DESARROLLO UNIDAD 1: CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 El sistema de los números reales y elementos de Geometría Analítica. 1.1.1 El sistema de los números reales como un campo Una de las formas de presentar el sistema de los números reales consiste en postular su existencia, acompañada de dos operaciones que satisfacen una lista de axiomas. POSTULADO 1 Existe un conjunto no vacío, denotado 3, llamado conjunto de los números reales, y en el cual hay definidas dos operaciones: adición (simbolizada +) y multiplicación (simbolizada .) que satisfacen los once axiomas que se describen a continuación. A1 (Propiedad clausurativa) “3 es cerrado bajo la operación adición”. Significado: Si a, b son números reales, entonces (a + b) es un número real. A2 (Propiedad modulativa) “Existe un número real, llamado cero (denotado 0), que deja invariable a cualquier

real en la adición”. Significado: Si a es un número real, entonces:

a + 0 = a y 0 + a = a

Al número real cero se le denomina elemento neutro o módulo para la adición. A3 (Propiedad invertiva) “Para cada número real existe otro real, de modo que adicionados, en cualquier

orden, dan como resultado el cero”. Significado: Para cada real a existe un real denotado – a tal que:

a + (– a ) = 0 y (– a) + a = 0 Al real (– a) se le llama inverso aditivo de a. También suele denominársele

opuesto de a. A4 (Propiedad asociativa)

“Si a, b, c son números reales cualesquiera, entonces (a + b) + c = a + (b + c) ”. A5 (Propiedad conmutativa) “El resultado de la adición no se altera si se cambia el orden de los sumandos”. Significado: Si a, b son números reales cualesquiera, entonces:

a + b = b + a El conjunto de las cuatro primeras propiedades puede resumirse así: “La estructura < 3 ; + > es un GRUPO”. Una estructura algebráica consta de un conjunto no vacío (o varios) y una operación (o varias). El conjunto de las cinco propiedades enunciadas se resume así: “La estructura < 3 ; + > es un GRUPO ABELIANO”. Como puede observarse, el carácter de abeliano lo define la propiedad conmutativa. Hasta aquí, los axiomas corresponden a la operación adición. Los siguientes cinco axiomas se refieren a la operación multiplicación. M1 (Propiedad clausurativa) “El conjunto 3 es cerrado bajo la operación multiplicación”. Significado: Si a, b son números reales, entonces a . b es un número real. M2 (Propiedad modulativa) “Existe un número real, distinto de cero, denotado 1 y llamado uno, que deja

invariable a cualquier real en la multiplicación”. Significado: Si a es un número real cualquiera, entonces:

a . 1 = a y 1 . a = a

Al real 1 (uno), se le conoce como módulo de la multiplicación. También se le

llama elemento neutro de la misma M3 (Propiedad invertiva) “Para cada número real, distinto de cero, existe un real distinto de cero, tal que al

multiplicarlos, en cualquier orden, dan como resultado 1 (uno)”. Significado: Si a es un real y a ≠ 0, existe un real no nulo, denotado a– 1 tal que:

a . a– 1 = 1 y a– 1. a = 1 Al real a– 1 se le llama inverso multiplicativo de a, o simplemente inverso. M4 (Propiedad asociativa)

“Si a, b, c son reales cualesquiera, entonces (a . b) . c = a . (b . c) ”. M5 (Propiedad conmutativa) “El resultado de la multiplicación no se altera si se cambia el orden de los factores”. Significado: Si a, b son reales cualesquiera, entonces:

a . b = b . a De estas últimas cinco propiedades puede decirse: “La estructura < 3 – {0}; . > es un GRUPO ABELIANO”. El último axioma se refiere a las dos operaciones: adición y multiplicación. AM (Propiedad distributiva) “Si a, b, c son reales arbitrarios, entonces a . (b + c) = (a . b) + (a . c)”. Las once propiedades anteriores se resumen diciendo: La estructura < 3; +; . > es un CAMPO: el campo de los números reales. De los axiomas de campo se deduce un conjunto de propiedades, entre las cuales están las siguientes. C1. Para todo a real, su inverso aditivo (– a) es único. Si a ≠ 0, su inverso

multiplicativo (a– 1) es único

a1 también denota le se .

C2. Para todo par de reales a , b, la ecuación x + a = b tiene solución única. Dicha solución es x = b + (– a). Definición Si a, b son reales, entonces al real b + (– a) se le llama diferencia entre b y a (en ese orden). Notación: b – a = b + (– a). C3. Para todo par de reales a, b, con a ≠ 0, la ecuación xa = b ó ax = b tiene solución única. Dicha solución es: x = b . a– 1. Definición Si a, b son reales y a ≠ 0, entonces al real b . a– 1 se le llama cociente entre b y a.

Notación: a1b.b.a

ab 1 == −

C4. Para cualesquiera reales a, b, c, a + c = b + c ⇔ a = b. C5. Para todo a real, a . 0 = 0.

C6. Para todo a, b reales, a . b = 0 ⇔ a = 0 b = o. ∨ Si no hay lugar a confusión, el producto x.y puede escribirse sin el “punto”:

x.yxy = C7. Para todo a real, – (– a) = a. C8. Para todo a real, a ≠ 0, ( ) . aa 11 =

−−

De otro modo: aa1 1

=

−

.

También: a

a11

=

.

C9. Para todo par de reales a, b, – (a + b) = (– a) + (– b). C10. Para todo par de reales a, b, distintos de cero, . 111 .ba(ab) −−− =

De otro modo: b1.

a1

ab1

= .

C11. Para todo a real, – a = (– 1)a. Notación: • La expresión “∀ a ∈ 3” se lee: “para cualquier a real”. • La expresión “∀ a ∈ (3 – {0}) ” significa: “para cualquier real a distinto de

cero”. • “∀ a, b ∈ (3 – {0})” se lee: “para todo par de reales a, b no nulos”.

C12. ∀ a ∈ 3, ∀ b, c ∈ (3– {0}), ba

bcac

= .

C13. ∀ a, c ∈ 3, ∀ b, d ∈ (3– {0}), bdac

dc.

ba

= .

C14. ∀ a, c ∈ 3, ∀ b, d ∈ (3– {0}), bd

bcaddc

ba +

=+ .

C15. ∀ a, b ∈ 3, a (– b) = (–a) b = – (ab) C16. ∀ a, b ∈ 3, (– a)(– b) = ab. C17. ∀ a, b ∈ 3, – (a – b) = b –a. C18. ∀ a, b, c, d ∈ 3, (a– b)(c – d) = (ac + bd) – (ad + bc). Prueba de C5 (a . 0) + 0 = a . 0 (axioma A2: propiedad modulativa)

= a . (0 + 0) (axioma A2) = (a . 0) + (a . 0) (axioma AM: propiedad distributiva) 0 = a . 0 (propiedad C4). Esto significa: a . 0 = 0. Prueba de C14

bdbc

bdad

dc

ba

+=+ (por C12)

11 (bc)(bd)(ad)(bd)dc

ba −− +=+ (definición de cociente)

= (propiedad distributiva) 1bc)(bd)(ad −+

bd

bcad += (definición de cociente)

Prueba de C15 a( (propiedad distributiva) b)ba(abb) +−=+− = a . 0 (?) = 0 (?) (a( (?) ab))((0 (ab))(ab)b) −+=−++− a( (asociativa y modulativa) ab)( (ab))ab(b) −=−++− a( (?) ab)( 0b) −=+− a( ab)( b) −=−Ahora bien, (conmutatividad) a)b(a)(b)( −=− (?) ba)( −= (?) ab)( −= Por tanto, ab)(a)(b)( b)a( −=−=−