1-SESION-02-ETAPAS-MODELOS-2012-2

Carlos Rubén Guerrero M. 13

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

Planificacion

1) Analizar el sistema Identificar el problema:

• ¿Qué se quiere lograr?

• ¿Qué se tiene?

• ¿Qué se tiene que decidir?

2) Modelar el simulado r: Identificar las entidades (objetos ) que

participan, sus atributos ( var iables ) y sus

relaciones ( actividades )

Determinar si las variables son exógenas

(pronósticarlas ) o endógenas (algunas serán

parte de la solución - variables de decisión )

Tratar como parámetro lo que sea controlable

Determinar con precisión las medidas de

efectividad (Variables de resultados) : Costos

totales, tiempos de espera promedio, Utilidad

promedio etc)

3) Validar el modelo (Pruebas de bondad de ajuste) Simular y comparar con datos históricos

Si no hay datos históricos utilizar criterio de expertos.

4) Construir el simulador:

MODELAMIENTO Y SIMULACION Carrera Profesional: Ingeniería de Sistemas. Semestre Académico: 2012 - II. Ciclo: Sexto Docente: Carlos Rubén Guerrero M.

Sesión 2: Etapas de la Planificación de un experimento de si mulación

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Desarrollar las fórmulas apropiadas

Generar las variables exógenas

Simular el proceso

Registrar estadísticas de los resultados de cada

corrida

(Usar EXCEL, programas o software de simulación) 5) Diseñar el experimento de simulación • Determinar las condicione

• Determinar tamaño de muestra y

• Número de corridas

* Posteriormente se verá el cálculo del número de corridas estadísticamente.

6) Realizar el experimento e interpretar resultados

7) Tomar decisiones

Seleccionar la alternativa que maximice la utilidad promedio

Ejemplo- Los problema (1), (2) y (3): formularlo, s iguiendo las

etapas presentadas anteriormente

I En cualquier experimento de simulación, así como también la mayoría de los

experimentos de muestreo, existe la necesidad de contar con una fuente de números

aleatorios. Los números aleatorios que estudiaremos, se refieren a números o valores

de variables, que siguen una distribución uniforme.

La finalidad del presente capítulo, es analizar las propiedades convenientes de estas

series de números, cuando se utilizan en un experimento de simulación, a fin de

presentar algunos métodos para su generación y varias pruebas estadísticas, que se

pueden aplicar a una determinada serie, para determinar cuáles son las propiedades

que poseen.

Ahora, nos ocuparemos de aspectos del proceso más básico que consiste en producir

las series de números aleatorios iniciales. Como se mencionó antes, el recipiente que

contenía las cuentas se ha convertido en un dispositivo que proporciona números

aleatorios distribuidos uniformemente. En este sentido, el acto de sacar una cuenta y



anotar su número es un acto de generación de números aleatorios y todo el proceso

podría llamarse generación de series de números aleatorios . Los números con los

que trabajamos, utilizando este generador, están uniformemente distribuidos. Si

utilizáramos 100 cuentas, numeradas consecutivamente de 00 a 99, podríamos evaluar

el evento en un nivel más microscópico, debido al dígito adicional de significación. No

obstante, en realidad, nos interese la producción de variables aleatorias a partir de la

distribución uniforme, cuya función de densidad para el caso continuo se define como

sigue:

x

1a < x < b

f (x) = b - a0 de otra forma

Donde la variable aleatoria x , se define sobre el intervalo (a , b). Aunque se pueden

utilizar otros valores, en este análisis nos ocuparemos de la generación de una serie de

valores sobre el intervalo (0 , 1).

Un paso clave para desarrollar un experimento de simulación, es tener rutinas que

generen variables aleatorias con distribuciones especificas: exponencial, poisson, etc.

Esta tarea se desarrolla en dos etapas. La primera consiste en generar una secuencia

de números aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1. Luego se transforma la

secuencia, para obtener los valores aleatorios de las distribuciones deseadas.

La primera etapa, es de nuestro interés ahora.

II PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ALEATORIOS DISTRIBUIDOS

UNIFORMEMENTE

Conforme un experimento de simulación sigue adelante en el tiempo; se generan

números aleatorios uniformemente distribuidos, consideremos que los números

aleatorios, son generados por medio de un algoritmo computacional. El generador de

números aleatorios, está diseñado para producir valores, que siguen la distribución

uniforme. La pregunta que debemos responder es: "¿Que propiedades debe poseer

esta serie de valores de la variable aleatoria dist ribuida uniformemente?"

En primer lugar, examinaremos la distribución de probabilidad Uniforme y definiremos

las propiedades que posee.

La media de esta distribución debe ser 12 .

La media de esta distribución debe ser 12 .


GENERADORES CONGRUENCIALES LINEALES (GCL)

Estos algoritmos fueron estudiados por D. Lehmer ¸ en 1951, él descubrió que los

residuos de potencias sucesivas de un número, tienen buenas propiedades aleatorias

nx = na mod m

Una expresión equivalente para calcular nx , después de calcular n-1x es

nx = n-1a x mod m

Los parámetros a y m son llamados multiplicador y modulo respectivamente.

Muchos de los generadores actuales son generalizaciones de la propuesta de Lehmer

y tienen la siguiente forma:

I) nx = ) modn-1(ax b m++++ Llamado Congruencial Mixto

II) nx = ) modn-1(ax m Llamado Congruencial Multiplcativo

Ejemplo 1−−−−

El generador congruencial mixto nx = ) modn-1(5x 16+ 1+ 1+ 1+ 1 , 0x = 5 , produce la serie:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11,

Como se puede apreciar el período del presente generador es 16; es decir tiene

período ___________.

Ejemplo 2−−−−

Consideremos el GCLM : Xn = 13 xn-1 mod 64, 0x = 3, produce la serie:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

3, 39, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5

Como se puede apreciar el período del presente generador es 16; es decir tiene

período ___________.

Hallar la serie generado por :

a) nx = 5 n-1x mod 52 ; 0x = 1 b) nx = 7 n-1x mod 52 ; 0x = 1

Luego halle su período

Ejercicios 1−−−− . Hallar la serie generado por cada uno de las siguientes relaciones. Indique

algunas características, respecto al número de valores generados:

Función de distribución Uniforme



a) nx = (5xn-1+21) mod 102; 0x = 3 b) nx = modn-113x 64 0x = 3

c) nx = ) mod+n-1(5x 21 100 0x = 17 d) nx = modn-13x 100 0x = 17

e) nx = ) mod 2n-1(13 7 10++++ , 0x = 5 f) nx = ) mod 6

n-1(50 7 2+ 1+ 1+ 1+ 1 , 0x = 13

g) nx = ) mod 2n-1(8 10+ 16+ 16+ 16+ 16 , 0x = 15 h) nx = ) mod 5

n-1(5 2+ 24+ 24+ 24+ 24 , 0x = 7

i) nx = n-1(7x 7 10) mod++++ , 0x = 7 j) nx = 5n-1(9x 2) mod+ 13+ 13+ 13+ 13 , 0x = 3

k) nx = 2n-1(21x 10) mod+ 221+ 221+ 221+ 221 , 0x = 7

Para el generador congruencial nx = (13xn-1+7) mod 8; 0x = 5, se tiene:

La serie generada es: Y los correspondientes números Uniformes (0 , 1)

1 5 1 5/8 0.625 2 0 2 0 0.000 3 7 3 7/8 0.875 4 2 4 2/8 0.250 5 1 5 1/8 0.125 6 4 6 4/8 0.500 7 3 7 3/8 0.375 8 6 8 6/8 0.750

La cola la integran: - - - - - - Su tamaño es 0 El ciclo de vida, lo integran los valores 5, 0, 7, 2, 1, 4, 3, 6

Tamaño de su período: 23 Ejercicios 2−−−−

a) Por medio del algoritmo congruencial lineal nx = ) mod 6n-1(13x 2+ 26+ 26+ 26+ 26 , 0x = 21,

genere 5 números entre cero y uno

b) El algoritmo congruencial lineal se convierte en el algoritmo congruencial

multiplicativo cuando b es igual a cero ( b = 0). Por medio del algoritmo congruencial

multiplicativo genere 5 números entre cero y uno con los siguientes parámetros:

Xo=11, a=21 y m=128.

Ejercicios 3−−−−

2).Utilice la hoja de cálculo, para determinar el período de los siguientes generadores

Congruencia les Multiplicativos.

a) n+1x = 203 nx mod 105 0x = 17

b) n+1x = 211 nx mod 108 0x = 19


c) n+1x = 221 nx mod 103 0x = 3

d) n+1x = 5 nx mod 26 0x = 7

e) n+1x = 11 nx mod 27 0x = 9

f) n+1x = 3 nx mod 102 0x = 17

g) n+1x = 5 nx mod 32 0x = 5

Después de haber realizado la presente tarea.

A continuación tiene ud. las siguientes afirmaciones. Escriba ( V ),en caso de ser

verdaderas; o ( F ) en otro caso

a). El ciclo del presente algoritmo es 100.

El último término de la sucesión es 1

n+1x = 221xn mod 10 3 0x = 3

b) El ciclo del presente algoritmo es 16.

El último término de la sucesión es 31

Ejercicios 4−−−−

Genere 50 números aleatorios en ( 0, 1 ), con el algoritmo (a) y verificar su

aleatoriedad, mediante las siguientes pruebas. Utilice αααα = 0. 05

Pruebas de Uniformidad

a) El Buen ajuste. (6 intervalos, haga su gráfica de f. a.)

b) Kolmogorov – Smirnov . (6 intervalos, haga su gráfica de F y S )

Pruebas de independencia

1 Las “Corridas “

2 Las “Corridas “, respecto a su Media

3 Ascendente y Descendente.

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