--

5, pag inas 326 y 327, que el metodo de la Secante ,

. 1+J5 gencla A =: ­ 2- '" 1.62 , Y que el metodo de Regu la

1ue la grafica de la func i6n f sea c6ncava hacia abajo ,a iz Cf.. EI metodo de Bisecci6n se cons idera de

Capitulo 2. SOlUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO·lINEAl EN UNA VARIABLE 89

5. Encuentre una aproximaci6n de m con una precisi6n de por 10 menos tres cifras decimales exactas , usando el metodo de Bisecci6n.

.' "1 :. 6. Se quiere encontrar la menor raiz positiva de cada una de las siguientes ecuaciones,

usando el metodo de iteraci6n de Punto Fijo. En cada caso, encuentre una funci6n de iteraci6n de punto fijo y un intervalo en el que se satisfagan todas las hip6tesis del

:car s iempre que f(a)f(b) < O . Si f(x) tiene mas de

mtemano cual cero es el que se encuentra al ap licar

,con ejemplos

p ond ic i6n f(a)f(b) < O donde a == O y b == 1. Si se

Interva lo [a,b] a cada una de esas fu nc iones, que

I este punto un cero de f ?

c) f(X) == { 1, X>o -1, x ~ 0

tador la funci6n f( x) para valores de x cercano s a

alores f( x) para numeros x, a un mismo lado de '

que hara el metoda de Bisecci6n en uno de los as camb ios? Comente sobre la posib ilidad de "falso cero".

o de Bisecci6n para aproximar el un ico cera de la

[1,21 Cuantas iteraciones seran necesarias para

n el interva lo [1,2] se log re una aproximaci 6n de la

enos 3 cifras decimales exactas? Ca lcule tal

Teorema 2 .1, y calcule una aproximaci6n de la raiz buscada con una precisi6n de por 10 . menos tres cifras decimales exactas . ..

2a) e - x - cos x == 0 b) x + 10cosx==0 c) x - cosx == 0

\ ~.- . 7. Estudie la funci6n g(x) == ~ como una posible funci6n de iteraci6n de Punto Fijo. Por ·

que no es convergente la iteraci6n Xq == g( xn-1), n == 1,2, .. '1. (-' .

8. a) Verifique que cada una de las siguientes funciones gi(X), i == 1,2,3,4 es una funci6n de

iteraci6n de Punto Fijo para la ecuaci6n X4 + 2X2 - X - 3 == 0 , es decir,

a == gi(a) ~ f(a) == 0 , i == 1,2,3,4 , siendo f(x) == X4 + 2X2 - x - 3 .

1 1

3+ x - X4 J2 i) g1 (X) == (3+X-2x

2)4 . ii) g2(X) == [ 2

1

X+3 )2 3x4 + 2X2 + 3 iii) g3(X) == ( -2- iv) g4 (X) == --3--­

x + 2 4x +4x - 1

b) Efectue 4 iteraciones, si es posible, con cada una de las funciones de iteraci6n

definidas en a) , tomando Xo == 1.0 Y xn == gi (xn- 1), i == 1,2,3,4 .

c) Cual funci6n cree usted que da la mejor aproximaci6n? Explique.

- [1 3]9. Demuestre que la ecuaci6n 2sen(rex) + x == 0 tiene una unica ra lz a E 2' 2 . Use el

metodo de iteraci6n de Punto Fijo para encontrar una aproximaci6n de a con una precisi6n de por 10 menos tres cifras decimales exactas.

10. Resuelva la ecuaci6n x3 - x -1 == 0 para la raiz en el intervalo [1,2] . usando el metodo

iterativo de Punto Fijo. Obtenga una aproximaci6n de la raiz buscada con una precisi6n de' por 10 menos tres cifras decimales exactas.

-.,

" I.

I

90 METODOS NUMERIC OS

a) f( x) = e2X - eX - 2 en [0,1]11. Use el metodo iterativo de Punto Fijo para encontrar una aproximaci6n de m con una precisi6n de por 10 menos tres cifras decimales exactas.

12. Use el metodo iterativo de Punto Fijo para demostrar que la sucesi6n

xn = ~ ( Xn_ 1 + _ 2- J, n = 1,2, ..2 x n_1

converge a Ii , para Xo > 0 escogido adecuadamente .

En general . si R > 0 , entonces la sucesi6n { xn } n definida por

xn =~(Xn_ 1 + ~J , n = 1,2, .. 2 xn_1

converge a .JR , para Xo > 0 escogido adecuadamente Esta sucesi6n se usa con iteraciones xn hasta que Ilen ­

frecuencia en subrutinas para calcular ra ices cuadradas .

a) EI metoda de

13. La ecuaci6n eX - 4x2 = 0 tiene una unica ra iz entre a = 0 y b = 1. Demuestre que la b) EI metoda de I~ Secante

1 ~ sucesi6n de Punto Fijo, generada por la funci6n de iteraci6n g( x) = - e 2 , converge a

2

esta raiz si el punto inicial se escoge en el intervalo [0,1] . 20. Use el metodo de

114. Pruebe que la func i6n g(x) = 2 + x- tan - x tiene la propiedad Ig '(x) 1<1 para toda x.

Pruebe que 9 no tiene un Punto Fijo. Explique por que esto no contradice el teorema 2.1 de Punta Fijo

15. Cual es el valor de la siguiente expresi6n?

/"

Note que esta expresi6n puede ser interpretada como significando x = lim xn ' donde n-> oo

Xo = fi , x, = ~2 + fi = ~, y as! sucesivamente Use el metodo de Punto Fijo

con una funci6n de iteraci6n 9 apropiada.

16. Utilice el metodo de Newton-Raphson para hallar ceros de las siguientes funciones en el

Calcule las iteraciones xn hasta que I

{xn } n definida por

17. Encuentre el dominio de la funci6n f(x)

Sugerencia: Use el metoda iterativo de

18. Use el metoda de Newton-Raphson

sobre la grafica de Y = X2 mas I xn - x _, I< 5 x 10-

5 .n

19. Resuelva la ecuaci6n 4COSx= "

intervalo indicado.

Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 91

xa) f(x) = e2x - eX - 2 en [0,1] b) f(x) = 4senx - e en [0,.5]

5Calcule las iteraciones xn hasta que Ixn - xn- 1 1< 5 x 10- .

1

17. Encuentre el dominio de la funci6n f(x) = [2(1 - x)e X - 1)2 .

Sugerencia: Use el metoda iterativo de Punta Fijo.

18. Use el metoda de Newton-Raphson para aproximar el valor de la abscisa del punto (x, y) sobre la gratica de y = x 2 mas cercano a (1,0) . Calcule las iteraciones xn hasta que

I xn - xn- l I< 5 x 10-5 .

19. Resuelva la ecuacion 4 cos x = eX can una precisi6n de 5 x 10-5, es decir, calcular las

iteraciones xn hasta que I xn - xn_l I< 5 x 10-5 , usando: r1,

,L ~, ....L'a) EI metoda de Newton-Raphson can _)(.D~19 . "\ ' , -.. . ll. . ~ , • _ < J ,

'-1. - - 4, - ,b) EI metoda de 1;;1 Secante can Xo = ~ y x, =. ~ . _ _ • _ • ,-=

4 2 "'-< \'_ '.,j.

r.,~ - 4I . ... r

'.20. Use el metoda de Newton-Raphson para resolver la ecuaci6n .-\ ~

. . t- ­( sen x - ~r = 0 can Xo = % j., ..

", "

Itere hasta obtener una precisi6n de 5 x 10-5 para la ralz aproximada, con

f( x) = ( sen x -~) 2 Parecen los resultados fuera de 10 comun para el metodo de

Newton-Raphson? Resuelva tambien la ecuaci6n can Xo = 5rc y Xo = 10rc .

21. Use el metoda de Newton-Raphson modificado para encontrar una aproximaci6n de la ralz de la ecuaci6n

empezando can Xo =0 y efectuando 10 iteraciones . Cual es la multiplicidad de la ra lz

buscada?

},92 METODOS NUMERICOS

22. Demuestre que la sucesi6n {xn} n definida por

1 xn =k' n =1.2...

n

con k cua lquier entero pos i tiv~ . converge linealmente a a = o . Para cada par de enteros

1 k Y m. determine un numero N para el cual -k < 1 O-m .

N

,.

23. Suponga que a es una ra iz de multiplic idad m de f(x) = O. donde t'" es continua en un

interva lo abierto que contiene a a . Demuestre que la iteracion funcional usando

g(x)= x _ mf(X) f '(x)

da convergencia cuadratica .

24. Estudie el orden de convergencia de los metodos abiertos aplicados en la solucion de cada uno de los ejercicios anteriores

25. Use el metodo de Newton-Raphson para aproximar la raiz a = 1 de la ecuacion

f(x) =X3 - 2 X2 + 2x -1 =O. tomando Xo = 0 y Xo =10 . Termine las iteraciones xn

5 5cuando I f(xn) 1< 5 x 10 - , Ixn - xn-1 1< 5 x 10- 0 n C. 25 . Imprima todos los valores

xn. f(xn), En ~ xn - 1 Y E; , yverifiqueque En+1""E; . t."- - l , . .:.. ". _ I

f. \ \. -' .

26. Aproxime todas las raices de la ecuaci6n X4 + 2.8x 3 - .38x 2

- 6.3x - 4.2 = 0 , usando el metodo de Newton-Raphson y Deflaci6n.

27. Aproxime todas las raices de la ecuacion

x8 _ X l - 39x6 + 37x 5 + 446x4 - 180 x3 -1928x 2

- 256x + 1920 = 0

usando el metodo de Newton-Raphson y Deflacion.

Sugerencia: Las raices son: -2 con mu ltiplicidad 3, 4 can multiplicidad 2, 1, 3 Y - 5 .

28. Use el metodo de Newton-Raphson y Deflacion para encontrar, con una precision de

5 x 10-5 , todos los ceros , todos los puntas criticos y todos los puntas de inflexi6n de las

siguientes funciones. Use la informacion obtenida para hacer la grafica de cad a una de las funciones f dadas.

2x3 5x 2b) f(x) = X4 - - + 12x - 5

, -1~

SOlUCION NCAPiTULO 3. ECUACIONES

INTRODUCCION

Un sistema de n-ecuaciones (con coeficientel

conjunto de n ecuaciones de la forma

donde

can aj "a, 2,00 .a,n y b. en cualquier otro caso el

Il Si C "" (C' .C2 ' .. ·.Cn) eRdice que C es una

CAPiTULO 3. SOlUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

INTRODUCCION

Un sistema de n-ecuaciones (con coeficientes reales) en las n-inc6gnitas Xl, X2,·.·, Xn es un

conjunto de n ecuaciones de la forma

fl (Xl' X2, .. , Xn) 0

f2(Xl , X2,· ., Xn) 0 (3.1)

fn(Xl ' X2,· ·· , Xn) 0

donde

R nfj : Dj ~ R. D j ~

X = (Xl ,X2, ... ,Xn) ~ fj(X) = Y

Si para cada i = 1,2, ... ,n , la funci6n fj es de la forma

con a j l ' aj 2"'" a j n Y bj constantes reales, el sistema se dice lineal (con coeficientes reales) ;

en cualquier otro caso el sistema se dice no-lineal.

Si C = (C l ,C2, ... ,cn) ERn es tal que f;(C l ,C2,... ,cn) = 0 para cada i = 1,2, ... ,n , entonces se

dice que C es una soluci6n real del sistema (3 .1).

EI objetivo de este capitulo es estudiar algunos metodos numericos para encontrar una soluci6n real de un sistema del tipo (3 .1).

3.1 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de n-ecuaciones lineales (con coeficientes rea les) en las n-inc6gnitas

Xl , X2,· .. , Xn puede escribirse en la forma

al l Xl + a12x2 +' .+aln xn = bl

a2l xl + a22 x2+· .+a2n xn = b2 con ajj , bj ER. i, j = 1,2, . . ,n (3.2)j

anl xl + an2 x2+. .+annxn = bn

EI sistema (3 .2) puede escribirse en la forma matricial equivalente AX = b con

94 METODOS NUMERICOS

La matriz A es lIamada matriz de coeficientes del sistema, el vector columna X el vector de incognitas y el vector b el vector de terminos independientes.

Nota: Consideraremos unicamente sistemas de ecuaciones lineales AX = b con A E R n:<n

que tengan soluci6n unica para cada vector b ERn , es decir, con A invertible.

Los metodos numericos que estudiaremos para la solucion de un sistema de ecuaciones lineales se clasifican en dos tipos: directos e iterativos.

Los metodos directos nos proporcionan una solucion del sistema en un numero fin ito de pasos. Si usamos aritmetica finita para los calculos, obtendremos por 10 general una solucion aproximada, debido unicamente a los errores de redondeo , puesto que no hay errores de truncamiento 0 de f6rmula. Los metod os directos mas usados tienen como base la eliminaci6n de Gauss.

En los metodos iterativos se parte de una aproximacion inicial a la soluci6n del sistema dado y se genera, a partir de dicha aproximaci6n, una sucesi6n de vectores que si converge 10 hace a la soluci6n del sistema. AI igual que en el capitulo 2, tendremos f6rmulas para calcular los terminos de la sucesion, as! que en general no se espera calcular el limite de la sucesion , por 10 que debemos tomar algun termino de la sucesi6n como una solucion aproximada del sistema. Esta vez , ademas de los errores de redondeo si se usa aritmetica finita , habra errores de truncamiento 0 de f6rmula. Los metod os iterativos mas simples y conocidos estan basados en iteraciones de Punto Fijo.

3.2 METODOS DIRECTOS

CASO 1: La matriz A (de coeficientes del sistema AX = b) es triangular (superior 0

inferior) con todas sus componentes sobre la diagonal principal no-nulas.

Supongamos que el sistema es de la forma

a11x1 + a 12 x2 + + a1 ,xj + + al,n-1 xn-1+ a1 nXn = b1

a22 x2 + + a 2 jXj + + a2.n-1xn- 1 + a2 nxn = b2

an-1,n-1Xn-1 + an-1,n xn = bn-1

an nXn = bn

Como an n '" 0 , entonces podemos des~

Conocido xn ' usamos la penultima

En general , conocidos xn'

EI metodo anterior para reversiva , regresiva 0

Si la matriz de coellCll" podemos proceder de primera ecuaci6n. EI hacia adelante

Entrl~d.a.

Capitulo 3. SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 95

Gomo an n ~ 0 . entonces podemos despejar xn de la ultima ecuacion y obtenemos

I x"=~ I

Gonocido xn . usamos la penultima ecuacion para obtener

bn- 1 - an_1. nXn x = - -----'-'­n- 1

an- 1. n-l

Gonocidos xn Y xn_1 • obtenemos (de la antepenultima ecuacion)

bn- 2 - (an_2. n-l xn-l + an- 2. nXn)x - = ----'-----------'-­n 2

an- 2. n- 2

En general. conocidos xn. xn- 1. ... Xj+l . obtenemos

. i = n - 1.n - 2... ,1

EI metodo anterior para determinar la solucion del sistema se denomina sustitucion reversiva. regresiva 0 hacia atras.

Si la matriz de coeficientes del sistema es triangular inferior. para resolver el sistema podemos proceder de manera similar al caso anterior. pero empezando par despejar Xl de la

primera ecuaci6n . EI procedimiento en este caso se denomina sustituci6n progresiva 0

hacia adelante.

Algoritmo 3.1 (Sustitucion regresiva) Para encontrar una soluci6n aproximada X de un

sistema triangular superior AX = b con A = (a, j)nxn invertible .

Entrada: EI arden n del sistema; los coeficientes a' i ' i = 1,2 ... .. n, j =i ... .. n ; los terminos

independientes bj. i = 1.2 .. .. , n .

Salida: Una soluci6n aproximada X=(X1.X2 .... . xn)

bnPaso 1: Tomar xn = -- . ann

Paso 2: Para i = n -1.n - 2 ..... 1, tamar

96 METOD OS NUMERICOS

iii) En general, eliminados los coeficienles de n

(j II e!t­bj - Lajk Xk en cada una de las ecuaciones E,.I ' 1"2Xj = _~k;~j+:!:.-",----_

aj j A(il X = b(il , realizando las operaclones

Paso 3: Salida: "Una soluci6n aproximada del sistema es X= (x"x2 , .. ,xn)".

Terminar.

CAsa 2: La matriz A (de coeficientes del sistema AX =b) es tal que no se requieren (1-,) 0)(debe ocurrir que all ~ .intercambios de filas para culminar con exito la eliminacion Gaussiana.

Digamos que el sistema AX = b tiene la forma Los numeros

E, :a"x, + + a,jx j + + a, nXn = b,

E2 :a2,x, + + a2jxJ + + a2 nXn = b2

se lIaman multiplicador81 (si j Ej :a ,x, + + aj jxj +J

EI sistema (reducido) re5~IIUll II"" Ej : aj ,x, + + ajj xj +

En :an,X, + + an jXj +

EI proceso de eliminacion Gaussiana (simple) consiste en 10 siguiente:

i) Eliminamos el coeficiente de x, en cada una de las ecuaciones E2,E3 , ... ,En para obtener

un sistema equivalente A(')X = btl) , realizando las operaciones elementales

ii) Eliminamos el coeficiente de x2 en cada una de las ecuaciones E~l), E ~') , ." E ~l ) , para

obtener un sistema equivalente A (2) X = b(2), real izando las operaciones elementales

(debe ocurrir que a~1)2 * 0 ).

b

Capitulo 3. SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 97

iii) En general, eli min ados los coeficientes de Xl ' X2 , .. , Xi-1 , eliminamos el coeficiente de xi

en cad a una de las ecuaciones E\~~1 ) , E\~-2l) , ., E~- 1), para obtener un sistema equivalente

A(i) X = b(i) , realizando las operaciones elementales

i = j + l,. .. ,n

1(debe ocurrir que a\ij- ) '* a ).

Los numeros (i - l) a i i mi j = 0=1f' j = 1, .. , n - 1, i = j + 1, , n

a j j

(0) se IIaman multiplicadores (si j = 1, a(~ ) '" :i 1 ) .

all 11

EI sistema (reducido) resultante tendra la forma

a11 x1 + a12 x2 + + a1j X j +

(1) (1)a22 x2 + + a 2 iXj +

el cual se resuelve p~r el metodo de sustitucion regresiva, para obtener la solucion del sistema original.

CASO 3: La matriz A (de coeficientes del sistema AX = b) es tal que se requieren intercambios de filas para culminar con exito el proceso de eliminaci6n Gaussiana.

lProcedemos exactamente como en el caso 2, solo que cuando encontremos a\ii- ) = a para

algun j=1,2, ... ,n - 1 (recuerde que si j = 1, a \ ~-l) =a~~ ) ", al l) , continuamos de la siguiente

manera:

98 METODOS NUMERICOS

Se busca en la j-esima columna de A(i- 1) (si j =1, A(j-1) =A (D) == A) desde la fila (j + 1)­

esima hasta la n-esima, el primer elemento distinto de cero (Por que debe existir tal

elemento?) . Si a~ij' ) ,r. 0 es tal elemento, entonces se efectua la operacion elemental

E\i -1) ~ E~I -l ) : intercambio de las ecuaciones j-esima y k-esima

y se continua con el proceso de eliminaci6n Gaussiana.

Una vez que se ha hecho la eliminacion Gaussiana completa, se realiza la sustituci6n regresiva para obtener la soluci6n unica del sistema dado

Los procedimientos descritos anteriormente quedan incluidos en el siguiente algoritmo, en el cual incluso la matriz A puede ser no invertible (singular) .

Algoritmo 3.2 (Eliminacion Gaussiana con sustitucion regresiva) Para obtener una

solucion aproximada Xde un sistema de la forma

E1:a11 x1 + + a,nxn = b,

E2 :a21 x1 + +a2n xn =b2

Entrada: EI orden n del sistema; las componentes ai j, i = 1,2, ... ,n , j = 1,2, ... ,n + 1 de la

matriz aumentada (A: b) con ai.n+1 = bi, i = 1,2, ... ,n.

Salida: Una solucion aproximada X=(X1,X2,.,xn) del sistema dado 0 un mensaje.

Paso 1: Para j = 1,2, .. ,n - 1, seguir los pasos 2-4 (Proceso de eliminacion):

Paso 2: Hallar el menor entero k tal que j.,; k .,; n Y ak j ,r. 0 (ak j es el contenido en

la posicion de memoria (k, i) en ese momento)

Si no existe tal k, entonces A no es invertible , por tanto, salida: "EI sistema no tiene soluci6n Unica". Terminar.

Paso 3: Si existe tal k y k,r. j , hacer

E) ~ Ek (intercambio de las filas j-esima y k-esima)

Paso 4: Para i = j + 1, .. ,n , seguir los pasos 5 y 6:

a Paso 5: Tomar mi l = _I)

a j )

(Hasta aqu( lIega la eliminaci6n

Paso 7: Si an n = 0 , entonces, salida: >l EI

an, n+l Paso 8: Tomar xn =-~

ann

Paso 9: Para i = n -1, ... ,1 tomar

Paso 10: Salida: "Una soluci6n

Terminar.

Hay sistemas de ecuaclones pequef'los cambios en los datos;

En Iia pr~ctica, por 10 general. un problema, los dat~s exacta, debido per ejemplO sistema perturbado. Par al ser entrados al r-.or:nau_

m~quina, 10 que si tales errores pueden de estl.ldiar estos NlllrIOOr.

coeficientes del .

3.3 SISTEMAS

Capitulo 3. SOlUCI6N NUM~RICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 99

(Hasta aqui lIega la eliminaci6n Gaussiana)

Paso 7: Si an n = 0 , entonces, salida: "EI sistema no tiene soluci6n (mica" Terminar.

a Paso 8: Tomar xn = ~ (Aqui empieza la sustituci6n regresiva).

an n

Paso 9: Para i = n -1, ... ,1 tomar

Paso 10: Salida : "Una soluci6n aproximada del sistema es X=(X1,X2 , .,xn)"

Terminar.

Hay sistemas de ecuaciones lineales, como vimos en el capitulo 1, que son sensibles a pequer'\os cambios en los datos; de tales sistemas decimos que estan mal condicionados.

En la practica, por 10 general, cuando se requiere resolver un sistema AX = b, asociado con un problema, los datos (coeficientes y terminos independientes) no se conocen de manera exacta, debido por ejemplo a errores de medici6n , es decir, se dispone realmente de un sistema perturbado. Por otra parte, aunque los datos se conozcan de manera exacta, estos al ser entrados al computador seran transformados (por el compilador) en numeros de maquina, 10 que sabemos introduce errores de redondeo. En cualquier caso, interesa saber si tales errores pueden afectar de manera significativa la soluci6n del problema. Una manera de estudiar estos comportamientos es a traves del numero de condici6n de la matriz de coeficientes del sistema.

3.3 SISTEMAS MAL CONDICONADOS Y NUMERO DE CONDICION DE UNA MATRIZ

Para lIegar a la idea del numero de condici6n de una matriz empecemos considerando el siguiente ejemplo que muestra dos sistemas de ecuaciones lineales mal condicionados.

Ejemplo 3.1 Consideremos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

{ x + y=2 (3.3)1O.05x + 1 Oy = 21

Y { 4.1x + 2.8y =4.1

(3.4)9.7x + 6.6y =9.7

100 METOD OS NUMERICOS

En el capitu lo 1, vimos que la soluci6n exacta del sistema (3 .3) es Xl = ( 20J Y si - 18

cambiamos el coefic iente 10.05 por 10.1 (un cambio relativo de aproximadamente .5%) , la soluci6n exacta del sistema perturbado

X + y = 2 (3.3')

{ 10.1x + 10y = 21

es X l = ( ~~J, que muestra un cambio relativo del 50% en el valor de x y de

aproximadamente el 56% en el valor de y.

Analogamente , el sistema (3.4) tiene so luci6n exacta X 2 = ( 1.0J Ysi cambiamos el termino 0.0

independiente 4.1 por 4.11 (un cambio relativo aproximado <:Je .2% en el termino independiente) , la soluci6n exacta del sistema perturbado

4.1x + 2.8y : 4.11 (3 .4')

{ 9.7x + 6.6y - 9.7

es = ( .34) , que muestra un cambio relativo aproximado de 66% en el valor de x. •X 2 .97

Se observa entonces que un cambio "pequeno" en uno de los datos (coeficientes y terminos independientes) ha producido un cambio "grande" en la soluci6n , es decir, la soluci6n del sistema perturbado es "muy diferente" de la soluci6n del sistema original.

Los anteriores son ejemplos de problemas mal condicionados.

Un problema se dice bien condicionado si "pequenos" cambios en los datos introducen , correspond ientemente, un cambio "pequei'\o" en la soluci6n. EI buen 0 mal condicionamiento de un problema es inherente al problema y no depende del algoritmo empleado para resolverlo .

EI mal cond icionamiento en el sistema (33) puede visualizarse graficamente, al graficar las dos rectas L I: x + y = 2 Y L 2: 10.05 x + 1 Oy = 21 . Como las pendientes de estas dos rectas

son casi iguales, es dificil ver exactamente d6nde se cortan , esta dificultad visual , digamos que se mide cuantitativamente en los resultados numericos obtenidos.

Observe que si A es la matriz de coeficientes del sistema (3.3) , entonces detA = - .05 Y se puede pensar que el mal condicionamiento esta relacionado con el tamano del determinante de la matriz de coeficientes , pero recuerde que si una ecuaci6n de un sistema se multiplica por un escalar, el determinante de la matriz de coeficientes queda multiplicado por ese escalar mientras los dos sistemas siguen teniendo exactamente las mismas soluciones , es decir, son equivalentes.

EI objetivo siguiente es desarrollar una teoria que

sistema lineal AX =

Empezamos con la siguiente definici6n:

Definicion 3.1 Si X es la soluci6n exaeta de un

X es una soluci6n aproximada de dieho siste"", respecto a X al vector E definido por

y vector error residual correspondiente.

Observe que E usualmente no se puede conocerse.

Como R = AX - b , entonces R midt sistema AX = b . Observe que X perturbaci6n del sistema AX .. b

(3.3')

(3.4' )

Capitulo 3. SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 101

EI objetivo siguiente es desarrollar una teoria que permita estudiar el cond icionamiento de un sistema lineal AX =

Empezamos con la siguiente definicion:

Definicion 3.1 Si X es la soluci6n exacta de un sistema lineal AX = b , A invertible, b * 0 , y

Xes una soluci6n aproximada de dicho sistema, entonces lIamamos vector error de Xcon respecto a X al vector E definido por

E = X - X

y vector error residual correspondiente a la soluci6n aproximada X,al vector R definido por

I R=AX ­ b I

Observe que E usualmente no se conoce (pues X no se conoce) , mientras que R siempre puede conocerse .

Como R = AX - b , entonces R mide hasta d6nde la solucion aproximada X satisface el

sistema AX = b . Observe que X es tal que AX = R + b , es decir, X es solucion de una perturbaci6n del sistema AX = b .

N6tese que R = Q implica X= X , es decir, R = 0 implica E = O. Sera que II R II "pequena"

implica II E ll tambien "pequena" , donde II . II es alguna norma vectorial?

Empecemos recordando que es una norma vectorial y que es una norma matriciai.

Definicion 3.2 Una norma vectorial en R n es una funcion

11. 11: Rn ~ R

X~ II X II

tal que para todo X,Y ERn y todo a ER :

i) II X \I ~ 0, \I X II = 0 si Y s610 si X = 0

ii) II a X II = I a I IIX II

iii) II X + Y II $11 X II + II Y II· '1

Ejemplo 3.2 Las siguienles son algunas normas vecloriales en R" . Si X = [JJE R"

entonces

1) La norma euclidiana ( 0 norma 2) definida por ~ :;N" • ~ ~." ...:;....,.... MBtA

~"'D 'tJ ~,l: ,>1 t:~ lUll 1 It·

PiO DE Bi'BLlOTECAS pE OT'-.:lCA "EfE" GOMEZ

JIBLl '"

102 METOOOS NUMERICOS

,

II X II 2 = [ t, Xi 2r

2) La norma suma ( 0 norma 1) definida por

n

II X II , = IIXi l

3) La norma del maximo (0 norma (0 ) definida por

II X II = Max I Xi I en , s l < n

Estas normas en R n, inducen las siguientes nociones de distancia entre dos vectores

X,Y ER n. , 1) d 2( X,Y) =:: II X - Y 112 = [ t (Xi - Vi)2)2 (distancia asociada con la norma eucl idiana) .

n

2) d ,(X,Y) = II X - Y II, = II Xi - Vi I (distancia asociada con la norma suma) i= ,

3) d en (X, Y) = II X - Y II = Max I x, - Vi I (distancia asociada con la norma del maximo). + en ' s i s n

Definicion 3.3 Una norma matricial en R nxn es una funcion .

11 11. R n x n ~ R

A ~ II A II

tal que para todo A,B E Rn>n V todo a E R •

i) II A II ~ 0, II A II = 0 si V 5610 si A = 0

ii) II a A II = I a III A II

iii) II A + B II ~ II A II + II B II

iv) II AB II ~ II A 1111 B II · ~

Aunque hay diversas formas de construir normas matriciales , aqui solamente consideraremos las normas matriciales que seran obtenidas a partir de las normas vectoriales dadas en el ejemplo 3.2 segun se indica en el siguiente teorema, teorema cuva demostraci6n puede ser consultada en Kincaid 1972, paginas 163 V 164 .

Teorema 3.1 Sea 11: 11cualquier norma

en R, definida por

es una norma matricial en R n, " V

La norma matricial dada por (3.5) 58

norma vectorial 11. II·

Note que (3 .5) implica que

para cada X ERn y cada A

N6tese, ademas, que

1) II A 112 =

2) II A II ,

Capitulo 3. SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 103

Teorema 3.1 Sea II.. 11 cualquier norma vectorial en R n . Entonces la funci6n 11.11de R nxn

en R, definida por

II AXil (3.5)II A II = ~~tlXil' A E Rnxn

es una norma matricial en R n x n . V'

La norma matricial dada por (3.5) se dira la norma matricial inducida por la correspondiente

norma vectorial II . II ·

Note que (3 .5) implica que

II AX II ~ II A IIII X II (3.6)

para cada X ERn y cada A ERnxn ' pues si X ER n, X'" 0 , entonces

II AX II < Max ll AX II = II A II II X II - x,,0 II X II

Para X = 0 claramente se satisface (3 .6) . V'

N6tese, ademas, que

II IIAX II II I X-II IIII A II =Max-- II =Max A-I = Max II AZ IIx"o X X"O X II Z 1I~ 1

Las normas matriciales inducidas por las normas vectoriales II . 112, II . 111 y II . II ., son:

1) II A II = Max II AX II ' diffcil de calcular con la informaci6n que se conoce hasta aqui. 2 II XiI 2 ~ 1 2

pues calcular esta norma es resolver un problema de maximo en varias variables.

2) II A II = Max II AX 111 ' facil de calcular, ya que se puede demostrar que 1 II x 11 1~1

3) II A II = Max II AX II , facil de calcular, ya que como en el caso 2), se puede demostrar,'" IIX ~., ~1 00

vease Burden 1985, paginas 453 y 454, que

104 METODOS NUMERICOS

Debido a la facildad del calculo de las normas II · 111 y 11·11 00' las usaremos en 10 que sigue

Una distancia entre las matrices A, BE Rnxn se puede definir como d(A,B) = II A - B II , donde II . II es cualqu ier norma matricial

Definicion 3.4 EI rad io es e.f!~,!1 de una matriz A EI!.n =--' P(~)~ d~fine c~DJ.Q.

p(A) = Max{ I A I I A es valor propio de A

Recuerde que si A es un numero complejo, digamos A = CJ. + i0 con CJ. Y 0 en R , entonces

EI siguiente teorema, cuya demostraci6n puede ser consultada en Ortega 1990, pag inas 21 y

22, re laciona el radio espectral de una matriz A con II A " 2·

Teorema 3.2 Si A E R n <n ' entonces

i) Jp( A T A) = II A 112 ' yen consecuencia, si A es simetrica p( A) = II A 112 .

ii) p(A):O:: II A /I para cualquier norma matricial inducida. 'V

Con respecto al ejemplo 3.1, tenemos

Para el sistema (3 3), X, = ( 20) es su soluci6n exacta y si consideramos como una - 18

soluci6n aproximadaa X- 1= ( 10)- 8 , que es la soluci6n exacta del sistema perturbado (3.3'),

entonces el vector error de X1 con respecto a X, , es

- ( -10)E1 = X1- X1= 10 "

y el vector error residual correspondiente a la soluci6n aproximada X1 ' es

Entonces

IIEdl1 =1 _ 101+110 1= 20 , II R,II ,=I O/+

liEd ", ==Max{ I -10 1,1 10 11 =10,

. ·d I "pequeno·as! que un vector error resl ua

b= (~1) , II bII 1 == 23, II b112'" 21.095, IbI relativamente "grande".

Para el sistema (3.4), X2 == (~..~) es la

- (.34) ue es laaproximada a X2 == .97 ,q

el vector error de X- 2 con respec toa

y el vector error residual

Como

entonces. nuevamente.

"pequeno". •