“Año de la inversión para el desarrollo rural y la seguridad Alimentaria”

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DESAN MARCOS

(Universidad del Perú, Decana de América)

CONSTANTES ELASTICAS DE LOS MATERIALES

CURSO: LABORATORIO DE FISICA II

PROFESOR: Mabel Tesillo

INTEGRANTES: Monsalve ocmin luis omar Jersella poma

TURNO: Viernes 12:00 – 2:00 pm

FECHA DE REALIZACION : 6/ 09 / 13

FECHA DE ENTREGA : 20 / 09 /13

I. OBJETIVO

Observar las características y condiciones de un resorte en espiral Verificar la ley de Hooke. Verificar el módulo de Young de una barra metálica. Determinar la constante elástica del resorte en espiral.

II. FUNDAMENTO TEÓRICO

Los sólidos cristalinos en general tienen una característica fundamental denominada “Coeficiente elástico” que aparece como consecuencia de la aplicación de fuerzas externas de tensión o compresión, que permiten al cuerpo de sección transversal uniforme, estirarse o comprimirse.

Se dice que un cuerpo experimenta una deformación elástica cuando recupera su forma inicial al cesar la fuerza que la produjo. Para poder comprobar este hecho notable, usaremos un resorte en espiral al cual aplicaremos masas sucesivas y de acuerdo a la Ley de Hooke:

Fue Robert Hooke (1635-1703), físico matemático, químico y astrónomo inglés, quien primero demostró el comportamiento sencillo relativo a la elasticidad de un cuerpo. Hooke estudió los efectos producidos por las fuerzas de tensión, observó que había un aumento de la longitud del cuerpo que era proporcional a la fuerza aplicada.

Hallaremos su constante elástica “k”, la cual se obtendrá como la pendiente de la gráfica F vs x, donde F es la fuerza aplicada y x el estiramiento del resorte en espiral desde su posición de equilibrio.

Las características elásticas de un material homogéneo e isotrópico quedan completamente definidas si se conocen las constantes elásticas: Modulo de Young (E) y el Coeficiente de Poisson ()

Cuando, se flexiona una varilla, experimenta un alargamiento por su parte convexa y una contracción por la cóncava. El comportamiento de la varilla está determinada por el módulo de Young del material de que está hecha, de modo que el valor de dicho modulo puede determinarse mediante experimentos de flexión.

Utilizaremos una regla metálica, se sección transversal rectangular apoyado sobre dos extremos. Si se aplica una fuerza vertical (F) en el punto medio de la regla, la deformación elástica que está experimenta es un descenso de dicho punto, llamado flexión (s) que, por la ley de Hooke, es proporcional a la fuerza aplicada:

F = - Kxk=cte.=pendiente=F/xF(N)

x

F

x(m)

S= 14 E

L3

ab3 F

Siendo: k, la constante elástica, que depende de las dimensiones geométricas de la varilla y del módulo de Young (E) del material.

Siendo:

L: la longitud de la varillaa: el ancho de la varillab: la altura o espesor de la misma

La fuerza más pequeña que produce deformación se llama límite de elasticidad.

El límite de elasticidad

Es la máxima longitud que puede alargarse un cuerpo elástico sin que pierda sus características originales. Más allá del límite elástico las fuerzas no se pueden especificar mediante una función de energía potencial, porque las fuerzas dependen de muchos factores entre ellos el tipo de material.

Para fuerzas deformadoras que sobrepasan el límite de elasticidad no es aplicable la Ley de Hooke.Por consiguiente, mientras la amplitud de la vibración sea suficientemente pequeña, esto es, mientras la deformación no exceda el límite elástico, las vibraciones mecánicas son idénticas a las de los osciladores armónicos.

Módulo de elasticidad

La relación entre cada uno de los tres tipos de esfuerzo (tensor-normal-tangencial) y sus correspondientes deformaciones desempeña una función importante en la rama de la física denominada teoría de elasticidad o su equivalente de ingeniería, resistencias de materiales. Si se dibuja una gráfica del esfuerzo en función de la correspondiente deformación,

Se encuentra que el diagrama resultante esfuerzo-deformación presenta formas diferentes dependiendo del tipo de material.

S = FK

Si el sólido se deforma mas allá de un cierto punto, el cuerpo no volverá a su tamaño o forma original, entonces se dice que ha adquirido una deformación permanente.

En la primera parte de la curva el esfuerzo y la deformación son proporcionales hasta alcanzar el punto H, que es el límite de proporcionalidad. El hecho de que haya una región en la que el esfuerzo y la deformación son proporcionales, se denomina Ley de Hooke.

De H a E , el esfuerzo y la deformación son proporcionales; no obstante, si se suprime el esfuerzo en cualquier punto situado entre O y E , la curva recorrerá el itinerario inverso y el material recuperará su longitud inicial.

En la región OE, se dice que el material es elástico o que presenta comportamiento elástico, y el punto E se denomina límite de elasticidad o punto cedente. Hasta alcanzar este punto, las fuerzas ejercidas por el material son conservativas; cuando el material vuelve a su forma original, se recupera el trabajo realizado en la producción de la deformación. Se dice que la deformación es reversible.

Si se sigue cargando el material, la deformación aumenta rápidamente, pero si se suprime la carga en cualquier punto más allá de E , por ejemplo C , el material no recupera su longitud inicial. El objeto pierde sus características de cohesión molecular. La longitud que corresponde a esfuerzo nulo es ahora mayor que la longitud inicial, y se dice que el material presenta una deformación permanente. Al aumentar la carga más allá de C, se produce gran aumento de la deformación (incluso si disminuye el esfuerzo) hasta alcanzar el punto R , donde se produce la fractura o ruptura. Desde E hasta R, se dice que el metal sufre deformación plástica.

SISTEMAS DE RESORTES

Los resortes se pueden configurar en sistemas en serie y paralelo.

SISTEMAS DE RESORTE EN SERIE

Cuando se dispone los resortes uno a continuación del otro.Para determinar la constante elástica equivalente (keq) se define de la siguiente manera:

Por ejemplo:

Para dos resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es: k / 2Para n resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es: k / n.Si se coloca dos resortes diferentes en serie la constante de elasticidad equivalente del sistema es:

SISTEMA DE RESORTES EN PARALELO

Cuando los resortes tienen un punto común de conexión.Para determinar la constante elástica equivalente (keq) se define de la siguiente manera:

Por ejemplo:

Para dos resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es; 2k.

Para n resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es: n kPara dos resortes diferentes en paralelos la constante de elasticidad del sistema es:

III. MATERIALES / EQUIPOS

2 Soporte Universal 1 Resorte en espiral

1 Regla metálica 1 Juego de pesas más porta pesas

1K eq

=∑ 1K i

K eq=∑ K i

2 Sujetadores (nuez)

1 Balanza de precisión

2 varillas cuadradas de metal

IV. PROCEDIMIENTO

EXPERIENCIA N° 01

Monte el equipo, como muestra el diseño experimental.

1. Utilice la balanza para determine los valores de las masas del resorte y del porta pesas.

2. Cuelgue al resorte de la varilla y anote la posición de su extremo inferior.

Posición 1: 38cm

3. Luego, coloque la porta pesas en el extremo inferior del resorte y anote la posición correspondiente.

Posición 2: 38cm (tomamos como punto inicial)

4. Seguidamente, coloque una pesa pequeña [200 g.] en la porta pesas y anote la posición correspondiente.

Posición 3: 4.5cm (deformación)

5. Adicione pesas a la porta pesas, cada vez de mayores masas. En la Tabla 1 anote

los valores de las posiciones x1 correspondientes (incluida la posición de

referencia).

6. Ahora, retire una a una las pesas de la porta pesas. Anote las posiciones x2

correspondientes y complete la tabla 1.

Recuerde que,

x̄=x1+x22

Dónde: x1 Es la longitud cuando aumenta el peso

x2 Es la longitud cuando disminuye el peso

Grafique la magnitud de la fuerza F versus la elongación media x̄ .

TABLA 1

N° m (kg) X1 (m) X2 (m) XP(m) F (N)

m (Resorte) = 6.3g

m (Porta pesas) = 75g

1 0.2 0.045 0.042 0.044 1.96

2 0.25 0.061 0.061 0.061 2.45

3 0.3 0.08 0.079 0.0795 2.94

4 0.35 0.099 0.098 0.0985 3.43

5 0.4 0,116 0.116 0.116 3.92

6 0.45 0.135 0.134 0.1345 4.41

7 0.5 0.155 0.155 0.1545 4.90

La pesa de 75g, se tomó como base, como si fuera cero.

Aplicando el método de mínimos cuadrados la ecuación estará definida por:

Hallamos “m = Pendiente = Constante de elasticidad ” :

Reemplazando:

m=7 (2.61219 )− (0.688 )(24.01)7 (0.077096 )−(0.473344)

m=p∑ xy−∑ x∑ y

p∑ x2−(∑ x )2

y=mX+b

La ecuación queda definida por:

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

1

2

3

4

5

6

F vs X

F(N)

Deformacion

fuer

za

EXPERIENCIA N° 02

Monte el equipo, como muestra el diseño experimental.

1. Mida las dimensiones geométricas de la regla metálica:Longitud (L): 64.cmAncho (a): 3.5cm

m = 26.63

Y=26.63X – 0.81

Espesor (b): 0.92 mm

2. Coloque la regla metálica en posición horizontal sujetada a las nueces metálicas tal como se indica en la figura.

3. Determinar la posición inicial del centro de la varilla, con respecto a la escala vertical graduada.

Posición inicial: 79.2cm

4. Vaya cargando gradualmente la varilla, por su centro, y midiendo las flexiones correspondientes (s’). anote los resultados en la tabla 2.l

5. Una vez que considere haber obtenido una deformación suficiente, descargando gradualmente la varilla, midiendo y anotando las flexiones correspondientes (s’’)

6. Con los resultados obtenidos, calcule el valor promedio de los pares de s’ y s’’ para cada carga. Anote en la Tabla 2.

TABLA 2

N° Cargam (kg) s’

(cm)

s’’(cm)

s(cm)

1 0.2 1 0.8 1.4

2 0.25 1.2 1.1 1.15

3 0.3 1.4 1.2 1.3

4 0.35 1.6 1.5 1.55

5 0.4 1.8 1.9 1.75

6 0.45 2 1.9 4.5

7 0.5 2.2 2.1 4.3

V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES

La curva tiene una rotura (en donde el resorte pierde su capacidad de elasticidad) y existe también un intervalo en que las deformaciones son proporcionales a la fuerza aplicada Cada material tiene una constante de elasticidad (k) y un módulo de Young (E) diferente y característico Los resortes en serie y en paralelo actúan como resistores y por eso su constante equivalente se halla de esa manera.

RECOMENDACIONES

Se recomienda no llegar a la deformación máxima del los resortes ya que estos perderían su capacidad de elasticidad y ya no funcionarían más para la experimentaciónUn punto que debemos tomar en cuenta es las unidades físicas de los elementos que estemos hallando en los cálculos para poder así hallarlos con precisión

VI. BIBLIOGRAFÍA

Theory of elasticity - S. Timoshenko and J.N. Goodier, Mc Graw-Hill NY 1951

Fisica 2, Humberto Leyva. 2012

http://www.fisicarecreativa.com/papers_sg/papers_sgil/Docencia/elasticidad1.pdf

VII. CUESTIONARIO

1. Con los datos de la tabla 1, determinar la constante elástica en forma analítica.Después de haber hallado los valores de la fuerza resultante con la 2 Ley de Newton utilizando la aceleración como la gravedad de Lima reemplazamos en la fórmula de la Fuerza Elástica y así hallamos las constantes de elasticidad para cada caso ; de esta forma sacamos el promedio de esas constantes y así obtendremos la constante de forma analítica . k=133.426603

2. Graficar en papel milimetrado F(N) vs x(m) y calcular gráficamente la constante elástica. Podemos hallar gráficamente: Trazando una recta tangente a la gráfica original y formar un triángulo rectángulo; así hallando △ y△ x

obtendremos la pendiente que es en este caso la

constante de elasticidad.La comprobación está en el anexo 1

3. Usando los datos de la tabla 1 calcular la constante elástica por el método de mínimos cuadrados.

Obtenemos que la constante de elasticidad por el método de mínimos cuadrados es: k = 17.5612863El método de mínimos cuadrados está especificado en la pág. 6Y la gráfica se encuentra en el anexo 1

4. Hallar el Error porcentual (E%) considerando como valor teórico el valor de la constante elástica hallada por el método de mínimos cuadrados.

Valor teórico: k = 17.5612863Valor experimental 1 (promedio de la tabla 1): k=133.426603Valor experimental 2 (hallado gráficamente): k =18

E%=Vteorico−Vexperimental

Vteorico∗100%

E%1=17.5612863−133.426603

17.5612863∗100%=−659.7%

E%2=17.5612863−1817.5612863

∗100%=−2.498%

5. Determinar el Keq para resortes colocados en serie y paralelo respecto a una masa.

F=xk k=Fx

Paralelo:

N°m(kg)

x x x̄F (N)

k1 k2 Keq

1 0.3004

0.073

0.073

0.073

2.940916

20.1432

20.1432

0.09928

La fuerza aplicada en cada resorte en paralelo es la mitad de la total ya que la fuerza total está siendo contrarrestada en 2 puntos lo que nos muestra una fase de equilibrio entre los 2 resortes y la masa en el centro.

k 1=F1

x

k 1=1.4704580.073

=20.1432 k 2=1.4704580.073

=20.1432

k eq=1k1

+ 1k2

=k1+k2k1×k2

k eq=20.1432+20.143220.1432×20.1432

k eq=0.09928

En serie:

N°

m(kg)

x xX (m) F (N)

k1 k2 Keq

1 0.250

0.021

0.021

0.021 2.45141

233.4681

233.4681

466.9363

Cuando es en serie tomamos que la variación total es la deformación de los dos resortes así que para hallar cada constante utilizaremos solo la mitad de la deformación total para cada k

k 1=Fx1

k 1=2.4514160.0105

=233.4681 k 2=2.4514160.0105

=233.4681

k eq=k1+k2 k eq=233.4681+233.4681

k eq=466 .9363 s-1

6. Analice la razón existente de la diferencia de la constante elástica de dos diferentes resortes en espiral.Las diferencias se pueden dar debido a que los resortes son hechos de diferente material, también influye el tiempo que ha sido utilizado cada resorte, así como también el lugar donde ha sido conservado ya que puede ser que este oxidado o algo similar; otro punto también es que tanto se le ha deformado, ya que puede perder su capacidad de elasticidad

7. Analizar y verificar la diferencia existente entre un muelle tipo espiral y un muelle tipo laminar o de banda.Observamos que existen diferencias entre el muelle en espiral y el tipo laminar, ya que el espiral es mucho más resistente pero a su vez es el menos flexible ya en la experimentación al colocar un ligero peso es el muelle espiral ya existía deformación, mientras que en el de tipo laminar se tuvo que colocar un gran peso para poder observar el cambio

8. ¿Por qué el esfuerzo a la tracción es positiva y el esfuerzo a la compresión es negativa?El esfuerzo a la tracción es positiva Porque la posición final del resorte será mayor con respecto a la posición inicial lo que al restar ( final - inicial) dará una respuesta positiva; lo contrario pasa con el esfuerzo de compresión en el que la posición final es menor ; además la fuerza en a tracción debe ser mayor para que supere a la fuerza de compresión del resorte en ese momento y así poder producirse la elongación, el esfuerzo negativo de la compresión se da porque la fuerza del resorte es mayor que su reacción lo que hace que el resorte se comprima .

9. Analice las fuerzas de cohesión y fuerzas de adherencia. De ejemplosLa cohesión es la fuerza de atracción entre moléculas del mismo tipo en una misma fase (estado de agregación molecular)Ejemplo: el hielo, la fuerza de cohesión es máxima entre las moléculas, por eso no hay movimiento y el sólido se mantiene firme.La adhesión, la fuerza que presentan algunos fluidos de pegarse a las paredes del recipiente que los contiene. Ejemplo la miel tiene mucha adhesión a las paredes del recipiente que los contiene, voltéalo o delúdalo y verás ese fenómeno.

10.Determine para la regla metálica el valor del módulo de Young (E) en kg/m2

.

El módulo de Young (E) para la regla de acero = 220.81124x1015

Teórico=200

E%=Vteorico−Vexperimental

V Teórico∗100%

E%= 200−220.81124

200∗100%=−10.4 %

11.¿Cuánto vale la energía elástica acumulada en esta barra en la máxima deformación?

U=12EV 0△

2 U=1

2k x2

k=204.493 kg/s2

x2 =S=144mm=0.000144mE = 220.81124V0 = 400x25x0.84 = 8400mm3

△2 = 122 = 144mm2 = 0.000144m2

U=0.01472 J