1 COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA: Preparadas las TABLAS DE FRECUENCIA de los...
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1 COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA: paradas las TABLAS DE FRECUENCIA de los valores una variable resulta interesante describir su compo nto. ia dónde tienden los datos? agrupan en torno a un valor? o, se dispersan? distribución se “parece” a alguna distribución teór esta sección trataremos los principales indicadores permiten describir una distribución.
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COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES DEFRECUENCIA:
Preparadas las TABLAS DE FRECUENCIA de los valoresde una variable resulta interesante describir su comporta-miento.
Hacia dónde tienden los datos?Se agrupan en torno a un valor? o, se dispersan?Su distribución se “parece” a alguna distribución teórica?
En esta sección trataremos los principales indicadores quenos permiten describir una distribución.
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ESTADIGRAFOS O PARAMETROS:
MEDIDAS DE CENTRALIZACION:• LA MEDIA• LA MODA• LA MEDIANA
MEDIDAS DE DISPERSION:• LA VARIANZA• LA DESVIACION ESTANDAR • EL SESGO • LA CURTOSIS.
Estadígrafos si aplican sobre una muestra, parámetros si aplican sobre una población.
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MEDIANA:
Si tenemos n valores habiendo sido ordenados de forma creciente se define la mediana como el valor que deja a cada lado (por encima y por debajo) la mitad de los valores de la muestra.
Matemáticamente toma por valor:
Si n es impar
Si n es par
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ESPERANZA MATEMATICA:
También llamada: VALOR ESPERADO, ESPERANZA,MEDIA ARITMETICA o MEDIA, se define como:
E x x P x x P x
E x x P x
n n
j jj
n
( ) ( ) ... ( )
( ) ( )
1 1
1
La MEDIA da un valor típico o promedio de los valores de la variable y por eso se llama MEDIDA DE CENTRALIZACION.
5
LA VARIANZA:
La varianza es un número no negativo que mide laVARIACION de los valores de la variable en torno a suMEDIA.
Var X E X( ) [( ) ] 2 2
Si los valores tienden a concentrarse CERCA DE LA MEDIA , entonces la VARIANZA ES PEQUEÑA, pero si los valores se distribuyen LEJOS DE LA MEDIA, entonces la VARIANZA GRANDE
2
6
LA DESVIACION ESTANDAR:
Var X E X( ) [( ) ]2
Corresponde a la raíz cuadrada de la VARIANZA.
La VARIANZA y la DESVIACION ESTANDAR tienen lasmismas unidades y por esta razón con frecuencia seprefiere a la DESVIACION ESTANDAR que a la VARIANZA para medir las dispersiones.
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COEFICIENTE DE VARIACION:
Para casos en los cuales se necesita comparar valores en tamaño, muy diferentes, resulta útil establecer una relación entre la desviación estándar y la media, conocidacomo el coeficiente de variación:
CV
CV
El CV es una unidad de medida de la dispersión relativa de los valores
8
COEFICIENTE DE SESGO o de ASIMETRIA DE FISHER
g nx
nx
i
i
1
3
3
2
1
1
( )
( )
O sesgo, mide la asimetría de la distribución de frecuencia con respecto a su MEDIA.
Si la “cola” mas larga se extiende a la derecha se dice que la distribución esta sesgada a la derecha, pero si se extiende a la izquierda se dice que el sesgo es a la izquierda.
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COEFICIENTE DE SESGO:
La asimetría positiva indica una distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos. La asimetría negativa indica una distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos.
Sesgada a la derechaSesgo > 0
Sesgada a la IzquierdaSesgo < 0
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COEFICIENTE DE CURTOSIS o APUNTAMIENTO.
g nxi
2
4
4
1
3
( )
La CURTOSIS mide la CONCENTRACIÓN de la distribución de frecuencia en torno a su MEDIA.
Si la “campana” es puntuda se dice que hay una alta concentración, (más apuntada que la normal), pero si la campana es plana (menos apuntada que la normal) se dice que hay una baja concentración.
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La CURTOSIS positiva indica una distribución MAS puntuda que la distribución NORMAL. La CURTOSIS negativa indica una distribución MENOS puntuda que la NORMAL.
PuntudaCurtosis > 0
PuntudaCurtosis < 0
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COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES
TALLER: Considere los valores de 87 facturas, los cuales se asumen equiprobables.
Utilice la hoja estadística_3 del archivo talleres_practica_1.xls
Calcule e interprete los parámetros estadísticos indicados.
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COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES
TALLER: Considere una inversión de $100 hoy y de la cual se estiman los siguientes posibles valores futuros a un año con la probabilidad asociada, como se muestra a continuación:
Cuál es el valor futuro más probable?, con qué desviación estándar (riesgo)?
Utilice la hoja
estadística_5 del archivo
talleres_practica_1.xls
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COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES
TALLER: Durante los pasados 7 años, las rentabilidades de un portafolio corporativo fueron las siguientes:
Calcule la rentabilidad promedio del portafolio corporativo durante este periodo.Calcule la varianza y la desviación estándar de las rentabilidades del portafolio corporativo durante este periodo.
Utilice la hoja
estadística_5 del archivo
talleres_practica_1.xls
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COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES
TALLER: Considere el siguiente flujo de caja, en el cual las variables X et Y son variables aleatorias con la distribución de probabilidad mostrada.
Cuál es el flujo de caja esperado con qué desviación (riesgo)?
Interprete la desviación sobre cada flujo.Usando una TIO del 40%, cuál es el valor
presente neto esperado del flujo de caja dado?
Como el valor esperado de cada flujo tiene una VARIANZA (asociada a su periodo), cuál es le valor presente de dicha varianza?
Utilice: VPit
tt
n
( )( )
22
20 1
16
COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES
TALLER: Suponga el siguiente proyecto en el cual los flujos X et Y son variables aleatorias, con distribución:
Cuál es el valor esperado del Valor presente del proyecto y su desviación estándar si la tasa de oportunidad se supone constante e igual al 38%?
Utilice: VPit
tt
n
( )( )
22
20 1
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COMPORTAMIENTO DE LAS DISTRIBUCIONES
TALLER: En el estudio de un proyecto que requiere una inversión de $100.000, se ha estimado la siguiente distribución de probabilidad de los flujos de caja:
Cuál es el valor esperado del valor presente neto del proyecto, cuál es el valor esperado de su riesgo (varianza)? (Considere TIO del 25%)
Util
ice
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a_1.
xls
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COVARIANZA
En el estudio conjunto de dos variables, lo que interesa principalmente es saber si existe algún tipo de relación entre ellas.
Esto se ve gráficamente con el diagrama de dispersión.
),( yxS
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Si Sxy > 0 hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y.
Si Sxy = 0 las variables están no correlacionadas, es decir no hay relación lineal.
Si Sxy < 0 hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores de y.
La covarianza S(X,Y) de dos variables aleatorias X e Y se define como:
COVARIANZA ),( yxS
)]([*)]([*),(1
yyxxPyxSn
ii
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El coeficiente de correlación lineal mide el grado de intensidad de la relación entre las dos variables. Este coeficiente se aplica cuando la relación que puede existir entre las variables es lineal (es decir, si representáramos en un gráfico los pares de valores de las dos variables la nube de puntos se aproximaría a una recta).
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
),( yx
21
No obstante, puede que exista una relación que no sea lineal, sino exponencial, parabólica, etc. En estos casos, el coeficiente de correlación lineal mediría mal la intensidad de la relación las variables, por lo que convendría utilizar otro tipo de coeficiente más apropiado.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
),( yx
22
El coeficiente de Correlación (X,Y) de dos variables aleatorias X e Y se define como:
)(*)(
),(),(
yx
yxSyx
1),(1 yxCon:
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
),( yx
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Si > 0, la correlación lineal es positiva (si sube el valor de una variable sube el de la otra). La correlación es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a 1.Por ejemplo: altura y peso: los alumnos más altos suelen pesar más.
Si < 0, la correlación lineal es negativa (si sube el valor de una variable disminuye el de la otra). La correlación negativa es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a -1.Por ejemplo: peso y velocidad: los alumnos más gordos suelen correr menos.
Si = 0, no existe correlación lineal entre las variables. Aunque podría existir otro tipo de correlación (parabólica, exponencial, etc.)
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
),( yx
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TALLER: Considere los valores (ficticios) de PESO Y ESTAURA de 30 alumnos y determine el nivel de correlación entre estas dos variables.
Utilice la hoja CORRELACIÓN del archivo talleres_practica_1.xls
Calcule e interprete los resultados.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
),( yx
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TALLER: Considere el TALLER2_EST.DOC y resuelva los puntos 4 y 5.
Utilice Excel para resolver los problemas planteados.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
),( yx
