1

ESTADO DE DEFORMACIÓN EN PUNTO DE UN MEDIO

CONTINUO

2

HIPÓTESIS

• Cuerpo continuo• Material isótropo y homogéneo• Deformaciones infinitamente pequeñas• Linealidad cinemática

3

HIPOTESIS• Cuerpos rígidos• Estudio atemporal (se prescinde de la

variable tiempo)• Desplazamientos infinitamente pequeños

respecto de las dimensiones del cuerpo

CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO

4

ApuntodelentodesplazamiVectoraA :

5

Movimientos simples del cuerpo rígido

TraslaciónRotación en torno a

un eje

baaa CBA

TraslaciónVector :bRotaciónVector :

6

Desplazamiento de un punto en una rotación

1

Rotaciones pequeñas

tgsen

,,,, AAAAarcAA

,, AAadir A ,,AAaa

Adoptamos

EAaA

, OA AAarcsenEAEA

,, AAdirEAEAdir

9

Desplazamiento relativo

BABABA aaaaa , ABABAB aaaaa ,

0 ,, ABBABA aaaaSi

10

Desplazamiento relativo en un movimiento rígido

Desplazamiento relativo debido a una traslación

0 ,, ABBABA aabaa

Desplazamiento relativo debido a una rotación rígida

EAaA EBaB

EAEBEAEBa AB ,

ABa AB ,

EBEAEBEAa BA ,

BAa BA ,

El desplazamiento relativo debido a una rotación rígida es igual al desplazamiento del punto si se aplica una rotación cuyo eje pasa por el punto considerado fijo

11

12

Si se fija el origen de coordenadas en el punto considerado fijo (A)

El vector posición de un punto B será kzjyixB BBB

B

B

B

xy

xz

yz

Bz

By

Bx

z

y

x

a

a

a

0

0

0

Y el desplazamiento del punto B respecto del A debido a una rotación rígida

BDaB

Matriz antisimétrica D

13

Desplazamiento relativo en el entorno de un punto en un continuo

kajaiaa AzAyAxA

AAAAAx zyxuua ;;

zyxuu ;; zyxvv ;; zyxww ;;

AAAAAy zyxvva ;;

AAAAAz zyxwwa ;;

dzz

udy

y

udx

x

uduuuaa ABBxAxB

,

dzz

vdy

y

vdx

x

vdvvvaa ABByAyB

,

dzz

wdy

y

wdx

x

wdwwwaa ABBzAzB

,

derivablesy continuas Funciones ,, wvu

14

Desplazamiento Relativo Específico

r

r

r

r

r

Ar d

adalím

0*

x

y

z

ra

r

dr

r

radr

rdy

rdz

B

rdx

knjninr rzryrx

rr

rx dr

dxn cos

rr

ry dr

dyn cos

rr

rz dr

dzn cos

16

rzryrxArx n

z

un

y

un

x

u

z

v

y

wx 2

1

rzryrxAry n

z

vn

y

vn

x

v

rzryrxArz n

z

wn

y

wn

x

w

Ar*

z

w

y

w

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wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

r

Ar*

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

z

v

y

w

x

w

z

u

z

v

y

w

y

u

x

v

x

w

z

u

y

u

x

v

z

w

z

v

y

w

z

u

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w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

r

Matriz de rotación rígida

x

w

z

uy 2

1

y

u

x

vz 2

1

B

B

B

xy

xz

yz

Bz

By

Bx

z

y

x

a

a

a

0

0

0

17

Vector deformación específica

ArArAS

Ar rTrT

*

rz

ry

rx

rz

ry

rx

SArz

Ary

Arx

n

n

n

z

w

y

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v

x

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u

y

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v

y

v

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v

y

u

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

n

n

n

T

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

xzrzxyryxxrx x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

2

1;

2

1;0;0;1 xzxyxx nnnxr

x

w

z

u

x

v

y

u

x

ucolumna xzxyxx 2

1;

2

1;:ª1

yzrzyyryyxrx y

w

z

v

y

v

x

v

y

u

2

1;;

2

10;1;0 yzyyyx nnnyr

y

w

z

v

y

v

x

v

y

ucolumna yzyyyx 2

1;;

2

1:ª2

z

w

y

w

z

v

x

w

z

ucolumna zzzyzx

;2

1;

2

1:ª3

Desplazamientos debidos a rotación rígida del entorno del punto

18

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

TENSOR DE DEFORMACIONES

• Caracteriza al Estado de Deformación (permite conocer el vector deformación asociado a cada dirección pasante por el punto)

• Al cambiar los ejes coordenados (ejes con que se caracteriza al estado de deformación), varía el tensor de deformaciones

• Un versor correpondiente a una dirección determinada tendrá componentes distintos

Si se cambian los ejes de referencia

• El vector deformación asociado a esa dirección, tendrá componentes distintos, pues es el mismo vector físico, representado en otra terna

Como el tensor es simétrico

(deformación pura)

zyyz yxxy xzzx

19

Deformación longitudinal y transversal

rTDr

x

knjninr rzryrx

y

z

r

1

r

rrr

t

rrrrr

22

rrrrt

rr rrt

cosrrr

en srrt

r dir. laen allongitudinn deformació:rr

r dir. laen saln transverdeformació:rt

r dir. laen longitud de variaciónla a asociado está rr

r dir. la deangular variaciónla a asociado está rt

20

Deformación transversal y distorsión

Distorsión: Variación del ángulo inicialmente recto entre dos direcciones

21

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyzxz

yzy

xy

xzxyx

22

22

22