1 Enunciado

Un gas ideal diatómico recorre el siguiente ciclo: partiendo del el estado de coordenadas,  ,  ,  , se dilata isotérmicamente hasta duplicar su volumen. Después se comprime a presión constante hasta su volumen inicial. Finalmente se calienta a volumen constante hasta que alcanza la presión original. Calcule el rendimiento del ciclo.

2 Diagrama

La figura muestra el ciclo en el diagrama PV. El rendimiento del ciclo es el trabajo neto obtenido dividido por el calor suministrado al gas. Vamos a calcular el trabajo y el calor absorbido en cada fase del ciclo

3 Proceso isotermo 1→2

Los datos de los estados inicial y final son

El trabajo realizado por una gas ideal en un proceso isotermo es

Como el proceso es isotermo, la variación de energía interna es nula. Entonces

El trabajo es negativo, lo realiza el gas sobre el entorno, y el calor es positivo, es suministrado al gas.

4 Proceso isobaro 2→3

En este caso, los datos de los procesos son

El trabajo realizado en este proceso es

W23 = − P2(V3 − V2) = − P2(V1 − V2) = P2V1

Necesitamos el valor de P2. Para ello aplicamos la ley de Boyle entre los estados 1 y 2

Por tanto el trabajo es

Al ser el proceso isobaro, el calor absorbido por el gas es

Q23 = ncp(T3 − T2)El enunciado dice que el gas es diatómico. Entonces cp = 7R / 2. Para averiguar T3 relacionamos los estados 2 y 3 con la ecuación de estado del gas ideal

El calor es

En este caso el trabajo contribuye se realiza sobre el gas, mientras que el gas cede el calor al entorno.

5 Proceso isócoro 3→1

Aquí no hay variación de volumen, por lo que el trabajo es nulo

W31 = 0Como el gas es diatómico, cv = 5R / 2. Entonces, el calor transferido es

Al ser positivo, este calor es absorbido por el gas.

6 Rendimiento del ciclo

En el rendimiento debemos comparar el trabajo neto proporcionado por el gas y el calor total suministrado. De los apartados anteriores tenemos

y

Entonces el rendimiento es

Podemos verificar que el resultado es razonable usando que, como el proceso es cíclico, la variación total de energía interna debe ser nulo, esto es, debe cumpplirse

W12 + W23 + W31 = − (Q12 + Q23 + Q31)

En el diagrama se han añadido los calores y trabajos realizados indicando cómo contribuyen a la variación de energía interna del gas.

7 Comparación con una máquina de CarnotPodemos comparar el rendimiento obtenido en este ciclo con el que proporcionaría una máquina de Carnot trabajando entre las temperaturas extremas alcanzadas en el ciclo, T1 y T3. Tenemos

Así pues, el ciclo del enunciado proporciona un rendimiento que es el 20% del máximo que se puede alcanzar trabajando entre estas temperaturas.

Problema 3 (2 puntos)

Un sistema formado por vapor de agua experimenta un ciclo de Carnot. El estado al final del proceso de compresión es líquido saturado, y el estado al final del proceso de expansión es vapor saturado. La temperatura al comienzo del proceso de compresión es de 16 °C, y el rendimiento del ciclo es del 20 %.

a. Representar el ciclo, junto con la línea de saturación, en un diagrama T - s.

b. Determinar la presión inicial y final del proceso de absorción de calor, y el título al comienzo del proceso de compresión. El diagrama h - s le puede resultar de ayuda.

c. Determinar la magnitud del calor absorbido.

 

(a) Diagrama T - s

El ciclo de Carnot consta de dos procesos isotermos de intercambio de calor con los focos (proceso 2-3 y 4-1), y dos procesos adiabáticos (isoentrópicos) de paso de una a otra temperatura: compresión 1-2 y expansión 3-4.

 

 

 

(b) Presión inicial y final del proceso de absorción de calor, y título al comienzo del proceso de compresión

Se pide P2, P3 y x1.

La temperatura T2 se deduce del rendimiento del ciclo de Carnot:

P2 es la presión de saturación a T2: se deduce de las tablas de saturación.

P3 se deduce de las tablas del vapor, con T3 = T2, s3 = s4 = sg(16 °C). Se debe interpolar entre 1 y 10 kPa, y entre 75 y 100 °C.

x1 se deduce de las tablas de saturación, con s1 = s2 = sf(88 °C).

Estado T [°C] P [kPa] h [kJ/kg] s [kJ/kg K] x

1 16 1,8   1,1693 0,109

2 88 65,1 368,53 1,1693 0

3 88 6,8 2665,17 8,7593 -

4 16 1,8   8,7593 1

 

(c) Calor absorbido

 

Problema 4 (2 puntos)

Las condiciones en la entrada y la salida de una pequeña turbina de vapor son 500 kPa, 300 °C y 7,4 kPa, 94 % de título respectivamente. En un punto intermedio de la turbina en el que la presión es de 100 kPa y la entalpía 2750 kJ/kg, se extrae un 7,5 % del vapor circulante, a velocidad despreciable, para calentamiento. La sección de la turbina a la salida es de 0,83 m2.

a. Dibujar el proceso de expansión en un diagrama h - s, incluyendo la línea de saturación e indicando los estados.

b. Teniendo en cuenta que el término de energía cinética a la salida de la turbina es significativo pero muy pequeño comparado con los demás términos, indicar cómo se podría obtener una potencia en la turbina de 5 MW. Calcular el caudal de vapor en una primera aproximación.

c. Para el caudal calculado en (b), determinar la velocidad de salida del vapor de la turbina.

 

(a) Diagrama h - s

Cálculo de los estados:

- Estado 1: lectura directa con P, T (tablas de vapor)

- Estado 2: lectura directa con P, x (tablas de saturación)

- Estado 3: interpolación en tablas de vapor con P, h.

Est. P (kPa) T (°C) h (kJ/kg) v (m3/kg) x

1 500 300 3064,80   -

2 7,4 40 2429,98 18,377 0,94

3 100 136,8 2750   -

 

(b) Caudal de vapor

La ecuación de balance es el primer principio:

 

(c) Velocidad de salida del vapor de la turbina

Por la ecuación de continuidad,

Esta velocidad supone una energía cinética de

que efectivamente es mucho menor que 5000 kW (un 2 %).