1 Guia de Geometria 9º

7/23/2019 1 Guia de Geometria 9º

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INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIA SANTOS AREA: MATEMATICAS ASIGNATURA GEOMETRIA

ALUMNO:__________________________________________________ No______ GRADO _______

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Las transformaciones geométricas estn !resentes en "i#ersos cam!os "e $a acti#i"a"%&mana as' como tam(ién "entro "e $a nat&ra$e)a* Los artistas s&e$en &ti$i)ar confrec&encia mo#imientos "e "i#ersas fig&ras en e$ !$ano !ara rea$i)ar s&s creacionesart'sticas como $os mosaicos* De ig&a$ forma+ "entro "e $a nat&ra$e)a !o"emos notar como $as a$as e,ten"i"as "e $as mari!osas g&ar"an ciertas re$aciones con $a re!etici-n"e $os mismos co$ores . "ise/os* Estos e0em!$os nom(ra"os anteriormente tienen"irecta re$aci-n con a$g&nas transformaciones isométricas 1&e est&"iaremos ms a"e$ante* La !a$a(raisometr'a significa 2ig&a$ me"i"a3+ !or $o tanto $a transformaci-n isométrica "e &na fig&ra en e$ !$anocorres!on"e a1&e$$os mo#imientos 1&e no a$terar ni $a forma ni e$ tama/o "e $a fig&ra+ sino 1&e s-$o a$teran s&!osici-n & orientaci-n* De ac&er"o a $o anterior+ $&ego "e rea$i)ar c&a$1&ier transformaci-n isométrica+o(ten"remos como res&$ta"o &na fig&ra fina$ geométricamente congr&ente a $a fig&ra inicia$*

Entre $as transformaciones isométricas 1&e est&"iaremos seenc&entran las traslaciones, las rotaciones y las reflexioneso simetrías. C&an"o tra(a0emos con c&a$1&iera "e estas trestransformaciones nos ser 4ti$ ac&"ir a &n sistema "ecoor"ena"as !ara !o"er "escri(ir $a !osici-n "e "iferentes!&ntos 1&e forman n&estras fig&ras a transformar*

Un sistema "e e0es coor"ena"os se forma c&an"o "os $'neasrectas se intersectan* Si $as rectas son !er!en"ic&$ares entre s'+se tiene &n sistema "e e0es coor"ena"os rectang&$ares o+"enomina"o tam(ién+ sistema "e coor"ena"as cartesianas 5en%onor a s& crea"or+ e$ matemtico . fi$-sofo francés RenéDescartes 56789697;<*

EL LANO CARTESIANO.

E$ !$ano cartesiano est forma"o !or "os rectas n&méricas !er!en"ic&$ares+ &na %ori)onta$ . otra #ertica$ 1&e secortan en &n !&nto* La recta %ori)onta$ es $$ama"a e0e "e $as a(scisas o "e $as e1&is 5,<+ . $a #ertica$+ e0e "e $asor"ena"as o "e $as .es+ 5.<= e$ !&nto "on"e se cortan o se intersectan reci(e e$ nom(re "e origen 1&ecorres!on"e a$ ; "e $a recta n&mérica**

Esta($eci"o en &n !$ano &n sistema "e e0es coor"ena"os+ a ca"a!&nto "e$ !$ano $e corres!on"e &n !ar or"ena"o "e n4meros rea$es+&na a(scisa . &na or"ena"a+ 1&e se $$aman coor"ena"as "e$ !&nto*

A $a "erec%a "e $a $etra corres!on"iente "e$ !&nto se escri(en+entre !aréntesis . se!ara"os !or &na coma+ $as coor"ena"as "eéste+ !rimero e$ #a$or "e $a a(scisa . $&ego e$ "e $a or"ena"a* >or e0em!$o+ si C es &n !&nto en e$ !$ano cartesiano+ c&.a a(scisa es ?

. c&.a or"ena"a es @: se tiene C 5?+ @<*

>ara $oca$i)ar !&ntos en e$ !$ano cartesiano se "e(e $$e#ar a ca(oe$ sig&iente !roce"imiento:

6* >ara $oca$i)ar $a a(scisa o #a$or "e ,+ se c&entan $as&ni"a"es corres!on"ientes %acia $a "erec%a si son!ositi#as o %acia $a i)1&ier"a si son negati#as+ a !artir "e$!&nto "e origen+ en este caso e$ cero*

?* Des"e "on"e se $oca$i)a e$ #a$or "e ,+ se c&entan $as &ni"a"es corres!on"ientes %acia arri(a si son!ositi#as o %acia a(a0o+ si son negati#as . "e esta forma se $oca$i)a c&a$1&ier !&nto "a"as s&s coor"ena"as*

NOTA!El ori"en+ coor"ena"o+ "e$ !$ano est re!resenta"o !or O5;+ ;<* Los !&ntos "on"e $a a(scisa es ;+ 1&e"an&(ica"os so(re e$ e0e .= .+ $os !&ntos con or"ena"as ig&a$es a ;+ se enc&entran en e$ e0e ,*

1

ESP: ROSA ROSIRIS DAZA QUIROZ



Ca"a !&nto "e$ !$ano cartesiano tiene &na 4nicaforma "e escrit&ra . se $$ama !ar or"ena"o*

E$ !&nto > 5?+@< es &n !ar or"ena"o*

E$ !&nto 5@+?< es otro !ar or"ena"oE#EMLOS

Do/a L&!e nos %a "ic%o 1&e s& farmacia est"entro "e$ centro "e $a ci&"a"* S&!ongamos 1&e"eseamos sa(er $a &(icaci-n e,acta "e $a farmacia"e Do/a L&!e: Una #e) 1&e .a estamos en e$ centro $e !reg&ntamos a&n !o$ic'a !ara 1&e nos oriente* E$ !o$ic'a nos %a "ic%o 1&ecaminemos 7 c&a"ras %ac'a e$ este . 9 c&a"ras %ac'a e$ norte !ara$$egar a $a farmacia* La canti"a" "e c&a"ras 1&e tenemos 1&e caminar $as !o"emos enten"er como coor"ena"as en &n !$ano cartesiano*

Lo anterior $o !o"emos e,!resar en &n !$ano cartesiano "e $asig&iente manera:

E0ercicios

6< U(ica $os sig&ientes !&ntos so(re e$ !$ano cartesiano:

!&ntos en e$ !rimer c&a"rante: A5?+ B< 5@+ 6< C57+ @< !&ntos en e$ seg&n"o c&a"rante: D5@+ ?< E5B+ @< 56+ 7<

!&ntos en e$ tercer c&a"rante: G5?+ B< F57+ 7< I56+ ?<

!&ntos en e$ c&arto c&a"rante: 5@+ B< H5?+ ?< L5B+ B

?* U(i1&emos $os !&ntos R59+B< . S56;+< en e$ !$ano cartesiano+ a$ &nir$os o(tenemos &na $'nea recta*

$ISTANCIA ENTRE $OS %NTOS

C&an"o $os !&ntos se enc&entran &(ica"os so(re e$ e0e x 5"e $as a(scisas< o en &na recta !ara$e$a a estee0e+ $a "istancia entre $os !&ntos corres!on"e a$ #a$or a(so$&to "e $a "iferencia "e s&s a(scisas &x' ( x)**

E+emlo!

La "istancia entre $os !&ntos 5B+ ;< . 57+ ;< es 7 5B< J 7 KB J 8 &ni"a"es*

C&an"o $os !&ntos se enc&entran &(ica"os so(re e$ e0e y 5"e $as or"ena"as< o en &na recta !ara$e$a a este

e0e+ $a "istancia entre $os !&ntos corres!on"e a$ #a$or a(so$&to "e $a "iferencia "e s&s or"ena"as*

A%ora+ si $os !&ntos se enc&entran en c&a$1&ier $&gar "e$

sistema "e coor"ena"as+ $a "istancia 1&e"a "etermina"a !or $a re$aci-n:

E+emlo!

Ca$c&$a $a "istancia entre $os !&ntos )&-, * . '&/, )*

2


E+ercicios.1. Escri(e $as coor"ena"as "e $os !&ntos

grafica"os en $a sig&iente fig&ra:



E+ercicios.

INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIA SANTOS AREA: MATEMATICAS ASIGNATURA GEOMETRIA

ALUMNO:__________________________________________________ No______ GRADO _______

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

1. TraslacionesLas traslaciones, son aquellas isometrías que permite desplazar en línea recta todos los puntosdel plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección, sentido ydistancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector de traslación”.

Dirección: Horizontal, vertical u oblicua.Sentido: Derecha, izquierda, arriba, abajo.Distancia o Magnitud de desplazamiento: Es la distancia que eiste entre el punto inicial ! laposición final de cualquier punto de la figura que se desplaza.

Eemplo: El punto ! se ha trasladado hasta coincidir con el punto ".Esta traslación se realizó en dirección vertical, el sentido fue hacia abajo ! ladistancia o magnitud !" fue de "cms.

#$servaciones1% #na figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares.&% #na figura jam$s rota% es decir, el $ngulo que forma con la horizontal no varía.'% &o importa el n'mero de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una

'nica.() En el plano cu!o centro es el punto con coordenadas *+,-, toda traslación queda definida por

el vector de traslación T (),y*, er eje coordenado.

/012L134*&E2 E& EL 5L1&* 310/E241&*

3


?* U(icar en &n !$ano cartesiano $os sig&ientes !&ntos: 5?+ @<+ 5?+ @<+ 5?+ @<+ 5?+ @<+ 5;+ 7<+ 57+ ;<+ 5B+ B<+ 5B+ B<Ca$c&$ar $a "istancia entre $os !&ntos 5!ara ca"a e0ercicio rea$i)o &n !$ano Cartesiano "iferente<:

a* A5?+6< . 59+B< (* M56+ @< . N5?+ B< c. > 5?+ 6< . 5@+ ?< 0. C56+ ?< . D5@+ ?<*

@* Ca$c&$ar e$ !er'metro "e$ tring&$o forma"o !or $os !&ntos: A5@+9<+ 59+7< . C56+9<*

B* U(ico en e$ !$ano Cartesiano $os sig&ientes !o$'gonos 5!ara ca"a e0ercicio rea$i)o &n !$ano Cartesiano"iferente<:

a. A 5@+6< 59+6< C 57+B< 1. D 5?+B< E 5B+< 5@+7<



Traslaciones en un sistema de ejes coordenados

En este caso se deben señalar las coordenadas del vector

de traslación T (),y*.

Estas son un par ordenado de números (x , y)donde x representa el desplazamiento horizontal e y el desplazamiento vertical.

.6. Ejemplo: Trasladar el triángulo ABC, según la

traslación T : unidades !erticalmente "acia

a#ajo.A$1,2% & T$;,% ' ()$6,*3%B$3,% & T$;,% ' B)$@,+%C$,2% & T$;,% ' C)$7,*3%

El triángulo A’B’C’ es la imagen del triángulo ABC mediante

la traslaciónT

7. Ejemplo: Trasladar el triángulo- según la traslación ⃗s : /

unidades "ori0ontalmente "acia laderec"a.

$*,1% & $,;% ' )$?,1%-$*3,% & $,;% ' -)$B,%$*1,1% & $,;% ' )$9,1%

El triángulo O’P’Q’ es la imagen del triángulo

OPC mediante la traslación

S

8. 5ara realizar la traslación de unafigura en el plano debemos procederde la siguiente forma. 5or ejemplo, si

queremos trasladar el ∆ 193 cu!os

v:rtices son los puntos 1+6% 8-, 9+(%7- ! 3+8% "-, de acuerdo al vectorT ; +<=%<6- significa que debemos

mover todos los puntos del plano =unidades hacia la izquierda ! 6unidades hacia abajo, tal como lomuestra la siguiente figura>

De acuerdo a la imagen podemos notar que para trasladar por ejemplo los v:rtices del ∆ 193

basta con sumarles a sus pares ordenados el vector traslación, es decir>1+6, 8- ? /+<=,<6- ; @A +<(,7-9+(, 7- ? /+<=,<6- ; 9A+<6, 6-

3+8, "- ? /+<=,<6- ; 3A+<7, =-

Binalmente al realizar la traslación del ∆ 193 respecto al vector T ; +<=%<(- obtenemos el∆ 1A9A3A con coordenadas 1A +<(,7-, 9A +<6, 6- ! 3A +<7, =-.

1 aplicar una traslación T ; +a,b- a un punto cualquiera 5+,!- la imagen que se obtiene

corresponde al punto 5A + ? a, ! ? b-.




0E1L4C104. #bico en el plano 3artesiano los siguientes polígonos +para cada ejercicio realizo un plano3artesiano diferente->6. 1 +(,6- 9 +,6- 3 +",(-7. D +6,<(- E +=,<- B +8,<=-

8. F +<",8- H +<6,- 4 +<6,8-(. G +<6,<6- +<(,<7- L +<",<8- I +<(,<(- 5 +<6,<=-

44. 0ealizo la traslación de los anteriores polígonos seg'n se indica +realizo cada ejercicio en elplano anterior correspondiente->

6. /rasladar el tri$ngulo 193, seg'n la traslación T > 8 unidades hacia abajo

7. /rasladar el tri$ngulo DEB, seg'n la traslación T > 7 unidades hacia la derecha

8. /rasladar el tri$ngulo FH4, seg'n la traslación T > ( unidades hacia la izquierda

(. /rasladar el polígono GLI5, seg'n la traslación T > 8 unidades hacia la izquierda

3- Dibuja en el plano cartesiano el trapecio 193D de coordenadas>

1 +<7,7-% 9 +<6,=-% 3 +8,"-% D +6,-.a- Dibuja la imagen 1A9A3ADA del trapecio 193D por la traslación / +7, <8-$* b- Dibuja la imagen 1AA9AA3AADAA que resulta al aplicar la traslación / +<6, <(- al trapecio 1

A9A3ADA.

+* dibuja el polígono 1+<=,7- % 9+<7,8- % 3+<8,"- % D+<",- ! E+<,(-, cada v:rtice lo deber$s trasladar unidades hacia la derecha ! 8 hacia arriba. /+ , -

7<

9<

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