1. Funciones Definidas Mediante Una Formula. Graficas

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2015–16. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

Lección 1. Funciones y derivada.

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1. Funciones definidas mediante una fórmula: gráficas. Las funciones son los objetos con los que trabajaremos fundamentalmente en la asignatura de Ma-temáticas II. Las funciones permiten describir fenómenos reales de la ciencia y la técnica en térmi-nos matemáticos. En esta primera sección repasaremos las funciones elementales y sus gráficas, con las que probablemente estés familiarizado.

Una función f definida en un conjunto D con valores en otro conjunto Y es una regla que asigna un único valor ( )y f x= a cada elemento x del conjunto .D Esto lo representaremos simplemente por f : x ∈ D→ y = f (x)∈Y . La letra ,x que se llama variable independiente, representa los posi-bles valores a los que podemos aplicar la función f y la letra ,y que se llama variable dependiente, representa los correspondientes valores que se obtienen al aplicar la función .f El conjunto D Se llama dominio de la función f y el conjunto Y se llama imagen o recorrido de la función .f

Usualmente, nosotros consideraremos funciones cuyo dominio es un intervalo I de la recta real, que representaremos por y cuyos valores serán, a su vez, números reales. Esto lo representare-mos así: f : x ∈ I ⊆ → y = f (x)∈ y las llamaremos funciones reales de variable real. En este caso, disponemos de una representación gráfica de la función en unos ejes coordenados perpendicu-lares que llamaremos ,OX eje horizontal, y ,OY eje vertical. Observa el siguiente gráfico.



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Al conjunto del plano OXY (usualmente nos referiremos al plano como 2 ) formado por todos los puntos ( ), ( ) ,x f x con ,x I∈ se llama gráfica de la función ,f es decir,

G( f ) := x, f (x)( )∈ 2 : x ∈ I{ }.

Usualmente este conjunto, la gráfica de ,f suele ser una curva. Parte de este curso consistirá en estudiar propiedades de este conjunto.

Las funciones se clasifican en dos grandes grupos: las funciones algebraicas y las funciones tras-cendentes. Las funciones algebraicas están formadas por los polinomios y todas aquellas que se pueden construir a partir de los polinomios usando las operaciones de suma, multiplicación, divi-sión y extracción de raíces. Recuerda que un polinomio es una función de la forma

f (x) := a0 + a1x + a2x2 ++ anx

n ,

donde los números ak ∈ se llaman coeficientes del polinomio y el número natural n se llama grado del polinomio, si 0.na ≠ En particular, son ejemplos de funciones algebraicas las funciones

racionales, como 1( ) : ,f xx

= y las funciones irracionales, como 2( ) : 1 .g x x= −

Las funciones que no son algebraicas se llaman trascendentes. En esta clase de funciones están in-cluidas las funciones trigonométricas (y sus inversas), las funciones exponencial, logaritmo y mu-chas otras funciones como, por ejemplo, las funciones hiperbólicas. A continuación repasaremos las propiedades elementales de algunas de ellas. Funciones trigonométricas. En algunas ocasiones los ángulos se miden en grados pero en este curso los ángulos se medirán siempre en radianes (que son números reales). Ten cuidado cuando uses la calculadora para hacer cálculos con funciones trigonométricas. Las dos funciones trigono-métricas básicas son el seno y el coseno, que representaremos por sen y cos, respectivamente. Sus gráficas son las que mostramos a continuación.

Recuerda que ambas son funciones periódicas de periodo 2 ,π es decir, ( )sen 2 senx xπ+ = y

( )cos 2 cos ,x xπ+ = para todo x ∈ . La función seno es impar, es decir, ( )sen sen ,x x− = − para



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todo x ∈ ; mientras que la función coseno es par, esto es, ( )cos cos ,x x− = para todo x ∈ . Otras identidades interesantes que verifican las funciones seno y coseno son las siguientes. La pri-mera de ellas es consecuencia del teorema de Pitágoras y es la identidad básica de la trigonometría:

2 2sen cos 1,x x+ = para todo x ∈ . También son muy útiles las fórmulas de adición:

cos x + y( ) = cos xcos y − sen xsen y, x ∈ ,

sen x + y( ) = sen xcos y + cos xsen y, x ∈ ,

de las que también deducimos, tomando y x= en las igualdades anteriores, las fórmulas del ángulo doble: 2 2cos(2 ) cos senx x x= − y sen(2 ) 2sen cos ,x x x= para todo x ∈ . El cociente las funcio-

nes seno y coseno, es decir, la función tangente sentan :cosxxx

= también es relevante en trigonome-

tría. Esta función está definida dónde no se anula la función coseno, es decir, en el conjunto

D := − π

2+ kπ : k = 0,±1,±2,...

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

y, como se comprueba fácilmente, es una función periódica de

periodo ,π es decir, ( )tan tan ,x xπ+ = para todo .x D∈ Su gráfica es la siguiente:

Funciones exponencial y logaritmo. También estarás familiarizado con la función exponencial de base natural, es decir, el número de Euler 2.7182818284...e ≈ cuyo dominio de definición es toda la recta real x ∈ → ex ∈ . Recuerda que la función exponencial es una función positiva, cre-ciente y que lim x

xe

→∞=∞ y lim 0.x

xe

→−∞= Las relaciones fundamentales de la función exponencial son

ex+y = ex ⋅e y , x, y ∈ ,

e−x = 1ex, x ∈ ,

ex( )y= ex⋅y = e y( )

x, x, y ∈ ,

e0 =1.



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La función logaritmo x ∈ 0,∞( )→ log x ∈ está definida para valores 0x > y es la función inver-

sa de la función exponencial, es decir, ( )log ,xe x= para todo x ∈ , o bien, log ,xe x= para todo

0.x > La función logaritmo es creciente y verifica limlogx

x→∞

=∞ y 0

lim log .x

x+→

= −∞ Observa su grá-

fica junto con la de la función exponencial.

Las relaciones fundamentales de la función logaritmo son

( )log log log , , 0,

log log log , , 0,

log log , , 0,log1 0.

a

x y x y x yx x y x yyx a x a x

⋅ = + >

= − >

= >

=

Asíntotas de la gráfica de una función. Sea f una función real de variable real y sea a ∈ . La recta de ecuación x a= se dice que es una asíntota vertical de la función f (o de la curva

( )y f x= ) si lim ( ) ,x a

f x+→

= ±∞ o bien, lim ( ) .x a

f x−→

= ±∞ Dado b∈ , se dice que la recta de ecuación

y b= es una asíntota horizontal de la función f (o de la curva ( )y f x= ) si lim ( ) ,xf x b

→∞= o bien,



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lim ( ) .x

f x b→−∞

= Observa en este gráfico que las rectas 0x = e 0y = son asíntotas verticales y hori-

zontales de la función 1( ) .f xx

=

Una recta de ecuación y m x n= + se dice que es una asíntota oblicua de la función f (o de la cur-

va ( )y f x= ) si existen los límites ( )limx

f x mx→∞

= y ( )lim ( ) .x

f x m x n→∞

− = Análogamente los límites

se pueden tomar cuando .x→−∞

OBSERVACIÓN. La recta de ecuación y = mx + n, siendo m,n∈, es una asíntota oblicua de la fun-ción f (o de la curva ( )y f x= ) si y sólo si lim

x→∞f (x) −mx − n( ) = 0. En efecto, es claro que si exis-

ten los límites ( )limx

f x mx→∞

= y limx→∞

f (x) −mx( ) = n, entonces limx→∞

f (x) −mx − n( ) = 0. Recíproca-

mente, supongamos que limx→∞

f (x) −mx − n( ) = 0, siendo m,n∈. Esto equivale a que

n = lim

x→∞f (x)− mx( ) y, por tanto, este límite existe. Así que también existe lim

x→∞xf (x)x

−m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y, en

consecuencia, limx→∞

f (x)x

− m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 0, lo que equivale a que m = lim

x→∞

f (x)x

y así la recta y m x n= + es

una asíntota oblicua de la función f .

EJEMPLO. Considera la función 2 3( ) : ,2 4xf xx−

=−

que está definida en el conjunto − 2{ }. Observa

que 2

2 2

3lim ( ) lim .2 4x x

xf xx→ →

−= =∞

− Por tanto, la recta 2x = es una asíntota vertical. Por otra parte, te-



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nemos que limx→±∞

f (x)x

= limx→±∞

x2 − 3x 2x − 4( ) =

12

y, además,

2 3 3 2lim ( ) lim lim 1.2 2 4 2 4 2x x x

x x x xf xx x→±∞ →±∞ →±∞

⎛ ⎞− −⎛ ⎞− = − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Esto nos dice que la recta de ecuación 12xy = + es una asíntota oblicua de la gráfica de la función.

Observa la siguiente figura.

EJERCICIO 1. Repasa y escribe las propiedades del valor absoluto. Después, determina y describe los siguientes conjuntos de la recta real o del plano 2 :

(A) x ∈ :1≤ x +1 + x −1 ≤ 4{ }. (C) (x, y)∈ 2 : x + y ≤1{ }.

(B) x ∈ : 12≤ x2 +1 − x2 −1 ≤ 3

#$%

&'(. (D) (x, y)∈ 2 : x + y + x − y ≤1{ }.

EJERCICIO 2. Las funciones de la forma ( ) : ,f x xα= donde α es una constante, se llaman funcio-nes potencia.

(1) Dibuja las gráficas de las funciones potencias cuando α es un número natural 0,1, 2,... en el intervalo [ ]0,1 y en el intervalo [ ]1,0 .− En particular, comprueba que si x ∈ 0,1( ), la sucesión nx

decrece a 0. ¿Qué le ocurre a la sucesión nx si 1?x >



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(2) Dibuja las gráficas de las funciones potencia cuando 1α = − o cuando 2.α = − En particular, calcula las ecuaciones de sus asíntotas.

(3) Dibuja las gráficas de las funciones potencias cuando 1 ,2

α = 1 ,3

α = 32

α = y 2 .3

α = Estudia

sus dominios de definición y sus simetrías. EJERCICIO 3. (1) Determina un polinomio ( )P x tal que ( )3 5 2 31 ( ) 2 2 3 3 5 .x x P x x x x x− + − − + = −

(2) Encuentra un polinomio de segundo grado ( )P x tal que ( 1) 1,P − = ( 2) 2P − = y ( 3) 7.P − = ¿Cuántos polinomios hay que verifiquen estas tres condiciones? ¿Y sólo dos de ellas?

(3) Calcula las raíces de los polinomios 4 3 2( ) 2 8 6P x x x x x= + − − + y 3 2( ) 2 7 8 3.Q x x x x= − + − EJERCICIO 4. Resuelve las siguientes ecuaciones o sistemas de ecuaciones:

(A) 21 6 1 2 3 .6 1

x xx

− + =+

(B) 1 2 22 2 960.16

xx x− −− + = (C) 12log log .

2 2xx = −

(D) 2 2log log 1,

log log 3.x yx y

⎧ − =⎨

+ =⎩ (E)

3 1sen sen ,

23 1

sen sen .2

x y

x y

⎧ ++ =⎪

⎪⎨

−⎪ − =⎪⎩

EJERCICIO 5. Una función racional es el cociente de dos polinomios, es decir, ( )( ) : ,( )p xf xq x

= donde

( )p x y ( )q x son dos polinomios. Estudia las siguientes funciones racionales:

2

12 3( ) ,7 4xf xx−

=+

2

2 2

5 8 3( )3 2x xf xx+ −

=+

y 3 3

11 2( ) .2 1xf xx+

=−

Debes describir sus dominios de definición, sus asíntotas y sus gráficas. EJERCICIO 6. (1) Escribe en una tabla las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de: 0,

,6π ,

4π ,

3π ,

2π ,π 3

2π y 2 .π Dibuja estos resultados en la circunferencia unidad.

(2) Calcula el seno y el coseno de 0,2

x π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

sabiendo que 3tan .2

x =

(3) Usa las fórmulas de la suma para calcular 7sen12π y 11cos .

12π Usa las fórmulas del ángulo doble

para calcular sen ,12π cos ,

12π sen

8π y cos .

8π



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EJERCICIO 7. (1) Utiliza las propiedades de los logaritmos para simplificar las siguientes expresio-nes:

( ) senlog sen log ,5xx ⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )2 1log 3 9 log ,

3x x

x− + ( )41 log 4 log2,

2x − 3 23log 1 log( 1).x x− − +

(2) En las siguientes expresiones despeja x en función de :y

log 2 4,x y= + log( 1) log2 log ,x y y− − = + ( ) ( ) ( )2log 1 log 1 log sen .x x y− − + = (3) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

( )1( ) : log log ,f x x= 2log( ) : ,

1 logx xf x

x=

+ 3

1 log( ) : ,1 log

xf xx

+=

− 4 ( ) : log ,f x x=

( )52

5

1( ) : log .

1

xf x

x

+=

−

(4) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

( )21( ) : 2 2 ,xf x x x e= − + ( )2( ) : log 3 ,xf x xe−= ( )sen 2

3( ) : 1 log ,xf x e x= + 4 ( ) : log .1

x

x

ef xe

=+

EJERCICIO 8. Utiliza la siguiente gráfica

para establecer que si 0 ,a b< < entonces

( )( ) ( )( )

1 loglog log log log2

log

1log log log log .2

ba b x a b

ae b a e dx e e b a

+− ≤ ≤ + −∫

Deduce de las desigualdades anteriores que si 0 ,A B< < entonces .log log 2B A A BABB A− +

≤ ≤−

Estas dos desigualdades aseguran que la media geométrica de dos números positivos 0 A B< < es menor que su media logarítmica, la cual, a su vez, es menor que su media aritmética.

Nota. Si no consigues resolver este ejercicio ahora espera a que estudiemos la siguiente lección.



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EJERCICIO 9. ¿Es la recta y x= una asíntota oblicua de la función ( ) cosf x x x= + ? Razona la res-

puesta. ¿Y de la función cos( ) xf x xx

= + ?

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