Hiperbola

NDICETemaPaginaIntroduccin6Sistema coordenado cartesiano9Distancia entre dos puntos11Divisin de un segmento en una razn conocida14Pendiente de una recta22Angulo entre dos rectas28La recta31Secciones cnicas43La circunferencia57La parbola68La elipse86La hiprbola12155INTRODUCCIN

6PRESENTACION GENERAL

El SEAD, en respuesta a la inquietud de los estudiantes de contar con materiales didcticos que faciliten y promuevan el aprendizaje de las matemticas, ofrece este instrumento mediador del conocimiento, resultado de la participacin activa, responsable y comprometida del personal acadmico.3Se invita a la comunidad educativa del SEAD, a utilizar el presente material para mejorar su desempeo acadmico.

Si requieres de recordar algn concepto referente a la temtica abordada, al inicio de cada tema encontraras el Smbolo:

Que te mostrara los conceptos de dicha temtica.4Divisin de un segmento en una razn conocida

14Pendiente de una Recta

22El objetivo del presente trabajo es ayudar al estudiante de Matemticas IV, cuya temtica es Geometra Analtica a tener un adecuado proceso de aprendizaje.

La Ecuacin de la Recta, La Ecuacin de la Circunferencia, La Ecuacin de la Parbola, La Ecuacin del Elipse y La Ecuacin de la Hiprbola en sus diferentes representaciones (en el origen, fuera del origen y su forma general), son las cinco grandes temticas, as como generalidades sobre el plano cartesiano. en torno a las cuales se centrarn las actividades de aprendizaje en este curso.7Partiendo de que La Geometra Analtica, estudia las figuras geomtricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geomtricos por mtodos algebraicos, donde las coordenadas se representan por grupos numricos y las figuras por ecuaciones, abordaremos las temticas anteriores partiendo de esta definicin.8Secciones cnicas

43La Circunferencia

57La Parbola

68La Elipse

8613DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANO

Ejemplo 1: Si tenemos la coordenada P1 = (8 , 6) y la coordenada P2 = ( 5 , 2) Hallar la distancia entre las coordenadas, es decir, d(P1 , P2) =

Ejemplo 2: Demostrar que las coordenadas identificadas con los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son los vrtices de un tringulo issceles.

A (-2 ,-1) B (2, 2 ) C (5 , -2) yx

Como el tringulo ABC es issceles. 1315DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN CONOCIDA P2 (x2, y2)P(x,y)P1(x1, y1)Sea el segmento y el punto que divide a en la razn entonces, las coordenadas

de P Sern:

Si P es la punto medio entonces : ;

1516DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN CONOCIDA en la figura P1QP PRP2 entonces :

Para hallar la Ordenada y del punto P

P2 (x2, y2)PP1(x1,y1)

(x,y)QRxy1617DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN CONOCIDA en la figura P1QP PRP2 entonces :

Para hallar la abscisa x del punto P

P2 (x2, y2)PP1(x1,y1)(x,y)QRxy1718DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN CONOCIDA P2 (x2, y2)PP1(x1,y1) en la figura P1QP PRP2 entonces :

(x,y)QR

Observaciones1. Si r > 0 , el punto P(x , y) est en el interior del segmento:Si r < 0 , el punto P(x , y) est en el exterior del segmento: Si P(x,y) es el punto medio del segmento entonces la razn r = 1

Luego las coordenadas del punto P son:

xy1819DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN CONOCIDA

Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las coordenadas del punto P(x,y) donde: Solucin:

1920DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN CONOCIDA

Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las coordenadas del punto P(x,y) donde: Solucin:

2021DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN CONOCIDA

Ejemplo 2. Hallar los puntos de triseccin y el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2,3) y B(6 ,-3)Solucin:A(-2,3)B(6,-3)P(x,y)Q111

Punto medio M(x,y) :M P(10/3 , -1) Q(2/3 ,1)2123PENDIENTE DE UNA RECTA P1(x1,y1)LxyANGULO DE INCLINACINSe llama ngulo de inclinacin al ngulo formado por la recta L y el eje x positivo, en sentido antihorario.La variacin de es : 0 1802324PENDIENTE DE UNA RECTA Sea el ngulo formado por la recta L y el eje X La pendiente m de la recta L es:

Si la recta L pasa por los puntos P1 (x1 , y1) ; P2 (x2 , y2); la pendiente es:

( Ver Figura ) m = Tg

QP1(x1,y1)LP2 (x2,y2)XYy2 - y1x2 - x12425PENDIENTE DE UNA RECTA m = Tg

QP1(x1,y1)LP2 (x2,y2)XYy2 - y1x2 - x1OBSERVACIONES1. Si m > 0 entonces el ngulo de inclinacin es agudo ( < 90 )2. Si m < 0 entonces el ngulo de inclinacin es obtuso ( > 90 )3. Si m = 0 entonces el ngulo de inclinacin es 0 180.4. Si m = entonces el ngulo = 90 .2526PENDIENTE DE UNA RECTA m = Tg

QP1(x1,y1)LP2 (x2 ,y2)XYy2 - y1x2 - x1Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos : P1(2,1) y P2(5,6)

2627PENDIENTE DE UNA RECTAEjemplo 2: Los vrtices de un tringulo son los puntos A(2 , -2) , B(-1 , 4) y C(4 , 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.SOLUCION: B(-1,4)C(4,5)A(2,-2)

xyo2729NGULO ENTRE DOS RECTASSean las rectas L1 y L2 que forman un ngulo .Entonces:

Donde: m1 = Pendiente recta inicial L1. m2 = Pendiente recta final L2 .Nota:1) Si L1 es paralela a L2 m1 = m2 2) Si L1 es Perpendicular a L2 m1 . m2= -1 m1 =

L1L2XY

2930NGULO ENTRE DOS RECTASDEMOSTRACINSean las rectas L1 y L2 que forman un ngulo , 1 ngulo de inclinacin de la recta inicial L1 y 2 ngulo de inclinacin de la recta final L2 .Donde: m1 =tg 1 Pendiente recta inicial L1. m2 = tg 2 Pendiente recta final L2 .

L1L2X21ABCPor geometra elemental sabemos que todo ngulo exterior a un tringulo es igual a la suma de los ngulos interiores no adyacentes . Entonces en el ABC :

Luego:3032LA RECTADEFINICIN: La lnea recta es el lugar geomtrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) del lugar la pendiente m resulta siempre una constante.

ECUACIONES DE LA RECTA1) Forma Punto Pendiente : Si la recta pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y cuya pendiente es m entonces la ecuacin de la recta est dado por :

y - y1 = m ( x - x1 )P1(x1,y2)xP2(x2 ,y2)y3233LA RECTA

P1(x1,y1)xP(x, ,y)yDEMOSTRACINLa recta L pasa por el punto P(x1 , y1) y tiene pendiente conocida m y sea P(x , y) un punto cualquiera de la recta L.LPor definicin de pendiente de una recta se tiene:

3334LA RECTA

P(2 , 5)xP(x, ,y)yEjemplo. Hallar la ecuacin de la recta L que pasa por el punto P(2 ,5) y tiene pendiente 3. SOLUCION: L

3435

LA RECTALa recta L pasa por los puntos : P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) entonces la pendiente ......(1)

2 ) Ecuacin de la Recta que pasa por 2 puntos: Si la recta L pasa por lo puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) su ecuacin es:

DEMOSRACION:

y - y1 = m ( x - x1 )P1(x1,y1)xP2(x2 ,y2)y

Se conoce la ecuacin de la recta en su forma punto pendientey - y1 = m( x - x1 )......(2) Remplazando (1) en (2) se tiene:3536LA RECTAEjemplo. Hallar la ecuacin de la recta L que pasa por los puntos P1 ( -2 , -3) y P2 ( 4 , 6) SOLUCIN:y - y1 = m ( x - x1 )

3637LA RECTA3) Pendiente y ordenada en el origen: Una Recta con Pendiente m y que corta al eje y ; en el punto ( 0,b ) ; su ecuacin es :

DEMOSTRACIN:y = mx + bLxy( 0 , b)

3738LA RECTA4 ) Ecuacin Simtrica Si una Recta corta a los ejes Coordenados en ( a , 0 ) y ( 0 , b );su Ecuacin es :

5 ) Ecuacin General La Ecuacin General de una Recta esta representado por :

Donde : En la Ecuacin ( 1 ) ; si : A = 0 By + C = 0 ; es una recta Horizontal B = 0 Ax + C = 0 ; es una recta Vertical

Ax + By + C = 0 . . . ( 1 )

( 0,b )( a,0 )xy3839LA RECTADistancia de un punto a una RectaSea la Recta L: Ax + By + C = 0 y Sea el Punto P1( x1, y1 ) ; la distanciad del punto P a la recta L esta dadopor:

LxydP (x1 , y1 )

Distancia entre dos rectas paralelas Dadas las rectas paralelas : L1 : Ax + By +C1 = 0 y L2 : Ax + By +C2 = 0la distancia de L1 a L2 est dado por:

3940LA RECTA LxydP (5 ,4 )

Ejemplo1. Hallar la distancia del punto P(5 , 4) a la recta L : 3x + 4y - 6 = 0 L

4041LA RECTA LxydQ (5 ,6 )

Ejemplo2. Hallar la distancia que existe entre el punto R(4 , -2) del plano y la recta que pasa por los puntos P(-3 , 2) y Q(5 , 6)SOLUCINLP (-3 ,2 )R (4 ,-2 )

Aplicamos la ecuacin punto pendiente de la recta: y - y1 =m(x - x1)

4142LA RECTAPosicin Relativa de 2 RectasSean las rectas : L1: A1x + B1y + C1 = 0 L2: A2x + B2y + C2 = 0* Si L1 // L2 m1 = m2 * Si L1 L2 m1 . m2 = -1 A1A2 + B1B2 = 0

* Si L1 y L2 son coincidentes :

4244SECCIONES CNICASUna Cnica es el conjunto de puntos cuyas distancias dirigidas a un punto fijo ( Foco ) y a una Recta fija ( Directriz ), es una razn constante llamada excentricidad.

Si: e = 1 ; la cnica se llama Parbola. e < 1 ; la cnica se llama Elipse. e > 1 ; la cnica se llama Hiprbola.FPM

44Definiciones:Se denomina seccin cnica a la curva interseccin de un cono con un plano que no pasa por su vrtice.Interseccin de un plano y un cono de dos hojas.Cambiando el ngulo y el lugar de la interseccin, podemos crear un crculo, un elipse, una parbola o una hiprbola; o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con el vrtice: un punto, una lnea o 2 lneas intersectadas. 45

circunferenciaelipseparabolahiperbola46

47

CircunferenciaElipseParbolaHiprbola48Algebraicamente las secciones cnicas se pueden definir en trminos de la ecuacin general de segundo grado.

La circunferencia se define como el lugar geomtrico de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geomtrica.Conjunto de todos los puntos (x,y) que son equidistantes de un punto fijo (h,k). Forma cannica o estndar de la circunferencia.

LA CIRCUNFERENCIA

49

x2 + y2 = r2Con centro en (h, k)Con centro en el origen (0, 0)50

51LA PARBOLA

52

53

54La forma estndar o cannica de la ecuacin de la parbola con vrtice (h,k) y directriz y= k- p es:Y sus elementos son:

Foco (h, k + p)Directriz y = k pEje focal x = hSi p > 0 la parbola se abre hacia arriba.Si p < 0 la parbola se abre hacia abajo.

Eje vertical55La ecuacin de una parbola de vrtice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y - k) = 4p(x - h) eje horizontal Y sus elementos son los siguientes:Foco(h + p, k)Directriz x = h pEje focal y = k Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vrtice.Si p > 0 la parbola se abre hacia la derecha.Si p < 0 la parbola se abre hacia la izquierda.5658LA CIRCUNFERENCIADEEFINICION: La Circunferencia es el lugar geomtrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante.Centro (C) : Punto fijoradio r : distancia constante d(P , C) = r C(h,k)rP(x,y)5859LA CIRCUNFERENCIAELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIACrEDFABLTLN1. Centro de la circunferencia. C 2. Radio de la circunferencia r 3. Dimetro de la circunferencia 4. Cuerda de la circunferencia 5. Recta tangente a la circunferencia. LT 6. Recta normal a la circunferencia. LN

5960LA CIRCUNFERENCIAUna Circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y su radio.Ecuaciones de la Circunferencia:1) Forma Ordinaria: Sea el Centro de la Circunferencia C ( h,k ) y radio r . Si P (x,y) es un punto Por distancia:

2) Forma cannica si el Centro es el origen su ecuacin es :

C(h,k)rP(x,y)0XY

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

0P(x,y)XY6061LA CIRCUNFERENCIAEjemplo 1. Escribir la ecuacin de la circunferencia de centro C(-3 , -4) y radio 5.Solucin.

Ejemplo 2. Los extremos de un dimetro de una circunferencia son los puntos A (2 , 3) y B(-4 , 5). Hallar la ecuacin de la curva. Solucin.C

Las coordenadas del centro :

yxBA6162LA CIRCUNFERENCIAEjemplo 3. Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre el eje x y que pasa por los dos puntos A(1 , 3) y B(4 , 6)

yxBAC(x,0)

La ecuacin de la circunferencia:6263LA CIRCUNFERENCIAObservaciones:

C(h,k)Si la circunferencia es tangente al eje x su ecuacin es :xykxyC(h,k)hSi la circunferencia es tangente al eje y su ecuacin es :

6364LA CIRCUNFERENCIA3) Ecuacin GeneralDesarrollando la ecuacin ordinaria de la circunferencia tenemos:

Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinariaEsta ecuacin tiene la misma forma que:Se llama forma general de la circunferencia.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 06465LA CIRCUNFERENCIAEjemplo 3. Reduciendo las ecuaciones dadas a la forma ordinaria , determinar si representa o no una circunferencia. a. 2x2 + 2y2 - 6x +10y + 7 = 0 b. 4x2 + 4y2 +28x - 8y + 53 = 0 c. 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0Solucin.

- Si D2 + E2 - 4F > 0 ; la Circunferencia es real - Si D2 + E2 - 4F < 0 ; la Circunferencia es imaginaria- Si D2 + E2 - 4F = 0 ; la Circunferencia representa un punto

6566LA CIRCUNFERENCIA

Luego la ecuacin es una circunferencia de centro C (3/2 , -5/2) y radio

6667LA CIRCUNFERENCIA

Luego la ecuacin representa el punto C(-7/2 , 1) Luego la ecuacin representa un conjunto vaco o una circunferencia imaginaria.

6769LA PARBOLAEs el conjunto de puntos que equidistan de una recta fija llamada directriz y de unpunto fijo llamado Foco.

Elementos:Foco: Punto fijo FEje Focal: Recta DD y pasa por el FocoVrtice: Punto VCuerda: Cuerda Focal:Lado Recto:Radio Vector: Directriz : DD

FMPFMRDDVN

Y

H D L x6970LA PARBOLAEcuaciones de la Parbola:1) Si el Vrtice es el Origen y su eje Focal es el eje X F( p,0) ; P( x,y) d(P,F) = d( p,L) Elevando al cuadrado y simplificando se tiene: - Si: p > 0 ; la Parbola se abre a la Derecha.

- Si: p < 0 ; la Parbola se abre a la Izquierda.YXLDYXDDFF(p,0)ooVV

y2 = 4pxP(x,y)D

7071LA PARBOLAYXLDYXDDFF(p,0)ooVV

P(x,y)DELEMENTOS

1. El vrtice V(0,0)

2. El foco F(p,0)

3. Lado Recto LR = | 4 p |

4. Ecuacin de la directriz: x = - pLRLy2 = 4pxR7172LA PARBOLAEcuaciones de la Parbola:2) Si el Vrtice es el Origen y su eje Focal es el eje Y, su ecuacin es:

- Si p > 0; la Parbola se abre hacia

arriba.

- Si p < 0; la Parbola se abre hacia

abajo

YXDDYXDDFFooVV

x2 = 4pyLRLR7273LA PARBOLA ELEMENTOS

1. El vrtice V(0,0)

2. El foco F(0 , p)

3. Lado Recto LR = | 4 p |

4. Ecuacin de la directriz: y = - p YXDDYXDDFFooVV

x2 = 4pyLRLR7374LA PARBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y la longitud del lado recto y graficar. a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0 Solucin: YX3DDFoV

1. Vrtice V(0,0)2. Foco F(0,p) F(0,3)3. Directriz y = - p y = -34. Lado Recto LR= 4p LR = 12 como p> 0 la parbola se abre hacia arriba.-37475LA PARBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y la longitud del lado recto y graficar. a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0 Solucin: YX-2DDFoV

1. Vrtice V(0,0)2. Foco F( p , 0) F( -2, 0)3. Directriz x = - p x = - ( -2) = 24. Lado Recto LR= 4p LR = 8como p< 0 la parbola se abre hacia la izquierda.

27576LA PARBOLAEcuacin Ordinaria de la Parbola:3) Si el Vrtice es V ( h, k ), el eje focal es Paralelo al eje x su ecuacin es: Con Foco: F( h+p , k ) - Si: p > 0 ; Se abre a la Derecha. - Si: p < 0 ; Se abre a la Izquierda. ( y - k )2 = 4p ( x - h )DDDDFVVYYXX(h,k)(h,k)F7677LA PARBOLA ( y - k )2 = 4p ( x - h )DDDDFVVYYXX(h,k)(h,k)FELEMENTOS1. El vrtice V( h , k)2. El foco F(h + p , k)3. Lado Recto LR= 4p 4. Ecuacin de la directriz x = h - p7778LA PARBOLAEcuacin Ordinaria de la Parbola:ii ) Si el eje Focal es Paralelo al eje Y, su ecuacin es: Con Foco: F ( h , k+p ) - Si: p > 0 ; Se abre hacia arriba. - Si: p < 0 ; Se abre hacia abajo. ( x - h )2 = 4p ( y - k )DDDDFVVYYXX(h,k)(h,k)F7879LA PARBOLA ( x - h )2 = 4p ( y - k )DDDDFVVYYXX(h,k)(h,k)FELEMENTOS1. El vrtice V( h , k)2. El foco F( h , k + p)3. Lado Recto LR= 4p 4. Ecuacin de la directriz y = k - p7980LA PARBOLA5. La Ecuacin General de la Parbola esta dado por:x2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje Y.y2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje X.Ejemplo1 . Hallar la ecuacin de la parbola cuyos vrtices y focos son los puntos (-4,3) y (-1 , 3) respectivamente. Hallar tambin las ecuaciones de su directriz , eje focal y LR. Solucin:-43V-1FLa parbola es de la forma:(y - k)2 = 4p(x - h)

Directriz: x = h - p =-4 -3 =-7 x+7=0Eje de la parbola y=k y = 3 , LR = 12 8081LA PARBOLAEjemplo2 . Hallar la ecuacin de la parbola cuyo vrtice y foco son los puntos V (3 , 3 ) y F(3 , 1 ) respectivamente. Hallar tambin las ecuaciones de su directriz , eje focal y LR. Solucin:VoFLa parbola es de la forma:(x - h)2 = 4p(y k )

Directriz: y = k - p = 3 (-2) = 5 y 5 = 0Eje de la parbola x = 3 x 3 = 0 LR = 8 LR8182LA PARBOLAEjemplo 3. Hallar las coordenadas del vrtice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4y2 -48x -20y - 71 =0Solucin:Completando cuadrados para la variable y, se tiene:De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vrtice V( h , k) V( -2 , 5/2)Foco F( h+p , k ) F( -2 + 3 , 5/2) F( 1 , 5/2)Ec. De la directriz: x = h - p x = -2 - 3 x = -5Ec del eje : Y = k y = 5/2 ; LR = 12

8283LA PARBOLAEjemplo 3. Hallar las coordenadas del vrtice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4y2 -48x -20y - 71 =0Solucin:Completando cuadrados para la variable y, se tiene:

De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vrtice V( h , k) V( -2 , 5/2)Foco F( h+p , k ) F( -2 + 3 , 5/2) F( 1 , 5/2)Ec. De la directriz: x = h - p x = -2 - 3 x = -5Ec del eje : Y = k y = 5/2 ; LR = 12

8384LA PARBOLAEjemplo 4. Hallar las coordenadas del vrtice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4x2 + 48y + 12x 159 =0Solucin:Completando cuadrados para la variable x, se tiene:De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3 Vrtice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 )Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 3 ) F( -3/2 , 1/2 ) Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2y 13 = 02Ec del eje : x = h x = -3/2 2x + 3 = 0 ; LR = 12

8485LA PARBOLAEjemplo 4. Hallar las coordenadas del vrtice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4x2 + 48y + 12x 159 =0Solucin:Completando cuadrados para la variable x, se tiene:

De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3 Vrtice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 )Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 3 ) F( -3/2 , 1/2 ) Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2y 13 = 02Ec del eje : x = h x = -3/2 2x + 3 = 0 ; LR = 12

85PROPIEDADES DE LAS ELIPSESFOCOS : F1 Y F2CENTRO: CEJE FOCAL: IEJE NORMAL: IEJE MAYOR : VIV2EJE MENOR: ABLADO RECTO: LRPF2F1V1V2CRLABII

87DEMOSTRACIONPF1 +PF2 = 2axF2F1Cy(x,y)(-c,0)P(0,0)(c,0)ccxF2F1Cy(x,y)P(h,k)ccII8888Algoritmo de la elipse de punto medioEl mtodo de punto medio para elipse se aplica a lo largo del primer cuadrante en dos partes, de acuerdo a una elipse con la pendiente

89

Las regiones 1 y 2 pueden procesarse de varias maneras.Se puede iniciar en la posicin (0,ry) y pasar en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de la trayectoria elptica en el primer cuadrante, al alternar de pasos unitarios en x a pasos unitarios en y cuando la pendiente adquiere un valor menor que -1De modo alternativo, se puede iniciar en (rx,0) y seleccionar puntos en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, alternando de pasos unitarios en y a pasos unitarios en x cuando la pendiente un valor mayor que -1. (con procesadores paralelos se podra calcular en forma simultnea las posiciones de pixel en las dos regiones).90Se define la funcin de una elipse con base en la ecuacin

con (xc,yc)=(0,0) como:91

La derivada de la elipse en el punto x,y se puede obtener Mediante el mtodo de derivada total de una funcin implcita

La pendiente de la curva92Por lo tanto, se mueve hacia fuera de la regin 1 siempre que

En la siguiente figura se muestra el punto medio entre dos puntos candidatos en la posicin de muestreo

En la primera regin

93Si se supone que (xk,yk) se seleccion en el paso anterior, se determina la siguiente posicin a lo largo de la trayectoria de la elipse evaluando el parmetro de decisin (es decir, la funcin elipse, en este punto medio)

94Donde

Dependiendo del signo de p1k

95

Los parmetros de decisin se incrementan de la siguiente forma:

96En la regin I, el valor inicial del parmetro de decisin se obtiene al evaluar la funcin de elipse en la posicin del inicio (0,ry)

Trabajamos en la regin 1 hasta que cumpla la condicin

97En la regin II, se realiza un muestreo en pasos unitarios en la direccin negativa de y y, el punto medio se toma entre pixeles horizontales en cada paso.

98En el caso de esta regin, el parmetro de decisin se evaluar como:

Si P2o>0, la posicin media esta fuera de la frontera de la elipse y se selecciona el pixel en la posicin xkSi P2o 1, para la hiprbola . Podemos entonces concluir que la hiprbola es una cnica cuya excentricidad es mayor que 1.

126F'(0, -c) y F(0, c)La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos

127

Si en vez de considerar el centro de la hiprbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hiprbola correspondiente, se transformarn utilizando las ecuaciones de traslacin

Ecuacin general de la hiprbola

128

Ordenamos:

Damos los valores siguientes a:

Resultado: (formula general de la hiprbola)129

caractersticas130Hiprbola equilteraUna hiprbola es equiltera cuando los semiejes a y b son iguales:

Esto quiere decir: a = b.Si observas las asntotas, vers que se tratan de las bisectrices (dividen un ngulo en dos partes iguales).

Formula:

Podemos simplificark representa un valor real conocido.131

ejemplo132

Ejemplos de aplicacin133El nombre de cartesiano es en honor del filsofo francs Ren Descartes (1596-1650) ya que fue l quien plante de manera formal la idea de resolver problemas geomtricos por medio del lgebra, a partir de un sistema de coordenadas rectangulares.

135En este sistema de coordenadas, la posicin de un punto P en el plano queda determinada mediante una pareja de nmeros reales (x, y) de los cuales el primero, x , representa la distancia del punto P al eje coordenado Y, en tanto que el segundo, y , representa la distancia del punto P al eje X.

La distancia de un punto al eje Y se le llama abscisa del punto, la distancia de un punto al eje X se le llama ordenada del punto. Las abscisas (valores de x ) son positivas en el primero y en el cuarto cuadrante, en tanto que son negativas en el segundo y en el tercer cuadrante.

136Las ordenadas (valores de y ) son positivas en el primero y en el segundo cuadrante, en tanto que son negativas en el tercero y en el cuarto cuadrante. Las abscisas son nulas ( ) x = 0 para todos los puntos contenidos en el eje Y. Las ordenadas son nulas( ) y = 0 para todos los puntos contenidos en el eje X. Para representar puntos de coordenadas conocidas se trazan los ejes de coordenadas y se establece una escala adecuada sobre cada uno de ellos. Dichas escalas pueden ser iguales o distintas.

137Para demostrar esta relacin se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un tringulo rectngulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitgoras.Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d= 5 unidades

139La razn la podemos representar algebraicamente como r = a /b ; donde a representa la parte recorrida en el segmento de recta y b representa las partes que faltan por recorrer como lo muestra la figura

141

142

143

144

1451. La diferencia de las distancias desde un punto de la hiprbola a los focos es 2a d(A, F) d(A, F) = d(A, F) - d(A, F) = d(A, A) = 2aComo A es un punto de la hiprbola, se cumple que:

Por lo tanto, tenemos que k = 2a2. En una hiprbola se cumple siempre que: c2 = a2 + b2El punto B es uno de los puntos de interseccin de la recta perpendicular al eje focal que pasa por O (eje Y ), con la circunferencia de centro A y radio c. A la distancia entre O y B la llamamos b.Como el triangulo OAB es rectngulo, c2 = a2 + b2 1. Iluminacin: La luz que proyecta la lmpara troncocnica sobre una pared paralela a su eje, tiene forma de hiprbola.

2. Reloj solar: La sombra que proyecta una varilla recta clavada perpendicularmente sobre un plano, tiene forma de hiprbola. Por ello los relojes solares tienen esa disposicin. La sombra arrojada cada da es diferente al anterior.