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Unidad 1. Números reales 1

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REFLEXIONA Y RESUELVE

El paso de Z a Q

■ Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles esnecesario el conjunto de los números racionales, Q.

a) –5x = 60 b)–7x = 22 c) 2x + 1 = 15

d)6x – 2 = 10 e) –3x – 3 = 1 f) –x + 7 = 6

Se pueden resolver en Z a), c), d) y f).

Hay que recurrir a Q para resolver b) y e).

El paso de Q a Á

■ Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones:

a) x2 – 9 = 0 b)5x2 – 15 = 0 c) x2 – 3x – 4 = 0

d)2x2 – 5x + 1 = 0 e) 7x2 – 7x = 0 f) 2x2 + 3x = 0

a) x2 – 9 = 0 8 x = ±3

b) 5x2 – 15 = 0 8 x2 = 3 8 x = ±

c) x2 – 3x – 4 = 0 8 x = = =

d) 2x2 – 5x + 1 = 0 8 x = = =

e) 7x2 – 7x = 0 8 x2 – x = 0 8 x = 0, x = 1

f) 2x2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –32

5 + √—17

—4

5 – √—17

—4

5 ± √—17

45 ± √25 – 8

4

4

–1

3 ± 52

3 ± √9 + 162

√3

NÚMEROS REALES1

Números irracionales

■ Demuestra que es irracional. Para ello, supón que no lo es: = . Eleva

al cuadrado y llega a una contradicción.

Supongamos que no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción:

= 8 2 = 8 p2 = 2q2

En p2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición defactores primos de p2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q2. Por tan-to, en 2q2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplirla igualdad.

Suponiendo que = llegamos a una contradicción:

“p2 = 2q2, pero p2 no puede ser igual a 2q2”.

Por tanto, no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.

■ Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado.

= 8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0

F = =

Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F = .√5 + 1

2

1 + √—5

—2

1 – √—5

—(negativo)2

1 ± √1 + 42

1F – 1

F1

F – 1

F

1

√2

pq

√2

p2

q2pq

√2

√2

pq

√2√2

Unidad 1. Números reales2

1. Sitúa los siguientes números en el diagrama:

; 5; –2; 4,5; 7,)3; – ; ; ;

2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada nú-mero puede estar en más de una casilla.

Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla.

NATURALES, N 5; √—64

ENTEROS, Z 5; –2; √—64;

3√—–27

RACIONALES, Q 5; –2; 4,5; 7,)3;

3√—–27; √

—64

REALES, Á √—3; 5; –2; 4,5; 7,

)3; –

3√—6; √

—64;

3√—–27

NO REALES √—–8

NATURALES, NENTEROS, ZRACIONALES, QREALES, ÁNO REALES

Á Q

Z N

4,5

–25

7,)3√

—3

√—–8 √

—64 = 8

–3√

—6

3√—–27 = –3

Á Q

Z N

√–83√–27√64

3√6√3


1UNIDAD

3. Representa los siguientes conjuntos:

a) (–3, –1) b) [4, +@) c) (3, 9] d) (–@, 0)


a) {x / –2 Ì x < 5} b) [–2, 5) « (5, 7]

c) (–@, 0) « (3, +@) d) (–@, 1) « (1, +@)

Página 30

1. Halla los siguientes valores absolutos:

a) |–11| b) |π| c) |– |

d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |

g) |1 – | h) | – | i) |7 – |

a) 11 b) π c)

d) 0 e) |3 – π| = π – 3

f) |3 – | = 3 – g) |1 – | = – 1

h) | – | = – i) |7 – | = – 7

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

a) |x| = 5 b) |x| Ì 5 c) |x – 4| = 2

d) |x – 4| Ì 2 e) |x – 4| > 2 f ) |x + 4| > 5

a) 5 y –5 b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]

c) 6 y 2 d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]

e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@) f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)

√50√50√2√3√3√2

√2√2√2√2

√5

√50√3√2√2

√2

√5

a)

c)

b)

d)0 1

0 5–2 –2 0 5 7

0 3

a)

c)

b)

d)

–3

3

–1 0

0 96

0

0

4


1. Simplifica:

a) b) c)

d) e) f)

a) = b) =

c) = y2 d) = =

e) = = = f ) = =

2. ¿Cuál es mayor, o ?

Reducimos a índice común:

= ; =

Por tanto, es mayor .

3. Reduce a índice común:

a) y b) y

a) = ; = b) = ;

4. Simplifica:

a) ( )8b) c)

a) ( )8 = k b) = c) = x

Página 32

5. Reduce:

a) · b) · c) · · d) ·

a) · =

b) · =

c) · · =

d) · = = = 212√2512√21712√(23)3 · (22)4

12√4412√83

8√278√28√228√24

6√356√36√34

15√2815√2315√25

3√44√8

8√24√2√2

6√33√9

5√23√2

6√x63√x215√x108√k

3√(√—x )6

5√3√—x10√√

—

√—k

9√132650

9√132651

3√51

36√a1418

√a736√a1512

√a5

9√132 6503√51

18√a712√a5

4√31

12√28561

3√13

12√29791

4√31

3√134√31

√38√348√81

3√43√229√269√64

√26√236√8

5√y10

3√x212√x84√x3

12√x9

8√819√64

6√8

5√y1012√x812√x9


1UNIDAD

6. Simplifica:

a) b) c) d)

a) = = b) 6

=

c) 6

= 6

= d) 4

= 4

= 4

7. Reduce:

a) b) c) d

a) = b) 6

= =

c) 10

= = d) 4

= = 3

8. Suma y simplifica:

a) 5 + 3 + 2

b) + –

c) + – –

d) – + +

e) –

a) 10

b) 3 + 5 – = 7

c) + – – = + – – =

= 3 + 5 – – 2 = 5

d) – + + = 3 – 5 + 2 + 2 = 5 – 3

e) – = 5 – 3 = 2√2a√2a√2a√2 · 32 · a√2 · 52 · a

√2√3√2√3√2√3√23√22 · 3√2 · 52√33

√2√2√2√2√2

√23√2√2 · 52√2 · 32√8√2√50√18

√2√2√2√2

√x

√18a√50a

√8√12√50√27

√8√2√50√18

√2√25 · 2√9 · 2

√x√x√x

4√34√ 36

3210√8

10√23√ 28

25

3√326√34√ 36

326√3√ 34

33

4√729

√3

5√16

√2

√93√3

3√32

√3

√ ab c

1c√ a

b c5√ a3 b5 ca2 b6 c6

6√a–1√ 1a√ a3

a4

6√a b√a3 b3

a2 b2√x–2√ 1x2√ x3

x5

4√a3 · b5 · c

√a · b3 · c3

6√a3

3√a2

√a · b3√a · b

5√x3√x


9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i ) j )

a) =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = = =

f) = = = =

g) = =

h) = = = =

i) = = = =

j) = = = = 3√105

2 3√1010

2 3√2 · 52 · 5

23√22 · 52

23√100

3√62

3 3√66

3 3√2 · 32 · 3

33√22 · 32

33√36

3√2510

3√52

101

23√5

23√23 · 5

13√40

2 3√55

23√52

23√25

2√23

4√26

4

3√2

4

√2 · 32

4

√18

3√210

3

5√2

3

√2 · 52

3

√50

√aa2

1

a √a

1

√a3

√213

√7

√3√73

3 3√22

33√22

33√4

5√77

5

√7

23√100

33√36

13√40

23√25

4

√18

3

√50

1

√a3

7√ 3

33√4

5

√7


1UNIDAD

10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) + + h) +

a) = = – 1

b) = =

c) = = + 1

d) =

e) = =

f ) = = = 5 + 2

g) + + = + 2 =

h) =

Página 36

1. Halla:

a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1

e) log4 64 f) log7 49 g) ln e4 h) ln e –1/4

i ) log5 0,04 j ) log6 )1216(

2√—x

x – y

√—x + √

—y + √

—x – √

—y

x – y

5√—3

2√2

√22

√—2 – 1

1

√—2 + 1

1√22

√630 + 12√

—6

6

18 + 12 + 12√—6

6

(3√—2 + 2√

—3 )2

18 – 12

2√—3 + √

—5

7

2√—3 + √

—5

12 – 5

2√—3 + √

—5

(2√—3 – √

—5 ) (2√

—3 + √

—5 )

x + y + 2 √—x y

x – y(√

—x + √

—y) (√

—x + √

—y)

(√—x – √

—y ) (√

—x – √

—y )

√a(a – 1) (√

—a + 1)

(a – 1)

(a – 1) (√—a + 1)

(√—a – 1) (√

—a + 1)

x√—x – x√

—y + y√

—x – y√

—y

x – y(x + y) (√

—x – √

—y )

x – y(x + y) (√

—x – √

—y )

(√—x + √

—y ) (√

—x – √

—y )

√2√

—2 – 1

2 – 1

√—2 – 1

(√—2 + 1) (√

—2 – 1)

1

√—x + √

—y

1

√—x – √

—y

1

√—2 + 1

1

√—2 – 1

1

√2

3√—2 + 2√

—3

3√—2 – 2√

—3

1

2√—3 – √

—5

√—x + √

—y

√—x – √

—y

a – 1

√—a – 1

x + y

√—x + √

—y

1

√—2 + 1


a) log2 16 = log2 24 = 4 b) log2 0,25 = log2 2–2 = –2

c) log9 1 = 0 d) log10 0,1 = log10 10–1 = –1

e) log4 64 = log4 43 = 3 f) log7 49 = log7 72 = 2

g) ln e4 = 4 h) ln e–1/4 = –

i) log5 0,04 = log5 5–2 = –2 j) log6 = log6 6–3 = –3

2. Halla la parte entera de:

a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43 000

d) log10 0,084 e) log9 60 f) ln e

a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64

5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,…

b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125

4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,…

c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000

4 < log10 43 000 < 5 8 log10 43 000 = 4,…

d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1

–2 < log10 0,084 < –1 8 log10 0,084 = –1,…

e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81

1 < log9 60 < 2 8 log9 60 = 1,…

f) ln e = 1

3. Aplica la propiedad para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de lacalculadora:

a) log2 1 500 b) log5 200

c) log100 200 d) log100 40

En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación.

a) = 10,55; 210,55 ≈ 1500 b) = 3,29; 53,29 ≈ 200

c) = 1,15; 1001,15 ≈ 200 d) = 0,80; 1000,80 ≈ 40log 40log 100

log 200log 100

log 200log 5

log 1500log 2

8

)1216(

14


1UNIDAD

4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula:

a) log5 b) log5

a) log5

3

= [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ≈ –0,27

b) log5 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1

5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:

ln y = 2x – ln 5

ln y = 2x – ln 5 8 ln y = ln e2x – ln 5

ln y = ln 8 y =

Página 38

1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes medi-ciones:

a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2.

b)Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo.

c) Juana gana 19 000 € al año.

a) |Error absoluto| < 0,05 m2

|Error relativo| < < 0,00052 = 0,052%

b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500 000 horas

|Error relativo| < < 0,014 = 1,4%

c) — Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar lacantidad (es decir, que se trata de 19 mil €, redondeando a los “miles de eu-ros”), entonces:

|E.A.| < 0,5 miles de € = 500 € |E.R.| < < 0,027 = 2,7%

— Si suponemos que es 19 000 € exactamente:

|E.A.| < 0,5 € |E.R.| < < 0,000027 = 0,0027%0,5

19 000

0,519

0,537

0,0596,4

e2x

5e2x

5

32

32

5√A3

B2

– 0,83

13

13√A2

25B

5√A3

B2

3 A2√25B


2. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:

a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012

b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7

a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 = ((8 · 105) : (2 · 10–4)) · 5 · 1011 =

= (4 · 109) · 5 · 1011 = 20 · 1020 = 2 · 1021

b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7 = 48,6 · 10–7 + 0,93 · 10–7 – 6 · 10–7 =

= 43,53 · 10–7 = 4,353 · 10–6

3. Opera con la calculadora:

a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6)

b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9

a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6) ≈ 5,85 · 1012

b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9 = 2,37 · 10–10

Página 41

LENGUAJE MATEMÁTICO

1. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso:

2. Expresa simbólicamente estas relaciones:

a) 13 es un número natural.

b) – 4 es un número entero.

c) 0,43 es un número racional.

N

M'N – M (M « N) – (M » N)

M – NM » N M « NN N

NU

N

M M M

M

M

M


1UNIDAD

d) π es un número real.

e) Todos los enteros son racionales.

f ) El intervalo [3, 4] está formado por números reales.

a) 13 é Nb) –4 é Zc) 0,43 é Qd) π é Áe) Z å Qf) [3, 4] å Á

3. Designa simbólicamente estos conjuntos:

a) Los números enteros mayores que –5 y menores que 7 (utiliza Z y el inter-valo abierto (–5, 7)).

b) Los números irracionales (utiliza Á y Q).

c) Los números racionales mayores que 2 y menores o iguales que 3.

d) Los números que son múltiplos de 2 o de 3 (el conjunto de los múltiplos de

p se designa p•).

a) {x é Z / x é (–5, 7)}

b) Á – Qc) {x é Q / 2 < x Ì 3}

d) {x / x = 2•

o x = 3•}

4. Traduce:

a) {x éZ /x Ó – 4}

b) {x éN /x > 5}

c) {x éN /1 < x Ì 9}

d) {x éZ /–2 Ì x < 7}

a) Números enteros mayores o iguales que –4.

b) Números naturales mayores que 5.

c) Números naturales mayores que 1 y menores o iguales que 9.

d) Números enteros mayores o iguales que –2 y menores que 7.

5. ¿Cuáles son los números que forman el conjunto (Á – Q) � [0, 1]?

Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, 1).


EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Números racionales e irracionales

1 Expresa como fracción cada decimal y opera:

0,)12 – 5,

)6 – 0,23

)+ 3,1

☛ Recuerda que 5,6)

= ; 0,23)

= .

– – + = – = –2,6)78

2 Demuestra que el producto 4,0)9 · 1,3

)9 es un decimal exacto.

☛ Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales exactos.

4,0)9 = = = 4,1 1,3

)9 = = = 1,4

4,0)9 · 1,3

)9 = 4,1 · 1,4 = 5,74

3 Calcula: a) b)

a) = = 1,)3 b) = = 0,

)6

4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor:

a) y b) 0,52)6 y 0,

)526

c) 4,)89 y 2 d) –2,098 y –2,1

a) b) 0,52)6 c) 4,

)89 d) –2,098

5 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales:

0 1 DB

H

GECA

F 2 3

1

2

√2

√6

√214099

23

4√ 943

16√ 9

1,)3√ 3

√1,)7

12690

139 – 1390

36990

409 – 4090

442165

3110

2190

519

1299

23 – 290

56 – 59

PARA PRACTICAR


1UNIDAD

En el triángulo OAB, = 1, = 1 y = = . Por tanto, el

punto D representa a . ¿Qué números representan los puntos F y H ?

Justifica tu respuesta.

F representa , pues = = = =

H representa , pues = = =

6 ¿Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico?

a = b = c = d = –

Potencias

7 Halla sin calculadora: ( – )–2 ( – )–1+ 4

( )–2· (– )–1

+ 4 = ( )2 · (– ) + 4 = – 4 + 4 = 0

8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:

a) b)

c) d)

☛ Mira el problema resuelto número 2 c).

a) = b) = =

c) = = d) = a2 c8

b6c7 a5 ca3 b4 b2

1768

128 · 3

32 · 52 · 2–3

23 · 33 · 22 · 52

8027

24 · 533

34 · 24 · 3–2

5–1 · 3552

36 · 25 · 52

36 · 26 · 5

a–3 b–4 c7

a–5 b2 c–1152 · 8–1

63 · 102

34 · 16 · 9–1

5–1 · 3536 · 25 · 52

93 · 43 · 5

94

43

49

34

79

13

34

32

17

57

47

27

m es un segmentocualquiera

m

m

mm

mm

mm

a b cd

10

√6√(√—5 )2 + 12OGOH√6

√3√(√—2 )2 + 12√—OD2 + —DC 2OCOF√3

√2

√2√12 + 12OAABOB


1

9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-nario y simplifica:

a) · b) c)

a) a2/5 · a1/2 = a9/10 =

b) = x1/6 =

c) a–3/4 =

10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:

a) b) c)

d) e) f)

a) = 2 b) = 7 c) = 5

d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f ) = 0,1

11 Expresa como una potencia de base 2:

a) b) (–32)1/5 c) ( )4

a) 2–1/2 b) (–25)1/5 = –2 c) 24/8 = 21/2

12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:

a) 4 · · (– )3b) (– )4

· ( )–1·

c) d)

a) 22 · · = =

b) · · = =

c) = = =

d) = – = –3400

352 · 24

32 · 52

–2 · 3 · 5 · 23 · 53

18125

2 · 32

5353 · 29 · 34

32 · 52 · 28 · 54(–5)3 · (–23)3 · (–32)2

32 · 52 · (22 · 5)4

9256

32

28123

32

2124

–92

–32

2(–3)3

2313

(–30)–1 · 152

103(–5)3 (–8)3 (–9)2

152 · 204

18

29

12

32

13

8√21

√2

3√0,133√21212√ 1

4

4√543√735√25

3√0,0013√84√0,25

4√6253√343

5√32

4√a–3

6√xx2/3

x1/2

10√a9

14√—a3

3√—x2

√—x

√a5√a2


1UNIDAD

13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

a)

b) 161/4 · ·

a) = a–7/4 =

b) (24)1/4 · (22)–1/3 · (22)–1/6 = 2 · 2–2/3 · 2–1/3 = 20 = 1

14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto enlas falsas:

a) = 1 b) (3–2)–3 ( )2= 1

c) = d) ( )–2– (–3)–2 =

a) Falsa. =

b) Verdadera. (3–2)–3 · ( )2 = 36 · ( )2 = 36 · = = 1

c) Verdadera. = = =

= + =

d) Verdadera. ( )–2– (–3)–2 = 32 – = 32 – = 9 – = =

15 Demuestra, utilizando potencias, que:

a) (0,125)1/3 = 2–1

b) (0,25)–1/2 = 2

a) (0,125)1/3 = ( )1/3= ( )1/3

= ( )1/3= = 2–1

b) (0,25)–1/2 = ( )–1/2= ( )–1/2

= ( )–1/2= (22)1/2 = 21

22

14

25100

12

123

18

1251 000

809

81 – 19

19

132

1(–3)2

13

815

15

13

(1/3 – 1/5) (1/3 + 1/5)(1/3 – 1/5)

(1/32) – (1/52)1/3 – 1/5

3–2 – 5–2

3–1 – 5–1

36

36136

133

127

a4

b4a2 · b–2

a–2 · b2

809

13

815

3–2 – 5–2

3–1 – 5–1

127

a2 · b–2

a–2 · b2

14√a7

a3/4 · a–1

a · a1/2

16√

—4

3 1√ 4

4√—a3 · a–1

a√—a


Radicales

16 Introduce los factores dentro de cada raíz:

a) 2 b) 4 c)

d) e) 2 f)

a) = b) 3

= = =

c) = d) 3

= 3

e) = = = f ) 3

= 3

= 3

17 Saca de la raíz el factor que puedas:

a) b) 4 c)

d) e) f)

g) h) i)

a) = 2 b) 4 = 4 · 2 = 8 c) = 10

d) = 2a e) = f ) =

g) h) = 2 i) =

18 Simplifica:

a) b) c)

a)6

= 6

= 6

= ( )3/6= ( )1/2

=

b) 8

= 8

= 8

= ( )4/8= ( )1/2

=

c) 4

= 4

= ( )2/4= ( )1/2

= = √52

√5

√4

54

54√ 52

42√ 2516

√15

15

15√( 2 )410√ 24

104√ 1610000

√ 310

310

310√( 3 )310√ 33

103√ 271000

4 9√1 + —16

8√0,00166√0,027

5√a12√25a

16 · 9√a2 + 1√4 (a2 + 1)√1

a4a

√1316√13

36√5b

5a4√53 · a2

24 · b

3√a23√23 · a5

√10√23 · 53√2√2√233√23√24

a a√— + —9 16

√4a2 + 416√ a3

1 1√— + —4 9

125a2√ 16b

3√8a5

√1 000√83√16

√ 325√ 3

52√3 · 553√8√234√264√24 · 22

√ 35√33 · 52

53 · 32√ 32x√22 · 3x

x2 · 23

3√163√243√42√ 43

4

3√243√3 · 23

3√1515

4√43 25√ 9

35

3x√ 82x

3 1√ 4

3√3


1UNIDAD

19 Simplifica los siguientes radicales:

a) b) c)

d) e) f) :

a) = 2 b) = 33/6 = 31/2 = c) – = –3

d) = = · = ·

e) 4

= = =

f ) : = : = 1

20 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor:

a) , , b) ,

c) , d) , ,

a) , , ; = <

b) , ; <

c) , ; <

d) , , ; < <

21 Realiza la operación y simplifica, si es posible:

a) 4 · 5 b) 2 · c) ·

d) ( )2e) ( )3

f) :

a) 20 = 20 = 20 = 180

b) 2 = 2 = 6

c) = =

d) ( )2 = = 2 = 2

e) ( )3 = = = 22 = 4

f ) : = 2 : = 23√3

3√33√3

3√23 · 3

√2√2√256√2156√25

3√183√2 · 323√24 · 323√22 · 3

12√ 1

4√ 28

√ 12√ 9

2√ 4 · 273 · 8

√2√2 · 34√33 · 2 · 3√27 · 6

3√33√24

6√323√12

1√ 8√2

27√ 8

4√ 3√6√27

4√726√100

3√912√10000

12√6 56112√373 248

5√104√6

20√1000020√7 776

√63√4

6√166√216

3√3√24√4

12√6412√81

12√64

6√1003√9

4√725√10

4√6

3√4√6√23√3

4√4

√5√54√528√54

3√24

3

2√2

3

√23√ 34

26

4√y√24√y

4√224√22 · y12√26 · y3

3√223√33 · 22√36√333√3

3√23 · 3

4√258√625

4 81√ 64

12√64y3

3√–1086√27

3√24


22 Efectúa y simplifica, si es posible:

a) · b) · ·

c) 3

d) :

☛ En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, res-pectivamente.

a) = b) · · =

c) ( 6 )3 = ( 6 )3 = 6

= =

d) : = : =

23 Expresa con una única raíz:

a) b) c) ( · ) :

a) =

b) = =

c) 20

= = a

24 Racionaliza los denominadores y simplifica:

a) b) c)

d) e)

a) = = =

b) =

c) =

d) = = =

e) = = = 88 √8

√8

3√—8 + 6√

—8 – √

—8

√—8

√—23 · 32 + 3√

—25 – √

—23

√—23

3 – √32

3 (3 – √3 ) 2 · 3

9 – 3√36

3 (3 – √3 ) 9 – 3

2 – √22

(√2 – 1) √—2

2

3√42

3√22

2

√63

2√63 · 2

2√3

3√2

2√3

√2 · 32

√—72 + 3√

—32 – √

—8

√—8

3

3 + √—3

√—2 – 1

√—2

23√2

2√3

√18

20√a20√a21√a15 · a16

a10

12√12812√2712√24 · 23

6√212√4

√a5√a44√a3

3√24√

—8

4√3√—4

6√36√226√22 · 3√3

√—22

3√√—22 · 3

14

122√ 1

212√ 124√ 25

29

√a√a1

3√a

3√a6√108

6√22 · 33

√3√—4

3√2√—3)6√

—32

√—8

(√a

3 1√ a

3√a√33√2


1UNIDAD

25 Calcula y simplifica:

a) 5 + 6 – 7 +

b) + 2 – –

c) + – –

d) ( + ) ( – 1)

a) 25 + 18 – 14 + 6 = 35

b) 2 + 2 – 3 – 21 = –20

c) 5 + 3 – 3 – 2 = 2 +

d) – + – = 2 – + 3 – = + 2

26 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

a) 3 – 2 + 5 – 4

b) – 4 +

c) 7 – 2 +

a) 3 – 2 + 5 – 4 = 6 – 10 + 15 – 4 = 7

b) – 4 + = – + =

c) 7 – 2 + = 21 – 2a + = ( – 2a)27 Efectúa y simplifica:

a) ( + )2 – ( – )2

b) ( + )2 c) ( – ) ( + )

d) (2 – 3 )2 e) ( – 1) ( + 1)

a) ( + + – ) · ( + – + ) = 2 · 2 = 4

b) 2 + 2 = 4 + 2

c) 5 – 6 = –1

d) 20 + 18 – 12 = 38 – 12

e) (2 – 1) = √3√3

√10√10

√10√3√10√12

√6√2√3√2√3√2√3√2√3√2√3

√3√2√2√2√5

√6√5√6√5√2√5√6

√2√3√2√3

3√3a1065

3√3a5

3√3a3√3a

3√3a5

3√3a43√34 · a

√ 25

–5345√ 2

529√ 2

5125√ 2

5√ 23

32 · 513√ 2 · 32

53√ 25

3√23√2

3√23√2

3√23√2

3√2 · 333√2 · 533√24

3√—3a5

3√3a43√81a

8√ 4513

18√125

2√ 5

3√23√54

3√2503√16

√2√3√3√2√2√3√3√18√2√12

√6√5√6√5√6√5

3√23√2

3√23√2

3√2

√5√5√5√5√5

√6√3√2

√24√45√54√125

3√250215

3√543√2

3√16

√8032

√20√45√125


28 Racionaliza y simplifica:

a) b) c)

d) e) f)

a) = = = =

= =

b) = = = = 1 +

c) = = = –

d) = = 3 ( + 2) = 3 + 6

e) = = = 2 – 3

f ) = = =

= = =

29 Efectúa y simplifica:

a) – b) –

a) = = + 5

b) = =

= = –2√352√

—7 (–2√

—5 )

2

(√—7 – √

—5 + √

—7 – √

—5 )(√

—7 – √

—5 – √

—7 – √

—5 )

7 – 5

(√—7 – √

—5 )2 – (√

—7 + √

—5 )2

(√—7 + √

—5 )(√

—7 – √

—5 )

√2√33√

—3 + 3√

—2 – 2√

—3 + 2√

—2

3 – 2

3(√—3 + √

—2 ) – 2(√

—3 – √

—2 )

(√—3 – √

—2 )(√

—3 + √

—2 )

√—7 + √

—5

√—7 – √

—5

√—7 – √

—5

√—7 + √

—5

2

√—3 + √

—2

3

√—3 – √

—2

√223√2

2327√

—2 – 4√

—2

23

9√—2 · 32 – 4√

—2

239√

—18 – 6√

—6 + 6√

—6 – 4√

—2

27 – 4

(3 √—6 + 2√

—2 ) (3 √

—3 – 2)

(3√—3 + 2) (3√

—3 – 2)

√511(2√5 – 3)

11

11(2√5 – 3)20 – 9

11(2√5 – 3)2(√

—5 + 3)(2√

—5 – 3)

√5√53 (√5 + 2)

5 – 4

3 (√5 + 2)(√5 – 2)(√

—5 + 2)

√3 + √—5

4

√3 + √—5

– 4

√3 + √—5

2 (3 – 5)

(√—3 + √

—5 )

2(√—3 + √

—5 )(√—

3 + √—5 )

√66

6 + √66

(2√3 + √—2 ) √

—3

2√3 · √—3

2√3 + √—2

2√3

2√3 + √—2

√22 · 3

√6 – 13

2 (√6 – 1)3 · 2

2√6 – 23 · 2

(2√—3 – √

—2 ) √

—2

3√2 · √—2

2√3 – √—2

3√2

2√3 – √—2

√2 · 32

3√—6 + 2√

—2

3√—3 + 2

11

2√—5 + 3

3

√—5 – 2

1

2(√—3 – √

—5 )

2√—3 + √

—2

√—12

2√—3 – √

—2

√—18


1UNIDAD

Notación científica y errores30 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas.

Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra delerror relativo cometidos.

a)

b)

c)

a) 1,41 · 102 |Error absoluto| < 0,005 · 102 = 0,5

|Error relativo| < < 0,00355

b) –1,58 · 105 |Error absoluto| < 0,005 · 105 = 5 · 102

|Error relativo| < < 3,16 · 10–3

c) –2,65 · 106 |Error absoluto| < 0,005 · 106 = 5 · 103

|Error relativo| < < 1,89 · 10–3

31 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa anotación científica los que no lo estén:

a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011

b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12

a) 8,57 · 1013 > 4,53 · 1013 > 3,27 · 1013

b) 5 · 10–9 > 2 · 10–9 > 1,19 · 10–9

32 Efectúa:

–7,268 · 10–12

33 Expresa en notación científica y calcula:

= 150(6 · 104)3 · (2 · 10–5)4

104 · 7,2 · 107 · (2 · 10–4)5

60 0003 · 0,000024

1002 · 72 000 000 · 0,00025

2 · 10–7 – 3 · 10–5

4 · 106 + 105

5 · 103

2,65 · 106

5 · 102

1,58 · 105

0,5141

5,431 · 103 – 6,51 · 104 + 385 · 102

8,2 · 10–3 – 2 · 10–4

(12,5 · 107 – 8 · 109) (3,5 · 10–5 + 185)9,2 · 106

(3,12 · 10–5 + 7,03 · 10–4) 8,3 · 108

4,32 · 103


34 Considera los números:

A = 3,2 · 107 ; B = 5,28 · 104 y C = 2,01 · 105

Calcula . Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una

cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.

= 7,93 · 10–3

|E.A.| < 0,005 · 10–3 = 5 · 10–6

|E.R.| < 6,31 · 10–4

35 Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011 y D = 6,2 · 10–6, calcula

( + C ) · D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota

del error absoluto y otra del error relativo cometidos.

( + C ) · D = 2,75 · 106

|E.A.| 0,005 · 106 = 5 · 103

|E.R.| < 1,82 · 10–3

Intervalos y valor absoluto

36 Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos:

a) x es menor que –5.

b) 3 es menor o igual que x.

c) x está comprendido entre –5 y 1.

d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos.

a) x < –5; (–@, –5)

b) 3 Ì x ; [3, +@)

c) –5 < x < 1; (–5, 1)

d) –2 Ì x Ì 0; [–2, 0]

–5 0

0 3

–5 0 1

–2 0

AB

AB

B + CA

B + CA


1UNIDAD

37 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:

a) –3 Ì x Ì 2 b) 5 < x c) x Ó –2

d) –2 Ì x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f) –3 Ì x

a) [–3, 2] b) (5, +@)

c) [–2, +@) d) [–2, )e) (4; 4,1) f ) [–3, +@)

38 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos in-tervalos:

a) [–2, 7] b) [13, +@) c) (–@, 0)

d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f) (0, +@)

a) –2 Ì x Ì 7 b) x Ó 13 c) x < 0

d) –3 < x Ì 0 e) Ì x < 6 f ) 0 < x < +@

39 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A � B) e (I � J):

a) A = [–3, 2] B = [0, 5] b) I = [2, +@) J = (0, 10)

a) [0, 2] b) [2, 10)

40 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades:

a) x < 3 o x Ó 5 b) x > 0 y x < 4

c) x Ì –1 o x > 1 d) x < 3 y x Ó –2

☛ Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-cribe: (–@, 3)� [5, +@)

a) (–@, 3) « [5, +@) b) (0, 4)

c) (–@, –1] « (1, +@) d) [–2, 3)

41 Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de es-tas expresiones:

a) |x| < 7 b) |x| Ó 5 c) |2x| < 8

d) |x – 1| Ì 6 e) |x + 2| > 9 f ) |x – 5| Ó 1

a) (–7, 7) b) [–@, –5] « [5, +@] c) (–4, 4)

d) [–5, 7] e) (–11, 7) f) (–@, 4] « [6, +@)

32

32


–3 20

0

4 4,1 5

–2

–3

5

–2 0

0

3/2

42 Averigua qué valores de x cumplen:

a) |x – 2| = 5 b)|x – 4| Ì 7 c) |x + 3| Ó 6

a) 7 y –3

b) –3 Ì x Ì 11; [–3, 11]

c) x Ì –9 y x Ó 3; (–@, –9] « [3, +@)

43 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que sepueda calcular la raíz en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

a) x – 4 Ó 0 ò x Ó 4; [4, +@)

b) 2x + 1 Ó 0 ò 2x Ó –1 ò x Ó – ; [– , +@)c) –x Ó 0 ò x Ì 0; (–@, 0]

d) 3 – 2x Ó 0 ò 3 Ó 2x ò x Ì ; (–@, ]e) –x – 1 Ó 0 ò –1 Ó x; (–@, –1]

f ) 1 + Ó 0 ò 2 + x Ó 0 ò x Ó –2; [–2, +@)

44 Halla la distancia entre los siguientes pares de números:

a) 7 y 3 b)5 y 11 c) –3 y –9 d)–3 y 4

a) |7 – 3| = 4

b) |11 – 5| = 6

c) |–9 – (–3)| = |–9 +3| = |– 6| = 6

d) |4 – (–3)| = 7

45 Expresa como un único intervalo:

a) (1, 6] � [2, 5) b) [–1, 3) � (0, 3]

c) (1, 6] � [2, 7) d) [–1, 3) � (0, 4)

a) (1, 6] « [2, 5) = (1, 6]

b) [–1, 3) « (0, 3] = [–1, 3]

c) (1, 6] » [2, 7) = [2, 6]

d) [–1, 3) » (0, 4) = (0, 3)

x2

32

32

12

12

x√1 + —2

√–x – 1√3 – 2x

√–x√2x + 1√x – 4


1UNIDAD

46 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos:

a) Centro –1 y radio 2

b) Centro 2,5 y radio 2,01

c) Centro 2 y radio 1/3

a) (–1 –2, –1 + 2) = (–3, 1)

b) (2,5 – 2,01; 2,5 + 2,01) = (0,49; 4,51)

c) (2 – , 2 + ) = ( , )47 Describe como entornos los siguientes intervalos:

a) (–1, 2) b) (1,3; 2,9) c) (–2,2; 0,2) d) (–4; –2,8)

a) C = = ; R = 2 – =

Entorno de centro y radio .

b) C = = 2,1 ; R = 2,9 – 2,1 = 0,8

Entorno de centro 2,1 y radio 0,8

c) C = = –1 ; R = 0,2 – (–1) = 1,2

Entorno de centro –1 y radio 1,2.

d) C = = –3,4 ; R = –2,8 – (–3,4) = 0,6

Entorno de centro –3,4 y radio 0,6.

48 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones:

a) |a| < b equivale a –b < a < b

b) |–a| = –|a|

c) |a + b| = |a| + |b|

d) |a · b| = |a| · |b|

a) Verdadera (siempre que b > 0).

b) Falsa; pues |–a| Ó 0 y –|a| Ì 0. (Solo sería cierta para a = 0).

c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo.

En general, |a + b| Ì |a| + |b|.

d) Verdadera.

–4 + (–2,8)2

–2,2 + 0,22

1,3 + 2,92

32

12

32

12

12

–1 + 22

73

53

13

13


Logaritmos

49 Calcula:

a) log2 1 024 b) log 0,001 c) log2 d) log 3

e) log3 f ) log2 g) log1/2 h) logπ 1

a) log2 210 = 10 b) log 10–3 = –3 c) log2 2–6 = –6

d) log√

—3

( )2 = 2 e) log3 31/2 = f) log2 23/2 =

g) log1/2 ( )–1/2= – h) 0

50 Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2

b) log2 + log3 – log2 1

a) 6 – 2 – 2 – =

b) –5 – 3 – 0 = –8

51 Calcula la base de estos logaritmos:

a) logx 125 = 3 b) logx = –2

a) x3 = 125; x = 5 b) x–2 = ; x = 3

52 Calcula el valor de x en estas igualdades:

a) log 3x = 2 b) log x2 = –2 c) 7x = 115 d) 5–x = 3

a) x = = 4,19 b) 2 log x = –2; x =

c) x = = 2,438 d) x = – = –0,683log 3

log 5

log 115

log 7

110

2log 3

19

19

32

12

127

132

√214

12

12

32

12

√3

2

√2√8√3

√3

164


1UNIDAD

53 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación.

a) log b) ln (2,3 · 1011) c) ln (7,2 · 10–5)

d) log3 42,9 e) log5 1,95 f ) log2 0,034

a) 1,085

b) ln (2,3 · 1011) ≈ 26,16 8 e26,161 ≈ 2,3 · 1011

c) ln (7,2 · 10–5) ≈ –9,54 8 e–9,54 ≈ 7,2 · 10–5

d) 3,42 8 33,42 ≈ 42,9

e) 0,41 8 50,41 ≈ 1,95

f) –4,88 8 2–4,88 ≈ 0,034

54 Calcula la base de cada caso:

a) logx 1/4 = 2 b) logx 2 = 1/2 c) logx 0,04 = –2 d) logx 4 = –1/2

☛ Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para des-pejar x.

En c) , x –2 = 0,04 ï = .

a) x2 = 8 x = b) x1/2 = 2 8 x = 4

c) x–2 = 0,04 8 x = 5 d) x–1/2 = 4 8 x =

55 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de loslogaritmos:

a) ln x = ln 17 + ln 13 b) log x = log 36 – log 9

c) ln x = 3 ln 5 d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6

e) ln x = 4 ln 2 – ln 25

☛ a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13)

a) ln x = ln (17 · 13) ò x = 17 · 13 = 221

b) log x = log ò x = = 4

c) ln x = ln 53 ò x = 53 = 125

d) log x = log ò x =

e) ln x = ln 24 – ln

ln x = ln 16 – ln 5

ln x = ln ò x = 165

165

√25

253

12 · 2562

369

369

12

116

12

14

4100

1

x2

√148


56 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;0,3; 0,03; 0,003.

log 30 = log (3 · 10) = log 3 + log 10 = 0,477 + 1 = 1,477

log 300 = log (3 · 102) = log 3 + 2 log 10 = 2,477

log 3000 = 0,477 + 3 = 3,477

log 0,3 = log (3 · 10–1) = 0,477 – 1 = –0,523

log 0,03 = log (3 · 10–2) = 0,477 – 2 = –1,523

log 0,003 = 0,477 – 3 = –2,523

57 Sabiendo que log k = 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) log b) log 0,1 k2 c) log d) (log k)1/2

a) log k – log 100 = 14,4 – 2 = 12,4

b) log 0,1 + 2 log k = –1 + 2 · 14,4 = 27,8

c) (log 1 – log k) = – · 14,4 = –4,8

d) (14,4)1/2 = = 3,79

58 Sabiendo que ln k = 0,45, calcula el valor de:

a) ln b) ln c) ln

a) ln = ln k – ln e = 0,45 – 1 = –0,55

b) ln = ln k = · 0,45 = 0,15

c) ln = 2 ln e – ln k = 2 – 0,45 = 1,55

59 Calcula x para que se cumpla:

a) x2,7 = 19 b) log7 3x = 0,5 c) 32 + x = 172

a) log x2,7 = log 19 ò 2,7 log x = log 19 ò log x = = 0,47

x = 100,47 = 2,98

b) 70,5 = 3x ò x = = 0,88

c) log 32 + x = log 172 ò (2 + x) log 3 = log 172 ò 2 + x =

x = – 2 = 2,685log 172

log 3

log 172

log 3

70,5

3

log 19

2,7

e2

k

13

13

3√k

ke

e2

k3√kk

e

√14,4

13

13

3 1√ kk

100


1UNIDAD

60 Si log k = x, escribe en función de x:

a) log k2 b) log c) log

a) 2 log k = 2x b) log k – log 100 = x – 2 c) log 10k = (1 + x)

61 Comprueba que = – (siendo a ? 1).

= = –

Ha de ser a ? 1 para que log a ? 0 y podamos simplificar.

Página 49

62 Explica si estas frases son verdaderas o falsas:

a) Todo número entero es racional.

b)Hay números irracionales que son enteros.

c) Todo número irracional es real.

d)Todos los números decimales son racionales.

e) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales.

f) Los números racionales llenan la recta.

a) V b) F c) V

d) F e) V f ) F

63 ¿Qué relación existe entre a y b en los siguientes casos?:

a) log a = 1 + log b

b) log a + log = 0

a) log a – log b = 1 8 log = 1 8 = 10 8 a = 10b

b) log a · = 0 8 = 100 8 = 1 8 a = bab

ab)1

b(

ab

ab

1b

CUESTIONES TEÓRICAS

16

–1/2 log a

3 log a

– log a + 1/2 log a

3 log a

16

1log — + log √—a

alog a3

12

12

√10kk

100


64 ¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? Explica por qué:

a) log m + log n = log (m + n)

b) log m – log n =

c) log m – log n = log

d) log x2 = log x + log x

e) log (a2 – b2) = log (a + b) + log (a – b)

a) Falso. log m + log n = log (m · n) ≠ log (m + n)

b) Falso. log m – log n = log ( ) ?

c) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos.

d) Verdadero. log x2 = log (x · x) = log x + log x

e) Verdadero. log (a2 – b2) = log [(a + b ) · (a – b )] = log (a + b ) + log (a – b )

65 Si n ≠ 0 es natural, determina para qué valores de n estos números perte-necen a Z:

a) b) c) n – 5 d)n + e)

a) n par.

b) n = 1 o n = 3.

c) n cualquier natural.

d) Ninguno.

e) n cuadrado perfecto.

66 Di cuál es la parte entera de los siguientes logaritmos sin utilizar la calcula-dora:

a) log 348 b) log2 58 c) log 0,03

a) 100 < 348 < 1 000 8 2 < log 348 < 3 8 log 348 = 2,…

b) 25 < 58 < 26 8 5 < log2 58 < 6 8 log2 58 = 5,…

c) 0,01 < 0,03 < 0,1 8 –2 < log 0,03 < –1 8 log 0,03 = –1,…

√n12

3n

n2

PARA PROFUNDIZAR

log mlog n

mn

mn

log mlog n


1UNIDAD

67 Sean m y n dos números racionales. ¿Qué puedes decir del signo de m yn en cada uno de estos casos?

a) m · n > 0 y m + n < 0

b)m · n < 0 y m – n > 0

c) m · n < 0 y m – n < 0

a) m < 0, n < 0 b) m > 0, n < 0 c) m < 0, n > 0

68 Si x éN y x > 1, ordena estos números:

; x ; ; – ;

– < < < < x

69 Ordena de menor a mayor los números a, a2, , , si a > 1 y si 0 < a < 1.

Si a > 1 8 < < a < a2

Si 0 < a < 1 8 a2 < a < <

AUTOEVALUACIÓN

1. Dados los números:

– ; ; ; ; ; ; 1,0)7

a) Clasifícalos indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen.

b)Ordena de menor a mayor los reales.

c) ¿Cuáles de ellos pertenecen al intervalo (–2, 11/9]?

a) N: Z: ;

Q: ; ; – ; 1,0)7 Á: ; ; – ; 1,0

)7; ;

b) < – < < 1,0)7 < <

c) – ; ; 1,0)7

π3

5845

5117

5√23π3

5845

3√–8

5√23π3

5845

3√–85117

5845

3√–85117

3√–85117

5117

5√233√–84√–3

π3

5117

5845

1a

√a

√a1a

√a1a

1x

1x + 1

–1x + 1

1x

1–x – 1

1x

1x

1x + 1



a) {x / –3 Ì x < 1}

b) [4, +@)

c) [–1, 4) � (4, 10]

d) (–@, 5) � (–1, +@)

3. Expresa en forma de intervalo en cada caso:

a) |x| Ó 8 b)|x – 4| < 5

a) (–@, –8] « [8, +@)

b) (–1, 9)

4. Multiplica y simplifica: ·

Reducimos a índice común:

· = = 3a

5. Reduce: – + – 2

= = 5 ; = = 3 ; = = 2

– + – 2 = 5 – 3 + 2 – 2 = 2

6. Escribe como potencia y simplifica.

· : (a )

= = a = a ; = = a–

; a = a · a–

= a

(a · a–

) : a = a– –

= a– 11

3012

23

45

12

23

45

12

124√a–2

233√a–23√1/a2

45

121515√a12

3√5√—a12

4√a–2)3 1√a2

3√5√—a12(

3√23√2

3√23√2

3√23√2

3√163√54

3√250

3√23√243√16

3√23√33 · 2

3√543√2

3√53 · 23√250

3√23√16

3√543√250

6√2ab46√2 · 36 · a7 · b46√18a3b26√(9a2b)2

6√18a3b23√9a2b

–1 4 9

–3 0 1a)

0 4b)

–1 0 5d)

–1 0 4 10c)


1UNIDAD

7. Efectúa, racionalizando previamente.

–

= = =

= =

– =

8. Aplica la definición de logaritmo y obtén x:

a) log3 x = – b) ln = –1 c) logx 125 = 3

a) x = 3–

8 x = 0,76

b) = e –1 8 x = 3 · e –1 = 1,10

c) x 3 = 125 8 x = 5

9. Aplica las propiedades de los logaritmos y halla A.

log A = 2 log 3 + 0,5 log 4 – 3 log 2

log A = log 8 A = =

10. Calcula x en cada caso.

a) 2,5x = 0,0087

b)e–x = 425

a) x log 2,5 = log 0,0087 8 x = = –5,18

b) –x ln e = ln 425 8 x = –ln 425 = –6,05

log 0,0087log 2,5

94

9 · 28

32 · 40,5

23

x3

14

x3

14

2√—3 + 3√

—2 – 6

6

6 + 2√—3

6

4√—3 + 3√

—2

6

6 + 2√—3

6

2(3 + √—3 )

32 – (√—3 )2

2

3 – √—3

4√—3 + 3√

—2

6

4√—3 + √

—18

6

(4 + √—6 )√

—3

2√—3√

—3

4 + √—6

2√—3

2

3 – √—3

4 + √—6

2√—3


Unidad 3. Álgebra 1

Página 69


Puñado de almendras

Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis, aun almacén de frutos secos.

Ante un saco de almendras, el dueño les dijo:

— Coged las que queráis.

Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cada vez,se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9 veces,cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 81 almendras). Además, cadapadre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo.

Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo.

• ¿Cómo se llama el hijo de Antonio?

• ¿Y el de Juan?

• ¿Cuántas almendras se llevaron entre todos?

• 2.° caso: 15 Ò 3

(x + y) (x – y) = 45

Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almendras) ysu hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras).

• 3.er caso: 45 Ò 1

(x + y) (x – y) = 45

Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo, 22puñados de 22 almendras (484 almendras).

Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2puñados.

Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo, 7puñados.

Sumando: 2x = 46 8 x = 23Restando: 2y = 44 8 y = 22

°¢£

x + y = 45x – y = 1

Sumando: 2x = 18 8 x = 9Restando: 2y = 12 8 y = 6

°¢£

x + y = 15x – y = 3

ÁLGEBRA3

Por tanto:

• Antonio se lleva 9 puñados y José 6.

• Juan coge 23 puñados y Julio 22.

• Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2.

• El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.

Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será:

81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1 183 almendras

Sin necesidad del álgebra

Un galgo persigue a una liebre.

La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre.

¿Cuántos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura?

Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo.

Cada 2 · 2 saltos de galgo y 3 · 2 de liebre se acerca 2 u el galgo.


… …


Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), serán:

2 · 90 = 180 saltos el galgo

3 · 90 = 270 saltos la liebre

De esta forma el galgo recorre 180 · 5 u = 900 u; y la liebre 270 · 3 u = 810 u.

Como tenía 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u

Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.

Página 71

1. Descompón factorialmente los siguientes polinomios:

a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3

b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x

c) x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9

Unidad 3. Álgebra2

a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3 (x3 – 9x2 + 24x – 20)

x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3(x – 2)2 (x – 5)

b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x(x5 – 3x4 – 3x3 – 5x2 + 2x + 8)

x2 + x + 2 = 0 8 x =

no tiene solución

x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x (x – 1) (x + 1) (x – 4) (x2 + x + 2)

c)x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9

x2 + 1 = 0 8 x2 = –1 8 no tiene solución

Así, x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9 = (x + 3)2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)

2. a) Intenta factorizar x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4.

b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x2 + x + 1.

a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales).

b) Hacemos la división:

x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4 x2 + x + 1

–x4 – x3 – x2 x2 + 3x + 4

3x3 + 7x2 + 7x + 4

–3x3 – 3x2 – 3x

4x2 + 4x + 4

–4x2 – 4x – 4

0

1 6 9 0 –1 –6 –9–1 –1 –5 –4 4 –3 9

1 5 4 –4 3 –9 0–3 –3 –6 6 –6 9

1 2 –2 2 –3 0–3 –3 3 –3 3

1 –1 1 –1 01 1 0 1

1 0 1 0

–1 ± √1 – 82

1 –3 –3 –5 2 81 1 –2 –5 –10 –8

1 –2 –5 –10 –8 0–1 –1 3 2 8

1 –3 –2 –8 04 4 4 8

1 1 2 0

1 –9 24 –202 2 –14 20

1 –7 10 02 2 –10

1 –5 0


3UNIDAD

Los polinomios x2 + x + 1 y x2 + 3x + 4 son irreducibles (las ecuacionesx2 + x + 1 = 0 y x2 + 3x + 4 = 0 no tienen solución). Por tanto:

x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4 = (x2 + x + 1) (x2 + 3x + 4)

3. Intenta factorizar 6x4 + 7x3 + 6x2 – 1. Vuelve a intentarlo sabiendo que – y son raíces suyas.

El polinomio dado no tiene raíces enteras.

Teniendo en cuenta el dato adicional (que – y son raíces), procedemos así:

Por tanto:

6x4 + 7x3 + 6x2 – 1 = (x + ) (x – ) 6(x2 + x + 1) = (2x + 1) (3x – 1) (x2 + x + 1)

Página 73

1. Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas si-guientes, y súmalas:

–

mín.c.m. = x (x + 1)

Reducimos a común denominador:

= =

=

– = – = – = –

Las sumamos:

+ – = + + =

= = –x2 + 8x + 5x2 + x

x2 + 8x + 7 + x –2 –2x2 –xx2 + x

–2x2 – xx (x + 1)

x – 2x (x + 1)

x2 + 8x + 7x (x + 1)

2x + 1x + 1

x – 2x2 + x

x + 7x

2x2 – xx (x + 1)

2x2 + xx (x + 1)

(2x + 1)xx (x + 1)

2x + 1x + 1

x – 2x (x + 1)

x – 2x2 + x

x2 + 8x + 7x (x + 1)

(x + 7) (x + 1)x (x + 1)

x + 7x

°§¢§£

x = xx2 + x = x (x + 1)x + 1 = x + 1

2x + 1x + 1

x – 2x2 + x

x + 7x

13

12

6 7 6 0 –1 6x2 + 6x + 6 = 0–1/2 –3 –2 –2 1 6(x2 + x + 1) = 0

6 4 4 –2 0–1 ±√1 – 4

____

1/3 2 2 2 x = __________ no tiene solución6 6 6 0

2

13

12

13

12

Unidad 3. Álgebra4

2. Efectúa: + –

+ – = + – =

= + – =

= =

= =

Página 74

3. Efectúa estas operaciones:

a) · b) :

a) · = =

= =

b) : = · = =

= =

4. Calcula:

a) : · b) ·

a) : ( · ) = : = · =

= = =

=

b) · = = = =

= = = x2 – 1(x2 + 1) (x2 – 1)x2 + 1

x4 – 1x2 + 1

x4(x4 – 1)x4(x2 + 1)

x8 – x4

x6 + x4(x4 – x2) (x4 + x2)

(x2 + 1)x4x4 + x2

x4x4 – x2

x2 + 1

6x2 + 15x + 6x3 – x2

3(2x2 + 4x + x + 2)x3 – x2

3(2x + 1) (x + 2)x2(x – 1)

3(2x + 1)(x – 1)x

x + 2x

(x – 1)x3(2x + 1)

x + 2x

x2x + 1

x – 13

x + 2x

x4 + x2

x4x4 – x2

x2 + 1)x2x + 1

x – 13(x + 2

x

x3 + 3x2 – 7x + 152x2 – x – 6

x3 – 2x2 + 3x + 5x2 – 10x + 152x2 + 3x – 4x – 6

(x2 – 2x + 3) (x + 5)(x – 2) (2x + 3)

x + 52x + 3

x2 – 2x + 3x – 2

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

2x3 – x2 + 9x2 + 3x – 10

2x3 + 3x2 – 4x2 – 6x + 6x + 9x2 + 5x – 2x – 10

(x2 – 2x + 3) (2x +3)(x – 2) (x + 5)

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

x2 – 3x + 1x2 – 1

1 + 2x2 – 2x – x2 – xx2 – 1

1 + 2x (x –1) – x (x + 1)(x – 1) (x + 1)

x (x + 1)(x – 1) (x + 1)

2x(x –1)(x – 1) (x + 1)

1(x – 1) (x + 1)

xx – 1

2xx + 1

1(x – 1) (x + 1)

xx – 1

2xx + 1

1x2 – 1

xx – 1

2xx + 1

1x2 – 1


3UNIDAD

1. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) x4 – x2 – 12 = 0 b) x4 – 8x2 – 9 = 0

a) x2 = = 2 y –2

b) x2 = = 3 y –3

2. Resuelve:

a) x4 + 10x2 + 9 = 0 b) x4 – x2 – 2 = 0

a) x2 = =

No tiene solución.

b) x4 – x2 – 2 = 0

x2 = = =

Hay dos soluciones: x1 = – ; x2 =

Página 76

3. Resuelve:

a) – + 1 = x b) – = 4 c) 2 + = x

d) 2 – = x e) – 1 =

a) 1 – x =

1 + x2 – 2x = 2x – 3; x2 – 4x + 4 = 0; x = 2 (no vale)

No tiene solución.

b) 2x – 3 = 16 + x + 7 + 8

x – 26 = 8

x2 + 676 – 52x = 64 (x + 7)

x2 + 676 – 52x = 64x + 448

x2 – 116x + 228 = 0; x =

x = 114

114

2 8 (no vale)

116 ± 1122

√x + 7

√x + 7

√2x – 3

√8 – 2x√3x + 3√x

√x√x + 7√2x – 3√2x – 3

√2√2

x2 = –1 8 No vale

x2 = 2 8 x = ± √2––1 ± 3

21 ± √9

21 ± √1 + 8

2

–1 8 (no vale)

–9 8 (no vale)–10 ± 8

2–10 ± √100 – 36

2

9 8 x = ±3–1 8 (no vale)

8 ± 102

8 ± √64 + 362

4 8 x = ±2–3 8 (no vale)

1 ± 72

1 ± √1 + 482

Unidad 3. Álgebra6

c) = x – 2; x = x2 + 4 – 4x; 0 = x2 – 5x + 4

x = =

x = 4

d) 2 – x = ; 4 + x2 – 4x = x ; x2 – 5x + 4 = 0

x =

x = 1

e) – 1 =

3x + 3 = 1 + 8 – 2x + 2

5x – 6 = 2

25x2 + 36 – 60x = 4(8 – 2x)

25x2 – 52x + 4 = 0

x =

Así, x = 2.

4. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/hen línea recta hasta P, y hemos caminado a 5 km/h de P a C. Hemos tardado, en total,99 minutos (99/60 horas).

¿Cuál es la distancia, x, de B a P ?

—AP2 = x2 + 9 = t

—PC = 6 – x = ( – t )

t =

t = – +

+ = 9960

6 – x5

√x2 + 94

9960

6 – x5

√x2 + 94

9960

6 – x5

√x2 + 94

3 km

6 km

x

A

PB

ARENA

MAR

C

x = 2

x = 0,08 8 no vale52 ± 48

50

√8 – 2x

√8 – 2x

√8 – 2x√3x + 3

4 8 (no vale)

1

√x

4

1 8 (no vale)5 ± 3

25 ± √25 – 16

2

√x


3UNIDAD

°§§§¢§§§£

°§§§¢§§§£

= – + 9960

6 – x5

√x2 + 94

°§¢§£

15 + 12 (6 – x) = 99

15 + 72 – 12x = 99

15 = 12x + 27

225 (x2 + 9) = 144x2 + 729 + 648x

225x2 + 2 025 = 144x2 + 729 + 648x

81x2 – 648x + 1 296 = 0

x2 – 8x + 16 = 0

x = = 4

Así, la distancia de B a P es de 4 km.

Página 77

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) + = b) + = 4 c) + =

a) 10 (x + 3) + 10x = 3x (x + 3)

10x + 30 + 10x = 3x2 + 9x

0 = 3x2 – 11x – 30

x = =

x1 = 5,489; x2 = –1,822

b) 12 (x – 2) + 2x (x + 1) = 12x (x – 2)

12x – 24 + 2x2 + 2x = 12x2 – 24x

0 = 10x2 – 38x + 24

0 = 5x2 – 19x + 12; x = =

x1 = 3; x2 =

c) 4x + 4 = 3x2; 0 = 3x2 – 4x – 4

x = =

x1 = 2; x2 = –23

2

–2/3

4 ± 86

45

3

4/5

19 ± 1110

5,489

–1,822

11 ± 21,936

34

1x2

1x

2(x + 1)3(x – 2)

4x

310

1x + 3

1x

82

√x2 + 9

√x2 + 9

√x2 + 9

Unidad 3. Álgebra8

6. Resuelve:

a) + = 3 b) + = c) – =

a) x (x + 1) + 2x (x – 1) = 3 (x2 – 1)

x2 + x + 2x2 – 2x = 3x2 – 3

x = 3

b) 10 (x + 3) + 2x (x + 2) = 3 (x2 + 5x + 6)

10x + 30 + 2x2 + 4x = 3x2 + 15x + 18

0 = x2 + x – 12

x = = =

x1 = 3; x2 = –4

c) 35 (x + 3) (x + 1) – 35 (x2 + 1) = 26 (x2 – 1)

35 (x2 + 4x + 3) – 35 (x2 + 1) = 26 (x2 – 1)

35x2 + 140x + 105 – 35x2 – 35 = 26x2 – 26

26x2 – 140x – 96 = 0

x = = =

x1 = 6; x2 =

Página 79


a) 23x = 0,53x + 2 b) 34 – x 2 =

c) = 186 d) 7x + 2 = 5 764 801

a) 23x = 2–3x – 2; 3x = –3x – 2; 6x = –2; x =

b) 34 – x2= 3–2; 4 – x2 = –2; x2 = 6; x = ±

x1 = ; x2 = – √6√6

√6

–13

4x – 1

2x + 2

19

–813

6

–8/13

70 ± 8626

70 ± √702 – 4 · 13 · (–48)26

3

–4

–1 ± 72

–1 ± √1 + 482

2635

x2 + 1x2 – 1

x + 3x – 1

32

xx + 3

5x + 2

2xx + 1

xx – 1


3UNIDAD

c) = 186; 22x – 2 – x – 2 = 186; 2x – 4 = 186

log 2x – 4 = log 186; (x – 4) log 2 = log 186

x = 4 + = 11,54

d) 7x + 2 = 78; x = 6

8. Resuelve:

a) 3x + 3x + 2 = 30 b) 5x + 1 + 5x + 5x – 1 =

c) 2 log x – log(x + 6) = 3log 2 d) 4 log2 (x2 + 1) = log2 625

a) 3x + 3x · 9 = 30

3x (10) = 30; 3x = 3; x = 1

b) 5 · 5x + 5x + =

5x · = ; x = 0

c) log = log 8

x2 = 8x + 48; x2 – 8x – 48 = 0; x = =

x = 12

d) log2 (x2 + 1)4 = log2 54; x2 + 1 = 5; x2 = 4; x = ±2

x1 = 2; x2 = –2

Página 81

1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:

a) b) c)

a)

x2 – 9 = 2x – 1; x2 – 2x – 8 = 0

°¢£

y = 2x – 1y = x2 – 9

x = 2y + 1

√—x + y – √

—x – y = 2

°¢£

1 1 1— + — = 1 – —x y xyxy = 6

°§¢§£

2x – y – 1 = 0

x2 – 7 = y + 2°¢£

12

–4 (no vale)

8 ± 162

x2

x + 6

315

315

315

5x

5

315

log 186log 2

22x – 2

2x + 2

Unidad 3. Álgebra10

x = = =

x1 = 4; y1 = 7

x2 = –2; y2 = –5

b)

y = 5 – x

x (5 – x) = 6; 5x – x2 = 6; x2 – 5x + 6 = 0

x1 = 2; y1 = 3

x2 = 3; y2 = 2

c) x = 2y + 1

– = 2; = 2 +

3y + 1 = 4 + y + 1 + 4 ; 2y – 4 = 4 ; y – 2 = 2

y2 + 4 – 4y = 4y + 4; y2 – 8y = 0

y = 8 8 x = 17

y = 0 (no vale)

x = 17; y = 8

2. Resuelve:

a) b) c)

a) y = 1 – x; x2 + x (1 – x) + (1 – x)2 = 21

x2 + x – x2 + 1 + x2 – 2x = 21; x2 – x – 20 = 0

x = = =

x1 = –4; y1 = 5

x2 = 5; y2 = –4

b) x = 27 + y

log = 1

10y = 27 + y; 9y = 27; y = 3

= 10; x = 10y; x = 30

x = 30; y = 3

xy

xy

5 8 y = –4

–4 8 y = 51 ± 9

21 ± √1 + 80

2

log (x2 + y) – log (x – 2y) = 1

5x + 1 = 25 y + 1

°¢£

x – y = 27

log x – 1 = log y °¢£

x2 + x y + y2 = 21

x + y = 1

°¢£

√y + 1√y + 1√y + 1

√y + 1√3y + 1√y + 1√3y + 1

x = 2

x = 3

°¢£

y + x = xy – 1xy = 6

4

–22 ± 6

22 ± √4 + 32

2


3UNIDAD

°§¢§£

c) log = 1

5x + 1 = 52y + 2

x = 2y + 1

4y2 + 1 + 4y + y = 20y + 10 – 20y

4y2 + 5y – 9 = 0

y = = =

x1 = 3; y1 = 1

x2 = ; y2 =

Página 82

1. Reconoce como escalonados y resuelve:

a) b)

c) d)

x = –1

y = 4

z = 4

°§¢§£

x = –1

y = 4

z = 2x + y + 2 = –2 + 4 + 2 = 4

°§¢§£

3x = –3

5y = 20

2x + y – z = –2

c)

x = 4

y = –3

z = 0

°§§¢§§£

–6y = — = – 3

2–4y

x = — = 43

z = 5x + y – 17 = 20 – 3 – 17 = 0

°§¢§£

3x + 4y = 0

2y = –6

5x + y – z = 17

b)

x = 7

y = 2

z = 11

°§§¢§§£

x = 7

y =2x – 8

= 23

z = 3x + y – 12 = 21 + 2 – 12 = 11

°§¢§£

x = 7

2x – 3y = 8

3x + y – z = 12

a)

y = 4x – z = 11

y – z = 7

°§¢§£

3x = –35y = 20

2x + y – z = –2

°§¢§£

3x + 4y = 02y = –6

5x + y – z = 17

°§¢§£

x = 72x – 3y = 83x + y – z = 12

°§¢§£

–94

–72

–9/4 8 x = –7/2

1 8 x = 3–5 ± 13

8–5 ± √25 + 144

8

°¢£

x2 + y = 10x – 20yx + 1 = 2y + 2

x2 + yx – 2y


°§¢§£

2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:

a)

b)

c)

d)

x = 3

y = 4

z = 9

°§§¢§§£

x = 9 = 33

y =8

= 42

z = 4x + y – 7 = 9

°§¢§£

4x + y – z = 7

2y = 8

3x = 9

d)

x = 15

y = 2

z = 1

°§§¢§§£

z = 1

y =5 + z

= 23

x = 8 + 5y – 3z = 8 + 10 – 3 = 15

°§¢§£

x – 5y + 3z = 8

3y – z = 5

4z = 4

c)

x = –1

y = –2

z = –2

°§§¢§§£

y = –10 = –25

x =–5 – y

= –13

z = x + 2y + 3 = –2

°§¢§£

x + 2y – z = –3

3x + y = –5

5y = –10

b)

x = 1

y = –5

z = 4

°§¢§£

y = –5

z = 4

x = 1

°§¢§£

y = –5

2z = 8

3x = 3

a)

4x + y – z = 72y = 8

3x = 9

°§¢§£

x – 5y + 3z = 83y – z = 5

4z = 4

°§¢§£

x + 2y – z = –33x + y = –5

5y = –10

°§¢§£

y = –52z = 8

3x = 3

°§¢§£

x = 8

y = 4

z = –3

°§¢§£

y = 4

z = y – 7 = 4 – 7 = –3

x = 11 + z = 11 – 3 = 8

°§¢§£

y = 4

x – z = 11

y – z = 7

d)


3UNIDAD

3. Resuelve por el método de Gauss:

a) b)

4. Resuelve:

a)

b)

x = 1

y = –1

z = 0

°§§¢§§£

x = 1

z =–1 + x

= 05

y = 1 – 2x + 2z = –1

°§¢§£

24x = 242x + y – 2z = 1–x + 5z = –1

2 · 1.a + 3.a

2.a

3.a : 2

°§¢§£

13x – 5z = 132x + y – 2z = 1

–2x + 10z = –2

1.a + 4 · 2.a

2.a

3.a – 3 · 2.a

°§¢§£

5x – 4y + 3z = 92x + y – 2z = 14x + 3y + 4z = 1

a)

2x – 5y + 4z = –14x – 5y + 4z = 35x – 3z = 13

°§¢§£

5x – 4y + 3z = 92x + y – 2z = 14x + 3y + 4z = 1

°§¢§£

x = 4

y = 2

z = –3

°§§¢§§£

x = 20 = 45

y =14 – 2x

= 23

z = –3 – x + 2y = –3 – 4 + 4 = –3

°§¢§£

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

5x = 20

1.a

2.a

3.a + 1.a

°§¢§£

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

3x – 3y = 6

1.a

2.a

3.a + 2.a

°§¢§£

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

2x – y – z = 9

b)

x = 1

y = –2

z = 3

°§¢§£

x = 1z = 4 – x = 3y = 2 – x – z = 2 – 1 – 3 = –2

°§¢§£

x + y + z = 2x + z = 4x = 1

°§¢§£

x + y + z = 22x + 2z = 82x = 2

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

°§¢§£

x + y + z = 2x – y + z = 6x – y – z = 0

a)

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

2x – y – z = 9

°§¢§£

x + y + z = 2x – y + z = 6x – y – z = 0

°§¢§£


5. Intenta resolver por el método de Gauss:

a) b)

c) d)

Las ecuaciones 2.a y 3.a dicen cosas contradictorias (si 2x – y es igual a 1, no pue-de ser igual a 2). Por tanto, el sistema es incompatible.

Solo quedan dos ecuaciones. Resolvemos el sistema obteniendo y, z en funciónde x:

(2.a) 8 y = 2x – 1

(1.a) 8 z = –2 – y – x = –2 – (2x – 1) – x = –2 – 2x + 1 – x = –3x – 1

Soluciones :

Para cada valor de x, se obtiene una solución del sistema. Por ejemplo:

Para x = 0 8 Para x = –2 8x = –2y = –5z = 5

°§¢§£

x = 0y = –1z = –1

°§¢§£

y = 2x – 1

z = –3x – 1

°¢£

x + y + z = –22x – y = 10 = 0

°§¢§£

1.a

2.a

3.a – 2.a

x + y + z = –22x – y = 12x – y = 1

°§¢§£

1.a

2.a + 1.a

3.a

x + y + z = –2x – 2y – z = 3

2x – y – z = 1

°§¢§£

b)

x + y + z = –22x – y = 12x – y = 0

°§¢§£

1.a

2.a + 1.a

3.a

x + y + z = –2x – 2y – z = 3

2x – y – z = 0

°§¢§£

a)

x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – 4z = 1

°§¢§£

x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – z = 2

°§¢§£

x + y + z = –2x – 2y – z = 3

2x – y – z = 1

°§¢§£

x + y + z = –2x – 2y – z = 3

2x – y – z = 0

°§¢§£

x = 2

y = 15

z = –1

°§§¢§§£

x = 25x – 13

z = ––––––––– = –13

2x + 4z + 1 1y = ––––––––––– = —

5 5

°§¢§£

2x – 5y + 4z = –12x = 45x – 3z = 13

1.a

2.a – 1.a

3.a

°§¢§£

2x – 5y + 4z = –14x – 5y + 4z = 35x – 3z = 13

b)


3UNIDAD

Resolvemos el sistema resultante dando los valores de x e y en función de z :

Soluciones :

Para cada valor que le demos a z, se obtiene una solución del sistema. Por ejem-plo:

Para z = 0 8 x = 3, y = –2

Para z = 4 8 x = –1, y = 6

Página 85

1. Resuelve estas inecuaciones:

a) 3x – 2 Ì 10 b) x – 2 > 1

c) 2x + 5 Ó 6 d) 3x + 1 Ì 15

a) 3x – 2 Ì 10 8 3x Ì 12 8 x Ì 4 b) x – 2 > 1 8 x > 3

Soluciones : {x / x Ì 4} = (–@, 4] Soluciones : {x / x > 3} = (3, +@)

c) 2x + 5 Ó 6 8 2x Ó 1 8 x Ó d) 3x + 1 Ì 15 8 3x Ì 14 8 x Ì

Soluciones : x / x Ó = , +@ Soluciones : x / x Ì = –@, ]143(°

¢£

143

°¢£)1

2[°¢£

12

°¢£

143

12

x = 3 – z

y = –2 + 2z

°¢£

x + z = 3 8 x = 3 – z

x + y – z = 1 8 y = 1 – x + z = 1 – (3 – z) + z = –2 + 2z

°¢£

La segunda ecuación no dice nada. Noes una ecuación. Por tanto, solo quedandos ecuaciones, la 1.a y la 3.a.

x + 4z = 30x + 0z = 0x + y – 4z = 1

°§¢§£

1.a

2.a – 3 · 1.a

3.a

x + 4z = 33x + 3z = 9x + y – 4z = 1

°§¢§£

1.a

2.a + 3.a

3.a

x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – 4z = 1

°§¢§£

d)

La segunda ecuación es absurda. Nopuede ser 0 = 1.Por tanto, el sistema no tiene solución.

x – y + 4z = 30x + 0z = 1x + y – z = 2

°§¢§£

1.a

2.a – 3 · 1.a

3.a

x – y + 4z = 33x + 3z = 10x + y – z = 2

°§¢§£

1.a

2.a + 3.a

3.a

x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – z = 2

°§¢§£

c)


2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:

a) b)

Obserevamos que las inecuaciones que forman ambos sistemas se han resuelto en elejercicio anterior.

a) Soluciones : {x / 3 < x Ì 4} = (3, 4]

b) Soluciones : x / Ì x Ì = ,

Página 86

3. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x2 – 3x – 4 < 0 b) x2 – 3x – 4 Ó 0

c) x2 + 7 < 0 d) x2 – 4 Ì 0

a) x2 – 3x – 4 < 0 8 intervalo (–1, 4)

b) x2 – 3x – 4 Ó 0 8 (–@ , –1] « [4, +@)

c) x2 + 7 < 0 8 No tiene solución

d) x2 – 4 Ì 0

La parábola y = x2 – 4 queda por debajo del eje X en el intervalo (–2, 2); y cor-ta al eje X en x = –2 y en x = 2.

Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [–2, 2].

y = x2 + 7

4

8

2 4

12

–2

Y

X

y = x2 – 3x – 4

2

4

2 4–2

–2

Y

X

]143

12[°

¢£

143

12

°¢£

1x Ó —

214

x Ì —3

°§§¢§§£

x Ì 4

x > 3

°¢£

2x + 5 Ó 63x + 1 Ì 15

°¢£

3x – 2 Ì 10x – 2 > 1

°¢£


3UNIDAD

4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

b)

a) 2x – 7 > 5 8 2x > 12 8 x > 6 8 (6, +@)

x2 – 3x – 4 Ó 0 8 (–@, –1] « [4, +@)

Solución: (6, +@)

• Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [–2, 2]. (Verapartado d) del ejercicio anterior).

• Las soluciones de la segunda inecuación son:

x – 4 > 1 8 x > 5 8 (5, +@)

• Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Portanto, el sistema no tiene solución.

Página 87

LENGUAJE MATEMÁTICO

1. De las siguientes igualdades, ¿cuáles son identidades?

a) (x – 3)(x – 2)x = x3 – 5x2 + 6x

b) (x – 3)(x – 2)x = x3

c) am · an = am + n

d) = x2 + 2x + 1 –

Comprueba, en ellas, que la igualdad es cierta para cualesquiera valores de lasvariables (haz la comprobación para varios números).

Son identidades a), c) y d).

3x – 2

x3 – 3x – 5x – 2

°¢£

x2 – 4 Ì 0

x – 4 > 1

b)

y = x2 – 3x – 4

2

4

2 4–2

–2

Y

X

x2 – 4 Ì 0

x – 4 > 1°¢£

x2 – 3x – 4 Ó 0

2x – 7 > 5°¢£


2. Resuelve, paso a paso, la ecuación

(x2 – 6x + 9)x2 = x4 – 6x3 + 36

y explica en cada paso por qué la ecuación que se obtiene es equivalente a la quehabía.

Cuando el paso consista en obtener una expresión idéntica a otra, señala cuáles la expresión transformada, cuál es la obtenida y qué operación permite pa-sar de la una a la otra.

(x2 – 6x + 9)x2 = x4 – 6x3 + 36

x4 – 6x3 + 9x2 = x4 – 6x3 + 36

En el primer miembro se ha efectuado la multiplicación:

(x2 – 6x + 9)x2 = x4 – 6x3 + 9x2.

Ha convenido ponerlo en forma polinómica para poder simplificar en el segundo miembro.

9x2 = 36

Esta ecuación es equivalente a la anterior porque se han simplificado algunos térmi-nos de ambos miembros.

x2 = 36 : 9 = 4

Ecuación equivalente, por haber dividido los dos miembros por 9.

x = ±2


3UNIDAD


Factorización

1 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces:

a) x3 – 2x2 – x + 2 b)x4 – 5x2 + 4

c) 2x3 – 3x2 – 9x + 10 d)x5 – 7x4 + 10x3 – x2 + 7x – 10

e) 6x4 – 5x3 – 23x2 + 20x – 4 f ) x5 – 16x

g) 4x2 – 25 h)4x2 + 4x + 1

a) (x + 1) (x – 1) (x – 2) 8 Raíces: –1, 1, 2

b) (x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2) 8 Raíces: 1, –1, 2, –2

c) (x – 1) (x + 2) (4x – 10) 8 Raíces: 1, –2,

d) (x – 1) (x – 2) (x – 5) (x2 + x + 1) 8 Raíces: 1, 2, 5

e) (x + 2) (x – 2) (2x – 1) (3x – 1) 8 Raíces: –2, 2, ,

f ) x (x – 2) (x + 2) (x2 + 4) 8 Raíces: 0, 2, –2

g) (2x + 5) (2x –5) 8 Raíces: , –

h) (2x + 1)2 8 Raíz: –

2 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el máx.c.d. [A(x), B (x)] y elmín.c.m. [A(x), B(x)]:

a) A(x) = x2 + x – 12; B(x) = x3 – 9x

b)A(x) = x3 + x2 – x – 1; B(x) = x3 – x

c) A(x) = x6 – x2; B(x) = x3 – x2 + x – 1

a) A (x) = (x – 3) (x + 4); B (x) = x (x – 3) (x + 3)

máx.c.d. = (x – 3)

mín.c.m. = x (x – 3) (x + 3) (x + 4)

b) A (x) = (x – 1) (x + 1)2; B (x) = x (x – 1) (x + 1)

máx.c.d. = (x – 1) (x + 1)

mín.c.m. = x (x – 1) (x + 1)2

12

52

52

13

12

104

PARA PRACTICAR


c) A (x) = x2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1); B (x) = (x – 1) (x2 + 1)

máx.c.d. = (x – 1) (x2 + 1)

mín.c.m. = x2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)

3 Resuelve las siguientes ecuaciones, factorizando previamente:

a) x3 – 7x – 6 = 0

b)2x3 – 3x2 – 9x + 10 = 0

c) x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0

d)3x3 – 10x2 + 9x – 2 = 0

e) x5 – 16x = 0

f ) x3 – 3x2 + 2x = 0

g) x3 – x2 + 4x – 4 = 0

a) x1 = –1; x2 = –2; x3 = 3

b) x1 = 1; x2 = –2; x3 =

c) x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2; x4 = 3

52


3UNIDAD

1 0 –7 –6

–1 –1 1 6

1 –1 –6 0

–2 –2 6

1 –3 0

3 3

1 0

2 –3 –9 10

1 2 –1 –10

2 –1 –10 0

–2 –4 10

2 –5 0

1 –5 5 5 –6

1 1 –4 1 6

1 –4 1 6 0

–1 –1 5 –6

1 –5 6 0

2 2 –6

1 –3 0

3 3

1 0

d) x1 = 1; x2 = 2; x3 =

e) x (x4 – 16) = 0; x (x2 – 4) (x2 + 4) = 0

x1 = 0; x2 = 2; x3 = –2

f) x (x2 – 3x + 2) = 0; x (x – 1) (x – 2) = 0

x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2

g) x = 1

Fracciones algebraicas

4 Simplifica las fracciones:

a) b)

a) =

b) =

5 Opera y simplifica el resultado:

a) : b) ·

c) – – d) – : 1 +

e) 1 – · : 1

x + 2)x + 3x + 2

x + 1x + 2(

)xx + 2()x

x + 2x + 1

x(xx2 – 3x + 2

xx – 1

xx – 2

(x – 2)2

x2 – 1x2 + 2x – 3

(x – 2)3(a + 1)2

a2 – 13a + 3

12a – 12

3x2 + 4x + 1x2 + 2x

(x – 2) (x + 1) (3x + 1)x (x – 2) (x + 2)

– (3 + x)x

(3 – x) (3 + x)x (x – 3)

3x3 – 2x2 – 7x – 2x3 – 4x

9 – x2

x2 – 3x

13


3 –10 9 –2

1 3 –7 2

3 –7 2 0

2 6 –2

3 –1 0

1 –1 4 –4

1 1 0 4

1 0 4 0

3 –2 –7 –2

2 6 8 2

3 4 1 0

–1 –3 –1

3 1 0

a) =

b) =

c) = = 0

d) : = · =

= =

e) · (x + 2) =

6 Demuestra las siguientes identidades:

a) + – 1) =

b) : = 1

c) – : – = 2x – 5

a) ( ) · ( ) = ( ) · ( ) = ( ) · =

b) : = = 1

c) ( ) : ( ) =

= : =

= : = = 2x – 5

Ecuaciones de primer y segundo grado

7 Entre estas ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solución,dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única. Identi-fica cada caso y resuelve las que sean posible:

(2x – 5) (x – 3) (x – 2)(x – 3) (x – 2)

1(x – 3) (x – 2)

(2x – 5)(x – 3) (x – 2)

x – 2 – x + 3(x – 3) (x – 2)

(x – 2 + x – 3) (x – 2 – x + 3)(x – 3) (x – 2)

(x – 2) – (x – 3)(x – 3) (x – 2)

(x – 2)2 – (x – 3)2

(x – 3) (x – 2)

(a + 1) (a – 2)(a – 2) (a + 1)

(a + 1)2

(a – 2) (a + 1)(a + 1) (a – 1)(a – 2) (a – 1)

1x

1 – xx

11 – x

1 – xx

1 + x(1 – x) (1 + x)

1 – xx

1 – x + 2x1 – x2

)1x – 2

1x – 3()x – 3

x – 2x – 2x – 3(

a2 + 2a + 1a2 – a – 2

a2 – 1a2 – 3a + 2

1x

1x()2x

1 – x21

1 + x(

1x + 2

x2 + 4 + 4x – x2 – 4x – 3(x + 2)2

3x + 22x (x + 1)

3x + 2x (2x + 2)

x + 22x + 2

3x + 2x (x + 2)

x + 2 + xx + 2

(x + 1) (x + 2) – x2

x (x + 2)

x2 – x – x2 + 2x – x(x – 2) (x – 1)

x (x – 1) – x (x – 2) – x(x – 2) (x – 1)

x + 3(x – 2) (x + 1)

(x + 3) (x – 1) (x – 2)2

(x – 2)3 (x + 1) (x – 1)

14

3 (a + 1) (a + 1) (a – 1)12 (a – 1) (a + 1)2


3UNIDAD

a) = x –

b) x + – 1 = x

c) – = –

d) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2

e) (5x – 3)2 – 5x(4x – 5) = 5x(x – 1)

f) – = –

a) 2x + 2 = 4x – 2x – 3; 5 = 0

No tiene solución.

b) 3x + 3 – x – 3 = 2x; 0 = 0

Infinitas soluciones.

c) – = –

2x – 8 – 8x = –2x – 8 – 4x; 0 = 0

Infinitas soluciones.

d) 0,2x + 0,6 – 0,25 (x2 + 1 – 2x ) = 1,25x – (0,25x2 + 4 + 2x)

0,2x + 0,6 – 0,25x2 – 0,25 + 0,5x = 1,25x – 0,25x2 – 4 – 2x

1,45x = –4,35

x = –3

e) 25x2 + 9 – 30x – 20x2 + 25x = 5x2 – 5x ; 9 = 0

No tiene solución.

f) 4x + 2 – 7 (x2 – x – 2) = 7x – 14 – 7 (x2 + 4 – 4x)

4x + 2 – 7x2 + 7x + 14 = 7x – 14 – 7x2 – 28 + 28x

58 = 24x

x =

8 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) + (x – 2)2 =

b) 0,5(x – 1)2 – 0,25(x + 1)2 = 4 – x

c) (0,5x – 1) (0,5x + 1) = (x + 1)2 – 9

d) – 22

– = – x – 14

18

x + 18)x

2(32

x2 + 22

x2 – 13

2912

8 + 4x16

x2 + 1 – 2x16

8 + 8x16

x2 + 1 + 2x16

(x – 2)2

2x – 2

2(x + 1) (x – 2)

22x + 1

7

2 + x4

(x – 1)2

161 + x

2(x + 1)2

16

23

3 – x3

2x + 34

x + 12


e) + = + 1

f) 0,3)x2 – x – 1,3

)= 0

☛ Expresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás solucionesenteras.

a) 2x2 – 2 + 6 (x2 + 4 – 4x) = 3x2 + 6

2x2 – 2 + 6x2 + 24 – 24x = 3x2 + 6

5x2 – 24x + 16 = 0

x = =

x1 = 4; x2 =

b) 0,5 (x2 + 1 – 2x) – 0,25 (x2 + 1 + 2x) = 4 – x

0,5x2 + 0,5 – x – 0,25x2 – 0,25 – 0,5x = 4 – x

0,25x2 – 0,5x – 3,75 = 0

x2 – 2x – 15 = 0

x = =

x1 = –3; x2 = 5

c) 0,25x2 – 1 = x2 + 1 + 2x – 9

0 = 0,75x2 + 2x – 7

x = =

x1 = 2; x2 = –

d) ( + 4 – 2x) – = –

3x2 + 48 – 24x – x – 1 = 1 – 2x + 2; 3x2 – 23x + 44 = 0

x = =

x1 = 4; x2 =

e) 4x (x – 3) + 2x (x + 2) = 9x2 + 4 – 12x + 8

4x2 – 12x + 2x2 + 4x = 9x2 + 4 – 12x + 8

0 = 3x2 – 4x + 12 8 No tiene solución.

113

411/3

23 ± 16

2x – 28

18

x + 18

x2

432

143

2–70/15 = –14/3

–2 ± 51,5

5–3

2 ± 82

45

4

4/5

24 ± 1610

(3x – 2)2

8x(x + 2)

4x(x – 3)

2


3UNIDAD

f) – – = 0 8 x2 – 3x – 4 = 0

x = = =

x1 = 4, x2 = –1

Página 93

9 Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fór-mula general y comprueba las soluciones:

☛ Recuerda: ax2 + c = 0 se resuelve despejando x. ax 2 + bx = 0 se resuelve sa-cando factor común e igualando a cero cada factor.

a) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20

b) – =

c) – = –

d) (x – a)2 + x(x + b) = 8b2 – x(2a – b) + a2

a) x2 + 1 + 2x – x2 – 4 + 4x = x2 + 9 + 6x + x2 – 20

0 = 2x2 – 8; x2 = 4

x1 = –2; x2 = 2

b) 6x2 – 12x + 30 – 3x2 – 9x = 2x2 – 8x + 30

x2 – 13x = 0

x1 = 0; x2 = 13

c) 6x + 2 – 15x2 – 9 = 3x2 – 3 – 2x – 4

0 = 18x2 – 8x ; 2x (9x – 4) = 0

x1 = 0; x2 =

d) x2 + a2 – 2ax + x2 + bx = 8b2 – 2ax + bx + a2

2x2 = 8b2; x2 = 4b2; x = ±2b

x1 = 2b; x2 = –2b

49

x + 23

x2 – 12

5x2 + 32

3x + 13

x2 – 4x + 156

x2 + 3x4

x2 – 2x + 52

4–1

3 ± 52

3 ± √9 + 162

43

3x3

x2

3


Ecuaciones bicuadradas

10 Resuelve estas ecuaciones bicuadradas y comprueba las soluciones:

a) x4 – 5x2 + 4 = 0 b) x4 + 3x2 – 4 = 0

c) x4 + 3x2 + 2 = 0 d)x4 – 9x2 + 8 = 0

a) x2 = = =

x1 = 2; x2 = –2; x3 = 1; x4 = –1

b) x2 = = =

x1 = 1; x2 = –1

c) x2 = = = 8 No tiene solución

d) x2 = = =

x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2 ; x4 = –2

11 Resuelve:

a) (x2 – 2)2 = 1

b) + x4 – 2 – x2 =

a) (x2 – 2)2 = 1 8 x4 – 4x2 + 4 = 1

x4 – 4x2 + 3 = 0

x2 = = =

x1 = ; x2 = – ; x3 = 1; x4 = –1

b) 3x4 – 1 + 2x4 – 4 – x2 = x4 – 5

4x4 – x2 = 0

x2 (4x2 – 1) = 0

x1 = 0; x2 = ; x3 = – 12

12

x2 = 0

4x2 – 1 = 0

√3√3

31

4 ± 22

4 ± √16 – 122

x2 – 54)1

2(12

3x4 – 14

√2√2

81

9 ± 72

9 ± √81 – 322

–1–2

–3 ± 12

–3 ± √9 – 82

1–4 (no vale)

–3 ± 52

–3 ± √9 + 162

41

5 ± 32

5 ± √25 – 162


3UNIDAD

Ecuaciones con radicales

12 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:

a) = 3 + 2x b) x + = 1

c) + x = 0 d) + = 0

a) 5x + 6 = 9 + 4x2 + 12x ; 0 = 4x2 + 7x + 3

x = = =

x1 = –1; x2 = –

b) 7 – 3x = 1 + x2 – 2x ; 0 = x2 + x – 6

x = = =

x = –3

c) 2 – 5x = 3x2; 0 = 3x2 + 5x – 2

x = = =

x = –2

d) 2x + 3 = x – 5; x = –8 (no vale)

No tiene solución.

13 Resuelve:

a) + = 4 b) = c) + = 3

a) 5x – 6 = 16 + 2x – 8

3x – 22 = –8

9x2 + 484 – 132x = 64 · 2x ; 9x2 – 260x + 484 = 0

x = =

x = 2

b) =

63x + 9 = 25x2 + 49 – 70x ; 0 = 25x2 – 133x + 40

x = =

x = 5

58/25 (no vale)

133 ± 11750

25x2 + 49 – 70x36

7x + 14

484/18 = 242/9 (no vale)2

260 ± 22418

√2x

√2x

√x + 1√x – 25x – 7

67x + 1√ 4

√5x – 6√2x

1/3 (no vale)–2

–5 ± 76

–5 ± √25 + 246

2 (no vale)–3

–1 ± 52

–1 ± √1 + 242

34

–1–3/4

–7 ± 18

–7 ± √49 – 488

√x – 5√2x + 3√3√2 – 5x

√7 – 3x√5x + 6


c) Aislamos un radical: = 3 –

Elevamos al cuadrado los dos miembros:

x – 2 = 9 – 6 + x + 1 8 6 = 12 8 = 2

Repetimos el proceso: x + 1 = 4 8

Comprobamos la solución, + = 3, vemos que es válida.

Ecuaciones con la x en el denominador

14 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones:

a) + 3x = b) + = 1

c) = –

☛ Ten en cuenta que 2 – x = –(x – 2).

d) – = + e) + = 1 +

f ) + = x

a) 2x + 4 + 6x2 = 5x2 + 6x

x2 – 4x + 4 = 0; x = 2

b) 8 (x – 6) + (12 – x) (x + 6) = x2 – 36

8x – 48 + 12x + 72 – x2 – 6x = x2 – 36

0 = 2x2 – 14x – 60

0 = x2 – 7x – 30

x = =

x1 = 10; x2 = –3

c) (x – 2)2 = x2 + (x – 1)2

x2 + 4 – 4x = x2 + x2 + 1 – 2x

0 = x2 + 2x – 3

x = =

x = –3

1 (no vale)–3

–2 ± 42

–2 ± √4 + 122

10–3

7 ± 132

√2√2x

x

√2

2x + 3x2

x + 1x

3x + 1x3

x + 66 – x

x6

12

xx – 6

x – 12 – x

x2

(x – 1) (x – 2)x – 2x – 1

12 – xx – 6

8x + 6

5x + 62

x + 2x

√3 + 1√3 – 2

x = 3

√x + 1√x + 1√x + 1

√x + 1√x – 2


3UNIDAD

d) 6x – 3 (x – 6) = x (x – 6) – 6 (x + 6)

6x – 3x + 18 = x2 – 6x – 6x – 36

0 = x2 – 15x – 54

x = =

x1 = –3; x2 = 18

e) 3x + 1 + x2 (x + 1) = x3 + 2x2 + 3x

3x + 1 + x3 + x2 = x3 + 2x2 + 3x

0 = x2 – 1

x1 = 1; x2 = –1

f) x2 + 2 = 2x2; 2 = x2

x1 = ; x2 = –

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

15 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 3x =

☛ Expresa como potencia de base 3.

b) 2x · 2x + 1 = 8

☛ Multiplica el primer miembro.

c) 5 · 7 –x = 35

☛ Divide los dos miembros por 5.

d) (0,5)x = 16

☛ 0,5 es una potencia de base 2.

e) =

f ) 21/x = 16

g) = 81

h) x

=

i ) 2x · 5x = 0,1

☛ Recuerda que 2x · 5x = (2 · 5)x.

8125)2

5(

33x – 2

3x + 3

149

√7x

3√9

3√9

√2√2

18–3

15 ± 212


a) 3x = 32/3 ò x =

b) 22x + 1 = 23 ò x = 1

c) 7–x = 7 ò x = –1

d) 2–x = 24 ò x = –4

e) 7x/2 = 7–2 ò x = –4

f) 21/x = 24 ò x =

g) 33x – 2 – x – 3 = 34 ò x =

h) ( )x = ( )3 ò x = 3

i) 10x = 10–1 ò x = –1

Página 94

16 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones:

a) = 27 b) ex – 9 =

c) 2x · 3x = 81 d) = 1

a) = 27 8 = ex 8 ln = ln ex

x = ln = ln 1 – ln 27 = 0 – ln 27 8 x ≈ –3,296

b) ex – 9 = 8 ln ex – 9 = ln

x – 9 = ln 73 8 x = 9 + 8 x ≈ 11,145

c) 6x = 81; x log 6 = log 81

x = ≈ 2,453

d) = 1; ( )x = 3; x log = log 3

x = ≈ –2,710log 3log 2 – log 3

23

23

2x

3x · 3

log 81log 6

ln 732

12

√73√73

127

127

127

1ex

2x

3x + 1

√731

e x

25

25

92

14

23


3UNIDAD

17 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable:

a) 2x + 21 – x = 3 b) 2x + 1 + 2x – 1 =

c) 81 + x + 23x – 1 = d) 22x – 5 · 2x + 4 = 0

e) 9x – 3x – 6 = 0 f ) 71 + 2x – 50 · 7x + 7 = 0

a) 2x + = 3

z = 2x 8 z + = 3; z2 + 2 = 3z

z2 – 3z + 2 = 0; z = = =

2x = 2 8 x1 = 1; 2x = 1 8 x2 = 0

b) 2 · 2x + = ; 4 · 2x + 2x = 5; 2x = 1

x = 0

c) 23 + 3x + 23x – 1 =

8 · (2x)3 + = 8 2x = z 8 128z3 + 8z3 = 17

(128 + 8) (z )3 = 17; (z )3 = = 8 z = = 8 2x =

x = –1

d) (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0

2x = = =

x1 = 0; x2 = 2

e) (3x)2 – 3x – 6 = 0; 3x = = =

x = 1

f) 7 · (7x)2 – 50 · 7x + 7 = 0; 7x = =

x1 = –1; x2 = 1

71/7

50 ± 4814

3–2 (no vale)

1 ± 52

1 ± √1 + 242

41

5 ± 32

5 ± √25 – 162

12

12

1√—8

18

17136

1716

(2x)3

2

1716

52

2x

2

21

3 ± 12

3 ± √9 – 82

2z

22x

1716

52


18 Resuelve las ecuaciones:

a) log (x2 + 1) – log (x2 – 1) = log

b) ln (x – 3) + ln (x + 1) = ln 3 + ln (x – 1)

c) 2ln (x – 3) = ln x – ln 4

d) log (x + 3) – log (x – 6) = 1

a) log = log

12x2 + 12 = 13x2 – 13; 25 = x2

x1 = –5; x2 = 5

b) ln (x2 – 2x – 3) = ln (3x – 3)

x2 – 2x – 3 = 3x – 3; x2 – 5x = 0

x = 5 (x = 0 no vale)

c) ln (x – 3)2 = ln

x2 + 9 – 6x =

4x2 + 36 – 24x = x ; 4x2 – 25x + 36 = 0

x = =

x = 4

d) log = 1

x + 3 = 10x – 60; 63 = 9x

x = 7


a) log (x + 9) = 2 + log x b) log + log = 1

c) 2(log x)2 + 7 log x – 9 = 0 d) log (x2 – 7x + 110) = 2

☛ Haz log x = y.

e) log (x2 + 3x + 36) = 1 + log (x + 3) f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3

a) log = 2

x + 9 = 100x ; 9 = 99x ; x = =

x = 111

111

999

x + 9x

√x√3x + 5

x + 3x – 6

49/4 (no vale)

25 ± 78

x4

x4

1312

x2 + 1x2 – 1

1312


3UNIDAD

b) = 1; 3x2 + 5x – 100 = 0

x = =

x = 5

c) log x = = =

d) x2 – 7x + 110 = 100; x2 – 7x + 10 = 0

x = = =

x1 = 2; x2 = 5

e) log = 1

x2 + 3x + 36 = 10x + 30; x2 – 7x + 6 = 0

x = = =

x1 = 1; x2 = 6

f) ln x + ln 2x + ln 4x = 3

ln (x · 2x · 4x) = 3

ln(8x3) = 3 8 8x3 = e3 8 x3 =

x = 3

= = 8 x =

Sistemas de ecuaciones

20 Resuelve:

a) b)

c) d)

☛ Suma las dos ecuaciones.

(x + y) (x – y) = 73x – 4y = 0

°¢£

x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0x2 – y2 – 5x + 5y + 2 = 0

°¢£

1 1 5— + — = —x y 62x + 3y = 2

°§¢§£

x · y = 15x 5— = —y 3

°§¢§£

e2

e2√ e3

8

e3

8

61

7 ± 52

7 ± √49 – 242

x2 + 3x + 36x + 3

52

7 ± 32

7 ± √49 – 402

1; x1 = 10–18/4 = –9/2; x2 = 10–9/2

–7 ± 114

–7 ± √49 + 724

5–40/6 (no vale)

–5 ± 356

log (x (3x + 5))2


a) x =

= 15; y2 = 9

x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3

b) 6y + 6x = 5xy 4 – 4x + 6x =

y = 6x + 12 = 10x – 10x2

10x2 – 4x + 12 = 0

5x2 – 2x + 6 = 0

No tiene solución.

c) 2x2 – 10x + 12 = 0; x2 – 5x + 6 = 0

x = = =

x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0

–x2 + y2 + 5x – 5y – 2 = 0

2y2 – 10y + 8 = 0

y2 – 5y + 4 = 0

y = = =

x1 = 3, y1 = 4; x2 = 3, y2 = 1; x3 = 2, y3 = 4; x4 = 2, y4 = 1

d) x =

· = 7

y2 = 9; y = ±3

x1 = 4, y1 = 3; x2 = –4, y2 = –3

21 Resuelve:

a)

b)

c)

d) √—x + y + 2 = x + 1

2x – y = 5

°¢£

√—3 (x + y) + x = 12

2x – y = 6

°¢£

2√—x + 1 = y + 1

2x – 3y = 1

°¢£

y2 – 2y + 1 = x

√—x + y = 5

°¢£

y3

7y3

4y3

41

5 ± 32

5 ± √25 – 162

32

5 ± 12

5 ± √25 – 242

2 – 2x3

5x (2 – 2x)3

y = 3 8 x = 5

y = –3 8 x = –55y2

3

5y3


3UNIDAD

°§¢§£

a) x = (5 – y )2

y2 – 2y + 1 = 25 + y2 – 10y

8y = 24; y = 3; x = 4

x = 4; y = 3

b) 4x + 4 = y2 + 1 + 2y ; x =

x = =

y2 + 2y – 3 = 2 + 6y

y2 – 4y – 5 = 0

y = = =

x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5

c) y = 2x – 6

= 12 – x

9x – 18 = 144 + x2 – 24x

0 = x2 – 33x + 162

x = =

x = 6; y = 6 (x = 27, y = 48 no vale)

d) y = 2x – 5

= x – 1

3x – 5 = x2 + 1 – 2x

0 = x2 – 5x + 6

x = = =

x1 = 2, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1

22 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

a) y – x = 1

2x + 2y = 12

y = 1 + x 8 2x + 21 + x = 12 8 2x + 2 · 2x = 12 8

8 3 · 2x = 12 8 2x = 4 8 x = 2 8 y = 1 + 2 = 3

x = 2; y = 3

5x · 5y = 1

5x : 5y = 25

°¢£

y – x = 1

2x + 2y = 12°¢£

3 8 y = 1

2 8 y = –15 ± 1

25 ± √25 – 24

2

√3x – 5

27 8 y = 48 (no vale)

6 8 y = 633 ± 21

2

√3 (3x – 6)

5 8 x = 8

–1 8 x = –14 ± 6

24 ± √16 + 20

2

2 + 6y4

1 + 3y2

y2 + 2y – 34


b) 5x · 5y = 1

5x : 5y = 25

2x = 2 8 x = 1

1 + y = 0 8 y = –1

23 Resuelve:

a) b)

c) d)

e) f )

a) 2 log x = 2

x = 10; y = 100

b) log2 x + 3 log2 y = 5 log2 x + 3 log2 y = 5

2 log2 x – log2 y = 3 6 log2 x – 3 log2 y = 9

7 log2 x = 14

x = 4; y = 2

c) 2 log x + log y = 2 4 log x + 2 log y = 4

log x – 2 log y = 6 log x – 2 log y = 6

5 log x = 10 8 log x = 2

x = 100

y =

d) log = 1; = 10; x = 10y

100y2 – y2 = 11; 99y2 = 11; y2 = 8 y = ±

x = ; y =

(y = – no vale)13

13

103

13

19

xy

xy

1100

ln x – ln y = 2

ln x + ln y = 4°¢£

x – y = 25

log y = log x – 1°¢£

x2 – y2 = 11

log x – log y = 1

°¢£

log (x2y) = 2

log x = 6 + log y2

°¢£

log2 x + 3log2 y = 5x2

log2 — = 3y

°§¢§£

log x + log y = 3

log x – log y = –1°¢£

°¢£

5x + y = 50 8 x + y = 0

5x – y = 52 8 x – y = 2


3UNIDAD

°§¢§£

e) x = 25 + y y = 0,1x

log = –1 0,9x = 25

x = ; y =

Restando a la 2.a ecuación la 1.a, queda:

2 ln y = 2 8 ln y = 1 8 y = e

Solución: x = e3; y = e

Método de Gauss

24 Resuelve por el método de Gauss:

a)

b) x + y + z = 3

2x – y + z = 2x – y + z = 1

°§¢§£

x – y – z = –10x + 2y + z = 11

2x – y + z = 8

°§¢§£

Sumando las dos ecuaciones, queda:2 ln x = 6 8 ln x = 3 8 x = e3

°¢£

ln x – ln y = 2ln x + ln y = 4

f)

259

2509

yx


°§¢§£

x = 1y = 1z = 1

°§¢§£

x = 15 – 3x

z = ——— = 12

y = 3 – x – z = 1

°§¢§£

x + y + z = 33x + 2z = 5–x = –1

1.a

2.a

3.a – 2.a

°§¢§£

x + y + z = 33x +2z = 52x +2z = 4

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

°§¢§£

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

b)

x = 0 y = 1 z = 9

°§¢§£

x = 0 y = 1 z = –1 + 10 = 9

°§¢§£

x – y – z = –102x + y = 17x = 0

1.a

2.a

3.a + 2 · 2.a

°§¢§£

x – y – z = –102x + y = 13x – 2y = –2

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

°§¢§£

x – y – z = –10x + 2y + z = 11

2x – y + z = 8

a)

25 Resuelve aplicando el método de Gauss:

a) b)

Página 95

26 Resuelve por el método de Gauss:

a)

b)

x = 6

y = –2

–5z = ––––

2

Ø§§§∞§§§±

–5z = ——

213 – 2z

x = ———— = 63

y = 9 – x + 2z = 9 – 6 – 5 = –2

Ø§∞§±

x + y – 2z = 93x + 2z = 13

2z = –5

1.a

2.a

3.a – 2.a

Ø§∞§±

x + y – 2z = 93x + 2z = 133x + 4z = 8

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

Ø§∞§±

x + y – 2z = 92x – y + 4z = 42x – y + 6z = –1

a)

2x – 3y + z = 03x + 6y – 2z = 04x + y – z = 0

°§¢§£

x + y – 2z = 92x – y + 4z = 42x – y + 6z = –1

°§¢§£

x = 1y = –2z = 3

°§¢§£

69z = ––– = 3

23

y = 7 – 3z = 7 – 9 = –2

x = 2 – y – z = 2 + 2 – 3 = 1

°§¢§£

x + y + z = 2y + 3z = 7

23z = 69

1.a

2.a

3.a + 6 · 2.a

°§¢§£

x + y + z = 2y + 3z = 7

– 6y + 5z = 27

1.a

2.a – 2 · 1.a

3.a – 1.a

°§¢§£

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

b)

x = 9y = 6z = 3

°§¢§£

x = 9z = x – 6 = 3y = 18 – x – z = 6

°§¢§£

x + y + z =18x – z = 6

2x =18

1.a

2.a

3.a + 2.a

°§¢§£

x + y + z = 18x – z = 6x + z = 12

1.a

2.a

3.a : 3

°§¢§£

x + y + z =18x – z = 63x + 3z =36

1.a

2.a

3.a + 2 · 1.a

°§¢§£

x + y + z =18x – z = 6x – 2y + z = 0

a)

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11

x – 5y + 6z = 29

°§¢§£

x + y + z = 18x – z = 6

x – 2y + z = 0

°§¢§£


3UNIDAD

27 Resuelve aplicando el método de Gauss:

a) b)

c) d)

e) f)

☛ Encontrarás sistemas compatibles (determinados e indeterminados) y siste-mas incompatibles.

Ø§∞§±

x + y + 3z = 2–x – 5z = –5–x – 5z = –5

1.a

2.a – 3 · 1.a

3.a + 1.a

Ø§∞§±

x + y + 3z = 22x + 3y + 4z = 1

–2x – y – 8z = –7

c)

Las ecuaciones 2.a y 3.a dicen cosas contradicto-rias.El sistema es incompatible, no tiene solución.

Ø§∞§±

x + 2y + z = 3x + 3z = 4x + 3z = 4/6

1.a

2.a : 2

3.a : 6

Ø§∞§±

x + 2y + z = 32x + 6z = 86x + 18z = 4

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

Ø§∞§±

x + 2y + z = 3x – 2y + 5z = 55x – 2y + 17z = 1

b)

x =

y =

z = 2

°§§¢§§£

1y = —

2

x = 1 + =

z = + = 2

°§§¢§§£

x – y = 1–2y = –1

x + y – z = 0

1.a

2.a + 3 · 1.a

3.a

Ø§∞§±

x – y = 1–3x + y = –4

x + y – z = 0

1.a

2.a – 5 · 3.a

3.a

Ø§∞§±

x – y = 12x + 6y – 5z = –4x + y – z = 0

a)

–2x + y + z = 13x + 2y – z = 0–x + 4y + z = 2

°§¢§£

x + y + z = 3–x + 2y + z = 5x + 4y + 3z = 1

°§¢§£

2x – y – z = 23x – 2y – 2z = 2

–5x + 3y + 5z = –1

°§¢§£

x + y + 3z = 22x + 3y + 4z = 1

–2x – y – 8z = –7

°§¢§£

x + 2y + z = 3x – 2y + 5z = 55x – 2y + 17z = 1

°§¢§£

x – y = 12x + 6y – 5z = –4

x + y – z = 0

°§¢§£

x = 0y = 0z = 0

Ø§∞§±

2x – 3y + z = 07x = 06x – 2y = 0

1.a

2.a + 2 · 1.a

3.a + 1.a

Ø§∞§±

2x – 3y + z = 03x + 6y – 2z = 04x + y – z = 0

b)


32

12

12

32

3212

Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamoslas soluciones en función de z:

Solución : x = 5 – 5z, y = 2z – 3, z = z

Solución: x = 2, y = , z =

Las ecuaciones 2.a y 3.a obtenidas dicen cosas contradictorias. Por tanto, el sis-tema es incompatible.

Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamoslas soluciones en función del parámetro y:

Solución : x = 1 – 3y, z = 3 – 7y

Inecuaciones

28 Resuelve estas inecuaciones:

a) 5(2 + x) > –5x b) > x – 1 c) x2 + 5x < 0

d) 9x2 – 4 > 0 e) x2 + 6x + 8 Ó 0 f ) x2 – 2x – 15 Ì 0

a) 10 + 5x > –5x; 10x > –10; x > –1

(–1, +@)

b) x – 1 > 2x – 2; 1 > x

(–@, 1)

x – 12

8 –2(1 – 3y) + z = 1 – y 8 z = 3 – 7y°¢£

–2x + z = 1 – y

x = 1 – 3y

Ø§∞§±

–2x + y + z = 1x + 3y = 1x + 3y = 1

1.a

2.a + 1.a

3.a – 1.a

Ø§∞§±

–2x + y + z = 13x + 2y – z = 0–x + 4y + z = 2

f)

Ø§∞§±

x + y + z = 33y + 2z = 83y + 2z = –2

1.a

2.a + 1.a

3.a – 1.a

Ø§∞§±

x + y + z = 3–x + 2y + z = 5x + 4y + 3z = 1

e)

32

12

°§§¢§§£

x = 25x – 9 1

y = ———– = —2 2

3z = 2x – y – 2 = —

2

°§§¢§§£

2x – y – z = 2–x = –25x – 2y = 9

1.a

2.a – 2 · 1.a

3.a + 5 · 1.a

Ø§∞§±

2x – y – z = 23x – 2y – 2z = 2

–5x + 3y + 5z = –1

d)

8 (5 – 5z) + y = 2 – 3z 8 y = 2z – 3

8 x = 5 – 5z

°¢£

x + y = 2 – 3z

–x = –5 + 5z


3UNIDAD

c) x (x + 5) < 0

(–5, 0)

d) (–@, – ) « ( , +@)e) = =

(–@, –4] « [–2, +@)

f) = =

[–3, 5]

29 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)

c) d)

☛ Resuelve cada inecuación y busca las soluciones comunes. Uno de los sistemasno tiene solución.

a) (–4, 1) b) (4, +@)

c)(17, +@)

d)No tiene solución.

30 Resuelve:

a) x2 – 7x + 6 Ì 0 b) x2 – 7x + 6 > 0

c) (x + 1) x2 (x – 3) > 0 d) x(x2 + 3) < 0

a) = =

[1, 6]

b) (–@, 1) « (6, +@)

c) (3, +@)

(–@, –1) « (3, +@)

(–@, –1)

d) (–@, 0)

°¢£

x < –1x < 3

°¢£

x + 1 < 0x – 3 < 0

°¢£

x > –1x > 3

°¢£

x + 1 > 0x – 3 > 0

6

17 ± 5

27 ± √49 – 24

2

°§§¢§§£

3x > —

21

x < – —5

°§¢§£

x > 1719

x > —5

°§¢§£

5x > –—

3x > 4

°¢£

x < 1x > –4

2x – 3 > 05x + 1 < 0

°¢£

5 – x < –1216 – 2x < 3x – 3

°¢£

3x – 2 > –75 – x < 1

°¢£

4x – 3 < 1x + 6 > 2

°¢£

5

–32 ± 8

22 ± √4 + 60

2

–2

–4–6 ± 2

2–6 ± √36 – 32

2

23

23


°§§¢§§£

31 Resuelve estas inecuaciones:

a) > 0 b) Ó 0 c) < 0 d) < 0

a) x – 3 > 0 8 (3, +@)

b) 3x + 5 Ó 0; x Ó – 8 [– , +@)c) x + 4 < 0; x < –4 8 (–@, –4)

d) 8 Ö

8 (–2, 3)

32 Un inversor, que tiene 28 000 €, coloca parte de su capital en un banco al8% y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente200 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?

x al 8% 0,08x

(28 000 – x) al 6% 0,06 (28 000 – x)

0,08x = 0,06 (28 000 – x) + 200; 0,08x = 1 680 – 0,06x + 200 8 x = 13 428,57 €

Colocó 13 428,57 € al 8% y 14 571,43 € al 6%.

33 Dos grifos llenan un depósito de 1 500 litros en una hora y doce minutos.Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo.¿Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado?

Entre los dos 8 1500 litros en 1,2 horas

+ = (en 1 hora)

=

2,4t + 1,2 = t2 + t

t2 – 1,4t – 1,2 = 0

t = =

El primero tardaría 3 horas, y el segundo, 2 horas.

2

–0,6 ¡Imposible!1,4 ± 2,6

2

t (t + 1)1,2t (t + 1)

1,2 (t + t + 1)1,2t (t + 1)

11,2

1t

1t + 1

°¢£

1.° 8 t + 12.° 8 t

1 añoÄÄ8

1 añoÄÄ8

PARA RESOLVER

°¢£

x < 3x > –2

°¢£

x – 3 < 0x + 2 > 0

°¢£

x > 3x < –2

°¢£

x – 3 > 0x + 2 < 0

53

53

x – 3x + 2

x2

x + 43x + 5x2 + 1

2x – 3


3UNIDAD

34 Un granjero espera obtener 36 € por la venta de huevos. En el camino almercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio,aumenta en 0,45 € el precio de la docena.

¿Cuántas docenas tenía al principio?

☛ Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de lasque quedan.

Tenía x docenas 8 €/docena

Le quedan x – 4 docenas 8 ( + 0,45) €/docena

( + 0,45) (x – 4) = 36

(36 + 0,45x) (x – 4) = 36x

36x – 144 + 0,45x2 – 1,8x = 36x

0,45x2 – 1,8x – 144 = 0

x = 20 (x = –16 no vale) ò Tenía 20 docenas.

35 Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Dese-cha 20 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40 € cada kilo so-bre el precio de compra, por 147 €.

¿Cuántos kilogramos compró?

☛ Iguala el coste de las que se desechan más las ganancias al aumento de costede las que quedan.

Compró x kg 8 €/kg

Vende (x – 20) kg 8 ( + 0,40) €/kg

( + 0,40) (x – 20) = 147

(125 + 0,40x) (x – 20) = 147x

125x – 2 500 + 0,40x2 – 8x = 147x

0,40x2 – 30x – 2 500 = 0

x = 125 (x = –50 no vale)

Compró 125 kg.

125x

125x

125x

36x

36x

36x


36 Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 € por el totalde las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invitan, de-biendo aumentar su aportación en 0,80 € cada uno. ¿Cuántos amigos son?

Número de amigos 8 x 8 €/consumición

(x – 2) ( + 0,80) = 6

(x – 2) (6 + 0,80x) = 6x

6x + 0,80x2 – 12 – 1,6x = 6x

0,80x2 – 1,6x – 12 = 0

x = 5 (x = –3 no vale)

Son 5 amigos.

37 El cuadrilátero central es un rombo de 40 m de perímetro. Calcula las di-mensiones del rectángulo sabiendo que la base es el triple de la altura.

4x = 40; x = 10 m

b2 + (3b – 10)2 = 102 8 b2 + 9b2 + 100 – 60b = 100 8 10b2 – 60b = 0 8

8 b (10b – 60) = 0 8 b = 0, b = 6

Base: 18 m; Altura: 6 m

38 El número de visitantes a cierta exposición durante el mes de febrero se in-crementó en un 12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo sufrióun descenso del 12% respecto a febrero. Si el número de visitantes de enerosuperó en 36 personas al de marzo, ¿cuántas personas vieron la exposiciónen enero?

Enero Febrero Marzo

x 1,12x 0,88 · 1,12x = 0,9856x

x = 0,9856x + 36 ò x = 2 500 personas

–12%ÄÄ8+12%ÄÄ8

3b – 10

3b

b

10

6x

6x


3UNIDAD

39 La superficie de un triángulo equilátero es de 50 m2. Calcula el lado.

h2 + ( )2 = l2

h2 = l2 – = ; h =

Área = = 50

l2 = 8 l = = 10,75 m

40 Para cubrir el suelo de una habitación, un solador dispone de dos tipos debaldosas:

Eligiendo el tipo A, se necesitarían 40 baldosas menos que si se eligiera eltipo B. ¿Cuál es la superficie de la habitación?

Superficie: 12x = 10 (x + 40)

12x = 10x + 400

2x = 400

x = 200 baldosas

200 · 12 = 2 400 dm2 = 24 m

41 En un número de dos cifras, las decenas son el triple de las unidades. Si seinvierte el orden de las cifras, se obtiene otro número 54 unidades menor.Calcula el número inicial.

· 8 30x + x = 31x

· 8 10x + 3x = 13x

El número es el 93.

3xU

xD

xU

3xD

°¢£

n.° baldosas A 8 xn.° baldosas B 8 x + 40

3 dm

4 dm 5 dm

2 dmA

B

√200

√√—3

200

√3

√3l2

4

√3 l2

3l 2

4l 2

4

l2


l l

l

h

31x = 13x + 54

18x = 54

x = 3°§¢§£

42 Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafete-ría de la esquina?

—No sé, nunca me he fijado.

—Pero hombre..., lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos herma-nas, tú y yo. ¿Cuánto has pagado?

—Algo más de 14 euros.

—El domingo pasado, además de nosotros seis, invitaste a dos amigos mí-os. ¿Cuánto pagaste?

—Era poco menos de 20 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta.

¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina?

6x > 14 8 x > 2,)3

8x < 20 8 x < 2,5

Entre 2,34 y 2,50 €.

43 Resuelve:

a) 3x4 – 75x2 = 0 b) = x + 2

c) – = 2 d) + =

e) x · (x + 1) · (x – 2) · x – = 0

f) (x2 – 9) ( + 3) = 0 g) ( – x + 2)x = 0

a) 3x2 (x2 – 25) = 0

x1 = 0; x2 = 5; x3 = –5

b) 4x + 5 = x2 + 4 + 4x ; 1 = x2

x1 = 1; x2 = –1

c) 2x – 3 = 4 + x – 5 + 4

x – 2 = 4

x2 + 4 – 4x = 16 (x – 5)

x2 + 4 – 4x = 16x – 80

x2 – 20x + 84 = 0

x = =

x1 = 6; x2 = 14

14

620 ± 8

2

√x – 5

√x – 5

x = 1

x = –1

√x√x

)12(

310

x5(x + 3)

1x + 2

√x – 5√2x – 3

√4x + 5


3UNIDAD

d) =

10x + 30 + 2x2 + 4x = 3x2 + 15x + 18

0 = x2 + x – 12

x = =

x1 = 3; x2 = –4

e) x1 = 0; x2 = –1; x3 = 2; x4 =

f) x1 = 3; x2 = –3

g) x = 0

= x – 2

x1 = 0; x2 = 4 (x = 1 no vale)

44 Resuelve:

a) | | = 4 b) |x2 – 1| = 3

a)

45 Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despe-jar la incógnita:

a) + = 0 b) – = 0 c) – = 0

d) – = 0 e) – – = 0

a) = 0 ò x = –3

= ò x =

b) = 0 ò x4 = = ò x1 = ; x2 =

c) x3 – 2 = 0 ò x = 3√2

–23

23

24

341681

81x4 – 168 · 81x3

–53

–53√ 125

2727x3 + 125

45x2

1x3 + x2

xx + 1

x + 1x2

5x3

22

5x

1x2

x2

281x3

x8

259x2

3x5

x1 = 2x2 = –2

°¢£

x2 – 1 = 3 ò x2 = 4 ò x = ±2x2 – 1 = –3 ò x2 = –2 (no vale)

b)

x1 = 11x2 = –5

°§§¢§§£

x – 3–––––– = 4 ò x – 3 = 8 ò x = 11

2x – 3

–––––– = –4 ò x – 3 = –8 ò x = –52

x – 32

√x

12

3

–4–1 ± 7

2

3 (x2 + 5x + 6)10 (x + 2) (x + 3)

10 (x + 3) + 2x (x + 2)10 (x + 2) (x + 3)


d) 4 – 25x4 = 0 ò x4 =

x = ±4

= ± = ±

x1 = ; x2 =

e) (x + 1) (x + 1) – x · x2 – 1 = 0

x2 + 2x + 1 – x3 – 1 = 0

–x3 + x2 + 2x = 0

–x (x2 – x – 2) = 0

x1 = 0, x2 = –1, x3 = 2

46 Resuelve:

a) b)

c)

a) x = 8 – y

– = 8 – = 8

8 8 + 2y – 2 = 8 – 2y 8 2y – 8 = –2y 8

8 4y = 8 8 16y2 = 64y 8 16y2 – 64y = 0 8

8 16y (y – 4) = 0

x1 = 8, y1 = 0; x2 = 4, y2 = 4

b) x = –5 – y

= – 1

= – 1

2y – 10 = 2y – 5 + 1 – 2

2 = 6

= 3

2y – 5 = 9

x = –12; y = 7

c) x1 = –3, y1 = 1; x2 = 2, y2 = 5

√2y – 5

√2y – 5

√2y – 5

√2y – 5√2y – 10

√3y – 5 – y√4y – 10 – 2y

y = 0 8 x = 8

y = 4 8 x = 4

√y

√y√16y

√8 – 2y√2y√8√2y√8 – 2y√8

(x + 3) (y – 5) = 0

(x – 2) (y – 1) = 0°¢£

√—4y + 2x = √

—3y + x – 1

y + x = –5

°¢£

√—x + y – √

—x – y = √

—2y

x + y = 8

°¢£

–√105

√105

√105√ 2

5√ 425

425


3UNIDAD


a) |x – 5| = 3x – 1

b) |x + 2| = |x – 6|

c) |x2 – 3x + 1| = 1

d) |x2 – x| = |1 – x2|

a) x – 5 = 3x – 1 ò –2x = 4; x = –2 (no vale)

5 – x = 3x – 1 ò 6 = 4x ; x =

b) x + 2 = x – 6 ò Imposible

x + 2 = 6 – x ò 2x = 4 ò x = 2

c) x2 – 3x + 1 = 1 ò x2 – 3x = 0 ò x (x – 3) = 0

x2 – 3x + 1 = –1 ò x2 – 3x + 2 = 0

x = = =

x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3

d) x2 – x = 1 – x2 ò 2x2 – x – 1 = 0

x2 – x = x2 – 1 ò x = 1

x = = =

x1 = ; x2 = 1

48 Resuelve por tanteo:

a) 2x = x3

b) ln x = –x

a) 2x = x3; x ≈ 1,37

b) x ≈ 0,57

49 Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen una so-lución en el intervalo indicado:

a) x3 – x – 2 = 0 en [1, 2]

b) 3x3 + x2 – 3 = 0 en [0, 1]

a) x ≈ 1,52

b) x ≈ 0,90

–12

1

–1/21 ± 3

41 ± √1 + 8

4

2

13 ± 1

23 ± √9 – 8

2

32


50 Queremos repartir, mediante un sistema de ecuaciones, 330 euros entre trespersonas de forma que la primera reciba 20 euros más que la segunda y la ter-cera la mitad de lo que han recibido entre las otras dos.

¿Cómo lo hacemos?

Llamamos x a los euros que recibe la primera; y a los que recibe la segunda, yz a los que recibe la tercera. Así, tenemos que:

Solución: x = 120 € recibe la 1.a; y = 100 € recibe la 2.a; z = 110 € recibe la 3.a.

51 La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenases una unidad mayor que la suma de las otras dos.

Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades.¿Cuál es ese número?

Llamamos x a la cifra de las centenas, y a la de las decenas, y z a la de las uni-dades. Así, el número es:

x y z 8 100x + 10y + z

Tenemos que:

Solución: El número es el 142.

x = 1y = 4z = 2

°§¢§£

x = 1z = 3 – x = 2y = 7 – x – z = 7 – 1 – 2 = 4

°§¢§£

x + y + z = 7x + z = 3

2x = 2

1.a

2.a

3.a + 2.a

°§¢§£

x + y + z = 7x + z = 3x – z = –1

1.a

2.a : 2

3.a

°§¢§£

x + y + z = 72x + 2z = 6x – z = –1

1.a

2.a + 1.a

3.a

°§¢§£

x + y + z = 7x – y + z = –1x – z = –1

°§¢§£

x + y + z = 7x – y + z = –1

99x – 99z = –99

°§¢§£

x + y + z = 7y = x + z + 1100z + 10y + x = 100x + 10y + z + 99

°§¢§£

x = 120y = x – 20 = 100z = 330 – x – y = 110

°§¢§£

x + y + z = 330x – y = 20

2x = 240

1.a

2.a

3.a + 2.a

°§¢§£

x + y + z = 330x – y = 20x + y = 220

1.a

2.a

3.a : 3

°§¢§£

x + y + z = 330x – y = 20

3x + 3y = 660

1.a

2.a

3.a + 2 · 1.a

°§¢§£

x + y + z = 330x – y = 20x + y –2z = 0

°§§¢§§£

x + y + z = 330

x = y + 20

x + yz = –––––––

2


3UNIDAD

52 ¿Qué valores ha de tomar el parámetro k para que x2 – 6x + k = 0 no ten-ga soluciones reales?

36 – 4k < 0; 36 < 4k ; 9 < k ; k > 9

53 Halla m para que al dividir el polinomio

2x4 + 9x3 + 2x2 – 6x + m

entre x + 4, el resto sea igual a 12.

m – 8 = 12 ò m = 20

54 Escribe un polinomio de grado 4 que solo tenga por raíces 0 y 1.

Por ejemplo: P (x) = x3 (x – 1); Q (x ) = x2 (x – 1)

55 Justifica por qué este sistema de ecuaciones no puede tener solución:

La primera y la tercera ecuación son contradictorias.

56 Invéntate ecuaciones que tengan por soluciones los valores:

a) 3, –3, y – b) 5; 0,3 y –2

c) 0, y 0,7 d) 0, 1, –1 y

a) (x – 3) (x + 3) (x – ) (x + ) = (x2 – 9) (x2 – 7) = x4 – 16x2 + 63

b) (x – 5) (x – 0,3) (x + 2) = x3 – 3,3x2 – 9,1x + 3

c) x x – (x – 0,7) = x (x – 0,5) (x – 0,7) = x3 – 1,2x2 + 0,35x

d) x (x – 1) (x + 1) x – = x4 – x3 – x2 + x13

13)1

3()1

2(

√7√7

13

12

√7√7

x + y – z = 32x – y + z = 5x + y – z = 2

°§¢§£



2 9 2 –6 m

–4 –8 –4 8 –8

2 1 –2 2 m – 8

57 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado en las que la incógnita es x:

a) abx2 – (a + b)x + 1 = 0

☛ Al aplicar la fórmula general, verás que el discriminante es un cuadrado per-fecto:

a2 + b2 – 2ab = (a – b)2

b) (x – a)2 – 2x (x + a) – 4a2 = 0

c) ax2 + bx + b – a = 0

d) (a + b)x2 + bx – a = 0

a) x = = =

= =

x1 = ; x2 =

b) x2 + a2 – 2ax – 2x2 – 2ax – 4a2 = 0

x2 + 4ax + 3a2 = 0

x = = = =

=

x1 = –a; x2 = –3a

c) x = = =

= =

x1 = –1; x2 = a – ba

–b + 2a – b 2a – 2b a – b—––––––––– = ––––––– = –––––

2a 2a a

–b – 2a + b—––––––––– = –1

2a

–b ± √(2a – b )2

2a

–b ± √b2 – 4ab + 4a2

2a–b ± √b2 – 4a (b – a)

2a

–4a + 2a –2a—––––––– = ––––– = –a

2 2

–4a – 2a –6a—––––––– = ––––– = –3a

2 2

–4a ± 2a2

–4a ± √4a2

2–4a ± √16a2 – 12a2

2

1b

1a

a + b + a – b 2a 1—––––––––––––– = ––––– = ––––

2ab 2ab ba + b – a + b 2b 1—––––––––––––– = ––––– = ––––

2ab 2ab a

a + b ± (a – b )2ab

a + b ± √a2 + b2 + 2ab – 4ab2ab

a + b ± √(a + b )2 – 4ab2ab

PARA PROFUNDIZAR


3UNIDAD

d) x = = = =

=

x1 = –1; x2 =

58 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x4 – 4x2 < 0 b) x3 – x2 – 6x < 0

c) > 0 d) < 0

a) x2 (x2 – 4) < 0 ò x2 – 4 < 0 b) x (x2 – x – 6) < 0

x ? 0 x (x – 3) (x + 2) < 0

(–2, 0) « (0, 2) (–@, –2) « (0, 3)

c) (–2, 2) d) x ? 1; (1, +@)

59 Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a7. En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacarde cada vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporciónalcohol-agua sea de 3 a 5?

alcohol alcohol alcohol

La proporción de alcohol es:

x + (12 – x) · = · 12

+ = ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3

Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.

92

24 – 2x5

3x10

38

25

310

38

25

310

3 alcohol7 agua

x cazos

V1

2 alcohol3 agua

(12 – x) cazos

V2

3 alcohol5 agua

12 cazos

°¢£

x ? 34 – x2 > 0

–2(x – 1)3

4 – x2

(x – 3)2

aa + b

–b + 2a + b a—––––––––– = –––––––

2(a + b) a + b–b – 2a – b –(2a + 2b)—––––––––– = —––––––––– = –1

2(a + b) 2(a + b)

–b ± (2a + b)2 (a + b)

–b ± √b2 + 4a2 + 4ab2 (a + b)

–b ± √b2 + 4a (a + b)2 (a + b)


AUTOEVALUACIÓN

1. Resuelve factorizando previamente.

3x5 + x4 – 9x3 – 9x2 – 2x = 0

3x5 + x4 – 9x3 – 9x2 – 2x = 0

x (3x4 + x3 – 9x2 – 9x – 2) = 0

3x2 + 4x + 1 = 0 8 x = = =

La ecuación factorizada queda así:

x (x + 1)2 · x + (x – 2) = 0

Las soluciones son: x1 = 0; x2 = –1; x3 = – ; x4 = 2

2. Opera y simplifica el resultado.

– :

– : = : =

= : =


a) x4 – 3x2 + 2 = 0 b) – x = x + 6

c) = – d)3x – 1 =

e) 22x – 6 · 2x + 8 = 0 f) ln x + ln 4 = 2 ln (x + 1)

g) |3x + 1| = |x – 3|

1

√3

43

xx + 2

3xx2 – 4

√8 + 2x

13(x + 1)

x (x – 1)(x + 1)(x – 1)3x

(x2 – x2 + x)(x – 1)3x (x2 – 1)

3xx – 1

x2 – x (x – 1)x2 – 1

3xx – 1)x

x + 1x2

x2 – 1(

3xx – 1)x

x + 1x2

x2 – 1(

13

)13(

–11

– —3

–4 ± 26

–4 ± √16 – 126

3 1 –9 –9 –2

–1 –3 2 7 2

3 –2 –7 –2 0

2 6 8 2

3 4 1 0


3UNIDAD

a) x4 – 3x2 + 2 = 0

Hacemos el cambio y = x2.

y2 – 3y + 2 = 0 8 y = = =

y = 2 8 x = ±

y = 1 8 x = ±

Las soluciones son: x1 = ; x2 = – ; x3 = 1; x4 = –1

b) – x = x + 6 8 = 2x + 6

Elevamos al cuadrado ambos miembros.

( )2 = (2x + 6)2 8 8 + 2x = 4x2 + 36 + 24x 8 4x2 + 22x + 28 = 0 8 2x2

+ 11x + 14 = 0

x = = =

Comprobada sobre la ecuación inicial, el resultado – resulta ser no válido.

Por tanto, la solución de la ecuación es x = –2.

c) = – 8 = 8

8 9x = 3x2 – 6x – 4x2 + 16 8 x2 + 15x – 16 = 0 8

8 x = = =

Soluciones: x1 = 1; x2 = –16

d) 3x – 1 = 8 3x – 1 = 3–1/2 8 x – 1 = – 8 x =

e) 22x – 6 · 2x + 8 = 0 8 (2x )2 – 6 · 2x + 8 = 0

Hacemos el cambio y = 2x, con lo que obtenemos:

y2 – 6y + 8 = 0 8 y = = =

y = 4 8 2x = 4 8 2x = 22 8 x = 2

y = 2 8 2x = 2 8 2x = 21 8 x = 1

Soluciones: x1 = 1; x2 = 2

4

2

6 ± 22

6 ± √36 – 322

12

12

1

√3

1

–16

–15 ± 172

–15 ± √225 + 644

3x (x – 2) – 4(x2 – 4)3(x2 – 4)

9x3(x2 – 4)

43

xx + 2

3xx2 – 4

72

–27

– —2

–11 ± 34

–11 ± √121 – 1124

√8 + 2x

√8 + 2x√8 + 2x

√2√2

1

–1√y

√—2

–√—2

√y

2

1

3 ± 12

3 ± √9 – 82


f) ln x + ln 4 = 2 ln (x + 1) 8 ln 4x = ln (x + 1)2 8 4x = (x + 1)2 8

8 x2 – 2x + 1 = 0 8 (x – 1)2 = 0 8 x = 1

Solución: x = 1

g) |3x + 1| = |x – 3|

Soluciones: x1 = –2; x2 =

4. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:

a) b)

a)

Hacemos el cambio 3x = z:

z2 – 6z + 9 = 0 8 z = = 3

3x = 3 8 x = 1

x = 1 8 y = 2

Solución: x = 1; y = 2

b)

14z = –14 8 z = –1

–y + z = –3 8 –y – 1 = –3 8 y = 2

x + 2y + 2z = 3 8 x + 4 – 2 = 3 8 x = 1

Solución: x = 1; y = 2; z = –1

5. Resuelve:

a) x(x – 1) – 2(x + 2) < x(x + 1) b) Ó 0

a) x (x – 1) – 2(x + 2) < x (x + 1) 8 x2 – x – 2x – 4 < x2 + x 8

8 –4x – 4 < 0 8 4x > –4 8 x > –1

Solución: x é (–1, +@)

x2 + 2x + 1x + 3

°§¢§£

x + 2y + 2z = 3

–y + z = –3

14z = –143.ª + 7 · 2.ªÄÄÄÄ8

°§¢§£

x + 2y + 2z = 3

–y + z = –3

7y + 7z = 7

2.ª – 1.ªÄÄÄÄ83.ª + 2 · 1.ªÄÄÄÄ8

°§¢§£

x + 2y + 2z = 3

x + y + 3z = 0

–2x + 3y + 3z = 1

6 ± √36 – 362

y = 2x

32x – 6 · 3x = –9

°¢£

y – 2x = 0

3y – 6 · 3x = –9

x + 2y + 2z = 3

x + y + 3z = 0

–2x + 3y + 3z = 1

°§¢§£

y – 2x = 0

3y – 6 · 3x = –9

°¢£

12

3x + 1 = x – 3 8 2x = –4 8 x = –2

3x + 1 = –(x – 3) 8 4x = 2 8 x = 1/2


3UNIDAD

b) Ó 0

Para que un cociente sea positivo, el numerador y el denominador han de serlo.

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2, (x + 1)2 Ó 0 para cualquier valor de x.

Para x = –3, la ecuación no tiene solución, ya que el denominador ha de ser cero.

Veamos dónde es x + 3 positivo.

x + 3 > 0 8 x > –3

Solución: x é (–3, +@)

6. La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas esuna unidad mayor que la suma de las otras dos.

Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades. ¿Cuáles ese número?

Supongamos que el número es xyz.

xyz = z + 10y + 100x

zyx = x + 10y + 100z

Con los datos que tenemos, el sistema que se plantea es:

8

2z = 4 8

–x + z = 1 8 –x + 2 = 1 8

El número buscado es el 142.

x = 1

z = 2°¢£

x + z = 3

–x + z = 1

y = 4

°§¢§£

x + y + z = 7

2y + z = 8

–x + y + z = 1

1.ª + 2.ªÄÄÄÄ8

°§¢§£

x + y + z = 7

–x + y – z = 1

–99x + y + 99z = 99

°§¢§£

x + y + z = 7

y = x + z + 1

x + 10y + 100z = 99 + z + 10y + 100x

x2 + 2x + 1x + 3


Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 63

Página 128

1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en lapágina siguiente, puedes resolverlas ahora:

a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?

b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?

c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de radianes?

d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270°?

a) 2π b) = 57° 17' 44,8"

c) · = 90° d) · 2π = 3

Página 129

2. Pasa a radianes los siguientes ángulos:

a) 30° b) 72° c) 90°

d) 127° e) 200° f ) 300°

Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal.

Por ejemplo: 30° = 30 · rad = rad ≈ 0,52 rad

a) · 30° = rad ≈ 0,52 rad

b) · 72° = rad ≈ 1,26 rad

c) · 90° = rad ≈ 1,57 rad

d) · 127° ≈ 2,22 rad

e) · 200° = rad ≈ 3,49 rad

f) · 300° = rad ≈ 5,24 rad5π3

2π360°

10π9

2π360°

2π360°

π2

2π360°

2π5

2π360°

π6

2π360°

π6

π180

π2

270°360°

π2

360°2π

360°2π

π2

FUNCIONES Y FÓRMULASTRIGONOMÉTRICAS5

3. Pasa a grados los siguientes ángulos:

a) 2 rad b) 0,83 rad c) rad

d) rad e) 3,5 rad f) π rad

a) · 2 = 114° 35' 29,6" b) · 0,83 = 47° 33' 19,8"

c) · = 36° d) · = 150°

e) · 3,5 = 200° 32' 6,8" f) · π = 180°

4. Completa la siguiente tabla y añade las razones trigonométricas (seno, cosenoy tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado:

La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto.Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera.

Página 133

1. Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:

cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b

cos (a – b) = cos (a + (–b)) = cos a cos (–b) – sen a sen (–b) =

= cos a cos b – sen a (–sen b) = cos a cos b + sen a sen b

2. Demuestra la fórmula II.3 a partir de la fórmula:

tg (a + b) =

tg (a – b) = tg (a + (–b)) = (*)= =

(*) Como 8 tg (–a) = – tg a°¢£

sen (–a) = –sen acos (–a) = cos a

tg a – tg b1 + tg a tg b

tg a + (– tg b)1 – tg a (– tg b)

tg a + tg (–b)1 – tg a tg (–b)

tg a + tg b1 – tg a tg b

360°2π

360°2π

5π6

360°2π

π5

360°2π

360°2π

360°2π

5π6

π5

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas64

GRADOS

RADIANES

0°

π4

π2

3π

30° 60° 90° 135° 150°

GRADOS

RADIANES

210°

π4

3π5

3π7

4

225° 270° 330° 360°

3. Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes fórmulas:

sen (a – b) = sen a cos b – cos a sen b

cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b

tg (a – b) = = (*)=

= =

(*) Dividimos numerador y denominador por cos a cos b.

4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°. Cal-cula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,utilizando las fórmulas (I) y (II).

• sen 12° = 0,2

cos 12° = = = 0,98

tg 12° = = 0,2

• sen 37° = 0,6

cos 37° = = = 0,8

tg 37° = = 0,75

• 49° = 12° + 37°, luego:

sen 49° = sen (12° + 37°) = sen 12° cos 37° + cos 12° sen 37° =

= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748

cos 49° = cos (12° + 37°) = cos 12° cos 37° – sen 12° sen 37° =

= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664

tg 49° = tg (12° + 37°) = = = 1,12

(Podría calcularse tg 49° = ).• 25° = 37° – 12°, luego:

sen 25° = sen (37° – 12°) = sen 37° cos 12° – cos 37° sen 12° =

= 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428

cos 25° = cos (37° – 12°) = cos 37° cos 12° + sen 37° sen 12° =

= 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904

tg 25° = tg (37° – 12°) = = = 0,4780,75 – 0,2

1 + 0,75 · 0,2tg 37° – tg 12°

1 + tg 37° tg 12°

sen 49°cos 49°

0,2 + 0,751 – 0,2 · 0,75

tg 12° + tg 37°1 – tg 12° tg 37°

0,60,8

√1 – 0,36√1 – sen2 37°

0,20,98

√1 – 0,04√1 – sen2 12°

tg a – tg b1 + tg a tg b

sen a cos b cos a sen b—————— – ——————cos a cos b cos a cos bcos a cos b sen a sen b

—————— + ——————cos a cos b cos a cos b

sen a cos b – cos a sen bcos a cos b + sen a sen b

sen (a – b)cos (a – b)


5UNIDAD

5. Demuestra la siguiente igualdad:

=

= =

= = =

6. Demuestra las tres fórmulas (III.1), (III.2) y (III.3) haciendo a = b en las fór-mulas (I).

sen 2a = sen (a + a) = sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a

cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2 a – sen2 a

tg 2a = tg (a + a) = =

7. Halla las razones trigonométricas de 60° a partir de las de 30°.

sen 60° = sen (2 · 30°) = 2 sen 30° cos 30° = 2 · · =

cos 60° = cos (2 · 30°) = cos2 30° – sen2 30° = ( )2 – ( )2 = – = =

tg 60° = tg (2 · 30°) = = = = =

8. Halla las razones trigonométricas de 90° a partir de las de 45°.

sen 90° = sen (2 · 45°) = 2 sen 45° cos 45° = 2 · · = 1

cos 90° = cos (2 · 45°) = cos2 45° – sen2 45° = ( )2 – ( )2 = 0

tg 90° = tg (2 · 45°) = = 8 No existe.

9. Demuestra que:

=

= = = 1 – cos a1 + cos a

2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)

2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a

2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a

1 – cos a1 + cos a


2 · 11 – 1

2 tg 45°1 – tg2 45°

√22

√22

√22

√22

√32 · √

—3/3

2/3

2 · √—3/3

1 – 3/9

2 · √—3/3

1 – (√—3/3)2

2 tg 30°1 – tg2 30°

12

24

14

34

12

√32

√32

√32

12

2 tg a1 – tg2 a

tg a + tg a1 – tg a tg a

1tg a

cos a

sen a

2 cos a cos b

2 sen a cos b

cos a cos b – sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b

sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b – cos a sen b

cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)

1tg a

cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)


10. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmu-las IV.1, IV.2 y IV.3.

• cos a = cos (2 · ) = cos2 – sen2

Por la igualdad fundamental:

cos2 + sen2 = 1 8 1 = cos2 + sen2

De aquí:

a) Sumando ambas igualdades:

1 + cos a = 2 cos2 8 cos2 = 8 cos = ±

b) Restando las igualdades (2-ª – 1-ª):

1 – cos a = 2 sen2 8 sen2 = 8 sen = ±

• Por último:

tg = = =

11. Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razonestrigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.

• cos 78° = 0,2

sen 78° = = = 0,98

tg 78° = = 4,9

• sen 39° = sen = = = 0,63

cos 39° = cos = = = 0,77

tg 39° = tg = = = 0,82√1 – 0,2

1 + 0,2√1 – cos 78°

1 + cos 78°78°2

√1 + 0,2

2√1 + cos 78°

278°2

√1 – 0,2

2√1 – cos 78°

278°2

0,980,2

√1 – 0,22√1 – cos2 78°

√1 – cos a1 + cos a

±√1 – cos a2

±√1 + cos a2

sen a/2cos a/2

a2

√1 – cos a2

a2

1 – cos a2

a2

a2

√1 + cos a2

a2

1 + cos a2

a2

a2

a2

a2

a2

a2

a2

a2

a2


5UNIDAD

12. Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5.

• cos 60° = 0,5

• sen 30° = sen = = 0,5

cos 30° = cos = = 0,866

tg 30° = tg = = 0,577

13. Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0.

• cos 90° = 0

• sen 45° = sen = = =

cos 45° = cos = =

tg 45° = tg = = = 1

14. Demuestra que 2tg a · sen2 + sen a = tg a.

2 tg a · sen2 + sen a = 2 tg a · + sen a =

= (1 – cos a) + sen a = sen a ( + 1) =

= sen a ( ) = sen a · =

= = tg a

15. Demuestra que = tg2 .

= =

= = = tg2 a2





a2

2sen a – sen 2a2sen a + sen 2a

sen acos a

1cos a

1 – cos a + cos acos a

1 – cos acos a

sen acos a

1 – cos a2

a2

a2

√1√1 – 0

1 + 090°2

√22√1 + 0

290°2

√22√1

2√1 – 0

290°2

√1 – 0,5

1 + 0,560°2

√1 + 0,5

260°2

√1 – 0,5

260°2


16. Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos:

• Expresa en función de a y b :

cos (a + b) = .......... cos (a – b) = ..........

• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones.

• Sustituye en las expresiones anteriores:

8 a = b =

• cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b

cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b

Sumando 8 cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a cos b (1)

Restando 8 cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a sen b (2)

• Llamando 8 a = , b = (al resolver el sistema)

• Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:

(1) 8 cos A + cos B = 2 cos cos

(2) 8 cos A – cos B = –2 sen sen

17. Transforma en producto y calcula:

a) sen 75° – sen 15° b) cos 75° + cos 15° c) cos 75° – cos 15°

a) sen 75° – sen 15° = 2 cos sen =

= 2 cos 45° sen 30° = 2 · · =

b) cos 75° + cos 15° = 2 cos cos =

= 2 cos 45° cos 30° = 2 · · =

c) cos 75° – cos 15° = –2 sen sen =

= –2 sen 45° cos 30° = –2 · · = –√62

√32

√22

75° – 15°2

75° + 15°2

√62

√32

√22

75° – 15°2

75° + 15°2

√22

12

√22

75° – 15°2

75° + 15°2

A – B2

A + B2

A – B2

A + B2

A – B2

A + B2

°¢£

a + b = A

a – b = B

A – B

2A + B

2

°¢£

a + b = Aa – b = B


5UNIDAD

18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta frac-ción y simplifica el resultado:

= = = tg 3a

Página 137

1. Resuelve estas ecuaciones:

a) 2cos2 x + cos x – 1 = 0 b) 2sen2 x – 1 = 0

c) tg2 x – tg x = 0 d) 2sen2 x + 3cos x = 3

a) cos x = = =

Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial).

b) 2 sen2 x – 1 = 0 8 sen2 x = 8 sen x = ± = ±

• Si sen x = 8 x1 = 45°, x2 = 135°

• Si sen x = – 8 x3 = –45° = 315°, x4 = 225°

Todas las soluciones son válidas.

c) tg2 x – tg x = 0 8 tg x (tg x – 1) = 0

Todas las soluciones son válidas.

d) 2 sen2 x + 3 cos x = 3 (*)8 2 (1 – cos2 x ) + 3 cos x = 3

(*) Como sen2 x + cos2 x = 1 8 sen2 x = 1 – cos2 x

2 – 2 cos2 x + 3 cos x = 3 8 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0

cos x = = =

Entonces: • Si cos x = 1 8 x1 = 0°

• Si cos x = 8 x2 = 60°, x3 = –60° = 300°

Las tres soluciones son válidas.

12

11/2

3 ± 14

3 ± √9 – 84

tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°tg x = 1 8 x3 = 45°, x4 = 225°

√22

√22

√22

1

√2

12

1/2 8 x1 = 60°, x2 = 300°

–1 8 x3 = 180°–1 ± 3

4–1 ± √1 + 8

4

2 sen 3a

2 cos 3a

4a + 2a 4a – 2a2 sen ——–—— cos —–———

2 2

4a + 2a 4a – 2a2 cos ——–—— cos —–———

2 2

sen 4a + sen 2a

cos 4a + cos 2a

sen 4a + sen 2a

cos 4a + cos 2a


2. Resuelve:

a) 4cos 2x + 3 cos x = 1 b) tg 2x + 2cos x = 0

c) cos (x/2) – cos x = 1 d) 2sen x cos2 x – 6sen3 x = 0

a) 4 cos 2x + 3 cos x = 1 8 4 (cos2 x – sen2 x ) + 3 cos x = 1 8

8 4 (cos2 x – (1 – cos2 x)) + 3 cos x = 1 8 4 (2 cos2 x – 1) + 3 cos x = 1 8

8 8 cos2 x – 4 + 3 cos x = 1 ò 8 cos2 x + 3 cos x – 5 = 0 8

8 cos x = = =

• Si cos x = 0,625 8 x1 = 51° 19' 4,13", x2 = –51° 19' 4,13"

• Si cos x = –1 8 x3 = 180°

Al comprobar las soluciones, las tres son válidas.

b) tg 2x + 2 cos x = 0 8 + 2 cos x = 0 8

8 + cos x = 0 8 + cos x = 0 8

8 + cos x = 0 8 sen x cos x + cos x (cos2 x – sen2 x) = 0 8

8 cos x (sen x + cos2 x – sen2 x) = 0 8 cos x (sen x + 1 – sen2 x – sen2 x) 8

8 cos x (1 + sen x – 2 sen2 x) = 0 8

8cos x = 0

1 + sen x – 2 sen2 x = 0 8 sen x = =

• Si cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°

• Si sen x = – 8 x3 = 210°, x4 = 330° = –30°

• Si sen x = 1 8 x5 = 90° = x1

Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas.

c) cos – cos x = 1 8 – cos x = 1 8

8 – cos x = 1 8 = 1 + cos x 8

8 1 + cos x = 1 + cos2 x + 2 cos x 8 cos2 x + cos x = 0 8 cos x (cos x + 1) = 0

• Si cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°

• Si cos x = –1 8 x3 = 180°

Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son:

x1 = 90° y x3 = 180°

√1 – cos x√1 + cos x

√1 + cos x

2√2

x

2√2

12

–1/21

–1 ± √1 + 8–4

sen x cos x

cos2 x – sen2 x

sen x/cos x

1 – (sen2 x/cos2 x)

tg x

1 – tg2 x

2 tg x

1 – tg2 x

10/16 = 5/8 = 0,625–1

–3 ± 1316

–3 ± √9 + 16016

√2


5UNIDAD

°¢£

d) 2 sen x cos2 x – 6 sen3 x = 0 8 2 sen x (cos2 x – 3 sen2 x) = 0 8

8 2 sen x (cos2 x + sen2 x – 4 sen2 x) = 0 8 2 sen x (1 – 4 sen2 x) = 0

• Si sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°

• Si sen2 x = 8 sen x = ± ò x3 = 30°, x4 = 150°, x5 = 210°, x6 = 330°

Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.

3. Transforma en producto sen 3x – sen x y resuelve después la ecuaciónsen 3x – sen x = 0.

sen 3x – sen x = 0 8 2 cos sen = 0 8 2 cos 2x sen x = 0 8

8

• Si cos 2x = 0 8

• Si sen x = 0 ò x5 = 0°, x6 = 180°

Comprobamos que las seis soluciones son válidas.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) sen (π – x) = cos – x + cos π

b) sen – x + sen x = 0

a) sen (π – x) = sen x

cos ( – x) = –sen x Entonces, la ecuación queda:

cos π = –1

sen x = –sen x – 1 8 2 sen x = –1 8 sen x =

Si sen x = 8 x1 = rad, x2 = rad

Al comprobar vemos:

x1 = 8 sen (π – x) = sen (π – ) = sen =

cos ( – x) = cos ( – ) = cos = cos = 12

π3

2π6

7π6

3π2

3π2

–12

–π6

7π6

7π6

11π6

7π6

–12

–12

3π2

√2)π4(

)3π2(

2x = 90° 8 x1 = 45°

2x = 270° 8 x2 = 135°

2x = 90° + 360° 8 x3 = 225°

2x = 270° + 360° 8 x4 = 315°

°§§¢§§£

cos 2x = 0

sen x = 0

°¢£

3x – x2

3x + x2

12

14


°§§¢§§£

Luego la solución es válida, pues:

sen (π – x) = = cos ( – x) + cos π = + (–1)

x2 = 8 sen (π – x) = sen (π – ) = sen ( ) = –

cos ( – x) = cos ( – ) = cos ( ) = cos ( ) =

Luego también es válida esta solución, pues:

sen (π – x) = = cos ( – x) + cos π = + (–1)

Por tanto, las dos soluciones son válidas: x1 = rad y x2 = rad

b) sen ( – x) = sen cos x – cos sen x = cos x – sen x

Luego la ecuación queda:

cos x – sen x + sen x = 0 8 cos x + sen x = 0 8

8 cos x + sen x = 0 8 cos x = –sen x 8 x1 = rad, x2 = rad

Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución.

5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican:

a) tg x = – b) sen x = cos x

c) sen2 x = 1 d) sen x = tg x

a) x = 120° + k · 360° o bien x = 300° + k · 360°

Las dos soluciones quedan recogidas en:

x = 120° + k · 180° = + k π rad con k é Z

b) x = + k π rad con k é Z

c) Si sen x = 1 8 x = + 2k π rad

Si sen x = –1 8 x = + 2k π rad

d) En ese caso debe ocurrir que:

O bien sen x = 0 8 x = k π rad

O bien cos x = 1 8 x = 2k π rad

3π2

π2

π4

2π3

√3

7π4

3π4

√22

√22

√2√22

√22

√22

√22

π4

π4

π4

11π6

7π6

12

3π2

–12

12

–π3

–2π6

11π6

3π2

3π2

12

–5π6

11π6

11π6

12

3π2

–12


5UNIDAD

°§§¢§§£

8 x = + k π rad con k é Zπ

2

°¢£

8 x = k π rad con k é Z


Grados y radianes

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:

a) b) c)

d) e) f)

* Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que: π radianes = 180°.

a) 30° b) 120° c) 240°

d) 225° e) 210° f) 810°

2 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:

a) 1,5 b)3,2

c) 5 d)2,75

a) · 1,5 = 85° 56' 37" b) · 3,2 = 183° 20' 47"

c) · 5 = 286° 28' 44" d) · 2,75 = 157° 33' 48"

3 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados. Exprésalos en fun-ción de π y en forma decimal.

a) 40° b)108° c) 135°

d)240° e) 270° f) 126°

* Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14...

a) = ≈ 0,7 rad

a) · 40° = ≈ 0,7 rad b) · 108° = ≈ 1,88 rad

c) · 135° = ≈ 2,36 rad d) · 240° = ≈ 4,19 rad

e) · 270° = ≈ 4,71 rad f) · 126° = ≈ 2,2 rad7π10

2π360°

3π2

2π360°

4π3

2π360°

3π4

2π360°

3π5

2π360°

2π9

2π360°

2π9

40π180

360°2π

360°2π

360°2π

360°2π

9π2

7π6

5π4

4π3

2π3

π6

PARA PRACTICAR


4 Halla el resultado de las siguientes operaciones sin utilizar la calculadora:

a) 5 cos – cos 0 + 2 cos π – cos + cos 2 π

b)5 tg π + 3 cos – 2 tg 0 + sen – 2 sen 2 π

c) sen – 4sen + 3sen π – sen

Comprueba el resultado obtenido utilizando la calculadora.

a) 5 · 0 – 1 + 2 · (–1) – 0 + 1 = –2

b) 5 · 0 + 3 · 0 – 2 · 0 + (–1) – 2 · 0 = –1

c) · 1 – 4(–1) + 3 · 0 – · 1 = 3

5 Prueba que:

a) 4 sen + cos + cos π = 2

b)2 sen + 4 sen – 2 sen = 3

a) 4 sen + cos + cos π = 4 · + · + (–1) = 2 + 1 – 1 = 2

b) 2 sen + 4 sen – 2 sen = 2 · + 4 · – 2 · 1 = 3 + 2 – 2 = 3

6 Halla el valor exacto de cada una de estas expresiones sin utilizar la calcu-ladora:

a) sen + sen + sen π

b) cos π – cos 0 + cos – cos

c) sen – cos + tg + tg

Comprueba los resultados con la calculadora.

a) + 1 + 0 =

b) –1 – 1 + 0 – 0 = –2

c) – – + + – = + + 1 – = 5√3

3)1

3

1

2

1

2(√3)√3

3(√3)√3

2(√3

2

√2 + 2

2

√2

2

11π6

4π3

7π6

2π3

3π2

π2

π2

π4

12

√32

√3π2

π6

2π3

√3

√22

√212

π4

√2π6

π2

π6

2π3

√3

π4

√2π6

5

3

2

3

π2

5

3

3π2

π2

2

3

3π2

π2

3π2

π2


5UNIDAD

7 Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora:

a) sen + cos – sen

b)cos + tg – tg

c) cos + sen – cos – 2 sen

Comprueba los resultados con la calculadora.

a) – + – – – = –

b) + – = +

c) · + – · – 2 · = + – 1 – 3 = –2

8 En cada caso halla, en radianes, dos valores para el ángulo a tales que:

a) sen a = 0,32 b)cos a = 0,58

c) tg a = –1,5 d)sen a = –0,63

a) a1 = 0,33; a2 = 2,82 b) a1 = 0,95; a2 = 5,33

c) a1 = –0,98; a2 = 2,16 d) a1 = –0,68; a2 = 3,82

9 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientesángulos:

a) 2 rad b)3,5 rad c) 5 rad

* Ten en cuenta que:

≈ 1,57; π ≈ 3,14; ≈ 4,7; 2π ≈ 6,28

a) 2.° cuadrante b) 3.er cuadrante c) 4.° cuadrante

Fórmulas trigonométricas

10 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75° sabiendo que 75° = 30° + 45°.

sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30° cos 45° + cos 30° sen 45° =

= · + · = √

—2 + √

—6

4√22

√32

√22

12

3π2

π2

1

2

3

2

√3

2√3

√2

2√2

1

2

√3

2√3

2√3

3

1

2

√3

3√3

1

2

√2

2)√2

2()√2

2(√2

2

π3

√3π4

√2π6

π6

√3

7π6

4π3

5π3

7π4

3π4

5π4


cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45° – sen 30° sen 45° =

= · – · =

tg 75° = tg (30° + 45°) = = = =

= = = =

= = 2 +

NOTA: También podemos resolverlo como sigue:

tg 75° = = = = =

= = 2 +

11 Sabiendo que sen x = y que < x < π, calcula, sin hallar previamente el

valor de x:

a) sen 2x b) tg c) sen x +

d) cos x – e) cos f ) tg x +

* Calcula cos x y tg x y después aplica las fórmulas.

cos x = – = – = – (Negativo, por ser del 2.° cuadrante).

tg x = = –

a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 · · (– ) = –

b) tg = = = = 3

Signo positivo, pues si x é2.° cuadrante, entonces é1.er cuadrante.

c) sen (x + ) = sen x cos + cos x sen =

= · + (– ) · = 3√

—3 – 4

10

12

45

√32

35

π6

π6

π6

x

2

√ 9/5

1/5√ 1 – (–4/5)

1 + (–4/5)√ 1 – cos x

1 + cos x

x

2

2425

45

35

34

sen x

cos x

45

9√1 – —25

√1 – sen2 x

)π4(x

2)π3(

)π6(x

2

π2

3

5

√38 + 4√

—3

4

2 + 6 + 2√—12

4

(√—2 + √

—6 )2

6 – 2

√—2 + √

—6

√—6 – √

—2

sen 75°cos 75°

√312 + 6√

—3

6

9 + 3 + 6√—3

6

(3 + √—3 )2

9 – 3

3 + √—3

3 – √—3

(√—3 + 3)/3

(√—3 – 3)/3

√—3/3 + 1

1 – √—3/3

tg 30° + tg 45°1 – tg 30° tg 45°

√—6 – √

—2

4√22

12

√22

√32


5UNIDAD

d) cos (x – ) = cos x cos + sen x sen =

= (– ) · + · =

e) cos(*)= = = = =

(*) Signo positivo, porque é1.er cuadrante.

f ) tg (x + ) = = = =

Página 143

12 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15° de dos formas, conside-rando:

a) 15° = 45° – 30° b)15° =

a) sen 15° = sen (45° – 30°) = sen 45° cos 30° – cos 45° sen 30° =

= · – · = = 0,258819

cos 15° = cos (45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° =

= · + · = = 0,965926

tg 15° = = = =

= = 2 – = 0,267949

b) sen 15° = sen = = = =

= = 0,258819

cos 15° = cos = = = = 0,9659258

tg 15° = = = 0,26794910,2588190,9659258

√2 – √—3

√2 + √—3

√ 2 + √—3

4√ 1 + √—3/2

2√1 + cos 30°

230°2

√2 – √—3

2

√ 2 – √—3

4√ 1 – √—3/2

2√1 – cos 30°

230°2

√38 – 4√

—3

4

6 + 2 – 2√—12

6 – 2

√—6 – √

—2

√—6 + √

—2

sen 15°cos 15°

√—6 + √

—2

412

√22

√32

√22

√—6 – √

—2

412

√22

√32

√22

30°

2

17

1 – 3/41 + 3/4

–3/4 + 11 – (–3/4) · 1

tg x + tg π/41 – tg x tg π/4

π4

x

2

√1010√ 1

10√ 1/5

2√ 1 – 4/5

2√ 1 + cos x

2x

2

3√—3 – 4

10

√32

35

12

45

π3

π3

π3


13 Sabiendo que sen x = 2/3 y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula:

a) sen 2x b) tg c) cos (30° – x)

sen x = cos x, tg x > 0

x é1.er cuadrante

8

é1.er cuadrante 8

• cos x = = 1 – =

• tg x = =

a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 · · =

b) tg = = = =

= = =

c) cos (30° – x) = cos 30° cos x + sen 30° sen x = · + · =

= + =

14 Si tg a = – 4/3 y 90° < a < 180°, calcula:

a) sen – a b)cos 180° –

90° < a < 180° 8

Además, é1.er cuadrante

• tg a = –

• = tg2 a + 1 = + 1 = 8 cos2 a = 8 cos a = –

• sen a = = = =

a) sen ( – a) = sen cos a – cos sen a = 1 · (– ) – 0 · = –35

45

35

π2

π2

π2

45√ 16

25

9√1 – —25

√1 – cos2 a

35

925

259

169

1

cos2 a

43

a2

sen a > 0

cos a < 0

°¢£

)a2()π

2(

3√15 + 515

13

√155

23

12

2√55

√32

√9 – 4√—5√ 45 – 20√

—5

5√ 25 + 4 · 5 – 20√—5

25 – 4 · 5

√ 5 – 2√—5

5 + 2√—5√ 1 – 2√

—5/5

1 + 2√—5/5√ 1 – cos x

1 + cos x

x

2

4√59

√53

23

2√55

2/3

√5/3

√53

49

√1 – sen2 x

sen x/2 > 0

cos x/2 > 0

tg x/2 > 0

°§¢§£

x

2

23

x

2


5UNIDAD

°§§¢§§£

°§§¢§§£

b) cos (180° – ) = cos 180° cos + sen 180° sen = –cos =

= – = – = – =

= – = – = –

15 Sabemos que cos x = – y sen x < 0.

Sin hallar el valor de x, calcula:

a) sen x b)cos (π + x) c) cos 2x

d) tg e) sen – x f ) cos π –

8 x é3.er cuadrante ò é2.° cuadrante

a) sen x = – = – = – = –

b) cos (π + x) = cos π cos x – sen π sen x = –cos x =

c) cos 2x = cos2 x – sen2 x = – = =

d) tg = – = – = =

e) sen ( – x) = sen cos x – cos sen x = cos x = –

f) cos (π – ) = cos π cos + sen π sen = –cos =

= – (– ) = = =

16 Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sen 41°, cos 41° y tg 41°.

41° = 78° – 37°

• sen 78° = = = 0,98

• cos 37° = = = 0,8√1 – 0,62√1 – sen2 37°

√1 – 0,22√1 – cos2 78°

√88√ 1

8√ 1 – 3/4

2√ 1 + cos x

2

x

2x

2x

2x

2

34

π2

π2

π2

√7√ 7

1√ 1 + 3/4

1 – 3/4√ 1 – cos x

1 + cos x

x

2

18

216

716

916

34

√74√ 7

16

9√1 – —16

√1 – cos2 x

x

2

°¢£

cos x = –3/4

sen x < 0

)x

2()π2(x

2

3

4

√55√ 1

5√ 2

10

√5 – 3

10√1 + (–3/5)

2√ 1 + cos a2

a2

a2

a2

a2


Ahora, ya podemos calcular:

• sen 41° = sen (78° – 37°) = sen 78° cos 37° – cos 78° sen 37° =

= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664

• cos 41° = cos (78° – 37°) = cos 78° cos 37° + sen 78° sen 37° =

= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748

• tg 41° = = = 0,8877

17 Si tg (a + b) = 4 y tg a = –2, halla tg 2b.

tg (a + b) = 8 4 = 8

8 4 + 8 tg b = –2 + tg b 8 7 tg b = –6 8

8 tg b = –

Luego:

tg 2b = = = = = –

Ecuaciones trigonométricas


a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 0 b)sen2 x – sen x = 0

c) 2 cos2 x – cos x = 0

* b) y c) son ecuaciones de 2.º grado incompletas.

a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 014243

cos2 x

cos2 x = 0 8 cos x = 0 8

Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 270° + k · 360° = + 2kπ

Lo que podemos expresar como:

x = 90° + k · 180° = + k π con k éZπ2

3π2

π2

x1 = 90°

x2 = 270°°¢£

√3

8413

–12 · 497 · 13

–12/713/49

2 · (–6/7)1 – 36/49

2 tg b1 – tg2 b

67

–2 + tg b1 + 2 tg b

tg a + tg b1 – tg a tg b

0,6640,748

sen 41°cos 41°


5UNIDAD

°¢£

8 2 cos2 x – cos2 x = 0

°§§¢§§£

con k éZ

b) sen x (sen x – 1) = 0 8

8sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°

sen x = 1 8 x3 = 90°

Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego:

x1 = k · 360° = 2k π

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π

x3 = 90° + k · 360° = + 2k π

O, de otra forma:

x1 = k π = k · 180°

x3 = + 2k π = 90° + k · 360°

(x1 así incluye las soluciones x1 y x2 anteriores)

c) cos x (2 cos x – ) = 0 8

8cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°

cos x = 8 x3 = 30°, x4 = 330°

Las cuatro soluciones son válidas. Luego:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π

x3 = 30° + k · 360° = + 2k π

x4 = 330° + k · 360° = + 2k π

NOTA: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como unasola de la siguiente forma:

x = 90° + k · 180° = + k π

19 Resuelve:

a) sen2 x – cos2 x = 1 b) cos2 x – sen2 x = 0

c) 2cos2 x + sen x = 1 d) 3 tg2 x – tg x = 0

a) (1 – cos2 x) – cos2 x = 1 8 1 – 2 cos2 x = 1 8 cos2 x = 0 8

8 cos x = 0 8 x1 = 90°

x2 = 270°°¢£

√3

π2

11π6

π6

3π2

π2

√32

√3

π2

π2


°§§¢§§£

con k éZ

°§¢§£

°§¢§£

con k éZ

°¢£

°§§§§§¢§§§§§£

con k éZ

Las dos soluciones son válidas. Luego:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π

O, lo que es lo mismo:

x = 90° + k · 180° = + k π con k éZ

b) (1 – sen2 x) – sen2 x = 0 8 1 – 2 sen2 x = 0 8

8 sen2 x = 8 sen x = ±

• Si sen x = 8 x1 = 45°, x2 = 135°

• Si sen x = – 8 x3 = 225°, x4 = 315°

Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego:

x1 = 45° + k · 360° = + 2k π

x2 = 135° + k · 360° = + 2k π

x3 = 225° + k · 360° = + 2k π

x4 = 315° + k · 360° = + 2k π


x = 45° + k · 90° = + k · con k éZ

c) 2 (1 – sen2 x) + sen x = 1 8 2 – 2 sen2 x + sen x = 1 8

8 2 sen2 x – sen x – 1 = 0 8

8 sen x = = =

Las tres soluciones son válidas, es decir:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 210° + k · 360° = + 2k π

x3 = 330° + k · 360° = + 2k π11π6

7π6

π2

1 8 x1 = 90°–1/2 8 x2 = 210°, x3 = 330°

1 ± 34

1 ± √1 + 84

π2

π4

7π4

5π4

3π4

π4

√22

√22

√22

12

π2

3π2

π2


5UNIDAD

°§§¢§§£

con k éZ

°§§§§§¢§§§§§£

con k éZ

°§§§§¢§§§§£

con k éZ

d) tg x (3 tg x – ) = 0 8

8tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°

tg x = 8 x3 = 30°, x4 = 210°

Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que lascuatro son válidas.

Entonces:

x1 = k · 360° = 2k π

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π

x3 = 30° + k · 360° = + 2k π

x4 = 210° + k · 360° = + 2k π

Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatroanteriores:

x1 = k · 180° = k π y x2 = 30° + k · 180° = + k π con k éZ


a) sen – x + cos – x =

b)sen 2x – 2 cos2 x = 0

* Desarrolla sen 2x y saca factor común.

c) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0

* Desarrolla cos 2x y sustituye cos2 x = 1 – sen2 x.

d)sen + x – sen x = 0

a) sen cos x – cos sen x + cos cos x + sen sen x =

cos x – sen x + cos x + sen x =

cos x + cos x = 8 cos x =

Comprobamos y vemos que:

x1 8 sen ( – ) + cos ( – ) = sen (– ) + cos 0 = + 1 =

x2 8 sen ( – ) + cos ( – ) = sen (– ) + cos (– ) = 1 – = 12

12

4π3

3π3

5π3

π3

5π3

π6

12

–12

π6

π3

π3

π3

π6

x1 = π/3x2 = 5π/3

12

12

12

12

12

√32

12

√32

12

12

π3

π3

π6

π6

√2)π4(

1

2)π3()π

6(

π6

7π6

π6

√33

√3


°§¢§£

°§§§§¢§§§§£

con k éZ

Son válidas las dos soluciones. Luego:

x1 = + 2k π = 60° + k · 360°

x2 = + 2k π = 300° + k · 360°

b) 2 sen x cos x – 2 cos2 x = 0 8 2 cos x (sen x – cos x) = 0 8

8

Comprobamos las soluciones. Todas son válidas:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π

x3 = 45° + k · 360° = + 2k π

x4 = 225° + k · 360° = + 2k π

También podríamos expresarlas como:

x1 = 90° + k · 180° = + k π

x2 = 45° + k · 180° = + k π

c) cos2 x – sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 8 1 – sen2 x – sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 8

8 1 – 2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 8 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0 8

8 sen x = = =

Comprobamos que las dos soluciones son válidas.

Luego:

x1 = 30° + k · 360° = + 2k π

x2 = 150° + k · 360° = + 2k π

d) sen cos x + cos sen x – sen x = 0

cos x + sen x – sen x = 0√2√22

√22

√2π4

π4

5 π6

π6

1/2 8 x1 = 30°, x2 = 150°–2 8 ¡Imposible¡, pues |sen x | Ì 1

–3 ± 54

–3 ± √9 + 164

π4

π2

5π4

π4

3π2

π2

cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°

sen x = cos x 8 x3 = 45°, x4 = 225°

°¢£

5π3

π3


5UNIDAD

°§§¢§§£

con k éZ

°§§¢§§£

con k éZ

°§§¢§§£

con k éZ

°§§§§§¢§§§§§£

con k éZ

cos x – sen x = 0 8 cos x – sen x = 0 8

8 cos x = sen x 8 x1 = , x2 =

Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego:

x1 = + 2k π = 45° + k · 360°

x2 = + 2k π = 225° + k · 360°

Podemos agrupar las dos soluciones en:

x = + k π = 45° + k · 180° con k éZ

21 Resuelve estas ecuaciones:

a) 4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0

* Al hacer sen2 x = 1 – cos2 x, resulta una ecuación bicuadrada.

Haz cos2 x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes.

b)4 sen2 x + sen x cos x – 3 cos2 x = 0

* Divide por cos2 x y obtendrás una ecuación con tg x.

c) cos2 + cos x – = 0

d) tg2 + 1 = cos x

e) 2 sen2 + cos 2x = 0

a) 4 (1 – cos2 x ) cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0

4 cos2 x – 4 cos4 x + 2 cos2 x – 2 = 0

4 cos4 x – 6 cos2 x + 2 = 0 8 2 cos4 x – 3 cos2 x + 1 = 0

Sea cos2 x = z 8 cos4 x = z2

Así:

2z2 – 3z + 1 = 0 8 z = =

z1 = 1 8 cos x = ±1

z2 = 8 cos x = ±x3 = 45°, x4 = 315°x5 = 135°, x6 = 225°

√22

12

x1 = 0°x2 = 180°

3 ± 14

3 ± √9 – 84

x

2

x

2

1

2

x

2

π4

5π4

π4

5π4

π4

√22

√22


°§§¢§§£

con k éZ

Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto:

x1 = k · 360° = 2k π

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π

x3 = 45° + k · 360° = + 2k π

x4 = 315° + k · 360° = + 2k π

x5 = 135° + k · 360° = + 2k π

x6 = 225° + k · 360° = + 2k π

O, agrupando las soluciones:

x1 = k · 180° = k π

x2 = 45° + k · 90° = + k

b) Dividiendo por cos2 x :

+ – = 0 8 4 tg2 x + tg x – 3 = 0 8

8 tg x = = =

Las cuatro soluciones son válidas:

x1 = 36° 52' 11,6" + k · 360° ≈ + 2k π

x2 = 216° 52' 11,6" + k · 360° ≈ + 2k π

x3 = 135° + k · 360° = + 2k π

x4 = 315° + k · 360° = + 2k π


x1 = 36° 52' 11,6" + k · 180° ≈ + k π

x2 = 135° + k · 180° = + k π3π4

π5

7π5

3π5

6π5

π5

–1 ± 78

–1 ± √1 + 488

3 cos2 x

cos2 x

sen x cos x

cos2 x

4 sen2 x

cos2 x

π2

π4

7π4

3π4

5π4

π4


5UNIDAD

°§§§§§§§§¢§§§§§§§§£

con k éZ

°§¢§£

con k éZ

8

–1 8 x3 = 135°

x4 = 315°°¢£

x1 = 36° 52' 11,6"

x2 = 216° 52' 11,6"°¢£

34

°§§§¢§§§£

°§§§§§¢§§§§§£

con k éZ

°§§¢§§£

con k éZ

c) + cos x – = 0 8 1 + cos x + 2 cos x – 1 = 0 8

8 3 cos x = 0 8 cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°

Las dos soluciones son válidas. Luego:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π

Agrupando las soluciones:

x = 90° + k · 180° = + k π con k éZ

d) + 1 = cos x 8 1 – cos x + 1 + cos x = cos x + cos2 x 8

8 2 = cos x + cos2 x 8 cos2 x + cos x – 2 = 0 8

8 cos x = =

Luego: x = k · 360° = 2k π con k éZ

e) 2 · + cos2 x – sen2 x = 0 8

8 1 – cos x + cos2 x – (1 – cos2 x) = 0 8

8 1 – cos x + cos2 x – 1 + cos2 x = 0 8 2 cos2 x – cos x = 0 8

8 cos x (2 cos x – 1) = 0 8

Se comprueba que son válidas todas. Por tanto:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π

x3 = 60° + k · 360° = + 2k π

x4 = 300° + k · 360° = + 2k π

Agrupando las soluciones quedaría:

x1 = 90° + k · 180° = + k π

x2 = 60° + k · 360° = + 2k π

x3 = 300° + k · 360° = + 2k π5π3

π3

π2

5π3

π3

3π2

π2

cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°

cos x = 1/2 8 x3 = 60°, x4 = 300°

°¢£

1 – cos x

2

1 8 x = 0°–2 8 ¡Imposible!, pues |cos x | Ì 1

–1 ± 32

–1 ± √1 + 82

1 – cos x

1 + cos x

π2

3π2

π2

12

1 + cos x

2


°§§¢§§£

con k éZ°§§§§§¢§§§§§£

con k éZ

°§§§§¢§§§§£

con k éZ

Identidades trigonométricas

22 Demuestra que:

=

* Aplica las fórmulas de sen (a + b) y sen (a – b).

Divide el numerador y el denominador por cos a cos b y simplifica.

= (*)=

= =

(*) Dividimos numerador y denominador entre cos a cos b.

23 Prueba que 2 tg x cos2 – sen x = tg x.

* Sustituye cos2 = .

Como cos = ± 8 cos2 =

Y sustituyendo en la expresión:

2 tg x cos2 – sen x = 2 · – sen x =

= (*)=

= = = tg x

(*) Sacando factor común.

24 Demuestra que:

cos x + – cos x + = cos x

* Desarrolla y sustituye las razones de y .2π3

π3

)2π3()π

3(

sen x

cos x

sen x [1 + cos x – cos x]cos x

sen x (1 + cos x) – sen x cos x

cos x

1 + cos x

2sen x

cos x

x

2

1 + cos x

2x

2√ 1 + cos x

2x

2

1 + cos x

2

x

2

x

2

tg a + tg btg a – tg b

sen a cos b cos a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bsen a cos b cos a sen b——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b

sen a cos b + cos a sen bsen a cos b – cos a sen b

sen (a + b)sen (a – b)

tg a + tg btg a – tg b

sen (a + b)

sen (a – b)


5UNIDAD

cos (x + ) – cos (x + ) =

= [cos x cos – sen x sen ] – [cos x cos – sen x sen ] =

= [(cos x) – (sen x) ] – [(cos x) (– ) – (sen x) ] =

= cos x – sen x + cos x + sen x = cos x

25 Demuestra que:

cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) = cos b

* Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor co-

mún.

cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) =

= cos a (cos a cos b + sen a sen b) + sen a (sen a cos b – cos a sen b) =

= cos2 a cos b + cos a sen a sen b + sen2 a cos b – sen a cos a sen b =

= cos2 a cos b + sen2 a cos b(*)= cos b (cos2 a + sen2 a) = cos b · 1 = cos b

(*) Extraemos factor común.

Página 144

26 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm.

Halla el ángulo central en grados y en radianes.

Como la circunferencia completa (100,53 cm) son 2π rad, entonces:

= 8 a = = 1,25 rad

a = · 1,25 = 71° 37' 11"360°2π

20 · 2π100,53

2πa

100,5320

16 cm

20 cm

a

PARA RESOLVER

√32

12

√32

12

√32

12

√32

12

2π3

2π3

π3

π3

2π3

π3


27 En una determinada circunferencia, a un arco de 12 cm de longitud le co-rresponde un ángulo de 2,5 radianes.

¿Cuál es el radio de esa circunferencia?

= 8 R = = 4,8 cm

28 Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y 2π tal que sus razones

trigonométricas coincidan con las de .

0 < a < 2π

= 8 = 2π + ò a =

29 Demuestra:

=

= (*)=

= =

30 Simplifica la expresión:

Calcula su valor para a = .

= =

Por tanto, si a = ò = = = 2

√—2

2 · (— )2

√—2

—2

2 cos asen a

sen 2a1 – cos2 a

π4

2 cos asen a

2 sen a cos asen2 a

sen 2a1 – cos2 a

π4

sen 2a1 – cos2 a

1 + tg a tg b1 – tg a tg b

cos a cos b sen a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bcos a cos b sen a sen b

——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b

cos a cos b + sen a sen bcos a cos b – sen a sen b

cos (a – b)cos (a + b)

1 + tg a tg b1 – tg a tg b

cos (a – b)

cos (a + b)

3π

43π

411π

48π + 3π

411π

4

11π4

2,5 rad

12 cm

12

2,5

12 cm

R cm

2,5 rad

1 rad


5UNIDAD

(*) Dividimos numerador ydenominador entre:

cos a cos b

31 Prueba que:

= tg2

= = =

= = tg2

32 Simplifica:

* Al desarrollar el numerador, obtendrás una diferencia de cuadrados.

=

= =

= =

= = =

= = 1


a) cos 2x + 3 sen x = 2

b) tg 2x · tg x = 1

c) cos x cos 2x + 2 cos2 x = 0

d)2 sen x = tg 2x

e) sen + cos x – 1 = 0

f ) sen 2x cos x = 6 sen3 x

g) tg – x + tg x = 1

a) cos2 x – sen2 x + 3 sen x = 2 8 1 – sen2 x – sen2 x + 3 sen x = 2 8

8 2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 8

8 sen x = = 1 8 x1 = 90°1/2 8 x1 = 30°, x2 = 150°

3 ± 14

3 ± √9 – 84

)π4(

x

2√3

cos2 a – sen2 acos2 a – sen2 a

2 · 1/2 cos2 a – 2 · 1/2 sen2 acos2 a – sen2 a

2 · [(√—2/2)2 cos2 a – (√—

2/2)2 sen2 a]cos2 a – sen2 a

2 (cos2 45° cos2 a – sen2 45° sen2 a)

cos2 a – sen2 a

2 (cos 45° cos a – sen 45° sen a) (cos 45° cos a + sen 45° sen a)

cos2 a – sen2 a

2 cos (45° + a) cos (45° – a)cos 2a

2cos (45° + a) cos (45° – a)

cos 2a

a2





a2

2sen a – sen 2a2sen a + sen 2a


Las tres soluciones son válidas:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 30° + k · 360° = + 2k π

x3 = 150° + k · 360° = + 2k π

b) · tg x = 1 8 2 tg2 x = 1 – tg2 x 8 tg2 x = 8

8 tg x = ± 8


x1 = 30° + k · 360° = + 2k π

x2 = 210° + k · 360° = + 2k π

x3 = 150° + k · 360° = + 2k π

x4 = 330° + k · 360° = + 2k π

Agrupando:

x1 = 30° + k · 180° = + k π

x2 = 150° + k · 180° = + k π

c) cos x (cos2 x – sen2 x) + 2 cos2 x = 0 8

8 cos x (cos2 x – 1 + cos2 x) + 2 cos2 x = 0 8

8 2 cos3 x – cos x + 2 cos2 x = 0 8 cos x (2 cos2 x + 2 cos x – 1) = 0 8

8 cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°

cos x = = =

= ≈ –1,366 8 ¡Imposible!, pues |cos x | ≤ –1≈ 0,366 8 x3 = 68° 31' 51,1", x4 = 291° 28' 8,9"

–1 ± √—3

2

–2 ± 2√—3

4–2 ± √4 + 8

4

5π6

π6

11π6

5π6

7π6

π6

x1 = 30°, x2 = 210°

x3 = 150°, x4 = 330°

°¢£

√33

13

2 tg x

1 – tg2 x

5π6

π6

π2


5UNIDAD

°§§§§¢§§§§£

con k éZ

°§§§§§¢§§§§§£

con k éZ

°§§¢§§£

con k éZ

Las soluciones son todas válidas:

x1 = 90° + k · 360° = + 2k π

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π

x3 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π

x4 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π

Agrupadas, serían:

x1 = 90° + k · 180° = + k π

x2 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π

x3 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π

d) 2 sen x = 8 2 sen x – 2 sen x tg2 x = 2 tg x 8

8 sen x – sen x = 8

8 sen x cos2 x – sen x sen2 x = sen x cos x 8

8 sen x (cos2 x – sen2 x – cos x) = 0 8

8 sen x (cos2 x – 1 + cos2 x – cos x) = 0 8

8 sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°

2 cos2 x – cos x – 1 = 0° 8 cos x = =

=

Las cuatro soluciones son válidas. Luego:

x1 = k · 360° = 2k π

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π

x3 = 240° + k · 360° = + 2k π

x4 = 120° + k · 360° = + 2k π

Que, agrupando soluciones, quedaría:

x1 = k · 180° = k π

x2 = 120° + k · 360° = + 2k π

x3 = 240° + k · 360° = + 2k π4π3

2π3

2π3

4π3

1 8 x3 = 0° = x1–1/2 8 x4 = 240°, x5 = 120°

1 ± √1 + 84

sen x

cos x

sen2 x

cos2 x

2 tg x

1 – tg2 x

π2

3π2

π2


°§§§§¢§§§§£

con k éZ

°§§§§¢§§§§£

con k éZ

°§§§¢§§§£

con k éZ

°§§¢§§£

con k éZ

°§¢§£

e) + cos x – 1 = 0 8 = (1 – cos x)2 8

8 3 – 3 cos x = 2 (1 + cos2 x – 2 cos x) 8 2 cos2 x – cos x – 1 = 0 8

8 cos x = = =

Al comprobar, vemos que las tres soluciones son válidas:

x1 = k · 360° = 2k π

x2 = 120° + k · 360° = + 2k π

x3 = 240° + k · 360° = + 2k π

f ) 2 sen x cos x cos x = 6 sen3 x 8 2 sen cos2 x = 6 sen3 x 8

8 2 sen x (1 – sen2 x) = 6 sen3 x 8 2 sen x – 2 sen3 x = 6 sen3 x 8

8 sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°

sen2 x = 8 sen x = ± 8

Comprobamos que todas las soluciones son válidas.

Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro:

x1 = k · 180° = k π

x2 = 30° + k · 90° = + k ·

g) + tg x = 1 8 + tg x = 1 8

8 1 + tg x + tg x – tg2 x = 1 – tg x 8 tg2 x – 3 tg x = 0 8

8 tg x (tg x – 3) = 0 8

8


x1 = k · 360° = 2k π

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π

x3 = 71° 33' 54,2" + k · 360° ≈ + 2k π

x4 = 251° 33' 54,2" + k · 360° ≈ + 2k π7π5

2π5

tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°

tg x = 3 8 x3 = 71° 33' 54,2", x4 = 251° 33' 54,2"

°¢£

1 + tg x

1 – tg xtg (π/4) + tg x

1 – tg (π/4) tg x

π2

π6

x3 = 30°, x4 = 150°x5 = 210°, x6 = 330°

12

14

4π3

2π3

1 8 x1 = 0°–1/2 8 x2 = 120°, x3 = 240°

1 ± 34

1 ± √1 + 84

3 – 3 cos x

2√ 1 – cos x

2√3


5UNIDAD

°§§§¢§§§£

con k éZ

°§§¢§§£

con k éZ

°§§§§¢§§§§£

con k éZ


x1 = k · 180° = k π

x2 = 71° 33' 54,2" + k · 180° ≈ + k π


a) sen 3x – sen x = cos 2x

b) = 1

c) =

d)sen 3x – cos 3x = sen x – cos x

* Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos en productos.

a) 2 cos sen = cos 2x

2 cos 2x sen x = cos 2x 8 2 sen x = 1 8 sen x = 8 x1 = 30°, x2 = 150°

Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego:

x1 = 30° + k · 360° = + 2k π

x2 = 150° + k · 360° = + 2k π

b) = 1 8 = 1 8 = 1 8

8 = 1 8 2 sen 2x = 1 8 sen 2x = 8

2x = 30° 8 x1 = 15° + k · 360° = + 2k π

82x = 150° 8 x2 = 75° + k · 360° = + 2k π

2x = 390° 8 x3 = 195° + k · 360° = + 2k π

2x = 510° 8 x4 = 255° + k · 360° = + 2k π

Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas.

17π12

13π12

5π12

π12

12

2 sen 2x cos 2x

cos 2x

sen (2 · 2x)cos 2x

sen 4x

cos 2x

2 sen 4x cos x

2 cos 2x cos x

5π6

π6

12

3x – x2

3x + x2

√3sen 3x + sen x

cos 3x + cos x

sen 5x + sen 3x

cos x + cos 3x

2π5


°§§¢§§£

con k éZ

°§§¢§§£

con k éZ

°§§§§§¢§§§§§£

°§§§§§¢§§§§§£

con k éZ

c) = = – = 8 tg x = – 8

Ambas soluciones son válidas. Luego:

x1 = 150° + k · 360° = + 2k π

x2 = 330° + k · 360° = + 2k π

d) sen 3x – sen x = cos 3x – cos x 8

8 2 cos 2x sen x = –2 sen 2x sen x 8 (dividimos entre 2 sen x )

8 cos 2x = –sen 2x 8 = –1 8 tg 2x = –1 8

2x = 315° 8 x1 = 157,5° + k · 360°

82x = 135° 8 x2 = 67,5° + k · 360°

2x = 675° 8 x3 = 337,5° + k · 360°

2x = 495° 8 x4 = 247,5° + k · 360°

Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas:

x = 67,5° + k · 90° con k éZ

35 a) Demuestra que: sen 3x = 3 sen x cos2 x – sen3 x

b)Resuelve la ecuación sen 3x – 2 sen x = 0.

* a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla.

b) Sustituye sen 3x por el resultado anterior.

a) sen 3x = sen (2x + x) = sen 2x cos x + cos 2x sen x =

= 2 sen x cos x cos x + (cos2 x – sen2 x) sen x =

= 2 sen x cos2 x + sen x cos2 x – sen3 x = 3 sen x cos2 x – sen3 x

b) sen 3x – 2 sen x = 0 8 por el resultado del apartado anterior:

3 sen x cos2 x – sen3 x – 2 sen x = 0 8 3 sen x (1 – sen2 x) – sen3 x – 2 sen x = 0 8

8 3 sen x – 3 sen3 x – sen3 x – 2 sen x = 0 8

8 4 sen3 x – sen x = 0 8 sen x (4 sen2 x – 1) = 0 8

8

Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como:

con k éZ

°§¢§£

x1 = k · 180° = k πx2 = 30° + k · 180° = (π/6) + k πx3 = 150° + k · 180° = (5π/6) + k π

sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 150°

sen x = ±1/2 8 x3 = 30°, x4 = 150°, x5 = 210°, x6 = 330°

°¢£

sen 2x

cos 2x

11π6

5π6

x1 = 150°

x2 = 330°

°¢£

√33

√31

tg x

cos x

–sen x

2 sen 2x cos x

–2 sen 2x sen x


5UNIDAD

°§§¢§§£

con k éZ

°§§§¢§§§£

°§§§¢§§§£

con k éZ

36 Demuestra las siguientes igualdades:

a) cos (a + b) · cos (a – b) = cos2 a – sen2 b

b) sen2 – sen2 = sen a · sen b

c) cos2 – cos2 = sen a · sen b

a) cos (a + b) cos (a – b) = (cos a cos b – sen a sen b) (cos a cos b + sen a sen b) =

= cos2 a cos2 b – sen2 a sen2 b =

= cos2 a (1 – sen2 b) – (1 – cos2 a) · sen2 b =

= cos2 a – cos2 a sen2 b – sen2 b + cos2 a sen2 b =

= cos2 a – sen2 b

b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego pode-mos factorizarlo como una suma por una diferencia:

[sen ( ) + sen ( )] · [sen ( ) – sen ( )] (*)=

= [2 sen cos ] · [2 cos sen ] =

= 4 · · · =

= =

= = = sen a sen b

(*) Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que:

+ = a y – = b

c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora:

+ = a y – = –b

cos2 ( ) – cos2 ( ) =

= [cos ( ) + cos ( )] · [cos ( ) – cos ( )] =

= [2 cos cos ] · [–2 sen sen ] = [2 cos cos ] · [2 sen sen ] =b2

a2

b2

a2

–b2

a2

–b2

a2

a + b2

a – b2

a + b2

a – b2

a + b2

a – b2

a + b2

a – b2

a + b2

a – b2

a – b2

a + b2

a – b2

a + b2

√sen2 a · sen2 b√(1 – cos2 a) (1 – cos2 b)

√(1 – cos a) (1 + cos b) (1 + cos a) (1 – cos b)

√ 1 – cos b2√ 1 + cos a

2√ 1 + cos b2√ 1 – cos a

2

b2

a2

b2

a2

a – b2

a + b2

a – b2

a + b2

)a + b2()a – b

2()a – b

2()a + b2(


= 4 · · · =

= = = sen a sen b

NOTA: También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior co-mo sigue:

cos2 ( ) – cos2 ( ) = 1 – sen2 ( ) – 1 + sen2 ( ) =

= sen2 ( ) – sen2 ( ) (*)= sen a sen b

(*) Por el apartado b).

37 Simplifica la expresión: sen a · cos 2a – cos a · sen 2a

sen a (cos2 a – sen2 a) – cos a · 2 sen a cos a =

= sen a cos2 a – sen3 a – 2 sen a cos2 a =

= –sen a cos2 a – sen3 a = –sen a (cos2 a + sen2 a) = –sen a

38 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:

a)

b)

* Haz cos2 y = 1 – sen2 y y cos2 x = 1 – sen2 x.

c)

a) De la segunda ecuación:

2 cos sen =

Como:

x + y = 120° 8 2 cos 60° sen = 8 2 · sen = 8

8 sen = 8 = 30° 8 x – y = 60°

Así: x + y = 120°

x – y = 60°

2x = 180° 8 x = 90° 8 y = 30°

Luego la solución es: (90°, 30°)

x – y2

12

x – y2

12

x – y2

12

12

x – y2

12

x – y2

x + y2

sen x + cos y = 1

x + y = 90°

°¢£

sen2 x + cos2 y = 1

cos2 x – sen2 y = 1

°¢£

x + y = 120°1

sen x – sen y = —2

°§¢§£

a – b2

a + b2

a + b2

a – b2

a + b2

a – b2

√sen2 a · sen2 b√(1 – cos2 a) (1 – cos2 b)

√ 1 – cos b2√ 1 – cos a

2√ 1 + cos b2√ 1 + cos a

2


5UNIDAD

b) Como

El sistema queda:

8

(Sumando ambas igualdades) 8 –2 sen2 y = 0 8 sen y = 0 8 y = 0°

Sustituyendo en la segunda ecuación (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene:

cos2 x – 0 = 1 8 cos2 x = 1 =


c) x + y = 90° 8 complementarios 8 sen x = cos y

Sustituyendo en la primera ecuación del sistema:

cos y + cos y = 1 8 2 cos y = 1 8 cos y = 8 y = 60° 8

8 x = 90° – y = 90° – 60° = 30°


39 Justifica que para cualquier ángulo a se verifica:

cos – a = sen a + cos a

Desarrollamos la primera parte de la igualdad:

· cos ( – a) = (cos cos a + sen sen a) =

= ( cos a + sen a) =

= · (cos a + sen a) = (cos a + sen a) =

= cos a + sen a

40 Expresa sen 4a y cos 4a en función de sen a y cos a.

• sen 4a = sen (2 · 2a) = 2 sen a cos 2a = 2 · 2 sen a cos a · (cos2 a – sen2 a) =

= 4 (sen a cos3 a – sen3 a cos a)

• cos 4a = cos (2 · 2a) = cos2 2a – sen2 2a =

= (cos2 a – sen2 a)2 – (2 sen a cos a)2 =

= cos4 a + sen4 a – 2 cos2 a sen2 a – 4 sen2 a cos2 a =

= cos4 a + sen4 a – 6 sen2 a cos2 a

22

√22

√2

√22

√22

√2

π4

π4

√2π4

√2

)π4(√2

12

cos x = 1 8 x = 0°

cos x = – 1 8 x = 180° é 2.º cuadrante

°¢£

°¢£

sen2 x – sen2 y = 0

–sen2 x – sen2 y = 0

°¢£

sen2 x + 1 – sen2 y = 1

1 – sen2 x – sen2 y = 1

°¢£

cos2 y = 1 – sen2 y

cos2 x = 1 – sen2 x


41 ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos quemiden π/5 y 4π/5 radianes?

+ = = π 8 son suplementarios, luego:

sen = sen (π – ) = sen

cos = –cos ; tg = – tg

42 Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo a:

a) sen (π – a); cos (π – a); tg (π – a)

b) sen (π + a); cos (π + a); tg (π + a)

c) sen (2π – a); cos (2π – a); tg (2π – a)

a) 8 tg (π – a) = – tg a

b) 8 tg (π + a) = tg a

c) 8 tg (2π – a) = – tg a

43 Expresa A(x) en función de sen x y cos x:

a) A(x) = sen (–x) – sen (π – x)

b) A(x) = cos (–x) + cos (π + x)

c) A(x) = sen (π + x) + cos (2π – x)

a) A (x) = sen (–x) – sen (π – x) = –sen x – sen x = –2 sen x

b) A (x) = cos (–x) + cos (π + x) = cos x + (–cos x) = 0

c) A (x) = sen (π + x) + cos (2 π – x) = –sen x + cos x

sen (2π – a) = –sen acos (2π – a) = cos a

°¢£

sen (π + a) = –sen acos (π + a) = –cos a

°¢£

sen (π – a) = sen acos (π – a) = –cos a

°¢£

4π5

π5

4π5

π5

4π5

4π5

π5

5π5

4π5

π5



5UNIDAD

44 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos 2x , dan-do a x valores comprendidos entre 0 y 2π radianes y represéntala gráfica-mente.

45 Representa las funciones:

a) y = cos x + b)y = sen x +

c) y = cos – x d)y = sen – x

a) 1

0

–1

b) 1

0

–1

π 2π–π 5π—4

π—4

π—2

3π—4

3π—2

7π—4

7π–— 4

3π–— 2

3π–— 4

π– — 4

π– — 2

5π–— 4

π 2π–π 5π—4

π—4

π—2

3π—4

3π—2

7π—4

7π–— 4

3π–— 2

3π–— 4

π– — 4

5π–— 4

π– — 2

)π2()π

2()π

2()π2(

PARA PROFUNDIZAR

1

0

–1

π 2π 9π—4

5π—4

π—4

π—2

3π—4

3π—2

7π—4


x 0

y = cos 2x 1 0 – – – –1 – – – 12

√22

√32

√32

√22

12

√22

√32

2π

35π8

7π12

π2

5π12

3π8

π3

π4

π8

π12

π 2π

0 1 –1 0 0√32

√22

7π8

5π4

11π

127π8

3π4

46 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:

a) b) c)

a) Despejando en la segunda ecuación:

entonces:

sen x = = =

Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene:

sen x + sen y = 8 + sen y = 8

8 sen y = –

Elevamos al cuadrado:

sen2 y = 3 + (2 cos y – cos2 y) – 2

sen2 y + cos2 y – 2 cos y – 3 = –2

1 – 2 cos y – 3 = –2

–2 (1 + cos y) = –2

Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado:

(1 + cos y)2 = 3 (2 cos y – cos2 y) 8

8 1 + cos2 y + 2 cos y = 6 cos y – 3 cos2 y 8

8 4 cos2 y – 4 cos y + 1 = 0 8 cos y = = 8 y = 60°12

4 ± √16 – 168

√3 (2 cos y – cos2 y)

√3 (2 cos y – cos2 y)

√3 (2 cos y – cos2 y)

√3 (2 cos y – cos2 y)

√2 cos y – cos2 y√3

√3√2 cos y – cos2 y√3

√2 cos y – cos2 y√1 – 1 – cos2 y + 2 cos y√1 – (1 – cos y)2

°¢£

cos x = 1 – cos y (*)

Como sen x = √1 – cos2 x

cos (x + y) = 1/2

sen (x – y) = 1/2

°¢£

sen2 x + cos2 y = 3/4

cos2 x – sen2 y = 1/4

°¢£

sen x + sen y = √—3

cos x + cos y = 1

°¢£

d) 1

0

–1

c) 1

0

–1

π 2π–π 5π—4

π—4

π—2

3π—4

3π—2

7π—4

7π–— 4

3π–— 2

3π–— 4

π– — 4

π– — 2

5π–— 4

π 2π–π 5π—4

π—4

π—2

3π—4

3π—2

7π—4

7π–— 4

3π–— 2

3π–— 4

π– — 4

π– — 2

5π–— 4


5UNIDAD

Sustituyendo en (*), se tiene:

cos x = 1 – = 8 x = 60°

b) sen2 x + cos2 y =

cos2 x – sen2 y =

sen2 x + cos2 x + cos2 y – sen2 y = 1 8 1 + cos2 y – sen2 y = 1 8

8 2 cos2 y = 1 8 cos2 y = 8 cos y = 8 y = 45°

(Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante).

Sustituyendo en la primera ecuación:

sen2 x + cos2 y = 8 sen2 x + = 8

8 sen2 x = – 8 sen2 x = 8 sen x = ±

Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así:

sen x = 8 x = 30°


c)

8

Teniendo esto en cuenta:

cos (x + y) = 8 x + y = 60°

sen (x – y) = 8 x – y = 30° (Sumamos ambas ecuaciones)

2x = 90° 8 x = 45°

Sustituyendo en la primera ecuación y despejando:

y = 60° – x = 60° – 45° = 15°

La solución es, por tanto: (45°, 15°)

12

12

x + y é1.er cuadrante

x – y é1.er cuadrante

°¢£

°§¢§£

Como x, y é1.er cuadrante

y además cos (x + y) > 0

sen (x – y) > 0

12

12

14

12

34

34

12

34

√22

12

14

34

12

12


°§§¢§§£

Sumando:

47 Demuestra que:

a) sen x = b) cos x = c) tg x =

a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad:

= = =

= = (1 + cos x) =

= = =

= = = sen x

b) = = = = cos x

c) = = =

= = =

= · =

= =

= · = · sen x = tg x1

cos x√sen2 x

1cos x

√1 – cos2 x1

cos x√(1 + cos x) (1 – cos x)

1cos x

1 – cos x√(1 + cos x )2—1 + cos x

1cos x

√1 – cos x

1 + cos x

1 + cos x

cos x

2√ 1 – cos x

1 + cos x

2 cos x

1 + cos x

2√1 – cos x

1 + cos x

1 + cos x – 1 + cos x

1 + cos x

2√ 1 – cos x

1 + cos x

1 – 1 – cos x

1 + cos x

2 tg (x/2)1 – tg2 (x/2)

2 cos x

2

1 + cos x – 1 + cos x—–––––––––––––————

1 + cos x

1 + cos x + 1 – cos x—–––––––––––––————

1 + cos x

1 – cos x1 – —————

1 + cos x

1 – cos x1 + —————

1 + cos x

1 – tg2 (x/2)

1 + tg2 (x/2)

√sen2 x√1 – cos2 x

√(1 + cos x) (1 – cos x)1 – cos x√(1 + cos x )2—1 + cos x

√1 – cos x

1 + cos x

2√ 1 – cos x

1 + cos x

2

1 + cos x

2√1 – cos x

1 + cos x

1 + cos x + 1 – cos x

1 + cos x

2√ 1 – cos x

1 + cos x

1 + 1 – cos x

1 + cos x

2 tg (x/2)1 + tg2 (x/2)

2 tg x/2

1 – tg2 x/2

1 – tg2 x/2

1 + tg2 x/2

2 tg x/2

1 + tg2 x/2


5UNIDAD

AUTOEVALUACIÓN

1. Expresa en grados: rad, rad, 2 rad.

rad = 135° rad = 450° 2 rad = 114° 35' 30''

2. Expresa en radianes dando el resultado en función de π y como número de-cimal:

a) 60° b) 225° c) 330°

a) 60° = rad = 1,05 rad

b) 225° = rad = 3,93 rad

c) 330° = rad = 5,76 rad

3. En una circunferencia de 16 cm de diámetro dibujamos un ángulo de 3 rad.¿Qué longitud tendrá el arco correspondiente?

l = 8 · 3 = 24 cm

4. Asocia a esta gráfica una de las siguientes expresiones y di cuál es su periodo:

a) y = cos x b) y = cos 2x c) y = 2cos x

Completa estos puntos para que pertenezcan a la gráfica: (5π/6, ...), (4π/3, ...),(–π/4, ...).

La gráfica corresponde a la b) y = cos 2x. Su periodo es π.

–1

1

π2π—3

3π—4

π—6

π—4

π—3

π—2

5π—6

5π—4

4π—3

7π—6

8 cm

11π6

5π4

π3

5π2

3π4

5π2

3π4


, … 8 y = cos 2 · = 8 ,

, … 8 y = cos 2 · = – 8 , –

– , … 8 y = cos 2 · – = 0 8 – , 0

5. Si cos a = – y a < π, halla:

a) sen 2a b) cos (π + a) c) tg d) sen – a

cos a = – a < π 8 sen2 a = 1 – –2

= 8 sen a =

a) sen 2a = 2 sen a cos a = 2 – = –

b) cos (π + a) = –cos a =

c) tg = = =

d) sen – a = sen cos a – cos sen a = – – · =

= – – =

6. Demuestra cada una de estas igualdades:

a) tg 2a =

b)sen (a + b) · sen (a – b) = sen2 a – sen2 b

a) tg 2a = = = =

b) sen (a + b) · sen (a – b) =

= (sen a cos b + cos a sen b) (sen a cos b – cos a sen b) =

= sen2 a cos2 b – cos2 a sen2 b = sen2 a (1 – sen2 b) – (1 – sen2 a) sen2 b =

= sen2 a – sen2 a sen2 b – sen2 b + sen2 a sen2 b = sen2 a – sen2 b

2tg a1 – tg2 a

2sen a cos a——

cos2 a

sen2 a1 – —

cos2 a

2sen a cos acos2 a – sen2 a

sen 2acos 2a

2 tg a1 – tg2 a

–1 – 3√5

8

√45

8

1

8

√15

4

√3

2)1

4(1

2

π6

π6)π

6(

5√ 3

1 – (–1/4)√ 1 + (–1/4)

1 – cos a√1 + cos aa2

1

4

√15

8)√15

4()1

4(

√15

4

15

16)1

4(1

4

)π6(a

2

1

4

)π4()π

4()π4(

)1

2

4π3(1

2

4π3)4π

3()1

2

5π6(1

2

5π6)5π

6(


5UNIDAD

7. Resuelve:

a) cos 2x – cos + x = 1 b)2tg x cos2 – sen x = 1

a) cos 2x – cos + x = 1

cos2 x – sen2 x – (–sen x) = 1 8 1 – sen2 x – sen2 x + sen x – 1 = 0

–2sen2 x + sen x = 0 8 sen x (–2sen x + 1) = 0

Soluciones:

x1 = 360°k; x2 = 180° + 360°k; x3 = 30° + 360°k; x4 = 150° + 360°k, con k éZ

b) 2tg x cos2 – sen x = 1 8 2tg x – sen x = 1 8

8 tg x + tg x cos x – sen x = 1 8

8 tg x + cos x – sen x = 1 8

8 tg x = 1 con k éZ

8. Simplifica:

a) b) 1 + tg2

a) = = = tg 45° = 1

b) 1 + tg2 = 1 + = =

= = = 22sen2 asen2 a

2sen2 a1 – cos2 a

)2

1 + cos a(sen2 a1 – cos a)1 – cos a

1 + cos a(sen2 a1 – cos a)a

2(sen2 a1 – cos a

sen 45°

cos 45°

60° + 30° 60° – 30°2sen— cos—

2 2

60° + 30° 60° – 30°2cos— cos—

2 2

sen 60° + sen 30°

cos 60° + cos 30°

)a2(sen2 a

1 – cos asen 60° + sen 30°

cos 60° + cos 30°

°¢£

x1 = 45° + 360°k

x2 = 225° + 360°k

sen x

cos x

1 + cos x

2

x

2

)π2(

x

2)π2(


sen x = 0

sen x = x = 30°

x = 150°

1

2

x = 0°

x = 180°

ANOTACIONES

Unidad 6. Números complejos 1

Página 147


Extraer fuera de la raíz

■ Saca fuera de la raíz:

a) b)

a) = = 4 b) = 10

Potencias de

■ Calcula las sucesivas potencias de :

a) ( )3 = ( )2( ) = … b) ( )4 c) ( )5

a) ( )3 = ( )2( ) = (–1) · = –

b) ( )4 = ( )2( )2 = (–1) · (–1) = 1

c) ( )5 = ( )4 · = 1 · =

¿Cómo se maneja k · ?

■ Simplifica.

a) –2 + 11 – 8 –

b)5 + 2 – 10 + 3

c) 8 + – –

a) –2 + 11 – 8 – = 0 · = 0

b) 5 + 2 – 10 + 3 = 0

c) 8 + – – = + – – = √–1385

√–1)510

310

410

8010(√–1

12

√–1310

√–125

√–1

√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1√–1

√–112

√–1310

√–125

√–1

√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1

√–1

√–1√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1√–1

√–1

√–1

√–1√–100√–1√–1 · 16√–16

√–100√–16

NÚMEROS COMPLEJOS6

Expresiones del tipo a + b ·

■ Simplifica las siguientes sumas:

a) (–3 + 5 ) + (2 – 4 ) – (6 )

b) (–5)(5 + ) – 2(1 – 6 )

a) (–3 + 5 ) + (2 – 4 ) – (6 ) = –1 – 5

b) (–5)(5 + ) – 2(1 – 6 ) = –3 –

■ Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

a) 3(2 – 4 ) – 6(4 + 7 )

b)8(5 – 3 ) + 4(–3 + 2 )

a) 3(2 – 4 ) – 6(4 + 7 ) = 6 – 12 – 24 – 42 = –18 – 54

b) 8(5 – 3 ) + 4(–3 + 2 ) = 40 – 24 – 12 + 8 = 28 – 16

Multiplicaciones

■ Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) (4 – 3 ) · b) (5 + 2 ) · 8

c) (5 + 2 )(7 – 3 ) d) (5 + 2 )(5 – 2 )

a) (4 – 3 ) · = 4 – 3( )2 = 4 – 3 (–1) = 3 + 4

b) (5 + 2 ) · 8 = 40 + 16( )2 = –16 + 40

c) (5 + 2 )(7 – 3 ) = 35 – 15 + 14 – 6( )2 = 35 + 6 – = 41 –

d) (5 + 2 )(5 – 2 ) = 25 – 10 + 10 – 4( )2 = 25 + 4 = 29

Ecuaciones de segundo grado

■ Resuelve:

a) x2 + 10x + 29 = 0 b)x2 + 9 = 0

a) x2 + 10x + 29 = 0 8 x = = = =

= –5 ± 2

b) x2 + 9 = 0 8 x2 = –9 8 x = ± = ±3x1 = 3√

—–1

x2 = –3√—–1

√–1√–9

x1 = –5 + 2√—–1

x2 = –5 – 2√—–1

√–1

–10 ± 4 √–12

–10 ± √–162

–10 ± √100 – 1162

√–1√–1√–1√–1√–1

√–1√1√–1√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1√–1

√–1√–1

√–1√–1

√–1√–1√–1

√–1√–1√–1√–1

√–1√–1

√–1√–1√–1

√–1

Unidad 6. Números complejos2

1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles sonreales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros:

5 – 3i; + i; –5i; 7; i; 0; –1 – i; –7; 4i

• Reales: 7, 0 y –7

Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i, –1 – i, 4i

Imaginarios puros: –5i, i, 4i

• Representación:

2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas:

a) z2 + 4 = 0 b) z2 + 6z + 10 = 0

c) 3z2 + 27 = 0 d) 3z2 – 27 = 0

a) z = = = ± 2i

z1 = 2i, z2 = –2i

b) z = = =

= = –3 ± i; z1 = –3 – i, z2 = –3 + i

–3 + i

–3 – i

–6 ± 2i2

–6 ± √–42

–6 ± √36 – 402

2i

–2i

± 4i2

± √–162

i— + — i12

54

5 – 3i

4i

–5i

7–7–1 – i

√—3i

1

√3

√354

12

√354

12


6UNIDAD

c) z2 = –9 8 z = ± = ±3i

z1 = –3i, z2 = 3i

d) z2 = 9 8 z = ±3

z1 = –3, z2 = 3

3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:

a) 3 – 5i b) 5 + 2i c) –1 – 2i d) –2 + 3i

e) 5 f) 0 g) 2i h) –5i

a) Opuesto: –3 + 5i

Conjugado: 3 + 5i

b) Opuesto: –5 – 2i

Conjugado: 5 – 2i

–5 – 2i

5 + 2i

5 – 2i

–3 + 5i 3 + 5i

3 – 5i

–3 3

3i

–3i

√–9


c) Opuesto: 1 + 2i

Conjugado: –1 + 2i

d) Opuesto: 2 – 3i

Conjugado: –2 – 3i

e) Opuesto: –5

Conjugado: 5

f) Opuesto: 0

Conjugado: 0

g) Opuesto: –2i

Conjugado: –2i

h) Opuesto: 5i

Conjugado: 5i5i

–5i

2i

–2i

0

5–5

–2 + 3i

–2 – 3i 2 – 3i

–1 – 2i

–1 + 2i 1 + 2i


6UNIDAD

4. Sabemos que i2 = –1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21, i22, i23. Da un criteriopara simplificar potencias de i de exponente natural.

i3 = –i i4 = 1 i5 = i i6 = –1

i20 = 1 i21 = i i22 = –1 i23 = –i

CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:

in = i4c + r = i4c · i r = (i4)c · i r = 1c · i r = 1 · i r = i r

Por tanto, in = i r, donde r es el resto de dividir n entre 4.

Página 151

1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i)

b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i)

c) (3 + 2i) (4 – 2i)

d) (2 + 3i) (5 – 6i)

e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i)

f) g) h)

i ) j ) k)

l ) 6 – 3 5 + i m)

a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) = 6 – 5i + 2 – i + 10 – 12i = 18 – 18i

b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) = 2 – 3i – 5 – 4i + 3 – 2i = –9i

c) (3 + 2i) (4 – 2i) = 12 – 6i + 8i – 4i2 = 12 + 2i + 4 = 16 + 2i

d) (2 + 3i) (5 – 6i) = 10 – 12i + 15i – 18i2 = 10 + 3i + 18 = 28 + 3i

e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) = (–3i + 2i2 + 3 – 2i ) (1 + 3i) = (3 – 2 – 5i) (1 + 3i) =

= (1 – 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i – 5i – 15i2 = 1 + 15 – 2i = 16 – 2i

f ) = = = = = i

g) = = = = =

= – i1310

–110

–1 – 13i10

3 – 13i – 49 + 1

3 – i – 12i + 4i2

9 – i2(1 – 4i) (3 – i)(3 + i) (3 – i)

1 – 4i3 + i

20i20

20i16 + 4

8 + 4i + 16i + 8i2

16 – 4i2(2 + 4i) (4 + 2i)(4 – 2i) (4 + 2i)

2 + 4i4 – 2i

12

(–3i)2 (1 – 2i)2 + 2i)2

5(4 – 2i

i1 + 5i3 + 4i

5 + i–2 – i

4 + 4i–3 + 5i

1 – 4i3 + i

2 + 4i4 – 2i

12


h) = = = =

= = – i = – i

i) = = = = =

= + i

j) = = = =

= = + i

k) = = = –4i – 2 = –2 – 4i

l) 6 – 3 (5 + i) = 6 – 15 + i = –9 + i

m) = = = =

= = = =

= = + i = + i

2. Obtén polinomios cuyas raíces sean:

a) 2 + i y 2 – i b) –3i y 3i c) 1 + 2i y 3 – 4i

(Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).

a) [x – (2 + i)] [x – (2 – i)] =

= [(x – 2) – i] [(x – 2) + i] = (x – 2)2 – ( i )2 =

= x2 – 4x + 4 – 3i2 = x2 – 4x + 4 + 3 = x2 – 4x + 7

b) [x – (–3i)] [x – 3i] = [x + 3i] [x – 3i] = x2 – 9i2 = x2 + 9

c) [x – (1 + 2i )] [x – (3 – 4i )] = [(x – 1) – 2i ] [(x – 3) + 4i ] =

= (x – 1) (x – 3) + 4 (x – 1) i – 2 (x – 3) i – 8i2 =

= x2 – 4x + 3 + (4x – 4 – 2x + 6) i + 8 = x2 – 4x + 11 + (2x + 2) i =

= x2 – 4x + 11 + 2ix + 2i = x2 + (–4 + 2i )x + (11 + 2i )

√3√3√3

√3√3

√3√3

274

94

548

188

18 + 54i8

–18 + 54i + 364 + 4

–18 + 18i + 36i – 36i2

4 – 4i2(–9 + 18i) (2 – 2i)(2 + 2i) (2 – 2i)

–9 + 18i(2 + 2i)

–9 (1 – 2i)(2 + 2i)

9i2 (1 – 2i)(2 + 2i)

(–3i)2 (1 – 2i)(2 + 2i)

65

65

25

–4i + 2i2

1(4 – 2i) (–i)

i (–i)4 – 2i

i

1125

2325

23 + 11i25

3 + 11i + 209 + 16

3 – 4i + 15i – 20i2

9 – 16i2(1 + 5i) (3 – 4i)(3 + 4i) (3 – 4i)

1 + 5i3 + 4i

35

–115

–11 + 3i5

–10 + 3i – 15

–10 + 5i – 2i + i2

4 + 1(5 + i) (–2 + i)(–2 – i) (–2 + i)

5 + i–2 – i

1617

417

3234

834

8 – 32i34

–12 – 32i + 209 + 25

–12 – 20i – 12i – 20i2

9 – 25i2(4 + 4i) (–3 – 5i)(–3 + 5i) (–3 – 5i)

4 + 4i–3 + 5i


6UNIDAD

3. ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi)2 sea imaginario puro?

(25 – xi)2 = 625 + x2i2 – 50xi = (625 – x2) – 50xi

Para que sea imaginario puro:

625 – x2 = 0 8 x2 = 625 8 x = ± = ±25

Hay dos soluciones: x1 = –25, x2 = 25

4. Representa gráficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba que z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.

z1 + z2 = 5 + 7i

Página 153

1. Escribe en forma polar los siguientes números complejos:

a) 1 + i b) + i c) –1 + i

d) 5 – 12i e) 3i f) –5

a) 1 + i = 260° b) + i = 230° c) –1 + i = 135°

d) 5 – 12i = 13292° 37' e) 3i = 390° f) –5 = 5

2. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:

a) 5(π/6) rad b) 2135º c) 2495º

d) 3240º e) 5180º f) 490º

a) 5(π/6) = 5 (cos + i sen ) = 5 ( + i ) = + i

b) 2135° = 2(cos 135° + i sen 135°) = 2 (– + i ) = – + i√2√2√22

√22

52

5√32

12

√32

π6

π6

√2√3√3

√3√3

7i

i

5i

z1 + z2

z1

z2

1 2 3 4 5

√625


c) 2495° = 2135° = – + i

d) 3240° = 3(cos 240° + i sen 240°) = 3 (– – i ) = – – i

e) 5180° = –5

f) 490° = 4i

3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo z = ra .

Opuesto: –z = r180° + a Conjugado: –z = r360° – a

4. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo:

z = 8(cos 30º + i sen 30º)

z = 830° = 8 (cos 30° + i sen 30°) = 8 ( + i ) = + i = 4 + 4i

5. Sean los números complejos z1 = 460º y z2 = 3210º.

a) Expresa z1 y z2 en forma binómica.

b) Halla z1 · z2 y z2/z1, y pasa los resultados a forma polar.

c) Compara los módulos y los argumentos de z1 · z2 y z2/z1 con los de z1y z2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.

a) z1 = 460° = 4 (cos 60° + i sen 60°) = 4 ( + i ) = 2 + 2 i

z2 = 3210° = 3 (cos 210° + i sen 210°) = 3 (– – i ) = – – i

b) z1 · z2= (2 + 2 i ) (– – i ) =

= –3 – 3i – 9i – 3 i2 = –3 – 12i + 3 = –12i = 12270°

= = =

= = = = ( )150°

c) z1 · z2 = 460° · 3210° = (4 · 3)60° + 210° = 12270°

= = ( )210° – 60°

= ( )150°

34

34

3210°

460°

z2

z1

34

–6√—3 + 6i16

–3√—3 + 6i – 3√

—3

4 + 12–3√

—3 – 3i + 9i + 3√

—3i2

4 – 12i2

3√—3 3(–—–— – — i) (2 – 2√

—3i)

2 2

(2 + 2√—3i)(2 – 2√

—3i)

3√—3 3(–—–— – — i)2 2

(2 + 2√—3i)

z2

z1

√3√3√3√3

32

3√32

√3

32

3√32

12

√32

√3√32

12

√382

8√32

12

√32

3√32

32

√32

12

√2√2


6UNIDAD

1. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica:

a) 1150º · 530º b) 645º : 315º c) 210º · 140º · 370º

d) 5(2π/3)rad : 160º e) (1 – i)5f ) (3 + 2i) + (–3 + 2i)

a) 1150° · 530° = 5180° = –5

b) 645° : 315° = 230° = 2 (cos 30° + i sen 30°) = 2 ( + i ) = + i

c) 210° · 140° · 370° = 6120° = 6 (cos 120° + i sen 120°) = 6 (– + i ) = –3 + 3 i

d) 5(2π/3)rad : 160° = 5120° : 160° = 560° = 5 (cos 60° + i sen 60°) =

= 5 ( + i ) = + i

e) (1 – i )5= (2300°)5 = 321500° = 3260° = 32 (cos 60° + i sen 60°) =

= 32 ( + i ) = 16 + 16 i

f) 4i = 490º

2. Compara los resultados en cada caso:

a) (230°)3, (2150°)

3, (2270°)3

b) (260°)4, (2150°)

4, (2270°)4, (2330°)

4

a) (230º)3 = 23

3 · 30º = 890º

(2150º)3 = 23

3 · 150º = 8450º = 890º

(2270º)3 = 83 · 270º = 8810º = 890º

b) (260º)4 = 24

4 · 60º = 16240º

(2150º)4 = 16600º = 16240º

(2270º)4 = 161080º = 160º

(2330º)4 = 161320º = 16240º

3. Dados los complejos z = 545º , w = 215º , t = 4i, obtén en forma polar:

a) z · t, b) c) d)

z = 545° w = 215° t = 4i = 490°

z · w3

tz3

w · t2z

w2

√3√32

12

√3

5√32

52

√32

12

√3√32

12

√312

√32

√3


a) z · w = 1060°

b) = = = ( )15°

c) = = ( )–60°

= ( )300°

d) = = 100° = 10

4. Expresa cos 3a y sen 3a en función de sen a y cos a utilizando la fórmulade Moivre. Ten en cuenta que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(1a)3 = 1 (cos a + i sen a)3 =

= cos3 a + i 3 cos2 a sen a + 3i2 cos a sen2 a + i3 sen3 a =

= cos3 a + 3 cos2 a sen a i – 3 cos a sen2 a – i sen3 a =

= (cos3 a – 3 cos a sen2 a) + (3 cos2 a sen a – sen3 a) i

Por otra parte: (1a)3 = 13a = cos 3a + i sen 3a

Por tanto: cos 3a = cos3 a – 3 cos a sen2 a

sen 3a = 3 cos2 a sen a – sen3 a

Página 157

1. Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica.

= = 1(360° · k )/6 = 160° · k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Las seis raíces son:

10° = 1 160° = + i 1120° = – + i

1180° = –1 1240° = – – i 1300° = – i

Representación:

1

√32

12

√32

12

√32

12

√32

12

6√10°6√1

545° · 845°

490°

z · w3

t

12532

12532

125135°

215° · 16180°

z3

w · t2

54

545°

430°

z430º

zw2


6UNIDAD

2. Resuelve la ecuación z3 + 27 = 0. Representa sus soluciones.

z3 + 27 = 0 8 z = = = 3(180° + 360° n )/3 = 360° + 120° n ; n = 0, 1, 2

z1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3 ( + i ) = + i

z2 = 3180° = –3

z3 = 3240° = 3 (cos 240° + i sen 240°) = 3 (– – i ) = – – i

3. Calcula:

a) b) c) d)

a) = = 1(270° + 360° k)/3; k = 0, 1, 2

Las tres raíces son:

190° = i 1210° = – – i 1330° = + i

b) = = 2(120° + 360° k)/4 = 230° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son:

230° = 2 ( + i ) = + i

2120° = 2 (– + i ) = –1 + i

2210° = 2 (– – i ) = –1 – i

2300° = 2 ( – i ) = – i√312

√32

√3√32

12

√3√32

12

√312

√32

4√16120°4√–8 + 8√

—3 i

12

√32

12

√32

3√1270°3√–i

–2 + 2i√—1 + √—3i

√–254√–8 + 8√

—3i

3√–i

z1

z2

z3

–3

3√32

32

√32

12

3√32

32

√32

12

3√27180°3√–27


c) = = 5(180° + 360° k)/2 = 590° + 180° k ; k = 0, 1

Las dos raíces son: 590° = 5i ; 5270° = –5i

d)3

=3

= = (75° + 360° k)/3 = 25° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raíces son: 25°; 145°; 265°

4. Resuelve las ecuaciones:

a) z4 + 1 = 0

b) z6 + 64 = 0

a) z4 + 1 = 0 8 z = = = 1(180° + 360° k)/2 = 145° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3


145° = + i ; 1135° = – + i ; 1225° = – – i ; 1315° = – i

b) z6 + 64 = 0 8 z = = = 2(180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5


230° = 2 ( + i ) = + 1 290° = 2i

2150° = 2 (– + i ) = – + i 2210° = 2 (– – i ) = – – i

2270° = –2i 2330° = 2 ( – i ) = – i

5. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo sonlos resultados de las siguientes operaciones:

z · w, z/w, z2, z3

z y w raíces sextas de 1 8 z6 = 1, w6 = 1

(z · w )6 = z6 · w6 = 1 · 1 = 1 8 z · w es raíz sexta de 1.

( )6 = = = 1 8 es raíz sexta de 1.

z2 = (z2)6 = z12 = (z4)3 = 13 = 1 8 z2 es raíz sexta de 1.

z3 = (z3)6 = z18 = z16 · z2 = (z4)4 · z2 = 14 · 12 = 1 · 1 = 1 8 z3 es raíz sexta de 1.

zw

11

z6

w6zw

√312

√32

√312

√32

√312

√32

√312

√32

6√64180°6√–64

√22

√22

√22

√22

√22

√22

√22

√22

4√1180°4√–1

6√26√2

6√2

6√26√2

3√√—275°√√

—8135°260°√ –2 + 2i

1 + √—3 i

√25180°√–25


6UNIDAD

6. El número 4 + 3i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla lasotras tres raíces cuartas de z.

4 + 3i = 536° 52'

Las otras tres raíces cuartas de z serán:

536° 52' + 90° = 5126° 52' = –3 + 4i

536° 52' + 180° = 5216° 52' = –4 – 3i

536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i

7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones:

a) b) c)

d) e) f )

a) = = 3(180° + 360° k)/2 = 390° + 180° k ; k = 0, 1

Las dos raíces son:

390° = 3i ; 3270° = –3i

b) = = 3(180° + 360° k)/3 = 360° + 120° k ; k = 0, 1, 2


z1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3 ( + i ) = + i

z2 = 3180° = –3

z3 = 3300° = 3 (cos 300° + i sen 300°) = 3 ( – i ) = – i

z1

z2

z3

–3

3√32

32

√32

12

3√32

32

√32

12

3√27180°3√–27

–3i

3i

√9180°√–9

3√8i5 32√ i

3 1 – i√ 1 + i

3√2 – 2i3√–27

3√–9


c) = = (315° + 360° k)/3 = 105° + 120° k ; k = 0, 1, 2


z1 = 105° = –0,37 + 1,37i

z2 = 225° = (– – i ) = –1 – i

z3 = 345° = 1,37 – 0,37i

d)3

= 3

= = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2


190° = i

1210° = – – i

1330° = – i

e)5

= 5

= = = 2(90° + 360° k)/5 = 218° + 72° k; k = 0, 1, 2, 3, 4

Las cinco raíces son:

z1 = 218° = 1,9 + 0,6i

z2 = 290° = 2i

z3 = 2162° = –1,9 + 0,6i

z4 = 2234° = –1,2 – 1,6i

z5 = 2306° = 1,2 – 1,6i

f) = = 2(90º + 360º k)/3 = 230º + 120º k; k = 0, 1, 2

Las tres son:

z1 = 230º

z2 = 2150º

z3 = 2270º

z1z2

z3

3√890°3√8i

z1

z2

z3

z4 z5

5√3290°5√32i√ – 32 (–i)

i (– i)√ –32i

1210° 1330°

i

12

√32

12

√32

3√1270°√√—2315°

√—245°√ 1 – i

1 + i

√2

√22

√22

√2√2

√2

√2√23√√

—8315°

3√2 – 2i


6UNIDAD

z1

z2

i

–i

z3

–1

1

LENGUAJE MATEMÁTICO1. Pon la ecuación o inecuación que caracteriza los siguientes recintos o líneas:

Describe con palabras cada una de las familias (“son los números complejoscuya parte real vale …”) y da un representante de cada una de ellas.

a) Re z = 3 b) –1 Ì Im z < 3 c) |z| = 3 d) |z| > 2 e) Arg z = 90°

2. Representa:

a) Re z = –3 b) Im z = 0 c) 3 < Re z ≤ 5 d) |z|≥ 4 e) Arg z = 180°

a) b)

c) d)

e)

a) c) d) e)b)



Números complejos en forma binómica

1 Calcula:

a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) b)3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i)

c) –2i – (4 – i)5i d)(4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2

a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) = 6 – 3i + 4i – 2i2 – 2 + 3i + 2i – 3i2 =

= 6 – 3i + 4i + 2 – 2 + 3i + 2i + 3 = 9 + 6i

b) 3 + 2i (–1 + i) – (5 – 4i) = 3 – 2i + 2i2 – 5 + 4i = 3 – 2i – 2 – 5 + 4i = –4 + 2i

c) –2i – (4 – i)5i = –2i – 20i + 5i2 = –22i – 5 = –5 – 22i

d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2 = 16 – (3i)2 – 16 – 9i2 + 24i =

= 16 + 9 – 16 + 9 + 24i = 18 + 24i

2 Calcula en forma binómica:

a) b)

c) (1 – i) d) +

a) = = = =

= = = 3 + 6i

b) = = = =

= = = = – i

c) (1 – i ) = = = =

= = = + i2313

1513

15 + 23i13

21 + 14i + 9i – 69 + 4

(7 + 3i ) (3 + 2i )(3 – 2i ) (3 + 2i )

7 + 3i3 – 2i

2 – 2i + 5i + 53 – 2i

2 + 5i3 – 2i

720

920

9 – 7i20

18 – 14i40

12 + 4i – 18i + 636 + 4

(–2 + 3i ) (–6 – 2i )(–6 + 2i ) (–6 – 2i )

–2 + 3i–6 + 2i

–2 + 3i–4 + 4i – 2i – 2

–2 + 3i(4 + 2i ) (–1 + i )

24 + 48i8

36 + 36i + 12i – 124 + 4

(18 + 6i ) (2 + 2i )(2 – 2i ) (2 + 2i )

18 + 6i2 – 2i

12 – 6i + 12i – 6i2

2 – 2i(3 + 3i ) (4 – 2i )

2 – 2i

–3 – 2i1 + 3i

1 + i2 – i

2 + 5i3 – 2i

–2 + 3i(4 + 2i) (–1 + i)

(3 + 3i) (4 – 2i)2 – 2i

PARA PRACTICAR


6UNIDAD

d) + = + =

= + = + =

= = = + i

3 Dados los números complejos z = 1 – 3i, w = –3 + 2i, t = –2i, calcula:

a) zwt b)zt – w(t + z) c) t

d) e) w f)

z = 1 – 3i; w = –3 + 2i; t = –2i

a) zwt = (1 – 3i) (–3 + 2i) (–2i) = (–3 + 2i + 9i – 6i2)(–2i) =

= (3 + 11i) (–2i) = –6i – 22i2 = 22 – 6i

b) zt – w (t + z) = (1 – 3i) (–2i) – (–3 + 2i) (–2i + 1 – 3i) =

= (–2i + 6i2) – (–3 + 2i) (1 – 5i) = (–6 – 2i) – (–3 + 2i) (1 – 5i) =

= (–6 – 2i) – (–3 + 15i + 2i – 10i2) = (–6 – 2i) – (7 + 17i) = –13 – 19i

c) t = (–2i) = = =

= = = – + i

d) = = = =

= = – – i

e) w = (–3 + 2i) = (–3 + 2i) =

= – 3i (–3 + 2i) = –5 + i + 9i – 6i2 = 1 + i

f) = = =

= = + i = –10 + i22

–202

–8 – 6i – 12 + 8i2

1 – 6i + 9i2 – (–3 + 2i)(–4)2

(1 – 3i)2 – (–3 + 2i) (–2i)2

2z2 – wt2

2

373

103)5

3(3 – 9i + 2

33(1 – 3i) + i (–2i)

33z + it

3

413

613

–6 – 4i9 + 4

2(–3 – 2i)(–3)2 – (2i)2

2 – 6i + 6i–3 + 2i

2(1 – 3i) – 3(–2i)–3 + 2i

2z – 3tw

95

75

–14 + 18i10

4 + 12i + 6i + 18i2

1 + 9

(4 + 6i)(1 + 3i)12 – (3i)2

6i – 4i2

1 – 3i–3 + 2i1 – 3i

wz

z2 – wt2

23z + it

32z – 3t

w

wz

1310

–710

–7 + 13i10

2 + 6i – 9 + 7i10

–9 + 7i10

1 + 3i5

–3 + 9i – 2i – 61 + 9

2 + i + 2i – 14 + 1

(–3 – 2i ) (1 – 3i )(1 + 3i ) (1 – 3i )

(1 + i ) (2 + i )(2 – i ) (2 + i )

–3 – 2i1 + 3i

1 + i2 – i


4 Calcula:

a) i37 b) i126 c) i–7 d) i64 e) i–216

a) i37 = i1 = i b) i126 = i2 = –1

c) i–7 = = = i d) i64 = i0 = 1

e) i–216 = = = = 1

5 Dado el número complejo z = – + i, prueba que:

a) 1 + z + z2 = 0 b) = z2

a) z2 = (– + i)2 = + i 2 – i = – – i =

= – – i = – – i

1 + z + z2 = 1 + (– + i) + (– + i) = 1 – + i – – i = 0

b) = = = = =

= = = = – – i

z2 = – – i (lo habíamos calculado en a)

Por tanto: = z2

Igualdad de números complejos

6 Calcula m y n para que se verifique la igualdad (2 + mi) + (n + 5i) = 7 – 2i.

(2 + mi ) + (n + 5i ) = 7 – 2i

(2 + n) + (m + 5) i = 7 – 2i 8 n = 5m = –7

°¢£

2 + n = 7m + 5 = –2

°¢£

1z

√32

12

√32

12

–1 – √3 i2

2 (–1 – √3 i )4

2 (–1 – √3 i )1 + 3

2 (–1 – √3 i )(–1 + √

—3 i) (–1 – √

—3 i)

2

–1 + √—3 i

1

–1 + √—3 i

———–—2

1

1 √—3

–— + — i2 2

1z

√32

12

√32

12

√32

12

√32

12

√32

12

√32

24

√32

34

14

√32

34

14

√32

12

1z

√32

12

11

1i0

1i216

1–i

1i7


6UNIDAD

7 Determina k para que el cociente sea igual a 2 – i.

= = = =

= ( ) + ( ) i = 2 – i 8

Por tanto, k = 3.

8 Calcula a y b de modo que se verifique:

(a + bi)2 = 3 + 4i

☛ Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4.

(a + bi )2 = 3 + 4i

a2 + bi2 + 2abi = 3 + 4i

a2 – b2 + 2abi = 3 + 4i 8

b = =

a2 – ( )2 = 3 8 a2 – = 3 8 a4 – 4 = 3a2 8 a4 – 3a2 – 4 = 0

a2 = =

a = –2 8 b = –1

a = 2 8 b = 1

9 Dados los complejos 2 – ai y 3 – bi, halla a y b para que su producto seaigual a 8 + 4i.

(2 – ai ) (3 – bi ) = 8 + 4i

6 – 2bi – 3ai + abi2 = 8 + 4i

6 – 2bi – 3ai – ab = 8 + 4i

(6 – ab) + (–2b – 3a) i = 8 + 4i

b = 4 + 3a–2

6 – ab = 8–2b – 3a = 4

°¢£

a2 = 4 8 a = ±2a2 = –1 (no vale)

3 ± 52

3 ± √9 + 162

4a2

2a

2a

42a

a2 – b2 = 32ab = 4

°¢£

1 – k2

k + 12

(k + 1) + (1 – k) i2

k – ki + i + 11 + 1

(k + i ) (1 – i )(1 + i ) (1 – i )

k + i1 + i

k + i1 + i


°§§¢§§£

= 2 8 k = 3

= –1 8 k = 31 – k2

k + 12

6 – a ( ) = 8 8 6 + = 8

= 2 8 4a + 3a2 = 4 8 3a2 + 4a – 4 = 0

a = =

10 Calcula el valor de a y b para que se verifique:

a – 3i =

a – 3i =

(a – 3i ) (5 – 3i ) = 2 + bi

5a – 3ai – 15i – 9 = 2 + bi

(5a – 9) + (–3a – 15) i = 2 + bi

11 Halla el valor de b para que el producto (3 – 6i) (4 + bi) sea un número:

a) Imaginario puro. b) Real.

(3 – 6i ) (4 + bi ) = 12 + 3bi – 24i + 6b = (12 + 6b) + (3b – 24) i

a) 12 + 6b = 0 8 b = –2

b) 3b – 24 = 0 8 b = 8

12 Determina a para que (a – 2i)2 sea un número imaginario puro.

(a – 2i )2 = a2 + 4i2 – 4ai = (a2 – 4) – 4ai

Para que sea imaginario puro, ha de ser:

a2 – 4 = 0 8 a = ±2 8 a1 = –2, a2 = 2

13 Calcula x para que el resultado del producto (x + 2 + ix) (x – i) sea un nú-mero real.

(x + 2 + ix ) (x – i ) = x2 – xi + 2x – 2i + x2i – xi2 =

= x2 – xi + 2x – 2i + ix2 + x = (x2 + 3x) + (x2 – x – 2)i

Para que sea real, ha de ser:

x2 – x – 2 = 0 8 x = = x1 = –1x2 = 2

1 ± 32

1 ± √1 + 82

a = 11/5b = –108/5

°¢£

5a – 9 = 2–3a – 15 = b

2 + bi5 – 3i

2 + bi5 – 3i

–4 ± 86

–4 ± √16 + 486

4a + 3a2

2

4a + 3a2

24 + 3a

–2


6UNIDAD

a = = 8 b = –3

a = = –2 8 b = 1–126

23

46

Números complejos en forma polar

14 Representa estos números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Ex-présalos en forma polar.

a) 1 – i b)–1 + i c) + i d) – – i

e) – 4 f ) 2i g) – i h)2 + 2 i

a) 1 – i = 315°

Opuesto: –1 + i = 135°

Conjugado: 1 + i = 45°

b) –1 + i = 135°

Opuesto: 1 – i = 315°

Conjugado: –1 – i = 225°

c) + i = 230°

Opuesto: – – i = 2210°

Conjugado: – i = 2330°

d) – – i = 2210°

Opuesto: + i = 230°

Conjugado: – + i = 2150°

e) –4 = 4180°

Opuesto: 4 = 40°

Conjugado: –4 = 4180°

f) 2i = 290°

Opuesto: –2i = 2270°

Conjugado: –2i = 2270°

√3

√3

√3

√3

√3

√3

√2

√2

√2

√2

√2

√2

√334

√3√3


1 – i

–1 + i 1 + i

–1 – i

–1 + i

1 – i

√—3 + i

√—3 – i√

—3 – i–

√—3 + i

√—3 – i–

√—3 + i–

4–4

2i

–2i

g) – i = ( )270°

Opuesto: i = ( )90°

Conjugado: i = ( )90°

h) 2 + 2 i = 60°

Opuesto: –2 – 2 i = 240°

Conjugado: 2 – 2 i = 300°

15 Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:

a) 245º b)3(π/6) c) 180º d)170º

e) 1(π/2) f) 5270º g) 1150º h)4100º

a) 245° = 2 (cos 45° + i sen 45°) = 2 ( + i ) = + i

b) 3(π/6) = 3 (cos + i sen ) = 3 ( + i ) = + i

c) 180° = (cos 180° + i sen 180°) = (–1 + i · 0) = –

d) 170° = 17

e) 1(π/2) = cos + i sen = i

f ) 5270° = –5i

g) 1150° = cos 150° + i sen 150° = – + i = – + i

h) 4100° = 4 (cos 100° + i sen 100°) = 4 (–0,17 + i · 0,98) = –0,69 + 3,94i

12

√32

12

√32

π2

π2

√2√2√2√2

32

3√32

12

√32

π6

π6

√2√2√22

√22

√2

√14√3

√14√3

√14√3

34

34

34

34

34

34


6UNIDAD

3i/4

–3i/4

2 + 2 3i√—

–2 – 2 3i√—

2 – 2 3i√—

16 Dados los números complejos:

z1 = 2270°, z2 = 4120°; z3 = 3315°

calcula:

a) z1 · z2 b) z2 · z3 c) z1 · z3

d) e) f)

g) z12 h) z

23 i) z

34

a) z1 · z2 = 830º b) z2 · z3 = 1275º c) z1 · z3 = 6225º

d) = 1,545º e) = 2–150º = 2210º f) = 1,5105º

g) z12 = 4180º h) z2

3 = 640º i) z34 = 81180º

17 Expresa en forma polar y calcula:

a) (–1 – i)5 b) 4

c)

d) e) (–2 + 2i)6f ) (3 – 4i)3

a) (–1 – i )5 = ( 225°)5 = 4 1125° = 4 45° = 4 ( + i) = 4 + 4i

b) = = (300° + 360° n)/4 = 75° + 90° n ; n = 0, 1, 2, 3


75° 165° 255° 345°

c) = = (360° k)/4 = 2 90° k ; k = 0, 1, 2, 3


2 0° = 2 2 90° = 2 i 2 180° = –2 2 270° = –2 i

d) = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2


230° = + i 2150° = – + i 2270° = –2i

e) (–2 + 2i )6 = (4150°)6 = 4 096900° = 4 096180° = –4 096

f) (3 – 4i )3 = (5306° 52')3 = 125920° 36' = 125200° 36'

√3

√3√3

3√890°3√8i

√2√2√2√2√2√2√2√2

√24√264√640°

4√64

4√24√2

4√24√2

4√24√2

4√2300°

4√1 – √—3 i

√22

√22

√2√2√2√2

√33√8i

6√64√1 – √—3 i

z1 · z3

z2

z2

z1

z3

z1

z1 · z3

z2

z2

z1

z3

z1


18 Calcula y representa gráficamente el resultado:

a) 3

b)

a) ( )3 = ( )3 = (( )285°

)3 = ( )855°

= ( )135°

=

= (cos 135° + i sen 135°) =

= (– + i ) = + i

b)3

= 3

= 3

= =

= = ( )(71° 34' + 360° k)/3

= 6

23° 51' + 120° k; k = 0, 1, 2


6

23° 51'= 0,785 + 0,347i

6

143° 51'= –0,693 + 0,56i

6

263° 51'= –0,092 – 0,853i

19 Calcula y representa las soluciones:

a) b) c)

a)3√——4 – 4 i = = 2(300° + 360° k)/3 = 2100° + 120° k ; k = 0, 1, 2


2100° = –0,35 + 1,97i

2220° = –1,53 – 1,26i

2340° = 1,88 – 0,68i

2

2 2

3√8300°√3

3√8i4√–16

3√4 – 4√—3 i

√ 25

√ 25

√ 25

√ 25

6√103√5

3 √—10√(—)5 71° 34'

3 1 3√— + — i5 5√1 + 3i

5√ (1 + i ) (2 + i )(2 – i ) (2 + i )√ 1 + i

2 – i

14

–14

√22

√22

√24

√24

√24

√24

√22

√2315°

230°

1 – i

√3 + i

3 1 + i√ 2 – i)1 – i

√—3 + i

(


6UNIDAD

1

i

–1

–— + —i14

14

b) = = 2(180° + 360° k)/4 = 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3


245° = + i 2135° = – + i

2225° = – – i 2315° = – i

c) = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2


230° = + i 2150° = – + i 2270° = –2i

Página 163

20 Calcula pasando a forma polar:

a) (1 + i )5b) (–1 – i )6 ( – i) c)

d) e) f)

g) h)

a) (1 + i )5 = (260°)5 = 32300° = 32 (cos 300° + i sen 300°) =

= 32 ( – i ) = 16 – 16 i

b) (–1 – i )6 ( – i ) = (2240°)6 (2330°) = (641440°) (2330°) =

= (640°) (2330°) = 128330° = 128 (cos 330° + i sen 330°) =

= 128 ( + i ) = 64 – 64i

c) = = (120° + 360° k)/4 = 30° + 90° k =

= 30° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3


30° = + i 120° = – + i

210° = – – i 300° = – i√62

√22

√2√22

√62

√2

√62

√22

√2√22

√62

√2

√2

4√224√44√4120°

4√–2 + 2√—3 i

√3–12

√32

√3√3

√3√32

12

√3

2 – 2i√ –3 + 3i

3√–i

√–1 – i6√–648

(1 – i)5

4√–2 + 2√—3 i√3√3√3

2 2

2√3√3

3√890°3√8i

2 2

2 2√2√2√2√2

√2√2√2√2

4√16180°4√–16


d) = = = = ( )–135°

= ( )225°

=

= 225° = (cos 225° + i sen 225°) = (– – i) = –1 – i

e) = = (180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5


230° = + i 290° = 2i 2150° = – + i

2210° = – – i 2270° = –2 2330° = – i

f ) = = (225° + 360° k)/2 = 112° 30' + 180° k ; k = 0, 1


112° 30' = –0,46 + 1,1i 292° 30' = 0,46 – 1,1i

g) = = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2


190° = i 1210° = – – i 1330° = – i

h) = = ( )180°

= ( )(180° + 360° k)/2

=

= ( )90° + 180° k

; k = 0, 1


( )90°

= i ( )270°

= – i

21 Expresa en forma polar z, su opuesto –z, y su conjugado –z en cada uno deestos casos:

a) z = 1 – i b) z = –2 – 2i c) z = –2 + 2i

a) z = 1 – i = 2300°; –z = –1 + i = 2120°; –z = 1 + i = 260°

b) z = –2 – 2i = 2 225°; –z = 2 + 2i = 2 45°; –z = –2 + 2i = 2 135°

c) z = –2 + 2i = 4150°; –z = 2 – 2i = 4330°; –z = –2 – 2i = 4210°√3√3√3

√2√2√2

√3√3√3

√3√3

√ 23√ 2

3√ 23√ 2

3

√ 23

√ 23

23√ 2√

—2315°

3√—2135°

√ 2 – 2i–3 + 3i

12

√32

12

√32

3√1270°3√–i

4√24√2

4√24√2√√

—2225°√–1 – i

√3√3

√3√3

6√266√64180°6√–64

√22

√22

√2√2√2

2

√2

8

4√2

80°

4√—2135°

80°

4√—21575°

80°

(√—2315°)5

8(1 – i )5


6UNIDAD

22 Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las si-guientes raíces:

a) b) c)

a) = = 1(90° + 360° k)/5 = 118° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4


118° 190° 1162° 1234° 1306°

Representación del polígono (pentágono):

b) = = 1(180° + 360° k)/6 = 130° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5


130° 190° 1150° 1210° 1270° 1330°

Representación del polígono (hexágono):

c) = = (30° + 360° k)/4 = 7° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3


7° 30' 97° 30' 187° 30' 277° 30'

Representación del polígono (cuadrado):

√—2

√2√2√2√2

√24√224√430°

4√2√—3 + 2i

1

6√1180°6√–1

1

5√190°5√i

4√2√—3 + 2i

6√–15√i


Ecuaciones y sistemas en Ç23 Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binó-

mica:

a) z2 + 4 = 0 b)z2 + z + 4 = 0

c) z2 + 3z + 7 = 0 d)z2 – z + 1 = 0

a) z2 + 4 = 0 8 z2 = –4 8 z = ± = ±2i

z1 = –2i, z2 = 2i

b) z2 + z + 4 = 0 8 z = = =

z1 = – – i, z2 = – + i

c) z2 + 3z + 7 = 0 8 z = = =

z1 = – – i, z2 = – + i

d) z2 – z + 1 = 0 8 z = = =

z1 = – i, z2 = + i


a) z5 + 32 = 0 b) iz3 – 27 = 0

c) z3 + 8i = 0 d) iz4 + 4 = 0

a) z5 + 32 = 0 8 z5 = –32

z = = = 2(180° + 360° k)/5 = 236° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4


236° 2108° 2180° 2252° 2324°

b) iz3 – 27 = 0 8 z3 + 27i = 0 8 z3 = –27i

z = = = 3(270° + 360° k)/3 = 390° + 120° k ; k = 0, 1, 2


390° 3210° 3330°

c) z3 + 8i = 0 8 z = = = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2


290° = 2i 2210° = – – i 2330° = – i√3√3

3√8270°3√–8i

3√27270°3√–27i

5√32180°5√–32

√32

12

√32

12

1 ± √3 i2

1 ± √–32

1 ± √1 – 42

√192

32

√192

32

–3 ± √19 i2

–3 ± √–192

–3 ± √9 – 282

√152

12

√152

12

–1 ± √15 i2

–1 ± √–152

–1 ± √1 – 162

√–4


6UNIDAD

d) iz4 + 4 = 0 8 z4 – 4i = 0 8 z4 = 4i

z = = = (90° + 360° k)/4 = 22° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3


22° 30' = 1,3 + 0,5i 112° 30' = –0,5 + 1,3i

202° 30' = –1,3 – 0,5i 292° 30' = 0,5 – 1,3i

25 Resuelve las siguientes ecuaciones en Ç :

a) z2 + 4i = 0 b) z2 – 2z + 5 = 0

c) 2z2 + 10 = 0 d) z4 + 13z2 + 36 = 0

a) z2 + 4i = 0 8 z2 = –4i 8 z = = 8 z = 2(270° + 360° k )/2; k = 0,1

z1 = 2135°, z2 = 2315°

b) z2 – 2z + 5 = 0 8 z = = = = 1 ± 2i

z1 = 1 – 2i, z2 = 1 + 2i

c) 2z2 + 10 = 0 8 2z2 = –10 8 z2 = –5 8 z = ± i

z1 = – i, z2 = i

d) z4 + 13z2 + 36 = 0

z2 = t

t2 + 13t + 36 = 0

t = =

z2 = –4 8 z = ±2i

z2 = –9 8 z = ±3i

Las soluciones son: 2i = 290º; –2i = 2270º; 3i = 390º; –3i = 3270º

26 Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) z4 – 1 = 0 b) z4 + 16 = 0 c) z4 – 8z = 0

a) z4 – 1 = 0 8 z4 = 1 8 z = = = 1360° k/4 = 190° k ; k = 0, 1, 2, 3


10° = 1 190° = i 1180° = –1 1270° = –i

b) z4 + 16 = 0 8 z4 = –16 8 z = = = 2(180° + 360° k)/4 =

= 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

4√16180°4√–16

4√10°4√1

t = –4

t = –9

–13 ± 52

–13 ± √169 – 1442

√5√5

√5

2 ± 4i2

2 ± √–162

2 ± √4 – 202

√4270°√–4i

√2√2

√2√2

√2√24√490°

4√4i



245° = + i 2135° = – + i

2225° = – – i 2315° = – i

c) z4 – 8z = 0 8 z (z3 – 8) = 0

= = 2(360° k)/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2

Las soluciones de la ecuación son:

0 20° = 2 2120° = –1 + i 2240° = –1 – i

27 Halla los números complejos z y w que verifican cada uno de estos siste-mas de ecuaciones:

a) b)

a) Sumando miembro a miembro:

Solución : z = –2 + 3i; w = 1 – i

b) Multiplicamos por –2 la 2.a ecuación y sumamos:

(1 – 2i )z = –8 – 9i 8 z = = 2 – 5i

w = = = 3i

Solución : z = 2 – 5i; w = 3i

28 Calcula m para que el número complejo 3 – mi tenga el mismo módulo

que 2 + i.

|3 – mi| = = 5 8 9 + m2 = 25 8 m2 = 16

|2 + i| = 5 m = ±4

Hay dos posibilidades: m = –4 y m = 4

√5√5

√9 + m2√9 + m2

√5√5

PARA RESOLVER

6i2

2 + i – (2 – 5i)2

–8 – 9i1 – 2i

°¢£

z + 2w = 2 + i

–2iz – 2w = –10 – 10i

°¢£

z + 2w = 2 + i

iz + w = 5 + 5i

2z = –4 + 6i 8 z = –2 + 3i

w = (–1 + 2i) – (–2 + 3i) = 1 – i

°¢£

z + w = –1 + 2i

z – w = –3 + 4i

z + 2w = 2 + i

iz + w = 5 + 5i°¢£

z + w = –1 + 2i

z – w = –3 + 4i°¢£

√3√3

3√80°3√8

z = 0z =

3√—8

√2√2√2√2

√2√2√2√2


6UNIDAD

°§¢§£

29 Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus ar-gumentos π/3, y la suma de sus módulos 8.

☛Llámalos ra y sb y escribe las ecuaciones que los relacionan:

= 30º (0º es el argumento del cociente, a – b = 0º); r + s = 8 y a + b = .

= 3

r + s = 8

a + b =

a – b = 0°

Hallamos sus módulos:

= 3

r + s = 8

Hallamos sus argumentos:

a + b =

a – b = 0

Los números serán: 6π/6 y 2π/6

30 El producto de dos números complejos es 290° y el cubo del primero divi-dido por el otro es (1/2)0°. Hállalos.

Llamamos a los números: z = ra y w = sb

ra · sb = 290°

= ( )0°

r · 2r3 = 2 8 r4 = 1 8 r =

8 4a = 90° + 360° k 8

8 a = , k = 0, 1, 2, 3

b = 90° – a

90° + 360°k

4

°¢£

a + b = 90°

3a – b = 0°

1 8 s = 2 · 13 = 2

–1 (no vale)

°¢£

r · s = 2

s = 2r3

°§¢§£

r · s = 2

r3 1— = —s 2

1r3/s = —

2

3a – b = 90°

12

(ra)3

sb

r · s = 2

a + b = 90°

π3

rs

π3

rs

π3

rasb


°§¢§£

°§¢§£

r = 3s

3s + s = 8; 4s = 8; s = 2; r = 6

a = b; 2b = ; b = ; a = π6

π6

π3

Hay cuatro soluciones:

z1 = 122° 30' 8 w1 = 2z13 = 2 · 167° 30' = 267° 30'

z2 = 1112° 30' 8 w2 = 2337° 30'

z3 = 1202° 30' 8 w3 = 2607° 30' = 2247° 30'

z4 = 1292° 30' 8 w4 = 2877° 30' = 2157° 30'

31 El producto de dos números complejos es –8 y el primero es igual al cua-drado del segundo. Calcúlalos.

w3 = –8

w = = = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Hay tres soluciones:

w1 = 260° 8 z1 = 4120°

w2 = 2180° 8 z2 = 40° = 4

w3 = 2300° 8 z3 = 4600° = 4240°

32 De dos números complejos sabemos que:

• Tienen el mismo módulo, igual a 2.

• Sus argumentos suman 17π/6.

• El primero es opuesto del segundo.

¿Cuáles son esos números?

Llamamos a los números: z = ra y w = sb

Tenemos que:

r = s = 2

a + b = 8 2a = + π 8 a = π 8 b = π – π = π

Por tanto, los números son: 123π/12 y 211π /12; o bien 111π/12 y 223π /12

33 Calcula cos 75º y sen 75º mediante el producto 130º · 145º.

130° · 145° = 175° = cos 75° + i sen 75°

130° · 145° = (cos 30° + i sen 30°) (cos 45° + i sen 45°) = ( + i) ( + i) =

= + i + i – = + i

Por tanto:

cos 75° = sen 75° = √—6 + √

—2

4√

—6 – √

—2

4

√—6 + √

—2

4√

—6 – √

—2

4√24

√24

√64

√64

√22

√22

12

√32

1112

2312

2312

17π6

17π6

3√8180°3√–8

°¢£

z · w = –8z = w2


6UNIDAD

°§¢§£

34 Halla las razones trigonométricas de 15º conociendo las de 45º y las de 30ºmediante el cociente 145º : 130º.

145° : 130° = 115° = cos 15° + i sen 15°

= = = =

= = = + i

Por tanto:

cos 15° = sen 15° =

35 ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente ?

= = + i

Para que sea imaginario puro, ha de ser:

= 0 8 x2 – 4 = 0

36 Halla, en función de x, el módulo de z = .

Demuestra que |z| = 1 para cualquier valor de x.

|z| = | | = = 1

O bien:

z = = = = + i

|z| = = = =

= = = 1

37 Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir

esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

☛ Para que a + bi esté en la bisectriz del primer cuadrante, debe ser a = b.

= = = + i3x + 8

254x – 6

254x + 3xi + 8i – 6

16 + 9(x + 2i ) (4 + 3i )(4 – 3i ) (4 + 3i )

x + 2i4 – 3i

x + 2i4 – 3i

√1√ (1 + x2)2

(1 + x2)2

√ x4 + 2x2 + 1(1 + x2)2√ 1 + x4 – 2x2 + 4x2

(1 + x2)21 – x2 2x√(— )2 + (—)21 + x2 1 + x2

2x1 + x2

1 – x2

1 + x21 – x2 + 2xi

1 + x2(1 + xi ) + (1 + xi )(1 – xi ) (1 + xi )

1 + xi1 – xi

√1 + x2

√1 + x2

1 + xi1 – xi

1 + xi1 – xi

x = 2x = –2

x2 – 4x2 + 1

–5xx2 + 1

x2 – 4x2 + 1

(x – 4i) (x – i )(x + i ) (x – i )

x – 4ix + i

x – 4ix + i

√—6 – √

—2

4√

—6 + √

—2

4

√—6 + √

—2

4√

—6 + √

—2

4√

—6 – √

—2 i + √

—6 i + √

—2

3 + 1

(√—2 + i √

—2 ) (√—

3 – i )(√—

3 + i ) (√—3 – i )

√—2 + i √

—2

√—3 + i

√—2/2 + i (√

—2/2)

√—3/2 + i (1/2)

cos 45° + i sen 45°cos 30° + i sen 30°

145°

130°


Ha de ser:

= 8 4x – 6 = 3x + 8 ò x = 14

Página 164

38 Halla dos números complejos conjugados cuya suma es 8 y la suma de susmódulos es 10.

Como |z| = |–z| ò |z| = 5

Si llamamos:

z = a + bi 8 –z = a – bi

z + –z = a + bi + a – bi = 2a = 8 8 a = 4

|z|=|–z| = = = 5 8 16 + b2 = 25 8

8 b2 = 9 8 b = ± = ±3

Hay dos soluciones:

z1 = 4 + 3i 8 –z1 = 4 – 3i

z2 = 4 – 3i 8 –z2 = 4 + 3i

39 La suma de dos números complejos es 3 + i. La parte real del primero es 2,y el producto de ambos es un número real. Hállalos.

Llamamos z = a + bi y w = c + di

Tenemos que:

z · w = (2 + bi ) (1 + di ) = 2 + 2di + bi + bdi2 = (2 – bd) + (2d + b)i

Para que z · w sea un número real, ha de ser 2d + b = 0.

Por tanto, Los números son: z = 2 + 2i ; w = 1 – i

40 Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar y

calcula el lado del triángulo que se forma al unir esos tres puntos.

= = (225° + 360° k)/3 = 75° + 120° k


z1 = 75° z2 = 195° z3 = 315°√2√2√2

√2√23√√

—8225°

3√–2 – 2i

3√–2 – 2i

d = –1b = 2

°¢£

b + d = 1b + 2d = 0

a + c = 3b + d = 1

°¢£

z + w = 3 + ia = 2 8 c = 1

°¢£

√9

√16 + b2√a2 + b2

°¢£

z + –z = 8|z| + |–z| = 10

3x + 825

4x – 625


6UNIDAD

Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno:

l2 = ( )2 + ( )2 – 2 · · cos 120° = 2 + 2 – 4 (– ) = 4 + 2 = 6

l =

41 Los afijos de las raíces cúbicas de 8i son los vértices de un triángulo equiláte-ro. Compruébalo.

¿Determinan el mismo triángulo los afijos de , o ? Representa

gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido.

• = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2


z1 = 230° z2 = 2150° z3 = 2270°

Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 120°, el triánguloque determinan es equilátero.

• = = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2


z1 = 290° z2 = 2210° z3 = 2330°

• = = 2360° k/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2


z1 = 20° z2 = 2120° z3 = 2240°

• = = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2


z1 = 260° z2 = 2180° z3 = 2300°

3√8180°3√–8

3√80°3√8

3√8270°3√–8i

3√890°3√8i

3√–83√8

3√–8 i

√6

12

√2√2√2√2

√—2

120°

z1

l

z2

z3


• Representación:

42 ¿Pueden ser z1 = 2 + i, z2 = –2 + i, z3 = –1 – 2i y z4 = 1 – 2i, las raíces de unnúmero complejo? Justifica tu respuesta.

No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número complejo, formarían entre ca-da dos de ellas un ángulo de 90°; y ni siquiera forman el mismo ángulo, como ve-mos en la representación gráfica:

43 Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos he-xágonos:

• 1.er hexágono:

z1 = 20° = 2 z2 = 260° = 1 + i z3 = 2120° = –1 + i

z4 = 2180° = –2 z5 = 2240° = –1 – i z6 = 2300° = 1 – i

• 2.° hexágono:

z1 = 230° = + i z2 = 290° = 2i z3 = 2150° = – + i

z4 = 2210° = – – i z5 = 2270° = –2i z6 = 2330° = – i√3√3

√3√3

√3√3

√3√3

22

1

i

3√–83√8

3√–8i3√8i

z1z2

z3

z1

z2 z3

z1

z2

z3

z1

z2

z3


6UNIDAD

44 ¿Pueden ser las raíces de un número complejo, z , los números 228º, 2100º,2172º, 2244º y 2316º? En caso afirmativo, halla z.

☛ Comprueba si el ángulo que forman cada dos de ellas es el de un pentágono re-gular.

28° + 72° = 100° 100° + 72° = 172°

172° + 72° = 244° 244° + 72° = 316°

Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quin-ta cualquiera de ellas:

z = (228°)5 = 32140°

45 El número complejo 340º es vértice de un pentágono regular. Halla los otrosvértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices.

☛ Para obtener los otros vértices puedes multiplicar cada uno por 172º .

Los otros vértices serán:

3112° 3184° 3256° 3328°

El número será:

z = (340°)5 = 243

46 Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1 + i. Halla z y lasotras raíces cúbicas.

☛ Ten en cuenta que si = 1 + i 8 z = (1 + i)3.

1 + i = 45°

Las otras raíces cúbicas son:

45° + 120° = 165° 165° + 120° = 285°

Hallamos z :

z = (1 + i )3 = ( 45°)3 = 135° = (cos 135° + i sen 135°) =

= (– + i ) = –2 + 2i

47 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + i y 1 – i.

☛ Mira el ejercicio resuelto 1 de la página 151.

[x – (1 + i )] [x – (1 – i )] = x2 – (1 – i )x – (1 + i )x + (1 + i ) (1 – i ) =

= x2 – (1 – i + 1 + i )x + (1 – i2) =

= x2 – 2x + 2 = 0

√22

√22

√8

√8√8√2

√2√2√2√2

√2

3√z


48 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean:

a) 5i y –5i b) 2 – 3i y 2 + 3i

a) (x – 5i ) (x + 5i ) = 0

x2 – 25i2 = 0

x2 + 25 = 0

b) [x – (2 – 3i )] [x – (2 + 3i )] = [(x – 2) + 3i ] [(x – 2) – 3i ] =

= (x – 2)2 – (3i2) = x2 – 4x + 4 – 9i2 =

= x2 – 4x + 13 = 0

49 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

a) Multiplicamos por –i la primera ecuación:

w = = = = –1 + 2i

z = –1 + 2i – w = –1 + 2i + 1 –2i = 0

Solución : z = 0; w = –1 + 2i

b) Multiplicamos por i la primera ecuación:

z = = = = 2 – i

w = z – 5 + 3i = 2 – i – 5 + 3i = –3 + 2i

Solución : z = 2 – i; w = –3 + 2i

Interpretación gráfica de igualdades y desigualdades entre complejos

50 Representa.

a) Re z = 2 b) Im z = 1 c) Re z Ì 0

d)–1 Ì Im z Ì 3 e) –2 < Re z < 5 f) |z| Ì 3

g) Arg z = 45° h)0° Ì Arg z Ì 90°

16 – 8i8

(6 + 2i)(2 – 2i)4 – 4i2

6 + 2i2 + 2i

Sumamos miembro a miembro:

zi + (2 +i)z = 5i + 3 + 3 – 3i 8 (2 + 2i)z = 6 + 2i

°¢£

zi – wi = 5i + 3

(2 + i)z + wi = 3 – 3i

–5 + 10i5

(3 + 4i)(1 + 2i)12 – 2i2

3 + 4i1 – 2i

Sumamos miembro a miembro:

–iw + (1 – i)w = i + 2 + 1 + 3i 8 (1 – 2i)w = 3 + 4i

°¢£

–iz – iw = i + 2

iz + (1 – i)w = 1 + 3i

z – w = 5 – 3i

(2 + i )z + iw = 3 – 3i°¢£

z + w = –1 + 2i

iz + (1 – i)w = 1 + 3i°¢£


6UNIDAD

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

51 Representa los números complejos z tales que z + –z = –3.

☛ Escribe z en forma binómica, súmale su conjugado y representa la condiciónque obtienes.

Llamamos z = x + iy

Entonces: –z = x – iy

Así:

z + –z = x + iy + x – iy = 2x = –3 8 x = – 32

45°

–2 5

3

3

–1

3

0

2

1


Representación:

52 Representa los números complejos que verifican:

a) –z = –z b) |z + –z| = 3 c) |z – –z| = 4

a) z = x + iy 8 –z = x – iy

–z = –z 8 x – iy = –x – iy 8 2x = 0 8 x = 0 (es el eje imaginario)

Representación:

b) z + –z = x + iy + x – iy = 2x

|z + –z| = |2x| = 3

Representación:

c) z – –z = x + iy – z + iy = 2yi

|z – –z| = |2yi| = |2y| = 4

Representación:2

–2

2y = 4 8 y = 22y = –4 8 y = –2

1 2–1–2

x = —32x = – —3

2

2x = 3 8 x = 3/22x = –3 8 x = –3/2

1–1x = 0

1–1–2

x = – —32


6UNIDAD

53 Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya re-presentación gráfica es la siguiente:

☛ En a), b) y f) es una igualdad. En c) y d), una desigualdad. En e), dos desigual-dades.

a) Re z = –3 b) Im z = 2

c) –1 Ì Re z ≤ 1 d) 0 Ì Im z < 2

e) f) |z| = 3

Página 165

54 ¿Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es 0?

No, también son reales los números con argumento 180° (los negativos).

55 Si z = ra , ¿qué relación tienen con z los números ra + 180º y r360º – a ?

ra + 180° = –z (opuesto de z)

r360° – a = –z (conjugado de z)

56 Comprueba que:

a) –—–z + w = –z + –w b) –—–z · w = –z · –w c)—kz = k –z, con k éÁ

z = a + bi = ra 8 –z = a – bi = r360° – a

w = c + di = r'b 8 –w = c – di = r'360° – b

a) z + w = (a + c) + (b + d ) i 8 —z + w = (a + c) – (b + d ) i

–z + –w = a – bi + c – di = (a + c) – (b + d ) i = —z + w


–3 < Re z < 2–2 < Im z < 3

°¢£

–3 1

1

3

1

2a) b) c)

d) e) f)

–1 1

1

2

2–3

3

–2


b) x · w = (r · r')a + b 8 —z · w = (r · r')360° – (a + b)

–z · –w = (r · r')360° – a + 360° – b = (r · r')360° – (a + b) = —z · w

c) kz = ka + kbi 8 —kz = ka – kbi

k –z = ka – kbi = —kz

57 Demuestra que:

| | =

= = ( )–a

= ( )360° – a

8 | | = =

58 El producto de dos números complejos imaginarios, ¿puede ser real?

Acláralo con un ejemplo.

Sí. Por ejemplo:

z = i, w = i

z · w = i · i = i2 = –1 é Á

59 Representa el número complejo z = 4 – 3i. Multiplícalo por i y comprue-ba que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z un giro de90º.

iz = 4i – 3i2 = 3 + 4i

60 ¿Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto?

Se diferencian en 180°. Si el argumento del número es a, el de su opuesto es:

180° + a

90°

4 – 3i

3 + 4i

1

|z|

1r

1z

1r

1r

10°

ra

1z

1|z|

1z


6UNIDAD

61 ¿Qué condición debe cumplir un número complejo z = a + bi para que –z = ?

☛ Halla , e iguala a a – bi.

= = = = a – bi

= a = a2 + b2 8 a2 + b2 = 1 (módulo 1)

= –b Ha de tener módulo 1.

62 Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de

sus vértices en el punto ( , ). Halla los otros vértices y la longitud de su

lado.

El punto ( , ) corresponde al afijo del número complejo z = + i = 245°.

Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 172°:

z2 = 2117° = –0,91 + 1,78i z3 = 2189° = –1,97 – 0,31i

z4 = 2261° = –0,31 – 1,97i z5 = 2333° = 1,78 – 0,91i

Los otros tres vértices serán:

(–0,91; 1,78) (–1,97; –0,31) (–0,31; –1,97) (1,78; –0,91)

Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno:

l2 = 22 + 22 – 2 · 2 · cos 72°

l2 = 4 + 4 – 4 · 0,31

l2 = 8 – 1,24

l2 = 6,76

l = 2,6 unidades

2

2

l

72°

√2√2√2√2

√2√2

PARA PROFUNDIZAR

–ba2 + b2

aa

aa2 + b2

a – bia2 + b2

a – bi(a + bi ) (a – bi )

1a + bi

1z

1z

1z


°§§¢§§£

63 Si el producto de dos números complejos es –8 y dividiendo el cubo de unode ellos entre el otro obtenemos de resultado 2, ¿cuánto valen el módulo yel argumento de cada uno?

ra · r'b = (r · r')a + b = 8180° 8

= = ( )3a – b

= 20° 8

Así:

a + 3a = 180° 8 4a = 180° 8

Por tanto: z = 245°, w = 4135°

64 Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráfi-camente el resultado que obtengas:

a) 3π/3 b) 2i c) –1 + i

¿Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número com-plejo y de su inverso?

a) = = ( )–π/3

= ( )5π/3

b) = = i = ( )270°

2i

–1/2i

12

–12

–i2

12i

π/3

3π/3

(1/3–π/3) –π/3

13

13

10°

3π/3

13π/3

a = 45°b = 135°

°¢£

°¢£

a + b = 180°3a = b

r = 2r' = 4

°¢£

°¢£

r · r' = 8r3 = 2r'

r3

r'

r 33a

r'b

(ra)3

r'b

r · r' = 8a + b = 180°

°¢£

°§§¢§§£

z = raw = r'b–8 = 8180°2 = 20°


6UNIDAD

°§§¢§§£

= 2

3a – b = 0°

r3

r'

°§§¢§§£

r' =

r' = r3

2

8r

= 8 16 = r4 8r3

28r

c) –1 + i = 135°

= = ( )–135°

= ( )225°

= – – i

Si z = ra, entonces = ( )360° – a

65 Representa gráficamente las igualdades siguientes. ¿Qué figura se determi-na en cada caso?

a) |z – (1 + i)| = 5 b) |z – (5 + 2i)| = 3

a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.

b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.

66 Escribe la condición que verifican todos los números complejos cuyos afi-jos estén en la circunferencia de centro (1, 1) y radio 3.

|z – (1 + i )| = 3

2

5

(5, 2)

3

1 (1, 1)

1

5

1r

1z

–1 + i

1–1 + i———

12

12

1

√2

1

√2

10°

√2135°

1–1 + i

√2


AUTOEVALUACIÓN

1. Efectúa.

= = =

= = =

= = – + i

2. Calcula z y expresa los resultados en forma binómica.

=

z = 4

Pasamos numerador y denominador a forma polar:

– + i

i 8 90°

z = 4

= ( 60°)4 = 4240° 8 z = 4 (cos 240° + i sen 240°)

z = 4 – – i = –2 – 2 i

3. Halla a y b para que se verifique la igualdad:

5(a – 2i) = (3 + i)(b – i)

5a – 10i = 3b – i2 – 3i + bi 8 5a – 10i = 3b + 1 + (–3 + b)i

Igualando las componentes 8 b = –7, a = –4°¢£

5a = 3b + 1

–10 = –3 + b°¢£

√3)√32

12(

√2)2150°

√290°(

√2√2

r = √(–√—3)2 + 12 = 21

tg a = –— 8 a = 150°√

—3

√3

)–√—3 + i

√—2 i(

–√—3 + i

√—2 i

4√z

3710

1910

–19 + 37i10

–6 + 13i2 – 2i + 39i9 – i2

(2 – 13i )(–3 – i )(–3 + i )(–3 – i )

5 – 12i – 3 – i–3 + i

9 + 4i2 – 12i – (2 – i + 2i – i2)–3 + i

(3 – 2i )2 – (1 + i )(2 – i )–3 + i

(3 – 2i)2 – (1 + i)(2 – i)–3 + i


6UNIDAD

–√—3

1

4. Resuelve la ecuación: z2 – 10z + 29 = 0

z = =

Soluciones: z1 = 5 + 2i, z2 = 5 – 2i

5. Calcula el valor que debe tomar x para que el módulo de sea igual a 2.

= = = = + i

Módulo = = 2 8 = 2 8 = 4 8

8 x2 + 4 = 8 8 x2 = 4 Hay dos soluciones: x1 = 2, x2 = –2

6. Halla el lado del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas de4 – 4i.

z =

Expresamos 4 – 4i en forma polar:

4 – 4i = 8330°

z = =

En el triángulo AOB conocemos dos lados, = = 2, y el ángulo comprendi-do, 120°. Aplicando el teorema del coseno, obtenemos el lado del triángulo, :

2 = 22 + 22 – 2 · 2 · 2 · cos 120° = 12 8 = = 2 u√3√12ABAB

ABOBOA

A = z1

C = z2

O

B = z3

z1 = 2110°

z2 = 2230°

z3 = 2350°

330° + 360°k3

3√83√8330°

√3

°§¢§£

r = √(4√—3)2 + (–4)2 = 81

tg a = –— 8 a = 330°√

—3

√3

3√4√—3 – 4i

√3

x1 = 2

x2 = –2

x2 + 42

x2 + 4√ 2

x – 2 x + 2√(—)2 + (—)22 2

x + 22

x – 22

x – 2 + (x + 2)i1 + 1

x + 2i2 + xi + 2i1 – i2

(x + 2i)(1 + i)(1 – i)(1 + i)

x + 2i1 – i

x + 2i1 – i

z1 = 5 + 2i

z2 = 5 – 2i

10 ± 4i2

10 ± √–162


7. Representa gráficamente.

a) 1 Ì Im z Ì 5 b)|z| = 3 c) z + z– = –4

a)

b)

c) a + bi + a – bi = –4 8 2a = –4 8 a = –2

8. Halla dos números complejos tales que su cociente sea 2150° y su producto1890°.

= 2150° 8 = 2; a – b = 150°

ra · sb = 1890° 8 r · s = 18; a + b = 90°

Resolvemos los sistemas:

Obtenemos:

Los números son 6120° y 3330°. Otra posible solución es: 6300° y 3150°.

a = 120°

b = –30° = 330°

°¢£

r = 6

s = 3°¢£

a – b = 150°

a + b = 90°

°¢£

r/s = 2

r · s = 18°¢£

rs

rasb

1–2

3

3

5

1


6UNIDAD

9. Demuestra que |z · z–| = |z|2.

z · z– = (a + bi )(a – bi ) = a2 – b2i2 = a2 + b2

|z| = 8|z · z–| = |z|2

10. Calcula cos 120° y sen 120° a partir del producto 190° · 130°.

190° · 130° = 1(cos 90° + i sen 90°) · 1(cos 30° + i sen 30°) =

= i · + i = – + i

190° · 130° = 1120° = 1(cos 120° + i sen 120°) = – + i 8

8 cos 120° = – ; sen 120° =

11. Halla el número complejo z que se obtiene al transformar el complejo 2 + 3i mediante un giro de 30º con centro en el origen.

Multipicamos por 130° = 1(cos 30° + i sen 30°).

z = (2 + 3i ) · 130° = (2 + 3i ) + i

z = + i2 + i + i

z = + i2 + 3√3

22√3 – 3

2

3√32

32

√3

)12

√32(

√32

12

√32

12

√32

12)1

2√32(

°¢£

|z · z–| = √(a2 + b2)2 = a2 + b2

|z|2 = (√a2 + b2)2 = a2 + b2√a2 + b2

°¢£

z = a + bi

z– = a – bi


2 + 3i

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 1

Página 187


Punto medio de un segmento

Toma los puntos P(2, 5), Q(10, 3) y represéntalos en el plano:

■ Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordena-das. ¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q?

M (6, 4)

■ Haz lo mismo con los segmentos de extremos:

a) P' (5, 1), Q' (9, 7)

b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5)

a) M' (7, 4)

b) M'' (5, 3)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener lascoordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.

Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisumade las coordenadas de sus extremos.

P (2, 5)

Q (10, 3)

Q'

Q"

P"P'

M" M'

M

P (2, 5)

Q (10, 3)

GEOMETRÍA ANALÍTICA.PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS8

Ecuaciones de la recta

■ Comprueba que las ecuaciones:

corresponden también a una recta, hallando varios de sus puntos. (Dale a tlos valores –2, –1, 0, 1, 2, 3, y representa los puntos correspondientes; com-probarás que todos están sobre la misma recta).

Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo:

— Despeja t en la primera ecuación.

— Sustituye su valor en la segunda.

— Reordena los términos de la ecuación resultante.

Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.

8 = 4 – y 8 x – 2 = 12 – 3y 8 y = 8

8 y = x +143

–13

–x + 143

x – 23

°§¢§£

x – 2t = —

3

t = 4 – y

(–4, 6)

(–1, 5)

(2, 4)

(5, 3)

(8, 2)(11, 1)

Y

Xr

t –2

(x, y ) (–4, 6)

–1

(–1, 5)

0

(2, 4)

1

(5, 3)

2

(8, 2)

3

(11, 1)

x = 2 + 3t

y = 4 – t°¢£

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos2

Distancias en el plano

■ Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s.

d (P, r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5; d (Q, s ) = 5

■ Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del teorema de Pitágoras).

d (P, Q ) = = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo decatetos 3 y 4.

■ Halla, también, la distancia entre:

a) P' (0, 5), Q' (12, 0)

b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para hallar la dis-tancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas.

a) d (P', Q' ) = = = 13

b) d (P", Q" ) = = = 5

d (A, B ) = , donde A (a1, a2) y B (b1, b2).

d (A, B ) = | |8AB

√(b1 – a1)2 + (b2 – a2)

2

√25√42 + 32

√169√52 + 122

√32 + 42

Q'

Q''P'

P''

Q(5, 7)

s

rP(2, 3)

P (2, 3)

Q (5, 7)

s

r


8UNIDAD

1. Halla las coordenadas de y , siendo M (7, –5) y N (–2, –11).

= (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)

= (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)

2. Averigua si están alineados los puntos P (7, 11), Q (4, –3) y R (10, 25).

8 = 8 A, B y C están alineados.

3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas

A (1, 7) B (–3, 4) C (k, 5)

estén alineados.

8 = 8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k =

Página 190

4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1):

a) Halla el punto medio de PQ.

b) Halla el simétrico de P respecto de Q.

c) Halla el simétrico de Q respecto de P.

d) Obtén un punto A de PQ tal que / = 2/3.

e) Obtén un punto B de PQ tal que / = 1/5.

a) M ( , ) = ( , 4)

8 P' (13, –11)

c) Llamamos Q' (x', y') al simétrico de Q respecto de P.

Q' (–2, 19)

°§§¢§§£

x' + 8—––––– = 3 8 x' = –2

2y' + (–1)

—–––––––– = 9 8 y' = 192

Así:

°§§¢§§£

3 + x—––––– = 8 8 x = 13

29 + y

—––––– = –1 8 y = –112

b)

112

9 + ( –1)2

3 + 82

8PQ

8PB

8AQ

8PA

–53

–31

–4k + 3

°¢£

8AB = (–4, –3)8BC = (k + 3, 1)

–1428

–36

°¢£

8PQ = (–3, –14)8QR = (6, 28)

8NM

8MN

8NM

8MN


P' (x, y)

Q (8, 1)

P (3, 9)

Q

P

Q'

d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:

= 8 (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y)

A (5, 5)

e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos.

= 8 (x – 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2)

B (4, 7)

Página 193

1. Halla las ecuaciones paramétricas, continua, implícita y explícita de la rectaque pasa por A y B, siendo:

a) A(–1, –1), B (3, 3) b)A(0, 4), B (6, 0)

c) A(3, 5), B (–1, 5) d)A(3, 5), B (3, 2)

a) A (–1, –1); B (3, 3) 8 = (4, 4)

Paramétricas: Continua: =

Implícita: x – y = 0 Explícita: y = x

b) A (0, 4); B (6, 0) 8 = (6, –4)


Implícita: –4x – 6y + 24 = 0 Explícita: y = x + 4

c) A (3, 5); B (–1, 5) 8 = (–4, 0)


Implícita: y – 5 = 0 Explícita: y = 5

d) A (3, 5); B (3, 2) 8 = (0, –3)


Implícita: x – 3 = 0 Explícita: No existe, pues se trata de unarecta vertical de ecuación x = 3.

y – 5–3

x – 30

x = 3

y = 5 – 3l°¢£

8AB

y – 50

x – 3–4

x = 3 – 4ly = 5

°¢£

8AB

–46

y – 4–4

x6

x = 6ly = 4 – 4l

°¢£

8AB

y – 34

x – 34

x = 3 + 4ly = 3 + 4l

°¢£

8AB

°¢£

x – 3 = 1 8 x = 4

y – 9 = –2 8 y = 7

15

8PQ1

5

8PB

°§§¢§§£

2x – 3 = —(8 – x) 8 x = 5

32

y – 9 = —(–1 – y) 8 y = 53

23

8AQ2

3

8PA


8UNIDAD

2. Obtén las ecuaciones implícita, paramétricas y continua de la recta y = 2x + 3.

y = 2x + 3

• Buscamos dos puntos de la recta y su vector dirección:

8 = (1, 2)

• Implícita: 2x – y + 3 = 0

• Paramétricas:

• Continua: =

3. a) Encuentra dos puntos, P y Q, pertenecientes a la recta r : 2x – 3y + 6 = 0.

b)Comprueba que es perpendicular a (2, –3).

c) Escribe las ecuaciones paramétricas de r.

d)Escribe su ecuación explícita y comprueba que el vector (1, m) es paraleloa (m es la pendiente de r).

a) r : 2x – 3y + 6 = 0

— Si x = 0 8 2 · 0 – 3y + 6 = 0 8 y = 2 8 P (0, 2)

— Si x = –3 8 2 · (–3) – 3y + 6 = 0 8 y = 0 8 Q (–3, 0)

b) = (–3, –2)

2 (2, –3) ï · (2, –3) = 0

(–3, –2) · (2, –3) = (–3) · 2 + (–2) · (–3) = –6 + 6 = 0

c) r :

d) Despejamos y en la ecuación de r :

2x – 3y + 6 = 0 8 2x + 6 = 3y 8 x + 2 = y

Explícita: y = x + 2

m = 8 (1, m ) = 1,

El vector 1, es paralelo a si sus coordenadas son proporcionales:

(–3, –2) = l 1, 8 l = –3

Los vectores son proporcionales y, por tanto, paralelos.

)23(

8PQ)2

3()2

3(23

23

23

x = –3ly = 2 – 2l

°¢£

8PQ

8PQ

8PQ

8PQ

8PQ

y – 32

x – 01

x = ly = 3 + 2l

°¢£

8AB

°¢£

Si x = 0 8 y = 2 · 0 + 3 = 3 8 A (0, 3)

Si x = 1 8 y = 2 · 1 + 3 = 5 8 B (1, 5)


1. Halla la recta del haz de centro P(–3, 5) que pasa por (8, 4).

Hemos de hallar la recta que pasa por P (–3, 5) y Q (8, 4).

= (11, –1)

r : =

2. Los haces de rectas cuyos centros son P(4, 0) y Q(–6, 4) tienen una recta encomún. ¿Cuál es?

Es la recta que pasa por P (4, 0) y Q (–6, 4).

= (–10, 4)

r : =

3. Las rectas r : 3x – 5y – 7 = 0 y s: x + y + 4 = 0 forman parte de un mismo haz.¿Cuál de las rectas de ese haz tiene pendiente 4?

• El centro del haz es el punto de corte de r y s. Lo hallamos:

3(–y – 4) – 5y – 7 = 0 8 –8y – 19 = 0 8 y = –

x = –y – 4 = – 4 = –

El centro del haz es el punto P – , – .

• Ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente igual a 4:

y = + 4 x + 8 32x – 8y + 7 = 0

Página 197

1. Escribe las ecuaciones paramétricas de dos rectas que pasen por P(4, –3) ysean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.

r :

r: 8 Vector dirección de r : r = (–5, 2)8v

x = 2 – 5t

y = 4 + 2t

°¢£

x = 2 – 5t

y = 4 + 2t°¢£

)138(19

8

)198

138(

138

198

198

8 x = –y – 4

°¢£

3x – 5y – 7 = 0

x + y + 4 = 0

y – 04

x – 4–10

8PQ

y – 5–1

x + 311

8PQ


8UNIDAD

• Recta paralela a r que pasa por P.

P (4, –3) s = r = (–5, 2)

s :

• Recta perpendicular a r que pasa por P.

P (4, –3) l = (2, 5)

l :

2. La pendiente de r es 3/5. Halla:

a) Las coordenadas de un vector paralelo a la recta r.

b)La pendiente de una recta perpendicular a la recta r.

c) Las coordenadas de un vector perpendicular a la recta r.

a) mr = 8 = (5, 3) es paralelo a r.

b) – = mr 8 m = –

c) m = – 8 = (–3, 5) es perpendicular a r.

3. s: . Halla:

a) Ecuación continua de una recta, r1, perpendicular a s que pase por P1(5, –3).

b)Ecuación implícita de r2 paralela a s que pase por P2(0, 4).

c) Ecuación explícita de r3 perpendicular a s que pase por P3(–3, 0).

s : 8 P (5, 0) é s ; s = (–1, 3)

a) El vector dirección de r1 es r1= (3, 1). P1(5, –3) é r1.

r1: =

b) El vector dirección de r2 es el mismo que el de s : r2= (–1, 3).

P2(0, 4) é r2.

r2: = 8 3x = –y + 4 8 3x + y – 4 = 0y – 4

3x – 0–1

8v

y + 31

x – 53

8v

8v

x = 5 – t

y = 3t

°¢£

x = 5 – t

y = 3t°¢£

8w

53

53

1m

8v

35

x = 4 + 2t

y = –3 + 5t

°¢£

8v

x = 4 – 5t

y = –3 + 2t

°¢£

8v

8v


c) El vector dirección de r3 es el mismo que el de r1: r3= (3, 1).

P3(–3, 0) é r3.

r3: = 8 y = x + 1

4. Determina las ecuaciones implícitas de dos rectas que pasen por P(–3, 4) ysean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.

r : 5x – 2y + 3 = 0

r : 5x – 2y + 3 = 0 8 5x + 3 = 2y 8 y = x +

La pendiente de r es mr = .

• Recta s paralela a r que pasa por P (–3, 4).

ms = mr =

s : y – 4 = (x + 3) 8 s : 5x – 2y + 23 = 0

• Recta l perpendicular a r que pasa por P (–3, 4).

ml = – = –

l : y – 4 = – (x + 3) 8 l : 2x + 5y – 14 = 0

Página 199

1. Averigua la posición relativa de estos pares de rectas:

a) r : 3x + 5y – 8 = 0 b)r : 2x + y – 6 = 0

s: 6x + 10y + 4 = 0 s: x – y = 0

c) r : , s:

d) r : 3x – 5y = 0, s:

a) r : 3x + 5y – 8 = 0 8 r = (3, 5)

s : 6x + 10y + 4 = 0 8 s = (6, 10)

= ? 8 Las dos rectas son paralelas.–84

510

36

8n

8n

x = 2 + 5ty = 1 + 3t

°¢£

x = 2 + ty = 1 – 2t

°¢£

x = 7 + 5ty = –2 – 3t

°¢£

25

25

lmr

52

52

52

32

52

13

y – 01

x + 33

8v


8UNIDAD

b) r : 2x + y – 6 = 0 8 r = (2, 1)

s : x – y = 0 8 s = (1, –1)

? 8 Las dos rectas se cortan.

c) r : 8 r = (5, –3)

s : 8 s = (1, –2)


d) r : 3x – 5y = 0 8 r = (3, –5) 8 r = (5, 3)

s : 8 s = (5, 3), Ps = (2, 1)

Como r = s y Ps è r, las rectas son paralelas.

Página 200

1. Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:

a) r1: , r2:

b) r1: , r2: 3x – 5y + 4 = 0

c) r1: y = 5x – 1, r2: y = 4x + 3

a) r1= (–2, 1); r2

= (–4, 3)

cos a = = ≈ 0,9838699101 8 a = 10° 18' 17,45''

b) r1= (–2, 1); r2

= (5, 3)

cos a = = ≈ 0,5368754922 8 a = 57° 31' 43,71''

c) mr1= 5; mr2

= 4

tg a = = ≈ 0,0476190 8 a = 2° 43' 34,72''121|4 – 5

1 + 5 · 4|

7

(√—5 ) · (√

—34)

|(–2, 1) · (5, 3)||(–2, 1)||(5, 3)|

8v

8v

11

(√—5 ) · (5)

|(–2, 1) · (–4, 3)||(–2, 1)||(–4, 3)|

8v

8v

x = 3 – 2ty = 7 + t

°¢£

x = 1 – 4ty = 4 + 3t

°¢£

x = 3 – 2ty = 7 + t

°¢£

8v

8v

8v

x = 2 + 5t

y = 1 + 3t

°¢£

8v

8n

–3–2

51

8v

x = 2 + t

y = 1 – 2t

°¢£

8v

x = 7 + 5t

y = –2 – 3t

°¢£

1–1

21

8n

8n


1. P(–6, –3), Q(9, 5)

r : 3x – 4y + 9 = 0, s: 5x + 15 = 0

Halla la distancia entre los dos puntos. Halla también las distancias de cadauno de los puntos a cada recta.

P (–6, –3), Q (9, 5)

r : 3x – 4y + 9 = 0

s : 5x + 15 = 0

dist (P, Q ) = | | = |(15, 8)| = = = 17

dist (P, r ) = =

dist (P, s ) = = = 3

dist (Q, r ) = =

dist (Q, s ) = = = 12

2. a) Halla el área del triángulo de vértices A(–3, 8), B(–3, 2), C(5, 2) con la fór-mula de Herón.

b)Hállala, también, mediante la fórmula habitual S = b · hb/2, siendo b el la-do . ¿Hay otra forma más sencilla?

a) A (–3, 8), B (–3, 2), C (5, 2)

Fórmula de Herón: S =

p = = 12

S = = = = 24 u2

b) S =

• b = | | = 10 (del apartado anterior)

• Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A (–3, 8) y C (5, 2):

Pendiente: m = = – 8 y = 2 – (x – 5) 8 r : 3x + 4y – 23 = 034

34

–68

8AC

b · hb

2

√576√12 · 4 · 2 · 6√12(12 – 8) (12 – 10) (12 – 6)

8 + 10 + 62

°§¢§£

a = |8BC| = |(8, 0)| = 8

b = |8AC| = |(8, –6)| = √ 82 + (–6)2 = 10

c = |8AB| = |(0, –6)| = 6

√p (p – a)(p – b )(p – c )

AC

605

|5 · 9 + 15|5

165

|3 · 9 – 4 · 5 + 9|5

155

|5(–6) + 15|

√52 + 02

35

|3 · (–6) – 4(–3) + 9|

√32 + (–4)2

√289√152 + 828PQ


8UNIDAD

• hb = dist [B, r ] = =

S = = 24 u2

Habría sido más sencillo si hubiéramos dibujado el triángulo.

Observa:

Es claro que = 6 y = 8.

Como el triángulo es rectángulo:

S = = = 24 u2

A

B C

–3 5

8

2

6 · 82

—AB ·

—BC

2

BCAB

10 · (24/5)2

245

|3 · (–3) + 4(2) – 23|

√32 + 42



Coordenadas de puntos

1 Determina en los siguientes casos si los puntos A, B y C están alineados

a) A(5, –2), B(3, –2), C(–5, –2)

b)A(–1, –2), B(2, 7), C(1, 2)

c) A(0, 3), B(2, 2), C(4, 1)

a) = (3, –2) – (5, –2) = (–2, 0)

= (–5, –2) – (3, –2) = (–8, 0)

Las coordenadas de y son proporcionales, por tanto, A, B y C es-tán alineados.

b) = (2, 7) – (–1, –2) = (3, 9)

= (1, 2) – (2, 7) = (–1, –5)

Las coordenadas de y no son proporcionales, por tanto, A, B y Cno están alineados.

c) = (2, 2) – (0, 3) = (2, –1)

= (4, 1) – (2, 2) = (2, –1)

Las coordenadas de y coinciden, por tanto, los puntos están alineados.

2 Determina k para que los puntos A(–3, 5), B(2, 1) y C(6, k) estén aline-ados.

Debe ocurrir que y sean proporcionales.

8 = 8 5k – 5 = –16 8 k =

3 El punto P(5, –2) es el punto medio del segmento AB, del que conocemosel extremo A(2, 3). Halla B.

☛ Si B = (x, y), , = (5, –2).

8 ( , ) = (5, –2) 8

8 8 B = (8, –7)°¢£

x + 2 = 10 8 x = 8y + 3 = –4 8 y = –7

°¢£

y + 32

x + 22

°¢£

Si B = (x, y)Como P es punto medio de AB

)y + 32

x + 22(

–115

–4k – 1

54

°¢£

8AB = (5, –4)8BC = (4, k – 1)

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

PARA PRACTICAR


8UNIDAD

4 Halla el punto simétrico de P (1, –2) respecto del punto H(3, 0).

☛ H es el punto medio entre P y su simétrico.

Si P' (x, y) es simétrico de P (1, –2) respecto de H (3, 0) 8

8 H es el punto medio de PP' 8

8 ( , ) = (3, 0) 8 8 P' (5, 2)

5 Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3, 4)y B (0, –2) en dos partes tales que = 2 .

Sea P (x, y).

Sustituimos en la condición que nos imponen:

= 2 8 (x – 0, y – (–2)) = 2 (3 – x, 4 – y) 8

8 8 8 8

8 8 P (2, 2)

6 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo queA(1, 2), B(5, –1) y C(6, 3).

Sea D (x, y).

Debe cumplirse: =

(5 – 1, –1 – 2) = (6 – x, 3 – y) 8

8 8 8 D (2, 6)

Ecuaciones de rectas

7 Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por Ay tiene una dirección paralela al vector .

a) A(–3, 7), (4, –1) b)A(–1, 0), (0, 2)

Obtén 5 puntos en cada caso.

a) Ecuación vectorial: (x, y) = (–3, 7) + k (4, –1)

Ecuaciones paramétricas:

Dando valores al parámetro k, obtenemos puntos: (1, 6); (5, 5); (9, 4); (13, 3);(17, 2).

x = –3 + 4k

y = 7 – k

°¢£

8d

8d

8d

A (1, 2)

B (5, –1)

C (6, 3)

D (x, y)

x = 2y = 6

°¢£

4 = 6 – x–3 = 3 – y

°¢£

8DC

8AB

x = 2y = 2

°¢£

3x = 63y = 6

°¢£

x = 6 – 2xy + 2 = 8 – 2y

°¢£

x = 2 (3 – x)y + 2 = 2 (4 – y)

°¢£

8PA

8BP

8PA

8BP

°¢£

x + 1 = 6 8 x = 5y – 2 = 0 8 y = 2

°¢£

y – 22

x + 12


b) Ecuación vectorial: (x, y) = (–1, 0) + k (0, 2)


Puntos: (–1, 2); (–1, 4); (–1, 6); (–1, 8); (–1, 10).

8 Escribe la ecuación de la recta que pasa por P y Q de todas las formas po-sibles.

a) P(6, –2) y Q(0, 5)

b) P(3, 2) y Q(3, 6)

c) P (0, 0) y Q(8, 0)

Halla, en todos los casos, un vector de dirección unitario.

a) = (–6, 7)

Ec. vectorial: (x, y) = (6, –2) + t (–6, 7)

Ec. paramétricas:

Ec. continua: =

Ec. implícita: 7x + 6y – 30 = 0

Ec. explícita: y = – x + 5

b) = (0, 4)

Ec. vectorial: (x, y) = (3, 2) + t (0, 4)

Ec. paramétricas:

Ec. continua: =

Ec. implícita: x – 3 = 0

c) = (8, 0)

Ec. vectorial: (x, y) = (0, 0) + t (8, 0)

Ec. paramétricas:

Ec. continua: =

Ec. implícita y explícita: y = 0

y – 00

x – 08

x = 8t

y = 0

°¢£

8PQ

y – 24

x – 30

x = 3

y = 2 + 4t

°¢£

8PQ

76

y + 27

x – 6–6

x = 6 – 6t

y = –2 + 7t

°¢£

8PQ

x = –1 + 0 · k

y = 2k

°¢£


8UNIDAD

9 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:

a) 2x – y = 0 b) x – 7 = 0

c) 3y – 6 = 0 d) y = – x

e) = f) = 1 – y

a) Si x = t 8 2t – y = 0 8 y = 2t 8 r :

b)

c)

d) y = – x

Obtenemos un punto y un vector de esta ecuación, P (0, 0), (–3, 1), y a par-tir de ellos, las ecuaciones paramétricas:

e) =

Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, : P (1, –1); (3, 2).

Las ecuaciones paramétricas son:

f) = 1 – y 8 =

Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, : P (–1, 1); (2, –1).


10 Halla la ecuación continua de cada una de las siguientes rectas:

a) r1: b)r2:

c) r3: 3x + y – 1 = 0 d)r4: y + 1 = (x – 2)

a) 8 = y–3

x + 12

°§§¢§§£

x + 1t = —

2y

t = —–3

°¢£

x = 2t – 1y = –3t

12

x = 2y = 3t

°¢£

x = 2t – 1y = –3t

°¢£

x = –1 + 2ty = 1 – t

°¢£

8v

8v

y – 1–1

x + 12

1 + x2

x = 1 + 3ty = –1 + 2t

°¢£

8v

8v

y + 12

x – 13

x = –3ty = t

°¢£

8v

13

x = ty = 6/3 = 2

°¢£

x = 7y = t

°¢£

x = ty = 2t

°¢£

1 + x2

y + 12

x – 13

13


b) 8 =

c) 3x + y – 1 = 0 8 3x = –y – 1 8 x = 8 =

d) y + 1 = (x – 2) 8 =

11 Determina la ecuación implícita de cada una de las siguientes rectas:

a) r1: = y – 1 b)r2:

c) r3: d)r4: y = x +

Obtén, en cada caso, un vector normal a la recta.

a) = y – 1 8 x + 1 = –2y + 2 8 x + 2y – 1 = 0

Vector normal: 8n(1, 2)

b) 8 = 8 5x – 5 = –y – 2 8 5x + y – 3 = 0


c) 8 y – 2 = 0


d) y = x + 8 10y = –15x + 4 8 15x + 10y – 4 = 0


12 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas.

☛ Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son losvectores de la base.

Eje X : 8 Eje X : 8 y = 0

Eje Y : 8 Eje Y : 8 x = 0x = 0y = t

°¢£

O (0, 0) é eje Y8dY = (0, 1)

°¢£

x = ty = 0

°¢£

O (0, 0) é eje X8dX = (1, 0)

°¢£

25

–32

°¢£

x = 3t – 1y = 2

y + 25

x – 1–1

°¢£

x = –t + 1y = 5t – 2

x + 1–2

25

–32

x = 3t – 1y = 2

°¢£

x = –t + 1y = 5t – 2

°¢£

x + 1–2

y + 11

x – 22

12

y + 1–3

x1

–y – 13

y3

x – 20

°§¢§£

x – 2 = 0

yt = —

3

°¢£

x = 2y = 3t


8UNIDAD

13 Obtén, para cada una de las siguientes rectas, un vector de dirección, un vec-tor normal y su pendiente:

a) r1: b)r2: =

c) r3: x + 3 = 0 d)r4: y = x +

a) Vector dirección: = (2, 5) b) Vector dirección: = (2, 4)

Vector normal: = (–5, 2) Vector normal: = (–4, 2)

Pendiente: m = Pendiente: m = = 2

c) Vector dirección: = (0, 1) d) Vector dirección: = (3, 1)

Vector normal: = (1, 0) Vector normal: = (–1, 3)

Pendiente: No tiene, es una Pendiente: m = recta vertical.

14 Comprueba si el punto P(13, –18) pertenece a alguna de las siguientes rec-tas:

r1: 2x – y + 5 = 0 r2:

r3: 3y + 54 = 0 r4:

r1: 2x – y + 5 = 0 8 2 · 13 + 18 + 5 ? 0 P è r1

r2: 8 P è r2

r3: 3y + 54 = 0 8 3(–18) + 54 = 0 P é r3

r4: 8 P é r4

15 Halla, en cada caso, el valor de k para que la recta x + ky – 7 = 0 contengaal punto dado:

a) (5, –2)

b) (7, 3)

c) (–3, 4)

a) (5, –2) 8 5 + k (–2) – 7 = 0 8 –2k = 2 8 k = –1

b) (7, 3) 8 7 + k · 3 – 7 = 0 8 3k = 0 8 k = 0

c) (–3, 4) 8 –3 + 4k – 7 = 0 8 4k = 10 8 k = 52

13 = 13–18 = 10 – t 8 t = 28

x = 13y = 10 – t

°¢£

13 = 12 + t 8 t = 1–18 = –5 + 13t 8 t = –1

x = 12 + ty = –5 + 13t

°¢£

x = 13y = 10 – t

°¢£

x = 12 + ty = –5 + 13t

°¢£

13

8n

8n

8v

8v

42

52

8n

8n

8v

8v

23

13

1 – y4

x + 32

x = 2t – 1y = 5t

°¢£


16 Dada la recta r : , escribe las ecuaciones (en forma explícita)

de las siguientes rectas:

a) Paralela a r que pasa por A(–1, –3).

b)Perpendicular a r que pasa por B(–2, 5).

r : 8 8vr = (–5, 1)

a)8vs = (–5, 1), A (–1, –3) 8 s : y = – (x + 1) – 3 8 s : y = – x –

b)8vs = (1, 5), B (–2, 5) 8 s : y = 5(x + 2) + 5 8 s : y = 5x + 15

17 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, –3)y es:

a) Paralela a la recta 2x – 3y + 5 = 0. En forma paramétrica.

b)Perpendicular a la recta x + y – 3 = 0. En forma continua.

c) Paralela a la recta 2y – 3 = 0.

d)Perpendicular a la recta x + 5 = 0.

a)8vr = (3, 2), P (1, –3) 8 r :

b)8vr = (1, 1), P (1, –3) 8 r : =

c)8vr = (2, 0), P (1, –3) 8 r : 8 r : y = –3

d)8vr = (1, 0), P (1, –3) 8 r : 8 r : y = –3

18 Halla la ecuación de la paralela a 2x – 3y = 0 cuya ordenada en el origen es–2.

☛ La recta pasa por el punto (0, –2).

r : 2x – 3y = 0

8 8 y = x – 2 8 2x – 3y – 6 = 0

ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA

23

ms = mr = 2/3

P (0, –2) é s°¢£

°¢£

s // r 8 la pendiente de s ha de ser igual a la de r

P (0, –2) é s

x = 1 + t

y = –3

°¢£

x = 1 + 2t

y = –3

°¢£

y + 31

x – 11

x = 3 + t

y = 2 – 3t

°¢£

165

15

15

x = 1 – 5ty = 2 + t

°¢£

x = 1 – 5ty = 2 + t

°¢£


8UNIDAD

19 Dada la recta 4x + 3y – 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendiculara ella en el punto de corte con el eje de ordenadas.

☛ El eje de ordenadas es el vertical: x = 0.

• Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de or-denadas.

r : 8 4 – 0 + 3y – 6 = 0 8 3y = 6 8 y = 2

Luego P (0, 2) ér y también debe ser P (0, 2) és, donde s 2 r.

• Como s 2 r 8 sus pendientes deben cumplir:

ms · mr = –1 8 ms = = =

• Como P (0, 2) és y ms = 8 y = x + 2 8 3x – 4y + 8 = 0

20 Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:

a) Su vector de posición es (–3, 1) y su vector de dirección es perpendi-cular a (0, –2).

b)Pasa por A(5, –2) y es paralela a:

c) Pasa por A(1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0.

d)Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P(0, 4) yQ(–6, 0).

a) La ecuación vectorial será:

8OX =

8a + t

8v 8 (x, y) = (–3, 1) + t (2, 0) 8

b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al

de la recta (pues debe ser paralela a ella).

Luego: (–1, 2)

Como debe pasar por A(5, –2) 8

c) La pendiente de la recta r : 2x – 3y + 6 = 0 es:

mr = 8 ms = (pues mr · ms = –1 por ser r 2 s)

Un vector dirección puede ser 8s = (2, –3).

Además, A (1, 3) é s.

Por tanto, s : x = 1 + 2ty = 3 – 3t

°¢£

–32

23

x = 5 – ty = –2 + 2t

°¢£

8d

x = 1 – ty = 2t

°¢£

x = –3 + 2ty = 1

°¢£

x = 1 – ty = 2t

°¢£

8v

8a

34

34

34

–1–4/3

–1mr

4x + 3y – 6 = 0Eje Y : x = 0

°¢£


d) El punto medio de PQ es m ( , ) = (–3, 2)

= (–6, –4)

8

Luego, s :

21 De una cierta recta r conocemos su pendiente m = . Halla la recta s encada caso:

a) s es paralela a la recta r y pasa por el origen de coordenadas.

b)s es perpendicular a la recta r y contiene al punto (1, 2).

a) Al ser paralela, tiene la misma pendiente. Además, pasa por (0, 0):

s : y = x

b) Al ser perpendicular, su pendiente es – = :

y = (x – 1) + 2 8 y = x +

Haz de rectas

22 Consideramos el haz de rectas de centro (3, –2).

a) Escribe la ecuación de este haz de rectas.

b)Halla la ecuación de la recta de este haz que pasa por el punto (–1, 5).

c) ¿Cuál de las rectas del haz es paralela a 2x + y = 0?

d)Halla la recta del haz cuya distancia al origen es igual a 3.

a) a (x – 3) + b (y + 2) = 0; o bien y = –2 + m (x – 3)

b) Si pasa por (–1, 5), entonces, sustituyendo en y = –2 + m (x – 3), obtenemos:

5 = –2 + m (–1 – 3) 8 7 = –4m 8 m = – ; es decir:

y = –2 – (x – 3) 8 4y = –8 – 7x + 21 8 7x + 4y – 13 = 0

c) Si es paralela a 2x + y = 0 tendrá pendiente –2.

Por tanto, será:

y = –2 – 2(x – 3) 8 y = –2 – 2x + 6 8 2x + y – 4 = 0

74

74

72

–32

–32

–32

1m

23

23

x = –3 + 4ty = 2 – 6t

°¢£

m (–3, 2) é s8d (4, –6) es un vector dirección de s, pues

8d 2

8PQ

°¢£

8PQ

42

–62


8UNIDAD

d) Una recta del haz tiene por ecuación:

y = –2 + m (x – 3) 8 y = –2 + mx – 3m 8 mx – y – 3m – 2 = 0

Su distancia al origen ha de ser igual a 3:

= 3; es decir:

|–3m – 2| = 3 . Elevamos al cuadrado y operamos:

9m2 + 12m + 4 = 9(m2 + 1)

9m2 + 12m + 4 = 9m2 + 9

12m = 5 8 m =

Por tanto, será:

x – y – – 2 = 0 8 5x – 12y – 39 = 0

23 Determina el centro del haz de rectas de ecuación:

3kx + 2y – 3k + 4 = 0

Llamamos (x0, y0) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan dela forma:

a (x – x0) + b (y – y0) = 0

3kx + 2y – 3k + 4 = 0 8 3k (x – x0) + 2(y – y0) = 0

3kx – 3kx0 + 2y – 2y0 = 0

3kx + 2y – 3kx0 – 2y0 = 0

Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto:

–3kx0 = –3k 8 x0 = 1

–2y0 = 4 8 y0 = –2

El centro del haz es el punto (1, –2).

24 Las rectas r : y = 3 y s: y = 2x – 1 forman parte del mismo haz de rectas.

Halla la ecuación de la recta de dicho haz de pendiente –2.

Si r : y = 3 y s : y = 2x – 1 están en el mismo haz de rectas, el centro de dichohaz es el punto de corte de estas rectas: P (2, 3).

Buscamos la recta que pasa por P (2, 3) y tiene pendiente m = –2:

y = –2(x – 2) + 3 8 y = –2x + 7

1512

512

512

√m2 + 1

|–3m – 2|

√m2 + 1


Posición relativa de dos rectas

25 Halla el punto de corte de las rectas r y s en cada caso:

a) r : 2x – y + 5 = 0; s: x + y + 4 = 0

b)r : x – 2y – 4 = 0; s :

c) r : ; s :

a) Resolviendo el sistema: P (–3, –1)

b) s : 8 x – 1 = 8 –3x + 3 = y – 2 8 3x + y – 5 = 0

Resolviendo el sistema: P (2, –1)

c) Por las ecuaciones de r : x = 2(*)

s : 8 x = 3 + 2y 2 = 3 + 2y 8 y = –

Por tanto, P 2, – .

26 Calcula el valor de los parámetros k y t para que las siguientes rectas secorten en el punto A(1, 2):

r : kx – ty – 4 = 0

s: 2tx + ky – 2 = 0

27 Determina el valor de k para que las rectas r y s sean paralelas.

r : =

s: =

Para que sean paralelas, sus vectores dirección han de ser proporcionales; es decir:

= 8 k = 4–2k

3–6

y – 1k

x + 5–6

y–2

x – 23

Resolviendo el sistema:

k = 2; t = –1°¢£

k – 2t – 4 = 0

2k + 2t – 2 = 0

°¢£

A é r 8 k · 1 – t · 2 – 4 = 0

A é s 8 2t · 1 + k · 2 – 2 = 0

)12(

12

(*)Ä8x = 3 + 2ty = t

°¢£

°¢£

r : x – 2y – 4 = 0

s : 3x + y – 5 = 0

y – 2–3

x = 1 + ty = 2 – 3t

°¢£

°¢£

r : 2x – y + 5 = 0

s : x + y + 4 = 0

x = 3 + 2ty = t

°¢£

x = 2y = 1 + 3t

°¢£

x = 1 + ty = 2 – 3t

°¢£


8UNIDAD

28 Halla el valor de k para que las siguientes rectas sean coincidentes:

r : 2x + 3y + 5 = 0 s:

Expresamos ambas rectas en forma implícita:

r : 2x + 3y + 5 = 0

s : 4x + 6y – 12 – 4k = 0

Para que r = s, estas ecuaciones tienen que ser proporcionales, y por tanto:

–12 – 4k = 10 8 k = =

Página 208

29 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

a) r : 5x + y + 7 = 0 b)r : 3x + 5y + 10 = 0

s: s: –3x + 5y + 10 = 0

c) r : s :

a) Buscamos un vector dirección de cada recta:

r : 5x + y + 7 = 0 8 r = (5, 1) 8 r = (–1, 5)

s : 8 s = (2, –10)

Como los vectores dirección son proporcionales ( s = –2 r), las rectas o sonparalelas o son coincidentes.

Como P (1, –3) é s y P è r, las rectas son paralelas.

b) Buscamos un vector dirección de cada recta:

r : 3x + 5y + 10 = 0 8 r = (3, 5) 8 r = (–5, 3)

s : –3x + 5y + 10 = 0 8 s = (–3, 5) 8 s = (5, 3)

Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes.

c) Buscamos un vector dirección de cada recta:

r : 8 r = (3, 1)

s : 8 s = (1, 2)


8vx = t

y = 2t°¢£

8vx = 3t – 1

y = t + 3°¢£

8v

8n

8v

8n

8v

8v

8vx = 2t + 1

y = –10t – 3°¢£

8v

8n

x = ty = 2t

°¢£

x = 3t – 1y = t + 3

°¢£

x = 2t + 1y = –10t – 3

°¢£

–112

22–4

x = –6t + ky = 4t + 2

°¢£


Ángulos

30 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:

a) b)

c) d)

a) 8 sus pendientes son:

tg a = | | = | | = | | = 1 8 a = 45°

b)8 a ~ r1 r2 = , 8

8 cos a = = = 0 8 a = 90°

c) Los vectores dirección de esas rectas son:8d1 = (–1, 2) y

8d2 = (–3, 1)

Entonces:

cos a = = = = = 8 a = 45°

d)8 a ~ r1 r2 =

8a1,

8a2 8 cos a = =

= = = = ≈ 0,4472 8 a = 63° 26' 5,82"

31 ¿Qué ángulo forma la recta 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas?

☛ No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es latangente del ángulo que forma r con el eje deabscisas. Halla el ángulo con la pendiente de r.


La pendiente de r es, además, tg a:

mr = tg a 8 tg a = 8 a = 56° 18' 35,8"32

32

√55

1

√5

2

√5 · 2

|0 – 2|

√—5 · √

—4

|8a1 ·

8a2|

|8a1| |

8a2|

°§¢§£

8a1 = (2, –1) 2 r18a2 = (0, 2) 2 r2

√22

1

√2

5

5√2

|3 + 2|

√—5 · √

—10

|8

d1 ·8

d2 |

|8

d1| |8

d2 |

|30 – 30|

|8v||

8w|

|8v ·

8w|

|8v||

8w|

8w

8v

°§¢§£

8v = (3, –5) 2 r18w = (10, 6) 2 r2

5–5

2 – (–3)1 + 2 (–3)

mr – ms

1 + mr ms

mr = 2ms = –3

°¢£

°¢£

r : y = 2x + 5s : y = –3x + 1

2x – y = 02y + 3 = 0

°¢£

°¢£

x = –1 – 3ty = 4 + t

°¢£

x = 3 – ty = 2t

3x – 5y + 7 = 010x + 6y – 3 = 0

°¢£

y = 2x + 5y = –3x + 1

°¢£


8UNIDAD

ì ì

ì ì

Y

r

aX

32 ¿Qué ángulo forma la recta 2x – y + 5 = 0 con el eje de ordenadas?

☛ El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje deabscisas.

El ángulo pedido, a, es complementario de b 8 tg b =

Por otro lado, tg b = mr = 2:

tg a = = 8 a = 26° 33' 54,2"

33 Calcula n de modo que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60° conel OX.

tg 60° =

mr = –Como tg 60° = mr , se tiene que:

= – 8 n = = = –

34 Calcula m y n en las rectas de ecuaciones:

r : mx – 2y + 5 = 0

s : nx + 6y – 8 = 0

sabiendo que r pasa por el punto P (1, 4) y que r y s forman un ángulode 45°.

☛ Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expre-sa tg 45° en función de las pendientes de r y s para obtener n.

☛ O bien mira el problema resuelto número 3.

P é r 8 m · 1 – 2 · 4 + 5 = 0 8 m = 3

r : 3x – 2y + 5 = 0 8 y = x + 8 mr =

s : nx + 6y – 8 = 0 8 y = – x + 8 ms = –n6

86

n6

32

52

32

Y

r

60°

X√3–3√3

3–3

√3

3n

√3

3n

√3

Y r

b

a

X

12

1tg b

1tg a


°§¢§£

tg 45° = = = = 1

Hay dos posibilidades:

• = 1 8 –2n – 18 = 12 – 3n 8 n = 30

• = –1 8 –2n – 18 = –12 + 3n 8 n = –

Distancias y áreas

35 Halla la distancia entre los puntos P y Q en cada caso:

a) P(1, 3), Q(5, 7) b) P(–2, 4), Q(3, –1) c) P(–4, –5), Q(0, 7)

a) | | = = = 4

b) | | = = = 5

c) | | = = = = 4

36 Calcula k de modo que la distancia entre los puntos A(5, k) y B(3, –2) seaigual a 2.

A (5, k ), B (3, –2), = (–2, –2 – k )

dist (A, B ) = | | = = 2 8 4 + 4 + 4k + k2 = 4 8

8 k2 + 4k + 4 = 0 8 k = –2

37 Halla el valor que debe tener a para que la distancia entre A(a, 2) y B(–3, 5)sea igual a .

| | = 8 = 8 (–3 – a)2 + 9 = 13 8

8 (–3 – a)2 = 4

38 Halla la longitud del segmento que determina la recta x – 2y + 5 = 0 alcortar a los ejes de coordenadas.

Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes decoordenadas.

Calculamos primero dichos puntos:

• 8 –2y + 5 = 0 8 y = 8

8 A (0, ) es el punto de corte con el eje Y.52

52

x – 2y + 5 = 0x = 0

°¢£

–3 – a = 2 8 a = –5

–3 – a = –2 8 a = –1

√13√(–3 – a)2 + (5 – 2)2√138AB

√13

√(–2)2 + (–2 – k )28AB

8AB

√10√160√16 + 144√(0 + 4)2 + (7 + 5)28PQ

√2√25 + 25√(3 + 2)2 + (–1 – 4)28PQ

√2√16 + 16√(5 – 1)2 + (7 – 3)28PQ

65

–2n – 1812 – 3n

–2n – 1812 – 3n

|–2n – 1812 – 3n||–(n/6) – (3/2)

1 – (n/6)(3/2)||ms – mr

1 + msmr|


8UNIDAD

• 8 x + 5 = 0 8 x = 5 8

8 B (5, 0) es el punto de corte con el eje X.

• Luego—AB = dist (A, B ) = = = =

39 Halla la distancia del punto P(2, –3) a las siguientes rectas:

a) b) y = c) 2x + 5 = 0

a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta:

8 = –y 8 x + 2y = 0

Entonces:

dist (P, r ) = = = =

b) y = 8 y – = 0

Por tanto:

dist (P, r ) = = =

c) dist (P, r ) = =

40 Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas:

a) 3x – 4y + 12 = 0 b) 2y – 9 = 0

c) x = 3 d) 3x – 2y = 0

a) dist (0, r ) = =

b) dist (0, r ) = =

c) dist (0, r ) = = = 3

d) dist (0, r ) = = = 0

(es decir, la recta 3x – 2y = 0 pasa por el origen).

0

√13

|3 · 0 – 2 · 0|

√32 + 22

31

|0 – 3|

√12 + 02

92

|2 · 0 – 9|

√02 + 22

125

|3 · 0 – 4 · 0 + 12|

√32 + (–4)2

92

|2 · 2 + 5|

√22 + 0

214

|–3 – 9/4|

√1

|1(–3) – 9/4|

√02 + 12

94

94

4√55

4

√5

|2 – 6|

√5

|1 · 2 + 2 (–3)|

√12 + 22

x2

t = x/2t = –y

°¢£

94

x = 2ty = –t

°¢£

√552√125

425√25 + —4

5√(5 – 0)2 + (0 – —)22

x – 2y + 5 = 0y = 0

°¢£


41 Determina c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2)sea de unidades. (Hay dos soluciones).

dist (P, r ) = = = =

Hay dos soluciones:

Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:

42 Halla la distancia entre las rectas r : x – 2y + 8 = 0 y r' : –2x + 4y – 7 = 0.

☛ Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distan-cia a r '.

Sus pendientes son mr = = mr' 8 Son paralelas.

Entonces, la distancia entre r y r ' será:

dist (P, r ' ) donde P ér

Sea x = 0.

Sustituyendo en r 8 y = = 4 8 P (0, 4) ér

Así:

dist (r, r ' ) = dist (P, r ' ) = = = =

43 En el triángulo cuyos vértices son O(0, 0), A(4, 2) y B(6, –2), calcula:

a) La longitud del lado OB—

.

b) La distancia de A al lado OB.

c) El área del triángulo.

a) | | = = 2

b) Ecuación de OB:

m = = – ; y = – x 8 x + 3y = 0

Distancia de A a OB:

d = = (es la altura del triángulo).

c) Área = · 2 · = 10 u210

√10√10

12

10

√10

|4 + 3 · 2|

√12 + 32

13

13

–26

√10√62 + (–2)28OB

9√510

9

2√5

|16 – 7|

√20

|–2 · 0 + 4 · 4 – 7|

√(–2)2 + 42

–8–2

12

x – 3y + 10 = 0

x – 3y – 10 = 0

P

√10|c|

√10

|6 – 6 + c|

√10

|1 · 6 – 3 · 2 + c|

√1 + 9

√10


8UNIDAD

= 8 c1 = 10

= – 8 c2 = –10√10|c|

√10

√10|c|

√10

°§§§¢§§§£

A(4, 2)

B(6, –2)

O

44 Comprueba que el triángulo de vértices A(–3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rec-tángulo y halla su área.

Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras:

52 + 52 = ( )2 8 Por tanto, el triánguloes rectángulo.

Área = · | | · | | = · 25 = 12,5 u2

45 Halla el área del triángulo cuyos vértices son P(–1, 2), Q(4, 7), R(7, 0).

| | = = = 2 (Base del triángulo)

Ecuación de PR :

m = = – 8 y = 0 – (x – 7) 8

8 4y = –x + 7 8 x + 4y – 7 = 0

Altura: d (Q, PR ) = =

Área = · 2 · = 25 u2

Página 209

46 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p.

Y

aX

180° – b

s

t

r

p30°

30°

b

Y

X

p

s

30°

r

t

PARA RESOLVER

25

√17√17

12

25

√17

|4 + 4 · 7 – 7|

√12 + 42

14

14

0 – 27 + 1

√17√68√(7 + 1)2 + (0 – 2)28PR

12

8BC

8AB

12

√50

°§¢§£

|8AB| = √(0 + 3)2 + (5 – 1)2 = 5

|8AC| = √(4 + 3)2 + (2 – 1)2 = √

—50

|8BC| = √42 + (2 – 5)2 = 5


Q(4, 7)

R(7, 0)

P(–1, 2)

O

• p : Pasa por los puntos (–3, –3) y (1, 4).

Así, su pendiente es:

m = =

Por tanto:

p : y = 1 + (x – 4) 8 7x – 4y + 9 = 0

• r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto (0, ).Por tanto:

r : y = –

• s : Su vector dirección es (0, 1) y pasa por (2, 0).

Por tanto:

s :

• t : Pasa por los puntos (1, 0) y (–3, 2).


m = = = –

Por tanto:

t : y = – (x – 1) 8 x + 2y – 1 = 0

47 Dada la recta:

r :

halla un valor para k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segun-do cuadrante.

• La bisectriz del segundo cuadrante es x = –y 8 (en paramétricas).

Su vector dirección es = (–1, 1).

• El vector dirección de r es = (3, k ).

• Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vecto-res dirección deben ser proporcionales:

= 8 k = –31k

–13

8r

8d

x = – ty = t

°¢£

x = –1 + 3ty = 2 + kt

°¢£

12

12

2–4

2 – 0–3 – 1

x = 2y = t

°¢£

32

–32

74

74

4 – (–3)1 – (–3)


8UNIDAD

48 En el triángulo de vértices A(–2, 3), B(5, 1), C(3, –4), halla las ecuaciones de:

a) La altura que parte de B.

b)La mediana que parte de B.

c) La mediatriz del lado CA.

a) La altura que parte de B, hB, es una recta perpendicular a AC que pasa porel punto B:

8

8 hB: 8 8 = 8 hB: 5x – 7y – 18 = 0

b) mB (mediana que parte de B ) pasa por B y por el punto medio, m, de AC :

m ( , ) = ( , – ) é mB 8

B (5, 1) é mB

88mB (5 – , 1 + ) = ( , ) es vector dirección de mB .

Luego:

mB : 8 8 8

8 = 8 mB : 6x – 18y – 12 = 0

c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado,m'. Así:

= (–5, 7) 2 z 8 vector dirección de z : (7, 5)8

m' ( , ) = ( , – ) é z

8 z : 8 8 = 8

8 z : 20x – 28y – 24 = 0 8 z : 5x – 7y – 6 = 0

2y + 110

2x – 114

2x – 1t = —

142y + 1

t = —10

°§§¢§§£

1x = — + 7t

21

y = – — + 5t2

°§§¢§§£

12

12

–4 + 32

3 – 22

8z

8CA

2y – 23

2x – 109

2x – 10t = —

92y – 2

t = —3

°§§¢§§£

2x = 10 + 9t

2y · 2t = —

3

°§¢§£

9x = 5 + —t

23

y = 1 + —t2

°§§¢§§£

32

92

12

12

12

12

3 – 42

–2 + 32

y – 15

x – 57

x – 5t = —

7y – 1

t = —5

°§§¢§§£

x = 5 + 7ty = 1 + 5t

°¢£

°¢£

hB 2 AC (5, –7) 8 el vector dirección de hB es 8hB (7, 5)

B (5, 1) é hB


°§¢§£

°§¢§£

49 La recta 2x + 3y – 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, elsegmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB.

☛ Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa yopuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación.

• A = r » eje Y : 8 3y – 6 = 0 8 y = 2 8 A (0, 2)

• B = r » eje X : 8 2x – 6 = 0 8 x = 3 8 B (3, 0)

• = (3, –2) 2 mAB (mediatriz de AB ) 88mAB = (2, 3)

MAB ( , ) = ( , 1) (punto medio de AB ) é mediatriz 8

8 y – 1 = (x – ) 8 y = x – 8 mAB : 6x – 4y – 5 = 0

50 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A(–2, 1), B(5, 4), entres partes iguales.

☛ Si P y Q son esos puntos, = .

Escribe las coordenadas de y de , y obtén P. Q es el punto medio de .

• = 8 (x + 2, y – 1) = (7, 3) 8

8 8 P ( , 2)

• Q es el punto medio de PB 8 Q ( , ) 8 Q ( , 3)83

2 + 42

1/3 + 52

13

7 7 1x + 2 = — 8 x = — – 2 = —

3 3 33

y – 1 = — 8 y = 1 + 2 = 23

°§§¢§§£

13

8AB1

3

8AP

A

P

Q

B

PB8AB

8AP

8AB

13

8AP

54

32

32

32

32

22

32

8AB

2x + 3y – 6 = 0y = 0

°¢£

2x + 3y – 6 = 0x = 0

°¢£

Y

A

BX


8UNIDAD

°§¢§£

51 ¿Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que 3 – 2 = 0,siendo Q(3, 2) y R(–1, 5)?

3 = 2 8 3 (3 – x, 2 – y ) = 2 (–4, 3) 8

8 8 8 P ( , 0)52 Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un para-

lelogramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices:

A(3, 8) B(5, 2) C(1, 0) D(–1, 6)

P ( , ) = (4, 5)

Q (3, 1); R (0, 3); S (1, 7)

=

=

53 Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1, –2) a la recta:

r : x – 2y + 4 = 0

☛ Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r.

Sea s la recta perpendicular a r desde P y = (2, 1) vector director de r.

Así, ' 2 ò el vector dirección de s, , también es perpendicular a ( 2 ),luego podemos tomar (1, –2). Como P (1, –2) é s :

s : 8 x – 1 = 8 –2x + 2 = y + 2 8

8 s : 2x + y = 0

y + 2–2

x = 1 + t 8 t = x – 1

y + 2y = –2 – 2t 8 t = —

–2

°§¢§£

8s

8r

8s

8r

8s

8r

8PP

8r

P (1, –2)

P' (x, y)

r : x – 2y + 4 = 0

s

A

B

P

QS

RC

D

8RQ

8SP

°¢£

8SP = (4 – 1, 5 – 7) = (3, –2)8RQ = (3 – 0, 1 – 3) = (3, –2)

8SR

8PQ

°¢£

8PQ = (3 – 4, 1 – 5) = (–1, –4)8SR = (0 – 1, 3 – 7) = (–1, –4)

8 + 22

5 + 32

173

17x = —

3

y = 0

°§¢§£

9 – 3x = –86 – 3y = 6

°¢£

8QR

8PQ

8QR

8PQ


El punto P' (x, y) es tal que:

P' = s » r

Sustituyendo en la segunda ecuación:

x – 2 (–2x) + 4 = 0 8 x + 4x + 4 = 0 8

8 x = 8 y = –2 ( ) =

Luego: P' ( , )54 Halla el área del cuadrilátero de vértices:

A(–4, 3) B(0, 5) C(4, –2) D(–3, –2)

☛ Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base.

• La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cu-ya medida es:

| | = |(8, –5)| =

• Sean hB y hD las alturas desde B y D, respectivamente, a la base:

hB = dist (B, r ) y hD = dist (D, r )

donde r es la recta que contiene el segmento .

Tomando como vector dirección de r el vector , la ecuación de dicha rec-ta es:

–20 + 24 + k = 0 ò k = –4 ò r : 5x + 8y – 4 = 0

Luego:

hB = dist (B, r ) = =

hD = dist (D, r ) = = 35

√89

|5 (–3) + 8 (–2) – 4|

√89

36

√89

|5 · 0 + 8 · 5 – 4|

√89

°¢£

5x + 8y + k = 0Como (–4, 3) é r

8AC

8AC

√898AC

B (0, 5)

A (–4, 3)

D (–3, –2) C (4, –2)

85

–45

85

–45

–45

s : 2x + y = 0 8 y = –2xr : x – 2y + 4 = 0

°¢£


8UNIDAD

• Así:

AABCD = AABC + AADC = + = (hB + hD) =

= ( + ) =

55 Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:

r : x = 3 s : 2x + 3y – 6 = 0 t : x – y – 7 = 0

• A = r » s 8 6 + 3y – 6 = 0 8 y = 0

Luego: A (3, 0)

• B = r » t 8 3 – y – 7 = 0 8 y = –4

Luego: B (3, –4)

• C = s » t 8

8 2 (y + 7) + 3y – 6 = 0 8 2y + 14 + 3y – 6 = 0 8 5y + 8 = 0 8

8 y = 8 x = + 7 =

Luego: C ( , )• Consideramos el segmento AB como base:

| | = |(0, –4)| = = 4

• La altura desde C es hC = dist (C, r ) = =

• Así:

Área = = = 465

4 · 23/52

|8AB| · hC

2

235

|(–8/5) – 3|

√12 + 02

√168AB

–85

275

275

–85

–85

2x + 3y – 6 = 0x – y – 7 = 0 8 x = y + 7

°¢£

x = 3x – y – 7 = 0

°¢£

x = 32x + 3y – 6 = 0

°¢£

A

B

s

t

r

C

712

35

√89

36

√89

√892

b2

b · hD

2

b · hB

2


56 En el triángulo de vértices A(–1, –1), B(2, 4) y C(4, 1), halla las longitudesde la mediana y de la altura que parten de B.

• Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC.

M ( , 0) 8 = ( – 2, 0 – 4) = (– , –4)La longitud de la mediana es: | | = =

• Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B.

= (5, 2) 8 la recta que contiene ese segmento es:

r : 8 = 8 2x – 5y – 3 = 0

= (–2, 5) 2 8 la recta s 2 r que pasa por B:

s : 8 = 8 5x + 2y – 18 = 0

P = r » s 8

Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 5, y sumamos:

4x – 10y – 6 = 0

25x + 10y – 90 = 0

29x – 96 = 0 8 x = 8 2 · – 5y – 3 = 0 8

8 5y = – 3 = 8 y = : 5 =

Luego: P ( , )Así: hB = | | = |( , – )| = = ≈ 3,528

57 Halla el punto de la recta 3x – 4y + 8 = 0 que equidista de A (–6, 0) y B(0, –6).

r

P

A (–6, 0)

B (0, –6)

√10 46929√ 10 469

2929529

3829

8BP

2129

9629

2129

10529

10529

19229

9629

9629

r : 2x – 5y – 3 = 0s : 5x + 2y – 18 = 0

°¢£

y – 45

x – 2–2

x = 2 – 2ty = 4 + 5t

°¢£

8AC

8v

y + 12

x + 15

x = –1 + 5ty = –1 + 2t

°¢£

8AC

√652

√1/4 + 168BM

12

32

8BM3

2


8UNIDAD

P (x, y ) debe verificar dos condiciones:

1. P (x, y ) é r ò 3x – 4y + 8 = 0

2. dist (A, P ) = dist (B, P ) ò =

8 8

8 3x – 4x + 8 = 0 8 x = 8 = y 8 P (8, 8)

58 Determina un punto en la recta y = 2x que diste 3 unidades de la recta 3x – y + 8 = 0.

8

8 8 = 3 8 = 3 8

8 dos posibilidades:

59 Halla los puntos de la recta y = –x + 2 que equidistan de las rectas x + 2y – 5 = 0 y 4x – 2y + 1 = 0.

Sean r1, r2 y r3 las tres rectas del ejercicio, respectivamente.

Buscamos los puntos P (x, y ) que cumplan:

= 8

8 = 8|4x – 2 (–x + 2) + 1|

2√5

|x + 2 (–x + 2) – 5|

√5

|4x – 2y + 1|

√20

|x + 2y – 5|

√5

P é r1 ò y = –x + 2dist (P, r2) = dist (P, r3) 8

°¢£

r

r'

P1

P2

P1 (3√—10 – 8, 6√

—10 – 16)

P2 (–3√—10 – 8, –6√

—10 – 16)

°¢£

8 y1 = 6√—10 – 16 8

8 y2 = –6√—10 – 16 8

°¢£

x + 8 = 3√—10 8 x1 = 3√

—10 – 8 8

x + 8 = –3√—10 8 x2 = –3√

—10 – 8 8

°¢£

|x + 8|

√10

|3x – 2x + 8|

√10

y = 2x

|3x – y + 8|—— = 3

√—10

°§¢§£

P (x, y ) é r : y = 2xdist (P, r ' ) = 3, donde r ' : 3x – y + 8 = 0

°¢£

3x – 4y + 8 = 0x = y

°¢£

3x – 4y + 8 = 0x2 + 12x + 36 + y2 = x2 + y2 + 12y + 36

°¢£

√x2 + (y + 6)2√(x + 6)2 + y2


8 |–x – 1| = 8 8

8 8 8 8

8 8

60 Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + 3y – 6 = 0 y 4x + 3y + c = 0sea igual a 3.

Sea P é r1 donde x0 = 0 8 y0 = 2 8 P (0, 2) é r1

Así, dist (r1, r2) = dist (P, r2) = = 3 8

8 = 3 8

61 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(1, –2) yB(4, 3). El vértice C está en la recta 3x – y + 8 = 0. Halla las coordenadasde C y el área del triángulo.

• La recta del lado desigual (base) tiene como vector dirección = (3, 5):

r : 8 = 8 r : 5x – 3y – 11 = 0

• La recta que contiene la altura tiene por vector dirección = (–5, 3) 2 y

pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por M ( , ):hc : 8 = 8

8 hc : 12x + 20y – 40 = 0 8 hc : 6x + 10y – 20 = 0

• C = s » hc donde s : 3x – y + 8 = 0

8

12y – 36 = 0 8 y = = 3 8

8 3x – 3 + 8 = 0 8 3x + 5 = 0 8 x = –53

3612

–6x + 2y – 16 = 06x + 10y – 20 = 0

°¢£

3x – y + 8 = 06x + 10y – 20 = 0

°¢£

2y – 16

2x – 5–10

x = 5/2 – 5ty = 1/2 + 3t

°¢£

12

52

8AB

8a

y + 25

x – 13

x = 1 + 3ty = –2 + 5t

°¢£

8AB

6 + c = 15 8 c1 = 96 + c = –15 8 c2 = –21

°¢£

|6 + c|5

|4 · 0 + 3 · 2 + c|

√16 + 9

1 15P1 (—, —)8 8

5 3P2 (—, —)4 4

°§§¢§§£

1 15y1 = – — + 2 = —

8 85 3

y2 = – — + 2 = —4 4

°§§¢§§£

x1 = 1/8x2 = 5/4

°¢£

8x = 14x = 5

°¢£

–2x – 2 = 6x – 3, o bien–2x – 2 = –6x + 3

°¢£

6x – 3–x – 1 = —, o bien

2–6x + 3

–x – 1 = —2

°§§¢§§£

|6x – 3|2


8UNIDAD

Luego: C ( , 3)• Área = =

(*)= ≈ 14,17

(*)

62 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rec-tas r y s y forma un ángulo de 45° con la recta: x + 5y – 6 = 0.

r : 3x – y – 9 = 0 s : x – 3 = 0

P = r » s : 8 9 – y – 9 = 0 8 y = 0

Luego: P (3, 0)

Como la recta pedida y x + 5y – 6 = 0 forman un ángulo de 45°, entonces si suspendientes son, respectivamente, m1 y m2, se verifica:

tg 45° = | | 8 1 = | | 8

8 1 = | | 8

8 8

8

Hay dos posibles soluciones:

t1: y – 0 = (x – 3) 8 t1: y = x +

t2: y – 0 = (x – 3) 8 t2: y = x –

63 Dadas r : 2x – y – 17 = 0 y s: 3x – ky – 8 = 0, calcula el valor de k para quer y s se corten formando un ángulo de 60°.

☛ Halla la pendiente de r. La pendiente de s es 3/k. Obtendrás dos soluciones.

Las pendientes de r y s son, respectivamente:

mr = 2 y ms = 3k

63

23

46

92

–32

–64

4m1 = –6 8 m1 = –6/46m1 = 4 8 m1 = 4/6

°¢£

5 – m1 = –1 – 5m1, o bien– (5 – m1) = –1 – 5m1

°¢£

–1 – 5 · m1

5 – m1

(–1/5) – m1

1 + (–1/5) · m1

m2 – m1

1 + m2 · m1

3x – y – 9 = 0x – 3 = 0

°¢£

8AB = (3, 5) 8 |

8AB| = √

—34

–25 –5 √—8508

CM (—, —) 8 |8CM| = —

6 2 6

°§¢§£

√—34 · (√—850/6)

2

|8AB||

8CM|

2base Ò altura

2

–53


Entonces:

tg 60° = | | 8 = | | 8 dos casos:

8 8

64 Las rectas r : 3x – 2y + 6 = 0, s: 2x + y – 6 = 0 y t: 2x – 5y – 4 = 0 son los ladosde un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos.

mr = ; ms = –2; mt =

tg ( ) = | | = =

Luego: ( ) = 60° 15' 18,4"

tg ( ) = | | = | | =

Luego: ( ) = 34° 30' 30,7"

Por último: ( ) = 180° – ( ) – ( ) = 85° 14' 11"

65 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A (–3, 2), B (8, –1) y C(3, –4).

☛ Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso.

= (11, –3); (–11, 3)

= (6, –6); (–6, 6)

= (–5, –3); (5, 3)8CB

8BC

8CA

8AC

8BA

8AB

ìr, t

ìr, s

ìs, t

ìr, t

1116

15 – 410 + 6

3/2 – 2/51 + 3/2 · 2/5

ìr, t

ìr, s

74

7/22

3/2 – (–2)1 + 3/2 · (–2)

ìr, s

25

32

Y

X

t r s

6√—3 + 3k1 = —= 24 + 15√

—3

2 – √—3

6√—3 + 3k2 = —= 9√

—3 – 12

2 + √—3

°§§¢§§£

°¢£

√—3(k + 6) = 2k – 3

–√—3(k + 6) = 2k – 3

2k – 3k + 6

√32 – 3/k

1 + 2 · 3/k


8UNIDAD

cosÂ = = ≈ 0,868

Luego: Â = 29° 44' 41,6"

cos ^B = = ≈ 0,692

Luego: ^B = 46° 13' 7,9"

Así, ^C = 180° – (

Â +

^B) = 104° 2' 10,5"

Página 210

66 Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, 2) y forma un ángulo de 30°con x = 3.

☛ La recta que buscamos forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX.

La recta r forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX.

Su pendiente es:

m1 = tg 60° = , o bien

m2 = tg 120° = –

Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, 2), las posibles soluciones son:

r1: y = x + 2

r2: y = – x + 2√3

√3

√3

√3

Y

X

r1

r2

x = 3

(0, 2)

30°

60°

120°

Y

X

A (–3, 2)

C (3, –4)

B (8, –1)55 – 9

√—130 √

—34

8BA ·

8BC

|8BA||

8BC|

66 + 18

√—130 √

—72

8AB ·

8AC

|8AB||

8AC|


°§¢§£

67 La recta 2x + y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es – , 1 .

Halla las ecuaciones de los lados del ángulo.

Las pendientes de las tres rectas son: mb = –2, mr , mr'

tg 45° = | | 8 1 = | | 8

8 8

8

r : y – 1 = 3 (x + ) 8 y = 3x +

r ' : y – 1 = (x + ) 8 y = x +

68 Encuentra un punto en la recta x – 2y – 6 = 0 que equidiste de los ejes de co-ordenadas.

8 8

8= 8 dos casos:

x – 2y – 6 = 0

8 8 P1 (–6, –6)P2 (2, –2)

°¢£

y – 2y – 6 = 0 8 y1 = –6 8 x1 = –6–y – 2y – 6 = 0 8 y2 = –2 8 x2 = 2

°¢£

x = yx = –y 8

°¢£

|x|

√02 + 12

|y|

√02 + 12

dist (P, eje X ) = dist (P, eje Y )x – 2y – 6 = 0

°¢£

°§¢§£

Eje X : y = 0Eje Y : x = 0P (x, y ) é r

56

–13

12

–13

52

12

1 – 2mr = –2 – mr 8 mr = 3–1 + 2mr' = –2 – mr' 8 mr' = –1/3

°¢£

–2 – mr

1 – 2mr

mb – mr

1 + mb mr

45°

45°b: 2x + y = 0

r

r'

V (– —, 1)12

)12(


8UNIDAD

°§§¢§§£

69 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(–2, 2) y forman un án-gulo de 60° con x = y.

b : x = y 8 su pendiente es mb = 1

tg 60° = | | 8 = | | 8

8+ m = 1 – m 8 m1 =

– – m = 1 – m 8 m2 =

Teniendo en cuenta que pasan por A (–2, 2):

r1: y – 2 = (x + 2)

r2: y – 2 = (x + 2)

ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE

70 Escribe la ecuación de la recta r que pasa por A (2, 3) y B (5, 6) y hallala ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a r sea igual a ladistancia entre A y B.

• r : 8 r : 8

8 = 8 3x – 3y + 3 = 0 8 r : x – y + 1 = 0

• s // r 8 ms = mr = 1 8 y = x + c 8 s : x – y + c = 0

dist (r, s) = dist (A, s) = dist (A, B) 8

8 = | | 8

8 = 8

8 s1: x – y + 7 = 0

s2: x – 5 = 0

–1 + c = 6 ò c1 = 6 + 1 = 7–1 + c = –6 ò c2 = –6 + 1 = –5

°¢£

√18|1 + c|

√2

8AB

|2 – 3 + c|

√12 + (–1)2

y – 33

x – 23

x = 2 + 3ty = 3 + 3t

°¢£

vector dirección 8AB = (3, 3)

pasa por A (2, 3)°¢£

1 + √3

–√3 + 1

1 – √3

√3 + 1

1 + √3

–√3 + 1√3√3

1 – √3

√3 + 1√3√3

1 – m1 + m

√31 – m

1 + 1 · m

Y

X

r

P1

P2


°§§¢§§£

71 Halla el punto simétrico de P(1, 1) repecto a la recta x – 2y – 4 = 0.

• ' 2 donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y es el vectordirección de la misma.

' · = 0 8 (x – 1, y – 1) · (2, 1) = 0 8

8 2 (x – 1) + (y – 1) = 0 8 2x + y – 3 = 0

• Además, el punto medio de PP', M, debe pertenecer a la recta. Luego:

M( , ) é r 8 – 2 – 4 = 0 8

8 x + 1 – 2y – 2 – 8 = 0 8

8 x – 2y – 9 = 0

• Así, teniendo en cuenta las dos condiciones:

8

8 2 (9 + 2y) + y – 3 = 0 8 18 + 4y + y – 3 = 0 8 y = = –3

8 x = 9 + 2 (–3) = 9 – 6 = 3

Luego: P' = (3, –3)

72 Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vér-tices opuestos son B(–1, –1) y D(–5, 3).

Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo.

Sea A é eje Y 8 A = (0, y1) y sea el punto C = (x2, y2).

Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan ensu punto medio, M.

Además, AC 2 BD.

• M ( , ) = (–3, 1) es el punto medio de BD (y de AC ).–1 + 32

–1 – 52

AD(–5, 3)

C

B(–1, –1)

–155

°¢£

2x + y – 3 = 0x – 2y – 9 = 0 8 x = 9 + 2y

°¢£

y + 12

x + 12

y + 12

x + 12

8v

8PP

8v

8v

8PP


8UNIDAD

• Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC):

8

8 8

8 d : y – 1 = (x + 3) 8 y = x + 4

• Así:

A = d » eje Y: 8 y = 4 8 A (0, 4)

• M es punto medio de AC 8 (–3, 1) = ( , ) 8

8 8 C (–6, –2)

• Área =

| | = |(–6, –6)| = = 6

| | = |(–4, 4)| = = 4

73 En el triángulo de vértices A(–3, 2), B(1, 3) y C(4, 1), halla el ortocentroy el circuncentro.

☛ El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el pun-to de intersección de las mediatrices.

ORTOCENTRO: R = hA » hB » hC donde hA, hB y hC son las tres alturas (desde A,B y C, respectivamente).

• hA 8 hA : 8

8 = 8 hA : 3x – 2y + 13 = 0

• hB 8 hB : 8

8 x – 1 = 8 hB : 7x – y – 4 = 0y – 37

x = 1 + ty = 3 + 7t

°¢£

8b 2

8AC = (7, –1) 8

8b = (1, 7)

B é hB

°¢£

y – 23

x + 32

x = –3 + 2ty = 2 + 3t

°¢£

8a 2

8BC = (3, –2) 8

8a = (2, 3)

A é hA

°¢£

√2√328BD

√2√728AC

|8AC||

8BD|

2

°§§¢§§£

x2–3 = — 8 x2 = –62

4 + y21 = — 8 y2 = –22

°§§¢§§£

4 + y2

2

0 + x2

2

°¢£

y = x + 4x = 0

°¢£

4La pendiente de d es md = — = 1

4

M (–3, 1) é d

°§¢§£

°¢£

8BD = (–4, 4) 8

8d = (4, 4) es vector dirección de d

M (–3, 1) é d


°§¢§£

8 Área = = 24 u26√—2 · 4√

—2

2

• hC 8 hC : 8

8 x – 4 = 8 hC : 4x + y – 17 = 0

Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersec-ción:

hB » hC :Sumando:

11x – 21 = 0 8 x =

y = 7x – 4 = 7 · – 4 = =

NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en hA. Basta consustituir en su ecuación.

CIRCUNCENTRO: S = mA » mB » mC, donde mA, mB y mC son las tres mediatrices(desde A, B y C, respectivamente).

• mA 8

8 y – 2 = (x – ) 8 y = x –

• mC 8

8 y – = –4 (x + 1) 8 y = –4x –

Así:

S = mA » mC : 8 x – = –4x – 8

8 6x – 7 = –16x – 6 8 22x = 1 8 x = 8

8 y = –4 · – = =

Así, S ( , ).NOTA: Se podría calcular mB y comprobar que S é mB.

–3722

122

–3722

–4 – 3322

32

122

122

32

74

32

3 7y = —x – —

2 43

y = –4x – —2

°§§¢§§£

32

52

74

32

52

32

10311

147 – 4411

2111

2111

7x – y – 4 = 04x + y – 17 = 0

°¢£

y – 1–4

x = 4 + ty = 1 – 4t

°¢£

8c 2

8AB = (4, 1) 8 8

c = (1, –4)C é hC

°¢£


8UNIDAD

°§§¢§§£

R ( , )10311

2111

°§§¢§§£

8a 2

8BC 8 8

a = (2, 3)

Punto medio de BC : M ( , 2) é mA52

°§§¢§§£

8c 2

8AB = (4, 1) 8 8

c = (1, –4)

Punto medio de AB: M' (–1, ) é mC52

74 La recta 2x + y – 4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremoen el punto (0, 0).

Halla las coordenadas del otro extremo.

Un vector dirección de la recta es el = (1, –2).

• Debe verificarse que: 2 = · = 0

(1, –2) · (x, y) = 0 8 x – 2y = 0 8 x = 2y

• Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta:

M ( , ) é r 8 2 · + – 4 = 0 8

8 2 · + – 4 = 0 8 4y + y – 8 = 0 8

8 y = 8 x = 2 · =

Luego: A ( , )75 Los puntos P(–2, 4) y Q(6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogra-

mo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla:

a) Los otros dos vértices.

b) Los ángulos del paralelogramo.

XOS

R

P (–2, 4)

Q (6, 0)

Y

85

165

165

85

85

y

22y2

y

2x2

y

2x2

8OA

8v

8OA

8v

8v

O (0, 0) A (x, y)

r: 2x + y – 4 = 0


a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio,que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices:

R (2, –4), S (–6, 0)

b) = = (8, –4) 8 = = (–8, 4)

= = (–4, –4) 8 = = (4, 4)

cos^P = = = –0,31623 8

^P = 108° 26' 5,8" =

^R

^S = = 71° 33' 54" =

^Q

NOTA: Podríamos haber calculado ^S con los vectores:

cos^S = = = 0,31623 8

^S = 71° 33' 54"

76 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y – 2 = 0 yx – 2y + 4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0).

Halla los otros vértices.

• Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice:

8

3y – 6 = 0 8 y = 2 8

8 x + 2 – 2 = 0 8 x = 0

Luego un vértice es A (0, 2).

• El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores(pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustitu-yendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vérticeC no es consecutivo de A.

Sean s1//r1 una recta que pasa por C y s2//r2 una recta que pasa por C.

Se trata de las rectas sobrelas que están los otros la-dos.

Así, los otros vértices, B yD, serán los puntos de cor-te de:

r1 » s2 = B

r2 » s1 = D

r1

r2

s1

s2

D C

A

B

x + y – 2 = 0–x + 2y – 4 = 0

°¢£

x + y – 2 = 0x – 2y + 4 = 0

°¢£

r1:r2:

32 – 16

√—32 · √

—80

8SP ·

8SR

|8SP||

8SR|

360° – (^P +

^R )

2

–32 + 16

√—32 · √

—80

8PS ·

8PQ

|8PS||

8PQ|

8RQ

8SP

8QR

8PS

8RS

8QP

8SR

8PQ


8UNIDAD

s1: 8 s1: x + y – 6 = 0

s2: 8 s2: x – 2y – 6 = 0

• B = r1 » s2:


De la primera ecuación 8 x = 2 – y 8 en la segunda 8 2 – y – 2y – 6 = 0 8

8 y = 8 x = 8 B ( , )• D = r2 » s1: 8 6 – y – 2y + 4 = 0 8

8 y = 8 x = 8 D ( , )77 Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + 3y + 6 = 0 y

3x + 4y – 9 = 0.

P (x, 0) debe verificar dist (P, r ) = dist (P, s ):

= 8

8 8 P1 (–15, 0), P2 ( , 0)78 Halla el punto de la recta 2x – 4y – 1 = 0 que con el origen de coordenadas y el

punto P(–4, 0) determina un triángulo de área 6.

☛ Si tomamos como base | |= 4, la altura del triángulo mide 3. El punto que bus-camos está a 3 unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones.

Los vértices son O (0, 0), P (–4, 0), Q (x, y).

Si tomamos como base OP, entonces:

Área = 8 6 = 8 h = 3

El punto Q (x, y) é r 8 2x – 4y – 1 = 0 y debe verificar que dist (Q, OP) = 3.

La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector dirección (–4, 0) ypasa por (0, 0). Luego es el eje X : y = 0.

8OP

4 · h2

|8

OP|· h

2

8PQ

37

4x + 6 = 3x – 9 8 x1 = –154x + 6 = –(3x – 9) 8 x2 = 3/7

°¢£

|3x + 4 · 0 – 9|

√25

|4x + 3 · 0 + 6|

√25

103

83

83

103

°¢£

x + 2y + 4 = 0x + y – 6 = 0 8 x = 6 – y

°¢£

–43

103

103

–43

x + y – 2 = 0x – 2y – 6 = 0

°¢£

x – 2y + b = 0C é s2 8 6 – 0 + b = 0 8 b = –6

°¢£

x + y + a = 0C é s1 8 6 + 0 + a = 0 8 a = –6

°¢£


Así:

8 8

Luego hay dos triángulos, OPQ1 y OPQ2, donde:

Q1 ( , 3) y Q2 ( , –3)79 Sean A, B, C, D los puntos de corte de las rectas x – 2y + 2 = 0 y 2x – y – 2 = 0

con los ejes de coordenadas. Prueba que el cuadrilátero ABCD es un trape-cio isósceles y halla su área.

☛ Mira el problema resuelto número 1.

Sean: A = r » eje OX : 8 x = –2 ò A (–2, 0)

B = r » eje OY : 8 y = 1 ò B (0, 1)

C = s » eje OX : 8 x = 1 ò C (1, 0)

D = s » eje OY : 8 y = –2 ò D (0, –2)

Calculamos los vectores dirección de los lados:

= (2, 1)

= (1, –1)]

= (–1, –2)

= (–2, 2)

Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA.

Para calcular el área necesitamos la altura:

Como 8 y = –x – 2 8 AD : x + y + 2 = 0°¢£

8AD (2, –2)

D (0, –2)

8DA

8CD

8BC

8AB

2x – y – 2 = 0x = 0

°¢£

2x – y – 2 = 0y = 0

°¢£

x – 2y + 2 = 0x = 0

°¢£

x – 2y + 2 = 0y = 0

°¢£

B

B (0, 1)

DD (0, –2)

CC (1, 0)

A (–2, 0)

A

Y

X–1

–1

–112

132

132x – 4 · 3 – 1 = 0 8 x1 = —

2–11

2x – 4 (–3) – 1 = 0 8 x2 = —2

°§§¢§§£

y1 = 3y2 = –3

°¢£

2x – 4y – 1 = 0

|y|—= 3√—02 + 12

°§¢§£


8UNIDAD

8°§¢§£

°§§¢§§£

8DA = –2

8BC 8

8BC //

8DA

| | = = | |8CD√5

8AB

h = dist (B, AD) = = =

Así:

Área = · = · = =

80 La recta x + y – 2 = 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, 5) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles.Halla su área.

8 0 + 5 + k = 0 8 k = –5

Luego s : x + y – 5 = 0

• Sean: A = r » eje X : 8 x = 2 ò A (2, 0)

B = r » eje Y : 8 y = 2 ò B (0, 2)

C = s » eje X : 8 x = 5 ò C (5, 0)

D = s » eje Y : 8 y = 5 ò D (0, 5)

• = (–2, 2); = (–5, 5)

Área = · h = · dist (A, s ) =

= · = · = · =

81 Un punto P, que es equidistante de los puntos A(3, 4) y B(–5, 6), dista eldoble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son las coorde-nadas de P?

• d (P, OX ) = 2d (P, OY ) 8 |y| = 2|x| 8

• | | = | | 8 = 8

8 x2 + 9 – 6x + y2 + 16 – 8y = x2 + 25 + 10x + y2 + 36 – 12y 8

8 –6x – 8y + 25 = 10x – 12y + 61 8 16x – 4y + 36 = 0 8

8 4x – y + 9 = 0

√(–5 – x)2 + (6 – y)2√(x – 3)2 + (y – 4)28PB

8AP

y = 2xy = –2x

°¢£

212

3

√2

7√22

3

√2

2√—2 + 5√

—2

2|2 + 0 – 5|

√12 + 12

√—8 + √

—50

2

|8AB|+|

8CD|

2

|8AB|+|

8CD|

2

8CD

8AB

x + y – 5 = 0x = 0

°¢£

x + y – 5 = 0y = 0

°¢£

x + y – 2 = 0x = 0

°¢£

x + y – 2 = 0y = 0

°¢£

°¢£

s//r : x + y – 2 = 0 ò x + y + k = 0P (0, 5) é s

92

9 · 24

3√22

√—2 + 2√

—2

23√2

2

|8BC|+|

8DA|

2

3√22

3

√2

|0 + 1 + 2|

√2


• Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones:

P1: 8 4x – 2x + 9 = 0 8 x = 8 y = –9

Luego: P1 ( , –9)P2: 8 4x + 2x + 9 = 0 8 x = = 8 y = 3

Luego: P2 ( , 3)82 De todas las rectas que pasan por el punto A(1, 2), halla la pendiente de

aquella cuya distancia al origen es 1.

☛ La ecuación y = 2 + m(x – 1) representa a todas esas rectas. Pásala a forma ge-neral y aplica la condición d(O, r) = 1.

• Esas rectas tienen por ecuación:

y = 2 + m (x – 1) 8 mx – y + (2 – m ) = 0

• d (0, r ) = 1 8 = 1 8 8

8 (2 – m )2 = m2 + 1 8 4 + m2 – 4m = m2 + 1 8

8 4 – 4m = 1 8 m =

83 Dado el triángulo de vértices A(– 4, –2), B(–1, 5) y C(5, 1), halla las ecua-ciones de las rectas r y s que parten de B y cortan a AC, dividiendo altriángulo en tres triángulos de igual área.

• La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tan-to, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los pun-tos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales:

= = (– , –1); = = ( , 0)• La recta r es la que pasa por B y por P:

m = = = –18

y = 5 – 18 (x + 1) 8 r: 18x + y + 13 = 0

–6(1/3)

–1 – 5(–2/3) – (–1)

83

8OC + 2

8OC

3

8OQ2

328OA +

8OC

3

8OP

B

C

A

Y

X11

rs

34

2 – m = √—m2 + 1

2 – m = –√—m2 + 1

°¢£

|2 – m|

√m2 + 1

–32

–32

–96

y = –2x4x – y + 9 = 0

°¢£

–92

–92

y = 2x4x – y + 9 = 0

°¢£


8UNIDAD

• La recta s es la que pasa por B y por Q:

m = = = –

y = 5 – (x + 1) 8 11y = 55 – 15x – 15 8 s: 15x + 11y – 40 = 0

84 Dada la recta r : 2x – 3y + 5 = 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r res-pecto al eje de abscisas.

• Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (2, 3) y B (5, 5).

• Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A' (2, –3) y B' (5, –5).

• La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B' :

m = = =

La recta r' es: y = –3 – (x – 2) 8 3y = –9 – 2x + 4 8 2x + 3y + 5 = 0

• De otra forma:

Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, –y) es un simétrico respectoal eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al ejeOX, será:

2x – 3(–y) + 5 = 0 8 2x + 3y + 5 = 0

Página 211

85 Prueba que si las rectas ax + by + c = 0 y a'x + b'y + c' = 0 son perpendi-culares, se verifica que aa' + bb' = 0.

• El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c = 0.

• El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' = 0.

• Si las dos rectas son perpendiculares, entonces:

(a, b) · (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0.

86 Dada la recta ax + by + c = 0, prueba que el vector = (a, b) es ortogonala cualquier vector determinado por dos puntos de la recta.

☛ Llama A(x1, y1) y B(x2, y2 ) y haz · . Ten en cuenta que los puntos A yB verifican la ecuación de la recta.

• Si A (x1, y1) pertenece a la recta, entonces ax1 + by1 + c = 0

• Si B (x2, y2) pertenece a la recta, entonces ax2 + by2 + c = 0

• Restando las dos igualdades: a (x1 – x2) + b (y1 – y2) = 0

8AB

8v

8v


23

–23

–5 + 33

–5 – (–3)5 – 2

1511

1511

–5(–11/3)

5 – 0(–1) – (8/3)


Esta última igualdad significa que:

(a, b) · (x1 – x2, y1 – y2) = 0; es decir, que el vector (a, b) es perpendicular al

vector , siendo A y B dos puntos cualesquiera de la recta.

87 a) ¿Qué se puede decir de una recta si en su ecuación general falta el términoindependiente?

b) ¿Y si falta el término en x ?

c) ¿Y si falta el término en y ?

a) La recta pasa por (0, 0).

b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX).

c) Es una recta vertical (paralela al eje OY).

88 Prueba que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P(x1, y1) y

Q(x2, y2) puede escribirse de la forma: = .

Un vector dirección de la recta es = (x2 – x1, y2 – y1) y un punto de la rectaes P (x1, y1).

Entonces, las ecuaciones paramétricas de la recta serán:

x = x1 + (x2 – x1) t 8 t =

y = y1 + (y2 – y1) t 8 t =

8 = 8 =

o, lo que es lo mismo:

=

89 Un cuadrado tiene una diagonal sobre la recta x + 5y – 6 = 0 y uno de susvértices es A(–2, –1). Halla los otros vértices y la longitud de la diagonal.

• Se comprueba que A è s.

• Luego la otra diagonal en la que está A será r tal que r 2 s :

8 –10 + 1 + G = 0 8 G = 9 8 r : 5x – y + 9 = 0°¢£

5x – y + G = 0Como A é r

PARA PROFUNDIZAR

y2 – y1

x2 – x1

y – y1

x – x1

y – y1

x – x1

y2 – y1

x2 – x1

y – y1

y2 – y1

x – x1

x2 – x1

y – y1

y2 – y1

x – x1

x2 – x1

8PQ

y2 – y1

x2 – x1

y – y1

x – x1

8AB


8UNIDAD

°§§§¢§§§£

8

• M = r » s será el punto medio de las dos diagonales:

8 5 (6 – 5y) – y + 9 = 0 8

8 30 – 25y – y + 9 = 0 8 y = = 8 x = 6 – 5 · =

Luego: M ( , )• M es el punto medio de AC 8 ( , ) = ( , ) 8

8 8 C (–1, 4)

• B y D están en las rectas que equidistan de AC.

Dichas rectas son todos los puntos P (x, y) tales que:

dist (P, r) = =

pues, al ser un cuadrado, sus diagonales son iguales. Es decir:

dist (P, r) = = = 8

8 = 8 8

Así:

B = t1 » s : 8

8 30 – 25y – y – 4 = 0 8 y = 1 8 x = 1 ò B (1, 1)

D = t2 » s : 8

8 30 – 25y – y + 22 = 0 8 y = 2 8 x = –4 ò D (–4, 2)

• La longitud de la diagonal será:

| | = | | = √268BD

8AC

°¢£

5x – y + 22 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y

°¢£

°¢£

5x – y – 4 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y

°¢£

t1: 5x – y – 4 = 0t2: 5x – y + 22 = 0

°¢£

5x – y + 9 = 26/25x – y + 9 = –26/2

°¢£

√262

|5x – y + 9|

√26

√262

|(1, 5)|2

—AC2

—AC2

—BD2

°¢£

–3 = –2 + C1 8 C1 = –1

3 = –1 + C2 8 C2 = 4°¢£

–1 + C2

2

–2 + C1

232

–32

32

–32

–32

32

32

3926

°¢£

5x – y + 9 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y

°¢£

X

C

BD

r

t2 t1

M

A(–2, –1)

s: x + 5y – 6 = 0

Y


90 De un cuadrado conocemos dos vértices contiguos A(3, 1) y B(4, 5). Cal-cula los otros vértices. ¿Cuántas soluciones hay?

C y D son puntos de las rectas s y r perpendiculares a AB, y cuyas distan-

cias a B y A, respectivamente, son | |:

• 8 4 + 20 + k = 0 8 k = –24 8

8 s : x + 4y – 24 = 0

• 8 3 + 4 + k' = 0 8 k' = – 7 8

8 r : x + 4y – 7 = 0

• 8 12 – 1 + k" = 0 8 k" = –11 8

8 t : 4x – y – 11 = 0

• C y D son puntos que están en las rectas cuya distancia a AB es | | = .

Sean P (x, y) tales que:

dist (P, t) = =

Son dos rectas paralelas. Hay dos soluciones. Así:

C1 = t1 » s 8

8 96 – 16y – y – 28 = 0 8 y = 4 8 x = 8 8 C1 (8, 4)

C2 = t2 » s 8

8 96 – 16y – y + 6 = 0 8 y = 6 8 x = 0 8 C2 (0, 6)

D1 = t1 » r 8

8 28 – 16y – y – 28 = 0 8 y = 0 8 x = 7 8 D1 (7, 0)

4x – y – 28 = 0x + 4y – 7 = 0 8 x = 7 – 4y

°¢£

4x – y + 6 = 0x + 4y – 24 = 0 8 x = 24 – 4y

°¢£

4x – y – 28 = 0x + 4y – 24 = 0 8 x = 24 – 4y

°¢£

t1: 4x – y – 28 = 0t2: 4x – y + 6 = 0

°¢£

4x – y – 11 = 17 84x – y – 11 = –17 8

°¢£

√17|4x – y – 11|

√17

√178AB

°¢£

8AB = (1, 4) 8 t : 4x – y + k" = 0Como A é t

°¢£

8AB = (1, 4) 8 r : x + 4y + k' = 0Como A é r

°¢£

8AB = (1, 4) 8 s : x + 4y + k = 0Como B é s

8AB

D2 D1A

t

r

sBC2 C1


8UNIDAD

D2 = t2 » r 8

8 28 – 16y – y + 6 = 0 8 y = 2 8 x = –1 8 D2 (–1, 2)

91 La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por ex-tremos los puntos A(–3, –2) y C(1, 2). Halla los vértices B y D y el perí-metro del rombo.

• = (4, 4) 8 | | = = 4

Como esta diagonal mide lo mismo que el lado, entonces el perímetro será:

Perímetro = 4 | | = 16

• Los otros dos vértices están en la perpendicular a por su punto medioM (–1, 0).

8

8 –3 + 2 + k = 0 8 k = 1 8 AC : x – y + 1 = 0

La recta s perpendicular a AC será:

8 –1 + k' = 0 8 k' = 1 8 s : x + y + 1 = 0

Los puntos B y C serán los (x, y) que estén en s y cuya distancia al vérticeA sea igual a la diagonal, es decir, igual a 4 .

(x, y) é s 8 x + y + 1 = 0 8 x = –1 – y

√2

°¢£

s : x + y + k' = 0Como M (–1, 0) é s

°¢£

La recta AC tiene por vector director (1, 1) 8 x – y + k = 0Como, además, A (–3, –2) é recta AC

8AC

√28AC

√2√328AC

8AC

X

B

DA(–3, –2)

C(1, 2)

Y

X

C2

D2

C1

D1

B

A

Y

4x – y + 6 = 0x + 4y – 7 = 0 8 x = 7 – 4y

°¢£


= 4 8 (x + 3)2 + (y + 2)2 = 32

8 (2 – y)2 + (y + 2)2 = 32 8 4 + y2 – 4y + y2 + 4 + 4y = 32 8 2y2 = 24 8

8 y2 = 12 8

Luego, los vértices B y C son:

(–1 – 2 , 2 ) y (–1 + 2 , –2 )

92 Determina la ecuación de una recta de pendiente –2 que forma con los ejesun triángulo de área igual a 81. ¿Cuántas soluciones hay?

• Las rectas de pendiente –2 tienen por ecuación:

y = –2x + k

• Los puntos de corte con los ejes, A y B, son:

Si x = 0 8 y = k 8 A (0, k)

Si y = 0 8 x = 8 B ( , 0)• Así:

Área = = 81 8 k2 = 324 8

Dos soluciones:

r1: y = –2x + 18 y r2: y = –2x – 18

93 Conocemos dos vértices de un trapecio rectángulo A(1, 1) y B(5, 1) y sa-bemos que uno de sus lados está sobre la recta y = x + 1. Calcula los otrosdos vértices. (Hay dos soluciones).

Podemos comprobar que A, B è r.

Como un lado está sobre r, los otros dos vértices están en r y, por tanto, A yB son vértices consecutivos.

Además, un vector dirección de r es = (1, 1), que no es proporcional a = (4, 0).

Por tanto, // 8 los lados AB y CD no son paralelos, luego no son lasbases del trapecio.

Podemos construir dos trapecios:

a) ABC1D1, donde AB es la altura del trapecio:

C1 y D1 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a ABque pasan por B y A, respectivamente.

8AB

8r

8AB

8r

k1 = 18k2 = –18

°¢£

k/2 · k2

k2

k2

√3√3√3√3

√2√(x + 3)2 + (y + 2)2


8UNIDAD

y1 = 2 8 x1 = –1 – 2

y2 = –2 8 x2 = –1 + 2 √3√3

√3√3°§¢§£

A

B

r1r2

• 8 4 + k = 0 8 k = –4 8 t : 4x – 4 = 0 8 t : x = 1

Así: D1 = t » r 8 y = 2 8 D1 (1, 2)

• 8

8 4 · 5 + k = 0 8 k = –20 8

8 s : 4x – 20 = 0 8 s : x = 5

Así: C1 = s » r : 8

8 y = 6 8 C1 (5, 6)

b) ABC2D2, donde C2D2 es la altura del trapecio:

C2 y D2 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a rque pasan por B y C, respectivamente (es decir, C2 y D2 son los pies dedichas perpendiculares).

• 8 1 = –1 + k 8 k = 2 8 t : y = –x + 2

Así: D2 = t » r : 8 –x + 2 = x + 1 8 1 = 2x 8

8 x = 8 y = 8 D2 ( , )• 8 1 = –5 + k 8 k = 6 8 s : y = –x + 6

Así: C2 = s » r : 8 –x + 6 = x + 1 8 5 = 2x 8

8 x = 8 y = 8 C2 ( , )

XB

t s

r

A

D2

Y

C2

72

52

72

52

y = –x + 6y = x + 1

°¢£

°¢£

s 2 r 8 y = –x + kComo B é s

32

12

32

12

y = –x + 2y = x + 1

°¢£

°¢£

t 2 r 8 y = –x + k

Como A é t

XB

t

s r

A

D1

C1

Y

x = 5y = x + 1

°¢£

°¢£

s 28

AB 8 4x + k = 0

Como B (5, 1) é s

x = 1y = x + 1

°¢£

°¢£

t 28

AB 8 4x + k = 0

Como A (1, 1) é t


AUTOEVALUACIÓN

1. Se consideran los puntos A(0, 1), B(4, 9) y C(–4, k).

a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos

partes tales que = .

b)Determina k para que el punto C sea el simétrico de B respecto de A.

a) A(0, 1), B(4, 9), C(–4, k)

Sea P (x, y):

= 8 (x, y – 1) = (4 – x, 9 – y) 8 P(1, 3)

b) A debe ser el punto medio de CB.

(0, 1) = , 8 9 + k = 2 8 k = –7

2. Calcula la ecuación de estas rectas:

a) Pasa por A(3, 2) y B(–2, 1), en forma paramétrica e implícita.

b)Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente m = , en forma

continua y explícita.

a) Vector dirección = = (5, 1). Vector de posición: (3, 2)

Ecuaciones paramétricas

t = y – 2; x = 3 + 5(y – 2) = 3 + 5y – 10 8 x – 5y + 7 = 0

Ecuación implícita: x – 5y + 7 = 0

b) m = – 8 vector dirección: (3, –1)

Ecuación continua: =

3y = –x 8 y = –

Ecuación explícita: y = –x3

x3

y–1

x3

8d

13

x = 3 + 5t

y = 2 + t

°¢£

8p

8BA

8d

–13

)9 + k2

4 – 42(

°¢£

3x = 4 – x 8 x = 1

3y – 3 = 9 – y 8 y = 3

°¢£

13

8PB

13

8AP

8PB

13

8AP


8UNIDAD

3. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:

a) Pasa por P(2, –3) y es perpendicular a y = x + 1.

b)Es paralela a 2x + 3y + 1 = 0 y su ordenada en el origen es 2.

a) Una recta perpendicular a la dada tiene pendiente m = . Como ha de pasar porP (2, –3), su ecuación es:

y + 3 = (x – 2) 8 2y + 6 = 5x – 10 8 5x – 2y – 16 = 0

b) Una recta paralela a 2x + 3y + 1 = 0 es 2x + 3y + k = 0.

Como ha de pasar por (0, 2), debe ser k = –6.

La recta buscada es 2x + 3y – 6 = 0.

4. Escribe la ecuación del haz de rectas que pasa por (5, 1) y halla la recta de di-cho haz que pasa por (0, 1).

El haz de rectas que pasa por el punto (5, 1) es a (x – 5) + b (y – 1) = 0

La recta del haz que pasa por (0, 1) es la recta que pasa por (5, 1) y por (0, 1). Portanto, su ecuación es:

= 8 y = 1

5. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y de las rectas r y t, donde:

r : 3x + 5y – 34 = 0 s: y = x t:

• Posición relativa de r y s :

r y s son perpendiculares.

• Posición relativa de r y t :

r y t son secantes.

6. Calcula k para que las rectas r y s formen un ángulo de 60°, siendo r : y = 3;s: y = kx + 1.

La recta r : y = 3 es paralela al eje de abscisas. Así, la tangente del ángulo que for-man r y s coincide con la pendiente de s, que es igual a k. Es decir:

k = √—3

°¢£

tg a = k

tg 60° = √—3

°¢£

Vector dirección de t, 8dt(1, 0)

Vector dirección de r, 8dr(–5, 3)

°¢£

Vector dirección de r, 8dr (–5, 3)

Vector dirección de s, 8ds(3, 5)

x = ky = 2

°¢£

53

y – 10

x5

52

52

–25


7. Considera los puntos A(0, k) y B(8, 5) y la recta r : 3x + 4y + 1 = 0. Deter-mina el valor de k para que:

a) La distancia entre A y B sea igual a 10.

b)La distancia entre A y r sea 1.

a) dist (A, B ) = = = 10 8

8 k2 – 10k – 11 = 0

b) dist (A, r ) = = = 1 4k + 1 = 5 8 k = 1

4k + 1 = –5 8 k = –3/2

|4k + 1|5

|3 · 0 + 4 · k + 1|

√32 + 42

k = 11

k = –1

√64 + 25 + k2 – 10k√82 + (5 – k )2


8UNIDAD


Página 187


Punto medio de un segmento

Toma los puntos P(2, 5), Q(10, 3) y represéntalos en el plano:

■ Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordena-das. ¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q?

M (6, 4)

■ Haz lo mismo con los segmentos de extremos:

a) P' (5, 1), Q' (9, 7)

b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5)

a) M' (7, 4)

b) M'' (5, 3)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener lascoordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.

Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisumade las coordenadas de sus extremos.

P (2, 5)

Q (10, 3)

Q'

Q"

P"P'

M" M'

M

P (2, 5)

Q (10, 3)

GEOMETRÍA ANALÍTICA.PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS8

Ecuaciones de la recta

■ Comprueba que las ecuaciones:

corresponden también a una recta, hallando varios de sus puntos. (Dale a tlos valores –2, –1, 0, 1, 2, 3, y representa los puntos correspondientes; com-probarás que todos están sobre la misma recta).

Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo:

— Despeja t en la primera ecuación.

— Sustituye su valor en la segunda.

— Reordena los términos de la ecuación resultante.

Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.

8 = 4 – y 8 x – 2 = 12 – 3y 8 y = 8

8 y = x +143

–13

–x + 143

x – 23

°§¢§£

x – 2t = —

3

t = 4 – y

(–4, 6)

(–1, 5)

(2, 4)

(5, 3)

(8, 2)(11, 1)

Y

Xr

t –2

(x, y ) (–4, 6)

–1

(–1, 5)

0

(2, 4)

1

(5, 3)

2

(8, 2)

3

(11, 1)

x = 2 + 3t

y = 4 – t°¢£


Distancias en el plano

■ Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s.

d (P, r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5; d (Q, s ) = 5

■ Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del teorema de Pitágoras).

d (P, Q ) = = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo decatetos 3 y 4.

■ Halla, también, la distancia entre:

a) P' (0, 5), Q' (12, 0)

b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para hallar la dis-tancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas.

a) d (P', Q' ) = = = 13

b) d (P", Q" ) = = = 5

d (A, B ) = , donde A (a1, a2) y B (b1, b2).

d (A, B ) = | |8AB

√(b1 – a1)2 + (b2 – a2)

2

√25√42 + 32

√169√52 + 122

√32 + 42

Q'

Q''P'

P''

Q(5, 7)

s

rP(2, 3)

P (2, 3)

Q (5, 7)

s

r


8UNIDAD

1. Halla las coordenadas de y , siendo M (7, –5) y N (–2, –11).

= (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)

= (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)

2. Averigua si están alineados los puntos P (7, 11), Q (4, –3) y R (10, 25).

8 = 8 A, B y C están alineados.

3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas

A (1, 7) B (–3, 4) C (k, 5)

estén alineados.

8 = 8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k =

Página 190

4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1):

a) Halla el punto medio de PQ.

b) Halla el simétrico de P respecto de Q.

c) Halla el simétrico de Q respecto de P.

d) Obtén un punto A de PQ tal que / = 2/3.

e) Obtén un punto B de PQ tal que / = 1/5.

a) M ( , ) = ( , 4)

8 P' (13, –11)

c) Llamamos Q' (x', y') al simétrico de Q respecto de P.

Q' (–2, 19)

°§§¢§§£

x' + 8—––––– = 3 8 x' = –2

2y' + (–1)

—–––––––– = 9 8 y' = 192

Así:

°§§¢§§£

3 + x—––––– = 8 8 x = 13

29 + y

—––––– = –1 8 y = –112

b)

112

9 + ( –1)2

3 + 82

8PQ

8PB

8AQ

8PA

–53

–31

–4k + 3

°¢£

8AB = (–4, –3)8BC = (k + 3, 1)

–1428

–36

°¢£

8PQ = (–3, –14)8QR = (6, 28)

8NM

8MN

8NM

8MN


P' (x, y)

Q (8, 1)

P (3, 9)

Q

P

Q'

d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:

= 8 (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y)

A (5, 5)

e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos.

= 8 (x – 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2)

B (4, 7)

Página 193

1. Halla las ecuaciones paramétricas, continua, implícita y explícita de la rectaque pasa por A y B, siendo:

a) A(–1, –1), B (3, 3) b)A(0, 4), B (6, 0)

c) A(3, 5), B (–1, 5) d)A(3, 5), B (3, 2)

a) A (–1, –1); B (3, 3) 8 = (4, 4)


Implícita: x – y = 0 Explícita: y = x

b) A (0, 4); B (6, 0) 8 = (6, –4)


Implícita: –4x – 6y + 24 = 0 Explícita: y = x + 4

c) A (3, 5); B (–1, 5) 8 = (–4, 0)


Implícita: y – 5 = 0 Explícita: y = 5

d) A (3, 5); B (3, 2) 8 = (0, –3)


Implícita: x – 3 = 0 Explícita: No existe, pues se trata de unarecta vertical de ecuación x = 3.

y – 5–3

x – 30

x = 3

y = 5 – 3l°¢£

8AB

y – 50

x – 3–4

x = 3 – 4ly = 5

°¢£

8AB

–46

y – 4–4

x6

x = 6ly = 4 – 4l

°¢£

8AB

y – 34

x – 34

x = 3 + 4ly = 3 + 4l

°¢£

8AB

°¢£

x – 3 = 1 8 x = 4

y – 9 = –2 8 y = 7

15

8PQ1

5

8PB

°§§¢§§£

2x – 3 = —(8 – x) 8 x = 5

32

y – 9 = —(–1 – y) 8 y = 53

23

8AQ2

3

8PA


8UNIDAD

2. Obtén las ecuaciones implícita, paramétricas y continua de la recta y = 2x + 3.

y = 2x + 3

• Buscamos dos puntos de la recta y su vector dirección:

8 = (1, 2)

• Implícita: 2x – y + 3 = 0

• Paramétricas:

• Continua: =

3. a) Encuentra dos puntos, P y Q, pertenecientes a la recta r : 2x – 3y + 6 = 0.

b)Comprueba que es perpendicular a (2, –3).

c) Escribe las ecuaciones paramétricas de r.

d)Escribe su ecuación explícita y comprueba que el vector (1, m) es paraleloa (m es la pendiente de r).

a) r : 2x – 3y + 6 = 0

— Si x = 0 8 2 · 0 – 3y + 6 = 0 8 y = 2 8 P (0, 2)

— Si x = –3 8 2 · (–3) – 3y + 6 = 0 8 y = 0 8 Q (–3, 0)

b) = (–3, –2)

2 (2, –3) ï · (2, –3) = 0

(–3, –2) · (2, –3) = (–3) · 2 + (–2) · (–3) = –6 + 6 = 0

c) r :

d) Despejamos y en la ecuación de r :

2x – 3y + 6 = 0 8 2x + 6 = 3y 8 x + 2 = y

Explícita: y = x + 2

m = 8 (1, m ) = 1,

El vector 1, es paralelo a si sus coordenadas son proporcionales:

(–3, –2) = l 1, 8 l = –3

Los vectores son proporcionales y, por tanto, paralelos.

)23(

8PQ)2

3()2

3(23

23

23

x = –3ly = 2 – 2l

°¢£

8PQ

8PQ

8PQ

8PQ

8PQ

y – 32

x – 01

x = ly = 3 + 2l

°¢£

8AB

°¢£

Si x = 0 8 y = 2 · 0 + 3 = 3 8 A (0, 3)

Si x = 1 8 y = 2 · 1 + 3 = 5 8 B (1, 5)


1. Halla la recta del haz de centro P(–3, 5) que pasa por (8, 4).

Hemos de hallar la recta que pasa por P (–3, 5) y Q (8, 4).

= (11, –1)

r : =

2. Los haces de rectas cuyos centros son P(4, 0) y Q(–6, 4) tienen una recta encomún. ¿Cuál es?

Es la recta que pasa por P (4, 0) y Q (–6, 4).

= (–10, 4)

r : =

3. Las rectas r : 3x – 5y – 7 = 0 y s: x + y + 4 = 0 forman parte de un mismo haz.¿Cuál de las rectas de ese haz tiene pendiente 4?

• El centro del haz es el punto de corte de r y s. Lo hallamos:

3(–y – 4) – 5y – 7 = 0 8 –8y – 19 = 0 8 y = –

x = –y – 4 = – 4 = –

El centro del haz es el punto P – , – .

• Ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente igual a 4:

y = + 4 x + 8 32x – 8y + 7 = 0

Página 197

1. Escribe las ecuaciones paramétricas de dos rectas que pasen por P(4, –3) ysean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.

r :

r: 8 Vector dirección de r : r = (–5, 2)8v

x = 2 – 5t

y = 4 + 2t

°¢£

x = 2 – 5t

y = 4 + 2t°¢£

)138(19

8

)198

138(

138

198

198

8 x = –y – 4

°¢£

3x – 5y – 7 = 0

x + y + 4 = 0

y – 04

x – 4–10

8PQ

y – 5–1

x + 311

8PQ


8UNIDAD

• Recta paralela a r que pasa por P.

P (4, –3) s = r = (–5, 2)

s :

• Recta perpendicular a r que pasa por P.

P (4, –3) l = (2, 5)

l :

2. La pendiente de r es 3/5. Halla:

a) Las coordenadas de un vector paralelo a la recta r.

b)La pendiente de una recta perpendicular a la recta r.

c) Las coordenadas de un vector perpendicular a la recta r.

a) mr = 8 = (5, 3) es paralelo a r.

b) – = mr 8 m = –

c) m = – 8 = (–3, 5) es perpendicular a r.

3. s: . Halla:

a) Ecuación continua de una recta, r1, perpendicular a s que pase por P1(5, –3).

b)Ecuación implícita de r2 paralela a s que pase por P2(0, 4).

c) Ecuación explícita de r3 perpendicular a s que pase por P3(–3, 0).

s : 8 P (5, 0) é s ; s = (–1, 3)

a) El vector dirección de r1 es r1= (3, 1). P1(5, –3) é r1.

r1: =

b) El vector dirección de r2 es el mismo que el de s : r2= (–1, 3).

P2(0, 4) é r2.

r2: = 8 3x = –y + 4 8 3x + y – 4 = 0y – 4

3x – 0–1

8v

y + 31

x – 53

8v

8v

x = 5 – t

y = 3t

°¢£

x = 5 – t

y = 3t°¢£

8w

53

53

1m

8v

35

x = 4 + 2t

y = –3 + 5t

°¢£

8v

x = 4 – 5t

y = –3 + 2t

°¢£

8v

8v


c) El vector dirección de r3 es el mismo que el de r1: r3= (3, 1).

P3(–3, 0) é r3.

r3: = 8 y = x + 1

4. Determina las ecuaciones implícitas de dos rectas que pasen por P(–3, 4) ysean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.

r : 5x – 2y + 3 = 0

r : 5x – 2y + 3 = 0 8 5x + 3 = 2y 8 y = x +


• Recta s paralela a r que pasa por P (–3, 4).

ms = mr =

s : y – 4 = (x + 3) 8 s : 5x – 2y + 23 = 0

• Recta l perpendicular a r que pasa por P (–3, 4).

ml = – = –

l : y – 4 = – (x + 3) 8 l : 2x + 5y – 14 = 0

Página 199

1. Averigua la posición relativa de estos pares de rectas:

a) r : 3x + 5y – 8 = 0 b)r : 2x + y – 6 = 0

s: 6x + 10y + 4 = 0 s: x – y = 0

c) r : , s:

d) r : 3x – 5y = 0, s:

a) r : 3x + 5y – 8 = 0 8 r = (3, 5)

s : 6x + 10y + 4 = 0 8 s = (6, 10)

= ? 8 Las dos rectas son paralelas.–84

510

36

8n

8n

x = 2 + 5ty = 1 + 3t

°¢£

x = 2 + ty = 1 – 2t

°¢£

x = 7 + 5ty = –2 – 3t

°¢£

25

25

lmr

52

52

52

32

52

13

y – 01

x + 33

8v


8UNIDAD

b) r : 2x + y – 6 = 0 8 r = (2, 1)

s : x – y = 0 8 s = (1, –1)


c) r : 8 r = (5, –3)

s : 8 s = (1, –2)


d) r : 3x – 5y = 0 8 r = (3, –5) 8 r = (5, 3)

s : 8 s = (5, 3), Ps = (2, 1)

Como r = s y Ps è r, las rectas son paralelas.

Página 200

1. Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:

a) r1: , r2:

b) r1: , r2: 3x – 5y + 4 = 0

c) r1: y = 5x – 1, r2: y = 4x + 3

a) r1= (–2, 1); r2

= (–4, 3)

cos a = = ≈ 0,9838699101 8 a = 10° 18' 17,45''

b) r1= (–2, 1); r2

= (5, 3)

cos a = = ≈ 0,5368754922 8 a = 57° 31' 43,71''

c) mr1= 5; mr2

= 4

tg a = = ≈ 0,0476190 8 a = 2° 43' 34,72''121|4 – 5

1 + 5 · 4|

7

(√—5 ) · (√

—34)

|(–2, 1) · (5, 3)||(–2, 1)||(5, 3)|

8v

8v

11

(√—5 ) · (5)

|(–2, 1) · (–4, 3)||(–2, 1)||(–4, 3)|

8v

8v

x = 3 – 2ty = 7 + t

°¢£

x = 1 – 4ty = 4 + 3t

°¢£

x = 3 – 2ty = 7 + t

°¢£

8v

8v

8v

x = 2 + 5t

y = 1 + 3t

°¢£

8v

8n

–3–2

51

8v

x = 2 + t

y = 1 – 2t

°¢£

8v

x = 7 + 5t

y = –2 – 3t

°¢£

1–1

21

8n

8n


1. P(–6, –3), Q(9, 5)

r : 3x – 4y + 9 = 0, s: 5x + 15 = 0

Halla la distancia entre los dos puntos. Halla también las distancias de cadauno de los puntos a cada recta.

P (–6, –3), Q (9, 5)

r : 3x – 4y + 9 = 0

s : 5x + 15 = 0

dist (P, Q ) = | | = |(15, 8)| = = = 17

dist (P, r ) = =

dist (P, s ) = = = 3

dist (Q, r ) = =

dist (Q, s ) = = = 12

2. a) Halla el área del triángulo de vértices A(–3, 8), B(–3, 2), C(5, 2) con la fór-mula de Herón.

b)Hállala, también, mediante la fórmula habitual S = b · hb/2, siendo b el la-do . ¿Hay otra forma más sencilla?

a) A (–3, 8), B (–3, 2), C (5, 2)

Fórmula de Herón: S =

p = = 12

S = = = = 24 u2

b) S =

• b = | | = 10 (del apartado anterior)

• Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A (–3, 8) y C (5, 2):

Pendiente: m = = – 8 y = 2 – (x – 5) 8 r : 3x + 4y – 23 = 034

34

–68

8AC

b · hb

2

√576√12 · 4 · 2 · 6√12(12 – 8) (12 – 10) (12 – 6)

8 + 10 + 62

°§¢§£

a = |8BC| = |(8, 0)| = 8

b = |8AC| = |(8, –6)| = √ 82 + (–6)2 = 10

c = |8AB| = |(0, –6)| = 6

√p (p – a)(p – b )(p – c )

AC

605

|5 · 9 + 15|5

165

|3 · 9 – 4 · 5 + 9|5

155

|5(–6) + 15|

√52 + 02

35

|3 · (–6) – 4(–3) + 9|

√32 + (–4)2

√289√152 + 828PQ


8UNIDAD

• hb = dist [B, r ] = =

S = = 24 u2

Habría sido más sencillo si hubiéramos dibujado el triángulo.

Observa:

Es claro que = 6 y = 8.

Como el triángulo es rectángulo:

S = = = 24 u2

A

B C

–3 5

8

2

6 · 82

—AB ·

—BC

2

BCAB

10 · (24/5)2

245

|3 · (–3) + 4(2) – 23|

√32 + 42



Coordenadas de puntos

1 Determina en los siguientes casos si los puntos A, B y C están alineados

a) A(5, –2), B(3, –2), C(–5, –2)

b)A(–1, –2), B(2, 7), C(1, 2)

c) A(0, 3), B(2, 2), C(4, 1)

a) = (3, –2) – (5, –2) = (–2, 0)

= (–5, –2) – (3, –2) = (–8, 0)

Las coordenadas de y son proporcionales, por tanto, A, B y C es-tán alineados.

b) = (2, 7) – (–1, –2) = (3, 9)

= (1, 2) – (2, 7) = (–1, –5)

Las coordenadas de y no son proporcionales, por tanto, A, B y Cno están alineados.

c) = (2, 2) – (0, 3) = (2, –1)

= (4, 1) – (2, 2) = (2, –1)

Las coordenadas de y coinciden, por tanto, los puntos están alineados.

2 Determina k para que los puntos A(–3, 5), B(2, 1) y C(6, k) estén aline-ados.

Debe ocurrir que y sean proporcionales.

8 = 8 5k – 5 = –16 8 k =

3 El punto P(5, –2) es el punto medio del segmento AB, del que conocemosel extremo A(2, 3). Halla B.

☛ Si B = (x, y), , = (5, –2).

8 ( , ) = (5, –2) 8

8 8 B = (8, –7)°¢£

x + 2 = 10 8 x = 8y + 3 = –4 8 y = –7

°¢£

y + 32

x + 22

°¢£

Si B = (x, y)Como P es punto medio de AB

)y + 32

x + 22(

–115

–4k – 1

54

°¢£

8AB = (5, –4)8BC = (4, k – 1)

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

8BC

8AB

PARA PRACTICAR


8UNIDAD

4 Halla el punto simétrico de P (1, –2) respecto del punto H(3, 0).

☛ H es el punto medio entre P y su simétrico.

Si P' (x, y) es simétrico de P (1, –2) respecto de H (3, 0) 8

8 H es el punto medio de PP' 8

8 ( , ) = (3, 0) 8 8 P' (5, 2)

5 Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3, 4)y B (0, –2) en dos partes tales que = 2 .

Sea P (x, y).

Sustituimos en la condición que nos imponen:

= 2 8 (x – 0, y – (–2)) = 2 (3 – x, 4 – y) 8

8 8 8 8

8 8 P (2, 2)

6 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo queA(1, 2), B(5, –1) y C(6, 3).

Sea D (x, y).

Debe cumplirse: =

(5 – 1, –1 – 2) = (6 – x, 3 – y) 8

8 8 8 D (2, 6)

Ecuaciones de rectas

7 Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por Ay tiene una dirección paralela al vector .

a) A(–3, 7), (4, –1) b)A(–1, 0), (0, 2)

Obtén 5 puntos en cada caso.

a) Ecuación vectorial: (x, y) = (–3, 7) + k (4, –1)


Dando valores al parámetro k, obtenemos puntos: (1, 6); (5, 5); (9, 4); (13, 3);(17, 2).

x = –3 + 4k

y = 7 – k

°¢£

8d

8d

8d

A (1, 2)

B (5, –1)

C (6, 3)

D (x, y)

x = 2y = 6

°¢£

4 = 6 – x–3 = 3 – y

°¢£

8DC

8AB

x = 2y = 2

°¢£

3x = 63y = 6

°¢£

x = 6 – 2xy + 2 = 8 – 2y

°¢£

x = 2 (3 – x)y + 2 = 2 (4 – y)

°¢£

8PA

8BP

8PA

8BP

°¢£

x + 1 = 6 8 x = 5y – 2 = 0 8 y = 2

°¢£

y – 22

x + 12


b) Ecuación vectorial: (x, y) = (–1, 0) + k (0, 2)


Puntos: (–1, 2); (–1, 4); (–1, 6); (–1, 8); (–1, 10).

8 Escribe la ecuación de la recta que pasa por P y Q de todas las formas po-sibles.

a) P(6, –2) y Q(0, 5)

b) P(3, 2) y Q(3, 6)

c) P (0, 0) y Q(8, 0)

Halla, en todos los casos, un vector de dirección unitario.

a) = (–6, 7)

Ec. vectorial: (x, y) = (6, –2) + t (–6, 7)

Ec. paramétricas:

Ec. continua: =

Ec. implícita: 7x + 6y – 30 = 0

Ec. explícita: y = – x + 5

b) = (0, 4)

Ec. vectorial: (x, y) = (3, 2) + t (0, 4)

Ec. paramétricas:

Ec. continua: =

Ec. implícita: x – 3 = 0

c) = (8, 0)

Ec. vectorial: (x, y) = (0, 0) + t (8, 0)

Ec. paramétricas:

Ec. continua: =

Ec. implícita y explícita: y = 0

y – 00

x – 08

x = 8t

y = 0

°¢£

8PQ

y – 24

x – 30

x = 3

y = 2 + 4t

°¢£

8PQ

76

y + 27

x – 6–6

x = 6 – 6t

y = –2 + 7t

°¢£

8PQ

x = –1 + 0 · k

y = 2k

°¢£


8UNIDAD

9 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:

a) 2x – y = 0 b) x – 7 = 0

c) 3y – 6 = 0 d) y = – x

e) = f) = 1 – y

a) Si x = t 8 2t – y = 0 8 y = 2t 8 r :

b)

c)

d) y = – x

Obtenemos un punto y un vector de esta ecuación, P (0, 0), (–3, 1), y a par-tir de ellos, las ecuaciones paramétricas:

e) =

Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, : P (1, –1); (3, 2).


f) = 1 – y 8 =

Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, : P (–1, 1); (2, –1).


10 Halla la ecuación continua de cada una de las siguientes rectas:

a) r1: b)r2:

c) r3: 3x + y – 1 = 0 d)r4: y + 1 = (x – 2)

a) 8 = y–3

x + 12

°§§¢§§£

x + 1t = —

2y

t = —–3

°¢£

x = 2t – 1y = –3t

12

x = 2y = 3t

°¢£

x = 2t – 1y = –3t

°¢£

x = –1 + 2ty = 1 – t

°¢£

8v

8v

y – 1–1

x + 12

1 + x2

x = 1 + 3ty = –1 + 2t

°¢£

8v

8v

y + 12

x – 13

x = –3ty = t

°¢£

8v

13

x = ty = 6/3 = 2

°¢£

x = 7y = t

°¢£

x = ty = 2t

°¢£

1 + x2

y + 12

x – 13

13


b) 8 =

c) 3x + y – 1 = 0 8 3x = –y – 1 8 x = 8 =

d) y + 1 = (x – 2) 8 =

11 Determina la ecuación implícita de cada una de las siguientes rectas:

a) r1: = y – 1 b)r2:

c) r3: d)r4: y = x +

Obtén, en cada caso, un vector normal a la recta.

a) = y – 1 8 x + 1 = –2y + 2 8 x + 2y – 1 = 0


b) 8 = 8 5x – 5 = –y – 2 8 5x + y – 3 = 0


c) 8 y – 2 = 0


d) y = x + 8 10y = –15x + 4 8 15x + 10y – 4 = 0


12 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas.

☛ Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son losvectores de la base.

Eje X : 8 Eje X : 8 y = 0

Eje Y : 8 Eje Y : 8 x = 0x = 0y = t

°¢£

O (0, 0) é eje Y8dY = (0, 1)

°¢£

x = ty = 0

°¢£

O (0, 0) é eje X8dX = (1, 0)

°¢£

25

–32

°¢£

x = 3t – 1y = 2

y + 25

x – 1–1

°¢£

x = –t + 1y = 5t – 2

x + 1–2

25

–32

x = 3t – 1y = 2

°¢£

x = –t + 1y = 5t – 2

°¢£

x + 1–2

y + 11

x – 22

12

y + 1–3

x1

–y – 13

y3

x – 20

°§¢§£

x – 2 = 0

yt = —

3

°¢£

x = 2y = 3t


8UNIDAD

13 Obtén, para cada una de las siguientes rectas, un vector de dirección, un vec-tor normal y su pendiente:

a) r1: b)r2: =

c) r3: x + 3 = 0 d)r4: y = x +

a) Vector dirección: = (2, 5) b) Vector dirección: = (2, 4)

Vector normal: = (–5, 2) Vector normal: = (–4, 2)

Pendiente: m = Pendiente: m = = 2

c) Vector dirección: = (0, 1) d) Vector dirección: = (3, 1)

Vector normal: = (1, 0) Vector normal: = (–1, 3)

Pendiente: No tiene, es una Pendiente: m = recta vertical.

14 Comprueba si el punto P(13, –18) pertenece a alguna de las siguientes rec-tas:

r1: 2x – y + 5 = 0 r2:

r3: 3y + 54 = 0 r4:

r1: 2x – y + 5 = 0 8 2 · 13 + 18 + 5 ? 0 P è r1

r2: 8 P è r2

r3: 3y + 54 = 0 8 3(–18) + 54 = 0 P é r3

r4: 8 P é r4

15 Halla, en cada caso, el valor de k para que la recta x + ky – 7 = 0 contengaal punto dado:

a) (5, –2)

b) (7, 3)

c) (–3, 4)

a) (5, –2) 8 5 + k (–2) – 7 = 0 8 –2k = 2 8 k = –1

b) (7, 3) 8 7 + k · 3 – 7 = 0 8 3k = 0 8 k = 0

c) (–3, 4) 8 –3 + 4k – 7 = 0 8 4k = 10 8 k = 52

13 = 13–18 = 10 – t 8 t = 28

x = 13y = 10 – t

°¢£

13 = 12 + t 8 t = 1–18 = –5 + 13t 8 t = –1

x = 12 + ty = –5 + 13t

°¢£

x = 13y = 10 – t

°¢£

x = 12 + ty = –5 + 13t

°¢£

13

8n

8n

8v

8v

42

52

8n

8n

8v

8v

23

13

1 – y4

x + 32

x = 2t – 1y = 5t

°¢£


16 Dada la recta r : , escribe las ecuaciones (en forma explícita)

de las siguientes rectas:

a) Paralela a r que pasa por A(–1, –3).

b)Perpendicular a r que pasa por B(–2, 5).

r : 8 8vr = (–5, 1)

a)8vs = (–5, 1), A (–1, –3) 8 s : y = – (x + 1) – 3 8 s : y = – x –

b)8vs = (1, 5), B (–2, 5) 8 s : y = 5(x + 2) + 5 8 s : y = 5x + 15

17 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, –3)y es:

a) Paralela a la recta 2x – 3y + 5 = 0. En forma paramétrica.

b)Perpendicular a la recta x + y – 3 = 0. En forma continua.

c) Paralela a la recta 2y – 3 = 0.

d)Perpendicular a la recta x + 5 = 0.

a)8vr = (3, 2), P (1, –3) 8 r :

b)8vr = (1, 1), P (1, –3) 8 r : =

c)8vr = (2, 0), P (1, –3) 8 r : 8 r : y = –3

d)8vr = (1, 0), P (1, –3) 8 r : 8 r : y = –3

18 Halla la ecuación de la paralela a 2x – 3y = 0 cuya ordenada en el origen es–2.

☛ La recta pasa por el punto (0, –2).

r : 2x – 3y = 0

8 8 y = x – 2 8 2x – 3y – 6 = 0

ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA

23

ms = mr = 2/3

P (0, –2) é s°¢£

°¢£

s // r 8 la pendiente de s ha de ser igual a la de r

P (0, –2) é s

x = 1 + t

y = –3

°¢£

x = 1 + 2t

y = –3

°¢£

y + 31

x – 11

x = 3 + t

y = 2 – 3t

°¢£

165

15

15

x = 1 – 5ty = 2 + t

°¢£

x = 1 – 5ty = 2 + t

°¢£


8UNIDAD

19 Dada la recta 4x + 3y – 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendiculara ella en el punto de corte con el eje de ordenadas.

☛ El eje de ordenadas es el vertical: x = 0.

• Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de or-denadas.

r : 8 4 – 0 + 3y – 6 = 0 8 3y = 6 8 y = 2

Luego P (0, 2) ér y también debe ser P (0, 2) és, donde s 2 r.

• Como s 2 r 8 sus pendientes deben cumplir:

ms · mr = –1 8 ms = = =

• Como P (0, 2) és y ms = 8 y = x + 2 8 3x – 4y + 8 = 0

20 Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:

a) Su vector de posición es (–3, 1) y su vector de dirección es perpendi-cular a (0, –2).

b)Pasa por A(5, –2) y es paralela a:

c) Pasa por A(1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0.

d)Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P(0, 4) yQ(–6, 0).

a) La ecuación vectorial será:

8OX =

8a + t

8v 8 (x, y) = (–3, 1) + t (2, 0) 8

b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al

de la recta (pues debe ser paralela a ella).

Luego: (–1, 2)

Como debe pasar por A(5, –2) 8

c) La pendiente de la recta r : 2x – 3y + 6 = 0 es:

mr = 8 ms = (pues mr · ms = –1 por ser r 2 s)

Un vector dirección puede ser 8s = (2, –3).

Además, A (1, 3) é s.

Por tanto, s : x = 1 + 2ty = 3 – 3t

°¢£

–32

23

x = 5 – ty = –2 + 2t

°¢£

8d

x = 1 – ty = 2t

°¢£

x = –3 + 2ty = 1

°¢£

x = 1 – ty = 2t

°¢£

8v

8a

34

34

34

–1–4/3

–1mr

4x + 3y – 6 = 0Eje Y : x = 0

°¢£


d) El punto medio de PQ es m ( , ) = (–3, 2)

= (–6, –4)

8

Luego, s :

21 De una cierta recta r conocemos su pendiente m = . Halla la recta s encada caso:

a) s es paralela a la recta r y pasa por el origen de coordenadas.

b)s es perpendicular a la recta r y contiene al punto (1, 2).

a) Al ser paralela, tiene la misma pendiente. Además, pasa por (0, 0):

s : y = x

b) Al ser perpendicular, su pendiente es – = :

y = (x – 1) + 2 8 y = x +

Haz de rectas

22 Consideramos el haz de rectas de centro (3, –2).

a) Escribe la ecuación de este haz de rectas.

b)Halla la ecuación de la recta de este haz que pasa por el punto (–1, 5).

c) ¿Cuál de las rectas del haz es paralela a 2x + y = 0?

d)Halla la recta del haz cuya distancia al origen es igual a 3.

a) a (x – 3) + b (y + 2) = 0; o bien y = –2 + m (x – 3)

b) Si pasa por (–1, 5), entonces, sustituyendo en y = –2 + m (x – 3), obtenemos:

5 = –2 + m (–1 – 3) 8 7 = –4m 8 m = – ; es decir:

y = –2 – (x – 3) 8 4y = –8 – 7x + 21 8 7x + 4y – 13 = 0

c) Si es paralela a 2x + y = 0 tendrá pendiente –2.

Por tanto, será:

y = –2 – 2(x – 3) 8 y = –2 – 2x + 6 8 2x + y – 4 = 0

74

74

72

–32

–32

–32

1m

23

23

x = –3 + 4ty = 2 – 6t

°¢£

m (–3, 2) é s8d (4, –6) es un vector dirección de s, pues

8d 2

8PQ

°¢£

8PQ

42

–62


8UNIDAD

d) Una recta del haz tiene por ecuación:

y = –2 + m (x – 3) 8 y = –2 + mx – 3m 8 mx – y – 3m – 2 = 0

Su distancia al origen ha de ser igual a 3:

= 3; es decir:

|–3m – 2| = 3 . Elevamos al cuadrado y operamos:

9m2 + 12m + 4 = 9(m2 + 1)

9m2 + 12m + 4 = 9m2 + 9

12m = 5 8 m =

Por tanto, será:

x – y – – 2 = 0 8 5x – 12y – 39 = 0

23 Determina el centro del haz de rectas de ecuación:

3kx + 2y – 3k + 4 = 0

Llamamos (x0, y0) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan dela forma:

a (x – x0) + b (y – y0) = 0

3kx + 2y – 3k + 4 = 0 8 3k (x – x0) + 2(y – y0) = 0

3kx – 3kx0 + 2y – 2y0 = 0

3kx + 2y – 3kx0 – 2y0 = 0

Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto:

–3kx0 = –3k 8 x0 = 1

–2y0 = 4 8 y0 = –2

El centro del haz es el punto (1, –2).

24 Las rectas r : y = 3 y s: y = 2x – 1 forman parte del mismo haz de rectas.

Halla la ecuación de la recta de dicho haz de pendiente –2.

Si r : y = 3 y s : y = 2x – 1 están en el mismo haz de rectas, el centro de dichohaz es el punto de corte de estas rectas: P (2, 3).

Buscamos la recta que pasa por P (2, 3) y tiene pendiente m = –2:

y = –2(x – 2) + 3 8 y = –2x + 7

1512

512

512

√m2 + 1

|–3m – 2|

√m2 + 1


Posición relativa de dos rectas

25 Halla el punto de corte de las rectas r y s en cada caso:

a) r : 2x – y + 5 = 0; s: x + y + 4 = 0

b)r : x – 2y – 4 = 0; s :

c) r : ; s :

a) Resolviendo el sistema: P (–3, –1)

b) s : 8 x – 1 = 8 –3x + 3 = y – 2 8 3x + y – 5 = 0

Resolviendo el sistema: P (2, –1)

c) Por las ecuaciones de r : x = 2(*)

s : 8 x = 3 + 2y 2 = 3 + 2y 8 y = –

Por tanto, P 2, – .

26 Calcula el valor de los parámetros k y t para que las siguientes rectas secorten en el punto A(1, 2):

r : kx – ty – 4 = 0

s: 2tx + ky – 2 = 0

27 Determina el valor de k para que las rectas r y s sean paralelas.

r : =

s: =

Para que sean paralelas, sus vectores dirección han de ser proporcionales; es decir:

= 8 k = 4–2k

3–6

y – 1k

x + 5–6

y–2

x – 23


k = 2; t = –1°¢£

k – 2t – 4 = 0

2k + 2t – 2 = 0

°¢£

A é r 8 k · 1 – t · 2 – 4 = 0

A é s 8 2t · 1 + k · 2 – 2 = 0

)12(

12

(*)Ä8x = 3 + 2ty = t

°¢£

°¢£

r : x – 2y – 4 = 0

s : 3x + y – 5 = 0

y – 2–3

x = 1 + ty = 2 – 3t

°¢£

°¢£

r : 2x – y + 5 = 0

s : x + y + 4 = 0

x = 3 + 2ty = t

°¢£

x = 2y = 1 + 3t

°¢£

x = 1 + ty = 2 – 3t

°¢£


8UNIDAD

28 Halla el valor de k para que las siguientes rectas sean coincidentes:

r : 2x + 3y + 5 = 0 s:

Expresamos ambas rectas en forma implícita:

r : 2x + 3y + 5 = 0

s : 4x + 6y – 12 – 4k = 0

Para que r = s, estas ecuaciones tienen que ser proporcionales, y por tanto:

–12 – 4k = 10 8 k = =

Página 208

29 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

a) r : 5x + y + 7 = 0 b)r : 3x + 5y + 10 = 0

s: s: –3x + 5y + 10 = 0

c) r : s :

a) Buscamos un vector dirección de cada recta:

r : 5x + y + 7 = 0 8 r = (5, 1) 8 r = (–1, 5)

s : 8 s = (2, –10)

Como los vectores dirección son proporcionales ( s = –2 r), las rectas o sonparalelas o son coincidentes.

Como P (1, –3) é s y P è r, las rectas son paralelas.

b) Buscamos un vector dirección de cada recta:

r : 3x + 5y + 10 = 0 8 r = (3, 5) 8 r = (–5, 3)

s : –3x + 5y + 10 = 0 8 s = (–3, 5) 8 s = (5, 3)


c) Buscamos un vector dirección de cada recta:

r : 8 r = (3, 1)

s : 8 s = (1, 2)


8vx = t

y = 2t°¢£

8vx = 3t – 1

y = t + 3°¢£

8v

8n

8v

8n

8v

8v

8vx = 2t + 1

y = –10t – 3°¢£

8v

8n

x = ty = 2t

°¢£

x = 3t – 1y = t + 3

°¢£

x = 2t + 1y = –10t – 3

°¢£

–112

22–4

x = –6t + ky = 4t + 2

°¢£


Ángulos

30 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:

a) b)

c) d)

a) 8 sus pendientes son:

tg a = | | = | | = | | = 1 8 a = 45°

b)8 a ~ r1 r2 = , 8

8 cos a = = = 0 8 a = 90°

c) Los vectores dirección de esas rectas son:8d1 = (–1, 2) y

8d2 = (–3, 1)

Entonces:

cos a = = = = = 8 a = 45°

d)8 a ~ r1 r2 =

8a1,

8a2 8 cos a = =

= = = = ≈ 0,4472 8 a = 63° 26' 5,82"

31 ¿Qué ángulo forma la recta 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas?

☛ No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es latangente del ángulo que forma r con el eje deabscisas. Halla el ángulo con la pendiente de r.


La pendiente de r es, además, tg a:

mr = tg a 8 tg a = 8 a = 56° 18' 35,8"32

32

√55

1

√5

2

√5 · 2

|0 – 2|

√—5 · √

—4

|8a1 ·

8a2|

|8a1| |

8a2|

°§¢§£

8a1 = (2, –1) 2 r18a2 = (0, 2) 2 r2

√22

1

√2

5

5√2

|3 + 2|

√—5 · √

—10

|8

d1 ·8

d2 |

|8

d1| |8

d2 |

|30 – 30|

|8v||

8w|

|8v ·

8w|

|8v||

8w|

8w

8v

°§¢§£

8v = (3, –5) 2 r18w = (10, 6) 2 r2

5–5

2 – (–3)1 + 2 (–3)

mr – ms

1 + mr ms

mr = 2ms = –3

°¢£

°¢£

r : y = 2x + 5s : y = –3x + 1

2x – y = 02y + 3 = 0

°¢£

°¢£

x = –1 – 3ty = 4 + t

°¢£

x = 3 – ty = 2t

3x – 5y + 7 = 010x + 6y – 3 = 0

°¢£

y = 2x + 5y = –3x + 1

°¢£


8UNIDAD

ì ì

ì ì

Y

r

aX

32 ¿Qué ángulo forma la recta 2x – y + 5 = 0 con el eje de ordenadas?

☛ El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje deabscisas.

El ángulo pedido, a, es complementario de b 8 tg b =

Por otro lado, tg b = mr = 2:

tg a = = 8 a = 26° 33' 54,2"

33 Calcula n de modo que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60° conel OX.

tg 60° =

mr = –Como tg 60° = mr , se tiene que:

= – 8 n = = = –

34 Calcula m y n en las rectas de ecuaciones:

r : mx – 2y + 5 = 0

s : nx + 6y – 8 = 0

sabiendo que r pasa por el punto P (1, 4) y que r y s forman un ángulode 45°.

☛ Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expre-sa tg 45° en función de las pendientes de r y s para obtener n.

☛ O bien mira el problema resuelto número 3.

P é r 8 m · 1 – 2 · 4 + 5 = 0 8 m = 3

r : 3x – 2y + 5 = 0 8 y = x + 8 mr =

s : nx + 6y – 8 = 0 8 y = – x + 8 ms = –n6

86

n6

32

52

32

Y

r

60°

X√3–3√3

3–3

√3

3n

√3

3n

√3

Y r

b

a

X

12

1tg b

1tg a


°§¢§£

tg 45° = = = = 1

Hay dos posibilidades:

• = 1 8 –2n – 18 = 12 – 3n 8 n = 30

• = –1 8 –2n – 18 = –12 + 3n 8 n = –

Distancias y áreas

35 Halla la distancia entre los puntos P y Q en cada caso:

a) P(1, 3), Q(5, 7) b) P(–2, 4), Q(3, –1) c) P(–4, –5), Q(0, 7)

a) | | = = = 4

b) | | = = = 5

c) | | = = = = 4

36 Calcula k de modo que la distancia entre los puntos A(5, k) y B(3, –2) seaigual a 2.

A (5, k ), B (3, –2), = (–2, –2 – k )

dist (A, B ) = | | = = 2 8 4 + 4 + 4k + k2 = 4 8

8 k2 + 4k + 4 = 0 8 k = –2

37 Halla el valor que debe tener a para que la distancia entre A(a, 2) y B(–3, 5)sea igual a .

| | = 8 = 8 (–3 – a)2 + 9 = 13 8

8 (–3 – a)2 = 4

38 Halla la longitud del segmento que determina la recta x – 2y + 5 = 0 alcortar a los ejes de coordenadas.

Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes decoordenadas.

Calculamos primero dichos puntos:

• 8 –2y + 5 = 0 8 y = 8

8 A (0, ) es el punto de corte con el eje Y.52

52

x – 2y + 5 = 0x = 0

°¢£

–3 – a = 2 8 a = –5

–3 – a = –2 8 a = –1

√13√(–3 – a)2 + (5 – 2)2√138AB

√13

√(–2)2 + (–2 – k )28AB

8AB

√10√160√16 + 144√(0 + 4)2 + (7 + 5)28PQ

√2√25 + 25√(3 + 2)2 + (–1 – 4)28PQ

√2√16 + 16√(5 – 1)2 + (7 – 3)28PQ

65

–2n – 1812 – 3n

–2n – 1812 – 3n

|–2n – 1812 – 3n||–(n/6) – (3/2)

1 – (n/6)(3/2)||ms – mr

1 + msmr|


8UNIDAD

• 8 x + 5 = 0 8 x = 5 8

8 B (5, 0) es el punto de corte con el eje X.

• Luego—AB = dist (A, B ) = = = =

39 Halla la distancia del punto P(2, –3) a las siguientes rectas:

a) b) y = c) 2x + 5 = 0

a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta:

8 = –y 8 x + 2y = 0

Entonces:

dist (P, r ) = = = =

b) y = 8 y – = 0

Por tanto:

dist (P, r ) = = =

c) dist (P, r ) = =

40 Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas:

a) 3x – 4y + 12 = 0 b) 2y – 9 = 0

c) x = 3 d) 3x – 2y = 0

a) dist (0, r ) = =

b) dist (0, r ) = =

c) dist (0, r ) = = = 3

d) dist (0, r ) = = = 0

(es decir, la recta 3x – 2y = 0 pasa por el origen).

0

√13

|3 · 0 – 2 · 0|

√32 + 22

31

|0 – 3|

√12 + 02

92

|2 · 0 – 9|

√02 + 22

125

|3 · 0 – 4 · 0 + 12|

√32 + (–4)2

92

|2 · 2 + 5|

√22 + 0

214

|–3 – 9/4|

√1

|1(–3) – 9/4|

√02 + 12

94

94

4√55

4

√5

|2 – 6|

√5

|1 · 2 + 2 (–3)|

√12 + 22

x2

t = x/2t = –y

°¢£

94

x = 2ty = –t

°¢£

√552√125

425√25 + —4

5√(5 – 0)2 + (0 – —)22

x – 2y + 5 = 0y = 0

°¢£


41 Determina c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2)sea de unidades. (Hay dos soluciones).

dist (P, r ) = = = =

Hay dos soluciones:

Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:

42 Halla la distancia entre las rectas r : x – 2y + 8 = 0 y r' : –2x + 4y – 7 = 0.

☛ Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distan-cia a r '.

Sus pendientes son mr = = mr' 8 Son paralelas.

Entonces, la distancia entre r y r ' será:

dist (P, r ' ) donde P ér

Sea x = 0.

Sustituyendo en r 8 y = = 4 8 P (0, 4) ér

Así:

dist (r, r ' ) = dist (P, r ' ) = = = =

43 En el triángulo cuyos vértices son O(0, 0), A(4, 2) y B(6, –2), calcula:

a) La longitud del lado OB—

.

b) La distancia de A al lado OB.

c) El área del triángulo.

a) | | = = 2

b) Ecuación de OB:

m = = – ; y = – x 8 x + 3y = 0

Distancia de A a OB:

d = = (es la altura del triángulo).

c) Área = · 2 · = 10 u210

√10√10

12

10

√10

|4 + 3 · 2|

√12 + 32

13

13

–26

√10√62 + (–2)28OB

9√510

9

2√5

|16 – 7|

√20

|–2 · 0 + 4 · 4 – 7|

√(–2)2 + 42

–8–2

12

x – 3y + 10 = 0

x – 3y – 10 = 0

P

√10|c|

√10

|6 – 6 + c|

√10

|1 · 6 – 3 · 2 + c|

√1 + 9

√10


8UNIDAD

= 8 c1 = 10

= – 8 c2 = –10√10|c|

√10

√10|c|

√10

°§§§¢§§§£

A(4, 2)

B(6, –2)

O

44 Comprueba que el triángulo de vértices A(–3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rec-tángulo y halla su área.

Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras:

52 + 52 = ( )2 8 Por tanto, el triánguloes rectángulo.

Área = · | | · | | = · 25 = 12,5 u2

45 Halla el área del triángulo cuyos vértices son P(–1, 2), Q(4, 7), R(7, 0).

| | = = = 2 (Base del triángulo)

Ecuación de PR :

m = = – 8 y = 0 – (x – 7) 8

8 4y = –x + 7 8 x + 4y – 7 = 0

Altura: d (Q, PR ) = =

Área = · 2 · = 25 u2

Página 209

46 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p.

Y

aX

180° – b

s

t

r

p30°

30°

b

Y

X

p

s

30°

r

t

PARA RESOLVER

25

√17√17

12

25

√17

|4 + 4 · 7 – 7|

√12 + 42

14

14

0 – 27 + 1

√17√68√(7 + 1)2 + (0 – 2)28PR

12

8BC

8AB

12

√50

°§¢§£

|8AB| = √(0 + 3)2 + (5 – 1)2 = 5

|8AC| = √(4 + 3)2 + (2 – 1)2 = √

—50

|8BC| = √42 + (2 – 5)2 = 5


Q(4, 7)

R(7, 0)

P(–1, 2)

O

• p : Pasa por los puntos (–3, –3) y (1, 4).


m = =

Por tanto:

p : y = 1 + (x – 4) 8 7x – 4y + 9 = 0

• r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto (0, ).Por tanto:

r : y = –

• s : Su vector dirección es (0, 1) y pasa por (2, 0).

Por tanto:

s :

• t : Pasa por los puntos (1, 0) y (–3, 2).


m = = = –

Por tanto:

t : y = – (x – 1) 8 x + 2y – 1 = 0

47 Dada la recta:

r :

halla un valor para k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segun-do cuadrante.

• La bisectriz del segundo cuadrante es x = –y 8 (en paramétricas).

Su vector dirección es = (–1, 1).

• El vector dirección de r es = (3, k ).

• Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vecto-res dirección deben ser proporcionales:

= 8 k = –31k

–13

8r

8d

x = – ty = t

°¢£

x = –1 + 3ty = 2 + kt

°¢£

12

12

2–4

2 – 0–3 – 1

x = 2y = t

°¢£

32

–32

74

74

4 – (–3)1 – (–3)


8UNIDAD