Guia de Geometria Analitica

U N I V E R S I D A D D E

SAN MARTIN DE PORRES

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

CURSO: CICLO

GEOMETRÍA ANALÍTICA I

TEMA:

PROBLEMAS PROPUESTOS

Elaborado por:

LOS PROFESORES DEL CURSO

Facultad de Ingeniería y Arquitectura Coordinación Académica Anexo: 1117Av. La Fontana 1250 – 2da Etapa. Urb. Santa Patricia E- mail: [email protected] Molina – Telef.: 348-0394 – 348 0395 2011-1Fax: 348 – 0398 Material didáctico para uso exclusivo en clase

1

MATERIAL DE ESTUDIO

ASIGNATURA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

SEMESTRE : 2011-I

CICLO : Primero

ESCUELA : Ingeniería de Sistemas

Ingeniería Industrial

Ingeniería Electrónica

Ing.Civil

Ing.Industrias alimentarias

AREA ( ) : Física – Matemática

SUBAREA : Matemática Básicas

DOCENTES : ……………………

UNIDADES : I Números Reales

II Sistema de coordenadas

Rectángulares

III Línea Recta

IV Funciones

V Secciones Cónicas

2

CONTENIDO

Separata 1 : NUMEROS REALES

Separata 2 : SISTEMA DE COORDENADAS

RECTANGULARES

Separata 3 : LINEA RECTA

Separata 4 : FUNCIONES

Separata 5 : SECCIONES CÓNICAS

3

U n i v e r s i d a d d e S a n M a r t í n d e P o r r e s

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

ASIGNATURA


UNIDAD I

Números reales- Inecuaciones lineales, cuadráticas, polinómicas-Inecuaciones Racionales-

Valor Absoluto

Semanas: 1ª - 2ª

4

NUMEROS REALES ()

Definición.- El sistema de números reales es un conjunto no vacío dotado de dos operaciones internas llamadas adición y multiplicación y de una relación de orden mayor denotada por ‘ >’

Axiomas para la adición.

1. (a) (b) ε R a + b ε R (Clausura)2. a + b = b + a (Conmutativa)3. a + (b + c) = (a + b) + c (Asociativa)4. (a) ε R; 0/a + 0 = a (Elemento Neutro)5. (a) ε R; (-a) / a + (-a) = 0 (Elemento Inverso)

Axiomas para la Multiplicación.

1. (a) (b) ε R (a . b) ε R (Clausura)2. a b = b a (Conmutativa)3. a ( b c ) = ( a b ) c (Asociativa)4. (a) ε R; 1 / a . 1 = a (Elemento Neutro)5. (a) ε R; a-1 / a . a-1 = a . 1 = 1 (Elemento Inverso)

a

Axiomas de orden.

1. Ley de la Tricotomía. (a) (b) ε R Se cumple que: a > b , a < b , a = b

2. Ley Transitiva. Si a < b b < c a < c

3. Ley de la Monotonía. i) Si a < b a + c < b + c (c) ε R ii) Si a < b c > 0 a c < b c iii) Si a < b c < 0 a c > b c

4. Leyes para R+ : Si R+ R a) Si a ε R+ b ε R+ (a + b) (a.b) ε R+

b) Para a ≠ 0: a ε R+ - a ε R+, pero no ambos c) 0 R+

5

1.- A = { x ε R / -3 ≤ x < 4 } B = {x ε R / x ≥ -2} C = { x ε R / x ε [ -5, 1] } Hallar:

i) A – C Respuesta: <1,4>ii) (B C) ’ Respuesta: <- ∞,-5>iii) (A C) ’ – B Respuesta: <- ∞,-3>

2. Se tienen los conjuntos: A = { x ε R / x + 2 ε <-2, 7> } B = { x ε R / x +2 ε <- ∞,2} 3 C = { x ε R / 1 – x ≤ 2 } 2

Hallar: A, B, C Respuesta: <-4,5>, <- ∞,4, -3, ∞>

3. Dado los conjuntos: B = { x ε R / -x +1 ≤ 2x – 3 <3x - 1} 2 C = { x ε R / x -2 ε <-1, 5>}

Hallar: B – C Respuesta: [7, +∞>

INECUACIONES LINEALES, CUADRATICAS, POLINOMICAS

6

‘‘Inecuaciones Lineales’’

Son de la forma:

P(x) : ax + b > 0 : P(x): ax + b 0P(x) : ax + b < 0 : P(x): ax + b 0

‘‘Inecuaciones Cuadráticas’’

Son de la forma: P(x): ax2 + bx + c > 0 : P(x): ax2 + bx + c 0P(x): ax2 + bx + c < 0 : P(x): ax2 + bx + c 0

Se factoriza ax2 + bx + c, con el aspa simple o aplicando la fórmula de Segundo grado.Para la solución de la inecuación usaremos el método de los puntos críticos.Si el discriminante = b2 – 4ac < 0 significa que ax2 + bx + c es una cantidad positiva.

‘‘Inecuaciones Polinómicas’’

Son de la forma:

P(x) a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 ………………….. an > 0 P(x) a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 ………………….. an < 0

P(x) 0 ; P(x) 0

1.- Se factoriza P(x) con cualquier método. Ejemplo: (x – 5) (x + 2) (x – 3) (x + 2) (x + 2) (x – 3) 0 (x – 5) (x + 2)3 (x – 3)2 0

x = 5: punto crítico de multiplicidad simple x = -2: punto crítico de multiplicidad múltiple impar x = 3: punto crítico de multiplicidad múltiple par2.- Los valores críticos hallados se ubican en la recta real. 3.- En el último intervalo de la derecha se escribe el signo positivo, luego se alternan los los signos -, +, -, +, etc. siempre que los valores críticos sean de multiplicidad simple o de multiplicidad impar. Cuando existen valores críticos de multiplicidad múltiple par los signos contiguos al punto crítico son iguales.4.- La solución de la inecuación es: i) La unión de los intervalos positivos si el signo de la desigualdad es > ó ii) La unión de los intervalos negativos si el signo de la desigualdad es< ó

Ejercicios: Grupo # 1:

1. 5x + 8 < 10x – 12 Respuesta: x > 4

7

2.- 5 (4x + 2) – (x – 3) ≤ 4 (4x + 5) Respuesta: < - ∞, -84/101] 2 13

3. 3 (x – 5) 5x – 2 1 (2x + 3) Respuesta: [5/3, +> 2 3 3

4. 11(2x – 3) -3(4x – 5) > 5(4x – 5) -10x Respuesta: R

5. x2 – x – 6 0 Respuesta: [-2, 3] __ __6. x2 + 10x -1 0 Respuesta: <-,-5-26] [-5+26,+ >

7. x2 + 2x + 2 > 0 Respuesta: R

8. 4x2 + 9x +9 < 0 Respuesta:

9. x2 - 4x + 4 ≤ 0 Respuesta: x = 2

10. 2x4 – 7x3 - 11x2 + 22x + 24 < 0 Respuesta: <-3/2,-1> <2,4>

11. (x + 2) (x + 4) (x – 1)2 0 Respuesta: <-,-4 [-2, +>

12. 1 – x4 > 0 Respuesta: <-1,1>

13. x5 – 25x3 + x2 – 25 0 Respuesta: <-,-5] [-1,5]

14. (x – 2 – x2) (x2 + 2x – 8) < 0 Respuesta: <-,-4> <2,+ >

15. x4 < x2 Respuesta: <-1,1> - {0}

16. x3 – 4x2 + x + 6 > 0 Respuesta: <-1,2> <3,+ >

17. x2 +1 < 0 Respuesta: _ _18. (x2 +1) (x2 +9) (2x2 – 1) > 0 Respuesta: <-,-1/2 > <1/2,+ >

19. x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 ≥ 0 Respuesta: - ∞,-2 4,+ ∞ 1

20. (x3 + x2 - 9x - 9)(x -2)3 0 Respuesta: -3, -1 2,3

21. x5 – 6x4 + 11x3 –3x2 -12x + 9 0 Respuesta: <-,-1] [1,3]


1. RPTA.

8

2. RPTA. 3. RPTA. 4. RPTA.

5. RPTA.

6. RPTA. 7. RPTA. 8. RPTA. 9. RPTA. 10. RPTA. 11. RPTA.

12. RPTA.

13. RPTA.


1.- Un fabricante de lámparas vende a $168 cada una. El material que utiliza en cada unidad le cuesta $44. El resto de sus costos de fabricación, incluyendo salarios, alquiler de la sala de exhibición y del local de fabricación, etc. es de $6 000 semanales. ¿Cuántas lámparas deben producirse y venderse semanalmente de modo que el fabricante obtenga utilidades?

2.-Un fabricante hizo un cierto número de anillos de compromiso, vende 60 y le quedan por vender más de la mitad. Después hace 8 anillos más y vende 30. Cuántos anillos hizo en total el fabricante si le quedan por vender menos de 40?

3.-Si en un curso en particular un estudiante tiene una calificación promedio menor que 90 y no inferior a 80 en cuatro exámenes, el estudiante recibirá una calificación B en el curso. Si las calificaciones del alumno en los tres primeros exámenes son 87, 94 y 73 ¿qué calificaciones el cuarto examen hará que el alumno obtenga un B?

4.-Una constructora trata de decidir cuál de dos modelos de grúa comprar. El modelo A cuesta $50 000 y necesita $4 000 anuales por mantenimiento. El modelo B cuesta $40 000 y sus costos anuales de mantenimiento son $5 500. ¿Durante cuántos años debe usarse el modelo B para que sea más económico que el A?

5.-En este ciclo, en el curso de Matemática he obtenido las siguientes calificaciones: 68; 82; 87 y 89, en los primeros cuatro de cinco exámenes en total. Para obtener una media beca en el siguiente ciclo, el promedio de los cinco exámenes debe ser mayor o igual que 80 y menor que 90 ¿en qué rango debe estar mi quinta evaluación para conseguir la media beca?

6.-Una empresa fábrica un número determinado de computadoras; si duplica su producción

9

y vende 60 le quedan más de 26. Pero si bajara su producción a la tercera parte y vendie- ra 5, entonces tendría menos de 10 computadoras ¿Cuántas computadoras se fabricaron?

INECUACIONES RACIONALES

Son de la forma:

> 0 ; 0

10

< 0 ; 0

Donde Q(x) 0

Teoremas

Si > 0 ab > 0 ; Si 0 a b 0

Si < 0 ab < 0 ; Si 0 a b 0


1. Respuesta: < -1, 3]

2. Respuesta: < - , 8 >

3. Respuesta: < - , - 4 <-2, 2/3]

4. Respuesta: [-1,1] <2, 4>

5. Respuesta: < - , -1> <0, 1>

6. Respuesta: < - , -2] [-3/2, 5>

7. (4x + 2) 2 (x 2 + 2) 3 (2x - 8) 9 0 Respuesta: -5/2,4 - -1,-1/2 (x +1)2 (2x + 5)13

8. RPTA:-,-2 1,3 > [4,+ >

9. RPTA.

10. RPTA.

11. RPTA.

12. RPTA.

11

13. RPTA.

14. RPTA.

15. RPTA.

16.

RPTA.

VALOR ABSOLUTO: ECUACIONES, INECUACIONES

Definición:

Teoremas:

1. 0

2. = 0 a = 0

3.

4. =

5. =

12

6.

7.

8.

9. = b b 0 ( a = b a = – b)

10. = a = b a = –b

11.

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

1. b b 0 (–b a b )

< b b 0 (–b < a < b )

2. b a b a – b

> b a > b a < – b

3.


1. | 3x – 1| = 2x + 5 Respuesta: x = – 4/5, x = 6

2. |x–3|2 – 3|x-3| –18 = 0 Respuesta: x = –3, x = 9

3. | |x-5| - 1|2 – 7| |5–x| -1 | – 8 = 0 Respuesta: x = – 4, x = 14

4. (|x+3| + |x–5|) (|x+3| – |5–x|) = 2x Respuesta: x = 8/7

5. | 3x/4 – 1| = –5x –1 Respuesta: x = –8/17

6. 2| x | + 8 = x2 Respuesta: x = – 4, x = 4

7. 4x + 8 - x = 6 - 2x + 4 + 3x + 6 Respuesta: x = -3, x = 0

8. | 5x/2 + 3 | 3x – 1/2 Respuesta: [7,+ >

9. | 7 – 3x | > 3x – 1/2 Respuesta: <– , 5/4 >

10. | x2 – 2x –5 | | x2 + 4x +1 | Respuesta: <– , –2] [–1 ,1]

11. Respuesta:

12. x2 – 9 - 2x + 9 Respuesta: -1 - , 0 2, -1 +

13. x + 5 ≤ 2x Respuesta: 5, + ∞

13

Para ambos casos se eleva al cuadrado ambos miembros y se resuelve por diferencia de cuadrados.

x

14. (2x – 5) /(x – 6) 3 Respuesta: -∞,23/5 13, +∞

15. 3 x + x – 2 ≤ 6 Respuesta: -1, 2

16. | x2 + 2x –1 | ≤ | x2 - x + 2 | Respuesta: < - ∞, 1]

17. x 2 – 5 < 4 Respuesta: -5,-1 1, 5

18. 1__ > 2 - x - 2 Respuesta: R- 1, 2,3 x - 2


1. x 2 – 5x – 19 = 5 RPTA. C.S =

2. 1 – x 2 = 1 - x 2 RPTA. CS = -1,1

3. RPTA. C.S =

4. 5x – 3 = 3x + 5 RPTA. C.S=

5. x + 3 - 4 2 - 6 = 5 x + 3 - 4 RPTA. C.S=

6. RPTA.

7. 4 x + 2 2x + 10 RPTA. 8. x ² - 3x – 3 x ² + 7x – 15 RPTA.

9. RPTA.

10. RPTA.

11. RPTA.

12. RPTA.

13. RPTA.

14

Universidad de San Martín de Porres


ASIGNATURA


UNIDAD II

Sistema de Coordenadas rectangulares – Lugar Geométrico

Semanas: 3° - 4° - 5°

15

SISTEMA DE COORDENADAS

1. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:i)ii)iii)

Respuesta: i) F ii) V iii) V

2. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:i) Mediana: Es un segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del

lado opuesto.ii) Altura: Es un segmento que une un vértice de un triángulo con el lado opuesto en

forma perpendicular.iii)Mediatriz: Es aquella recta perpendicular a un lado triángulo en su punto medio.

Respuesta: i) V ii) V iii) V

=mediana =altura L: mediatriz de

3. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:i) Bisectriz es un segmento que biseca a un ángulo interior o exteriorii) Donde se cortan las tres medianas se llama baricentro, centro de gravedad o centroide.iii) Donde se cortan las tres alturas se llama ortocentro.iv) Donde se cortan las tres mediatrices se llama circuncentro.v) Donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama incentro.

Respuesta: i) V ii) V iii) V iv) V v) V

= bisectriz interior del ángulo “B” = bisectriz del ángulo exterior de “B”

16

4. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:i) Si es altura:

, es mediana, mediatriz y bisectriz ( )

ii) Trapecio: es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos lados no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases.

iii) En todo paralelogramo los lados opuestos son paralelos y de igual longitud.iv) En todo paralelogramo se cumple que donde se cortan las diagonales es punto

medio de cada diagonal.

M: punto medio de M: punto medio de

Respuesta: i) V ii) V iii) V iv) V

5. Se tiene triángulo isósceles ABC: A(a, b), B (-1,2), C (1,6). El lado desigual del triángulo es y el punto A esta en la recta L: x – y – 3 = 0. Hallar el punto A si está en el primer cuadrante.

Respuesta: A (14/3, 5/3)

6. Los extremos de la cuerda de una circunferencia, de radio 5, son A (2,6) y B (1,-1). Determinar las coordenadas del centro de la circunferencia, si este centro está en el

segundo cuadrante.Respuesta: C (-2,3)

7. Se tiene el triángulo ABC: A (1, –2), B(a, b), C (-1,4). El vértice B esta en la recta L: x – y + 1 =0 y la proyección de sobre el eje Y es igual a –5. Hallar:i) El punto B, si esta en el primer cuadranteii) La proyección de B sobre los ejes.

Respuesta: i) B (2,3) ii) Sobre el eje ‘x’ = Z(2,0) Sobre el eje ‘y’ = Q (0,3)

17

M

40. Se tiene un triángulo ABC: A (0,-3), B(a, b), C (4,4).La recta L: x – y + 5 = 0 pasa por el punto ‘B’ y el área del triángulo ABC es 22.Si el punto ‘B’ esta en el segundo cuadrante; hallar la longitud de la mediana trazada desde ‘C’. Respuesta:

22

5. En la siguiente figura hallar el L.G. que describe el punto ‘E’

23

6. En la siguiente figura hallar L.G. que describe el punto ‘C’. Se sabe que Tg Φ + m = 12 y que el área del triángulo ABC es ‘m’

7. En la siguiente figura el punto ‘B’ está en la curva x2 + y2 – 12y + 27 = 0

Hallar el L.G. que describe el punto Z, tal que

Se sabe que ‘A’ es la proyección de ‘B’ sobre el eje ‘x’ y ‘N’ es la proyección de ‘B’ sobre el eje ‘y’

8. En la siguiente figura hallar el L.G. que describe el punto C.

9. En la siguiente figura hallar el L.G. que describe el punto ‘E’ que está en la recta L1

24

y

C

E

A(4,0)0B(-40)x

Respuesta: x2 – y2 – 16 = 0

y

C

A(4,0)0B(-4,0)x

Respuesta: 4xy – 17y – 12x + 48 = 0Φ

y

B

x0

Respuesta: 9x2 + 36y2 – 144y + 108 = 0

y

C

B (5,0)0

x

Respuesta: 3x2 y – 24xy + 45y – y3 = 0

2a a

A (2,0)

Se sabe que:

A

0

10. Se tiene un triángulo ABC: A(-6,1) , B(0,-3) , C(x,y). Por el vértice ‘B’ se traza una mediana de longitud igual a 4. Hallar el L.G. que describe el punto ‘C’.

Respuesta: x2 + y2 – 12x + 14y + 21 = 0

11. Se tiene un segmento de 6 unidades de longitud, su extremo ‘A’ está en el eje ‘x’ y su extremo ‘B’ está en el eje ‘y’. Hallar el L.G. que describe el punto ‘E’, si se sabe que el punto ‘E’ divide al segmento en la razón –2.

Respuesta: x2 + 4y2 – 144 = 0

12. Se tiene un segmento : P(x, y), A (4,4); otro segmento : P(x, y); B (2,2) La pendiente de es menor en una unidad que la pendiente de . Hallar el L.G. que describe el punto ‘P’.

Respuesta: x2 + 2y – 8x + 8 = 0

13. Sea ‘E’ un punto de la curva x2 + 8y – 64 = 0 y sean ‘A’ y ‘B’ las proyecciones del punto ‘E’ sobre los ejes ‘x’ e ‘y’ respectivamente. Hallar el L.G. que describe el baricentro del triángulo OAB.

Respuesta: 9x2 + 24y - 64 = 0

25

x

y L

X = 3

L,

Respuesta:x4 + y4 + 2x2y2 – x2 =0

y

E

0X

14. Sean los puntos A(1,2), B(-1,2). Un punto P se mueve de manera que m1 + m2 = 3, donde m1 es la pendiente del segmento y m2 la pendiente del segmento .Hallar la ecuación del L.G. descrito por ‘P’

Respuesta: 3x2 – 2xy + 5x – 4 = 0

15. Hallar la ecuación del L.G. del punto ‘P’ que divide al segmento en la razón =

. El segmento tiene su extremo ‘A’ en el semieje positivo de las ‘x’ y el extremo

‘B’ está en el semieje positivo de las ‘y’. El segmento forma con los ejes un triángulo de área 1.5.

Respuesta: 49xy – 36 = 0

16. En la siguiente figura hallar el lugar geométrico que describe el punto “E”. Se sabe que el área del trapecio AOBE es 12.

17. En la siguiente figura hallar el lugar geométrico que describe el punto “A”

C (0,4)

18. Los vértices de un triángulo son (0,0), A (a,0), B (0,b). El punto “A” está en la parte positiva del eje “x”, “B” está en la parte negativa del eje “y”.

Si se sabe que el área del triángulo OAB es 18; hallar el lugar geométrico que describe el baricentro del triángulo OAB.

Respuesta: xy + 4 = 0

26

B

x

C (0,6)

Ly

E

A(n,0)0

Respuesta: xy2 – 12xy + 24y – 144 =0

y

A

x 0

B(n,0)

45º

Respuesta: y2 – 4y + xy = 0


FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ASIGNATURA


UNIDAD III

Línea Recta

Semanas: 5ª- 6ª

LÍNEA RECTA

27

Definición.- Es un conjunto de puntos, de tal manera que si tomamos dos puntos diferentes cualesquiera la pendiente siempre será la misma.

- Si una recta es vertical su ecuación es: x = # y L

0 3 x x = 3

- Si una recta es horizontal su ecuación es: y = # y

L 4 y = 4

0 x

Nota: - La ecuación del eje ’x’ es: y = 0 - La ecuación del eje ‘y’ es: x = 0

ECUACIONES DE UNA RECTA

1.- Forma punto pendiente.-

Una recta L: Datos - A(x1, y1) L: - m Demostración: Vamos a agregar un punto escrito en forma general Y E(x, y), entonces tenemos 3 datos: A(x1, y1), E(x,y), ‘m’

L m = y –y1

E(x,y) x –x1

A(x1,y1) m(x –x1 ) = y –y1 L.q.q.d 0 x

2.- Recta que pasa por dos puntos Una recta L : Datos : - A(x1,y1) L : y –y1 = y1 – y2 (x- x1) - B(x2,y2) x1 – x2 L: y- y2 = y1 – y2 (x - x2) x1 –x2

Demostración: Como tenemos 2 puntos, podemos hallar la Y pendiente; entonces tenemos 3 datos:

28

y - y1 = m (x - x1)

L A(x1,y1), B(x2,y2), m = y1 –y2

B(x2,y2) x1 –x2 Como con 2 datos es suficiente tomaremos el A(x1,y1) punto ‘B’ y la pendiente; entonces podemos usar la primera fórmula: o x y – y2 = y1 – y2 (x – x2) L.q.q.d

x1 – x2

3.- Ecuación de una recta conociendo su pendiente y su ordenada al origen Una recta L : Datos : - pendiente : m L : y = mx + b - Ordenada al origen = b

Demostración.- Como tenemos un punto y la pendiente, podemos Y L usar la primera fórmula: y –b = m (x –0)

A (0, b) y –b = mx y = mx + b L .q .q. d 0 X

4.- Forma simétrica Una recta L: Datos: -Corta al eje x: N (a, o) L: x + y = 1 -Corta al eje y: M (0, b) a b Demostración.- Como tenemos 2 puntos podemos hallar la pendiente; y entonces tenemos 3 datos: N(a,0),M(0,b), m = - b a

L Entonces podemos usar cualquiera de las tres M (0, b) formulas anteriores, aquí usaremos la tercera: y = mx + b, reemplazando: y = - b x + b a 0 N(a,0) x ay = - bx + ab bx + ay – ab = 0 Dividiremos entre ab: bx + ay = ab ab ab ab x + y = 1 L.q.q.d a b

5.- Forma general La ecuación de cualquier recta se puede escribir en forma lineal: L: Ax + By + C = 0

29

Analizaremos los coeficientes A, B, C: i) A 0, B 0, C 0: L: Ax + By + C = 0 y = mx + b By = - Ax – C By = - A x – C B B B

y = - Ax - C B B

m = -A , b = - C B B

ii) A 0, B 0, C = 0: L: Ax + By = 0 y = mx + b By = - Ax y = - Ax + 0 Y B

m = -A , b = 0 B o

INTERSECCIÓN DE 2 RECTAS

Si dos rectas tienen un punto en común ‘’E’’ (se cortan) y se quiere hallar este punto ‘’E’’,se tendrá que intersectar las 2 rectas.Por ejemplo:

L1: 2x + y – 3 = 0 L2: x – y + 6 = 0

E E: L1 L2: 2x + y – 3 = 0-------- (1) x – y + 6 = 0 -------- (2) 3x + 3 = 0 x = - 1 En (2): -1 – y + 6 = 0 y = 5 E (-1,5)

RECTAS COINCIDENTES

30

X

L

Dos rectas son coincidentes si tienen por lo menos un punto en común y tienen la mismapendiente.Es decir se trata de la misma recta o están superpuestas.

Vamos a suponer que L1 = L2 (es decir son coincidentes):L1: A1x + B1y + C1 = 0 L2: A2 x + B2y + C2 = 0

Siempre se cumplirá: A1 = B1 = C1 A2 B2 C2

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

L: Ax + By + C = 0

d

E(x1, y1) d = Ax 1 + By1 + C

Si en un problema podemos usar esta fórmula y la pregunta es hallar la ecuación de rectas; antes deberemos usar una de las siguientes ecuaciones:- Si se conoce un punto de la recta, cuya ecuación se quiere hallar → y- y1= m(x –x1)- Si se conoce la pendiente de la recta, cuya ecuación se quiere hallar → y = mx + b

LINEA RECTA

__ __

31

1. Se tiene el segmento AB: A (7,4), B (-1, -2). Hallar la ecuación de la mediatriz de AB.

Respuesta: 4x + 3y – 15 = 0

2. Los vértices de un triángulo son A (4,3), B (0,5), C (-4,1). Hallar las ecuaciones de

medianas, mediatrices y de las alturas del Triángulo.

Respuesta: Medianas: y = 3 , x = 0 , x – 2y + 6 = 0

Mediatrices: x + y – 1 = 0, 4x + y – 2 = 0 , 2x – y = 0

Alturas : x + y – 7 = 0 , 4x + y – 5 = 0 , 2x – y + 9 = 0

3. Hallar el punto Q simétrico al punto P(8.-9) con respecto a la recta L : x + 2y + 5 = 0

Respuesta: Q (10, -5)

4. Dado el triángulo ABC: A (-4, 3), B(5, -1) , C(7,5). Hallar las ecuaciones de las rectas

que pasan por en vértice ‘C’ y trisecan al lado opuesto AB.

Respuesta: 5x – 12y + 25 = 0, 14x – 15y + 7 = 0

5. Hallar la ecuación de la recta L cuya ordenada y abscisa al origen suman cero, y que

pasa por el punto A (2,4).

Respuesta: L: x – y + 2 = 0

6. Una recta L pasa por el punto A(8/3,4) y no pasa por el tercer cuadrante. La recta L

forma con los ejes coordenados un triángulo de área 24. Hallar la ecuación de L.

Respuesta: 3x + y – 12 = 0, 3x + 4y – 24 = 0

7. Se tiene una recta L1: 4x – 3y – 12 =0 que es perpendicular a L2. La recta L2 no pasa

por el primer cuadrante, además L2 forma con los ejes un triángulo de área 27/2. Hallar

la ecuación de L2.

32

y

x

A(-8,12)

B(-15,5)

L

D

C

0

E(5,-1,5)

B(2,2)

0

CA

y

x

Respuesta: L2: 3x + 4y + 18 = 0

8. En la siguiente figura ABCD es un rectángulo. Si L: (n + m)x + 2ny + 90 = 0; Hallar:

i) La ecuación L

ii) El valor de 2n + 3m

Respuesta:

i) L : 6x – y – 45 = 0

ii) 2n + 3m = – 37

9. En la siguiente figura se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC.

Si la ecuación de AC: x + 7y + 9 = 0, BC: 4ax + (b+3)y - 28 = 0;hallar:

i) Las ecuaciones de los catetos

ii) El valor de a + b

10. La recta L: x – 2y + 4 = 0 corta el eje ‘x’ y al eje ‘y’ en los puntos ‘B’ y ‘A’ respectiva-

mente. La recta L1: y = mx corta a L en el punto “E”. Hallar la ecuación de L1, si “E”

divide a AB en una razón igual a 2.

Respuesta: L1: x + 4y = 0

11. Se tienen las rectas L1: ax – 2y – 1 = 0, L2: 6x – 4y – b = 0. Establecer si son

verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

33

Respuesta:

i) AB : 3x – 4y + 2 = 0BC : 4x + 3y – 14 = 0

ii) a + b = 5

i) Si L1 y L2 se cortan en un punto: a 3

ii) Si L1 // L2: a = –3

iii) Si L1 L2 : a = 3 , b = 2

Respuesta: i) V ii) F iii) V

12. Si tiene la recta L : (a + 2)x + (a – 1)y – 21 = 0

i) Si la pendiente de L no está definida; hallar la ecuación de L

ii) Si la recta L es horizontal; hallar la ecuación de L

iii) Si la abscisa al origen de L es 3; hallar el valor de ‘a’

iv) Si la ordenada al origen de L es 7; hallar el valor de ‘a’

Respuesta: i) x = 7 ii) y = –7 iii) a = 5 iv) a = 4

13. Una recta L no pasa por el tercer cuadrante y pasa por el punto A(3,2). La recta L

forma con los ejes un triángulo cuya área es 16. Hallar la ecuación de la recta L si se

sabe que la ordenada al origen de L es mayor que cinco.

Respuesta: L: 2x + y – 8 = 0

14. En la siguiente figura hallar el área del triángulo ABC. Se sabe que: L1: 2x – y + 1 = 0,

L2: 2x + y – 5 = 0, L3: 2x – 5y – 11 = 0

15. En la siguiente figura se tiene un triángulo ABC.Dos de las alturas del triángulo son

34

Respuesta: Área = 12

A

N

BZ C

M

x0

L3

L1

L2

y

CN: x + 5y – 34 = 0 y BM: 5x – 3y – 18 = 0. Uno de los vértices del triángulo es (4,4);

hallar el producto de las pendientes de los lados del triángulo. Se sabe que el ortocentro del

triángulo es E (48 / 7, 38 / 7).

16 .En la siguiente figura L1 es bisectriz del ángulo formado por L2 y L3. Si L1: x – y – 2 = 0 y

L2: x – 2y – 1 = 0; hallar la ecuación de L3 en su forma general.

17. La recta L: Ax + By + B + 1 = 0 forma con el eje ‘x’ y con L1: x = 3 un triángulo. Si la

recta L pasa por los puntos (0,0) y E (1,2); hallar el área del triángulo y el valor de 3A + B.

Respuesta: Área = 9 , 3A+ B = 5

18. Se tiene un ángulo APB, donde A (3,-3), P (1,-1), B (8,0). Hallar la ecuación de la bisectriz

del ángulo APB.

Respuesta: L : x + 3y + 2 = 0

19. Se tiene las rectas L1: 3x – y + 6 = 0, L2: (a – 2)x + (b + 3)y – 10 = 0 , L3: (a – 4)x +

(2b – 6) y – 7 = 0.

35

Respuesta: 6

L3: 2x – y – 5 = 0 F.G.

Respuesta:

x

y

L1L2

LB(0,6)

C

E

A(8,0)

Una recta L es perpendicular a L1 y pasa por el punto M(a, b). Se sabe que L2 es horizontal

y L3 es vertical. Hallar la ecuación de L.

Respuesta: L: x + 3y – 11 = 0

20. En la siguiente figura hallar la ecuación de L. Si L1: x – y – 5 = 0, L2: x + y – 11 = 0,

BC = 6

21. Se tiene una recta L que no pasa por el segundo cuadrante .La recta L pasa por el punto

M (4,2) y la distancia perpendicular de esta recta al punto E (-1,1) es 2 . Hallar la

ecuación de L.

Respuesta: L: x – y - 2 = 0

22. En la siguiente figura se tiene un cuadrado de área 64 .Hallar la ecuación de AB, si el

ángulo de inclinación de OC es 370.

y

Respuesta: AB: 3x – 4y + 40 = 0

A

C

0 x


36

Respuesta: L: 3x – 16 y + 24 = 0

B


ASIGNATURA


UNIDAD IV

FUNCIONES

Semanas: 6ª - 11ª


1. Dada f(x) = 2x2 + 5x - 3 .Hallar: i) f (-2) ii) f(a) iii) f(x + h)

37

Respuesta: i) - 5 ii) 2a2 + 5a - 3 iii) 2(x + h)2 +5(x +h) - 3

2. a) Si f(x -5) = x2 + 1; hallar f(x) y f (-l) b) Si f es una función real de variable real, tal que f(ax + 2) = a2 x2 +5ax + 6; hallar: f(x + h) – f(x - h) h

Respuesta: a) f(x) = x2 + 10x + 26 ; f (-1) = 17 b) 4x + 2

3. Hallar el dominio y rango de f(x) = x2 - 6x + 8

Respuesta: dominio: R; rango: [- 1, + >

4. Hallar el dominio y rango de la función y =

Respuesta: dominio: [-1,2 ] ; rango: [ 0, 3/2 ]

5. Hallar el dominio y rango de la función: f(x) =

Respuesta: dominio: R - {-2, -4} ; rango: R - { -1, -3 }

6. Graficar: i) y = x2 ii) y = x3 iii) y = x4 iv) y = x5 v) y = x6

7. Grafícar: i) f(x) = x2 - 2 ii) f(x) = x2 + 3 iii) f(x) = x3 + 2iv) y = x3 - 4

8. Graficar: i) f(x)= (x + 2)3 ii) f(x - 2)3 iii) y= (x - 3)3

iv) f(x) = (x + l)4 v) y = (x - 2)4

9. Graficar: i) f(x) = (x - 4)3 - 2 ii) f(x) =(x + 3)2 + 4

10. Graficar en una misma figura: f(x) = x2 , f(x) = 2x2 , f(x) = 4x2.Observar el resultado y llegar a una conclusión.

11. Graficar en una misma figura: f(x) = x2 , f(x) = x2 , f(x) = x2

Observar el resultado y llegar a una conclusión.12. Grafícar: i) f(x) = - x2 ii) f(x) = - x3 iii) f(x) = - (x +3)2 + 2

iv) f(x) = – (x - 2)2 - 3

38

13. Haga ud. un bosquejo de la función polinómica: i) f(x) = x3 – 3x + 2 ii) f(x) = 3x2 - x3 iii) f(x) = 2x4 - 11x3 + 11x2 + 15x - 9iv) f(x) = 3x3- 2x2 - 7x - 2

14. Graficar las siguientes funciones y hallar su dominio y rango:

i) y= ii) y = iii) y = + 3 iv) y= - 3

v) y = + 4 vi) y = - vii) y =

Respuesta: i) Do: [0,+ > Ra:[o,+ >ii) Do: [3,+ > Ra:[o,+ >iii) Do: [2,+ > Ra: [3,+ >iv) Do: [-2,+ > Ra: [-3,+ >v) Do: < - , 4 ] Ra: [4,+ >vi) Do: [2,+oo > Ra:<- ,0 ]vii) Do: <- ,-l] [4,+ > , Ra:[0,+ >

15. Graficar las siguientes funciones y hallar su dominio y rango:i) y = | x | ii) y = | x + 2 | - 3 iii) y = x -3 | + 2 iv) y = | x | + x - 1 v) y= | x + 2 - x - 1 vi) y = x

Respuesta: i) Do: R Ra: [ 0,+ oo >ii) Do: R Ra: [ -3, + >iii) Do: R Ra: [2, + >iv) Do:R Ra: [l,+ >v) Do: R Ra: [-3,3]

vi) Do: R Ra: 0,+ ∞

16. Graficar las siguientes funciones y hallar su dominio y rango:i) f(x) = Sgn(x) ii) f(x) = Sgn (x + 3)iii) f(x) = Sgn( | x-3 | -1 ) iv) f(x) = Sgn( x2 -3 -1 )

v) f(x) = Sgn(x -1/ x + 2)Respuesta: i) Do: R Ra: {-1, 0,1}.

ii) Do: R Ra: {-1,0,1}iii) Do: R Ra: {-1,0,1 }iv) Do: R Ra: {-1, 0,1}

v) Do: R - -2 Ra: -1, 0,117. Graficar las siguientes funciones y hallar su dominio y rango:

i) y = || x || para x [ -2 , 3 >ii) f(x) = || 1 -2x ||

39

iii) f(x) = || || iv) y = (x -1)/2 Respuesta: i) Do: [-2 , 3 > Ra: { -2,-1, 0,1,2}

ii) Do:R Ra: Ziii) Do: [0,+ > Ra: Z+ {0}

iv) Do: R Ra: Z

18. Discutir y graficar las siguientes funciones racionales:i) f(x) = 3/x2

ii) f(x) =

iii) f(x) = 4x / x2 - 25iv) y = 3x2 / 2x2 - 32v) y = x2 - l6/x - 3vi) y = 2x2 / x2 - 4vii) y = 2x2 - 9/x2 - 4viii) y = 1/x2 – x - 2

19. Graficar:

i) y = x2 – x + 4

ii) f(x) = | x2 - 9 20. Dadas las siguientes funciones, averiguar si son funciones inyectivas:

i) f(x) = x + 8 ii) f(x) = e x+2

21. Demostrar que la función f(x ) = x2 – 1 , x < - , 0] es inyectiva.

22. Demostrar que la función f es inyectiva:

f(x) =

23. Si f(x) = 5x / 2x + 3, hallar f -1

Respuesta: f -1 = -3x / 2x - 5

24. Sea la función f(x) = 2x + 3 , x [ -2,1 > .Hallar f -1, si existe, luego grafique f y f –1

25. Dada la función f(x) = x2 - 4, x -,-2; hallar f -1 si existe .Graficar f(x) y f -1(x).

40

26. Sea la función f(x) = x2 , x 0,+.Hallar f -1(x) si existe, luego grafique f y f -1.

27. Se tiene:

f(x)= g(x) =

Hallar: i) f + g ii) f/g

Respuesta: í) f + g =

ií) f/g =

28. Se tienen las funciones:

f(x) = g(x) =

Respuesta: i) f–g = =

ii) f.g =

29 Se tienen las funciones: f(x) = , g(x) = 2x - 3. Hallar: i) f o g con su respectivo

dominio ii) (fog)(2)

Respuesta: i) fog = , si x 3/2,+ ii) 1

30. Se tienen las funciones. f(x) = 5 / x -2, g(x) = 2x + 1 .Hallar:i) f o g , con su dominio ii) ( f o g )(3)

Respuesta: i) fog = 5/ 2x -1 ,si x - 1/2 ii) 1

31. Hallar f o g para: f(x) = 2x + 6, x [ 0,8]g(x) = x2 -1, x [ -2 , 2 >

Respuesta: f o g = 2x2 + 4, si x [-2,-1] [1, 2 >

32. Hallar f o g para: f(x) = 3x -2, x 0,+g(x) = x2 , x -3 , 5 >

Respuesta: f o g = 3x2 -2, si x -3,5 - 0

41

33. Hallar fog para: f(x) = 3x + 2, si x-,3 2x, si x 0 g(x) = -3x, si x 1 6x + 2, si x -,0 Respuesta: fog = -9x + 2, si x 1,+

34. Sean f(x) = x2 -1 y g(x) = 2x – a, con ‘a ‘ reales. Hallar la suma de los valores de ‘a’ para los que se cumple: (fog) (1/2) = (gof) (a +1).

Respuesta: Suma = - 5

35. Si f(x-2) = 2____ , calcular el valor de ‘x’ de modo que: (fof)(2/x) = 5 x – 3

Respuesta: x = 14/17

36. Graficar la función siguiente: x – 1, x [- 4,-1> f(x) = 0, x < 0, 2 > 2x – 1, x < 2, 4] 37. - x , si x 0 Dada la función f(x) = x2 , si 0≤x ≤ 1 1, si x 1

Se pide: Trazar la gráfica de f(x)

38. Graficar la función: x2 - 4, si x 2 f(x) = 4 – x, si 2 x 4 x – 8, si x 4

39. Sean f(x) = 2x – 5 y g(x) = 3x + 2 dos funciones reales. Si h(x) = f -1o g, si se cumple que h (2a) = h(a + 2); hallar el valor de ‘a’. Respuesta: a = 2

40. Si f(x) = x2, hallar g(x) si se cumple que (fog)(x)= 4x2 -12x + 9

Respuesta: g(x) = 2x – 3 g(x) = - 2x + 3

41. Se tienen las funciones f(x) = x – 6, g(x) = x – 8, h(x) = 2x2 + x.

Hallar (fogoh)(2). Respuesta: - 4

42


1. Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función señalar el dominio y rango de la función:

Rpta.:

2. Sean A = {-1, 1, 2, 3} y B = {-1, 2, 5, 7}, y sean las relaciones. R = {(-1, -1), (1, -1), (2,2), (3,7)} S = {(-1,7), (1, -1), (2, -1), (2, 2), (3, 5)}

a. Determine si cada una de estas relaciones es una función o no y porque.Rpta.: R es una función y S no, porque para x=1 existen f(2)=-1 y f(2)=2

b. Si es una función determine su imagen.

Rpta.:

3. Determinar cuál de las siguientes ecuaciones definen una función con variable independiente . En los casos que su respuesta sea afirmativa encontrar el dominio de la función.

a. Rpta.: Si es función, Dominio = R b. Rpta.: No es función

4. Encontrar el rango de las siguientes funciones:

a. Rpta.: R - 1

b. Rpta.: R

c. Rpta.:

5. Dadas las funciones:

. Hallar

Rpta.:

6. Sea

43

a. Hallar el dominio de Rpta.:

b. Hallar si existen.

Rpta.:

7. Dadas las funciones tal que; y

, hallar si existe: Rpta.: -1

8. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a. Rpta.:

b. Rpta.:

c. Rpta.:

d. Rpta.:

9. Para las funciones indicadas , encontrar las funciones .

a. Rpta.:

b. Rpta.:

c. Rpta.:

d. Rpta.: 9-x

e. Rpta.:

f. Rpta.:

10. Sean , y . Hallar y graficar indicando su rango.

Rpta.:

44

11. Sean las funciones definidas en por las ecuaciones y . Hallar la suma de todos los valores de que satisfacen:

. Rpta.:

12. Si f es una función afín (lineal) de pendiente –1/3 y tal que f(-1) = 3. Halla su ordenada en el origen. Rpta.: b = 8/3

13. Hallar el dominio y el recorrido de la función f(x) = x2 -3x +2. Rpta.: D(f) = , Im(f) = [-1/4,+)

14. El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base.

Rpta.:

15. Haciendo uso de la gráfica de a. ¿Cuáles son los valores de , , y ?

Rpta.: ; ; ; b. ¿Cuál es el dominio y el rango de f ?

Rpta.:

c. ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?Rpta.:

45

Universidad de San Martín de Porres Facultad de Ingeniería y Arquitectura

ASIGNATURA


UNIDAD V

CÓNICAS – COORDENADAS POLARES

46

Semanas: 12ª - 16ª

CIRCUNFERENCIA

Definición.- Es el conjunto de puntos cuyas distancias no dirigidas al centro siempre son

iguales.

1. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

a) Forma Canónica.- es cuando la circunferencia tiene su centro en el origen de

coordenadas. Su ecuación es

Demostración: Tomamos sobre la

circunferencia un punto cualquiera

E(x,y).

Elevando al cuadrado ambos

miembros:

47

b) Forma Ordinaria .- Es cuando la circunferencia tiene su centro en el punto

c(h,k).

Su ecuación es:

Demostración: Tomamos sobre la

circunferencia un punto cualquiera

E(x,y).

Elevando al cuadrado ambos

miembros:

2. ECUACIONES PARTICULARES DE LA CIRCUNFERENCIA

a) Circunferencia tangente al eje “X”.-

Es una circunferencia ordinaria:

Cumple que

La ecuación de la Circunferencia:

b) Circunferencia tangente al eje “Y”.-

48


Cumple que


c) Circunferencia tangente a los ejes coordenados


Cumple que


Cuando una circunferencia es tangente a los ejes se encontrará enmarcada en un

determinado cuadrante.

Si está en el primer cuadrante se cumplirá que: h = k

Si está en el segundo cuadrante se cumplirá que: h = -k

Si está en el tercer cuadrante se cumplirá que: h = k

Si está en el cuarto cuadrante se cumplirá que: h = -k

3. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

La ecuación general de la circunferencia se obtiene al desarrollarse la forma

ordinaria:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

x2 – 2hx + h2 +y2 – 2ky + k2 = r2

49

x2 + y2 – 2hx – 2ky + = 0

Generalizando:

D = -2h , E = -2k , F = h2 + k2 – r2

Ahora vamos a deducir unas fórmulas que nos permitan hallar el centro y el radio de la

circunferencia, cuando tenemos la ecuación general. Para hacer esta deducción pasaremos

de la forma general a la forma ordinaria.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (x – h)2 + (y – k)2 = r2

x2 + Dx + y2 + Ey = -F

x y

----------------------- (1)

- h = h = -

- k = k = -

NOTA: Si queremos usar estas fórmulas para hallar el centro y el radio de una

circunferencia escrita en su forma general, debemos asegurarnos que los

coeficientes de los términos cuadrados sean + 1.

La gráfica de la ecuación (x-h)2 + (y-k)2= r2 no siempre es una circunferencia, sino

que se presentan 3 casos:

50

C (h, k) =

i) Si el radio r2 >0: la gráfica es una circunferencia de centro C(h,k)

ii) Si el radio r2 = 0: la gráfica es un punto de coordenadas C(h,k)

iii) Si el radio r2 <0: la gráfica no existe.

"CIRCUNFERENCIA"

1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (2,-3) y B (-6,-3). El centro de la circunferencia está en el tercer cuadrante y en la recta L: 2x + y + 5 = 0.

Respuesta: (x + 2)2 + (y + 1)2 = 20

2. Una circunferencia es tangente al eje "y" en su parte positiva. La circunferencia pasa por el punto A (2,8) y su centro está en la recta L: x - 2y + 3 = 0. Si la ordenada del centro es menor que 7; hallar:i) La ecuación de la circunferencia

ii)

Respuesta: i) (x-5)2+ (y-4) 2 =25 ii)

3. Una circunferencia pasa por A(-2,1) y es tangente a la recta L : 3x–2y–6=0 en el punto E(4,3), si su centro es C(h,k); hallar: h + k.

Respuesta: h + k =

4. Hallar el radio de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados y que pasa por el punto A (-2,9)

Respuesta: r = 5 , r = 17

5. Hallar las ecuaciones de los ejes de simetría de la circunferencia: (x + 4)2 + (y - 6) 2 = 9

Respuesta: x = - 4 , y = 6

6.- En la siguiente figura, hallar . La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 y la recta L: 3x + 4y + 6 = 0

Respuesta: = 2

51

7. Se tiene la recta L: 3x - 4y + 60 = 0 que forma un triángulo con los ejes. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Respuesta: (x + 5)2 + (y - 5)2 = 25

8. Desde el punto E (–3, – 4) se trazan tangentes a la circunferencia x2 + y2 - 4x - 2y - 5 = 0. Hallar las ecuaciones de las tangentes.

Respuesta: x –3y – 9 = 0 , 3x – y + 5 = 0

9. Se tiene la circunferencia x2 + y2 - 2x + 4y = 0 y la recta L : x - 2y + 10 = 0. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia que son perpendiculares a L.

Respuesta: 2x + y - 5 = 0 , 2x + y + 5 = 0

10. Se tiene la circunferencia x2 + y2 + 10x - 2y + 10 = 0 y la rectaL: 3x + 4y - 24 = 0. Hallar:i) Las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia que son paralelas a L.ii)La distancia de L a cada una de las tangentes.

Respuesta: i) 3x + 4y - 9 = 0 , 3x + 4y + 31 = 0ii) 3 , 11

11. ¿Las siguientes ecuaciones representan una circunferencia, un punto o no existe figura geométrica?i) x2 + y2 - 6x + 2y + 1 = 0 ii) 4x2 + 4y2 - 28x + 8y + 53 = 0ii) x2 + y2 + 8x - 4y +24 = 0

Respuesta: i) Circunferencia ii) Un punto iii) No existe

12. Hallar el valor o conjunto de valores de valores de 'K' de modo que la curva x 2 + y2 + 4x + 4ky + 8 = 0, tenga por gráfica:i) Una circunferencia ii) Un conjunto vacío

Respuesta: i) < - , -1 > < 1, + > ii < -1,1 >

13. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el primer cuadrante y en la recta L: x - y - 1 = 0. Se sabe que tangentes a la circunferencia son T1: 3x + 4y – 35 = 0 y T2: 4x + 3y + 14 = 0,

Respuesta: (x - 2)2 + (y-1) 2 = 25

14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(4,5), B(3,-2), C(1,-4) .

Respuesta: x2 + y2 + 7x - 5y - 44 = 0

15. Se tiene la circunferencia x2 + y2 - 4x - 1 = 0 que se corta con la recta L: 3x - y -1 = 0; Hallar:i) Los puntos de Intersecciónii) El baricentro del triángulo formado al unirse los puntos de intersección con el

centro de la circunferencia.Respuesta: i) (1,2), (0, -1) ii) G(1,1/3)

52

16. Hallar la ecuación de la circunferencia C2, que pasa por el punto A (1,4). La circunferencia C2, es tangente exterior a la circunferencia. C1: x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto T (-2,1)

Respuesta: C2 : (x +1 ) 2 + (y - 3) 2 = 5

17. El punto medio de una cuerda de una circunferencia es N(1,2); si la circunferencia es (x - 2)2 + (y - 4) 2 = 10 y la cuerda es de pendiente negativa; hallar la longitud de la cuerda.

Respuesta: 2

18. Hallar la longitud de la cuerda común a las dos circunferencias:x2 + y2 -10x - 10y = 0 y x2 + y2 + 6x + 2y - 40 = 0

Respuesta: 10

19. En la siguiente figura. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo ABC.

Respuesta: (x - 10) 2 + y2 = 25

20. Se tiene la circunferencia x2 + y2 = r2. Demostrar que la tangente a circunferencia en el punto de tangencia A(x1, y1) es T: x1 x + y1 y = r2.

21. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio que es tangente a la recta L: x - 2y - 1= 0 en el punto A (3,1).Graficar. Respuesta: (x – 4)2 + (y + 1)2 = 5; (x – 2)2 + (y - 3)2 = 5

22. Se tiene L: 7x + y -15 = 0, y la circunferencia (x -10)2 + (y - 5)2 = 18. Si L1 y L2 son rectas paralelas de pendiente negativa tangentes a la circunferencia; tales que L1 y L2 forman con L un ángulo agudo θ. Hallar las ecuaciones de L1 y L2, si se sabe que tgθ = 3/ 4. Graficar. Respuesta: L1: x + y - 21 = 0; L2: x + y – 9 = 0

53

TRASLACION DE EJES

Definición.-Es cuando se cambia el sistema de referencia. El origen (0,0) se traslada al punto o’ (h, k) quedando los nuevos ejes paralelos a los ejes originales. .Origen inicial: (0,0) Y y ’ .Origen final : 0’ (h, k) M A(X ,Y) (X’,Y’) Y’ X’ y 0’ De la figura : x = x’ + h X’ 0 N x X Y Y’

0’ X’ 3 4 A (6,3) ----------------X0Y A (2,0) ----------------X’0’Y’ o x . X2 +Y2 = 4 --------------xoy C (0,0) r =2 Área = 4 Vamos a cambiar de sistema: X = x’ +5 y = y’ + 4 . (x’+5)2 + (y’ +4)2 = 4 -------x’o’y’ C (-5,-4) r=2 Área = 4 5 0’ 4 0

X

Y

Y’

X’

Y = y’ + k

54

* NOTA: i) Una curva, en diferentes sistemas de referencia, tiene diferentes

ecuaciones.

ii) Una curva, en diferentes sistemas de referencia, tiene el mismo

gráfico.

iii) Una curva, en diferentes sistemas de referencia, encierra la misma área

iv) La longitud de un segmento no cambia en diferentes sistemas de

referencia

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO:

Término rectangular o cruzado

AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0

Términos de segundo grado

PUNTOS

Si el punto A (4,6) esta en el sistema XOY: x = 4, y = 6

Si el punto M (- 2,5) esta en el sistema X’0’Y’: x’ = - 2, y’ = 5

55

Término independiente o constante

Términos lineales o de primer grado

"TRASLACIÓN DE EJES"

1. Demostrar las fórmulas de traslación: x = x' + h, y = y' + k

2. Se tiene la recta L : 3x + 2y + 6 = 0 , luego se traslada al punto 0'(-1, 3). Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

i) La ecuación de L en el sistema final x' o 'y' es 3x' + 2y' + 9 = 0ii) La pendiente de L en el sistema inicial xoy y final x'o'y', no cambia.iii) La recta en el sistema final corta a los ejes x' e y' formándose un triángulo. El

baricentro de este triángulo en el sistema final es G(-1, -3/2)iv) El gráfico de L en el sistema inicial y final es el mismo.

Respuesta: i) V ii) V iii)V iv) V

3. En el sistema inicial xoy se tienen los puntos A(-1,2) y B(4,6). Se produce una traslación de ejes al punto 0'(5,6). Hallar las coordenadas de los puntos 'A' y 'B' en el sistema final.

Respuesta; A(-6, -4) B(-1,0)

4. En el sistema inicial xoy se tienen los puntos 'A' y 'B'. Se produce una traslación de ejes al punto 0'(6, 4) y las coordenadas de los puntos son: A(-1,3) y B(2,5). Hallar las coordenadas de los puntos 'A' y 'B' en el sistema inicial.

Respuesta: A(5,7) B(8,9)

5. ¿A qué punto debe trasladarse el origen para eliminar el término independiente y el término lineal en "y" de la ecuación: y2 - 4x - 6y + 5 = 0

Respuesta: 0'(-1,3)

6.- Mediante una traslación de ejes transformar la ecuación 8xy – 64x + 16y - 129 = 0 en otra ecuación que no tenga términos de 1" grado y solo tenga término rectangular y término independiente.

Respuesta: 8x’y' -1=0

7.- Se tiene la recta L: 4x + 5y + C = O, luego se produce una traslación al punto 0'(6,4). En el sistema final la recta L pasa por E(1,2). Hallar la ecuación de L en el sistema final.

Respuesta: L: 4x' + 5y' - 14 = 0

8. Se tiene la curva 3x2 + 2x - 2y - 1 = 0, luego se produce una traslación al punto 0'(2,1) y la ecuación queda así: 3x'2 + Ax'+ By'+ C = 0. Hallar A + B + C.

Respuesta: A + B + C = 25

56

9. Se tiene la recta L: 2x - 3y + C = 0, luego se traslada el origen al punto 0'(5,4). En el sistema final x'o'y' la recta L no pasa por el segundo cuadrante y esta recta L forma con los ejes x' e y' un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de longitud . Hallar la ecuación de L en el sistema final. Respuesta: L: 2x' - 3y' - 6 = 0

10. Se tiene la recta L: 3x + 2y + M = 0, luego el origen se traslada al punto 0'(4,5). En el sistema final la recta L no pasa por el tercer cuadrante, siendo su abscisa en el origen igual a 4. Hallar la ecuación de L en el sistema final.

Respuesta: L: 3x' + 2y' - 12 = 0

11. Se tiene la recta L: x + 2y + C = 0, luego se produce una traslación al punto O'(h,k). El punto O'(h,k) esta en la recta L1: x = 4. En el sistema final la recta L no pasa por el tercer cuadrante y su ordenada al origen es 3. Hallar:i) La ecuación de L en el sistema final x'o'y'¡i) El perímetro del triángulo que forma L con los ejes x' e y'.

Respuesta: i) L: x' + 2y' – 6 = 0 ii) 9 + 3

12.- Se tiene la recta L : 3x + 2y + C = 0, luego se traslada el origen al punto 0'(4,3) . En el sistema final x'o'y' la recta L corta a los semiejes positivos formando un triángulo de área 3. Hallar:i) La ecuación de L en el sistema final.ii) El baricentro del triángulo formado por los ejes x', y', L en el sistema final.

Respuesta: i) L: 3x'+ 2y'- 6 = 0 ii) G (2/3,1)

13. Se tienen las rectas L1: x + (k - 5)y - 8 = 0 y L2: (h - 4)x + y - 10 = 0, luego se traslada el origen al punto O'(h, k), siendo 'h' y 'k' números positivos. En el sistema final L1, es vertical y L2 es horizontal. Hallar las ecuaciones de L1 y L2; en el sistema final.

Respuesta: L1: x’ = 4 , L2: y' = 5

14. Se tiene la recta L: 2x - 3y + C = 0, luego se traslada el origen al punto O’(-5,6). En el sistema final la recta L no pasa por el cuarto cuadrante y el área del triángulo que forma L con los ejes x’ e y’ es 12. Hallar la ecuación de L en el sistema final. Respuesta: L: 2x’ - 3y’ + 12 = 0

15. Se tiene L: x + (h -1) y - 2 = 0, luego se hace una traslación al punto 0’(h, k).Este punto 0’(h.k) esta en L1: y = 3. En el sistema final la recta L corta a los ejes x’ e y’, siendo su abscisa en el origen más su ordenada en el origen igual a cero (h <1). Hallar el área del triangulo que forman x’, y’, L en el sistema final. Graficar.

Respuesta: Área = 25/2

57

PARÁBOLA

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

Definición.- Es el lugar geométrico de los puntos, donde cada punto equidista de una

recta llamada directriz y de un punto llamado foco.

Por definición:

Excentricidad: e =

Todas las cónicas son simétricas con respecto a sus ejes de simetría, es decir si se

trata una cuerda perpendicular al eje de simetría, la cuerda quedará dividida en dos

partes iguales.

58

Elementos de una parábola

Vértice (V).- Es el punto

donde se interfecta la

parábola con el eje de

simetría.

Foco (F).- Es el punto sobre

el eje de simetría a

unidades del vértice.

Eje de simetría.- Es una

recta que pasa por el foco,

por el vértice y es

perpendicular a al directriz.

Directriz (L1).- Es una recta

perpendicular al eje de

simetría y que está a

unidades de vértice opuesto

al foco.

Cuerda.- Es un segmento que une dos puntos de la cuerda ( )

Cuerda Focal.- Es una cuerda que pasa por el foco ( )

Lado Recto.- Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría ( )

Radio Vector.- Es una segmento que une el foco con un punto de la parábola (

, ).

* La longitud del Lado Recto de cualquier parábola es .

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

59

a) Primera forma (canónica).-

Es cuando la parábola tiene su vértice en el origen y su eje de simetría es el eje “X”.

Por definición:

Se llama parábola canónica

horizontal.

Longitud del lado recto =

Si p > 0, la parábola estará hacia la derecha de su vértice.

Si p < 0, la parábola estará hacia la izquierda de su vértice.

b) Segunda forma (canónica).-

Es cuando la parábola tiene su vértice en el origen y su eje de simetría en el eje

“Y”

Por definición:

Se llama parábola canónica vertical. Longitud del lado recto =

Si p > 0, la parábola estará hacia arriba de su vértice.

Si p < 0, la parábola estará hacia abajo de su vértice.

c) Tercera forma (ordinaria).-

60

Es cuando la parábola tiene su vértice en el punto V (h, k) y su eje de simetría

es paralelo al eje ‘X’.

Parábola horizontal ordinaria:

Foco: F (h + p, k)

Longitud del lado recto:

Ecuación de la directriz:

Ecuación del eje de simetría:

Coordenadas de los extremos del lado recto

Si p > 0, la parábola estará hacia la derecha de su vértice.

Si p < 0, la parábola estará hacia la izquierda de su vértice.

d) Cuarta forma (ordinaria).-

Es cuando la parábola tiene su vértice en el punto V(h,k) y su eje de simetría es

paralelo al eje “Y”.

61

Parábola vertical ordinaria:

Foco: F (h, k+p)

Longitud del lado recto:

Ecuación de la directriz:

Ecuación del eje de simetría:

Coordenadas de los extremos del lado recto

Si p > 0, la parábola estará hacia arriba de su vértice.

Si p < 0, la parábola estará hacia abajo de su vértice.

ECUACIÓN GENERAL DE UNA PARÁBOLA

La ecuación general de una parábola resulta del desarrollo de la forma ordinaria

Forma ordinaria de una parábola de eje horizontal:

(y – k)2 = 4p(x – h)

y2 – 2ky + k2 = 4px- 4ph

y2 – 4px – 2ky + = 0

Generalizando la ecuación: , D 0

62

Forma ordinaria de una parábola de eje vertical:

(x –h)2 = 4p (y – k)

x2 – 2hx + h2 = 4py- 4pk

x2 –2hx –4py + = 0

Generalizando la ecuación: , E 0

"PARÁBOLA"

1. Demostrar que la ecuación de una parábola canónica horizontal es y2= 4px2. Demostrar que la ecuación de una parábola ordinaria vertical es

(x-h) 2 = 4p (y - k)3. Demostrar que la longitud del lado recto de una parábola canónica vertical es

4. Se tiene la parábola x2 = 4py, donde p>0. El punto E(x1 ,y1) está en la parábola y en el primer cuadrante. Demostrar que la longitud del radio rector correspondiente al punto E(x1, y1) es

5.- Se tiene la parábola y2 = 8x y la recta L: 2x + y - 8 = 0. Hallar:i) El área del triángulo formado por el vértice de la parábola y por los puntos de

intersección.ii) El baricentro del triángulo formado.

Respuesta: 1) Área = 24 , ii) G(10/3, - 4/3)

63

6. Por el foco de la parábola y2 = 8x pasa una cuerda que forma un ángulo de 45° con el eje 'x'. Hallar el baricentro del triángulo que se forma al unir el vértice de la parábola con los extremos de la cuerda.

Respuesta: G(4,8/3)

7. El vértice de la parábola y2 = 4x coincide con un vértice del triángulo equilátero ABC. Los otros dos vértices del triángulo se encuentran sobre la curva. Si se sabe que un lado del triángulo es vertical; hallar su área.


8. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en la recta L1: x + 3y + 1 = 0, foco en la recta L2: 3x - 2y + 29 = 0 y la directriz es el eje 'y'.

Respuesta: (y -23/20)2 = - (x + 89/20)

9. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en la recta L1: x - y + 1 = 0, foco en la recta L2: x + y -13 = 0 y cuya directriz es la recta L: x = 3.

Respuesta: (y - 6)2 = 8(x - 5)

10. En el siguiente gráfico, el proyectil que parte del origen describe una trayectoria parabólica, cuya altura máxima es V(4,5).El proyectil impacta en el punto "A". Hallar las coordenadas de "A"

Respuesta:

A

11. En la siguiente figura se tiene un cuadrado y un triángulo. La directriz es la recta L y el área del cuadrado es 16. Hallar el área del triángulo OAB.


12. Se tiene la parábola cuya directriz es L1: x = 2, el eje de simetría es L2: y = 1. Hallar la ecuación de la parábola si pasa por el punto A(7, 4).

64

V

Respuesta: (y -1)2 = 18(x - 13/2); (y -1)2 = 2(x - 5/2)

13. Una parábola pasa por los puntos A(-2, 4) y B(8, -1) ; la ecuación del eje de simetría es L1: x = 4. Hallar la ecuación de la parábola y las coordenadas de los extremos del lado recto.

Respuesta: (x - 4)2 = 4(y + 5) L (6,- 4) R (2,- 4)14. Hallar la longitud del radio vector de la parábola x2 + 4x + 2y - 3 = 0, siendo

A(n,-1) y 'F' el foco. Se sabe que n > 0.

Respuesta: = 5

15. Hallar la ecuación de la recta L2 que pasa por el vértice de la parábola Y2 + 8x - 10y + 7n = 0. El vértice de la parábola está en el segundo cuadrante. La recta L2 es perpendicular a la cuerda focal L1 : x + 2y - 5 = 0

Respuesta: L2: 2x - y + 11 = 0

16. Se tiene la parábola y2 - 6nx - 6y + 9 - 12n2 = 0 y la cuerda focal L : 6x + y - 9 = 0. Si n < 0, hallar el vértice y la longitud del lado recto.

Repuesta: V (4, 3) =12

17. Averiguar si las siguientes ecuaciones son parábolas, rectas horizontales, rectas vertica- les o no existe figura geométrica: i) y2 - 6y + 8 = 0 ii) x2 + 4x + 4 = 0 iii) x2 + 10x + 29 = 0 iv) y2 - 2x + 2y + 3 = 0

Respuesta: i) y = 2, y = 4 ii) x = - 2 iii) No existe figura iv) Parábola ordina. horizontal V (1,-1) p = 1/2 18. Se tiene la parábola y = N x2 + Mx + E, de vértice V (2,3) .Si la parábola pasa por el origen de coordenadas; hallar 4N + 3M + E. Respuesta: 6

19. La ecuación de una cuerda focal de la parábola x2 - 8x +3ny – 2 = 0 es la recta L1: 2x - 2y - 15 = 0. Sabiendo que ‘n’ es negativo; hallar el área del triángulo que se forma uniendo los extremos del lado recto con el vértice de la parábola. Respuesta: Área = 2

20. Se lanza una piedra, siendo su trayectoria una parábola .La máxima altura que alcanza la piedra es 8 metros y cae 32 metros más halla del punto del que fue lanzada. Hallar la altura que alcanzó la piedra 24 metros más allá del punto del que fue lanzada. Respuesta: 6 metros

21. Desde el punto A se lanza un proyectil que cae en el punto B, siendo su trayectoria una parábola.El proyectil roza la copa de una árbol, que se encuentra a 10 metros del punto B.

65

Hallar la altura del árbol si la máxima altura lograda por el proyectil es 25 metros y la distancia horizontal del punto A al punto B es 100 metros. Respuesta: 9 metros

22. Una piedra se lanza en forma horizontal desde lo alto de una torre de 125 pies de altura. La piedra cae al piso en el punto ‘A’ como indica la figura. En su trayectoria la piedra roza la copa de un árbol que está a 24 pies del punto en el cual la piedra toca el piso. Hallar la altura del árbol.

Respuesta: 9.8 pies

“Elipse”

Definición: Es un conjunto de puntos de tal manera que si tomamos un punto cualquiera, la suma de sus distancias a los focos es 2a.

D

Eje mayor: = 2aEje menor: = 2b

66

F2(- c, 0)

B2(0,-b)

V1(a,0)F1(c, 0)

B1(0,b)

V2(-a,0)

A

y L1L2

X

Distancia focal: = 2c a , b, c = #s positivosPor definición: = 2a

= 2a

Aplicando la definición de elipse en un extremo del eje menor (B1):

= 2a = 2a

2 = 2a c2 + b2 = a2 a2 = b2 + c2 Cumple para toda elipse

Siempre se cumple

Área elipse = ab

Excentricidad:

e =

e = elipse

Nota: Si c = 0: e = 0 es una circunferencia

e 0 e 1

Cuando los focos se acercan la e 0 Cuando los focos se alejan, la e 1 y la figura se asemeja a una y la elipse se parece a una línea circunferencia recta.

ECUACIONES DE LA ELIPSE

67

b > cb < cb = c

e=0.01

1. Primera forma (canónica).- Tiene un centro en (0,0) y el eje mayor está en el eje “x”

Elipse canónica horizontal


Distancia entre directrices: d =

.

L1(c, b2/a) R1(c, - b2/a) L2 (- c, b2/a) R2 (- c, - b2/a)

2. Segunda forma (canónica).- Tiene su centro en (0,0) y el eje mayor está en el eje “y”.

Elipse canónica vertical



.

L1 (b2/a, c) R1 (- b2/a, c) L2 (b2/a, - c) R2 (- b2/a, - c)

3. Tercera forma (ordinaria).- Centro en c (h, k) y el eje mayor es paralelo al eje ”x”.

Elipse ordinaria horizontal


68


B2 (h, k - b)

.

4. Cuarta forma (ordinaria).- Centro en c (h, k) y el eje mayor es paralelo al eje ”y”.

Elipse ordinaria vertical



V1(h, k+a) V2(h, k-a)B1(h+b, k) B2(h-b, k)F1(h, k+c) F2(h, k-c)

.

69

ECUACIÓN GENERAL

Forma ordinaria:

(elipse horizontal) :

b2 (x - h)2 + a2 (y - k)2 = a2b2

b2 (x2 - 2hx +h2) + a2 (y2-2ky + k2) – a2b2 = 0

b2 x2 – 2hb2 x + h2b2 + a2y2 - 2ka2y + k2a2 – a2b2 = 0

b2x2 +a2y2 – 2hb2x – 2ka2y + h2b2 + k2a2 – a2b2 = 0

Generalizando: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ‘A’ y ‘C’: igual signo A C

Forma ordinaria:

(elipse vertical) :

a2 (x - h)2 + b2 (y - k)2 = a2b2

a2 (x2 – 2hx + h2) + b2 (y2-2ky + k2) – a2b2 = 0

a2 x2 – 2ha2 x + h2a2 + b2y2 - 2kb2y + k2b2 – a2b2 = 0

a2x2 +b2y2 – 2ha2x – 2kb2y + h2a2 + k2b2 – a2b2 = 0

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ‘A’ y ‘C’: igual signo A C

70

(+) = elipse“O” = es un punto de coordenadas (h, k)(–) = no existe figura

(+) = elipse“O” = es un punto de coordenadas (h, k)(–) = no existe figura

"ELIPSE”

1. Demostrar la ecuación

2. Demuestre que la longitud del lado recto de una elipse canónica horizontal es

3. Demuestre que en cualquier elipse se cumple que a2 = b2 + c2

4. Demuestre que la distancia entre directrices de una elipse canónica horizontal es

d =

5. ¿Es posible que en una elipse cualquiera se cumple que b2 = a2 - ac?

6. Se tiene la elipse canónica de excentricidad 1/2 y una de sus directrices es L1: x = 16. El punto M (- 4, n) está en la elipse y en el segundo cuadrante. Hallar:i) La ecuación de la elipse.ii) La distancia de 'M' al foco asociado a L1

Respuesta: i) ii) 10

7. En la siguiente figura hallar el área del triángulo LOR en función de "C", si LOR = 90° y LR es el lado recto.

Respuesta: Área = C2

8. ¿La excentricidad de la elipse 2x2 + 3y2 = 1 , es ?

Respuesta: V

9. Se tiene la elipse + = 1. El punto A(n, m) está en la elipse y en el Segundo

cuadrante. Hallar:i) El punto A(n, m) si , =14, siendo F1, el foco derechoii) La distancia entre directrices.

Respuesta: i) A (-5, 3 ) ii) 25

10. Se tienen las cónicas: x2 + y2 = 2 y x2 + 4y2 = 4.

Hallar el área de la figura que se forma al unir los puntos de intersección.

Respuesta: 8 3

72

11. Los focos de las elipses: x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 1, están unidos entre si 25 9 16 25

por unas rectas y en el rombo así formado hay inscrita una circunferencia.

Hallar la ecuación de esta circunferencia.

Respuesta: x2 + y2 = 144/25

12. En la siguiente figura se tiene un cuadro inscrito en la elipse, si a = 4

y b = 2; hallar el área sombreada.

Respuesta: Área = 16 5

13. Hallar la ecuación de la elipse en la cual un vértice del eje es mayor V (7,1)

y el foco opuesto es F(3,1); además la longitud del eje menor es 4

Respuesta: (x – 4) 2 + (y – 1) 2 = 1 9 814. Halar el área del rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes

coordenados y son tangentes a la elipse ( x – 2) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1 9 16


15. Los focos de una elipse son F1(- 4,1) y F2(- 4,-5) y la longitud de cada lado recto es

32/5. Hallar la ecuación de la elipse y su área.

Respuesta: (x + 4) 2 + (y + 2) 2 = 1; Área = 20π 16 25

16. Si V1 (4,3) y V2 (4,-7) son los vértices del eje mayor de una elipse. Uno de los focos

divide al segmento V1V2 en la razón ¼; hallar la ecuación de la elipse.

Respuesta: (x - 4) 2 + (y + 2) 2 = 1 16 25

73

y

x

A

D C

o

B

17. Los focos de una elipse son F1 (4,-2) y F2 (-2,-2).Hallar la ecuación de la elipse si uno de sus vértices esta en la recta L: x – y – 8 = 0. Respuesta: (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 1

25 16

18. Se dan las cónicas (x - 3) 2 + (y -5) 2 = 1 y (x-3)2 = 4( y - 2).Hallar: 20 5

i) Los puntos de intersección de estas cónicas ii) El área de la figura que se forma al unir los puntos de intersección Respuesta: i) (-1,6), (7,6), (5,3), (1,3) ii) Área = 18

19. Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una elipse, un punto o no existe. i) 2x2 + y2 + 4x - 4y - 2 = 0 ii) 2x2 + y2 - 8x + 2y + 14 = 0 iii) x2 + 3y2 + 6x - 6y + 12 = 0 Respuesta: i) Elipse ordinaria vertical ii) No existe figura iii) Un punto de coordenadas (-3,1)

20. Hallar la longitud del lado del cuadrado inscrito a la elipse:25x2 + 16y2 + 100x - 96y - 156 = 0 .Se sabe que los lados del cuadrado son perpendiculares a los ejes mayor y menor de la elipse. Respuesta: Lado = 6.25

21. Se tiene la elipse nx2 + 4y2 + 6x - 8y – 5 = 0.Si la suma de las coordenadas del centro es -2; hallar la longitud del eje mayor.

Respuesta: 6

“HIPERBOLA”

1. Demuestre que en toda hipérbola se cumple que c2 = a2 + b2

2. Demuestre que la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera es

74

3. Demostrar que la ecuación de una hipérbola canónica horizontal es x 2 _ y 2 = 1

a2 b2

4. Demuestre que la longitud del lado recto de cualquier hipérbola es 2b 2

a

5. Demuestre que la distancia entre directrices de toda hipérbola es 2a 2

c

6. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Si se unen los 4 vértices del “rectángulo fundamental” con los focos de la

hipérbola siempre se forma una circunferencia.

b) Todas las hipérbolas canónicas tienen asíntotas conjugadas.

c) Si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares, se trata de una hipérbola

equilátera.

Respuesta: a) V b) V c) V

7. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, una directriz es

L: x = 3 y una asíntota es L1: 4x + 3y = 0

Respuesta: x 2 _ y 2 = 1 25 400

98. Se tiene la hipérbola x2 – 4y2 + 32 = 0 y la elipse (x – 6) 2 + (y-2) 2 = 1

1 4 Hallar el área del triángulo formado por las asíntotas de la hipérbola y por la

ecuación del eje mayor de la elipse.


9. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso es el eje “y”. La

hipérbola pasa por el punto A (2,-2) y una de sus asíntotas es L1: x + 2y = 0.

Hallar la ecuación de la hipérbola.

Respuesta: y 2 _ x 2 = 1 3 12

10. El centro C, un foco F y un punto P de una de las asíntotas de la hipérbola

9y2 – 16x2 = 144, son los vértices de un triangulo recto en ‘P’.

Hallar el perímetro del triangulo CFP.

Respuesta: 12

11. Las asíntotas de una hipérbola son L1: 3x – 2y – 7 = 0 y L2: 3x + 2y -23 = 0

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y un foco es el punto F(5 + , 4). Hallar la ecuación de la hipérbola.

Respuesta: (x – 5) 2 - (y – 4) 2 = 1 4 9

12. Hallar la ecuación de una hipérbola con un foco en F (3,7), sus asíntotas se

cortan en (3,2). Una asíntota pasa por E (-1,5).

Respuesta: (y – 2) 2 - (x – 3) 2 = 19 16

13. Los focos de la elipse 9(x + 3)2 + 16(y + 5)2 = 144 son los vértices del eje

transverso de una hipérbola y recíprocamente. Hallar la ecuación de la

hipérbola.

Respuesta: (x + 3) 2 - (y + 5) 2 = 17 9

14. Las asíntotas de una hipérbola son L1: 3x – 2y + 1 = 0 y L2: 3x + 2y – 7 = 0.

Si un vértice del eje conjugado es B1 (1, 2 + ); hallar:

i) La ecuación de la hipérbola.

ii) El perímetro del “rectángulo fundamental”

Respuesta: i) (x - 1) 2 - (y - 2) 2 = 1 ii) Perímetro= 20 20/9 5 3

15. Se tiene una hipérbola ordinaria vertical de centro C (-1,1). Una de las

asíntotas pasa por el punto E (-5,9) y el área el “rectángulo fundamental”

es 72. Hallar:

i) La ecuación de la hipérbola.

ii) Las coordenadas de los extremos del lado recto que corresponde al foco

superior.

Respuesta: i) (y – 1) 2 - (x + 1) 2 = 136 9

ii) L1 (1/2, 1 + 3 ) R1 (-5/2, 1 + 3 )

16. Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una hipérbola horizontal, hipérbola vertical o son dos rectas que se cortan: i) x2 - 4y2 - 6x -16y + 9 = 0 ii) 16x2 - 9y2 - 32x + 18y - 137 = 0 iii) 9x2 - 4y2 + 18x + 16y - 7 = 0 Respuesta: i) Hipérbola vertical ii) Hipérbola horizontal iii) Dos rectas que se cortan

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17. Se tiene la hipérbola x 2 - y 2 = 1. El punto M (10, - ) esta en la hipérbola. 80 20 Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los radios vectores del punto ‘M’. Respuesta: x + 20y + 10 = 0 , x = 10

18. Hallar los puntos intersección de la hipérbola x 2 - y 2 = - 1 con la parábola y2 = 3x 20 5 Respuesta: A (10, ), B (10,- ), C (2, ), D (2,- )

19. Hallar la longitud del lado recto de la hipérbola horizontal: nx2 - 4y2 - 20x - 24y + 4 = 0.Se sabe que la abscisa del centro es 10. Respuesta:

“COORDENADAS POLARES”

1. Graficar en el sistema polar

a) E(2, 50°) b) M(4,120°) c) N(-3,-60°) d) P(4,-50°) e) Z(-3,-60°)

2. Dada la cónica de ecuación polar r = 8 Sen θ, pasar al sistema cartesiano y

luego identificar la curva. Graficar en el sistema rectangular.

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Respuesta: Es una circunferencia: x2 + y2 – 8y = 0

3. Dada la curva r = 4 . Hallar su ecuación cartesiana, luego 1 + 3 Sen θ identificar la curva. Graficar en el sistema cartesiano.

Respuesta: Es una hipérbola: (y – 3/2) 2 _ x 2 = 1 ¼ 2

4. Dada la ecuación r = 6 , pasar al sistema cartesiano, luego 3 + Sen θ

identificar la curva. Graficar en el sistema cartesiano.

Respuesta: Es una elipse: x 2 + (y + 3/4) 2 = 1 9 81 2 16

5. Establecer si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando sus

respuestas:

i) La ecuación polar r = 3 , en el sistema cartesiano es una 2 + 4 Cos θ hipérbola horizontal de centro C (1,0) , a = ½ , b = / 2

ii) La ecuación polar r2 (4 – 5 Sen θ) = 1, en el sistema cartesiano tiene por

ecuación 4x2 + y2 = 3.

iii) Un punto en el sistema polar tiene infinitas coordenadas.

Respuesta: i) V ii)F iii) V

6. Se tiene la cónica de ecuación polar r = 6 , pasar al sistema 3 + 2 Cos θ

cartesiano. Luego:

i) Identificar la cónica.

ii) Graficar correctamente en el sistema cartesiano.

iii) Hallar la longitud del lado recto.

Respuesta: i) Es una elipse iii) 4

7. Dada la ecuación x2 + y2 – 9x + 8y = 0, pasar al sistema polar.

Respuesta: r = 9 Cos θ – 8 Sen θ

8. Dada la ecuación (x2 + y2)3 = 4x2y2, pasar al sistema polar.

Respuesta: r = Sen 2θ

9. Dada la ecuación r Cos (θ – π) = 2, pasar al sistema cartesiano. 4

Respuesta: x + y - 2√2 = 0

10. Dada la ecuación y4 = x2(4 – y2), pasar al sistema polar.

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Respuesta: r = 2 Ctg θ

11. Dada la ecuación r = 2 Sec2 θ, pasar al sistema rectangular.

Respuesta: x4 – 4x2 – 4y2 = 0

12. Dada la ecuación r = tg(-θ) + Sec(-θ), pasar al sistema cartesiano.

Respuesta: x4 – 2x3 + x2 + x2y2 – 2xy2 = 0

13. Dada la ecuación (x2 + y2)2 + 4x(x2 + y2) + 4x2 = 0, pasa al sistema polar.

Respuesta: r = - 2 Cos θ

14. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Una curva polar es simétrica con respecto al eje polar si se reemplaza θ por – θ en la curva y esta no cambia. b) Una curva polar es simétrica con respecto al eje normal si se reemplaza θ por (π – θ) en la curva y esta no cambia. c) Una curva polar es simétrica con respecto al origen o polo si se reemplaza θ por (π + θ) en la curva y esta no cambia.

Respuesta: a) V b) V c) V

15. Dada la ecuación polar r = 5 Sen 3 θ, averiguar si esta ecuación tiene

simetría con el eje polar y si tiene simetría con el eje normal.

Respuesta: No existe simetría con el eje polar y si hay simetría con el eje normal.

16. Dada la ecuación polar r = 6 Cos θ – 3, hallar.

i) Si hay simetría con respecto al eje polar. ii) Si hay simetría con el origen o polo.

Respuesta: i) Si hay simetría ii) No hay simetría.

17. Graficar en el sistema polar.

i) r = 4 Cos θ + 4 ii) r = 4 Sen 2 θ iii) r = 4 + 4 Sen θ iv) r = 5 Sen 3 θ v) r = 6cos - 3 vi) r = 4 √Sen 2 θ

18. Graficar en el sistema polar: r = 8 Sen 4 19. Graficar en el sistema polar: r = 3

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