1. LOS NÚMEROS NATURALES. DEFINICIÓN Y...

TEMA 1: NMEROS NATURALES Y ENTEROS. INTRODUCCIN A LAS TIC MDULO UNO

BLOQUE 1 DEL MBITO CIENTFICO-TECNOLGICO

1. LOS NMEROS NATURALES. DEFINICIN Y OPERACIONES 1.1. SUMA DE NMEROS NATURALES 1.2. RESTA DE NMEROS NATURALES 1.3. MULTIPLICACIN DE NMEROS NATURALES 1.4. DIVISIN DE NMEROS NATURALES 1.5. PRIORIDAD DE OPERACIONES 1.6. USO DEL ORDENADOR PARA REALIZAR DIFERENTES OPERACIONES 1.7. DIVISIBILIDAD. MLTIPLOS, DIVISORES Y DESCOMPOSICIN FACTORIAL

2. LOS NMEROS ENTEROS. DEFINICIN Y OPERACIONES 3. INTRODUCCIN A LAS TIC

1. LOS NMEROS NATURALES En nuestra vida diaria estamos rodeados de nmeros por todas partes. Cuntos aos tienes? Cunto cuesta un libro? A qu velocidad va tu coche?... Estos nmeros los utilizamos para contar (uno, dos, tres,), y se llaman nmeros natu-rales. Reciben este nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar objetos. Tambin podemos utilizar los nmeros para otras funciones:

Para identificar: el nmero del DNI, de telfono, de la casa donde vives, Para ordenar: primero (1), cuarto (4),

El 0 (cero) es un nmero natural algo especial: se usa cuando no hay nada que contar. El conjunto de todos los nmeros naturales lo simbolizaremos con una ene mayscula, N, y son los que sirven para contar y ordenar: N ={0,1, 2,3, 4,5,.......,64,65,66,.......,1639,1640,1641,1642,.......}

Para representar los nmeros naturales actualmente utilizamos el sistema de numera-cin decimal (llamado as porque utiliza diez smbolos o cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 ) es el que utilizamos actualmente; fue introducido en Europa por los rabes, en el siglo XI, procedente de la India, donde se desarroll desde el siglo VI a.C. (como habrs observa-do, hay otros sistemas de numeracin, como el romano, que todava usamos, por ejem-plo, para representar los siglos). En el sistema decimal, cuando tenemos diez unidades, las agrupamos formando un grupo superior llamado decena; cuanto tenemos diez decenas, formamos un nuevo grupo lla-mado centena que, por lo tanto, equivale a cien unidades. Y as, sucesivamente, cada diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. En el siguien-te cuadro figuran las clases, rdenes y unidades:

El nmero 4.368 est formado por 4 unidades de millar, 3 centenas, 6 decenas y ocho unidades. Lo podemos observar mejor si los colocamos en la tabla:



Para leer un nmero, se separan (de derecha a izquierda) en grupos de tres cifras y se van leyendo por clases (se empieza a leer por la izquierda); cuando se llega a un punto, se nombra su clase. Ejemplo: para leer el nmero 49807621, primero lo dividimos en grupos de tres cifras, resultando as 49.807.621 que leeremos cuarenta y nueve millones, ochocientos siete mil seiscientos veintiuno. Se puede ver mejor si lo colocamos en la tabla anterior:

4 Para ordenar los nmeros naturales hay que saber compararlos, dos a dos, para de-terminar cul es mayor. Si dos nmeros tienen el mismo nmero de cifras, habr que ir comparando stas de izquierda a derecha, siendo mayor el nmero que tenga la primera cifra de la izquierda mayor; en caso de que sea igual la primera cifra de la izquierda, se compara la segunda, y as sucesivamente. Por ejemplo, si tenemos los nmeros 4.692 y 4.685, vemos que los dos tienen 4 unidades de millar, que los dos tienen 6 centenas, pero el primero tiene 9 decenas y el segundo 8 decenas. Por tanto, ser mayor 4.692. Para expresar matemticamente que un nmero es mayor que otro, se emplea el smbolo >; para expresar que un nmero es menor que otro, se emplea 4.685 o que 4.685



1.1. SUMA DE NMEROS NATURALES Sumar es agrupar varias cantidades en una sola. Esta operacin tambin se llama adi-cin. Para indicar esta operacin utilizamos el signo "+" que se lee "ms". Seguro que en tu vida has hecho muchsimas sumas: cuando calculas lo que te has gas-tado el fin de semana, cuando calculas los kilmetros que debes recorrer para llegar a un determinado lugar, Vamos a ver cmo se realiza la suma:



Los nmeros que hemos sumado (6.578 + 4.087 + 792) se llaman sumandos y el resul-tado (11.457), suma. La suma de nmeros naturales tiene estas propiedades: a) Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma: a + b = b + a En la prctica da lo mismo sumar 4 + 6 que 6 + 4, puesto que obtenemos el mismo resultado, que es 10. b) Asociativa: si tenemos que sumar tres o ms sumandos, podemos sumar dos cual-quiera de ellos y sustituirlos por el resultado de su suma: (a + b) + c = a + (b + c) Esto nos permite simplificar algunos clculos. As, para sumar 37 + 30 + 20, es mejor su-mar 30 + 20 = 50 y despus sumarle el 37; es decir: 37 + (30 + 20) = 37 + 50 = 87 Tambin podemos combinar ambas propiedades (conmutativa y asociativa). Por ejemplo, si tenemos que sumar 20 + 43 + 50, lo ms fcil es aplicar la propiedad conmutativa para cambiar el orden, as: 20 + 50 + 43 y luego utilizar la propiedad asociativa para sumar 20 + 50 = 70. Despus sumar 70 + 43 = 113. 7 1.2. RESTA DE NMEROS NATURALES Restar es quitar una cantidad a otra. Es la operacin inversa a la suma. Esta operacin tambin recibe el nombre de sustraccin. Para indicar esta operacin se utiliza el signo menos (-). En tu vida diaria tambin realizas muchas restas. Por ejemplo, si te compras algo que vale 14 euros y pagas con un billete de 20 euros, has de realizar una resta para saber lo que te deben devolver. Es decir, 20 14 = 6 euros. Los trminos de la resta son:

a - b = c Minuendo Sustraendo Diferencia

En la resta de nmeros naturales, el minuendo siempre debe ser mayor que el

sustraendo. EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES DE LA RESTA: Minuendo - Sustraendo = Diferencia Minuendo - Diferencia = Sustraendo Sustraendo + Diferencia = Minuendo

97 - 50 = 47 97 - 47 = 50 50 + 47 = 97



Vamos a ver cmo se realiza la resta con un ejemplo: 958 671

La calculadora nos facilita la realizacin de los clculos muy diversos, no slo las operaciones bsicas con nmeros naturales. Pero si queremos sacarla partido, es preciso conocer cmo se utiliza (cada modelo puede tener pequeas diferencias). Para hacer sumas y restas con la calculadora disponemos de las teclas

y Al teclear un nmero de ms de tres cifras, no pongas nunca el punto despus de las unidades de millar, pues la calculadora lo entiende como decimal.



Por ejemplo, para hacer la resta 458 379, has de dar a las teclas:

Si tienes calculadora, realiza algunas sumas y restas para practicar. Puede suceder que quieras sumas varias veces el mismo nmero. Para no tener que es-tar teclendolo cada vez, hay una tecla que introduce el nmero en la memoria de la cal-

culadora: Por ejemplo: Tienes una cuenta en el banco con 23.456 euros y cada mes te ingresan 458 euros. Quieres saber cmo ir aumentando la cuenta a lo largo de 4 meses. Es evidente que a 23.456 le tienes que ir sumando 458 cada mes.

Para hacer los clculos con la calculadora, tecleas el nmero 458 y luego la tecla El nmero queda introducido en la memoria, aunque borres la pantalla. Cada vez que

quieras que aparezca este nmero, das a la tecla de Memoria recuperadora: Ahora, para saber el dinero que tendrs cada mes, dejas la pantalla en 0 y tecleas lo siguiente:

23456 y obtendrs 23914, que es la cantidad que tendrs el primer mes.

Cada vez que des a las teclas irs obteniendo lo de los siguientes meses.

Para borrar el nmero de la memoria pulsas en la tecla 1.3. MULTIPLICACIN DE NMEROS NATURALES Existen numerosas situaciones de la vida cotidiana en las que utilizas la multiplicacin. Por ejemplo, si vamos a pagar 5 barras de pan y cada una cuesta 80 cntimos, podemos sumar 4 veces 80, es decir: 80 + 80 + 80 + 80. Pero lo mejor ser multiplicar 4 x 80. Por tanto, cuando se trata de hacer una suma con el mismo sumando, lo mejor es que lo hagamos con la multiplicacin. El sumando que se repite, en este caso el 80, se llama multiplicando. Las veces que se repite el sumando, en este caso 4, se llama multiplicador. El multiplicando y el multipli-cador tambin se llaman factores. El resultado se llama producto. El signo de esta ope-racin es x o y se lee "por".

En la calculadora la tecla que usamos para hacer las multiplicaciones es ; en el orde-

nador, la tecla que se usa es Vamos a ver cmo se realiza la multiplicacin: 326 45



Para realizar esta operacin con la calculadora, teclearemos lo siguiente:

La multiplicacin de nmeros naturales tiene las siguientes propiedades: a) Propiedad conmutativa: el orden de los factores no altera el producto, a b = b a Es decir; da lo mismo multiplicar 3 4, que 4 3, pues el resultado da 12 en ambos casos. b) Propiedad asociativa: para multiplicar dos o ms factores se pueden asociar dos de ellos y el resultado no vara, (a b) c = a (b c) Si tienes que multiplicar un producto de tres factores, como 5 7 2, se pueden multiplicar dos cualesquiera de ellos y el resultado multiplicarlo por el tercero. En este caso es muy fcil multiplicar 5 2 = 10, y luego, 10 7 = 70. La notacin matemtica sera: (5 2) 7 = 10 7 = 70 c) Propiedad distributiva (del producto respecto de la suma): a (b + c) = a b + a c Vemoslo con un ejemplo:

5 x (4 + 3) = 5 x 4 + 5 x 3 5 x 7 = 20 + 15

35 = 35 Esta propiedad tambin se puede aplicar si en vez de una suma tenemos una resta: a (b - c) = a b - a c La operacin inversa a la distributiva se denomina sacar factor comn: 4 x 7 - 4 x 3 + 5 x 4 = 4 x (7 - 3 + 5) Los siguientes casos particulares de multiplicacin pueden ser de inters, ya que facili-tan ciertos clculos: a) Multiplicacin de un nmero por la unidad seguida de ceros: para multiplicar cual-quier nmero por la unidad seguida de ceros, se escribe este nmero y se aaden tantos ceros como lleve la unidad. Ejemplos: 34 x 1000 = 34000 10000 x 15 = 150000 En algunos casos el producto de dos nmeros se hace ms fcilmente, si uno de los fac-tores se descompone en una suma de dos sumandos uno de los cuales es la unidad se-guida de ceros: 15 x 102 = 15 x (100 + 2) = (15 x 100) + (15 x 2) = 1500 + 30 = 1530 Hemos aplicado el producto de la unidad seguida de ceros y la propiedad distributiva. b) Multiplicacin de nmeros que terminan en cero: para multiplicar dos o ms nme-ros seguidos de ceros se multiplican dichos nmeros, prescindiendo de los ceros, y se



aade a ese producto tantos ceros como haya en los dos factores: 400 x 30 = 12000 2700 x 60 = 162000 13 c) Potenciacin: corresponde al caso en el que se multiplica el mismo nmero varias ve-

ces por s mismo: n

vecesn

aaaaa

En una potencia se distinguen dos nmeros: la base y el exponente. Una potencia es el resultado de multiplicar la base por s misma tantas veces como indica

el exponente. Es decir: Base exponente = potencia

La base es el nmero que debemos multiplicar. El exponente es las veces que lo multiplicamos. La potencia es el resultado de la multiplicacin.

Ejemplo: 23 = 2 2 2 = 8. Se lee: 2 elevado a 3 igual a 8

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados y las de exponente 3, se llaman cu-bos. El resultado de una potencia al cuadrado se llama cuadrado perfecto. Por ejemplo, 49 es un cuadrado perfecto porque 72 = 49 1.4. DIVISIN DE NMEROS NATURALES Existen numerosas situaciones de la vida cotidiana en las que utilizas la divisin. Es una operacin que se utiliza para repartir. Por ejemplo, tenemos que 84 huevos y queremos empaquetarlos por docenas. Cuntas docenas tendremos?. Tenemos que encontrar un nmero que al multiplicarlo por 12 nos d 84.

Los trminos de la divisin son:

El dividendo (84) indica el nmero de elementos que hay que repartir. El divisor (12) indica el nmero de grupos que hay que hacer. El cociente (7) indica el nmero de elementos que debe tener cada grupo. El resto (0) indica los elementos que sobran. Cuando no sobra ninguno, como en este caso, la divisin se llama exacta, y cuando sobra algo, se llama inexacta o entera.

El smbolo : se usa para indicar la operacin de divisin entre nmeros; en la calculadora

es y en el ordenador

Para realizar la divisin en la calculadora, teclearemos: Como podrs imaginar, las divisiones no siempre son exactas. Por ejemplo, si queremos dividir 7 entre 2, no encontramos ningn nmero que multiplicado por 2 d 7; los ms prximos seran el 3 (3 x 2 = 6) y el 4 (4 x 2 = 8), pero ninguno de ellos da el resultado buscado (7). Se dice que 3 es el cociente por defecto ya que al multiplicarlo por 2 no llega a 7; 4 es el cociente por exceso ya que al multiplicarlo por 2 se pasa de 7.



A veces es mejor calcular el cociente por exceso y otras veces por defecto, segn el tipo de situacin que tengamos que resolver. En toda divisin por defecto se cumple la siguiente propiedad fundamental:

Dividendo = divisor x Cociente + Resto

De esta forma podemos comprobar si hemos realizado una divisin bien o mal:

Teniendo esto en cuenta veamos cmo hacer la divisin 4610 : 53

Finalmente, como regla prctica, para hallar el cociente de una divisin de un nmero terminado en ceros por la unidad seguida de ceros, se pueden tachar del dividiendo tantos ceros como tiene la unidad. Para ello es necesario que el dividendo tenga, al me-nos, tantos ceros como el divisor, aunque en prximos temas veremos otra forma de hacerlo. Ejemplos: 5300 : 100 = 53 580 : 10 = 58



1.5. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Si en una operacin aparecen sumas, o restas y multiplicaciones o divisiones, el resultado vara segn el orden en que se realicen. Si en una expresin aparecen parntesis, lo pri-mero que hay que realizar son dichos parntesis; si no aparecen, hay que empezar siem-pre por efectuar las multiplicaciones o divisiones y luego las sumas y restas. A veces aparecen adems de los parntesis, corchetes o llaves, que pueden incluir varios parntesis en su interior: 80 [18 + 3 (5 2) 2 4 (7 8 : 2)] Lo mejor es realizar estas operaciones de dentro a fuera, es decir, empezando por los parntesis, siguiendo por los corchetes y finalizando con las llaves. Si dentro de algunos de ellos hay varias operaciones, se debe respetar la prioridad de las multiplicaciones y divisiones sobre las sumas y restas. En primer lugar realizamos los parntesis que se destacan:

80 [18 + 3 (5 2) 2 4 (7 8 : 2)] = 80 [18 + 3 3 2 4 (7 4)] =

Ahora realizamos las operaciones del corchete, pero respetando la prioridad de las multiplicaciones que hay:

80 [18 + 3 3 2 4 3] = 80 [18 + 9 8 3] =

Ahora continuamos operando dentro del corchete: 80 16 = 64

1.6. USO DEL ORDENADOR PARA REALIZAR DIFERENTES OPERACIONES Tambin podemos realizar clculos con el ordenador. En este caso recurriremos a las hojas de clculo. Aunque estos contenidos los abordaremos en una unidad didctica ms adelante, vamos a intentar explicar aqu los conceptos bsicos para que puedas realizar clculos sencillos. Existen numerosos programas que mani-pulan datos con hojas de clculo. Aqu vere-mos el ms popular y extendido, aunque no el ms barato: se trata de la hoja de clculo Excel. La principal funcin de las hojas de clculo es realizar operaciones matemticas, de la misma manera que trabaja la ms potente calculadora, pero tam-bin la de computar complejas interrelacio-nes y ordenar y pre-sentar en forma de grfico los resultados obtenidos.



Los principales elementos de trabajo son: Fila: Es un conjunto de varias celdas dispuestas en sentido horizontal. Ttulo de fila: Est siempre a la izquierda y nombra a las filas mediante nmeros. Columna: Es un conjunto de varias celdas dispuestas en sentido vertical. Ttulo de columna: Est siempre arriba y nombra a las columnas mediante letras, que van desde la A hasta la IV. Despus de la columna Z viene la AA, AB, AC, etc.; luego de la AZ viene la BA, la BB, la BC, etc.; y as sucesivamente. Celda: Es la interseccin de una fila y una columna y en ella se introducen los grficos, ya se trate de texto, nmeros, fecha u otros datos. Una celda se nombra mediante el nombre de la columna, seguido del nombre de la fila. Por ejemplo, la celda que es la interseccin de la fila 29 con la columna F, se denomina F29. Barra de frmulas: Barra situada en la parte superior de la ventana que muestra el valor constante o frmula utilizada en la celda activa. Para escribir o modificar valo-res o frmulas, seleccione una celda o un grfico, escriba los datos y, a continua-cin, presione ENTRAR.

Las frmulas en Excel siguen una sintaxis especfica que incluye un signo igual (=) segui-do de los elementos que van a calcularse (los operandos) y los operadores del clculo. Cada operando puede ser un valor que no cambie (un valor constante), una referencia de celda y otras cosas que veremos en una unidad ms adelante. Como valor predeterminado, Excel calcula una frmula de izquierda a derecha, comen-zando por el signo igual (=), aunque sigue siempre la prioridad de las operaciones, vista ms arriba; es decir, primero realiza las multiplicaciones o divisiones y luego las sumas o restas. Si existen parntesis, los prioriza sobre el resto de operaciones.

Por ejemplo, la siguiente frmula da un resultado de 11 porque primero calcula la multiplicacin antes que la suma. Abre Excel, selecciona cual-quier celda (por ejemplo B4), escribe en la barra de frmulas =5+2*3 y pulsa Intro. En la celda seleccionada aparecer 11. Selecciona ahora otra celda y escribe en la barra de frmulas: =(5+2)*3. Vers que ahora el resultado es 21, puesto que primero hace la suma del parn-tesis y despus multipli-ca por 3. Ejemplo: Escribe en la barra de frmulas la operacin =34+5*2-

7*(2+3) para ver cul es el resultado. El programa primero calcula el parntesis (2+3) que da 5; a continuacin, las multiplicaciones 5*2 que da como resultado 10 y 7*5 que da 35. Nos queda 34 + 10 35 que da como resultado 9.



Referencias de celda: Una frmula puede hacer referencia a una celda. Si deseas que una celda contenga el mismo valor que otra, introduce un signo igual seguido de la refe-rencia a la celda. La celda que contiene la frmula se denomina celda dependiente ya que su valor depende del valor en la otra celda. Siempre que se cambie la celda a la que hace referencia la frmula, cambiar tambin la celda que contiene la frmula. La si-guiente frmula suma 5 al valor de la celda B2. Cada vez que se cambie el valor en la celda B2 se volver a calcular la frmula =B2+5 Es decir, en la celda B2 escribes un valor y en otra celda cualquiera escribes la frmula = B2+5. Ob-tendrs el resultado de sumar 5 al valor de lo que hayas escrito en la celda B2. Cada vez que cambies el valor de la celda B2 cambiar el resultado de la multiplicacin. Mira la figura y practica con otros ejem-plos. Tambin podemos realizar diversas operaciones con nmeros colocados en diferentes celdas. Por ejemplo, en la celda A1 escribimos 34, en la celda A2 escribimos 786 y en la celda A3, escribimos 29. Ahora nos colocamos en la celda A4 y escribimos lo siguiente: =SUMA(A1:A3). Pulsamos Enter y nos realiza la suma. Otra manera de hacer lo anterior es colocarnos en la celda A4, seleccionar las celdas A1 a A3 y pulsar sobre el smbolo sumatorio o autosuma. Como hemos comentado al principio, la hoja de clculo realiza mltiples operaciones.

Puedes probar a realizar restas, multiplicaciones y divisiones. Vamos a organizar una hoja que nos calcule el cociente y el resto de una divisin:



Abre una hoja de clculo nueva. En la celda A1 escribe DIVIDENDO. En la celda B1 va-mos a escribir el dividendo de la divisin, por ejemplo escribe 3478. En la celda A2 escri-be DIVISOR. En la celda B2 vamos a escribir el divisor, por ejemplo 56. En la celda A3 escribe COCIENTE. En la celda B3 vamos a escribir la frmula que nos calcular el cociente. Sitate en la cel-da B3 y en la barra de frmulas escribe: =COCIENTE(B1;B2) y pulsa Intro. Obtendrs 62

NOTA: Si esta funcin no est disponible y devuelve el error #NOMBRE?, instala y car-ga el programa de complementos Herramientas para anlisis. Lo puedes hacer as: 1. En el men Herramientas, elige Complementos. 2. En la lista Complementos disponibles, selecciona el cuadro Herramientas para an-lisis y, a continuacin, haz clic en Aceptar. 3. Si es necesario, sigue las instrucciones del programa de instalacin.

En la celda A4 escribe RESTO. En la celda B4 vamos a escribir la frmula que calcular el resto. Sitate en dicha celda B4 y en la barra de frmulas escribe: =RESIDUO(B1;B2) y pulsa Intro. Obtendrs 6. Ahora no tienes ms que cambiar el valor de las celdas B1 y B2 para ir calculando las di-visiones que desees.

1.7. DIVISIBILIDAD. MLTIPLOS, DIVISORES Y DESCOMPOSICIN FACTORIAL Los mltiplos de un nmero natural son los que se obtienen al multiplicar dicho nmero por todos los nmeros naturales salvo el 0. Puesto que hay infinitos nmeros naturales, un nmero tiene infinitos mltiplos. Ejemplo: los mltiplos del nmero 3 son 3, 6, 9, 12, Para saber si un nmero es mltiplo de otro, simplemente debes hacer la divisin y com-probar que el cociente es un nmero natural y el resto de la divisin es cero. Ejemplos:

El nmero 364 es mltiplo de 7 porque 364 = 52 . 7 Vamos a obtener cinco mltiplos de 8. 8 . 1 = 8 8 . 2 = 16 8 . 3 = 24 8 . 4 = 32 8 . 5 = 40

Los divisores de un nmero natural son aquellos nmeros que pueden dividir a ste, siendo el resto cero. Ejemplo: el nmero 3 es divisor de 6 (6:3 = 2); tambin se dice que el nmero 6 es divisible entre 2, pues al dividir 6 entre 2 el resto es 0. Para saber si un nmero es divisor de otro solo tienes que hacer la divisin y comprobar si el resto es cero. Ejemplo: el nmero 9 no es divisor de 74, o el nmero 74 no es divisible por 9, ya que el resto de la divisin no es 0. Para calcular los divisores de un nmero, vamos dividiendo dicho nmero entre otros ms pequeos que l, hasta que el cociente que obtengamos sea menor o igual que el divisor.



En los casos en que la divisin resulte exacta, tanto el cociente como el divisor sern divi-sores de dicho nmero. Ejemplo: vamos a calcular los divisores de 15. Evidentemente el 15 lo puedes dividir entre 15, entre 5, entre 3 y entre 1 dando el resto 0. Luego los divisores del 15 son el 1, el 3, el 5 y el 15.

Entre los divisores de cualquier nmero siempre estn el 1 y el mismo nmero. Un nme-ro tiene infinitos mltiplos pero solo unos cuantos divisores.

Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten averiguar si un nmero es divisible por otro sin necesidad de efectuar la divisin. Vamos a ver algunas de estas reglas:

o Un nmero es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par. Ejemplo: 534 y el 430 son divisibles entre 2.

o Un nmero es divisible por 5 si acaba en cero o en 5. Ejemplo: el 675 y el 980 son divisibles entre 5.

o Un nmero es divisible por 10 si acaba en cero. o Un nmero es divisible por 4 si las dos ltimas cifras son ceros o forman un

nmero mltiplo de 4. Ejemplo: el 824 y el 7200 son divisibles por 4. o Un nmero es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es mltiplo de 3. o Ejemplo: el 681 es divisible entre 3 ya que si sumas sus cifras: 6 + 8 + 1 = 15 y el

15 es mltiplo de 3. o Un nmero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez. Ejemplo: el 528

es divisible por 6 porque es divisible por 2 (ya que acaba en cifra par) y tambin es divisible por 3 (ya que al sumar sus cifras da un nmero mltiplo de 3, como se ve a continuacin 5 + 2 + 8 = 15).

o Un nmero es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es mltiplo de 9. Ejemplo: el 684 es divisible entre 9 ya que si sumas sus cifras: 6 + 8 + 4 = 18 y el 18 es mltiplo de 9.

o Un nmero es divisible por 11 cuando la diferencia de la suma de las cifras del lu-gar par y la suma de las cifras del lugar impar es mltiplo de 11. (La resta se hace en el sentido que sea posible). Ejemplo: 96855 es divisible entre 11 ya que si su-mamos las cifras de lugar impar 5+8+9=22 y las de lugar par 5+6=11 y luego res-tamos 22-11=11, que es mltiplo de 11.

Los nmeros primos son todos los nmeros naturales, mayores que 1, que son divisi-bles nicamente por s mismos y por la unidad. Cuando un nmero no es primo se dice que es compuesto.

Para hallar los nmeros primos menores que 100, podemos utilizar la llamada criba de Eratstenes, llamada as en honor a un matemtico griego que vivi en el siglo III antes de Cristo; trabaj en la Universidad de Alejandra y, adems de matemtico, fue gegrafo, historia-dor, astrnomo, poeta y atleta. Ide un mtodo que lleva su nombre, criba de Eratstenes, para hallar los nmeros primos menores de 100. Se procede as: 1. Se escriben todos los nmeros desde el 2 (pri-mero nmero primo) hasta el 100. 2. Tachamos de 2 en 2 a partir del 2. De esta for-ma se suprimen todos los nmeros mltiplos de 2. 3. Tachamos de 3 en 3 a partir del 3. As se su-primen los nmeros compuestos mltiplos de 3. 4. Y as sucesivamente vamos tachando de 5 en 5, de 7 en 7, y de 11 en 11. Pero al hacer esto se



observa que los mltiplos de 11 ya estn tachados, por lo que no hace falta continuar. Los nmeros que no han sido tachados son primos (los que figuran en la tabla anterior).

Para saber si un nmero es primo, se divide el nmero por la serie de los nmeros pri-mos, hasta llegar a una divisin cuyo cociente sea igual o menor que el divisor. Si todas las divisiones son inexactas, el nmero propuesto es primo.

Ejemplo: Es primo el nmero 127?. Lo vamos a dividir por los primeros nmeros primos: 2, 3, 5, 7 127 no es divisible por 2, ni por 3, ni por 5; al dividirlo entre 7 da de cociente 18 y de resto 1, luego tampoco es divisible por 7. Al dividirlo entre 11 da de cociente 11 y de resto 6, luego tampoco es divisible por 11, pero el cociente es igual al divisor, por lo que no es necesario seguir dividiendo. El nmero 127 es primo. Cualquier nmero se puede descomponer de forma nica en productos de potencias de factores primos. El orden de los factores primos puede variar al hacer la descomposi-cin, pero al final conseguiremos descomponerlo. Para hacer la descomposicin usamos un esquema muy sencillo que comprenders a travs del siguiente ejemplo: vamos a descomponer el nmero 90. Aplicando las reglas de divisibilidad observamos que el 90 es divisible entre 2, entre 3 y entre 5. Vamos dividiendo el 90 entre sus divisores comenzando por el ms pequeo (aunque podramos empezar por el que quisiramos) y reflejamos los resultados en el siguiente esquema:

29 Al descomponer en factores un nmero que acabe en ceros, podemos considerar que: 10 = 2 . 5; 100 = 22 . 52; 1.000 = 23 . 53 y as sucesivamente. Por ello, al descomponer el nmero 3.000 en factores primos, podemos escribir directa-mente: 3.000 = 3. 1000 = 3 . 23 . 53 Si descomponemos el 70.000 sera: 70.000 = 7 . 10000 = 7 . 24 . 54

El mximo comn divisor de un conjunto de nmeros es el mayor de los divisores co-munes a dichos nmeros.

Ejemplo: Los divisores del 24 son: 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2 y 1 Los divisores del 90 son: 90, 45, 30, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2 y 1 Los nmeros resaltados son divisores comunes a 24 y 90 y el mayor de esos divisores es el 6. Luego 6 es el mximo comn divisor. Dos nmeros se dice que son primos entre s cuando su nico divisor comn es el 1 y, por tanto, su mximo comn divisor es el 1. Ejemplo: 20 y 21 son primos entre s porque slo tienen el 1 como nico divisor comn.

De forma general, el mximo comn divisor se calcula como el producto de los factores comunes con el menor exponente.

Ejemplo: calculemos el mximo comn divisor de 12 y de 30:



1. Descomponemos los nmeros en producto de factores primos:

2. M.C.D.= 2 3 = 6 El mximo comn divisor puede tener aplicaciones prcticas en situaciones cotidianas como el siguiente ejemplo: En una fbrica de leche se preparan 18 litros de leche desna-tada por cada 12 litros de leche entera y se embalan en tetrabricks de un litro. A su vez los tetrabricks se envasan en cajas, de modo que cada caja lleve el mayor nmero de te-trabricks y de modo que no sobre ningn tetrabrick. Cuntas cajas harn falta?.

Descomponemos 18 y 12. 18=232 12=223 M.C.D= 23 =6 Luego tendramos que preparar cajas con capacidad para 6 bricks.

El mnimo comn mltiplo de un conjunto de nmeros es el menor de los mltiplos co-munes.

Ejemplo: mnimo comn mltiplo de 6 y 4. Los mltiplos del 6 son: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48;... Los mltiplos del 4 son: 4, 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; Los nmeros resaltados son mltiplos comunes a ambos y el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) es el ms pequeo de los comunes; es decir el 12. El mtodo que hemos seguido no es el ms adecuado para hacer el clculo del mnimo comn mltiplo, ya que slo es til cuando se trata de nmeros muy sencillos.

De forma ms general, el mnimo comn mltiplo se calcula como el producto de todos los factores no comunes y de los comunes con mayor exponente.

Ejemplo: calculemos el m.c.m. de 12 y de 30. Descomponemos los nmeros en producto de factores primos:

El m.c.m = 22 3 5= 4 3 5= 60

Una de las preguntas que te vendrs haciendo casi desde el principio del tema es si lo que hemos estudiado tiene alguna utilidad real, alguna aplicacin fuera de lo meramente operativo matemtico. Pues bien, adems de que lo que has estudiado hasta ahora te ha hecho ejercitar la mente no te vamos a privar de que encuentres esa utilidad tangible que siempre se busca en lo abstracto de las matemticas. Ejemplo: En una urbanizacin el jardinero arregla el jardn cada 12 das y el limpiador ca-da 10 das hace limpieza. A la comunidad de vecinos les gustara que de vez en cuando coincidiesen los dos para que juntos coordinen el trabajo y se preguntan cundo se en-contrarn los dos haciendo sus tareas?.



Solucin: El jardinero arreglar el jardn al pasar 12 das, 24 das, 36 das,. El limpiador har la limpieza al pasar 10 das, 20 das, 30 das, Calculamos el m.c.m.(12,10)=60, es decir cada 60 das (que ms o menos son dos me-ses) coinciden. 2 2. LOS NMEROS ENTEROS Imagina que vas a comprar fruta por un importe de 22 , pero slo llevas 20 y al ir a pa-gar te dice el frutero: pgame 20 y ya me pagars maana los 2 que me debes. Si hubiramos intentado calcular el dinero que nos queda despus de pagar, habra que restar de lo que tenemos (20 ) lo que tendramos que pagar (22 ). Por tanto, la opera-cin sera 20 22 = -2, que significa que nos faltan 2 (o que debemos 2 ). Cuando, como en el ejemplo anterior, el minuendo de una resta es menor que el sustra-endo, el resultado es un nmero negativo (no es un nmero natural). Estos nmeros negativos, junto con los nmeros naturales, constituyen los nmeros enteros, conjunto de nmeros que se representan con la letra zeta mayscula, Z. Z={...,-1234,-1233,...,-78,-77,...,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,...,+77,+78,...,+1233,+1234,...} La primera consecuencia de esta definicin es que todos los nmeros naturales son nmeros enteros, pero no todos los nmeros enteros son nmeros naturales. Los enteros positivos se obtienen colocando el signo + delante de los nmeros natura-les; los enteros negativos se obtienen colocando el signo delante de los nmeros na-turales. Observa que los nmeros enteros no son naturales (no existen 2 peras); son nmeros creados para referirse a situaciones en las que se marca un origen (que se con-sidera valor 0) que provoca un antes y un despus, un delante y un detrs, un arriba y abajo. Los nmeros enteros aparecen en muchas situaciones de la vida diaria:

Para medir la temperatura por encima de 0 grados se indican con nmeros ente-ros positivos, mientras que las temperaturas por debajo de 0 grados se indican con nmeros enteros negativos. Ejemplo +5, - 7 Los saldos bancarios a nuestro favor se indican con los nmeros enteros positi-vos, mientras que los que son en nuestra contra se indican con los nmeros ente-ros negativos. Ejemplo, tenemos 2.000 euros, nos cobran en el banco -3.000 euros Para referirnos a los aos de nuestra era, es decir, a partir del nacimiento de Cris-to, utilizamos los nmeros enteros positivos, mientras que los aos anteriores a su nacimiento los indicamos que los nmeros enteros negativos. Ejemplo, cierto personaje naci en el ao -546 a.C. Para medir altitudes se considera 0 el nivel mal, los niveles por encima del mar se pueden expresar por nmeros enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por nmeros enteros negativos. Para sealar el nmero de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos nme-ros negativos para las plantas que estn por debajo de cero, es decir, para los stanos o plantas subterrneas.

Para representar los nmeros enteros, se traza una recta horizontal y situamos en ella el 0, que divide la recta en dos semirrectas; cada una de las dos semirrectas se divide en partes iguales y, finalmente, situamos los nmeros enteros sobre las semirrectas: los en-teros positivos a la derecha del cero, y los enteros negativos a la izquierda del cero:

El opuesto de un nmero entero es el mismo nmero pero cambiado de signo.



Ejemplos: El opuesto de 5 es -5; el opuesto de -7 es 7 y el opuesto de 0 es 0. La gran diferencia entre los nmeros naturales y los nmeros enteros es que todos nmeros enteros tienen opuesto, mientras que los nmeros naturales no. Todo nmero entero tiene anterior y siguiente, esto es, dado un nmero entero siempre se puede escribir un nmero mayor y un nmero menor que l simplemente con sumarle o restarle uno. El valor absoluto de un nmero entero es el mismo nmero entero, pero sin signo (es decir, el valor absoluto es un nmero natural). Se representa con el nmero encerrado

entre dos barras verticales. Ejemplos: 136136;99;33

A la hora de ordenar los nmeros enteros se cumplen las siguientes reglas: 1. Cualquier nmero entero positivo es mayor que cualquier nmero entero negativo. Ejemplo: 83

2. El cero es mayor que cualquier nmero entero negativo y menor que cualquier nmero entero positivo. Ejemplo: 906 3. Dados dos nmeros enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto (.

Ejemplo: 196191966196 yy

4. Dados dos nmeros enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Ejemplo: 715157151577,157 quecumplesecomoyy

Otra forma de saber cundo un nmero entero es mayor o menor que otro, es situar am-bos nmeros en la recta numrica: el menor de ellos es el que queda ms a la izquierda. Las operaciones con nmeros enteros tienen las mismas propiedades que las de los nmeros naturales, aunque conviene aclarar el significado y la forma de realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de nmeros enteros. Cuando haya operaciones combinadas entre nmeros enteros, se cumplen tambin las mismas reglas que con los nmeros naturales (prioridad del producto y divisin sobre la suma o la resta, y de las operaciones dentro de parntesis y corchetes cuando los haya).

Para sumar nmeros enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se po-ne el signo de los sumandos. Date cuenta que: La suma de dos nmeros enteros negativos es otro nmero negativo. La suma de dos nmeros enteros positivos es otro nmero entero positivo.

Ejemplo: supongamos que estamos en la segunda planta de unos grandes almacenes. Si subimos tres plantas ms, en qu planta nos encontramos ahora?. La respuesta es en la quinta planta. La operacin que hemos realizado es una suma de nmeros enteros: (+2) + (+3) = (+5). Tambin se puede escribir como 2 + 3 = 5

Y si nos encontramos en el primer stano y bajamos dos plantas ms?. Dnde estamos ahora?. De nuevo hay que hacer una suma de nmeros enteros: (-1) + (-2) = (-3) -1 -2 = -3. Estamos en el tercer stano.

Para sumar nmeros enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del mayor.

Ejemplo: Si nos encontramos en la cuarta planta y bajamos dos plantas, a qu planta llegamos?.

http://secundaria.formateca.com/mod/glossary/showentry.php?courseid=17&concept=N%C3%BAmeros+enteroshttp://secundaria.formateca.com/mod/glossary/showentry.php?courseid=17&concept=Valor+absoluto



La respuesta es la segunda planta, ya que la operacin es (+4) + (-2) = (+2). Si te das cuenta, hemos realizado una resta 4 2 = 2

Si subimos tres plantas desde el stano nos encontraramos en la planta dos, ya que la operacin es ahora (-1) + (+3) = (+2). Tambin hemos realizado una resta -1 + 3 = 2

Si bajamos tres plantas desde la segunda, habramos llegado al primer stano. Efectiva-mente, ahora tenemos (+2) + (-3) = (-1). Aqu tambin hay una resta 2 3 = -1

Para restar dos nmeros enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo; si ste se encuentra dentro de un parntesis, se le cambia el signo. Date cuenta que el signo (-) puede tener dos significados: a) Puede indicar que un nmero es negativo (signo de nmero). Ejemplo: - 8. b) Puede indicar una resta (signo de operacin).As, en 14 (- 6) el primer signo menos, el que est antes del parntesis , es de operacin (resta), mientras que el segundo -, es de nmero. Por tanto, la resta de nmeros enteros se transforma en una suma.

Ejemplos: ( - 5 ) ( + 7 ) = ( - 5 ) + ( - 7 ) = - 12 ( + 4 ) ( - 6 ) = ( + 4 ) + ( +6 ) = + 10 ( - 3 ) ( - 7 ) = ( - 3 ) + ( +7 ) = + 4 Adrin debe a su hermano Carlos 420 y a su hermano Ral 60 . Cunto debe en total Adrin?. Para saberlo, sumamos las dos deudas: -420 + (-60) = -480 . Cunto debera Adrin, si su hermano Ral le perdonara los 60 que le deba?. Para saberlo, del total de la deuda hay que quitar lo que le ha perdonado su her-mano:8-480 (-60) = -480 + 60 = -420

Como en las operaciones con nmeros naturales, la presencia de parntesis o corchetes en operaciones con nmeros enteros indica que las operaciones que estn en su interior se tienen que realizar primero. Sin embargo, cuando delante del parntesis o del corchete est el signo -, cambiaremos el signo al resultado del parntesis o del corchete.

Ejemplos: 7 + (5 16) = 7 + (-11) = 7 11 = -4 7 - (5 16) = 7 (-11) = 7 + 11 = +18

10

Para hallar el producto de dos nmeros enteros, hay que multiplicar sus valores abso-lutos. El signo del resultado es positivo cuando ambos nmeros o factores tienen el mis-mo signo y negativo cuando tienen signos diferentes. En la prctica, para determinar el signo del producto de dos nmeros enteros se recurre a la llamada regla de los signos, que est resumida en la siguiente tabla:

(+)(+)=(+) Ejemplo: (+3)(+2) = +6 ( -)( -)=(+) Ejemplo: (-3)(-2) = +6 (+)( -)=( -) Ejemplo: (+3)(-2) = -6 ( -)(+)=( -) Ejemplo: (-3)(+2) = -6



Ejemplo 1: El da de hoy a las seis de la maana haba una temperatura de 5C. Si cada hora la temperatura aumenta 2C, qu temperatura habr a las diez de la maana?. Entre las seis y las diez han transcurrido cuatro horas y el incremento de tempera-tura ser de 8C. La temperatura que habr ser de 13C. Las operaciones que hemos realizado son una multiplicacin y una suma de nme-ros enteros: (+4).(+2) = (+8)C y (+5) + (+8) = (+13)C Ejemplo 2: Si la temperatura hubiese disminuido dos grados cada hora. La bajada de temperatura habra sido de -8C; por tanto, la temperatura sera -3C. Las operaciones a realizar son: (+4).(-2) = (-8)C y (+5) + (-8) = (-3)C Ejemplo 3: Si a las 10 de la maana hay 5C y desde hace cuatro horas la tempera-tura ha aumentado 2C por hora qu temperatura haba a las seis de la maana?. Las operaciones son: (-4).(+2) = (-8)C y (+5) + (-8) = (-3)C Hace cuatro horas haba 3C Ejemplo 4: Si a las 10 de la maana hay 5C y desde hace cuatro horas la temperatura ha bajado 2C por hora, qu temperatura haba hace cuatro horas?. La temperatura era 8C mayor que la que tenemos ahora: (-4).(-2) = (+8)C, luego haba (+5) + (+8) = (+13)C

Para dividir dos nmeros enteros, se dividen sus valores absolutos. El cociente tiene signo positivo si los dos nmeros o factores tienen el mismo signo y signo negativo si tie-nen diferentes signos. Por tanto, se sigue la misma regla de los signos que para el pro-ducto.

Ejemplo: Cunto baja la temperatura cada hora si en cuatro horas ha bajado 8C?. La operacin ha realizar es una divisin (-8) : (+4) = (-2)C La respuesta es -2C. 2.1. EL LENGUAJE ALGEBRAICO A veces conviene sustituir un dato desconocido (o incgnita) de un problema por una letra y operar con ella como si de un nmero ms se tratara. En estos casos se usa el llamado lenguaje algebraico que consiste en realizar operaciones en las que se utilizan nmeros y letras. Estos son algunos ejemplos de expresin en forma de lenguaje algebraico de situaciones descritas con palabras:

Un nmero x es 4 unidades mayor que y : 4yx

El nmero x es 6 veces el nmero y : yx 6

El doble de x ms 3 es 18: 1812x

Las letras se utilizan mucho en matemticas. Por ejemplo, para representar cualquier nmero par, se usa la expresin 2n, donde n se puede sustituir por cualquier nmero na-tural. Si pruebas a hacerlo, siempre obtendrs un nmero par. Para representar cualquier nmero impar se utiliza la expresin 2n+ 1. El valor numrico de una expresin algebraica es el nmero que resulta de sustituir las letras por nmeros y realizar a continuacin las operaciones que se indican. Ejemplos: Calculamos el valor numrico de la expresin algebraica 32 x cuando 1x

Para 1x : 53231232 x

Calculamos el valor numrico de la expresin algebraica ba 53 cuando 1a y 2b

Para 1a y 2b : 710325)1(353 ba

Una ecuacin algebraica es una igualdad entre dos expresiones algebraicas; esta igual-dad slo es cierta para determinados valores de las letras de la expresin algebraica, que es este caso reciben el nombre de incgnitas. Ejemplo: 61x es una ecuacin algebraica en la que la incgnita es x ; el nico valor

de la incgnita con el que se cumple la igualdad es 5x .



3. INTRODUCCIN A LAS TIC Ya hemos visto la utilidad de la hoja de clculo o de la propia calculadora en el estudio de las operaciones con nmeros; en la actualidad es difcil hacer cualquier gestin sin el uso de las llamadas tecnologas de la informacin y de la comunicacin (TIC), nombre que reciben las herramientas basadas en el uso de ordenadores, tambin conocidas como informtica. Vamos, pues, a introducirnos en un mundo de gran amplitud, pero indispen-sable en nuestros das desde el punto de vista laboral, social y personal. En la informtica podemos distinguir dos elementos bsicos:

HARDWARE: palabra del ingls que podra traducirse como cacharrera, pero que se refiere a los componentes fsicos de un ordenador (toda la serie de cir-cuitos elctricos hechos con semiconductores que permiten a ste realizar opera-ciones lgicas a gran velocidad). SOFTWARE: son programas que hacen posible la realizacin de una tarea.

3.1. EL HARDWARE Los principales componentes del hardware son los siguientes: a) Placa base o placa madre (mainboard o motherboard): es la parte donde se insertan o acomodan todos los dems componentes de un ordenador; es uno de los elementos ms importantes del or-denador y a l se conectan todos los componentes de ste. Fsicamente, es una lmina fina fabricada con materiales sintticos que contiene circuitos electrnicos y conexiones para los distintos dispositivos. b) Microprocesador: es el elemento ms importante del ordenador, ya que se encarga de controlar todo el sistema; es una especie de cerebro de la mquina. La velocidad del procesador, que se mide en me-gaherzios (Mhz), es de gran importancia, pues indica la cantidad de ordenes por segundo que pueden ser ejecutadas por el procesador. c) Zcalo o socket del microprocesador: es el lugar en la placa base donde se conecta el procesador. d) Memoria RAM: es el lugar donde el ordenador almacena los da-tos de usuario, del sistema y aplicaciones que se estn utilizando en el momento presente; es imprescindible para el funcionamiento del ordenador y se borra cuando lo apagamos. El rendimiento del orde-nador depende en gran medida del tamao de la memoria RAM (se considera que es la memoria principal del ordenador). e) Ranuras de memoria: son el lugar en la placa donde se colo-can las memorias. Su nmero no es fijo (depende de la placa ba-se). f) BIOS: es un pequeo programa incorporado en un chip de la placa base, cuya finalidad es mantener cierta informacin bsica

en el arranque del ordenador (configuracin de nuestro disco duro, fecha y hora del sistema, prioridad de arranque, arranque desde la red etc.). Esta memoria se considera memoria ROM, caracterizada porque no se borra al apagar el ordenador (la configuracin permanece grabada gracias a una pila de 3 voltios que lleva el ordenador); a veces, fallos en el arranque se



deben al desgaste de la pila, siendo necesario reemplazarla. g) Ranuras de expansin: son las ranuras donde se conectan en el sistema diversas tarjetas (de video, de audio, de red, etc). Existen diferentes tipos de ranuras, siendo las ms habituales en los ordenadores las siguientes:

ISA: son las ms antiguas, aunque hoy en da casi no se utili-zan, algunas placas las incorporan para insertar dispositivos antiguos.

PCI: son las habituales en los ordenadores actuales. AGP: normalmente solo hay una porque estas ranuras son de

uso exclusivo para tarjetas de video: Estas ranuras son acele-radoras de grficos 3D.

h) Fuente de alimentacin: proporciona la tensin al ordenador. Todos los dispositivos, excepto las tarjetas de las ranuras de expansin, tienen su conexin a la fuente de ali-mentacin; las tarjetas reciben la tensin a travs de las ranuras de expansin. i) Ventilador: refrigera el ordenador. El microprocesador y la tarjeta de vdeo incorporan sus propios ventiladores. j) Conectores externos: permiten la conexin al ordenador de los perifricos, es decir, dispositivos externos al ordenador, tales como el ratn, el teclado, la impresora, el modem externo, el escner o la impresora, entre otros. A estas conexiones tambin se les deno-minan "puertos, que normalmente se encuentran en la parte trasera del ordenador, aun-que en la actualidad muchos ordenadores incorporan puertos USB y Audio en la parte delantera. La conexin de ratn y teclado se realiza normalmente a los puertos PS2, que tienen un cdigo de color (verde para el ratn y morado para el teclado). Actualmente existen ratones y teclados USB que podemos conectar a cualquiera de los puertos USB que tengamos.

El puerto serie permite conectar dispositivos como un modem externo o un ratn de los antiguos. Hoy casi ha desaparecido. El puerto paralelo se utiliza principalmente para las im-presoras. El puerto VGA es el puerto para conectar el monitor es decir es la salida de la tarjeta de video. El puerto de Red es para conectar nuestro ordenador a una red, es un conector RJ45, aparentemente como el del telfono pero mas grande. El puerto FireWare, cada vez ms habitual en los ordenadores, se caracteriza por su alta velocidad de transmisin, la amplia conectividad y la capacidad de conexin de hasta 63 dispositivos. Es muy recomendable para la transmisin de grandes cantidades de datos desde un perifrico al ordenador, por ejemplo con dispositivos multimedia como las videocmaras y otros dispositivos de alta velocidad.

k) Perifricos: son dispositivos que permiten realizar operaciones de entrada/salida com-plementarias al proceso de datos del ordenador. Pueden ser de entrada, de salida, de almacenamiento o de comunicacin.

- Perifricos de entrada: introducen datos externos al ordenador (teclado, ratn, escner, micrfono, cmara web, etc). - Perifricos de salida: reciben informacin que es procesada por el ordenador y la reproducen para que sea perceptible para el usuario (monitor, impresora, altavo-ces, auriculares, fax, etc)



- Perifricos de almacenamiento: permiten guardar o salvar los datos de los que hace uso la CPU, para que sta pueda hacer uso de ellos una vez que han sido eliminados de la memoria principal, ya que sta se borra cada vez que se apaga la computadora. Pueden ser internos, como un disco duro, o extrables, como un CD o DVD.

Disco duro Grabadora y/o lector de CD o DVD. Memoria Flash Disquete

- Perifricos de comunicacin: se encargan de comunicarse con otras mquinas o computadoras, ya sea para trabajar en conjunto, o para enviar y recibir informa-cin (Fax-mdem, tarjeta de red, Hub USB).

3.2. EL SOFTWARE Los principales elementos del software son: a) Sistema operativo: sirve de intrprete entre el usuario y la mquina, ya que el micro-

procesador del ordenador slo entiende seales elctricas (utiliza un lenguaje binario de dos dgitos, 0 y 1). El sistema operativo ms extendido es Windows (XP, Vista), aunque existen otros como Linux o Mac. Con el sistema operativo slo no se puede hacer casi nada.

b) Los programas: permiten a los usuarios llevar a cabo tareas ms especficas. Entre los programas cabra distinguir dos grandes modalidades: software libre y software pro-pietario. El software libre: junto al programa, se ofrece tambin el cdigo fuente para que cual-quier usuario pueda acceder al mismo y modificar el programa para adaptarlo a sus prefe-rencias. El Software propietario: es aquel cuyos cdigos pertenecen a una empresa. Pueden clasificarse en distintas categoras:

Programas comerciales: pagamos una cantidad de dinero para obtener la licen-cia de uso .

Programas shareware: el trmino es una combinacin de share y software. Son programas de uso compartido. Se pueden utilizar sin pagar por ellos durante un pe-riodo de prueba.

Programas demo: son versiones de demostracin de los programas comerciales. La diferencia con los shareware est en que la limitacin no es el tiempo sino las opciones.

Programas freeware: son programas gratuitos. Programas adware: se trata de programas que suelen tener una versin comer-

cial homloga pero que, sin embargo, se obtienen de forma gratuita. La diferencia que presentan con respecto a la versin comercial es que incluyen una zona de pantalla en la que aparece publicidad de las empresas que financian el desarrollo del programa.

3.3. INTERNET Internet es una de las aplicaciones informticas que ms auge est teniendo en los lti-mos aos; y para ser ms exactos, la llamada World Wide Web (la "telaraa mundial"), que se suele abreviar como WWW simplemente Web. Est formada por gran cantidad de "pginas" (llamadas pginas Web) almacenadas en ordenadores conectados a Inter-



net. Cada una de estas "pginas" puede contener texto, imgenes, sonidos,...y han sido creadas utilizando un lenguaje especial llamado HTML. El nmero de pginas disponibles en la red aumenta da a da y en ellas podemos encon-trar informacin de todo tipo: las letras de las canciones de nuestro grupo favorito, los precios de los hoteles de la ciudad que queremos visitar, las ltimas noticias de la pren-sa,... Cada pgina tiene una "direccin" que nos permite identificarla en la red; estas di-recciones siguen un formato denominado URL (Universal Resource Locator) y tienen un aspecto similar a ste: http://www.illes.net (sta es la direccin de una pgina con infor-macin de las islas Baleares) Como ves, para escribir las direcciones tendrs que utilizar los smbolos : y /; para ob-tenerlos debers pulsar una de las teclas de maysculas y, sin soltarla, pulsar la tecla co-rrespondiente al smbolo : o / Normalmente, cuando una organizacin (o un particular) decide poner informacin en la red, no crea una sola pgina, sino un conjunto de ellas; es lo que se llama un "sitio Web" (site en ingls). Al hecho de inspeccionar pginas Web se le suele llamar "navegar", y a los programas que nos permiten hacerlo se les llama navegadores que, en el fondo, son simplemente programas capaces de manejar correctamente la informacin escrita en HTML. Uno de los navegadores ms utilizados es Internet Explorer, ya que viene incluido en Windows. Pero hay otros muchos, como Nestcape Navigator, Mozilla, Opera,... Para poner en marcha Internet Explorer bastar con localizarlo en la lista de programas del men Inicio, o hacer doble clic sobre su icono en el escritorio (o hacer clic en la barra de tareas). Para ver una pgina determinada, escribiremos su direccin en el lugar que hemos indicado; mientras estamos escribiendo, el programa intenta ayudarnos sugirin-donos posibles direcciones (en base a las direcciones que se han visitado anterior-mente usando el programa); estas suge-rencias aparecern listadas tal y como se muestra en el ejemplo de la figura. Podemos elegir una de las direcciones que se nos sugieren (para lo que bastar pinchar sobre ella con el ratn) o continuar escribiendo la direccin que nos interese y pulsar INTRO cuando hayamos terminado de hacerlo. Cada vez que le proporcionamos a Explorer una direccin le estamos pidiendo que: - busque en Internet la pgina a la que corresponde esa direccin. - copie esa pgina en nuestro ordenador para que nosotros podamos inspeccionarla. Si por cualquier razn (nos hemos confundido al escribir la direccin, la pgina tarda de-masiado en cargarse y preferimos ver otra, ...) deseamos interrumpir este proce-so, podemos hacerlo pinchando en el botn DETENER. Si lo que deseamos es que se vuelva a cargar de nuevo la pgina que tenemos en pantalla (p.e. porque no se ha cargado correctamente) pincharemos en el botn

ACTUALIZAR. Para localizar fcilmente contenidos en internet se usan bus-cadores, como Google, el ms usado en la actualidad. Su di-reccin es http://www.google.es/ Su presentacin es muy simple, ya que contiene una caja de texto para introducir las consultas, un par de botones y algu-nos enlaces con funciones diversas.



Los botones bajo la caja de texto sirven para iniciar la bsqueda, aunque ni siquiera son necesarios, ya que basta con pulsar la tecla Intro para que Google nos lleve automtica-mente a la pgina que considera que se ajusta en mayor medida a los criterios de bsqueda introducidos. Del resto de los enlaces, hay algunos cuya funcionalidad es evidente, como por ejemplo aquellos que nos permiten mostrar la pantalla en algn otro idioma peninsular. Hay que sealar que esta opcin no limita la bsqueda a esos idiomas, sino que lo nico que hace es cambiar los textos y mensajes que se muestran en la pantalla al idioma seleccionado. Puede ocurrir que alguna de las opciones que estn disponibles en castellano no aparez-can cuando cambiamos a otro idioma del territorio espaol. Aunque por lo que hemos visto todo parece bastante sencillo, llama la atencin que no encontremos ningn enlace que apunte a unas explicaciones de Ayuda. Sin embargo s que est ah, escondido bajo la denominacin Todo acerca de Google puedes acceder a la ayuda, aunque, como vers en algunos de los prximos apartados, hay cuestiones que se mencionan en la ayuda que no son rigurosamente correctas o, al menos, no reflejan exactamente el comportamiento del buscador. Si vamos a visitar frecuentemente una pgina de internet, puede ser conveniente aadirla a nuestros favoritos. Imagina que quieres hacerlo con la pgina de la Junta de Comunida-des de Castilla-La Mancha, que estamos visualizando en este momento en pantalla. Pro-cedemos de la siguiente forma para tenerla siempre disponible:

1.Accede al men favoritos y a continuacin, selec-cionar la opcin Agregar a Favoritos

2.Introduce el nombre con el que se pretende identi-ficar la pgina. Por ejemplo, JCCM y pulsar Aceptar

3.Comprueba que la pgina web ha quedado alma-cenada correctament. Pulsa sobre el botn Favori-tos y se activar un panel en la parte izquierda de la ventana, en el que aparece registrado el nombre que se acaba de asignar:JCCM

4. Accede al men Favoritos y selecciona Organizar Favoritos: puedes ordenar la carpeta Favoritos aa-diendo subcarpetas y clasificando las pginas por temas.

5 y 6. Para crear una nueva carpeta en Favoritos, accede al men de Favoritos y pulsa sobre lNueva carpe-ta; luego cambia el nombre a la carpeta (por defecto se llama Nueva carpeta) y pon Pginas de inters:



7.Selecciona la pgina JCCM y pulsa Mover 8.Aparecer el siguiente cuadro de dilogo. Sitate sobre Pginas de Inters y pulsa Aceptar

9.Comprueba que la pgina web ha quedado almacenada correctamente. Pulsa sobre Favoritos y se activar el panel en la parte izquierda de la venta-na. Aparece registrado el nombre que se acaba de asignar: JCCM



Para configurar la pgina por defecto de acceso a internet, (pgina de inicio), puedes hacer lo siguiente:

1.Abre el men Herramientas>Opciones de Internet

2.En Pgina principal pulsa Usar predetermina-da. Aadir la direccin predeterminada que tiene configurada el navegador. Si usamos Internet Explo-rer, ser Microsoft

3. Pulsa a continuacin Aceptar. A partir de ahora, tanto al arrancar el navegador, como al pulsar el botn Inicio, se cargar la pgina predeterminada. 4. Si queremos que la pgina de inicio sea una pgina en blanco, pulsamos en Usar pgina en blanco. En la pgina principal aparecer about:blank 5.Si pulsas Aceptar, a partir de ahora, tanto al arrancar el navegador, como al pulsar el botn de la

pgina principal, , se cargar la pgina elegi-da.



Para aprender cmo descargar programas de internet, vamos a suponer que deseamos buscar el lector de archivos pdf, Acrobat Reader. Para hacerlo, escribe la direccin de la web, www.google.es y pulsa INTRO para que el navegador la cargue. En la barra que hay para buscar escribe Acrobat y pulsa INTRO.

Nos aparece una pgina extensa con los resultados de la bsqueda; en concreto 79 mi-llones. Supongamos que nos gusta el tercero de ellos. Pinchamos en ese enlace.



Y nos lleva a la pgina de descarga, en la que se nos informa de la versin del programa, el sistema operativo, el idioma, el tamao. Cuando estemos de acuerdo, pulsamos en la barra de Descargar ahora.

Puede ocurrir que nos aparezca una barra en la parte superior de la ventana y que nos pida que hagamos clic para comenzar la instalacin. Si queremos que no se instale, sino que se descargue en el ordenador y luego poder instalarlo cuando queramos, buscamos un enlace que nos lo permita. En nuestro ejemplo est sealado ms abajo y es el que vamos a pulsar.



Entonces nos aparece la posibilidad de ejecutarlo (instalarlo) o guardarlo en nuestro orde-nador. Como es esto ltimo lo que queremos, pulsamos en Guardar. Seleccionamos la carpeta en la que vamos a descargar el archivo, por ejemplo, Mis Do-cumentos. Y pulsamos Guardar.

Tras un tiempo, se instala en la carpeta que le hemos indicado y con el nombre elegido. Si lo deseamos instalar, vamos a la carpeta donde lo ubicamos, hacemos doble clic sobre l y se instalar. Para saber ms: En el siguiente enlace podrs encontrar desarrollado el tema de los mltiplos y divisores, con ejemplos in-teractivos. Es recomendable: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/index.htm Puedes practicar con nmeros enteros en: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/introduccionenteros.htm Operaciones con nmeros enteros: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/proyectos2004/matematicas/index.htm http://matematicasies.com/spip.php?rubrique56 http://ponce.inter.edu/cremc/enteros.htm En los siguientes enlaces podrs encontrar ejercicios de clculo de m.c.m. y M.C.D. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divisibilidad/mcd_mcm.htm http://www.rena.edu.ve/SegundaEtapa/matematica/minmax.html En el siguiente enlace encontrars ms ejemplos de aplicacin del mximo comn divisor a la vida real: http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/unid- 2/divisores_comunes_(mc_c_d_).htm En el siguiente enlace se realiza la descomposicin factorial del nmero que escribas: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/desfacto.htm Sobre interpretacin de expresiones algebraicas: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Interpretacion_expresiones_algebraicas_d3/indice.htm Sobre informtica bsica: http://www.netcom.es/vildeu/curso_informatica_basica/curso.html http://www.deseoaprender.com/PagInfBasica.htm http://www.aulapc.es/

http://www.carlospes.com/curso_de_informatica_basica

http://www.carlospes.com/curso_de_informatica_basica

TEMA 2: EL CONOCIMIENTO CIENTFICO Y SU MTODO MDULO UNO


1. LA CIENCIA Y EL MTODO CIENTFICO 2. LA MEDIDA

2.1. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 2.1. 1. UNIDADES DE LONGITUD 2.1. 2. UNIDADES DE MASA 2.1. 3. UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD 2.1. 4. UNIDADES DE SUPERFICIE

2.2. INSTRUMENTOS DE MEDIDA 3. EL TRABAJO EN EQUIPO

3.1. PUESTA EN MARCHA DE UN EQUIPO DE TRABAJO 3.2. FUNCIONES DE LOS COMPONENTES DEL GRUPO 3.3. FASES DE UN PROYECTO TECNOLGICO

4. PREVENCIN DE RIESGOS LABORALES 4.1. NORMAS BSICAS DE PREVENCIN DE RIESGOS LABORALES 4.2. CONSECUENCIAS DE LOS RIESGOS LABORALES

1. LA CIENCIA Y EL MTODO CIENTFICO La imagen que suele tenerse de la ciencia es de una actividad sospechosa de crear pro-blemas o desastres de todo tipo y los que la desarrollan, de personas raras y de poco fiar: cientficos locos metidos en su laboratorio investigando cosas extraas, ajenos al mun-do real. Sin embargo, esta imagen dista mucho de lo que verdaderamente es esta activi-dad innata a la especie humana, ya que la propia palabra ciencia significa conocimiento y ste ha sido visto con recelo por el poder (poltico o religioso) desde la antigedad por su carcter crtico e independiente, prefiriendo muy a menudo una poblacin ignorante y temerosa, fcilmente dominable con explicaciones mgico-religiosas de la naturaleza. Aunque suelen ir asociadas, hay que distinguir entre ciencia y tecnologa, ya que la pri-mera pretende dar respuestas a lo desconocido, mientras que la segunda busca aplica-ciones prcticas a estas respuestas. Como importantes logros de la ciencia, debemos mencionar el desarrollo de la medicina, la fabricacin de sustancias no existentes en la naturaleza (tejidos, fibras, polmeros, de-tergentes, semiconductores...), el desarrollo de todo tipo de mquinas que nos hacen la vida ms cmoda, etc. Gracias a la ciencia, pues, la especie humana ha conseguido una mayor calidad de vida, que se refleja en aspectos como el aumento de la esperanza de vida y de la cantidad de poblacin. En su contra, podramos mencionar los graves problemas ambientales producidos por la sobreexplotacin de recursos naturales y por los residuos generados, as como los peli-gros causados por ciertos aplicaciones tecnolgicas (como las armas qumicas, biolgicas o nucleares), aunque no es justo atriburselos a la ciencia, ya que es la sociedad la que no asume las consecuencias de su propio desarrollo: no olvidemos que la ciencia estudia alternativas para recuperar recursos o solucionar los problemas ambientales. La ciencia es una actividad humana destinada al estudio e investigacin del universo en su amplio sentido de la palabra, es decir, el propio hombre y todo lo que le rodea. Incluye las siguientes facetas:

a) El conjunto de conocimientos acumulados por la especie humana desde los albo-res de su desarrollo hasta la actualidad.

b) El mtodo de trabajo utilizado para responder a las preguntas y problemas que el hombre se hace sobre el mundo que le rodea; este mtodo permite comprobar la validez de las explicaciones y respuestas que la propia ciencia ofrece.

c) La actividad investigadora propiamente dicha, que trata de dar respuesta a la cu-riosidad humana, que es el verdadero impulso de la ciencia. En este sentido, la ac-tividad cientfica nunca podr estar cerrada, ya que, cuanto ms se sabe sobre el universo, ms dudas nos surgen.

La gran cantidad de conocimientos acumulados y la complejidad del universo han hecho que la ciencia se haya dividido en distintos apartados denominados ramas de la ciencia que, a su vez, tienen otros apartados o ciencias particulares. Si bien en muchos casos es



difcil catalogar una ciencia en una rama concreta, ya que puede pertenecer a ms de una a la vez, esta clasificacin permite una mejor comprensin del mbito estudiado. Las ramas de la ciencia son:

a) Ciencias humanas: estudian al hombre y a la sociedad. Ejemplos: historia, socio-loga, geografa, economa.

b) Ciencias fsico-naturales: estudian la naturaleza y al hombre como ser vivo. Ejemplos: qumica, fsica, biologa, geologa.

c) Ciencias formales: estudian abstracciones creadas por el hombre. Ejemplos: lgi-ca, matemticas.

d) Ciencias aplicadas: estudian el modo de organizar, dirigir, construir y usar edifi-cios o mquinas de utilidad para el hombre. Ejemplos: ingenieras, arquitectura.

Todas las ciencias han sido elaboradas por y para el ser humano y, de ellas, nos centra-remos en las ciencias fsico-naturales o experimentales, caracterizadas por haber logrado tal grado de desarrollo, que sus aplicaciones tecnolgicas han llevado a considerarlas como ciencias, frente al resto, que suelen denominarse letras. Asimismo, en el lengua-je coloquial, se llama cientficos a los investigadores del campo de las ciencias fsico-naturales. Pese a la precisin, fiabilidad y exactitud de las ciencias experimentales, hay muchos pro-blemas que se plantea la humanidad, a los que la ciencia no da respuesta; pese a ello, hay que tener en cuenta que la ciencia no es un conocimiento finalizado, ya que constan-temente evoluciona y nunca estar totalmente construida, por lo que, con el tiempo, algu-nas preguntas no contestadas pueden tener respuesta (quiz fantasiosa para el actual estado de conocimientos). El indudable avance cientfico, especialmente en los ltimos tres siglos, se debe, adems de a la curiosidad humana y a la continua acumulacin de conocimientos, a los medios econmicos y materiales que la sociedad y la tecnologa ponen al servicio de la ciencia para lograr beneficios con los nuevos descubrimientos (aunque en muchas ocasiones es-te apoyo tiene un carcter altruista). En la antigedad, los mecenas acogan e incentiva-ban el trabajo de cientficos; en la actualidad, el alto coste de las investigaciones y su complejidad, hacen que sean los propios gobiernos (a travs de universidades o centros de investigacin), las empresas (para mejorar sus productos) o asociaciones internaciona-les (como la ESA, el CERN o la propia NASA) quienes asumen esta funcin. Tambin el propio mtodo de trabajo que utilizan los cientficos es garanta de un avance permanente, ya que, mediante la observacin y el razonamiento lgico, elimina muchas posibles fuentes de error que podran entorpecer las investigaciones. El trabajo de los cientficos consiste en:

Observar, analizar, comparar, clasificar, medir o relacionar. Proponer explicaciones. Comprobar la validez de sus explicaciones Predecir nuevos fenmenos.

Entre las personas que trabajan en el mundo de la ciencia, pueden distinguirse: a) Los cientficos, que descubren, explican lo descubierto y, a veces, realizan aplica-

ciones prcticas con sus descubrimientos (inventan). b) Los tcnicos, que son los que disean y proyectan. Tambin inventan aplicaciones. c) Los obreros, que realizan lo diseado o proyectado.

Hay personas, como los obreros cualificados, que pueden participar en varios grupos de los anteriores, ya que proyectan y realizan ellos mismos. Es el caso de los tcnicos en reparaciones, los que manejan maquinarias complejas o los artesanos. El llamado mtodo cientfico es parecido al de un detective, ya que, a partir de unas pis-tas (a veces engaosas) y de unos conocimientos previos (en muchas ocasiones equivo-cados) debe encontrarse la respuesta al problema planteado. Las etapas que suelen dis-tinguirse en este modo de trabajar son las siguientes:



1- Observacin del fenmeno objeto de estudio: consiste en medir, comparar, describir detalladamente lo observado y comunicarlo al resto de los cientficos. Suele completarse con la observacin inconsciente de aspectos que no se esperaban o no pueden ser expli-cados con los conocimientos y experiencias previas. Las observaciones cientficas deben ser repetibles y poder ser realizadas de forma inde-pendiente por varios cientficos. 2- Emisin de hiptesis: es la explicacin provisional que se da a un hecho, sin tener la seguridad de que sta sea cierta. Est basada en el razonamiento lgico, el anlisis de lo observado y el conocimiento previo que tiene el cientfico. 3- Asociacin de ideas: consiste en relacionar los hechos observados entre s o con lo ya conocido. Puede ser importante para emitir nuevas hiptesis o para verificarlas. A ve-ces surge de manera espontnea, siendo inicialmente considerada absurda, pero des-pus de un anlisis ms detallado puede dar la respuesta al problema. 4- Experimentacin: es el diseo y realizacin de nuevas observaciones bajo condicio-nes controladas, para poder confirmar o rechazar las hiptesis. Pueden realizarse antes o despus de la emisin de hiptesis y, si son adecuados, permitirn poner a prueba las hiptesis. Cuando stas no estn de acuerdo con los experimentos, deben plantearse otras hiptesis y observaciones; en caso contrario, la hiptesis es considerada hiptesis vlida. Cuando una o varias hiptesis vlidas son capaces de explicar un conjunto de hechos relacionados entre s pasan a llamarse teora, que ser puesta a prueba con nuevos ex-perimentos que la reforzarn si estn de acuerdo con ella, pasando as a considerarse como una buena teora, capaz de realizar predicciones de fenmenos que explican pero, en muchas ocasiones, todava no descubiertos. Cuando el valor de las predicciones de una teora no encuentra ninguna excepcin, pasa a ser considerada ley natural. Pero a veces ocurre que teoras muy consolidadas y consideradas leyes naturales empie-zan a fallar al estudiar nuevos fenmenos; entonces, se consideran formulaciones aproximadas de leyes naturales de las que no se conocen todava formulaciones ms exactas. Con el tiempo, aparecer una nueva teora que se aproxime ms que la anterior a la ley natural. El siguiente esquema resume las etapas del mtodo cientfico:



2. LA MEDIDA Las observaciones cientficas son en muchos casos medidas de propiedades. Pues bien, podemos definir magnitud fsica como toda aquella propiedad que puede ser medida o comparada de forma objetiva; es, por tanto, un concepto abstracto y general, difcil de de-finir en muchas ocasiones. Son magnitudes fsicas la longitud, el tiempo o la masa, pero no la alegra o la belleza. Medir una magnitud consiste en comparar una magnitud en una situacin, con otra en la que se la considera como unidad. Para comprenderlo, basta pensar en cmo asignamos la longitud de un segmento: si tomamos un segmento de longitud unidad (1u), la longitud de otro segmento ser el nmero de veces que se puede repetir el segmento unidad al llevarlo sobre l. Por tanto, una medida siempre debe ser considerada como el producto de una cantidad

(un nmero) por una unidad: medida = cantidad x unidad

El signo x suele suprimirse, pero hemos de considerar que est presente, sobre todo cuando vayamos a hacer cambios de unidades, que pueden hacerse sustituyendo las antiguas unidades por su equivalencia en las nuevas y luego respetar las operaciones matemticas que puedan contener las unidades. Ejemplo: sabemos que 1 cm = 10 mm; por tanto 5 cm = 5(10 mm) = (510) mm = 50 mm Las magnitudes fsicas pueden clasificarse segn distintos criterios en: a) Magnitudes fundamentales y derivadas: las fundamentales son pocas y se conside-ran simples, mientras que las derivadas son muchas y se definen a partir de las funda-mentales (normalmente mediante una ecuacin matemtica). Ejemplos:

- Magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo. - Magnitudes derivadas: superficie ( baS ), volumen ( cbaV ), densidad

(V

md ), ...

b) Magnitudes escalares y vectoriales: las escalares quedan determinadas exclusiva-mente por un nmero y una unidad, mientras que en las vectoriales se necesita indicar adems su orientacin mediante segmentos espe-ciales llamados vectores, que tienen un origen, un extremo (indicado por la punta de la flecha), una longitud (llamada mdulo), una orientacin deter-minada por una direccin (la recta que los contie-ne) y un sentido (indicado por su extremo); para representar las magnitudes vectoriales se usa una letra con una flechita encima. Ejemplos:

- Magnitudes escalares: masa, tiempo, densidad.

- Magnitudes vectoriales: velocidad ( v

), fuerza ( F

), aceleracin ( a

)



2.1. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Si para medir las diferentes magnitudes cada uno de nosotros utilizramos distintas uni-dades, no podramos entendernos al referirnos a distancias, pesos, tiempos, etc. Por ello, es necesario utilizar un conjunto coherente de unidades y establecer ciertas reglas de uso. Imagina que nos dicen que la longitud de una mesa es de cinco cuartas; dependien-do de lo grande que sea la mano de la persona que mide, as ser la longitud de la mesa. Antiguamente haba unidades con el mismo nombre que variaban su valor de una regin a otra; adems, las subdivisiones de las diferentes unidades no eran decimales, lo cual representaba grandes complicaciones para el clculo. En 1795, en un intento de renovacin y racionalidad fruto de la Revolucin Francesa, se cre el Sistema Mtrico Decimal (SMD), en el que se establecieron una serie de unidades perfectamente definidas, con mltiplos y submltiplos que varan de diez en diez unida-des, es decir, cada unidad es 10 veces mayor que su inmediata inferior y 10 veces menor que su inmediata superior (para pasar de una unidad a otra mayor, hay que dividir por el 1 seguido de tantos ceros como lugares separe a ambas unidades y para pasar de una uni-dad a otra menor, multiplicaremos con el mismo criterio, en lugar de dividir). De este modo, se estableci el metro como unidad de longitud, definindolo como la diezmillonsima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Pars, que equivale a decir que, si se diera la vuelta a la Tierra saliendo de Pars, pasando por el Polo Norte, el Polo Sur y volviendo a Pars, habra que recorrer cuarenta millones de metros, es decir, 40.000 kilmetros. La anterior definicin de metro parece arbitraria y complicada, pero lo importante es que se construy fsicamente el metro patrn, un lingote de platino-iridio (para evitar su deterioro) de un metro de longitud, a partir del cual se construyeron copias para poder fabricar reglas y dems utensilios de medida de longitud en los pases que quisieran adoptar el SMD (Espaa

lo declar sistema de medidas oficial en 1849). De igual forma que con el metro, se hizo con otras unidades de medida, como el kilogramo (unidad de masa) que se defi-ni tomando como referencia el agua: se decidi que la ma-sa de un decmetro cbico de agua (un litro) es un kilogramo, y tambin se construy el kilogramo patrn. El desarrollo de la ciencia y de la tcnica durante el siglo XX suscit la necesidad de introducir modificaciones esenciales en el SMD y establecer nuevas unidades de medida utiliza-bles en las relaciones internacionales. Esto se resolvi en la XI Conferencia general de Pesas y Medidas celebrada en Pars en octubre de 1960, en la que los pases signatarios de la Convencin del Metro, entre los que figuraba Espaa, resolvieron adoptar el deno-minado Sistema Internacional de unidades (SI) que establece las siguientes siete mag-nitudes fsicas fundamentales, con sus correspondientes unidades perfectamente defi-nidas:

MAGNITUD FSICA UNIDAD ABREVIATURA

Longitud metro m

Tiempo segundo s

Masa kilogramo kg

Intensidad de corriente elctrica amperio A

Temperatura kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd



Como las magnitudes derivadas se pueden definir a partir de otras mediante una ley fsica (una frmula), pueden deducirse sus unidades en el S.I. a partir de las de las magni-tudes fundamentales:

MAGNITUD FSICA UNIDAD ABREVIATURA

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleracin metro por segundo cuadrado m/s2

Nmero de ondas metro a la potencia menos uno m-1

Densidad kilogramo por metro cbico kg/m3

Velocidad angular radin por segundo rad/s

Aceleracin angular radin por segundo al cuadrado rad/s2

Si slo dispusiramos de esas unidades, a veces sera complicado dar ciertas medidas, como el grosor de un folio, la distancia entre Madrid y Londres, la masa de un pendiente de oro, la edad de una persona, la velocidad mxima a la que puedes circular por una ciudad, etc. Por eso es imprescindible disponer de unidades mayores y menores que las bsicas (mltiplos y submltiplos) y saber manejar el cambio. En el siguiente cuadro se enumeran algunas de ellas:

FACTOR PREFIJO SMBOLO EJEMPLO 1.000.000.000.000.000.000 = 10

18 exa E 1 exmetro = Em = 1.000.000.000.000.000.000 m

1.000.000.000.000.000 = 1015

peta P 1 petmetro= 1 Pm = 1.000.000.000.000.000 m

1.000.000.000.000 = 1012

tera T 1 termetro = 1 Tm = 1.000.000.000.000 m

1.000.000.000 = 109 giga G 1 gigmetro = 1 Gm = 1.000.000.000 m

1.000.000 = 106 mega M 1 megmetro = 1 Mm = 1.000.000 m

1.000 = 103 kilo k 1 kilmetro = 1 km = 1.000 m

100 = 102 hecto h 1 hectmetro = 1 hm = 100 m

10 = 101 deca da 1 decmetro = 1 dam = 10 m

1 = 100 --------- --------- 1 metro = 1 m

0,1 = 10-1

deci d 1 decmetro = 1 dm = 0,1 m

0,01 = 10-2

centi c 1 centmetro = 1 cm = 0,01 m

0,001 = 10-3

mili m 1 milmetro = 1 mm = 0,001 m

0,000001 = 10-6

micro 1 micrmetro = 1 m = 0,000001 m

0,000000001 = 10-9

nano n 1 nanmetro = 1 nm = 0,000000001 m

0,000000000001 = 10-12

pico p 1 picmetro = 1 pm = 0,000000000001 m

0,000000000000001 = 10-15

femto f 1 femtmetro = 1 fm = 0,000000000000001 m

0,000000000000000001 = 10-18

atto a 1 attmetro = 1 am = 0,000000000000000001 m

Las que ms solemos usar son las que aparecen sombreadas en la parte central; la co-lumna de la izquierda est expresada en lo que denominamos notacin cientfica, que estudiaremos en un prximo blo-que, y que es un modo de repre-sentar los nmeros muy grandes o muy pequeos utilizando potencias de diez. Para que te resulte ms fcil reali-

zar cambios de unas a otras unida-

des (mltiplos y submltiplos del

SMD) quiz te sea til la escalera

del Sistema Mtrico Decimal, en la que cada peldao separa a cada uno de los mltiplos

o submltiplos de la unidad y significa tener que multiplicar o dividir por 10 (segn se

descienda o se ascienda por la escalera). Ejemplo: 5 hm = 500 m, pero 5 cm = 0,05 m.



2.1.1. UNIDADES DE LONGITUD La unidad principal es el metro; los mltiplos del metro sern: decmetro, hectmetro, kilmetro, Los submltiplos del metro sern: decmetro, centmetro, milmetro, Lo podemos ver ms claro en el siguiente cuadro:

Cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inme-diata superior, es decir, para pasar de una unidad a otra cualquiera situada a su derecha, se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como lugares separan a las unidades consideradas; para pasar hacia la izquierda se divide de la misma forma. Ejemplos: Para pasar de dam a cm se multiplica por 1.000, puesto que nos desplazamos tres luga-res a la derecha. Para pasar de dm a km se divide por 10.000, puesto que nos desplazamos cuatro luga-res a la izquierda. 2.1.2. UNIDADES DE MASA La unidad de masa, como se ha dicho anteriormente, es el kilogramo. Tambin tiene mltiplos y submltiplos, pero se aaden algunas medidas distintas al resto, que desta-camos a continuacin:

Para pasar de una unidad a otra se sigue el mismo criterio que para las unidades de longi-tud y capacidad. En consecuencia: 1 t = 1000 kg 1 q = 100 kg 2.1.3. UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD De igual forma lo podramos hacer con el resto de magnitudes. Dada su importancia, va-mos a ver las unidades de volumen y capacidad. Cuando nos referimos a la capacidad que tiene un recipiente, hacemos mencin a la can-tidad de lquido que ste puede contener. La unidad de medida principal es el litro. Entre las cosas que podemos medir en litros, encontramos la cantidad de agua que cabe en una botella, el aceite que cabe en el motor de un coche, o el agua que puede contener una piscina, entre otros. Al igual que ocurre con las unidades de longitud, el litro tambin tiene mltiplos y sub-mltiplos.

Ahora bien, cuando nos referimos al volumen que ocupa un lquido, fluido, gas o slido, hacemos mencin al espacio que stos utilizan y entonces utilizamos las unidades de volumen. La unidad de volumen es el metro cbico (m3). Como el resto de unidades, tambin tiene mltiplos y submltiplos:



Pero, a diferencia de las dems unidades, stas aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000. Por tanto, para pasar de una unidad a otra que est situada a la derecha, debemos contar los lugares que las separan y multiplicar por 1000 cada lugar que nos traslademos; si la unidad est situada a la izquierda, deberemos dividir, con el mismo criterio (si usa-mos la escalera del SMD, se dice que los escalones son triples para las unidades de volumen). Ejemplos:

- Para pasar de m3 a cm3, bajamos dos escalones, por lo que habr que multiplicar por 1.000.000, es decir, tres veces 100.

- Para pasar de dm3 a hm3, subimos tres escalones, por lo que habr que dividir 1.000.000.000, es decir, tres veces 1000.

Entre las unidades de volumen y capacidad existen unas equivalencias que vienen de-terminadas por la definicin de litro, que es la capacidad de un cubo que tiene de arista un decmetro, es decir, 1 litro es la capacidad de 1 dm3. Por tanto, 1 L = 1 dm3 (el smbolo del litro debera escribirse en minscula, pero como puede confundirse en caracteres de imprenta con el uno, se acepta escribirlo en mayscula). A continuacin se expresan di-chas equivalencias:

Normalmente, las grandes cantidades de volumen vienen expresadas en hectmetros cbicos. Recuerda, por ejemplo, cuando se habla de los trasvases de agua. Segn lo ex-plicado ms arriba, su equivalencia con el litro (dm3) ser: 1 hm3 = 1.000.000.000 dm3 = 1.000.000.000 litros 2.1.4. UNIDADES DE SUPERFICIE La unidad de superficie es el metro cuadrado (m2). Los mltiplos y submltiplos del me-tro cuadrado son:

Estas unidades aumentan o disminuyen de 100 en 100. Por tanto, para pasar de una uni-dad a otra que est situada a la derecha, debemos contar los lugares que las separan y multiplicar por 100 cada lugar que nos traslademos. Si la unidad est situada a la izquier-



da, deberemos dividir, con el mismo criterio (si usamos la escalera del SMD, se dice que los escalones son dobles para las unidades de superficie). Ejemplos:

- Para pasar de m2 a cm2, bajamos dos escalones, por lo que multiplicamos por 10.000, es decir, dos veces 100.

- Para pasar de dm2 a hm2, subimos tres escalones, por lo que habr que di-vidir 1.000.000, es decir, dos veces 1000.

Para medir superficies en el campo se suelen utilizar las llamadas unidades agrarias, que son el rea (a), la hectrea (ha) y la centirea (ca), cuyas equivalencias con las unidades de superfi-cie las que aparecen en el cuadro de la derecha. Para pasar de una unidad agraria a otra, se sigue el mismo procedimiento que para las unidades de super-ficie. Por tanto, 1 ha = 100 a; 1 ha = 10.000 ca. 2.2. INSTRUMENTOS DE MEDIDA Cuando vas conduciendo, cmo controlaras la velocidad si tu coche no tuviera velocmetro?.Cmo sabras las distancias entre localidades si no estuvieran indicadas en las carrete-ras?.Cmo comprobaras la eficacia de tu dieta si no tuvieras pesos para pesarte? Si vas caminando por la calle, habitualmente observars los termmetros instalados que nos marcan la temperatura.

Igualmente, cuando conduces tu co-che controlas la velocidad a la que circulas mirando el velocmetro y cuando vas por una carretera, los postes kilomtricos te van marcando las distancias y las direcciones, no podramos vivir sin reloj para controlar el tiem-po, etc. Pues bien, los termmetros, los velocmetros, los relojes, las balanzas y dems aparatos, son instrumentos de medida que conviven con nosotros, ayudndonos a que nuestra vida dia-

ria sea ms cmoda y fcil. Los instrumentos de medida son necesarios por diferentes motivos; entre ellos podramos apuntar los siguientes:

a. Los sentidos nos pueden engaar. b. Hay magnitudes que no son perceptibles con los sentidos. c. Valores muy altos o muy b

1. LOS NÚMEROS NATURALES. DEFINICIÓN Y...

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