Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan9.pdf · 2017-11-21 ·...

Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja

Integriranje

Franka Miriam Bruckler


Antiderivacije

Koja je veza izmedux2 i 2x?

Antiderivacija (primitivna funkcija) zadane funkcije F : I→R (gdjeje I otvoren interval) je svaka funkcija f : I→R sa svojstvomf ′(x) = F (x) za sve x ∈ I .Mora li antiderivacija postojati? Ako postoji, ima li ih vise? Kakoih naci?


Teorem

Ako funkcija F : I→R ima antiderivaciju, onda ih ima beskonacnomnogo. Ako je f jedna antiderivacija od f , onda je za svakukonstantu C ∈ R funkcija fC zadana s fC (x) = f (x) + C takoderantiderivacija od F i sve antiderivacije su tog oblika.

Primjer

Za F (x) = 1x lako se pogodi fC (x) = ln x + C . No, ln je definiran

za x > 0, a f za x 6= 0?!

fC (x) = C + ln |x |, x ∈ I ′ ∪ I = R.


Neodredeni integral

Neodredeni integral funkcije F : I → R je skup svih njenihantiderivacija. Oznaka neodredenog integrala funkcije F snezavisnom varijablom x , je ∫

F (x) dx

Funkcija F zove se podintegralna funkcija. Trebali bismo pisati∫F (x) dx = {fC : C ∈ R}, ali iz prakticnih razloga uobicajen je

jednostavniji zapis: ∫F (x) dx = f (x) + C .

Konstanta C zove se konstanta integracije.

Primjer

Pisemo npr. ∫3x2 dx = x3 + C .


Linearnost neodredenog integrala

Pod tablicnim integriranjem podrazumijeva se integriranjetemeljem osnovne tablice integrala uz eventualno koristenjesvojstva linearnosti i transformacija podintegralne funkcijeformulama iz elementarnije matematike.

Teorem

Neka su funkcije F i G zadane na istom intervalu te K nekakonstanta. Tada vrijedi:∫

(F (x) + G (x)) dx =

∫F (x) dx +

∫G (x) dx ,

∫KG (x) dx = K

∫G (x) dx .


Primjer ∫cos2

x

2dx =

∫1

2+

1

2cos x dx =

=1

2

∫dx +

1

2

∫cos x dx =

x

2+

sin x

2+ C .

Primijetimo da imamo sljedece korespondencije:

s(t) ↔ F (t)

↓ ddt ↑

∫. dt

v(t) ↔ f (t)


Zadatak

Kolika je povrsina omedena grafom y = sin x izmedu x = 0 ix = 3π

2 ?

Ukoliko je f pozitivna i neprekidna na segmentu [a, b], onda je po

iznosu∫ ba F (x) dx isto sto i povrsina omedena s osi apscisa,

vertikalama x = a i x = b te grafom y = F (x). Ako je Fneprekidna, ali dijelom negativna na tom segmentu, povrsinedijelova ispod osi apscisa pribrajaju se s negativnim predznakom.


Odredeni integrali

Simbol ∫ b

aF (x) dx

je oznaka za odredeni (ili: Riemannov) integral funkcije F ugranicama a i b (tj. na podrucju integriranja [a, b]).Pojednostavljeno, za neprekidne funkcije, on se moze definiratipreko povrsine (vidi prethodni slide), no on ima smisla i za mnogefunkcije koje nisu neprekidne na podrucju integriranja.

Primjer ∫ 2

−1sgn x dx = 1.

Uz to, prethodna”definicija” ima isti problem kao

”definicija”

derivacije kao koeficijenta smjera tangente: Kaze nam smisaodobivenog rezultata, ali u opcem slucaju ne pomaze za njegovoizracunavanje.


Primjer

Kolika je povrsina koju s x-osi zatvara graf pozitivne funkcijef : [0, L]→ R, a koja je omedena vertikalama x = 0 i x = L? Akof nije afina, nema jednostavnog nacina za izracunavanje tepovrsine. Aproksimativno, mogli bismo interval [0, L] podijeliti napuno dijelova sirine 4x i ukupnu povrsinu aproksimirati zbrojempovrsina pravokutnika sirine ∆x i visine f (xi ). Dobili bismo

P ≈ ∆x∑i

f (xi ).


Neka je f : [a, b]→ R neka ogranicena1 funkcija. Podijelimo interval[a, b] na puno dijelova (kaze se: napravimo subdiviziju:a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b). U pravoj definiciji odredenog integralarazmaci izmedu dva susjedna xi -a ne trebaju biti jednaki, ali cemo radijednostavnosti pristupa uzeti da jesu: xi+1 − xi = ∆x za sve indekse i .

Donja i gornja integralna (Darbouxova) suma

s =n−1∑i=0

mi∆x , S =n−1∑i=0

Mi∆x

1Funkcija je ogranicena na svojoj domeni ako joj se graf moze nacrtatiizmedu dva horizontalna pravca y = m i y = M.


Ocigledno ce za razlicite odabire subdivizije slike izgledati doneklerazlicito: svaka subdivizija odreduje po jednu gornju i jednu donjusumu. Nadalje, intuitivno je jasno da sto je manji ∆x (uzipravokutnici) to ce gornja i donja suma biti blize tocnoj povrsiniizmedu grafa funkcije i osi apscisa (odnosno tamo gdje je funkcijanegativna, bit ce blize tocnoj povrsini s predznakom minus).


Definicija (Odredeni (Riemannov) integral)

Gornji integral I ogranicene funkcije f : [a, b]→ R je limes gornjihintegralnih suma kad ∆x → 0 (ako taj limes postoji). Donjiintegral I ogranicene funkcije f : [a, b]→ R je limes donjihintegralnih suma kad ∆x → 0 (ako taj limes postoji). Ako postojei gornji i donji integral i jednaki su, onda se broj I = I = I zoveodredenim (ili Riemannovim) integralom funkcije f : [a, b]→ R i

oznacava s

∫ b

af (x) dx; kazemo da je f (Riemann-)integrabilna na

segmentu [a, b]. Brojevi a i b zovu se granice (donja i gornja)

odredenog integrala

∫ b

af (x) dx.


Osnovna svojstva odredenog integrala

∫ a

aF (x) dx = 0 za svaku funkciju F definiranu u a (jer

povrsina duzine iznosi 0);

∫ b

aF (x) dx =

∫ c

aF (x) dx +

∫ b

cF (x) dx za c ∈ [a, b]

(povrsinu mozemo razbiti na dva dijela vertikalom x = c);

ne sasvim ocito, ali takoder direktno iz definicije2 slijedi i∫ b

aF (x) dx = −

∫ a

bF (x) dx (zamjena granica integrala

mijenja predznak odredenog integrala).

2Radi se o sljedecem: u definiciji smo od a do b isli tako da je svaki sljedecixi bio veci, tj. uz pozitivan ∆x . Ako pak trebamo ici od b do a moramo iciulijevo, tj. dodavati negativan ∆x .


Osnovna svojstva odredenog integrala

∫ a

aF (x) dx = 0 za svaku funkciju F definiranu u a (jer

povrsina duzine iznosi 0);∫ b

aF (x) dx =

∫ c

aF (x) dx +

∫ b

cF (x) dx za c ∈ [a, b]

(povrsinu mozemo razbiti na dva dijela vertikalom x = c);

ne sasvim ocito, ali takoder direktno iz definicije2 slijedi i∫ b

aF (x) dx = −

∫ a

bF (x) dx (zamjena granica integrala

mijenja predznak odredenog integrala).

2Radi se o sljedecem: u definiciji smo od a do b isli tako da je svaki sljedecixi bio veci, tj. uz pozitivan ∆x . Ako pak trebamo ici od b do a moramo iciulijevo, tj. dodavati negativan ∆x .


I odredeni integral, kao i neodredeni, ima svojstvo linearnosti:∫ b

a(F (x) + G (x)) dx =

∫ b

aF (x) dx +

∫ b

aG (x) dx ,∫ b

aKF (x) dx = K

∫ b

aF (x) dx .

Takoder, ako je F integrabilna na simetricnom segmentu [−c , c] iparna je ili neparna, imamo jos dva korisna svojstva:Ako je F parna, onda je∫ c

−cF (x) dx = 2

∫ c

0F (x) dx ,

a ako je F neparna, onda je∫ c

−cF (x) dx = 0.


Ako je F : [a, b]→ R funkcija koja ima najvise konacno mnogotocaka prekida u segmentu [a, b], onda je ona integrabilna na

[a, b], tj. moze se izracunati∫ ba F (x) dx . Ako su sve tocke prekida

c1, c2, . . . , cm (nabrojane po velicini, tj.a < c1 < c2 < . . . < cm < b), onda je∫ b

aF (x) dx =

∫ c1

aF (x) dx +

∫ c2

c1

F (x) dx + . . . +

∫ b

cm

F (x) dx .

Iz derivabilnosti slijedi neprekidnost, a iz neprekidnostiintegrabilnost.


Newton-Leibnizova formula

Teorem (Osnovni teorem infinitezimalnog racuna)

Neka je realna funkcija F neprekidna na segmentu [a, b]. Tada jeformulom

f (x) =

∫ x

aF (t) dt, x ∈ [a, b]

definirana funkcija f i ona je antiderivacija za F na 〈a, b〉. Nadalje,za svaku antiderivaciju f od F vrijedi Newton-Leibnizova formula∫ b

af (x) dx = F (x)|ba = F (b)− F (a).


Zapravo je samo jedan integral

Korolar

Za realnu funkciju F neprekidnu na [a, b] i njenu antiderivaciju fvrijedi:

f (x) = f (a) +

∫ x

aF (t) dt, x ∈ [a, b],

F (x) =

(∫ x

aF (t) dt

)′.

U terminima neodredenih integrala:

d

dx

(∫F (x) dx

)= F (x),

∫df

dxdx = f (x) + C .


Primijetimo da Newton-Leibnizova formula vrijedi samo zaneprekidne funkcije, no moze se primijeniti i za funkcije s konacnomnogo tocaka prekida c1, c2, . . . , cm ∈ [a, b].Uz oznake c0 = a i cm+1 = b dobivamo formulu∫ b

aF (x) dx =

m∑i=0

∫ ci+1

ci

F (x) dx =∑i

fi (x)

∣∣∣∣∣ci+1

ci

,

gdje su fi antiderivacije od F na pojedinim podintervalima.

Zadatak

Za

F (x) =

ex , x > 0x2, −1 < x ≤ 0x + 2, x ≤ −1

.

izracunajte∫ 2−2 f (x) dx.


Parcijalna integracija

d

dx(uv) =

du

dx· v + u · dv

dx⇒

u · dv

dx=

d

dx(uv)− du

dx· v ⇒∫

u dv = uv−∫

v du (

∫u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x) dx).

Najcesci slucajevi primjene ovog pravila su sljedeci:

Funkcija u ima relativno jednostavnu derivaciju, a dv = dx ;

Funkcija u je potencija od x (u pravilu u(x) = xn, n ∈ N), adv je eksponencijalna ili trigonometrijska funkcija pomnozenas dx ;

Funkcija u je neka logaritamska funkcija, a dv je oblika xn dxza n ∈ R.


Metoda supstitucije

Lancano pravilo:dF

dx=

dF

dy· dy

dx;

Neka je dFdy = f (y) pri cemu je y = y(x). Slijedi

dF = f (y(x))y ′(x) dx odnosno (jer dF = f (y) dy)∫f (y) dy =

∫f (y(x))y ′(x) dx , dakle:∫

f (y(x))y ′(x) dx =

∫f (y) dy .

Primjer∫dx

ax+b =?

Primjer∫xe−x

2dx =?


Primjer

Promotrimo integral∫

sin(√

x) dx. Kod njega nema vidljivekombinacije funkcije i njene derivacije. Pokusajmo vidjeti sto binam dao jedini moguci pokusaj supstitucije u ovom integralu:y =√

x, tj. dy = 12√x

dx. Prema posljednjem imamo

dx = 2√

x dy = 2y dy. Dobili bismo∫sin(√

x) dx =

∫2y sin y dy , . . .


Integriranje racionalnih funkcija

Primjer

Zadan je integral∫

x3

x2−1 dx. Prvo dijelimo

x3 : (x2 − 1) = x

i ostatak je x te je

x3

x2 − 1= x +

x

x2 − 1,

dakle ∫x3

x2 − 1=

x2

2+

∫x

x2 − 1dx .

Dakle: Ukoliko je brojnik racionalne funkcije stupnja veceg ilijednakog stupnju nazivnika, prvi korak je dijeljenje brojnika snazivnikom kako bismo izdvojili polinomijalni dio.


Integriranje pravih racionalnih funkcija

Ukoliko treba integrirati pravu racionalnu funkciju, koristi se rastavna parcijalne razlomke, u kombinaciji s metodom supstitucije itablicnim integriranjem.Rastav na parcijalne razlomke racionalne funkcije p(x)

q(x) je njezinzapis u obliku zbroja razlomaka koji su oblika

A

(ax + b)kili

Ax + B

(ax2 + bx + c)k.


Iskljucivo jednostruke realne nultocke nazivnika

Najjednostavniji slucaj: q(x) ima tocno onoliko (razlicitih) realnihnultocaka koliki mu je stupanj. U tom slucaju mozemo dobitirastav oblika

p(x)

q(x)=

n∑i=1

Ai

aix + bi,

gdje su aix + bi razliciti faktori nazivnika, a treba odreditikonstantne brojnike A1, . . . ,An. Ilustrirajmo to nastavkom primjera

Primjer

x

x2 − 1=

A

x − 1+

B

x + 1/ · (x2 − 1)

x = A(x + 1) + B(x − 1).

Uvrstimo x = 1 i x = −1 i dobivamo 1 = 2A, −1 = −2B. Stoga je

x

x2 − 1=

1

2

(1

x − 1+

1

x + 1

).


Iskljucivo realne nultocke nazivnika

Ako se u q(x) neki faktor aix + bi pojavljuje s potencijom k vecomod 1, tom faktoru odgovara k parcijalnih razlomaka po principu

p(x)

(ax + b)k=

B1

ax + b+

B2

(ax + b)2+ . . .+

Bk−1(ax + b)k−1

+Bk

(ax + b)k.

Primjer ∫x

(2x + 3)(x − 3)2dx =?.

Primijetimo: Kad god q(x) ima samo realne nultocke, integriranjeracionalne funkcije se svodi na integriranje funkcija oblika(ax + b)−n dx koje je lako integrirati afinom supstitucijom.


Kompleksne nultocke nazivnika

U slucaju da q(x) nema samo realne nultocke u rastavu se poslicnom principu pojavljuju parcijalni razlomci oblika Ax+B

(ax2+bx+c)k,

tj. parcijalni razlomci kojima su brojnici afine funkcije, a nazivnicipotencije promatranog faktora.

Primjer

Izracunajmo∫

dx(x2+1)(x−1) .

Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan9.pdf · 2017-11-21 ·...

Documents

Transcript of Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan9.pdf · 2017-11-21 ·...