviación típica, , es la raíz cuadrada de de la varianza de X.

Varianza


Ejemplo

Si la función de probabilidad de X es : x 1 2 6 8 p(x) .4 .1 .3 .2 Entonces, E(X)= = 1×.4 + 2×.1 + 6×.3 + 8×.2 = 4 . V(X)= 2 = (1 - 4)2×.4 + (2 - 4)2 × .1 + (6 - 4)2 ×.3 + (8 - 4)2 ×.2 = 8.4. y = 2.90.


Propiedades

5. Sea Y=g(X), entonces V(Y)

6. Si X e Y son independientes, entonces V(X + Y)=V(X) + V(Y)

i ii xpXgExgXgEXgE )())(()(())(()(( 22

i ii xpXgExgXgEXgE )())(()(())(()(( 22


1. Var[X ] = E[X 2]-E[X]2

Dados a, b y una variable aleatoria X, tenemos las siguientes propiedades de la varianza

2. Var[a] = 0 ; para todo “ a “ constante3. Var[a X] = a2 Var[X] ;4. Var[a X+b] = a2 Var[X] .

Tarea: Calcular la varianza que se indican

1. Si V(X)=3, calcula las siguientes expresiones:

a. V(X+3) = V( X) + V(3) = V(X) + 0 = 3.

a. V(2X+7)

a. V(- 9X)

a. V( 3 )

a. V( 3X - 7Y + 3)Material preparado por Dr. Cristobal Exebio C.


Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes

características:

•En cada prueba del experimento sólo son posibles dos

resultados: el suceso A (éxito) y su complemento (fracaso).

•El resultado obtenido en cada prueba es independiente de

los resultados obtenidos anteriormente.

•La probabilidad del suceso A es constante, la

representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La

probabilidad del complemento es 1- p y la representamos

por q .

El experimento consta de un número n de pruebas.

Distribución Binomial


Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial.

A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).

Se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.


Función de probabilidad de la distribución Binomial

Formula que permite obtener la probabilidad para cualquier valor

de la variable x.

Probabilidad de obtener K éxitos

qpknk

k

nkXP

)(

Parámetros de la Distribución Binomial :

Material preparado por Dr. Cristobal Exebio C.Material preparado por Dr. Cristobal Exebio C.

Ejemplo

El gerente de una gran tienda necesita determinar cual es la probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan a la tienda hagan una compra. Él sabe que la probabilidad de que un cliente compre es de 0.3

3 3!

32 2! 3 2 !

2 (3 1)0.3 (1 ) 0.063p

Cantidad de resultados experimentales

Probabilidad de cada resultado experimental en donde 2 de los tres clientes compran

Luego 3 * 0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes que ingresan a la tienda 2 compren.


Cuando los clientes hacen un pedido a una tienda, el sistema revisa si los datos están completos. Los pedidos incompletos se marcan y se les incluye en un reporte de excepciones.

Ejemplo:

Estudios anteriores han demostrado que la probabilidad de que un pedido venga marcado es de 0.10. De una muestra de 4 pedidos, a. calcular la probabilidad que 3 de ellos vengan marcados.

Probabilidad de Éxito : p = 0.10Tamaño de la muestra : n = 4Probabilidad a calcular : P(x=3)

Luego, remplazando los datos en la formula, obtenemos:

xnx ppxnx

nxXP

)1(

)!(!!

)(

Solucion


2-2008 32

0036.0)3(

)09.0(6

24)3(

)90.0)(001.0()1(*1*2*3

1*2*3*4)3(

)10.01()10.0()!1(!3

!4)3(

)10.01()10.0()!34(!3

!4)3(

13

343

xP

xP

xP

xP

xP

La probabilidad de que 3 pedidos vengan marcados es de 0.36%


b. Nos piden ahora calcular la probabilidad de:P(x ≥ 3) = P( x=3 ) + P( x = 4 )

Luego:

444

343

)1()!44(!4

!4)4(

)1()!34(!3

!4)3(

ppXP

ppXP

0036.0)3(

)0009.0(*)4()3(

)0009.0(11231234

)3(

)9.0(*)0001.0()!34!*(3

!4)3( 1

XP

XPxxxxxx

XP

XP

0001.0)4(

)0001.0(*1)4(

)9.0()1.0(!0!4

!4)4(

)1.01()1.0()!44(!4

!4)4(

04

04

xp

xP

xP

xP

0037.0)3(

0001.00036.0)3(

)4()3()3(

XP

XP

XPXPXPLuego:

La probabilidad de que se marquen 3 o más pedidos es de 0.37%


c. Calcular la probabilidad de que en cuatro envíos de pedidos,

menos de 3 salgan marcados

Solucion

p = 0.1 , n = 4

Nos piden calcular :P( x < 3 ) = P(x=2)+P(x=1)+ P(x=0)

Luego:

040

141

242

)1()!04(!0

!4)0(

)1()!14(!1

!4)1(

)1()!24(!2

!4)2(

ppXP

ppXP

ppXP


6561.0)1.01()1.0()!04(!0

!4)0(

2916.0)1.01()1.0()!14(!1

!4)1(

0486.0)1.01()1.0()!24(!2

!4)2(

040

141

242

XP

XP

XP

9963.0)3(

6561.02916.00486.0)3(

)0()1()2()3(

XP

XP

XPXPXPXP

Luego:

La probabilidad de que menos de tres salgan marcados sera del 99.63%


b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 3 niños con sobrepeso en una muestra de 5 ?

p

n X 0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

5 0 0,5905 0,3277 0,2373 0,1681 0,0778 0,0313 0,0102 0,0024 0,0003 0,0000

1 0,9185 0,7373 0,6328 0,5282 0,3370 0,1875 0,0870 0,0308 0,0067 0,0005

2 0,9914 0,9421 0,8965 0,8369 0,6826 0,5000 0,3174 0,1631 0,0579 0,0086

3 0,9995 0,9933 0,9844 0,9692 0,9130 0,8125 0,6630 0,4718 0,2627 0,0815

4 1,0000 0,9997 0,9990 0,9976 0,9898 0,9688 0,9222 0,8319 0,6723 0,4095

5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Ejemplo : Uso de tablas

B(x>3; n= 5, p= 0,1)= 1 - B(x 3; n=5, p= 0,1)= 1 - 0,9995= 0,0005

n = 5 p = 0,1

3

0

23 0005.09995.01)9.0()1.0(3

51)3(1)3( XPXP


EJEMPLO:Si por estudios anteriores se conoce que el 40% de lo jóvenes consume gaseosas. Si se seleccionan 10 estudiantesa. ¿Qué probabilidad hay de encontrar entre 3 y 5 personas, inclusive ,que consumen gaseosas? b. ¿Qué probabilidad hay de encontrar entre 4 o más personas que consumen gaseosa?c. ¿Qué probabilidad hay de encontrar 4 personas que consumen gaseosas?

PROBABILIDADES BINOMIALES ACUMULADAS -USANDO TABLA.


)(6665.01673.08338.0

)2()5()3()5()53(.

TablaVer

xPxPxPxPxPa

6177.03823.01)3(1)4(1)4(. xPxPxPb

2508.03823.06331.0)3()4()4(. xPxPxPc

Probabilidades calculadas empleando la tabla.


Distribución Poisson

* Es una distribución de probabilidad que muestra la probabilidad de x ocurrencias de un evento en un intervalo especificado de tiempo o espacio

* La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud

• La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

• es el parámetro de la distribución y expresa la tasa media de ocurrencia del evento de estudio por intervalo de tiempo o espacio.


La distribución de Poisson se expresa como:

donde : es el parámetro de la distribución

Para una variable aleatoria X que sigue una distribución de Poisson, se cumple :

,......1,0!

)(

xParaxe

xXPx

)()( XVXE


Ejemplo

Se necesita estimar la cantidad de llegadas a la ventanilla de servicio en automóviles de un banco, durante un período de 15 minutos en las mañanas de los días hábiles. Los datos históricos indican que en este período la cantidad de automóviles en promedio es 10. A la gerencia le interesa saber cual es la probabilidad exacta de que lleguen 5 automóviles en 15 minutos

0378.0!5

10)5(

105

e

XP

:

,min15105:

entonces

utoscadaautosyxComo


Ejemplo

Si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas.

Si 2 de cada 100 son defectuosas, entonces seran en 400, luego = 400x2 / 100 = 8 por cada 400 libros.

Luego P ( X = 5) = 092.0!58

!8 588

e

xe x


Ejemplo:

Si en promedio, entran 2 autos por minuto en un garaje, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más autos?

143.0857.01!

1)3(1)4(3

0

xeXPXP

x


Distribución de Poisson como limite de la binomial

Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña, la distribución binomial converge a la distribución de Poisson:

0 210 ,!

)(

...,,,x

x

exp

x

Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.La distribución de Poisson, junto con la binomial, son las distribuciones discretas más utilizadas.

donde n p =


EjemploSi la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga más de 2 televisores defectuosos?

Como p es pequeño y n es grande, empleamos la distribución de Poisson como aproximación a la binomial y obtenemos, luego = np = 100(0.01) = 1.

Asi,

)2()1()0(1)2(1)2( xpXPXPXPXP


Tabla de la distribución de probabilidad acumulada de Poisson.

a) La probabilidad de obtener a lo más ¨x éxitos¨, es denotada por

P( X x) y según Poisson se determina aplicando la fórmula:

x x

x

exXP

0 !)(

Donde el segundo miembro expresa la suma de las probabilidades calculadas por la fórmula de Poisson, para los valores enteros que van desde ¨ 0 hasta x ¨.


Así mismo;

b) La probabilidad de obtener ¨más de x éxitos¨, se calcula aplicando:

P ( X > x ) = 1 - P( X x )

c) la probabilidad de obtener ¨ x o más éxitos, se calcula aplicando:

P( X x ) = 1 - P( X x – 1)


Todas las probabilidades acumuladas de ¨0 hasta un valor de x ocurrencias¨, se encuentran contenidas en la tabla de Poisson; para ubicar tal probabilidad basta con conocer el valor de ¨ ¨ y ¨ x¨.

El valor de se ubica en la fila superior de la tabla y el valor de x en la primera columna; de manera que si se desea la probabilidad acumulada hasta un valor x basta con interceptar la vertical trazada desde el valor de y la horizontal desde el valor de x.

Esquema: a) Calcular P( X 4) para = 0.5

= 0.5

x = 4 0.9998

Uso de Tabla de Poisson:

Ver Tabla


b) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia de más de 4 casos de obesidad si en las 217 escuelas estudiadas p = 0.005?

Uso de tabla

= n × p= 217 × 0,005= 1,1usamos =1

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679

1 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 0,7725 0,7358

2 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 0,9371 0,9197

3 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 0,9865 0,9810

4 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 0,9977 0,9963

5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9997 0,9994

6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

P(= 1; x> 4)= 1 - P(= 1; x 4)= 1 - 0,9963= 0,0037

0_VariableAleatoria y F. de Probabilidad

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