Matem+ítica Fciera y Estad+¡stica - CUADERNILLO 2.014

1

Pontificia Universidad Católica Argentina

Facultad de Derecho y Ciencias Sociales del Rosario

Carrera de Martillero, Corredor Inmobiliario y Mobiliario, Administrador de Consorcios y Tasador

MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

MATEMÁTICA FINANCIERA : CONCEPTUALIZACIÓN

Cuando se dispone de una cierta cantidad de dinero se puede optar:

destinarlo al consumo, esto es, comprar bienes y servicios que

satisfagan necesidades presentes;

o bien

postergar el consumo, es decir, invertir ese dinero para

recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde.

Pero, para que alguien esté dispuesto a sacrificar parte de su consumo presente,

deberá recibir a cambio una compensación económica que le resulte

suficientemente atractiva; esto es lo que se conoce como Interés.

Así, puede definirse al Interés como:

♦ retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo.

o bien

♦ precio por el alquiler o uso del dinero durante un cierto tiempo.

Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:

el riesgo que se asume

la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital

durante un cierto tiempo

2

la pérdida de valor o poder adquisitivo del dinero en el tiempo, lo

cual es más significativo en épocas inflacionarias

La cuantificación de dicha compensación económica (interés) depende de tres

variables, a saber:

• la cuantía del capital invertido

• el tiempo durante el cual se realiza la operación

• la tasa de interés que se pacta.

De lo expuesto o afirmarse que la Matemática Financiera, como su nombre lo

indica, es la aplicación de la Matemática a las finanzas y se centra en el estudio

del valor del dinero en el tiempo a partir de la combinación de tres variables:

capital, tiempo y tasa de interés, brindando así herramientas que permitan

tomar la decisión más correcta a la hora de realizar una inversión.

PORCENTAJE –BONIFICACIÓN - RECARGO

PORCENTAJE (O POR CIENTO)

Concepto

Se llama “porcentaje” o “por ciento” de una cantidad con respecto a otra a la

razón entre la primera y la segunda, expresada en centésimos.

Distintos casos

1º Caso: Determinar una cantidad que sea un tanto por ciento de otra

cantidad dada.

Ejemplo: Calcular el 20% de 550.

20% de 550 = 20% * 550 = 0,20 * 550 = 110

2º Caso: Determinar qué porcentaje representa una cantidad en relación a

otra cantidad dada.

Ejemplo: Calcular qué porcentaje es 2 con respecto a 8.

3

Aplicando regla de tres simple:

8==============100% 1==============100%/8 2==============100%/8 * 2 =25% = 0,25 Resumidamente: 2/8 = 0,25 = 25% 3º Caso: Determinar una cantidad conociendo un porcentaje de la misma.

Ejemplo: Calcular el número cuyo 20% es 400.

Aplicando regla de tres simple:

20%==============400 1%===============400/20% 100%=============400/20% * 100% =2.000 Resumidamente:

X * 20% = 400

X * 0,20 = 400

X = 400/0,20 = 2.000

Ejercicios de aplicación: 1. Hallar el 150% de 600.

2. Calcular el importe cuyo 5% es 850.

3. Determinar qué porcentaje de 800 es 16.

4. Calcular el número cuyo 120% es 90.

5. Determinar qué porcentaje representa 180 de 600.

4

6. Calcular el 0,5% de 70.

BONIFICACIÓN (O REBAJA) Concepto

Se llama “bonificación” o “rebaja” a un cierto porcentaje que se deduce de una

determinada cantidad. En las prácticas comerciales, el vendedor le otorga una

bonificación al comprador generalmente expresada en un porcentaje del precio

de las mercaderías y ello ocurre cuando, por ejemplo:

el volumen de la venta es significativo;

se trata de un cliente importante;

la mercadería no reúne todas las condiciones de calidad

necesarias;

etc.

Ejemplo

Sobre una venta de $320.000 se otorga una bonificación del 5%.

Bonificación = 5% de 320.000 = 0,05 * 320.000 = 16.000

Precio realmente pagado = Precio original – Bonificación

Precio realmente pagado = 320.000 - 16.000

Precio realmente pagado = 304.000

Otra forma de resolverlo, pero abreviadamente:

Precio realmente pagado = 320.000 * (1 – 0,05)

Precio realmente pagado = 320.000 * 0,95


Ejercicios de aplicación:

1. Calcular cuánto debe abonarse por unas mercaderías de $280.000 sobre

las cuales se otorga una bonificación del 4%.

5

2. Determinar el importe realmente percibido por un comerciante que

vende mercaderías por $35.200 otorgando una bonificación del 8%.

RECARGO

Concepto

Se llama “recargo” a un cierto porcentaje que se suma a una determinada

cantidad. En las prácticas comerciales, el vendedor le aplica un recargo al

comprador generalmente expresada en un porcentaje del precio de las

mercaderías y ello ocurre cuando le otorga cierto plazo de financiación.

Ejemplo

Sobre unas mercaderías cuyo precio de contado es de $200.000, se aplica un

recargo del 6% por vendérselas a 45 días.

Recargo = 6% de 200.000 = 0,06 * 200.000 = 12.000

Precio realmente pagado = Precio original + Recargo

Precio realmente pagado = 200.000 + 12.000


Otra forma de resolverlo, pero abreviadamente:

Precio realmente pagado = 200.000 * (1 + 0,06)

Precio realmente pagado = 200.000 * 1,06



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1. Un determinado producto tiene un precio de venta al contado de $82. Si

se pago a 30 días, se cobrará un recargo por financiación del 5%. ¿Cuál es

el precio que debe pagarse en caso de optar por pagarlo a plazo?

2. Un electrodoméstico tiene un precio de $3.200 al contado y se pacta un

4% de recargo por pagarlo a 30 días. ¿Cuál es el precio realmente pagado

a los 30 días?

INTERÉS SIMPLE

Concepto de interés

En una operación comercial o financiera se llama “interés” al beneficio que

recibe una de las partes por haber dado en préstamo a la otra una determinada

cantidad de dinero, durante un cierto tiempo.

Fórmula de interés simple Teniendo en cuenta que el interés generado por un capital es directamente

proporcional a la cuantía de dicho capital, la razón o tasa de interés aplicable y

al tiempo durante el cual se extiende la operación, los problemas de interés

simple se resuelven atizando la fórmula ya conocida:

Is = C * R * T 100* UT donde:

• Is = importe de los intereses generados • C = capital colocado al inicio de la operación • R = razón = tanto por ciento = interés generado por un Capital de $100

durante un período de tiempo

7

• i = tasa = tanto por uno = interés generado por un Capital de $1 durante un período de tiempo. Luego i= R/100

• T = n = tiempo durante el cual es colocado el capital. UT

Aclaración: i o R y n deben estar expresados en la misma unidad de tiempo De la fórmula anterior podemos plantear la siguiente: Is = C * R * T = C * i * n 100 UT En efecto: *un capital de $1====== en un período======Is = i (por definición de tasa de interés) *un capital de $C====== en un período======Is = C * i *un capital de $C====== en n períodos======Is = C * i * n Ejercicios de aplicación:

7. Hallar el interés producido por $100.000 que estuvieron colocados

durante 8 meses al 2% mensual.

8. Calcular el importe del interés generado por $250.000 durante un año y

medio al 12% semestral.

Fórmulas derivadas a partir de la de interés simple

Siendo: Is = C * i * n, se tiene que:

• C = Is

i * n • i = Is

C * n • n = Is

C * i


8

3. Determinar el valor del capital que, en cinco años y medio, produjo una

ganancia de $110.880 colocado al 6% trimestral d interés.

4. Determinar en cuántos años se gana un interés de $36.000 con un capital

inicial de $75.000 que genera intereses del 8% cuatrimestral.

5. ¿A qué tasa semestral de interés se colocó un capital de $67.500 que en 3

años se incrementó en $44.500?

6. ¿Cuál es el interés producido por $10.000 colocados al 3% mensual

durante 18 meses?

7. ¿Cuál es el capital que, colocado al 10,5% anual, al cabo de 24 meses

produjo $180 de interés?

8. ¿Cuál será el tiempo de un capital de $10.000 colocado al 10% anual que

produjo $2.000 de interés?

9. ¿Cuál es el tiempo, expresado en años, meses y días, necesario para que

un capital de $1.000 colocado al 8% anual produzca $95 de interés?

10. ¿Cuál será el interés producido por $8.000 colocados al 12% anual

durante un año y cuarto?

11. ¿Cuál será la tasa porcentual a que ha sido colocado un capital de $10.000

si al cabo de dos años y medio produjo $4.000 de interés?

12. ¿Cuál es la ganancia obtenida al colocar un capital de $8.000 durante 3

trimestres al 12% anual?

9

MONTO A INTERÉS SIMPLE

Concepto de Monto

Se llama “monto” a la suma del capital inicial más el interés o beneficio

producido por dicho capital.

Fórmula de interés simple

Del concepto de monto se desprende que:

M = C + Is donde:

• M = monto • Is = importe de los intereses generados • C = capital colocado al inicio de la operación

Aclaración: i o R y n deben estar expresados en la misma unidad de tiempo

De la fórmula anterior podemos plantear la siguiente: Is = C * R * T = C * i * n 100 UT En efecto: *un capital de $1====== en un período======Is = i (por definición de tasa de interés) *un capital de $C====== en un período======Is = C * i *un capital de $C====== en n períodos======Is = C * i * n Ejercicios de aplicación:

1) Hallar el interés producido por $100.000 que estuvieron colocados durante 8

meses al 2% mensual.

10

2) Calcular el importe del interés generado por $250.000 durante un año y

medio al 12% semestral.

Fórmulas derivadas a partir de la de interés simple

Siendo: Is = C * i * n, se tiene que:

• C = Is

i * n • i = Is

C * n • n = Is

C * i


1) Determinar el valor del capital que, en cinco años y medio, produjo una

ganancia de $110.880 colocado al 6% trimestral d interés.

2) Determinar en cuántos años se gana un interés de $36.000 con un capital

inicial de $75.000 que genera intereses del 8% cuatrimestral.

3) ¿A qué tasa semestral de interés se colocó un capital de $67.500 que en 3

años se incrementó en $44.500?

4) ¿Cuál es el interés producido por $10.000 colocados al 3% mensual

durante 18 meses?

5) ¿Cuál es el capital que, colocado al 10,5% anual, al cabo de 24 meses

produjo $180 de interés?

6) ¿Cuál será el tiempo de un capital de $10.000 colocado al 10% anual que

produjo $2.000 de interés?

11

7) ¿Cuál es el tiempo, expresado en años, meses y días, necesario para que

un capital de $1.000 colocado al 8% anual produzca $95 de interés?

8) ¿Cuál será el interés producido por $8.000 colocados al 12% anual

durante un año y cuarto?

9) ¿Cuál será la tasa porcentual a que ha sido colocado un capital de $10.000 si al cabo de dos años y medio produjo $4.000 de interés?

10) ¿Cuál es la ganancia obtenida al colocar un capital de $8.000 durante 3

trimestres al 12% anual?

INTERÉS COMPUESTO Introducción

En régimen de interés simple, si se coloca un capital de $300.- al 10% anual

durante 2 años se tiene que:

al cabo del primer año= I = 300 . 0,10 .1 = 300. 0,10 = 30, los

cuales se retiran de modo que el capital al inicio del segundo

período sigue siendo $300.-

al cabo del segundo año= I = 300 . 0,10 .1 = 300. 0,10 = 30

Por lo tanto, el interés total obtenido al cabo de los 2 años es de $60.-

Pero, si los intereses producidos al cabo del primer año no se retiran sino que se

capitalizan, es decir, se agregan al capital inicial del segundo período, se tiene

que:

al cabo del primer año= I = 300 . 0,10 .1 = 300. 0,10 = 30, los

cuales se capitalizan de modo que el capital al inicio del segundo

período es de $330.-

al cabo del segundo año= I = 330 . 0,10 .1 = 330. 0,10 = 33

12

Por lo tanto, el interés total obtenido al cabo de los 2 años es de $63.-

Concepto de Interés Compuesto

Se dice que un capital se coloca a régimen de interés compuesto anual,

semestral, trimestral, etc., cuando se capitalizan, es decir, se acumulan al mismo

los intereses obtenidos al final de cada año, semestre, trimestre, etc.

Fórmula de monto a interés compuesto

Período Capital al

inicio del

período

Interés del

período

Monto o capital al final del período

1 1 i 1+i

2 1+i (1+i) . i (1+i) +(1+i) . i = (1+i) .(1+i) = (1+i)

3 (1+i) (1+i) . i (1+i) + (1+i) .i = (1+i) . (1+i) = (1+i)

….

n (1+i) (1+i) . i (1+i) + (1+i) . i = (1+i) .(1+i) = (1+i)

Primer período:

• El capital al inicio del período es 1$ (que es el capital original de la

inversión).

• El interés del período es i, ya que la tasa i ha sido definida como el

interés generado por un capital de 1$ en un período.

• El monto es la suma del capital más el interés.

Segundo período:

• El capital al inicio del período es el monto al final del período anterior, es

decir, (1+i).

• El interés del período se obtiene multiplicando el capital inicial por la

tasa de interés, es decir, (1+i) . i.

• El monto es la suma del capital más el interés. Si se toma (1+i) como

factor común queda (1+i)

Período n:

13

• El capital al inicio del período es el monto al final del período anterior

que fue (n – 1). Por lo tanto dicho capital inicial es (1+i) .

• El interés del período se obtiene multiplicando el capital inicial por la

tasa de interés, es decir, (1+i) . i.

• El monto es la suma del capital más el interés. Si se toma (1+i) como

factor común queda (1+i) .

Conclusión:

El monto a interés compuesto de un capital inicial de 1$ en n períodos a la tasa i

es: M = (1+i)

Y si el capital inicial, en vez de ser de 1$ es de C$, el monto es: M = C.(1+i)

Factor de capitalización

La expresión (1+i) recibe el nombre de factor de capitalización; en

consecuencia, se puede enunciar sintéticamente que el monto a interés

compuesto es igual al producto del capital inicial por el factor de capitalización.

Observación importante

La fórmula de monto a interés compuesto exige que el período de la tasa y el

número de períodos que dura la operación estén expresados en la misma

unidad que el régimen de capitalización. Ejemplos.

1. Si la capitalización es anual, la tasa debe ser anual y el tiempo debe estar

expresado en años.

2. Si la capitalización es semestral, la tasa debe ser semestral y el tiempo

debe estar expresado en semestres.

Ejemplo: Calcular el monto que se obtiene al depositar $10.000.- al 10% de

interés semestral, sabiendo que esa suma permanece depositada durante 4

semestres.

o M = x

o C = 10.000.-

o i = 0,10 semestral

o n = 4 semestres

14

M = C . (1+i)

M = 10.000 . (1+0,10)

M = 14.461

Fórmula de monto a interés compuesto

Del concepto de interés se desprende que:

Ic = M - C donde:

• M = monto • Ic = importe de los intereses generados en régimen de interés compuesto • C = capital colocado al inicio de la operación

Aclaración: i o R y n deben estar expresados en la misma unidad de tiempo

Reemplazando a M por sula fórmula podemos plantear lo siguiente: Ic = C . (1 + i) - C Ic = C . (1 + i) - 1 Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto

Los distintos elementos que componen la fórmula del monto a interés

compuesto se pueden calcular utilizando logaritmos.

a) Capital inicial

M = C . (1+i)

C = M (1+i)

Ejemplo: Determinar el capital que dio origen a un monto de $7.400,66 en 10

bimestres al 4% de interés bimestral.

C = x

M = 7.400,66

n = 10 bimestres

i = 0,04 bimestral

15

C = M

(1+i) C = 7.400,66

1,04 C = 5.000.-

b) Tiempo

M = C . (1+i)

M = (1+i) C

log M = log (1+i) C

log M n = C log (1+i) n= log M – log C log (1+i)

Ejemplo: Calcular el tiempo durante el cual estuvo colocado un capital de

$8.200.- que, depositado al 8% de interés cuatrimestral, produjo un monto de

$20.649.-

n = x

C = 8.200

i = 0,08 bimestral

M = 20.649

n= log M – log C log (1+i)

n = log 20.649 – log 8.200 log 1,08

n = 4,31490 – 3,91381 0,03342

n = 12 cuatrimestres

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c) Tasa de interés

M = C . (1+i)

M = (1+i) C

M = (1+i) C

M - 1 = i C

Ejemplo: Calcular la tasa de interés a la que se colocó un capital de $10.000.-

que, al cabo de 12 bimestres, produjo un monto de $17.750.-

i = x

C = 10.000

n = 12 bimestres

M = 17.750

i = 17.750 - 1 10.000

i = 0,049 bimestral

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

EEjjeerrcciittaacciióónn IInniicciiaall 1.- ¿Cuál de las siguientes opciones es la correcta?

1. El 25% de la mitad de $63.000.- es:

a) $2.520.-

b) S126.000.-

c) $15.750.-

d) $7.875.-

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2. $500.- representan un porcentaje de la suma $7.000.-.Dicho porcentaje es:

a) 0,07%

b) 0,14%

c) 7,14%

d) 1,4%

e) ninguna de las opciones anteriores

3. En un cuatrimestre un capital de $25.000.- produce $750.- de interés si se

lo coloca a plazo fijo al:

a) 0,0075% mensual

b) 0,45% semestral

c) 0,03% cuatrimestral

d) 9% anual


4. $25.000.- producen $5.000.- de interés en dos meses; ¿qué capital

produce, a la misma tasa, $10.000.- de interés en ocho meses?

a) $50.000.-

b) $100.000.-

c) $200.000.-

d) $150.000.-


2.- Una persona que tiene un capital de $28.000.000.- colocó una parte del

mismo al 5% mensual y el resto, al 6% mensual, obteniendo un interés total de

$1.570.000.- en un mes. ¿Qué sumas colocó en cada operación?

3.- Cierta suma de dinero colocada a plazo fijo arrojó un monto de $3.900.000.-

durante seis meses a una tasa de interés mensual del 5%. Si se la hubiese

colocado durante diez meses a la misma tasa, el monto hubiese sido de

$4.500.000.- ¿Cuál es la suma que se invirtió inicialmente?

18

4.- Hallar la tasa de rendimiento de una operación inmobiliaria mediante la cual

se efectuó una compra de u$s 23.000.- y una venta a los 180 días por u$s 40.000.-

5.- Se quieren reunir $42.000.- con un plazo fijo cuyo capital inicial es de

$30.000.-. Si el interés bancario es del 12% trimestral, ¿cuál es el plazo de

colocación?

EEjjeerrcciittaacciióónn NNºº 11 1.- Calcular el capital final que produjo un capital inicial de $ 12000 que se

colocó durante 7 meses al 18% anual.

2.- Calcular el valor inicial que, en 9 meses, colocado al 8% trimestral produjo

un importe final de $ 40250

3.- ¿Cuál es la tasa bimestral al que se colocaron $ 38650 en 10 bimestres

arrojando como resultado $ 54110?

4.- El 15 de abril se colocaron $ 32000 al 21% anual. Determinar el total retirado

el 15 de diciembre.

5.- Las 2/3 partes del capital de $ 10500 se colocaron durante 6 meses al 10%

anual mientras que el resto del capital se colocó durante el mismo lapso a una

tasa de interés distinta. Si el interés producido por ambas partes del capital es

de $ 560. ¿Cuál es la tasa a la que se colocó la parte restante?

6.- En cuanto tiempo $ 25000 se incrementan en $ 7800 si permanecieron

colocados al 20% anual.

EEjjeerrcciittaacciióónn NNºº 22 1.- Calcular el interés que producen $ 13000 en 9,5 meses al 2% mensual.

19

2.- ¿Cuál es el interés producido por $ 14500 en 3 meses al 1,5% mensual?

3.- Calcular el beneficio que se ha ganado una colocación de $ 17000 que

permaneció invertida durante 15 meses al 12% semestral.

4.- Determinar cual es el importe inicial que en 120 días producen $ 1224 de

interés al 18% anual.

5.- Calcular el capital que en 5 meses y 20 días producen $ 1020 de interés al

18% anual.

6.- Si las 2/3 partes de un capital producen $ 3300 de interés en 7 meses y 10

días al 24% anual ¿Cuál es el valor del mencionado capital?

7.- Calcular el capital inicial de un depósito si el duplo del mismo produce, en 5

meses y 20 días un interés de $ 2720 al 18% anual.

8.- El 15 de marzo se coloca la tercera parte de un capital al 20% anual de interés

durante 9 meses. El resto de ese capital se coloca a la misma fecha al 24% anual

el mismo lapso. Si el interés total al 15 de diciembre es de $ 120000 ¿Cuál es el

capital originario?

9.- ¿A qué porcentaje anual se colocaron $ 23000 si en 14 meses ganaron $

5903,33?

10.- ¿A qué tasa de interés anual se colocó un capital de $ 46885 que en 7 meses

y 15 días se incrementó en $ 7032,75?

EEjjeerrcciittaacciióónn NNºº 33

1.- ¿Cuánto puedo retira al cabo de 4 meses habiendo depositado $ 2200 al

1,20% mensual?

a.- Trabajarlo a régimen de interés simple.

b.- Trabajarlo a régimen de interés compuesto.

20

2.- Calcular el monto que un ahorrista puede retirar luego de tener depositado $

4000 durante 45 días al 10% anual.

3.- Hace 35 días efectué un depósito que me permite retirar hoy la suma de $

5563,29. La operación se hizo al 12% anual. Se desea saber la suma inicial

invertida y el total de beneficio obtenido.

4.- ¿A qué tasa mensual de interés se colocó un capital de $ 3500 que en un

trimestre produjo un monto de $ 3657,60?

5.- ¿A qué tasa anual de interés se colocó un capital de $ 3000 si en 21 días se

pudo retirar un monto de $ 3022,44?

6.- ¿Cuál es el capital que en 7,5 meses produjo un monto de $ 72875 al 60%

anual de interés?

7.- Calcular el capital que colocado al 66%anual durante 4 meses y 10 días

produjo un monto de $ 43961


1.- Las 15/24 partes de un capital de $ 12161,14 fueron impuestas en un régimen

a interés compuesto, con la aplicación de una tasa del 0,078 trimestral.

Paralelamente el resto del importe total que posee el inversionista es ubicado en

otra institución con dos puntos menos de interés pero en este caso a régimen de

interés simple. En el primer caso el tiempo de vigencia de la operación fue de

36,8 quincenas; mientras que en el segundo de 10,2 meses.

Se solicita: averiguar cada uno de los beneficios, el beneficio total, cada uno de

los montos obtenidos y el monto total.

2.- La resta de dos capitales diferentes es igual a $ 80000. Este es dividido en dos

partes desiguales y cada una de ellas es ubicada en una financiera. La primera

ofrece el 0,95% de interés mensual compuesto y la segunda al 15,68% anual

21

simple. Ambas colocaciones se producen durante 3 años 7 meses y 19 días,

habiéndose retirado al término del mismo una suma final total de $ 132000.

Utilizar el año comercial.

Determinar:

a.- Los importes individuales de cada capital sometido a inversión.

b.- Verificar lo afirmado en el enunciado.

3.- Se pretende que la cifra final alcanzada por una inversión, tras haber

colocado un capital de $ 15000 a una tasa cuatrimestral compuesta del 4,82%; se

equipare a otra, habiéndose invertido en esta ocasión un capital de $ 17000

durante un lapso de 1 año más 178 días, con la aplicación de una tasa anual

simple del 14,75%. Se necesita conocer el tiempo de exposición necesario a tal

fin (expresarlo en días)

4.- Las 3/5 partes de una suma de dinero fueron impuestas en un régimen de

interés compuesto, con la aplicación de una tasa del 15,8% semestral.

Paralelamente el resto del importe total que posee el inversionista es ubicado en

otra institución con dos punto más de interés (semestral también), pero en este

caso sometido a un régimen de interés simple. En el primer caso el tiempo de

vigencia de la operación fue de 18 quincenas y 12 días; en el segundo de 2,55

cuatrimestres. Se sabe que la diferencia de los intereses arrojados por ambos

capitales fue de $ 4436.

Determinar:

a.- el importe del capital total.

b.- Las cifras parciales del capital.

c.- Los intereses correspondientes a cada porción de capital.

Los montos parciales.

El monto total.

Verificar la afirmación expresada en el último párrafo.

5.- La suma de dos capitales diferentes es igual a $ 10000. Cada una de ellas, es

colocada en diferentes entidades financieras. La primera ofrece el 17,72%

semestral de interés compuesto; y el 6,42% trimestral compuesto la segunda.

22

Ambas sumas de dinero se colocaron en un lapso de 36 meses; habiéndose

retirado al finalizar dicho período, la cifra final total de $ 22000. Definir:

a.- ¿Cuáles son los importes correspondientes a cada uno de los capitales

invertidos?

b.- Compruebe fehacientemente el resultado de la suma de los montos a la que

hace referencia el problema.

6.- Un inversor pretende que uno de sus hijos (A) retire dentro de un año y

medio, la mitad de lo que su otro hijo (B) retirará dentro de 2 años y 4 meses;

para lo cual deposita $ 8000 en total, al 3,36% bimestral compuesto. Se desea

saber:

a.- Que importe inicial fue destinado a cada uno de los beneficiados.

b.- Que cantidad de dinero le corresponderá a cada uno de los hijos, una vez

transcurrido el plazo prefijado.

7.- Si se coloca un capital durante 14 trimestres, se obtienen $22609; mientras

que si es colocado durante 5 trimestres más, el monto que se logra es de $ 30256.

Determinar:

a.- El capital depositado.

b.- La tasa de interés compuesta utilizada a tal fin expresándola con un ritmo

cuatrimestral.

8.- La suma de dos capitales diferentes es igual a $ 30000; cada porción es

ubicada en una institución cambiaria. La primera ofrece el 2,953% de interés

mensual compuesto y la segunda el 25,68% anual simple. Ambas colocaciones

se producen durante 12 trimestres y 23 días, habiéndose retirado al término del

mismo una suma final total de $ 62000.

a.- Se necesita conocer los importes individuales de cada capital sometido a

inversión.

b.- Verificar también lo afirmado en el final del enunciado.


23

1.- Se invierten $ 10000 durante 195 días, obteniéndose un monto de $ 12325. Si

se trabajó en régimen de interés simple, aplicando año calendario, calcular:

a.- la tasa diaria.

b.- la tasa cada 65 días.

c.- la tasa anual.

2.- Un comerciante debe saldar una deuda de $ 45000 durante 18 meses. Cuenta

con $ 30000 en efectivo, por lo que concurre a diversas instituciones financieras

para realizar una inversión que le permita reunir la suma mencionada. Calcule

si con alguna de las siguientes operaciones alcanzará su objetivo:

a.- Institución A ofrece una tasa del 2,5% mensual.

b.- Institución B ofrece una tasa del 14% semestral.

c.- Institución C ofrece una tasa del 35% anual.

3.- Un capital de $ 7000 fue colocado al 12% semestral y, simultáneamente otro

capital de $ 10000 se colocó al 8,6% semestral. Si el monto obtenido cuadruplicó

la inversión original, determine cuánto tiempo duró la inversión.

4.- Un capital de $ 3000 es invertido durante 10 meses al 7% bimestral y luego

durante 4 bimestres al 8% bimestral. Determinar la ganancia obtenida y el

capital final.

5.- Determine a qué tasa anual será necesario mantener un depósito de $ 12000,

si se desea ganar en concepto de intereses una suma de $ 953, 42 luego de 145

días de inversión (trabajar con año calendario)

6.- Un capital de $ 19000 fue colocado durante un año al 5% trimestral, luego al

6% trimestral durante determinado tiempo, y finalmente durante 9 meses al

7,5% trimestral. Si el monto alcanzado por la operación fue de $ 38394,19

determine cuánto tiempo duró la segunda etapa (régimen compuesto).

24

7.- Se realiza un depósito en una entidad financiera al 2,5% bimestral. Al cabo

de 8 meses la tasa cambia al 3,5% bimestral y 6 meses más tarde se retira el

depósito. Sabiendo que el importe de los intereses ganados en la segunda etapa

es de $ 2400,08 calcule el valor del capital invertido. (régimen compuesto).

8.- Se invierten $ 1000 durante 60 días a una tasa del 16% anual. Determinar:

a.- beneficio a régimen simple.

b.- monto a régimen simple.

c.- beneficio a régimen compuesto.

d.- monto a régimen compuesto.

9.- Un capital de $ 20000 será invertido durante 4 meses al 2% mensual,

posteriormente se coloca durante 6 meses al 5% trimestral. ¿Cuál es el monto

final obtenido?

a.- Régimen simple.

b.- Régimen compuesto.

DESCUENTO

Operaciones de Descuento Son aquellas en las cuales se recibe en forma inmediata un capital que, de otro

modo, sería disponible dentro de un cierto tiempo. En otras palabras, se puede

decir que se trata de situaciones en las que, por ejemplo, se entregan a terceros

los documentos a cobrar que se tienen y que vencerán dentro de un tiempo,

recibiendo hoy una suma menor a la del importe escrito de tales documentos.

La diferencia entre:

• el valor futuro expresado en los documentos (valor nominal)

y

• el importe menor que se recibe hoy por su canje

25

representa el interés que se abona para poder contar con el dinero

anticipadamente y recibe el nombre de “Descuento”.

Nomenclatura:

• Descuento = D = interés que se abona para poder contar con el dinero

anticipadamente

• Valor nominal = N = valor futuro = valor escrito en el documento y que

tiene implícitos los intereses.

• Valor actual = V = importe que efectivamente se percibe hoy, después de

restarle los intereses al valor futuro.

Fórmulas de Descuento:

Descuento = Valor futuro – Valor presente

Descuento = Valor Nominal – Valor actual

D = N - V De donde se deduce que:

==== N = D+V

==== V= N-D

DESCUENTO COMERCIAL Concepto

Es el interés (simple o compuesto) que se calcula sobre el valor nominal o

futuro de un documento; por lo tanto, aplica una tasa de descuento “d” y no

una tasa de interés. De lo expuesto se deduce que las fórmulas de interés

simple y compuesto y sus derivadas son analógicas a las de este tipo de

descuento.

26

Este tipo de descuento es el que habitualmente se aplica en la práctica por lo

que se lo llama “descuento comercial, simple o usual”.

DESCUENTO COMERCIAL A INTERÉS SIMPLE

Fórmula de descuento comercial a interés simple Dc = N . d . n donde:

• Dc = descuento comercial, es decir, importe de los intereses soportados • N = valor nominal, escrito o futuro del documento • d = tasa de descuento utilizada en interés comercial; se trata de una tasa

adelantada • n = tiempo durante el cual es adelantado el capital.

Fórmulas derivadas a partir de la de descuento comercial en

régimen de interés simple

Siendo: Dc = N . d . n, se tiene que:

• N = Dc d . n

• d = Cc N . n

• n = Dc N . d

Fórmula de valor actual y sus derivadas

Ya dijimos que Dc = N – V; por lo tanto se tiene que:

V = N – Dc

Reemplazando Dc por su fórmula, se tiene que:

V = N – N. d. n

Sacando factor común N:

V = N. (1- d.n)

De donde se desprenden las fórmulas de N, d y n:

N= V 1-d.n

27

Luego: V = N . (1 – d.n) V = 1 – d.n (#1) N V = (1- d.n) N V - 1= -d . n N V – N = - d . n N Multiplicando a ambos miembros de la igualdad por (-1), se tiene: (-1) . V – N = (-1) . (- d . n) N -V + N = d. n N d = N- V N. n n = N - V N. d

DESCUENTO COMERCIAL A INTERÉS COMPUESTO Fórmula de valor actual y sus derivadas

V = N. (1 - d)

De donde se desprenden las fórmulas de N, d y n:

N= V (1-d) (1 - d) = V (#2) N Aplicando raíz enésima a ambos miembros de la igualdad se tiene:

28

(1 - d) = V N d = 1 - V N Volviendo a (#2): (1 - d) = V N Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad se tiene: log (1- d) = log V N n. log (1-d) = log V N V n= log N log (1 –d)

DESCUENTO RACIONAL Concepto

Es el interés (simple o compuesto) que se calcula sobre el valor actual de un

documento; por lo tanto, aplica una tasa de interés “i” y no una tasa de

descuento.

Este tipo de descuento da lugar a operaciones reversibles: colocando el valor

actual del documento a la tasa de interés “i” durante los “n” períodos que dura

la transacción, ya sea a régimen de interés simple o compuesto, se obtiene el

valor nominal.

Este tipo de descuento es llamado también “descuento matemático” y es el que

en realidad debería aplicarse en la práctica ya que calcula los intereses sobre la

suma de dinero llamada valor actual.

29

DESCUENTO RACIONAL A INTERÉS SIMPLE Fórmula de descuento racional a interés simple Dr = V . i . n donde:

• Dr = descuento racional, es decir, importe de los intereses soportados • V = valor actual del documento • i = tasa de interés; se trata de una tasa vencida • n = tiempo durante el cual es adelantado el capital

Fórmulas derivadas a partir de la de descuento comercial en régimen de interés simple

Siendo: Dr = V . i . n, se tiene que:

• V = Dr

i .n

• i = Dr

V . n

• n = Dr

V . i

Fórmula de valor nominal y sus derivadas

Ya dijimos que Dr = N – V; por lo tanto se tiene que:

V = N – Dr

Reemplazando Dr por su fórmula, se tiene que:

V = N – V. i. n

V + V. i . n = N

Sacando factor común V:

N = V. (1+ i. n)

De donde se desprenden las fórmulas de V, i y n:

V= N (1+ i .n)

30

1+ i. n = N V i . n = N -1 V i . n = N - V V n = N - V V . i i = N - V V . n

DESCUENTO RACIONAL A INTERÉS COMPUESTO Fórmula de valor nominal y sus derivadas

N = V. (1+i)

De donde se desprenden las fórmulas de V, i y n:

V= N (1+ i)

(1+ i ) = N V Aplicando raíz enésima a ambos miembros de la igualdad se tiene: (1+ i ) = N (#3) V (1+ i ) = N V i = N - 1 V Volviendo a (#3): (1+ i ) = N V Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad se tiene:

31

log (1+ i ) = log N V n . log (1+i) = log N V log N n = V log (1+i)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DESCUENTO

Ejercitación Nº 1

1) Calcular cuánto se recibe al descontar 2 meses antes de vencer un documento de

$3.800.- al 18% anual.

a) DCIS

b) DCIC

2) ¿Cuál es el valor actual de un documento firmado por $4.960.- a 45 días de plazo, si

se lo descuenta al 9% trimestral?

a) DCIS

b) DCIC

3) Un documento de $1.400.- se descontó 3 meses antes de vencer recibiendo $1.232.-.

Calcular la tasa que se utilizó para efectuar dicho descuento.

4) ¿Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $800.- al que se le

aplicó 15% bimestral si el valor recibido fue de $730.-?

5) Un documento de $3.217.- se descontó al 32% anual percibiéndose un valor actual

de $3.199,72. Calcular cuántos días antes de vencer se realizó dicha operación

(aplicar año civil):

a) DCIS

b) DCIC

32

Ejercitación Nº 2

1) Calcular cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $4.300.-

sabiendo que se aplicó el 22,5% anual y se recibió un valor de $3.600.-

a) DCIS

b) DCIC

2) Hallar el valor nominal de un documento que vencerá dentro de 35 días al 31%

anual por el que se percibió un valor de $5.800.-

a) DRIS

b) DRIC

3) Calcular la tasa anual que cobraron al descontar por 28 días un documento de

$6.800.- sabiendo que se recibió por el mismo $6.619,20 (aplicar año comercial).

a) DCIS

b) DCIC

4) Un documento vence dentro de 15 días. El mismo se firmó por $2.250.- ¿Cuánto

se recibe hoy si se lo descuenta al 38,5% semestral?

a) DRIS

b) DRIC

5) Hallar la tasa vencida a la que corresponde la tasa adelantada del 7,5% anual.

Ejercitación Nº 3

1) ¿Qué suma se puede recibir hoy si se descuenta un documento de $5.000.- que

vencerá dentro de 7 meses, por el cual se cobra un 10,5% trimestral?

a) DRIS

b) DRIC

2) Un cliente me pagó una deuda comercial con un documento que vence dentro de 45

días y, por necesidades de liquidez financiera, lo descuento en una entidad que me

cobra una tasa del 30% anual entregándome en efectivo la suma de $3.880.-. Se desea

conocer el importe por el cual mi cliente me firmó el documento descontado.

33

3) Calcular a qué tasa mensual se descontó un documento de $3.052.- si 4 meses antes

de vencer permitió obtener un valor actual de $2.800.- (aplicar año comercial).

a) DRIS

b) DRIC

4) Una deuda de $4.138,10 se documentó al 28% anual. Al descontarla, se percibió un

valor de $4.000.- ¿Cuántos días antes de vencer se ha negociado este documento?

5) Por descontar un documento 60 días antes de su vencimiento al 12,5% semestral, he

percibido un valor actual de $5.100.-. ¿Cuál es el valor del documento descontado?

a. DRIS

b. DRIC

6) Calcular la tasa adelantada a la que corresponde una tasa vencida del 8% mensual.

34

ESTADÍSTICA

IMPORTANCIA EN LA VIDA ACTUAL

La fuerte presencia de la Estadística en la sociedad es una realidad que no

puede ignorarse; basta con prestar atención a los medios de comunicación

masiva los cuales utilizan términos estadísticos a diario.

En efecto, si bien surgió como una herramienta útil para los hombres de

Estado, actualmente ha ampliado notablemente su ámbito de aplicación e

interviene en campos muy diversos como la Biología, la Medicina, la

Agronomía, la Sociología, la Psicología aplicada, etc.; también es utilizada en

las encuestas públicas, en los procesos industriales, en el mundo de los

negocios, etc.

SÍNTESIS DE LA EVOLUCIÓN A TRAVÉS DEL TIEMPO

Desde que los pueblos se organizaron como Estados, sus gobernantes

necesitaron estar informados sobre aspectos relativos a la cantidad o

distribución de población, nacimientos o defunciones, producción agrícola o

ganadera, bienes muebles o inmuebles, efectivos militares y muchos otros, con

el objeto de recaudar impuestos o de analizar las condiciones de vida de la

población. Así, la Estadística se convierte en un importante instrumento del

Estado.

Se atribuye a Achenwall (1.719-1.772), profesor de la Universidad de

Göttingen, la introducción del término “Estadística”, que deriva del vocablo

latín “Status”, para designar a esta “ciencia de las cosas que pertenecen al

Estado”.

Hasta el siglo XVIII solo se habla de recuento, es decir, de datos pasivos. Es a

partir del estudio de los juegos de azar de la época (dados, cartas, monedas),

cuando los matemáticos comienzan a cartearse para intercambiar opiniones

sobre las posibilidades de ganar que existían en cada juego, surgiendo así una

rama particular de la Matemática que es el Cálculo de Probabilidad, lo que

35

vino a dar a la Estadística la justificación teórica y los métodos de

investigación.

CONCEPTO

Si bien no existe una única y precisa definición, puede decirse que Estadística

es la disciplina que proporciona técnicas y métodos para la recolección,

sistematización y análisis de datos, convirtiéndose así en una

herramienta útil para la toma de decisiones en situaciones de

incertidumbre.

OBJETIVO

El objetivo de la Estadística es hacer inferencias (predecir, estimar, proyectar,)

acerca de un conjunto de datos generalmente grande, llamado “población”, en

base a la información suministrada por una “muestra”.

RAMAS

La estadística se divide en dos grandes campos que no están separados, ya

que hay que realizar una para poder pasar a la otra. Ellos son la Estadística

Descriptiva y la Estadística Inferencial o Inferencia Estadística.

*Estadística Descriptiva

• Tal como su nombre lo indica, describe un conjunto de datos.

• Se ocupa de las técnicas para recopilar, organizar, presentar y analizar

datos.

• En los estudios descriptivos sólo se pretende mostrar las características

del fenómeno que se quiere estudiar.

• Como ya se señaló, la Estadística Descriptiva no es más que el trabajo

preliminar para la Inferencia Estadística.

*Estadística Inferencial o Inferencia Estadística

• Generaliza para la población las conclusiones a las que arribó la

Estadística Descriptiva, a partir de la muestra.

36

• Va de lo particular, que es la muestra, a lo general, que es la población,

por lo que también se la llama Estadística Inductiva.

ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA

Toda investigación estadística consta de cuatro pasos o etapas a fin de llegar

al enunciado de conclusiones mediante el camino de la inferencia estadística.

1º etapa: Recuento, relevamiento o compilación de datos.

Esta etapa inicial consiste en la recolección de datos referidos a la situación

que se investiga, los cuales generalmente son muy numerosos y brindan

información sobre las características de los individuos pertenecientes a la

población objeto de estudio.

2º etapa: Tabulación y graficación de datos.

En esta etapa, los datos recogidos son convenientemente ordenados,

clasificados, tabulados, es decir, dispuestos en tablas que facilitan la lectura.

También se pueden realizar gráficos, los cuales permiten una interpretación

de los hechos simple y rápida y, por otra parte, pueden conducir a la elección

de los métodos más adecuados para el análisis de los datos.

3º etapa: Medición de datos.

En esta etapa, comienza la elaboración matemática y medición de los datos.

Se observa que los datos tienden a centrarse en torno a ciertos valores

llamados parámetros o medidas de posición (promedio, mediana, modo).

Luego se analiza la dispersión de los datos con respecto a esos valores

centrales. Se definen entonces los parámetros o medidas de dispersión

(desvíos, desviación estándar).

4º etapa: Inferencia estadística.

Después de la medición de los datos, la Teoría de la Probabilidad acude en

ayuda de la Estadística.

Se deducen las llamadas leyes de inferencia que permiten predecir el

comportamiento futuro de la población investigada.

37

POBLACIÓN Y MUESTRA

En el ámbito estadístico se manejan ciertos conceptos claves, a saber:

♦ Población o universo: es el conjunto de todas las observaciones

realizadas; es decir, es el conjunto de todos los individuos que se

desea estudiar. Ejemplos: personas, plantas, animales, vehículos,

productos elaborados, bacterias, estudiantes, votantes,

consumidores, niveles de ventas, etc.

♦ Muestra: es una parte de la población que se selecciona para

realizar el estudio.

Aclaraciones en relación a la muestra:

Una muestra debe ser representativa, es decir, debe reflejar las

características esenciales de la población a analizar.

El procedimiento de muestreo se utiliza porque resulta más rápido, menos

laborioso y, en consecuencia, menos costoso que si se estudiara la población

en su totalidad.

Muchas veces, se analiza la información que contiene la muestra y se

extienden las conclusiones a toda la población (inferencia estadística).

VARIABLES

Se denominan variables a los aspectos que se pretenden estudiar de una

población, ya sea considerando todos los individuos que la componen o una

muestra representativa. Ejemplos: edad, sexo, peso, estatura, estado civil,

nacionalidad, precio, etc.

Las variables se pueden clasificar, de acuerdo con el tipo de característica a la

que se refieren en:

Variables cualitativas: se refieren a características no medibles o

atributos. Ejemplos: idoneidad, estado de salud, nivel cultural,

calificación de un espectáculo, sexo, estado civil, nacionalidad, profesión,

nivel de estudios, etc.

Variables cuantitativas: se refieren a características medibles. Entre

estas variables se distinguen, a su vez, dos categorías diferentes:

♦ Variables cuantitativas discretas: están expresadas por

números enteros. Ejemplos: número de hijos, número de

habitaciones de una casa, número de alumnos por división,

número de goles por equipo, etc.

38

♦ Variables cuantitativas continuas: están expresadas por

números reales; entre los valores de dos mediciones siempre

existen infinitos valores. Ejemplos: peso, talla, estatura, área,

volumen, precio, etc.


Para cada uno de los siguientes casos, determinar si se analiza una población

o una muestra, identificar la variable en estudio y clasificarla.

a) En un establecimiento dedicado a la cría de porcinos, se quiere

comprobar la eficacia de un nuevo alimento balanceado. En dicho

establecimiento hay 150 animales y se los pesa antes y después de los

20 días que dura esta dieta con el nuevo alimento.

b) Un fabricante de tuercas desea hacer un control de calidad de

fabricación; para ello, escoge 100 tuercas del total de la producción, que

pertenecen a distintas partidas fabricadas y mide el diámetro interno de

las mismas.

c) En un club deportivo de 1.200 socios, se desea conocer la edad de todos

ellos, con el fin de crear nuevas secciones de gimnasia para diferentes

edades.

d) Una empresa automotriz desea hacer un estudio de mercado para

determinar los diferentes tipos de autos que circulan en la ciudad de

Rosario. Para ello, se instalan distintos puestos de observación en cada

uno de los barrios que componen la ciudad. La observación se efectúa

sobre 1.000 automóviles y se analizan las siguientes características:

marca, modelo, color, cantidad de puertas y velocidad alcanzada al

pasar dichos puestos.

TABULACIÓN

CASO A: DATOS SIN AGRUPAR O SERIE SIMPLE

Cuando se realiza el censo o relevamiento, los datos de cada individuo se

anotan, generalmente, en una ficha o una planilla según la cantidad de datos

requeridos.

Una vez recopilados, los datos se pueden escribir en una tabla en forma

ordenada. Esto constituye una serie simple.

39

Ejemplo: se recopilan datos relacionados con las tallas de 40 alumnas de

cuarto año; talles tallas ordenadas de menor a mayor y expresadas en

centímetros pueden presentarse en una tabla como la siguiente:

Tabla I

Nº Talla Nº Talla Nº Talla Nº Talla Nº Talla

1 150 9 158 17 160 25 164 33 167

2 150 10 158 18 160 26 164 34 167

3 154 11 158 19 161 27 165 35 168

4 155 12 159 20 163 28 165 36 169

5 156 13 159 21 163 29 165 37 169

6 157 14 160 22 164 30 166 38 170

7 157 15 160 23 164 31 166 39 170

8 157 16 160 24 164 32 167 40 171

CASO B: DATOS AGRUPADOS EN SERIE DE FRECUENCIAS

Como generalmente el número de observaciones que se realiza es muy grande,

se trata de reducir la tabla agrupando convenientemente los datos. Esta

operación se llama agrupamiento de datos.

La forma más simple de agrupar los datos consiste en indicar el número de

veces que figura cada valor que asume la variable.

Como los datos de cada individuo son recogidos en fichas o plantillas, cada vez

que aparece un valor de la variable, se anota un palote al lado del valor

correspondiente. Para facilitar el recuento, los palotes se agrupan de 5 en 5; el

quinto palote de cada grupo aparece tachando a los 4 anteriores. Ejemplos:

♦ Si una variable aparece 4 veces IIII

♦ Si una variable aparece 6 veces IIII I

♦ Si una variable aparece 12 veces IIII IIII II

Si anotamos las frecuencias de cada variable en una tabla, tenemos: x Palotes f fr = f/n x Palotes f fr = f/n

150 II 2 0,005 163 II 2 0,05

154 I 1 0,025 164 IIII 5 0,125

155 I 1 0,025 165 III 3 0,075

156 II 2 0,05 166 II 2 0,05

40

157 II 2 0,05 167 III 3 0,075

158 III 3 0,075 168 I 1 0,025

159 II 2 0,05 169 II 2 0,05

160 IIII 5 0,125 170 II 2 0,05

161 I 1 0,025 171 I 1 0,025

x: variable f: frecuencia (absoluta) fr: frecuencia relativa, que se explicará más adelante n: número total de observaciones.

Frecuencia absoluta de la variable ( o simplemente frecuencia) = f =

número de veces que la variable toma determinado valor.

En el ejemplo, la frecuencia (absoluta) del valor 160 es f=5

Frecuencia relativa de la variable = fr = número que surge de dividir la

frecuencia absoluta de cada valor de la variable por el número total de

individuos.

En símbolos: fr = f/n, donde:

• fr: frecuencia relativa de la variable

• f: frecuencia absoluta de la variable

• n: número total de observaciones

En el ejemplo, la frecuencia relativa del valor 150 es: fr= 2/40 = 0,05

Esto quiere decir que 5 centésimos (o bien 5%) de las alumnas tienen una talla

de 150 cm.

CASO C: DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE CLASES.

Las tablas se pueden reducir aún más, considerando intervalos para la

variable. Para ello se divide el número total de observaciones en intervalos

iguales llamados intervalos de clase.

Considerando nuestro ejemplo, podemos dividir el número total de

observaciones en intervalos iguales tomados de 5 en 5.

x fi fr=fi/n

(150, 155( 3 0,075

41

(155, 160( 10 0,25

(160, 165( 13 0,325,

(165, 170( 11 0,275

(171, 175( 3 0,075

Total n= 40

Observemos que:

• el primer intervalo: toma valores desde 150 a 154, es decir: 150 ≤ x <

155, vale decir se incluye 150, pero se excluye 155.

• el segundo intervalo: toma valores desde 155 a 160, es decir: 155 ≤ x <

160, vale decir se incluye 155, pero se excluye 160.

Todos los intervalos considerados son abiertos a la derecha, a fin de evitar que

un mismo valor figure en dos clases.

Así, la expresión general de un intervalo es:

a ≤ x < b

ó bien

( a, b (

Donde:

a: extremo inferior de la clase (a pertenece al intervalo)

b: extremo inferior de la clase (b no pertenece al intervalo)

Cabe aclarar que generalmente se toman intervalos iguales, pero si la

distribución es irregular pueden tomarse intervalos distintos. Ejemplo: sobre

un total de 40 alumnos, se registran las calificaciones promedio de la materia

Matemática. Se consideran los intervalos de clase, según rindan en Marzo,

Diciembre o se eximan.

x fi fr=fi/n

0 ≤ x < 4 6 0,15

4 ≤ x < 7 16 0,40

7 ≤ x < 10 18 0,45

Total n= 40 1,00

42

Frecuencia absoluta de un intervalo de clase (o simplemente frecuencia

del intervalo de clase) = fi = número de veces que la variable toma

valores en ese intervalo.

Frecuencia relativa de un intervalo de clase = Fr = número que surge de

dividir la frecuencia absoluta del intervalo por el número total de

individuos.

En símbolos: Fr = fi/n, donde:

• Fr: frecuencia relativa del intervalo

• fi: frecuencia absoluta del intervalo

• n: número total de observaciones

En el ejemplo, la frecuencia relativa del intervalo 160 a 164 es: Fr= 13/40 =

0,325

Esto quiere decir que 3,25 centésimos (o bien 3,25%) de las alumnas tienen

una talla de entre 160 y 164 cm.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE VARIABILIDAD

Los métodos gráficos permiten percibir rápidamente ciertas características de

una distribución de datos. No obstante, en algunos caso, para describir una

distribución es necesario definir algunas medidas numéricas, llamadas

medidas numéricas descriptivas.

Para cualquier conjunto de datos interesa conocer dos tipos de estas medidas:

• medidas de tendencia central

• medidas de dispersión o variabilidad

Cuando las medidas se calculan sobre la base de los datos de una muestra, se

denominan estadísticas. Las estadísticas se usan como base para hacer

inferencia acerca de ciertas características numéricas de la población que

reciben el nombre de parámetro.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

43

Las medidas de tendencia central permiten conocer cómo se concentran los

datos de una distribución alrededor de ciertos valores.

Estudiaremos tres de estas medidas de tendencia central: • Media aritmética o promedio

• Mediana

• Modo o moda

1) MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO Media aritmética o promedio: es el cociente que se obtiene dividiendo la

suma de los valores de las variables por el número total de observaciones.

Ejemplo: un alumno tiene las siguientes notas en Geografía: 5, 8, 5, 9 y 6.

Promedio = 5 + 8 + 5 + 9 +6 = 33 = 6,60 5 5

Una de las propiedades más importantes de la media aritmética o promedio es

que todos los valores de las variables contribuyen de la misma manera a su

determinación.

Si hallamos la diferencia entre cada valor de la variable y el promedio, algunas

diferencias son positivas y otras negativas, pero ellas se compensan, vale

decir, la suma total da cero.

5 – 6,60 = -1,60

8 – 6,60 = 1,40

5 – 6,60 = -1,60

9 – 6,60 = 2,40

6 – 6,60 = -0,60

Total………..0

Por sus propiedades, el promedio es algo así como el centro de gravedad de la

distribución.

Modos de calcular la media aritmética o promedio

a) Promedio con datos sin agrupar (serie simple)

Volviendo al ejemplo y considerando la serie simple de la tabla I, tenemos:

• n = total de observaciones = 40

• ∑ x = suma total de las observaciones = 6.479

• X = media aritmética o promedio = = ∑ x = 6.479 = 162

44

n 40

b) Promedio con datos agrupados en serie de frecuencias

Consideremos la tabla II correspondiente a una serie de frecuencias.

Agreguemos otra columna donde figura el producto de la frecuencia por el

valor de la variable correspondiente: f . x.

En una cuarta columna anotamos las frecuencias acumuladas (fa). Cada una

de las frecuencias que figura en esta columna es igual a la suma de las

frecuencias anteriores. La última corresponde al número total de

observaciones.

Tabla IV

x f f.x fa x f f.x fa

150 2 300 2 163 2 326 21

154 1 154 3 164 5 820 26

155 1 155 4 165 3 495 29

156 2 312 6 166 2 332 31

157 2 314 8 167 3 501 34

158 3 474 11 168 1 168 35

159 2 318 13 169 2 338 37

160 5 800 18 170 2 340 39

161 1 161 19 171 1 171 40

Totales 40 6.479

En una serie de frecuencias, el promedio se obtiene sumando los productos

de cada valor de la variable por su frecuencia y dividiendo tal suma por el

número total de observaciones. En símbolos:

X = ∑ fi. xi = 6.479 = 161.90 = 162

n 40

En este caso se trata de un promedio ponderado debido a que la variable x

figura ponderada por la frecuencia f, siendo la frecuencia el elemento de

ponderación.

c) Promedio con datos agrupados en intervalos de clase.

Para calcular el promedio en este tipo de tablas, se halla el punto medio de

cada intervalo aplicando la siguiente fórmula:

45

Punto medio del intervalo de clase = límite superior + límite inferior 2

Tabla V

x fi xim fi.xim

(150, 155( 3 152 456

(155, 160( 10 157 1.570

(160, 165( 13 162 2.106

(165, 170( 11 167 1.837

(171, 175( 3 172 516

Total n= 40 6.485

En una distribución de frecuencias en intervalos de clase, el promedio se

obtiene sumando los productos de las frecuencias por los valores medios

de cada intervalo y dividiendo tal suma por el número total de

observaciones. En símbolos:

X = ∑ fi. xim = 6.485 = 162.10 = 162 n 40

2) MEDIANA

La mediana es otro de los valores centrales importantes. A diferencia del

promedio, las observaciones no influyen sobre su determinación. Aquí interesa

el ordenamiento de las observaciones, generalmente de menor a mayor.

Mediana: es el valor correspondiente a la posición central de la

distribución, cuyos datos están ordenados en forma creciente.

En otras palabras:

Mediana: es el valor que divide a la distribución en dos partes de igual

cantidad de observaciones.

Modos de calcular la mediana

a) Mediana con datos sin agrupar (serie simple)

Ordenadas las observaciones de menor a mayor, la mediana es:

• el valor central, si el número de observaciones es impar

• el promedio de los dos valores centrales, si el número de

observaciones es par.

Ejemplo 1: Las siguientes son las notas de Matemática de un alumno:

46

5 8 5 9 6

Ordenadas de menor a mayor: 5 5 6 8 9 (5 observaciones)

Me = 6

Ejemplo 2: Las siguientes son las notas de Matemática de otro alumno:

7 4 4 9 8 6

Ordenadas de menor a mayor: 4 4 6 7 8 9(6

observaciones)

Me = 6 + 7 = 6,50

2

b) Mediana con datos agrupados en serie de frecuencias

En una serie de frecuencias se consideran las frecuencias acumuladas: fa.

Cada frecuencia se obtiene sumando a la correspondiente, las frecuencias

anteriores. La mediana corresponde a la observación cuya frecuencia

acumulada contiene a n/2.

En la tabla IV, n/2 = 40/2 = 20

La frecuencia acumulada que contiene a n/2 es fa= 21, que corresponde al

valor de la variable 163. Entonces, Me = 163.

c) Mediana en una distribución de frecuencias en intervalos de clase.

Resulta dificultoso determinar con exactitud cuál es el valor que ocupa la

posición central de una distribución cuando los datos están agrupados en

intervalos de clase. Para estimar su valor:

1º) se determina cuál es el intervalo de clase que la contiene calculando n/2. Tabla VI

x fi fia

(150, 154) 3 3

(155, 159) 10 13

(160, 164) 13 26

(165, 169) 11 37

(170, 174) 3 40

Total n= 40

En este caso, n/2 = 40/2 = 20

La mediana está contenida en el intervalo (160-164) que corresponde a la

frecuencia 26. De este modo: 160 < Me < 164; por lo tanto, Me = 162

aproximadamente.

47

Obsérvese que el valor de la mediana obtenido mediante este procedimiento es

aproximado. Para obtenerlo con mayor precisión, se debe proceder a aplicar la

siguiente fórmula:

Me = Lm + n/2 – fac m-1 . c fm

Lm: es el límite inferior del intervalo que contiene a la mediana

fac m-1: es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo que antecede a la

mediana

fm: es la frecuencia absoluta del intervalo correspondiente al de la mediana

c: es la longitud

3) MODO O MODA

Modo de una distribución es el valor de la variable al que corresponde la

mayor frecuencia.

Cuando en el conjunto de observaciones hay:

• una sola variable que tiene la mayor frecuencia= se trata de una

distribución unimodal

• dos variables que tienen la misma máxima frecuencia= se trata de

una distribución bimodal.

Ejemplo 1: En la serie: 5 8 5 9 6, el Modo es 5 (frecuencia=2)= la distribución

es unimodal.

Ejemplo 2: En la serie: 3 6 9 4 4 8 9 4 9, los

Modos son 4 y 9 (frecuencia=3)= la distribución es bimodal.

Ejemplo: En la tabla IV correspondiente a una serie de frecuencias, los modos

son 160 y 164 con una frecuencia f=5, de modo que se trata de una

distribución bimodal.

Ejemplo: En la tabla V correspondiente a una distribución en intervalos de

clase, el modo corresponde al intervalo (160-164), con una frecuencia f=13; se

toma como modo el valor 162.

En síntesis: Existen tres valores centrales:

El promedio actúa como un centro de gravedad que equilibra

los desvíos positivos y negativos.

48

La mediana es el valor central de la distribución; separa a la

serie en dos partes.

El modo indica el valor de la frecuencia máxima.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD

(con variable cuantitativa discreta)

Para conocer el comportamiento general de una distribución de frecuencias no

alcanza con determinar las medidas de centralización (promedio, mediana y

modo). Es necesario, además, analizar la variabilidad de los datos, lo que

implica estudiar cómo se encuentran esparcidos dentro de la distribución. Tales

medidas de variabilidad o dispersión son:

• Amplitud de la variable

• Varianza

• Desvío o desviación estándar

1) AMPLITUD DE LA VARIABLE

• Es la diferencia entre el máximo y el mínimo valor que asume la

variable en estudio.

2) VARIANZA

• Es el promedio de los cuadrados de los desvíos.

• Cuando se la calcula a partir de datos de una:

muestra:

se denomina varianza muestral

se simboliza

se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

= valor de la variable (cuantitativa discreta)

= promedio o media

49

= frecuencia (absoluta) de cada valor que asume la variable

= tamaño muestral

Aclaración: Se obtiene una mejor estimación cuando como

denominador se utiliza n-1 en lugar de n.

población:

se denomina varianza poblacional

se simboliza

se obtiene aplicando la siguiente fórmula: S =

= valor de la variable (cuantitativa discreta)

= promedio o media

= frecuencia (absoluta) de cada valor que asume la variable

= tamaño de la población

3) DESVÍO O DESVIACIÓN ESTÁNDAR

• Es la raíz cuadrada de la varianza.

• Cuando se la calcula a partir de datos de una:

muestra:

se denomina desviación estándar muestral

se simboliza


población:

se denomina desviación estándar poblacional

se simboliza


Ejercicios de aplicación sobre

50

medidas de centralización y de dispersión

Ejercicio Nº 1: La siguiente muestra expone el número de cigarrillos

consumidos por día por un conjunto de 20 personas mayores de 18 años que

fueron encuestadas:

2 -4 – 10 - 6 – 0 - 4 – 1 - 0 – 3 – 6

10 – 2 – 4 - 2 – 3 -2 – 5 – 5 - 8 - 0

Se solicita:

1) Indicar si se está trabajando con una población o una muestra.

2) Identificar la variable en estudio y clasificarla.

3) Construir una tabla de frecuencias.

4) Calcular las medidas de tendencia central (promedio, mediana y modo).

5) Calcular las medidas de dispersión o variabilidad (amplitud de la

variable, varianza y desvío estándar).

Ejercicio Nº 2: A continuación se exponen los resultados de una evaluación de

Química tomada a los alumnos de 4º año 1º división de un colegio mendocino:

9 – 6 – 6 – 5 – 4 – 4 – 8 – 10 – 3 -2

4 – 5 – 7 – 9 – 6 – 2 – 6 – 7 – 6 - 2

6 – 7 – 3 – 10 – 8 – 5 – 5 – 2 – 1 - 2

Se solicita:

1. Indicar si se está trabajando con una población o una muestra.

2. Identificar la variable en estudio y clasificarla.

3. Construir una tabla de frecuencias.

4. Calcular las medidas de tendencia central (promedio, mediana y modo).

5. Calcular las medidas de dispersión o variabilidad (amplitud de la


Ejercicio Nº 3: La siguiente distribución corresponde a las notas finales

obtenidas por 30 personas en un curso básico de Alemán:

51

Xi F i

1 3

2 6

3 7

4 7

5 3

6 0

7 4

Se solicita:




4. Calcular las medidas de tendencia central (promedio, mediana y

modo).



Ejercicio 4: Las siguientes son las notas obtenidas por los alumnos de 4ª año

“A” del Colegio Rosarino en un examen final de Filosofía:

5 7 7 10 6

4 5 5 7 6

8 6 1 6 6

4 3 9 7 8

Se solicita:







52

Ejercicio 5: Los alumnos de un curso deben determinar el volumen de un

cilindro midiendo el diámetro y la altura. Cada alumno hace una medición

obteniendo los siguientes resultados:

33.2 33.6 34.5 36.2 32.7 32.1

31.5 32.2 33.1 33.7 34.3 34.5

35.2 35.7 35.9 34.2 34.3 36.4

33.3 33.9 33.2 32.2 34.3 35.8

Se solicita:



3. Construir una tabla de frecuencias tomando intervalos de 1 cm cúbico:

(31,32( ; (32;33(; …etc.


Ejercicio 6: Se hizo un censo entre los alumnos de un curso para saber

cuántos hijos tienen sus padres. Los resultados obtenidos son los siguientes:

2 – 2 – 1 – 2 – 3 – 3 – 2 – 3 – 2 – 2

4 – 4 - 2 – 2 – 4 – 1 – 5 – 5 – 2 – 7

2 – 3 – 3 – 2 – 3 – 4 – 7 – 1 – 3 – 3

Se solicita:







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