Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali

Curso Ecuaciones Diferenciales

1.7 Ecuaciones lineales Una clase de ecuaciones diferenciales sencillas de primer orden que ocurre frecuentemente en aplicaciones es la ecuación lineal. Una ecuación lineal de primer orden es aquella que puede expresarse de la siguiente forma:

)()()( 01 xbyxadxdyxa =+

donde ( )xa1 , ( )xa0 y ( )xb depende solamente de la variable independiente x, y no de la variable dependiente y. Recuerde la formula de la linealidad de una ED.

Ejemplo:

La ecuación diferencial ( ) ( )dxdysenxxysenxx =cos–2 es lineal.

Para utilizar este método en la resolución de ED’s es importante conocer el término “ecuación diferencial en forma canónica o estándar”. Se le dice así a la ecuación diferencial cuando su derivada de mayor orden esta siendo multiplicada por un coeficiente igual a 1, es decir 1( ) 1a x = . Para lograr lo anterior debemos dividir toda la ecuación diferencial entre 1( )a x , de tal manera que utilizando una nueva nomeclatura para los coeficientes resultantes nos quedaría la siguiente ecuación diferencial en forma canónica:

( ) ( )dy P x y Q xdx

+ =

Una vez que la ecuación diferencial está en esta canónica, podemos proceder a resolverla utilizando el siguiente método. Método para resolver Ecuaciones lineales Paso 1. Verifique que la ecuación se encuentre en su forma canónica, es decir,

( ) ( )dy P x y Q xdx

+ =

Paso 2. Calcúlese el llamado factor integrante )(xμ por medio de la fórmula:

( ) ( )∫=dxxP

exμ Paso 3. Multiplique la ecuación en la forma canónica por )(xμ , y recordando que el

primer miembro es precisamente ( )[ ]dx

yxd μ, obténgase:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xQxyxxPdxdyx μμμ =+

( )[ ] ( ) ( )xQxdx

yxd μμ=

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Paso 4. Finalmente intégrese la última ecuación de ambos lados y despeje la variable dependiente y . De esta manera nos queda la solución :

)(

)()(

x

CdxxQxy

μ

μ∫ +=

Importante: Note que la constante arbitraria de la última ecuación también esta dividida entre el factor integrante! Si ignora esta situación la solución simplemente será incorrecta Ejemplos

1) Resolver xey

dxdy 32 =+ Solución: xx Ceey 2–+=

2) Resolver

,cos2–12 xxy

xdxdy

x= Solución: 22 Cxsenxxy +=