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INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

EstadísticaCapítulo 4.1

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Conceptos Básicos de Probabilidad

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Concepto de Probabilidad

La probabilidad es la posibilidad o la oportunidad de que un evento específico

ocurra.¿Será o no

será?

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Puede referirse a:• La posibilidad de que compre un número en la

lotería y gane.• La posibilidad de que un comprador elija

comprar un televisor o no comprar.• La posibilidad de que un artículo nuevo que se

ha lanzado al mercado tenga éxito o no.• La posibilidad de que planifique un viaje y se

realice.• La posibilidad de que el día martes vaya al

cine

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Concepto de Evento

Un evento es un hecho que sucede o puede suceder.

Cada una de las características de una variable que se estudia, recibe el

nombre de evento.¿Será o no

será?

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• La posibilidad de que compre un número en la lotería y gane, cada número es un evento.

• La posibilidad de que un comprador elija un producto o elija otro, cada producto es un evento

• La posibilidad de que tenga 26 mables de tres colores diferentes; cada color de mable es un evento.

Algo más de eventos

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Probabilidad de Ocurrencia

La fórmula elemental para calcular la probabilidad de un evento simple, es la

siguiente:

N

X

posiblesresultadosdetotalCantidad

eventoelocurrequevecesdeNúmeroxP

)(

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Las principales características del resultado de una probabilidad son:

• El resultado del cálculo de una probabilidad, siempre es un decimal menor que 1.

• El resultado nunca es negativo.• Los resultados de las probabilidades oscilan entre 0 y 1• Si un evento no puede ocurrir, se dice que la

probabilidad es 0• Si un evento siempre ocurre, se dice que la

probabilidad es 1

Probabilidad de ocurrencia

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Calcular la probabilidad de que Usted gane si compra el número 35 en la lotería chica.

• El evento es el hecho de que compra el número 35.

• Entre el 00 y el 99 sólo hay un 35; el número de veces que se repite el 35 es 1

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• El juego de la lotería va de 00 a 99; entran en juego 100 números; esto significa que la cantidad total de resultados posibles es 100.

• El planteamiento de la probabilidad es:

)35( xP

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• El cálculo de la probabilidad se realiza de la siguiente manera:

01.0100

1)35( xP

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Suponga que su sobrino Juanito tiene una bolsa con 26 mables, de los cuales 10 son rojos, 8 son amarillos, 5 son azules y 3 son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que si Usted saca un mable de la bolsa, el que tome sea un mable azul? (es el

color que le gusta).

• Solamente se va a sacar un mable.

• La probabilidad se denota de la siguiente manera:

)( azulxP

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• Los mables azules son 5, por lo tanto el número

de veces que ocurre el evento es 5.

• En total su sobrino tiene 26 mables, la cantidad

total de resultados posibles es 26.

• Se va a dividir el 5 entre 26.

1923.0265

)( azulxP

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Probabilidades

• Probabilidad Clásica a priori• Probabilidad Clásica empírica• Probabilidad subjetiva

Los enfoques de la probabilidad son:

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Probabilidad Clásica a priori

La probabilidad de éxito en el conocimiento

previo del proceso implicado.

Si se está calculando las probabilidades del lanzamiento de un dado, ya se sabe

que el dado tiene 6 lados y este dato nunca va a variar.

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Probabilidad Clásica Empírica

Es la probabilidad que se obtiene en base a los datos observados, no al conocimiento

previo de un proceso.

Si se tomó una encuesta sobre la compra de un artículo y se calculan las probabilidades,

los resultados son en base a los datos obtenidos del campo.

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Probabilidad Subjetiva

Se refiere a la probabilidad de un evento favorable de acuerdo al criterio de una

persona. Esta puede variar de una a otra

Un inventor de electrodomésticos define una probabilidad de que el

nuevo procesador de alimentos va a ser un éxito; sin embargo el de Mercadeo no opina lo mismo.

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Espacio muestral

Un evento simple puede describirse

por una sola característica.

La unión de todos los eventos simples

se llama espacio muestral.

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Espacio Muestral• En un dado, cada número es un evento y el espacio

muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• En el nacimiento, cada sexo es un evento, el espacio muestral es {niño, niña}

• En la semana cada día es un evento, el espacio muestral es {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

• En la pregunta que se hace a un estudiante si tiene Internet en su casa puede contestar “si” o “no”, son dos eventos y el espacio muestral es {si , no}

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Evento conjunto

Un evento conjunto es un evento que tiene

dos o más características

Un estudiante planificó conectarse a Internet y fue a un proveedor de Internet y compró el servicio, es un evento conjunto, ejecutó dos

acciones, por lo que la probabilidad es conjunta.

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Complemento de un Evento

Incluye todos los eventos que no forman parte de los eventos planificados. Al unir un

evento con su complemento, el resultado es el espacio muestral

Si en una encuesta una de las preguntas es ¿Tiene acceso a Internet?, el resultado puede ser “si” o “no”, la respuesta “no”

es complemento de “si”, porque al unirlas se tiene el espacio muestral.

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Probabilidad conjunta

La probabilidad conjunta es un resultado

que reúne al mismo tiempo dos o más

características de un espacio muestral.

Un estudiante planificó conectarse a Internet y fue a un proveedor de Internet

y compró el servicio, es un evento conjunto, ejecutó dos acciones.

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El cálculo que se debe efectuar será denotado por la letra y.

Calcular la probabilidad de que se cumpla el evento A y se cumpla el evento B.

P( A y B)

Probabilidad conjunta

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Un director de ventas de una compañía de productos electrónicos está interesado en estudiar la intención de los consumidores de adquirir un televisor de pantalla

grande en los próximos 12 meses y en el seguimiento de si lo compró en realidad.

Se hace una encuesta entre 1,000 clientes y se les pregunta si tienen planes de adquirir un televisor en los

próximos 12 meses.

Doce meses después se contacta esos mismos clientes y se les pregunta si compraron un televisor en los

últimos 12 meses.

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La tabla de contingencia que se obtuvo es la siguiente:

PLANIFICÓ COMPRAR

EN REALIDAD COMPRÓ

TOTALSI NO

SI 200 50 250

NO 100 650 750

Total . . . . 300 700 1,000

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PLANIFICÓ COMPRAR

EN REALIDAD COMPRÓ

TOTALSI NO

SI 200 50 250

NO 100 650 750

Total . . . . 300 700 1,000

1. Calcular la probabilidad de que un cliente sí planificó comprar un televisor

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25.0)(1000250

)(

)(

comprarplanificóP

comprarplanificóP

dosentrevistaclientesdetotalcompraronplanificarqueclientes

comprarplanificóP

Existe 0.25 (25%) de probabilidad de que uno de los clientes entrevistados sí haya planificado comprar un

televisor.

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PLANIFICÓ COMPRAR

EN REALIDAD COMPRÓ

TOTALSI NO

SI 200 50 250

NO 100 650 750

Total . . . . 300 700 1,000

2. Calcular la probabilidad de que un cliente planificó comprar y efectivamente compró un televisor

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20.0)(1000200

)(

)(

compróyplanificóP

compróyplanificóP

dosentrevistaclientesdetotalcompraronyonplanificarqueclientes

compróyplanificóP

La probabilidad de que uno de los clientes entrevistados haya planificado comprar un televisor y

fue a la tienda a comprarlo es de 20%

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3. Calcular la probabilidad de que un cliente planificó no comprar, pero si compró

PLANIFICÓ COMPRAR

COMPRÓ

TOTALSI NO

SI 200 50 250

NO 100 650 750

Total . . . . 300 700 1,000

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20.0)(1000200

)(

)(

compróyplanificóP

compróyplanificóP

dosentrevistaclientesdetotalcompraronyonplanificarqueclientes

compróyplanificóP

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4. Calcular la probabilidad de que un cliente compró un televisor.

PLANIFICÓ COMPRAR

COMPRÓ

TOTALSI NO

SI 200 50 250

NO 100 650 750

Total . . . . 300 700 1,000

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4. Un cliente planificó no comprar, pero si compró

30.0)(1000300

)(

)(

compróyplanificóP

compróyplanificóP

dosentrevistaclientesdetotalcompraronyonplanificarqueclientes

compróyplanificóP

La probabilidad de que uno de los clientes entrevistados haya comprado un televisor es de 30%

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Regla general de adición

La regla de la adición permite calcular probabilidades combinando los resultados de más de una pregunta sin

necesidad que sucedan ambas a la vez.

Un estudiante de la clase de Ecología debe presentar un proyecto y le dan la opción de que sea sobre Lancetilla o sobre las Ruinas de Copán. Son dos

eventos, va a Lancetilla o va a Ruinas de Copán y solo tiene el sábado para hacerlo; por lo que sólo

puede ir a un sitio.

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Regla general de adición

El cálculo que se efectúa se denota por la letra o.

Calcular la probabilidad de que se cumpla el evento A o se cumpla el evento B.

P( A ó B)

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Regla general de la adición

)()()()( ByAPBPAPBoAP

Se suman las probabilidades individuales y se restan las conjuntas.

* La conjunta debe ser un dato ya determinado.

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Calcular la probabilidad de que un cliente planeó comprar un televisor o en realidad sí lo compró.

PLANIFICÓ COMPRAR

COMPRÓ

TOTALSI NO

SI 200 50 250

NO 100 650 750

Total . . . . 300 700 1,000

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PLANIFICÓ COMPRAR

COMPRÓ

TOTALSI NO

SI 200 50 250

NO 100 650 750

Total . . . . 300 700 1,000

Trabajar con los clientes potenciales y los clientes con cuentas activas, la fórmula del enunciado se convierte en:

)(

)()(

)(

comprósiycomprarplaneóP

comprósíPcomprarplaneóP

comprósíocomprarplaneóP

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1. La probabilidad de que haya planeado comprar un televisor: ubicar la fila que dice si

2. La probabilidad de que sí haya comprado un televisor: ubicar la columna que dice si

3. Conjunta: la fila de si y la columna si; donde se cruzan es el resultado buscado.

4. Efectuar la operación matemática.

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35.0

20.030.025.01000

200

1000

300

1000

250

)()()(

)(

comprósiyplaneósiPcomprósíPplaneósiP

comprósíocomprarplaneóP

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Calcular la probabilidad de que un fondo de acciones generales nacionales, seleccionado al azar, tenga un

objetivo de crecimiento o una estructura sin cargo.

OBJETIVO DEL FONDO

LISTA DE CARGOS

TOTALSIN

CARGO OTROS

Crecimiento 32 27 59

Mixto 75 60 135

Total . . . . 107 87 194

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1. Probabilidad de que sea un objetivo de crecimiento2. Probabilidad de que sea una estructura de cargos

sin cargo3. La conjunta de Crecimiento y Sin Cargos.4. Efectuar la operación matemática.

691.0

1649.0552.0304.019432

194107

19459

)argsin()arg(sin)(

)argsin(

oscyocrecimientPoscPocrecimientP

oscoocrecimientP

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Fin del capítulo 4.1

Continúa el capítulo 4.2