1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 1 -

1.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Teorema del resto El resto de la división p(x) : (x – a) es igual a p(a), siendo p(a) el valor numérico del polinomio p(x) para x = a. Es decir, r = p(a). Demostración: Al dividir p(x) entre (x – a) se obtendrá un cociente c(x) y un resto r. Aplicando la regla de la división: p(x) = (x – a) . c(x) + r. Sustituyendo x por a se obtiene p(a) = (a – a).c(a) + r = r

Ejemplos: El resto de dividir p(x) = 5x3 + 3x – 1 entre (x – 2) es p(2) = 5.23 + 3.2 – 1 = 45 El valor numérico del polinomio p(x) = x2 – 5x + 7 para x = –1, p(–1), es igual al resto de la división (x2 – 5x + 7) : (x + 1) (comprueba que vale 13)

Repaso: raíces de un polinomio Se dice que un valor x = a es una raíz de un polinomio p(x), si p(a) = 0, es decir, si al sustituir la x por el valor nos da 0. Por ejemplo, x = –3 es una raíz del polinomio p(x) = 2x2 + 5x – 3 porque p(–3) = 2(–3)2 + 5(–3) – 3 = 18 – 15 – 3 = 0 Las raíces de un polinomio p(x) son las soluciones de la ecuación p(x) = 0. Por ejemplo, si p(x) = x2 – 5x + 6, resolviendo la ecuación p(x) = 0 obtenemos x = 2 , x = 3.

Luego, las raíces de p(x) son x = 2, x = 3 Si el polinomio p está expresado como producto de otros polinomios, p = p

1 . p

2. … . p

n , entonces

para encontrar las raíces igualamos a 0 cada uno de los factores del polinomio p y despejamos x. Por ejemplo, las raíces del polinomio p(x) = 2x(3x – 5)2(x + 1)(x2 + 9) se obtienen igualando a 0 cada

factor:

2

2 2

2x 0 x 05

(3x 5) 0 3x 5 0 x3

x 1 0 x 1

x 9 0 x 9 (no tiene solución)

Las raíces de p(x) son: x = 0 , x = 5

3, x = –1

Se puede demostrar que las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente.

Así, por ejemplo, para hallar una raíz entera del polinomio p(x) = x3 – 3x2 – 4x + 12 probamos hallando el valor numérico con los divisores del término independiente 12, que son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 hasta que el valor numérico dé 0 p(1) = 6 ≠ 0 , p(–1) = 12 ≠ 0, p(2) = 0. Luego, x = 2 es la única raíz entera del polinomio.

Repaso: factorización de polinomios Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de otros polinomios del menor grado posible. Hay polinomios que no se pueden factorizar, por ejemplo los de grado 1 y los que no tienen raíces. Estos polinomios se llaman irreducibles.

Repaso: técnicas para factorizar polinomios 1ª) Sacar factor común: Se usa cuando falta el término independiente. Ejemplos: x4 + 2x3 = x3(x + 2) 3x3 – x2 = x2(3x – 1) 3x2 – 5x = x(3x – 5) 2ª) Uso de las identidades notables: Se usa cuando el polinomio se pueda expresar como una identidad notable, (A + B)2, (A – B)2 ó (A + B)(A – B).

Ejemplos: x2 + 8x + 16 = x2 + 2.x.4 + 42 = (x + 4)2. x2 – 14x + 49 = x2 – 2.x.7 + 72 = (x – 7)2. x2 – 36 = x2 – 62 = (x + 6)(x – 6)

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 2 -

3) Uso del teorema del factor: Se usa cuando se pueda hallar una raíz entera del polinomio. Consiste en hallar una raíz entera y aplicar el teorema del factor que dice que si x = a es una raíz de un polinomio p(x) entonces el resto de la división p(x) : (x – a) es 0 y por tanto p(x) = (x – a).c(x) , siendo c(x) el cociente de la división. De esta forma el polinomio p(x) queda expresado como producto de dos polinomios. Ejemplo: si p(x) = x2 – 3x + 2, hallando una raíz entera entre los divisores del término independiente 2, que son 1, –1, 2, –2, resulta que x = 1 es una raíz, pues p(1) = 12 – 3.1 + 2 = 0

Dividiendo entre x – 1, por la regla de Ruffini 1 3 2

1 1 2

1 2 0

, c(x) = x – 2 p(x) = (x – 1)(x – 2)

4) Usando todas las raíces del polinomio: Si un polinomio p(x) de grado n tiene n raíces x1, x2, …, xn

entonces la factorización del polinomio es p(x) = a(x – x1)(x – x2). ….(x – xn), siendo “a” el coeficiente

del término de grado n. Ejemplos

1) Si el coeficiente de x2 de un polinomio de 2º grado es 7 y tiene como raíces 1 y –3, entonces la factorización del polinomio es 7(x – 1)(x + 2) 2) Supongamos que queremos factorizar el polinomio p(x) = 6x2 – x – 2 usando sus raíces. Calculamos sus raíces: p(x) = 0 → 6x2 – x – 2 = 0 → x = 2/3, x = – 1/2

Por tanto, 2 1 2 1 2 1

p(x) 6 x x 2.3 x x 3 x 2 x (3x 2)(2x 1)3 2 3 2 3 2

Hay que tener en cuenta que cuando se hace una primera descomposición los polinomios obtenidos hay que seguir descomponiéndolos, si se pudiese

Ejemplos:

1) 2sacando factor común x usando las igualdades notables4 3 2 2 2 2 2x 8x 16x x (x 8x 16) x (x 4)

2)

sacando factor común x3 2 2x 4x 5x x(x 4x 5). Usando el teorema del factor

1 4 5

probamos y encontramos que x 1 es una raíz y divi dimos entre (x 1) : 1 1 5

1 5 0

Obtenemos entonces que la factorización es x(x 1)(x 5)

3)

3 2

usando las igualdades notables2

x x 100x 100. Usamos el teorema del factor : x 1 es una raíz , divi dimos entre (x 1) :

1 1 100 100

1 1 0 100 . Obtenemos : (x 1)(x 100) (x 1)(x 10)(x 10)

1 0 100 0

4)

sacando factor común x4 3 2 3 2

2

x 6x 9x 14x x(x 6x 9x 14). Usando el teorema del factor : x 1 es

1 6 9 14

una raíz , dividimos entre (x 1) : 1 1 5 14 . Obtenemos : x(x 1)(x 5x 14). Aplicamos otra

1 5 14 0

vez el teorema del facto

1 5 14

r : x 2 es una raíz , dividimos entre (x 2) : 2 2 14 .

1 7 0

Obtenemos como resultado final : x(x 1)(x 2)(x 7)

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 3 -

5) p(x) = 18x4 + 3x3 – 6x2. Sacando factor común 3x2 queda 3x2(6x2 + x – 2). Como el polinomio del paréntesis no se puede factorizar mediante las identidades notables ni por el teorema del factor (porque no tiene raíces enteras), hallamos las raíces resolviendo la ecuación 6x2 + x – 2 = 0, que tiene como soluciones x = 1/2, x = –2/3. Nos queda: p(x) = 3x2 6(x – 1/2)(x + 2/3) = 3x2 2(x – 1/2) 3(x + 2/3) = 3x2(2x – 1)(3x + 2)

Cálculo de una ecuación polinómica conocidas sus soluciones o raíces

Si las soluciones de una ecuación polinómica de grado n son x1, x2, … , xn , entonces la ecuación se

puede escribir de la forma a(x – x1)(x – x2). …. . (x – xn) = 0, siendo a cualquier número distinto de 0.

Ejemplo: Una ecuación polinómica cuyas soluciones sean x = 0, x = – 5, x = 1, x = 3 es (x – 0)(x + 5)(x – 1)(x – 3) = 0 → x(x + 5)(x – 1)(x – 3) = 0 → (x2 + 5x)(x2 – 4x + 3) = 0 Desarrollando: x4 – 4x3 + 3x2 + 5x3 – 20x2 + 15x = 0 → x4 + x3 – 17x2 + 15x = 0

ACTIVIDADES

1.- Usando el teorema del resto, sin hacer la división, calcula el resto de dividir (x2018 + 500) : (x + 1) (S: r = 501)

2.- Usando el teorema de resto, haciendo la división, calcula el valor numérico del polinomio p(x) = x2 – 83x – 82 para x = 84. (S: p(84) = 2) 3.- Factoriza los siguientes polinomios: a) x5 – 3x4 – 5x3 + 27x2 – 32x + 12 (S: (x + 3)(x – 1)2(x – 2)2) b) x6 + x5 + 3x4 + 9x3 – 54x2 (S: x2(x – 2)(x + 3)(x2 + 9)) c) 6x3 + x2 – 4x + 1 (S: (x + 1)(2x – 1)(3x – 1)) d) 4x3 – 4x2 + x (S: x(2x – 1)2) 4.- Escribe la ecuación polinómica de grado 3 cuyo coeficiente de x3 es 2 y que tenga las soluciones x = 5, x = –3 , x = 1 (S: 2x3 – 6x2 – 26x + 30 = 0) 5.- Queremos construir una caja a partir de un cartón rectangular de dimensiones 24 cm x 18 cm, recortando en cada esquina un cuadrado de lado x.

¿Cuánto debe valer x para que el volumen de la caja sea 640 cm3? (S: x = 4, x ≈ 2,8)

2.- FRACCIONES ALGEBRAICAS. ECUACIONES RACIONALES

Repaso: concepto de fracción algebraica

Una fracción algebraica es una expresión del tipo p(x)

q(x), siendo p(x) y q(x) polinomios.

Las propiedades y reglas que se usan para las fracciones algebraicas son las mismas que para las fracciones numéricas.

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 4 -

Repaso: fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas p(x) r(x)y

q(x) s(x)son equivalentes, y lo representamos por:

p(x) r(x)

q(x) s(x)si se

cumple que p(x) · s(x) = q(x) · r(x). Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan numerador y denominador y después se simplifican los factores que se repitan en numerador y denominador.

Ejemplos:

1)

2)

2

4 3

4 3

x 3x 4x

x x 2x →

2

x 2

x

2

(

x(x 1)(x + 2)

x x 1)(x + 2)

Forma mixta de una fracción impropia

Cuando en una fracción algebraica p(x)

q(x) el grado del numerador es mayor o igual que el del

denominador (fracción impropia), podemos expresar la fracción en forma mixta de la siguiente forma: p(x) r(x)

c(x)q(x) q(x)

, siendo c(x) el cociente de la división y r(x) el resto.

Por ejemplo, expresemos en forma mixta la fracción 3 2

24x 2x 5

2x 3x 2

Repaso: operaciones con fracciones algebraicas Se usan las mismas reglas que para las fracciones numéricas. Para la suma y la resta, si las fracciones no tienen el mismo denominador se reducen a común denominador: Se factorizan los denominadores y se halla el mínimo común múltiplo, que será el común denominador. El mcm es el producto de todos los factores irreducibles elevados al mayor exponente que aparezcan en la factorización. Después, dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Ejemplo:

2 2

2 2

2 3 2

2 2

x 1 5x 1 2x x 1 5x 1 2xmcm(x 2, x 1, (x 2) (x 2) (x 1)

x 2 x 1 x 2 x 1x 4x 4 (x 2)

x(x 2)(x 1) (1 5x)(x 2) (1 2x)(x 1) 4x 22x 25x 3

(x 2) (x 1) (x 2) (x 1)

Para el producto, división y potencia, factorizamos y simplificamos antes de hacer las operaciones:

Ejemplos:

1) 2

3 1 1

3 3 3 2 1

x x.

x x x

3 1 1

3 1 1 3 1

x x.

(x ) (x )( x )

= 3 1( x ) 1(x )

3 1(x ) 1 3 1(x ) ( x ) = 1 1

3 1 3 3(x ) x

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 5 -

2) 2

2

1 2

6 36

x x x

x x

: 1 ( 1)( 2)

6 ( 6)( 6)

x x x

x x x

: =( 1)x ( 6) ( 6) x x

( 6)x ( 1)x

6

2( 2)

x

xx

3) 2

2 3 2

1 x 2x

x 1 x 2x x 2

:

x (x 2)1

(x 1)(x 1):

(x 1) (x 2)

(x 1)

(x 1)

(x 1)

x (x 1) (x 1)

1

x

4) 2 2 2

2 2

3 (3x) 9

1 ( 1) 2 1

x x

x x x x

Repaso: división de polinomios

Para dividir un polinomio p(x) entre otro polinomio q(x) seguimos un método similar a la división entre números naturales. p(x) = dividendo q(x) = divisor c(x) = cociente r(x) = resto. Siempre se cumple la regla de la división: p = qc + r, con grado(r) < grado(q), que nos sirve para comprobar si la división está bien.

Ejemplo: (– x3 + 2x4 + x – 1) : (x2 – x3 + 2) 1º) Colocamos en orden decreciente de grados los polinomios dividendo y divisor, completando con

ceros los términos que falten en el dividendo: 4 3 2 3 22x x 0x x 1 x x 2

2º) Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y colocamos el

monomio obtenido en el cociente: 4 4 3 2 3 2

32x 2x x 0x x 1 x x 22x

2xx

3º) Multiplicamos el monomio anterior por el divisor, el resultado lo colocamos debajo del dividendo, cada término debajo de su semejante, y se lo restamos al dividendo:

4 3 2 3 2

4 3

3 2

2x x 0x x 1 x x 2

2x 2x 4x 2x

x 0x 5x 1

4º) Repetimos los pasos 2º) y 3º) hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor:

4 3 2 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2x x 0x x 1 x x 2

2x 2x 4x 2x 1

x 0x 5x 1

x x 2

x 5x 1

El cociente es c = –2x – 1 y el resto es r = x2 + 5x +1

p(x) q(x) r(x) c(x)

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 6 -

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas

Para realizar operaciones combinadas con fracciones algebraicas, se hacen primero las potencias, multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y después las sumas y restas. Si hubiese paréntesis, se realizan en primer lugar las operaciones situadas dentro de ellos en el orden indicado anteriormente.

Ejemplos:

1)3

x 1 x 1 x

x 1 x 1 x:

2 2

2

2x 2

x

2 2 22 2

2 2 2 2 22 1 ( 2 1) 4 4

x x x x

x 1 x + 1 x 1x + 1 2x 2x

x 1 (x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1)x(x + 1)(x 1) x(x + 1)(x 1)

x x 2x 2x (x +

(x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1)x(x + 1)(x 1) x(x + 1)(x 1)

: :

: :2

2

2

x

1)(x 1)

(x + 1)(x 1)

2)

2

2 3

x 3x1 x 1x 9x x 9x

.

9

(

2 2

2 2

2 2

1 x 1 1.(x + 3)(x 3) x 1).xx(x 3) x(x 3)

x(x + 3)(x 3) x 9 x 9x x (x + 3)(x 3)

(x 9)x x x x 9x(x 3) x(x 3)

x 9 x 9x (x + 3)(x 3) x (x + 3)(x 3)

. .

. .x (x 3)

2x )(x + 3) (x 3 ( x 9)

1 1

3

2x(x + 3) x x

3)

Repaso: ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales son las que llevan la incógnita x en el denominador.

En este tipo de ecuaciones es necesario comprobar que los valores obtenidos de la incógnita cumplen la ecuación inicial, pues puede aparecer alguna solución “extraña” que anule algún denominador. Ejemplos:

1) 2

9 9x 1

x x

2 3 2 2

2

9x 9x 1 9x 9 x (x 1) x x 9x 9 0 (x 1)(x 9) 0 x 1,x 3

x

2 2x 4 2 x 4 2 (x 4)(x 5) 2x

2) 0 0 0 (x 4)(x 5) 2x 0x(x 5) (x 5)(x 5) x(x 5)(x 5)x 5x x 25

x2 – x – 20 = 0

x 5 (solución no válida, porque anula el denominador)

x 4 (solución válida)

ACTIVIDADES

1.- Simplifica: a)

2

2

3x 12

6x 6x 12

x 2S :

2x 2

b)

3 2

3 2

x 2x 9x +18

x 7x +16x 12

x 3S :

x 2

c)

2

2

7x

14x 21x

xS :

2x 3

d)

3 2x 5x3 2x 10x 25x

x

S :x 5

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 7 -

2.- Expresa en forma mixta: a) 2

5x 2x 53

x 3

2

S : 5x 17x 3

b)

4x 75

2x 1

73S : 2

2x 1

3.- Realiza y simplifica: a) 2 2 2

x 1 x 1 3

x (x 2) x(x 2) x (x 1)(x 2)

2

5 4 24 x 4

:3 4 x

xS

x x

b) x

x 2 .

22x 8

x + 1

:

3 2

2

2x + 4x

x x 2

x 2S :

x

c) 2

1 2x 1 2:

x 1 x 1 x 1x 1 (S: 1)

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) x 1 4x 12x 1 3x 3

(S: x = 3, x = – 5) b) 2

x 9 5 x 12x 12x x 2 x 2x

(S: x = 1)

c)6 6

x 1 x 1 24x x

(S: x = ±2, x = ±3) d) 2 2

1 1 1x a x a x a

1

S : x2

3.- ECUACIONES CON RADICALES, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Ecuaciones con radicales Son ecuaciones que llevan la incógnita x dentro de alguna raíz. Para resolver este tipo de ecuaciones se siguen los siguientes pasos: 1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos. 2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc (depende del índice de la raíz involucrada) los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre sí. 3. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última ecuación. 4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las raíces extrañas.

Ejemplos:

1)

22 2 2

2 2 25x 2 5x 2 5x 23 3 9 5x 2 18 x 4 x 2

2 2 2 (Válidas ambas)

2) 2x 25 x 1 2

x 1 25 x 22 2(x 1) 25 x x2 – 2x + 1 = 25 – x2

2x2 – 2x – 24 = 0 x2 – x – 12 = 0

x 4

x 3

Comprobación: x = 4 24 25 4 1 4 – 3 = 1 1 = 1. Luego, x = 4 es una solución válida

x = –3 23 25 ( 3) 1 –3 – 4 = 1 –7 = 1. Luego, x = –3 NO es una solución válida

3)

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 8 -

Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente. Se resuelven transformando la ecuación en otra de los tipos vistos anteriormente. Esto se consigue unas veces usando la equivalencia aM = aN M = N y otras haciendo el cambio de variable ax = z.

Ejemplos:

1) 1 2x

3132

2

1 2x1 2x

5 51 1 2x3 5 3 32 212

1 1 2x 5Solución : 2 2 2 2 2

2 32

133( 1 2x) 10 3 6x 10 6x 13 x

6

2)

3)

4)

5) 23x – 1 = 5 3x 1 log 5 log 2log 2 log 5 (3x 1)log 2 log5 3xlog 2 log 2 log5 x

3log2

Ecuaciones logarítmicas Son ecuaciones en las que la incógnita está en el argumento de un logaritmo. Se resuelven transformando la ecuación en otra de los tipos vistos anteriormente. Esto se consigue unas veces usando la definición de logaritmo, loga M = N aN = M, la equivalencia

loga M = loga N M = N y otras haciendo el cambio de variable loga x = t.

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 9 -

Ejemplos:

1) 52

1log

8 = 2x – 1

352x 1 3 55 53

1 1 3 2 12 2 2 2x 1 10x 5 3 x

8 5 10 52

2)

3)

ACTIVIDADES

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales: a) 2 217 8x 2x 3 (S: x = ± 1)

b) x 5 x 7x 3 (S: x = 4) c) 3 2 3x 4 2 (S: x = 4)

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 2 1

3 x2x 1 42 4 (S: x = 5/2 , x = 1/2)

b) x x 227 3 (S: x = 1, x = – 3, no válidas) c) 9x + 32x – 1 + 3x – 1 = 111 (S: x = 2)

d) 22x – 4 – 5.2x – 3 + 1 = 0 (S: x = 3, x = 1) e) 57x – 2 = 3 log 75

S : x7 log5

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) 2log(2x – 2) – log(x – 1) = 1 (S: x = 7/2)

b) 2x 2

log 2log(x 1) logxx

(S: x = 3) c) 3 logx2 + logx4 = – 2 1S : x 32

4.- Sabemos que al tirar n monedas el número total de resultados es 2n. Si ha habido 4096 resultados, ¿cuántas monedas se han lanzado? (S: 12 monedas)

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

Método de reducción o de Gauss para sistemas de tres incógnitas

Este método permite además de resolver el sistema y clasificarlo. Consiste en transformar el sistema en un sistema triangular equivalente, que es un sistema en el que

cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la ecuación anterior:

ax by cz d

b´y c´z d´

c´´z d´´

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 10 -

Para llegar a un sistema triangular podemos usar las siguientes reglas:

1) Cambiar de orden las ecuaciones 2) Eliminar una ecuación del tipo 0 = 0 (llamada ecuación trivial) 3) Eliminar una ecuación que sea igual o múltiplo de otra 4) Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de cero 5) Sustituir una ecuación por la suma o resta de esa ecuación con otra

Los sistemas triangulares, una vez eliminadas las ecuaciones triviales son muy fáciles de clasificar:

- Si hay una ecuación incompatible, el sistema no tiene solución. Es un sistema incompatible (S.I.) - Si el nº de ecuaciones es menor que el nº de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado (S.C.I.) - Si el nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas, el sistema tiene solución única. Es un sistema compatible determinado (S.C.D.)

En el caso de que el sistema sea compatible, se resuelve de forma más sencilla empezando a despejar por la ecuación que tiene menos incógnitas.

Ejemplos: 1)

2)

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 11 -

3)

Sistemas de ecuaciones no lineales

Son aquellos en los que hay alguna ecuación que no es lineal. Por ejemplo, el sistema

2x 3xy 22x y 5

es NO lineal porque la primera ecuación no es lineal. No existe un método universal que podamos seguir en todos los casos. Según nuestra experiencia, dependiendo del caso, será mejor un camino u otro: - Si tenemos un término de alguna de las ecuaciones con una única incógnita de grado 1, casi siempre lo mejor es despejar dicha incógnita y sustituir su valor en la otra ecuación.

- Si tenemos que las dos ecuaciones son de grado 2, pero en una de ellas hay una incógnita de grado 1, despejamos la incógnita de grado 1 y sustituimos su valor en la otra ecuación.

- Si tenemos dos ecuaciones de grado 2 y tenemos la misma incógnita elevada a dos sola en un término de las dos ecuaciones, podemos aplicar el método de reducción.

Por ejemplo,

2 2 22

2

2x y 1 0 y 2x 1x 3x(2x 1) 0 x 6x 3x 0

x 3xy 0

x 0 y 2.0 1 1 soluc : x 0, y 1

7x 3x 0 x(7x 3) 0 3 3 1 3 17x 3 0 x y 2. 1 soluc : x , y

7 7 7 7 7

Resolución de problemas con sistemas

Ejemplo: Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1600 €. Se sabe que cobra 50 € por cada silla, 150 € por cada sillón y 200 € por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles.

El planteamiento sería así:

x y z 15x nºdesillasy nºdesillones 50x 150y 200z 1600z nºdebutacas

x yz4

.

Resolviendo el sistema obtendríamos el nº de muebles de cada tipo que se han vendido

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 12 -

ACTIVIDADES

1.- Clasifica y resuelve por el método de Gauss: a)

x 2y 2z 2

3x 3y z 14

5x y 2z 15

(SCD: x = – 2, y = 3, z = 1)

b)

x y z 6

x y z 4

3x y z 8

(SCI) c)

3x 5y+z 4

2x y+3z 9

4x 7y+ z 5

(SI) d)

2x 3y 3z 4

5x 5y 4z 8

x y 2z 0

(SCI)

e)

1434

9345

122

zyx

zyx

zyx

(SCD: x = 1, y = – 1, z = 0) f)

2x 2y z 0

x 3y 2z 0

x y 3z 0

(SCI) g)

5x 2y 2z 0

3x y 3z 0

8x y z 1

(SI)

2.- Resuelve: a)

2 2x 2(x y) 36

x y5

2 3

(S: x = 6, y = 6; x = 162/23, y = 102/23)

b) 2 2

2 2

3x 5y 20

4x y 4

(S: x = 0, y = 2; x = 0, y = –2) c)

y3x 15

22 3

1x y

(S: x = 4, y = 6; x = 5/2, y = 15)

d) 2

4x 5y 7

3xy 2x 26

(S: x = 2, y = –3; x = –65/22, y = 53/55)

3.- Un monedero contiene 1 euro en monedas de 2, 5 y 10 céntimos; en total hay 22 monedas. Sabiendo que el número de monedas de 5 y 10 céntimos juntas excede en 2 unidades al número de monedas de 2 céntimos, obtén el número de monedas de cada tipo que hay en el monedero.

(S: 10 de dos céntimos, 8 de cinco céntimos y 4 de diez céntimos) 4.- En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 € y el precio de cada helado es de 4 € el de vainilla, 5 € el de chocolate y 6 € el de nata. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.

(S: 50 de vainilla, 20 de chocolate y 40 de nata) 5.- Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados 250. (S: 5 y 15) 6.- La suma de las edades de dos personas es 23 años y su producto es 102. Determina la edad de cada una. (S: 6 años y 17 años) 7.- Para vallar una finca rectangular de 750 m2 se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca. (S: 25 m x 30 m) 8.- El área de un triángulo rectángulo es 30 m2 y la hipotenusa mide 13 m. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? (S: 12 m y 5 m)

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 13 -

5.- INECUACIONES

Concepto de inecuación Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Por ejemplo, son inecuaciones: x + 2 < 5 , x2 – 1 ≥ 3. El signo de la desigualdad puede ser cualquiera de los cuatro: < , ≤, > ó ≥

Resolver una inecuación con una incógnita es averiguar lo que tiene que valer la incógnita para que se cumpla la desigualdad. Por ejemplo, en la inecuación x + 2 < 5, el valor x = 1 es solución porque 1 + 2 < 5 (es cierto) pero el valor x = 6 no es solución porque 6 + 2 < 5 (no es cierto). Para resolver inecuaciones se usan fundamentalmente dos reglas (basadas en las propiedades de las desigualdades), llamadas reglas de equivalencia:

1ª) Se pueden pasar los términos de un miembro a otro de la inecuación cambiándolos de signo. 2ª) Si se multiplica o divide la inecuación por un número positivo se mantiene el sentido de la desigualdad pero si el número es negativo cambia el sentido de la desigualdad.

Inecuaciones lineales con una incógnita Son aquellas en las que la incógnita está elevada a 1. Se resuelven usando las mismas reglas que en las ecuaciones, salvo que, al despejar x si hubiera que multiplicar o dividir por un número negativo tenemos que cambiar el sentido a la desigualdad.

Por ejemplo, si –3x < 12 x > 12

3 x > –4. La solución es S: (–4, ∞)

También se pueden resolver la inecuaciones lineales de la forma ax + b > 0 (donde > pudiera ser cualquiera de los otros signos de desigualdad) gráficamente representando la recta asociada, y = ax + b. Por ejemplo, si queremos resolver 2x + 6 < 0, representamos la recta y = 2x + 6

Las soluciones corresponden al intervalo donde la recta está por debajo del eje X, que son los números menores que –3, es decir, S: (–∞, –3)

Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita Es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales. Para resolverlo, se resuelve cada inecuación por separado y después se buscan las soluciones comunes a todas las inecuaciones del sistema.

Por ejemplo, 4 3(x 1) 2x 3 4 3x 3 2x 3 5x 10 x 2

S:[ 1,2)3(x 1) 5 3x 3 1 5 3x 3 x 1

Inecuaciones factorizadas

Son aquellas de la forma p(x) . q(x). …. > 0 , siendo p(x), q(x), … polinomios. El signo de la desigualdad puede ser cualquiera de los cuatro: < , ≤, > ó ≥.

Para resolver este tipo de inecuaciones: 1º) Se igualan a cero todos los factores y se resuelven las ecuaciones resultantes 2º) Se hace una tabla con las soluciones y donde se reflejen los signos de cada factor y se determinan los intervalos para los que se cumple la inecuación.

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 14 -

Ejemplo: (x – 2)(2x + 5) ≤ 0

1º) x – 2 = 0 →x = 2 ; 2x + 5 = 0 →5

x2

2º)

5 5 5x x x 2 x 2 x 2

2 2 2x 2 0

2x 5 0

(x 2)(2x 5) 0 0

5 5

S : x ó x 2 , (2, )2 2

∪

Inecuaciones de 2º grado Son inecuaciones que se pueden expresar de la forma p(x) > 0, siendo p(x) un polinomio de 2º grado. El signo de la desigualdad puede ser cualquiera de los cuatro: < , ≤, > ó ≥ Para resolver este tipo de inecuaciones: 1º) Se pasan todos los términos a un miembro de la inecuación y se opera hasta llegar a una inecuación de la forma p(x) > 0 2º) Se factoriza el polinomio p(x) y se obtiene una inecuación factorizada, que se resuelve.

También se pueden resolver la inecuaciones de 2º grado de la forma ax2 + bx + c > 0, donde el signo > pudiera ser cualquiera de los otros signos de desigualdad, gráficamente representando la parábola asociada y = ax2 + bx + c. Por ejemplo, si queremos resolver x2 – 6x + 8 > 0, representamos la parábola y = x2 – 6x + 8

Las soluciones son los números x < 2 junto con los números x > 4. Es decir, S: (–∞, 2) U (4, ∞)

Inecuaciones polinómicas de grado superior e inecuaciones racionales con una incógnita Podemos seguir los siguientes pasos:

1º) Se pasan todos los términos a un miembro de la inecuación y se opera hasta llegar a una

inecuación p(x) > 0 ó p(x)

0q(x)

, donde el signo > puede ser cualquiera de los otros tres.

2º) Se factorizan los polinomios. De esta forma se obtiene una inecuación factorizada o expresada como cociente de factores 3º) Se hace una tabla con las soluciones y donde se reflejen los signos de cada factor y se determinan los intervalos para los que se cumple la inecuación.

ACTIVIDADES

Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas: 1) 2 2x 1 3x 2 (x 1)2 3 6

[ S: [0, 4] ]

2) x

2x 22

2x 3(x 1) x 2

(S: (5/4, 4/3)) 3) 3x(2x – 1) + x2 ≥ 5x – 1 [ S: (–∞, 1/7] U [1, ∞) ]

4) (x – 1)(x + 4) < –6 [ S: (–2, –1) ] 5) 4x3 – 4x2 – x + 1 ≤ 0 [ S: (–∞, –1/2] U [1/2, 1] ]

6) 2

3x 4x 5

0x x

[ S: [–5, –1) U (0, ∞) ] 7)

13

x

x

x

x [ S: [0, 3) U (–∞, –1) ]

8) x 8

4 x3 x

[ S: [2, 3) U (–∞, –2] ]