Analisis Matematico II. Curso 2009/2010.Diplomatura en Estadıstica/Ing. Tec. en Inf. de Gestion. Universidad de Jaen

TEMA 1. ESPACIOS METRICOS Y TOPOLOGIA

1. ¿Que es la topologıa?

A mediados del siglo XIX comenzo un desarrollo completamente nuevoen geometrıa que pronto se convertirıa en una de las grandes fuerzas de lasmatematicas modernas. La nueva rama, llamada analysis situs (“analisis dela posicion”) o topologıa, tiene como objeto de estudio las propiedades delas figuras geometricas que permanecen invariantes al someterlas a deforma-ciones continuas, por lo que tambien es conocida como geometrıa de la laminaelastica.

Dice un chiste que un topologo no distingue entre una taza de cafe y unarosquilla porque ambas son iguales desde un punto de vista topologico (si lataza estuviese hecha de plastilina podrıamos deformarla continuamente hastaobtener la forma de una rosquilla).

Figura 1: Transformacion topologica de una taza en un donut

Sin embargo una magdalena no es topologicamente equivalente a unarosquilla porque esta tiene un agujero y la primera no (el numero de agujeroses un invariante topologico).

Otro invariante topologico es el numero de caras de una superficie: unaesfera o un cilindro tienen dos caras (una interior y otra exterior que podrıapintarse de colores distintos sin que estos colores se encontrasen). Sin embargo

Figura 2: Superficies equivalentes y no equivalentes

una banda de Moebius, que se obtiene a partir de una cinta de papel a laque damos un giro antes de pegar por el borde, tiene una sola cara.

Figura 3: Banda de Moebius disenada por el artista holandes M. C. Escher

1.1. Algunos ejemplos de teoremas topologicos

1.1.1. La formula de Euler para los poliedros

Aunque la topologıa es una creacion de los ultimos 150 anos, antes huboalgunos descubrimientos aislados que encontraron su lugar en el desarrollosistematico moderno. El mas importante de estos descubrimientos es unaformula que relaciona el numero de vertices, de aristas y de caras de unpoliedro simple, la cual fue observada en 1640 por Descartes y redescubiertay utilizada por Euler en 1752.

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En un poliedro simple si V denota el numero de vertices, A el numero dearistas y C el numero de caras entonces siempre se cumple la igualdad

V − A + C = 2.

Recuerda que un poliedro es un solido cuya superficie consta de un ciertonumero de caras poligonales. Un poliedro es simple si no tiene “agujeros”, demanera que su superficie puede deformarse continuamente en la superficie deuna esfera.

Figura 4: Los poliedros simples regulares

Figura 5: Un poliedro simple no regular

1.1.2. EL teorema del punto fijo de Brouwer

En las aplicaciones de la topologıa a otras ramas de las matematicas losteoremas de “punto fijo”desempenan un papel importante. Un ejemplo tıpico

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es el siguiente teorema de Brouwer: consideremos un disco circular en el plano,i.e., la region que consta del interior de un cırculo junto con su circunferen-cia, y supongamos que sus puntos son sometidos a cualquier transformacioncontinua bajo la cual cada punto permanece dentro del cırculo pero situa-do de manera diferente. Por ejemplo un disco delgado hecho de hule puedeser aplastado, girado, doblado, estirado o deformado (pero no rasgado) decualquier manera siempre y cuando la posicion final de cada punto del discopermanezca dentro de su circunferencia original. O por ejemplo la superficiede una taza de cafe puede ser agitada de tal modo que las partıculas sobrela superficie permanezcan en esta pero cambien de posicion.

Figura 6: Una transformacion continua de un disco cerrado en si mismo

El teorema del punto fijo de Brouwer establece que cada una de talestransformaciones deja al menos un punto fijo o invariante, es decir, existe almenos un punto cuya posicion despues de la transformacion sigue siendo lamisma que tenıa originalmente. En el caso de la taza de cafe podemos afirmarque al terminar de removerla (no importa como lo hagamos ni durante cuantotiempo) hay al menos un punto que ocupa la misma posicion que tenıa alprincipio.

Es digno de mencion que el matematico J. F. Nash (en cuya vida se baso lapelıcula “Una mente maravillosa”) utilizo una version general del teorema delpunto fijo de Brouwer para demostrar la existencia de un equilibrio para unjuego no cooperativo con varios jugadores, lo que le valio el premio Nobel deEconomıa de 1994.

1.1.3. El teorema de la curva cerrada de Jordan

Imagina que una curva cerrada simple (una que no se interseca consigomisma) esta trazada en el plano. ¿Que propiedad de esta figura persiste inclu-

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so si el plano se considera como una lamina de goma que puede ser deformadade cualquier manera? La longitud de la curva y el area que encierra puedencambiar con una deformacion. Sin embargo hay una propiedad topologicamuy sencilla que permanece: una curva cerrada simple C siempre divide elplano en exactamente dos dominios, el interior y el exterior de dicha curva.

Esta afirmacion es obviamente verdadera para un cırculo o una elipsepero la autoevidencia se desvanece si se considera una curva mas complicadacomo esta.

Figura 7: Curva de Jordan

Este teorema fue establecido por por primera vez por Camille Jordan(1838-1922) en su famoso libro Cours d’Analyse, del cual una generacioncompleta de matematicos aprendio el concepto moderno de rigor en el anali-sis.

Las primeras demostraciones rigurosas del teorema eran muy complicadasy difıciles de entender aun para muchos matematicos bien entrenados. Unade las razones de la dificultad radica en la generalidad del concepto “curvacerrada simple”que incluye todas las curvas que son imagenes topologicas deun cırculo. Por otra parte, muchos conceptos tales como “interior”, “exte-rior”,..., que son tan claros para la intuicion, deben precisarse para que seaposible una demostracion rigurosa.

1.1.4. El teorema de los cuatro colores

A partir del ejemplo anterior podrıa pensarse que la topologıa se ocupa dedemostrar rigurosamente afirmaciones obvias de las que ninguna persona ensu sano juicio dudarıa. Al contrario, hay cuestiones topologicas muy sencillas

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de plantear, y para las que la intuicion no ofrece respuestas satisfactorias.Un ejemplo de este tipo es el famoso “teorema de los cuatro colores”.

Cuando se colorea un mapa geografico se acostumbra utilizar colores dis-tintos para paıses que tengan una porcion de su frontera en comun. Se haencontrado empıricamente que cualquier mapa, sin importar cuantos paısestenga ni como esten situados, puede ser coloreado de esa manera usando solocuatro colores. Es facil ver que un numero menor de colores no bastarıa paratodos los casos.

El teorema de los cuatro colores afirma que para cualquier subdivision delplano en regiones que no se solapen siempre es posible colorear cada una de lasregiones con uno de los colores rojo, azul, verde y amarillo de tal manera queno haya dos regiones adyacentes pintadas con el mismo color (por “regionesadyacentes”se hace referencia a aquellas regiones con un segmento de fronteraen comun. Dos regiones que se toquen en un unico punto o en un numerofinito de puntos, como los estados de Arizona y Colorado en E.E.U.U., no sellamaran adyacentes).

El problema de demostrar este teorema fue propuesto por Moebius en1840, por De Morgan en 1850 y por Cayley en 1878. Kempe publico una“demostracion”en 1879, pero en 1890 Heawood encontro un error en los ar-gumentos de Kempe.

Finalmente el resultado fue probado por Appel y Haken en 1977 con-struyendo una demostracion asistida por ordenador. Sin embargo, debido aque una parte importante de la prueba consiste en un analisis exhaustivode muchos casos utilizando un ordenador (y por tanto ningun ser humanopuede verificarla en su totalidad) algunos matematicos no la han aceptado.Sin duda este teorema ha abierto un interesantısimo debate en la comunidadmatematica sobre la naturaleza de las demostraciones matematicas y en ulti-mo caso sobre la actividad matematica en si misma.

Referencias:

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R. Courant y H. Robbins, ¿Que son las matematicas? Conceptos ymetodos fundamentales, Fondo de Cultura Economica, Mexico, 2002.

2. Espacios metricos

Un espacio metrico es un conjunto X en el que podemos medir distancias,es decir, disponemos de una metrica o distancia que es una aplicacion

d : X ×X −→ [0,∞)(x, y) −→ d(x, y)

que ademas satisface las siguientes propiedades:

(i) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

(ii) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X.

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todo x, y, z ∈ X.

Ejemplo 2.1. 1. X = R, d(x, y) = |x− y|.

2. X = R2, d2((x1, x2), (y1, y2)) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

3. X = R2, d1((x1, x2), (y1, y2)) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|.

4. X = R2, dp((x1, x2), (y1, y2)) = p√|x1 − y1|p + |x2 − y2|p p ≥ 1.

5. X = R2, d∞((x1, x2), (y1, y2)) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}.

6. X = Rn, dp((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)) = p√∑n

i=1 |xi − yi|p n ∈N, p > 0.

7. X = C(I), d(f, g) = maxx∈I{|f(x)− g(x)|}, I = [a, b].

Un concepto fundamental en un espacio metrico (X, d) es el concepto debola. Dados x ∈ X y r > 0 definimos

B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} Bola abierta de centro x y radio r > 0,

B[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} Bola cerrada de centro x y radio r > 0.

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Ejemplo 2.2. Dibuja en los siguientes espacios metricos las bolas abiertasy cerradas de centro el origen y radio 1:

1. X = R, d(x, y) = |x− y|.

2. X = R2, d2((x1, x2), (y1, y2)) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

3. X = R2, d1((x1, x2), (y1, y2)) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|.

4. X = R2, dp((x1, x2), (y1, y2)) = p√|x1 − y1|p + |x2 − y2|p p ≥ 1.

5. X = R2, d∞((x1, x2), (y1, y2)) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}.

6. X = C(I), d(f, g) = maxx∈I{|f(x)− g(x)|}, I = [a, b].

Un conjunto ∅ 6= A ⊂ X se dice abierto si para cada punto a ∈ A exister > 0 (el radio r puede depender del punto a) de tal forma que

B(a, r) ⊂ A.

Por conveniencia diremos que el conjunto vacıo tambien es abierto. El com-plementario de un conjunto abierto se llama cerrado, es decir, F ⊂ X escerrado si y solo si

F c := {x ∈ X : x /∈ F}

es un conjunto abierto. (Observa que un conjunto puede ser simultaneamenteabierto y cerrado o ninguna de las dos cosas).

Ejercicio 2.1. ¿Son los siguientes conjuntos abiertos o cerrados en (R2, d2)?

1. {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 16}

2. {(x, y) ∈ R2 : y > x− 3},

3. {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x + 5},

4. {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + (y + 2)2 = 1},

5. {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 4},

6. {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 ≤ 9},

7. {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y − 1)2 < 2, y ≥ 2}.

Dado un conjunto A ⊂ X se definen:

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El interior de A, se denota como int(A), es el mayor conjunto abiertoque esta contenido en A. Se satisface que

int(A) = {x ∈ A : ∃r > 0 / B(x, r) ⊂ A}.

La adherencia de A, se denota como A, es el menor conjunto cerradoque contiene a A. Se satisface que

A = {x ∈ X : ∀r > 0 / B(x, r) ∩ A 6= ∅}.

La frontera de A, se denota como ∂A, se define como

∂A = {x ∈ X : ∀r > 0 / B(x, r) ∩ A 6= ∅ y B(x, r) ∩ Ac 6= ∅}.

Ejercicio 2.2. Calcula el interior, la adherencia y la frontera de los conjun-tos que aparecıan en el ejercicio anterior.

Dada una funcion f : X → Y entre dos espacios metricos (X, d) y (Y, d)diremos que f es continua si

∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0/ [d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε].

Observa que en el caso particular X = Y = R y d(x, y) = d(x, y) = |x−y|la definicion que acabamos de dar de continuidad coincide con la definicionusual que ya conoces para funciones de una variable.

Diremos que f : X → Y es un homeomorfismo si satisface las siguientespropiedades:

(i) f es inyectiva, es decir, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

(ii) f es sobreyectiva, es decir, para todo y ∈ Y existe x ∈ X tal quef(x) = y.

(iii) f es continua.

(iv) f−1 : Y → X es continua.

En otras palabras, f es una transformacion continua invertible y cuyainversa tambien es continua. Las propiedades que conservan los homeomor-fismos son las llamadas propiedades topologicas. La topologıa constituye elestudio de las propiedades invariantes frente a homeomorfismos. Algunas deestas propiedades topologicas son la conexidad y la compacidad.

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Hablando sin mucha precision diremos que un conjunto es conexo cuan-do esta formado por una sola pieza. Por ejemplo en R los unicos con-juntos conexos son los intervalos (degenerados o no).

Ejercicio 2.3. Determinar cuales de los siguientes conjuntos son conexos:

1. {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 = 1}.

2. {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 0}.

3. {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1}.

4. {(x, y) ∈ R2 : x2 − y4 = 1}.

5. {(x, y) ∈ R2 : y ≤ |x|}.

La compacidad es un concepto topologico mas delicado de definir. Anosotros nos bastara con saber que en X = Rn ser compacto es equiv-alente a ser cerrado y acotado.

Ejercicio 2.4. Determinar cuales de los siguientes subconjuntos de R2 y R3

son compactos:

1. {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ (x− 1)2 + y2 ≤ 4}.

2. R2 \ {(x, 0) ∈ R2 : |x| ≤ 1}.

3. {(x, y) ∈ R2 : x3 + sen(x) = y}.

4. {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ (x− 1)2 + y2 < 4}.

5. {(x, y) ∈ R2 : |x|5 + |y|5 = 1}.

6. {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2}.

7. {(x, y, z) ∈ R3 : x6 + y6 + z4 ≤ 1}.

Es importante saber que la conexidad y la compacidad son propiedadestopologicas. En efecto,

Teorema 2.1. Sea f : X → Y una funcion continua. Entonces:

1. Si A ⊂ X es conexo entonces f(A) ⊂ Y tambien es conexo.

2. Si A ⊂ X es compacto entonces f(A) ⊂ Y tambien es compacto.

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Ejercicio 2.5. Probar que:

1. [−1, 1] no es homeomorfo a R.

2. [−1, 1] no es homeomorfo al cırculo unidad {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

Los siguientes teoremas son consecuencia de las propiedades anteriores.

Teorema 2.2 (Teorema de Bolzano). Sea f : [a, b] → R una funcioncontinua. Si

f(a)f(b) < 0,

entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema 2.3 (Teorema de Weierstrass). Sea A ⊂ Rn un conjuntocerrado y acotado. Si f : A → R es continua entonces f alcanza el maximoy el mınimo absolutos, es decir, existen x0, x1 ∈ A tales que

f(x0) = m = mınx∈A

f(x) y f(x1) = M = maxx∈A

f(x).

Dada una sucesion {xn}n∈N ⊂ X vamos a decir que

es una sucesion de Cauchy si

∀ε > 0 ∃n0 = n0(ε) ∈ N/ [p, q > n0 ⇒ d(xp, xq) < ε].

converge a un lımite l ∈ X si

∀ε > 0 ∃n0 = n0(ε) ∈ N/ [n > n0 ⇒ d(xn, l) < ε].

Se cumple que toda sucesion convergente es de Cauchy pero el recıpro-co no es cierto en general. Los espacios metricos que tienen la importantepropiedad de que toda sucesion de Cauchy es convergente se llaman espaciosmetricos completos. Los espacios R, R2 y en general Rn son espacios metricoscompletos con cualquiera de las distancias que hemos visto. En general, unsubconjunto X ⊂ Rn es completo si y solo si X es cerrado en Rn.

Una aplicacion f : X → Y se llamara k-contractiva si existe 0 ≤ k < 1tal que

d(f(x1), f(x2)) ≤ k d(x1, x2) para todo x1, x2 ∈ X.

Claramente toda aplicacion contractiva es continua (pero el recıproco noes cierto). El siguiente teorema de gran importancia en muchas ramas de lasmatematicas fue demostrado por el matematico polaco S. Banach en su tesisdoctoral (1922).

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Teorema 2.4 (Teorema de la aplicacion contractiva). Sean (X, d)un espacio metrico completo y T : X → X una aplicacion k-contractiva.

Entonces existe un unico punto fijo para T , es decir, un unico puntox ∈ X tal que x = Tx.

Ademas la sucesion de aproximaciones sucesivas {xn}∞n=0 definida como

x0 ∈ X, xn+1 = T (xn) n = 1, 2, 3, . . . ,

converge al unico punto fijo x para cualquier eleccion del punto inicial x0 ∈X, satisfaciendose que

d(xn, x) ≤ kn

1− kd(x0, x1) para todo n = 0, 1, 2, . . .

La importancia del Teorema de la aplicacion contractiva radica en sugeneralidad, que lo hace susceptible de ser aplicado en muchas ramas de lasmatematicas (resolucion de ecuaciones y sistemas de ecuaciones numericas,ecuaciones diferenciales,...) Ademas en una formulacion sencilla proporcionauna gran cantidad de informacion:

Existencia de solucion.

Unicidad de solucion.

Metodo de aproximacion convergente.

Acotacion del error cometido en cada aproximacion.

A continuacion se presentan condiciones suficientes para aplicar el Teore-ma de la aplicacion contractiva para una aplicacion f : [a, b] ⊂ R → R.

Teorema 2.5. Supongamos que f : [a, b] ⊂ R → R satisface

1. Existe f ′(x) ∀x ∈ [a, b].

2. f([a, b]) ⊂ [a, b], es decir, si a ≤ x ≤ b entonces a ≤ f(x) ≤ b.

3. |f ′(x)| ≤ k < 1 ∀x ∈ [a, b].

Entonces la sucesion{x0 ∈ [a, b],xn+1 = f(xn), n = 1, 2, 3, . . .

converge a la unica solucion x en [a, b] de la ecuacion f(x) = x.Ademas se tiene la estimacion para el error

|xn − x| ≤ kn

1− k|x1 − x0|, n = 1, 2, 3, . . .

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Ejemplo 2.3. Demostrar que la ecuacion 2x+sen(x)−1 = 0 tiene una unicasolucion en el intervalo [0, 1]. Dar un valor aproximado de la solucion con unerror menor que 10−3.

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