Introduccion a la Fısica Cuantica

Vıctor Romero RochınFacultad de Ciencias, Semestre 2017-I

1 La funcion de onda en terminos de proba-

bilidad de la posicion x o del momento p

Sin profundizar mucho en la interpretacion de los diferentes aspectos de lamecanica cuantica, discutimos en clase que el estado de un sistema esta dadopor la funcion de onda ψ(x) a un tiempo dado t. Supongamos, sin perdidade generalidad, que el sistema es una sola partıcula en 1 dimension.

Entonces, si el estado del sistema es ψ(x), podemos concluir que, si med-imos la posicion de la partıcula, entonces |ψ(x)|2dx es la probabilidad dehallarla entre x y x + dx. Una pregunta importante es: como obtuvimosla informacion de que el estado de la partıcula es ψ(x). Discutiremos masadelante que lo podemos saber ya sea porque medimos una cierta cantidadfısica en eses instante o en un instante previo, es decir, saber que el estadoes ψ(x) es consecuencia de haber realizado otra medicion. En este escritopartiremos del hecho que ψ(x) es conocida.

La funcion de onda satisface las siguientes propiedades:

(I) ψ(x) ∈ C, es decir, es una funcion compleja en general.

(II) ψ(x) es continua para todo valor de x ∈ R.

(III) ψ(x) es normalizable. Esto quiere decir la integral de |ψ(x)|2 existey es diferente de cero, ∫ ∞

−∞|ψ(x)|2dx <∞ (1)

Es decir, ∫ ∞−∞|ψ(x)|2dx < N (2)

1

con 0 < N <∞. De esta manera, siempre podemos redefi??nir a la funcionde onda como

ψ′(x) =1√Nψ(x) (3)

de tal manera que, ∫ ∞−∞|ψ′(x)|2dx = 1. (4)

El concepto de “normalizable”, por un lado, es en realidad mas amplioy, por el otro, es muy restrictivo. Notamos primero que para que la integral(2) exista, es necesario que

|ψ(x)|2 → 0 para x→ −∞ y x→ +∞. (5)

Sin embargo, como sealaremos adelante, se requiere que ψ(x) se haga ceromas rapido que cualquier potencia de x, es decir, que xn para toda n. Es evi-dente, sin embargo, que las condiciones de continuidad y de normalizabilidadson es- enciales para que ψ(x)|2 pueda ser interpretada como una probabili-dad.

Espacio de Hilbert, operadores, producto interno.

El conjunto de todas las funciones de onda ψ(x) que obedecen las condi-ciones (I), (II) y (III), arriba mencionadas, es un espacio de Hilbert, quedenotamos como H. Ademas de las funciones de onda existen tambien otrosobjetos en el espacio de Hilbert que se llaman operadores, debido a que “op-eran” o hacen una accion sobre las funciones. Los operadores basicos de esteespacio de Hilbert son los operadores de posicion x y de momento p (deno-taremos a los operadores siempre con un circunflejo o “gorro”). La accion deestos operadores sobre cualquier elemento ψ(x) del espacio de Hilbert es,

x ψ(x) = x ψ(x) (6)

p ψ(x) =~i

∂

∂xψ(x) (7)

En palabras, la accion de x es multiplicar a la funcion de onda por el valorde x en el que esta siendo evaluada, mientras que la accion de p es derivar ala funcion de onda, tambien en el punto donde se evalua.

2

Veremos mas adelante que cualquier funcion de x y p es tambien unoperador y lo podemos denotar como f = f(p, x). Lo importante de estosoperadores es que si ψ(x) es un elemento de espacio del Hilbert H, entoncesla accion del operador f sobre ψ(x) es tambien un elemento de H. Es decir,si ψ(x) ∈ H y

fψ(x) = φ(x) (8)

entonces φ(x) ∈ H. Note que esto implica inmediatamente que la funcion deonda debe hacerse cero mas rapido que cualquier potencia, ya que podrıamosescoger f = xα con α > 0 arbitrario. Esto obliga a que la funcion se hagacero exponencialmente o identicamente para |x| → ∞.

Ademas de los operadores y su accion, podemos definir una operacionentre los elementos del espacio de Hilbert. Este es el producto interno o“traslape” entre dos elementos ψ(x) y φ(x), y se denota como,

〈φ|ψ〉 =

∫ ∞−∞

φ∗(x)ψ(x)dx. (9)

Evidentemente, en general, el traslape es complejo, 〈φ|ψ〉 ∈ C. Por supuestoel producto interno de un elemento consigo mismo es su “norma” y es sucondicion de normalizabilidad,

〈φ|φ〉 =

∫ ∞−∞

φ∗(x)φ(x)dx =M∈ R > 0. (10)

En analogıa con el producto interno en otros espacios vectoriales, el productointerno en el espacio de Hilbert tiene tambien la interpretacion de que 〈φ|ψ〉es la proyeccion de φ(x) sobre ψ(x). En el caso extremo en que es cero deci-mos que son ortogonales y cuando es 1 es la norma del estado.

De la misma manera podemos calcular la siguiente cantidad,

〈φ|f |ψ〉 =

∫ ∞−∞

φ∗(x)f(x, p)ψ(x)dx. (11)

Esta cantidad es, en general, compleja. Si φ(x) 6= ψ(x) se le llama el “el-emento de matriz” de f entre φ y ψ (ya muy vulgar se le dice tambien el“sandwich” entre φ y ψ). Si φ(x) = ψ(x), entonces se le llama el “valor deexpectacion” de f en ψ(x).

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Una base muy importante del espacio de Hilbert.

El espacio de Hilbert es un espacio lineal. Es decir, si ψ(x) y φ(x) sonelementos de H, entonces la superposicion lineal de ellos tambien lo es: si,

χ(x) = a ψ(x) + b φ(x), (12)

con a y b numeros complejos, entonces χ(x) es un elemento de H. Estapropiedad sugiere la existencia de bases del espacio de Hilbert: esto es, deconjuntos (infinitos) de funciones de onda ortonormales y completas, talesque cualquier φ(x) ∈ H puede escribirse como una superposicion lineal delos elementos de dichos conjuntos.

La ortonormalidad significa que los elementos de una base son ortogonalesentre todos ellos bajo la operacion del producto interno y que son normaliz-ables.

La completez es que no solo todo ψ(x) ∈ H es una combinacion o su-perposicion de la base, sino que cualquier combinacion lineal de la base, queobedezca las condiciones (I), (II) y (III) de arriba, tambien es un elementode H.

Mas adelante demostraremos que existe una clase de operadores, llama-dos Hermitianos, tales que sus estados propios o eigenestados forman unabase. Por supuesto, tanto x como p son Hermitianos. Como discutiremosahora, existe una base fundamental que es el conjunto de los estados propiosdel operador de momento p. Veamos.

En clase se discutio que las siguientes funciones de onda son estadospropios de p:

φp(x) =1√2π~

eipx/~ ∀p ∈ R. (13)

Este conjunto es evidentemente infinito. Decimos que son los estados propioso eigenfunciones de p porque obedecen la siguiente ecuacion,

p φp(x) = p φp(x) ∀p ∈ R. (14)

Esto se comprueba facilmente reemplazando la accion de p:

p φp(x) =~i

∂

∂x

1√2π~

eipx/~

4

=~i

(1√2π~

eipx/~)ip

~= p φp(x). (15)

Se dice entonces que φp(x) es eigenfuncion de p con valor propio o eigenvalorp. El eigenvalor debe ser una cantidad real. Note que para que sea eigen-funcion, la accion del operador sobre la eigenfuncion debe regresar la mismafuncion solo que multiplicada por un numero real, para todo valor de x.

Aunque luego insitiremos en los aspectos de interpretacion, adelantamosque si sabemos que el estado de la partıcula es, digamos, φp′(x) entoncessabemos con certeza que el momento de la partıcula es p′, y esto solo lopodrıamos saber si hicimos una medicion del momento p en ese instante, ohicimos otra medicion antes y la evolucion del sistema lo llevo a ese estado.Veremos que el ultimo caso se obtendrıa con la evolucion temporal de laecuacion de Schrodinger.

• Ortonormalizacion. Calculemos el traslape o producto interno entredos eigenfunciones arbitrarias,

〈φp′ |φp〉 =

∫ ∞−∞

φ∗p′(x)φp(x) dx

=1

2π~

∫ ∞−∞

e−ip′x/~ eipx/~ dx

=1

2π~

∫ ∞−∞

eix(p−p′)/~ dx. (16)

Ahora hacemos el cambio de variable y = x/~ y obtenemos

〈φp′ |φp〉 =1

2π

∫ ∞−∞

eiy(p−p′) dx. (17)

Usamos la expresion fundamental de la Delta de Dirac,∫ ∞−∞

eiy(p−p′) dx = 2π δ(p− p′) (18)

lo que finalmente nos da,

〈φp′|φp〉 =

∫ ∞−∞

φ∗p′(x)φp(x) dx

= δ(p− p′) ∀p y p′. (19)

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Esta es la condicion de ortonormalizacion del conjunto de eigenfuncionesφp(x) de p. Esta expresion nos dice que si p 6= p′ el traslape es cero, es de-cir φp(x) y φp′(x) son ortogonales. La normalizacion no es igual a la unidad,

sin embargo, los elementos de matriz 〈φp′ |f |φp〉 estan perfectamente definidos

para todo f que, como veremos mas adelante, es lo que realmente necesitamospara hacer uso de la teorıa. Con respecto a la interpretacion de probabili-dad tampoco hay problema porque |φp(x)|2dx = (1/2π~)dx nos indica quela probabilidad de hallar a la partıcula en cualquier posicion x es la misma,si el estado es φp(x).

• Completez. No es obvio en este momento, aunque se vera un poco masadelante, la relacion de completez es la propiedad de la base de descomponerel operador unidad en terminos de una suma de todos elementos de la base.Se puede mostrar que si una base es completa debe obedecer,∫ ∞

−∞φp(x)φ∗p(x

′) dp = δ(x− x′). (20)

Note que es una suma (integral) sobre todos los valores de p. El lado derechoes el operador unidad 1 en el siguiente sentido

1 φ(x) ≡∫ ∞−∞

δ(x− x′)φ(x′)dx′

= φ(x). (21)

Con las siguientes manipulaciones matematicas, y un cambio apropiadode variables, podemos demostrar la relacion (20),∫ ∞

−∞φp(x)φ∗p(x

′) dp =1

2π~

∫ ∞−∞

eipx/~ e−ipx′/~ dp

=1

2π~

∫ ∞−∞

eip(x−x′)/~ dp

=1

2π

∫ ∞−∞

eiy(x−x′)/~ dy

= δ(x− x′). (22)

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Descomposicion de cualquier ψ(x) en la base de p y su inter-pretacion.

Sea ψ(x) una funcion de onda arbitraria, elemento del espacio de HilbertH. Usando la relacion de completez (20), escribimos,

ψ(x) =

∫ ∞−∞

δ(x− x′)ψ(x′)dx

=

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

φp(x)φ∗p(x′) dp

)ψ(x′)dx′. (23)

Rearreglando los integrandos, podemos reescribir

ψ(x) =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

φ∗p(x′)ψ(x′) dx′

)φp(x)dp. (24)

Notamos que al realizar la integral sobre x′ obtenemos una cantidad que solodepende de p. Definimos a esta cantidad de la siguiente manera,

ψ(p) =

∫ ∞−∞

φ∗p(x′)ψ(x′) dx′, (25)

tal que, la funcion de onda original se expresa finalmente como:

ψ(x) =

∫ ∞−∞

ψ(p)φp(x)dp. (26)

Es decir, desde el punto de vista estrictamente formal logramos mostrar quela funcion de onda ψ(x), elemento del espacio de Hilbert por suposicion, esuna superposicion o combinacion lineal de los elementos de la base de p. Lafuncion ψ(p), para toda p, representa los “coeficientes” del desarrollo en dichabase. Esto ultimo se comprueba mejor notando que ψ(p), por la definiciondel traslape (9), se puedes expresar como

ψ(p) = 〈φp|ψ〉. (27)

En otras palabras ψ(p) es la proyeccion de ψ(x) sobre φp(x).

Observe ahora con detenimiento las expresiones (25) y (26). Note queaparecen como “analogas”: la primera es el desarrollo de ψ(p) en el espacio

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de las x’s, mientras que la segunda es el desarrollos de ψ(x) en el espaciode las p’s. No solo eso, matematicamente podemos transformar de una a laotra. Para mostrarlo haga el siguiente ejercicio, multiplique (25) por φp(x) eintegre sobre p, obtendra ψ(x). Luego, multiplique (26) por φ∗p′(x) e integre

sobre x, obtendra ψ(p′) ... Lo interesante desde el punto de vista de la fısica ysu interpretacion es que tanto ψ(x) como ψ(p) representan al mismo estado,solo que una lo hace en el espacio de la posiciones x y la otra en el espaciode los momentos p. Ası como |ψ(x)|2dx es la probabilidad de hallar a lapartıcula en la posicion entre x y x + dx, veremos abajo que |ψ(p)|2dp es laprobabilidad de hallar a la partıcula con momento entre p y p+dp. Esto noshara ver que las dos descripciones son completamente equivalentes, ningunaes mas fundamental que la otra. Eso sı, una nos da las probabilidades demediciones de x, la otra de probabilidades de mediciones de p. Sin embargo,dichas cantidades son diferentes y no pueden medirse simultaneamente: omedimos x o medimos p. En palabras de Bohr, la informacion de ψ(x) yψ(p) es entonces complementaria.

Probabilidades de mediciones de x o de pUna vez mas, sea ψ(x) un estado arbitrario del sistema. ¿Como sabemos

que ese es el estado del sistema? Esa es una buena pregunta y la respuesta esque o medimos alguna cantidad conocida en ese instante u otra antes y ahorasabemos el estado. Por el momento despreocupemonos de este “detalle” ysupongamos que existe un procedimiento experimental que nos da certeza deque el sistema esta en ese estado. No solo eso, podemos suponer tambienque podemos repetir ese experimento tantas veces como deseemos tal quepodemos “colocar” al sistema en el estado ψ(x) tantas veces como queramos.

El estado ψ(x), dado que es arbitrario, no es una eigenfuncion del mo-mento p. Por lo tanto, no tiene ni posicion x ni momento p bien definidos,solo podemos hablar de las probabilidades de mediciones de x y de p. Veamos.

Recordemos primero la hipotesis inicial: |ψ(x)|2dx es la probabilidad deque, si medimos la posicion x de la partıcula, la hallaremos entre x yx+ dx.Para que esto sea cierto, se deben obedecer las siguientes propiedades:

1) ψ(x) es continua y |ψ(x)|2 es normalizable. Esto se cumple por su-posicion, es decir ψ(x) es un elemento del espacio de Hilbert H.

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2) Si |ψ(x)|2 es una probabilidad, entonces el promedio de las medicionesde la posicion, estando siempre la partıcula en el estado ψ(x), debe ser iguala∫∞−∞ |ψ(x)|2 x dx, o reescribiendo, a

∫∞−∞ ψ

∗(x) x ψ(x) dx. Esto es por ladefinicion de promedio. Notamos que esta segunda forma de escribirlo es,por nuestra identificacion, el valor de expectacion de x en ψ(x). Es decir, elpromedio de las mediciones de la posicion es el valor de expectacion de x,

〈ψ|x|ψ〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(x) x ψ(x) dx. (28)

Que esto sea el promedio, no son ni palabras ni formalismo matematico. Estoquiere decir que esta expresion debe estar de acuerdo con la realizacion deun gran conjunto de experimentos. Es decir, debemos ser capaces de “colo-car” al sistema, cuantas veces deseemos, en el estado ψ(x) (por medio de unprocedimiento experimental repetible). Luego, estando el sistema en ψ(x),medimos la posicion. Es claro que no siempre obtendremos el mismo valor dex, sin embargo, despues de un numero enorme de repeticiones obtendremosmuchos valores de la posicion x y las promediamos simplemente sumando to-dos los valores y luego promediando sobre ellos. Por supuesto, si realizamosun numero gigantesco de mediciones podrıamos hacer un histograma de losvalores de x: este debera ser |ψ(x)|2. El punto es que existe un procedimientoobjetivo que nos permite concluir y verificar que, efectivamente, |ψ(x)|2 es laprobabilidad mencionada.

Lo interesante es que como ψ(x), por suposicion, no es una eigenfuncionde p, tampoco tenemos certeza en el valor de p y, por lo tanto, podemospreguntarnos: dado que el estado es ψ(x), cual es la probabilidad de que,si medimos el momento p de la partıcula, lo hallemos con valores entre p yp + dp? La sugerencia es, ası como el valor de expectacion de x, 〈ψ|x|ψ〉,dado por (28), es el promedio de las mediciones de la posicion, entonces, elpromedio de las mediciones del momento debe ser el valor de expectacion delmomento p en el estado ψ(x), 〈ψ|p|ψ〉:

〈ψ|p|ψ〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(x) p ψ(x) dx

=

∫ ∞−∞

ψ∗(x)~i

∂

∂xψ(x) dx (29)

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La segunda lınea nos permitirıa calcular el valor del promedio de p si conocieramosla funcion de onda ψ(x). Lo que queremos ahora, sin embargo, es ver surelacion con la funcion ψ(p). Para esto, reemplacemos tanto ψ(x) comoψ∗(x) por sus expresiones en terminos de ψ(p), expresion (26):

〈ψ|p|ψ〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(x) p ψ(x) dx

=

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

ψ∗(p′)φ∗p′(x)dp′)p

(∫ ∞−∞

ψ(p′′)φp′′(x)dp′′)dx

Notamos, de manera crucial, que p solo actua sobre la funcion φp′′(x) queesta a su derecha (ya que es una derivada sobre x) dando pφp′′(x) = p′′φp′′(x),

〈ψ|p|ψ〉 =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

ψ∗(p′)φ∗p′(x)dp′)(∫ ∞

−∞ψ(p′′)p′′φp′′(x)dp′′

)dx (30)

Agrupamos la integral sobre x,

〈ψ|p|ψ〉 =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

ψ∗(p′)ψ(p′′)p′′(∫ ∞−∞

φ∗p′(x)φp′′(x)dx

)dp′dp′′. (31)

Usamos la relacion de ortonormalizacion (19),

〈ψ|p|ψ〉 =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

ψ∗(p′)ψ(p′′)p′′δ(p′ − p′′)dp′dp′′, (32)

y aplicamos la funcion Delta (quitando las “primas”)

〈ψ|p|ψ〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(p)ψ(p)pdp. (33)

Es decir, el valor de expectacion de p es

〈ψ|p|ψ〉 =

∫ ∞−∞

p|ψ(p)|2dp, (34)

lo que indica que a |ψ(p)|2dp se le puede adjudicar la intepretacion de que, sise mide p, es la probabilidad de hallar al momento con valor entre p y p+dp.Es facil checar que si cambiamos p por la unidad 1, obtenemos

〈ψ|ψ〉 =

∫ ∞−∞|ψ(p)|2dp = 1 (35)

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que es igual a 1 porque 〈ψ|ψ〉 = 1 es la norma del estado ψ(x) ... la com-paracion con el experimento corrobora que el promedio de momento esta deacuerdo con las expresiones anteriores. Por lo tanto, |ψ(p)|2 es la probabil-idad del momento. Debido a que medir la posicion o el momento es unaprerrogativa del experimentador, llegamos a la conclusion que para calcularlas propiedades estadısticas de las mediciones podemos usar indistintamenteψ(x) o ψ(p).

Dejamos al lector el siguiente ejercicio: Calcule el valor de expectacionde x usando ψ(p), es decir, tiene que calcular

〈ψ|x|ψ〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(p)xψ(p)dp. (36)

Pregunta: cual es la forma del operador x actuando sobre ψ(p)?

2 De donde “obtenemos” las funciones de onda

ψ(x)?

Esta seccion pretende dar un resumen de los elementos de la mecanica cuanticade una partıcula en 1 dimension espacial, de tal forma que podamos inter-pretarla de forma coherente y cerrada. Se usaran varios “teoremas” utiles eimportantes, la mayorıa de ellos sin demostrar, con el afan de no distraernosen las matematicas y poder llegar a nuestro objetivo. Debido a que en clasese analizo con detalle el problema de una partıcula en una caja, usaremoscon libertad los conceptos de espacio de Hilbert y sus bases ortonormales ycompletas.

Fijemos ideas primero. Supongamos un sistema de una partıcula de masam en 1 dimension, tal que su Hamiltoniano esta dado por,

H =p2

2m+ V (x), (37)

con V (x) un potencial “decente”. Los operadores p y x denotan las canti-dades fısicas del momento y la posicion. Un problema tıpico es el siguiente:Sea ψ(x) el estado del sistema al tiempo t = 0. Entonces, al tiempo t, elestado es,

ψ(x, t) = e−iHt/~ψ(x), (38)

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que es la solucion formal a la ecuacion de Schrodinger,

i~∂

∂tψ(x, t) = Hψ(x, t) (39)

con condicion inicial ψ(x, 0) = ψ(x). Una condicion adicional es que exigimosque la funcion de onda este normalizada para todo tiempo,∫ ∞

−∞|ψ(x, t)|2dx = 1. (40)

Haciendo tecnicismos a un lado, la pregunta es ¿cual es el significado deψ(x)? es decir, ¿como la relacionamos con posibles experimentos que hag-amos? ¿como “obtenemos” ψ(x) o, en otras palabras, como podemos saberque el sistema esta en el estado dado por ψ(x)? Esto es lo que quisieramoscontestar.

Lo que sı sabemos es que, si el estado del sistema esta dado por ψ(x),entonces:

• |ψ(x)|2dx es la probabilidad de hallar el valor x de la posicion, si med-imos x.

• |ψ(p)|2dp es la probabilidad de hallar el valor p del momento, si medimosp, con

ψ(p) = 〈φp|ψ〉

=

∫ ∞−∞

φ∗p(x)ψ(x) dx (41)

donde

φp(x) =1√2π~

eipx/~ (42)

es el elemento p de la base del momento,

pφp(x) = pφp(x) ∀p ∈ R (43)

El conjunto de las φp(x) ∀p ∈ R es una base del espacio de Hilbert H de lasfunciones de onda.

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• |an|2 es la probabilidad de hallar el valor En de la energıa, si medimosH, con

an = 〈Φn|ψ〉

=

∫ ∞−∞

Φ∗n(x)ψ(x) dx (44)

y Φn(x) es el elemento n de la base de la energıa,

HΦn(x) = EnΦn(x) ∀n = 0, 1, 2, . . .∞. (45)

El conjunto de las Φn(x) ∀n = 0, 1, 2, . . .∞, es una base del espacio deHilbert H de las funciones de onda. Un ejemplo es la partıcula en una cajao el oscilador armonico.

Un detalle crucial es que, si el estado es ψ(x) y medimos p y hallamos,digamos, p0, entonces adquirimos certeza de que el valor del momento es p0y, por lo tanto, el estado del sistema ya no es ψ(x) sino φp(x). De manera

analoga, si el estado es ψ(x) y medimos H y hallamos Em, entonces la certezaahora es que el valor de la energıa es Em y, entonces, el estado del sistemaotra vez ya no es ψ(x) sino Φm(x). Es claro que hay algo mas general detrasde esto, no solo aplicable a p o H. Es decir, concluiremos que cualquier es-tado ψ(x) es consecuencia de que tenemos certeza de algo que medimos, nonecesariamente x, ni p, ni H. Veamos, paso a paso.

El Principio de Incertidumbre. Primera Parte. Esta es la piedraangular de la mecanica cuantica. El enunciado matematico es que si x y pson los operadores de posicion y momento en el espacio de Hilbert H, debenobedecer que su conmutador es,

[x, p] = i~. (46)

Este es un postulado o “principio” no deducible de nada previo, es el Prin-cipio de Incertidumbre.

Teorema 1 Si postulamos que la accion de x sobre cualquier funcion deonda ψ(x) en H es

xψ(x) = xψ(x) (47)

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entonces, por la relacion (46), la base de p,

pφp(x) = pφp(x) ∀p ∈ R (48)

esta dada por

φp(x) =1√2π~

eipx/~ ∀p ∈ R. (49)

Corolario 1.1 De lo anterior se sigue que la accion de p sobre cualquierfuncion de onda ψ(x) en H es

pψ(x) =~i

∂

∂xψ(x). (50)

Note que esta secuencia de resultados parece estar “al reves” de como lo intro-dujimos en el curso. No es ası. La forma en que lo hicimos fue motivada porel trabajo de de Broglie, pero a sabiendas de que estaba matematicamentefundamentada.

Corolario 1.2 Si ψ(x) es el estado del sistema, funcion de onda en H,entonces la relacion (46) implica que

∆x∆p ≥ ~2, (51)

donde ∆x = (〈ψ|x2|ψ〉 − 〈ψ|x|ψ〉2)1/2 es la fluctuacion de x en el estadoψ(x) y analogamente para ∆p. Note que este enunciado no se refiere a unexperimento o a nuestra inhabilidad de medir de manera precisa x o p. Esun enunciado sobre resultados estadısticos de mediciones de x o de p de unsistema estando siempre en el estado ψ(x). Regresaremos a este punto en laSegunda Parte del Principio de Incertidumbre.

Operadores arbitrarios en el espacio de Hilbert H

Dados x y p, con su regla de conmutacion (46) y con sus acciones sobrecualquier estado ψ(x), podemos construir un operador arbitrario f de lasiguiente manera,

f = f(x, p), (52)

donde f(x, p) es una funcion “decente” en el sentido que puede expresarsecomo una serie de potencias, por ejemplo,

f =∑mn

cmnxnpm (53)

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donde la suma puede ser finita o infinita y los coeficientes cmn pueden sercomplejos en general. La operacion de f sobre ψ(x) puede escribirse como

fψ(x) = f(x,~i

∂

∂x)ψ(x). (54)

Es evidente que como x y p no conmutan, el orden en que aparezcan en laserie (53) es importante. Como ejemplos adicionales considere

g1 = xp g2 = px. (55)

Estos operadores no son iguales, como puede corroborarse viendo como actuansobre una funcion de onda ψ(x).

Dado un operador f definimos su operador Hermitiano conjugado f †

(que se lee “f-daga”), de la siguiente manera: Sean ψ(x) y φ(x) dos funcionesde onda arbitrarias. El elemento de matriz de f entre φ y ψ se define como

〈φ|f |ψ〉 =

∫ ∞−∞

φ∗(x)fψ(x)dx. (56)

Esta cantidad, en general, es un numero complejo. Dado este numero, eloperador Hermitiano conjugado a f es

〈φ|f †|ψ〉 =(〈ψ|f |φ〉

)∗∫ ∞−∞

φ∗(x)f †ψ(x)dx =

∫ ∞−∞

ψ∗(x)fφ(x)dx (57)

La operacion de hallar el Hermitiano conjugado de un operador es el analogo,en operadores, de hallar el complejo conjugado de un numero complejo.

Operadores Hermitianos

Se dice que un operador f es Hermitiano si es igual a su Hermitianoconjugado f †,

f † = f . (58)

Esto puede escribirse como,

〈φ|f †|ψ〉 = 〈φ|f |ψ〉 (59)

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sin embargo, usando la definicion de Hermitiano conjugado, obtenemos unapropiedad que obedece f : (

〈ψ|f |φ〉)∗

= 〈φ|f |ψ〉. (60)

En palabras: un operador es Hermitiano si sus elementos de matriz soniguales a sus elementos transpuestos conjugados.

Teorema 2. FUNDAMENTAL sobre los operadores Hermi-tianos

A toda base completa y ortonormal del espacio de Hilbert H, le corre-sponde un operador Hermitiano, y viceversa, tal que sus eigenvalores corre-spondientes son reales.

Esto se expresa de la siguiente manera: Sea el conjunto de funciones deonda ζn(x), para n = 0, 1, 2, . . ., una base completa y ortonormal. Es decir,obedecen, ∫ ∞

−∞ζ∗m(x)ζn(x) dx = δmn ortonormalidad (61)

∞∑n=0

ζn(x)ζ∗n(x′) = δ(x− x′) completez (62)

Revise que las dos condiciones anteriores garantizan que cualquier estadoψ(x) en el espacio de Hilbert puede escribirse como una combinacion linealde los elementos de la base ζn(x).

Ahora, el teorema garantiza que existe un operador Hermitiano g = g†,tal que los elementos de la base son eigenfunciones de g con eigenvaloresreales:

g ζn(x) = gn ζn(x) gn ∈ R ∀n. (63)

El teorema funciona al reves tambien: para todo operador Hermitiano suseigenfunciones forman una base completa y ortonormal, y sus eigenvaloresson reales.

Por definicion, todas las eigenfunciones son diferentes, ζn(x) 6= ζm sin 6= m. Sin embrago, no existe ninguna condicion sobre los eigenvalores,

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excepto que son reales. Esto deja abierto que los eigenvalores puedan o noser diferentes entre ellos. Es decir, puede ocurrir que para dos eigenfuncionesζn(x), ζm(x), n 6= m, sus eigenvalores sean iguales, gn = gm. A esto se lellama degeneracion de los eigenvalores. El Teorema 3 abajo permite removeresta ambiguedad, crucial para la interpretacion de la teorıa.

Corolario 2.1 Sean f = f † y g = g† dos operadores Hermitianos. Labase de g son las funciones ζn(x) y sean φm(x) las eigenfunciones de f ,

g φm(x) = fn φm(x) fm ∈ R ∀n. (64)

a) Si [f , g] 6= 0 (no conmutan) entonces las bases de f y g son diferentes.Es decir, las eigenfunciones de g son combinaciones lineales de las de f yviceversa:

ζn(x) =∞∑m=0

cnmφm(x) ∀n (65)

donde los coeficientes cnm 6= δnm y estan dados por,

cnm = 〈φm|ζn〉 =

∫ ∞−∞

φ∗m(x)f †ζn(x)dx (66)

b) Si [f , g] = 0 (conmutan) entonces las bases de f y g son la misma. Esdecir, cnm = δnm para toda n, o sea ζn(x) = φn(x).

Teorema 3 Si dos operadores Hermitianos conmutan [f , g] = 0, entonces,o f = f(g) o g = g(f). Como ambos tienen la misma base con eigenvaloresgn y fn, entonces gn = gn(fn) o fn = fn(gn).

Corolario 3.1 Dada una base completa y ortonormal del espacio deHilbert H, siempre existe un operador h Hermitiano tal que sus eigenvaloresson todos diferentes,

h φm(x) = hn φm(x) hm ∈ R ∀n, (67)

con hn 6= hm para toda n 6= m. Esto quiere decir que todos los operadoresque conmutan entre sı (que es un numero infinito de ellos), todos tienen lamisma base y todos son funciones de h (o, los eigenvalores de todos ellosson funciones de los eigenvalores de h). Este teorema solo es valido parasistemas de una partıcula en 1 dimension. Este teorema permite remover

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las degeneraciones que, como veremos abajo es de suma importancia para lainterpretacion de la teorıa. Desafortunadamente, para sistemas con mas deuna partıcula o de una en mas de una dimension, la situacion es mucho mascomplicada.

Principio de Incertidumbre. Segunda Parte

Teorema 4. Sea ψ(x) un estado arbitrario de un sistema. Sean f = f †

y g = g† dos operadores arbitrarios Hermitianos. Definimos las fluctuacionesde f y g en ψ(x) como

∆f =(〈ψ|f 2|ψ〉 − 〈ψ|f |ψ〉2

)1/2∆g =

(〈ψ|g2|ψ〉 − 〈ψ|g|ψ〉2

)1/2. (68)

Se puede mostrar que las fluctuaciones obedecen la siguiente desigualdad,

∆f∆g ≥ 1

2|〈ψ|

[f , g]|ψ〉|. (69)

El teorema implica dos obvios casos: a) Si el conmutador es cero, [f , g] = 0,podemos hallar un estado ψ(x) en que ambas fluctuaciones sean cero si-multaneamente. b) Si el conmutador no es cero, [f , g] 6= 0, entonces encualquier estado las fluctuaciones no pueden hacerse cero simultaneamente

Interpretacion de la teorıa

En su forma mas sencilla, el Principio de Incertidumbre nos dice que siel estado del sistema es ψ(x) las incertidumbres de la posicion y el momentoobedecen

∆x∆p ≥ ~2. (70)

Esta expresion, como ya lo indicamos antes, no corresponde a una solamedicion de x o de p. Es una expresion estadıstica de un gran numerode mediciones de x o de p, habiendo preparado al sistema al sistema en elestado ψ(x) antes de cada una de dichas mediciones. Las incertidumbres∆x y ∆p son una medida del ancho de las distribuciones |ψ(x)|2 y |ψ(p)|2.Debido a que su producto es mayor o igual que una constante positiva, comoindica (70), es entonces imposible que ambas incertidumbres sean cero. De-pendiendo de la funcion de onda ψ(x), o ambas incertidumbres son diferentes

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o solo una de ellas es cero y la otra es infinita. En el segundo caso, en el queuna de ellas sea cero, digamos ∆x = 0, significa que se tiene certeza de esavariable x y, por lo tanto, que corresponde a haber realizado una medicionde tal variable. Al mismo tiempo la incertidumbre de la otra variable, ∆p,es infinita, lo que indica que se tiene una total incertidumbre de esa variable.Esto implica que solo es posible medir x o p pero no ambas a la vez. Sin em-bargo, nos preguntamos ?’y si nosotros medimos o tratamos de medir ambasa la vez? la respuesta es que, de acuerdo a la mecanica cuantica, eso debeser imposible. Esto debe traducirse tal que debe ser imposible construir uninstrumento que pueda medir x y p a la vez. Es decir, si construimos uninstrumento que mida x, con ese instrumento debe ser imposible medir p, yviceversa. Hasta el dıa de hoy esto parece cumplirse. La extension a observ-ables que no sean x o p, digamos f = f † y g = g† es que, si conmutan sıpuede construirse un instrumento que mida a la dos simultaneamente, y sino conmutan entonces es imposible construir tal dispositivo.

Los teoremas anteriores, no exhaustivos pero suficientes para nuestrospropositos, nos permiten dar una interpretacion de la mecanica cuantica, esdecir, de los operadores, las funciones de onda y los coeficientes de los de-sarrollos de funciones de onda en una base. Varios de estos conceptos ya sehan discutido, por supuesto, pero los teoremas anteriores permiten “cerrar”la interpretacion.

Observables. Llamamos observable a toda cantidad fısica que, en ellaboratorio, pueda ser o sea susceptible de ser medida o inferida. Suponemosque para lograr tal medicion o inferencia en un sistema dado, se realizo unexperimento o medicion explıcita en el sistema con un aparato de medicion,en el instante en el que se desea saber el resultado de la medicion o enun instante previo. La conexion fundamental con la teorıa es que a cadaobservable se le asocia un operador Hermitiano. Y viceversa, a todo operadorHermitiano se le asocia una observable. Por ejemplo a las cantidades fısicasposicion, momento y energıa, se les asocia los operadores Hermitianos x, p yH.

La primera razon por las que a las observables se les asocia un operadorHermitiano es porque los eigenvalores de estos ultimos son reales. Entonces,como en el laboratorio a lo que se mide se le asocia un numero real, la in-terpretacion es que los eigenvalores fn del operador f son los unicos valoresposibles que la cantidad fısica asociada a f puede tomar. Es importante en-

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tonces recalcar que si medimos f y obtenemos un valor dado, ese valor debeser uno de los eigenvalores. Sobra enfatizar que esto se ha comprobado demanera precisa. Podemos afirmar, entonces, que si se realiza una medicionde f y se obtiene, digamos, el eigenvalor fl, se tiene certeza de que el valorde la observable f es fl.

Lo anterior da lugar a la segunda razon de que a las observables se lesasocie un operador Hermitiano: Dado que cada eigenvalor fn corresponde auna eigenfuncion φn(x), entonces, la certeza de que el valor de la observablees fn, se traduce a que tenemos certeza de que el estado del sistema es φn(x).Note que podrıa haber una ambiguedad en la determinacion del estado si eleigenvalor fuera degenerado. Es decir, si fn = fm para n 6= m, entonces lamedicion de fn (igual a fm) nos deja la ambiguedad de que el estado sea ζn(x)o ζm(x). Y es aqui donde entra la importancia del Teorema 3: si medimosh, el operador con todos sus eigenvalores diferentes (i.e. sin degeneraciones),se remueve la ambiguedad. Esto nos indica que las cantidades relevantes aser medidas son solo aquellas como h, que no tienen degeneraciones. El valorde todas las observables g que sean funciones de h quedan inmediatamentedeterminadas, sin necesidad de medirlas. En conclusion, midiendo h y obte-niendo hn el estado queda unicamente determinado.

La tercera razon, debida a la completez de la base, es que, si antes de lamedicion tenıamos certeza de que el estado era una funcion de onda ψ(x),entonces podemos afirmar que si midieramos h (aunque no la midamos!),existe una probabilidad |cn|2 de que hallemos el valor hn, donde

cn = 〈ζn|ψ〉. (71)

Es decir, hemos supuesto que, debido a la completez de la base,

ψ(x) =∞∑n=0

cnζn(x). (72)

Esto, aunado con el Principio de Incertidumbre (Primera y Segunda Parte),nos indica que solo podemos desarrollar la funcion de onda en una sola basea la vez, no en dos o mas. Es decir, solo podemos hacer la prediccion de lamedicion de una observable h (y de todas las conmuten con ese operador)a la vez, implicando que se puede hacer usando un dispositivo experimentaldado. Si queremos predecir las probabilidades de otra observable f que no

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conmute con la anterior, [h, f ] 6= 0, entonces tenemos que desarrollar al es-tado ψ(x) en la base de f , diferente a la de h, implicando ahora que usaremosel dispositivo que mide f pero que no puede medir h.

¿Como obtenemos ψ(x)? Con lo anterior ya podemos afirmar quequiere decir la frase “suponga que el sistema esta en el estado arbitrarioψ(x)” ... solo necesitamos el siguiente teorema:

Teorema 5. Toda funcion de onda ψ(x) en el espacio de Hilbert H es unelemento de alguna base de H, es decir, ψ(x) es una eigenfuncion de algunoperador Hermitiano correspondiente a un eigenvalor. Por lo tanto, cuandoafirmamos que el estado del sistema es ψ(x) es porque esta implıcito que serealizo alguna medicion que nos dio certeza de que el estado era ψ(x).

Con lo anterior (y con la evolucion temporal dada por el propagador,conociendo el Hamiltoniano del sistema) se “cierra” el procedimiento de comofunciona y se usa la mecanica cuantica, desde un punto de vista operativo.Note, sin embargo, que todo tiene una connotacion estadıstica, es decir, parahablar de probabilidades, certezas e incertidumbres, tenemos que pensar enuna coleccion de experimentos en los que, por ejemplo, el sistema se puedecolocar en el mismo estado ψ(x) y luego se mide, digamos, el operador g.Cada medicion nos da un eigenvalor de g y los coeficientes del desarrollode ψ(x) en la base de g nos dan las fracciones de las veces que se hallaronlos eigenvalores correspondientes. Sin embargo, queda una pregunta: ¿quesucede en cada experimento por separado en que se tuvo certeza de ψ(x),se midio g y se obtuvo un eigenvalor? Es decir, la coleccion de todas lasmediciones y las probabilidades nos pueden decir que ocurre en cada real-izacion? La respuesta es no: La mecanica cuantica no nos indica que sucedeen una sola realizacion. Es decir, si sabemos con certeza que el estado esψ(x), primero, tenemos la libertad de medir lo que nos plazca. Una vez quedecidimos que medir, sabemos de antemano que valores podemos obtener ysus probabilidades, pero es imposible predecir cual valor exactamente se vaa obtener. En la literatura a esto se le llama indeterminismo. Y la preguntaes, ¿que ocurre realmente en cada medicion? Aunque debemos ser clarosque ni la teorıa ni los experimentos han sido capaces de responder esa pre-gunta, siempre podemos recurrir a “interpretaciones”. Una es el colapso dela funcion de onda y la otra es la complementariedad de Bohr ... continuara.

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