1. ARIKETAK. Aldagai bateko funtzioak

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2. EJERCICIOS. Algebra lineal y geometrıa

1.-Calcular el angulo entre los vectores 7~ + 19~k y −2~ı− ~.

2.- Sean ~a1, . . . ,~ar vectores no nulos mutuamente ortogonales; o sea ~ai ·~aj = 0 si i 6= j.Sean c1, . . . , cr numeros tales que c1~a1 + . . . + cr~ar = 0. Probar que todo ci = 0.

3.- Para dos vectores cualesquiera ~a, ~b de Rn demostrar las siguientes propiedades:

(a) ‖ ~a +~b ‖2 + ‖ ~a−~b ‖2= 2 ‖ ~a ‖2 +2 ‖ ~b ‖2

(b) ‖ ~a +~b ‖2 − ‖ ~a−~b ‖2= 4~a ·~b(c) ‖ ~a +~b ‖‖ ~a−~b ‖≤‖ ~a ‖2 + ‖ ~b ‖2

4.- Sean ~a y ~b dos vectores de Rn no nulos y ortogonales. Demostrar que para cualquiernumero real c se cumple que ‖ ~a + c~b ‖≥‖ ~a ‖.

5.- Sean ~a, ~b y ~c tres vectores. Si ~a ·~c = ~b ·~c mostrar mediante un ejemplo que no tienepor que ser necesariamente ~b = ~a.

6.- Demostrar que ax + by = c es la ecuacion de una recta en el plano y que (a, b) sonlas componentes de un vector perpendicular a la misma.

7.- Decir cuales de las siguientes rectas en el plano son perpendiculares:

(a) 3x− 5y = 1 2x + y = 2(b) 3x− 5y = 1 5x + 3y = 7(c) −x + y = 2 x + y = 9(d) 3x + 7y = 1 x− y = 5

8.-Hallar el angulo que forman los planos 2x + 3y − z = 2 y x− y + z = 1.

9.- Calcular ~a · (~b× ~c) siendo ~a =~ı− 2~ + ~k, ~b = 2~ı + ~ + ~k y ~c = 3~ı− ~ + 2~k.

10.- Encontrar la ecuacion del plano que pasa por los puntos (1,1,1), (2,0,-1) y (0,4,-3).

11.- Comprobar que la siguiente matriz es ortogonal:

1 0 00 cos α − sin α0 sin α cos α

12.- Probar las siguientes igualdades:

a)

∣∣∣∣∣∣sin2 x 1 cos2 xsin2 y 1 cos2 ysin2 z 1 cos2 z

∣∣∣∣∣∣ = 0

b)

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 x x xx −1 x xx x −1 xx x x −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1− 3x)(1 + x)3

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d)

∣∣∣∣∣∣a + x x x

x b + x xx x c + x

∣∣∣∣∣∣ = abc + (ab + bc + ac)x

13.- Resolver el siguiente sistema Ax = b de dos formas diferentes (utilizando el teo-rema de Rouche-Frobenius y la regla de Cramer y con el metodo de Gauss), donde lasmatrices ampliadas A∗ son las siguientes:

a)

1 1 −2 | 12 4 −2 | 43 −2 2 | 5

(Sol. : Sistema compatible determinado; (2113

, 613

, 713

) )

b)

1 −2 1 | 01 1 −2 | 22 −1 −1 | 2

(Sol : Sistema compatible indet.; {(3z+43

, 2+3z3

, z)|z ∈ R})

d)

1 1 2 | 0−2 1 −1 | −4

3 −2 1 | −4

(Sol. : Sistema incompatible )

14.- Resuelve el siguiente sistema en funcion del parametro m:x+ my+ z = m + 2x+ y+ mz = −2(m + 1)

mx+ y+ z = m(Sol.: Pueden ocurrir 3 casos

(1) Si m 6= 1 y m 6= −2, el sistema es compatible determinado, y su solucion es( m

m−1, m+2

m−1, −2m−2

m−1).

(2) Si m = 1, el sistema es incompatible.

(3) Si m = −2, el sistema es compatible indeterminado, y su solucion es{(3z+4

3, 3z+2

3, z)|z ∈ R}. )

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