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SISTEMA DE NUMEROS

NÚMEROS ENTEROSDIVISIBILIDADNÚMEROS PRIMOSMÍNIMO COMÚN MULTIPLOMÁXIMO COMÚN DIVISOR

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Z  =  Conjunto de los Números Enteros

Z  =   { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

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PRODUCTO EN Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente ley de los signos :

(+)  · (+)    =    +

(-)  · (-)     =    +

(+) · (-)     =    -

(-)  · (+)     =    -

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DIVISIBILIDAD

Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B, si al dividir A entre B la división resulta exacta.

A B A Є Ζ , B Є Ζ +

0 K K Є Ζ

Se dice : “ A es divisible entre B ” ó

“ B es un divisor de A ”

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MULTIPLICIDAD

Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo B, si A es el resultado de multiplicar a B por un número entero K.

A = B.K A Є Ζ , B Є Ζ +

K Є Ζ Se dice : “ A es múltiplo de B “ ó

“ B es un factor de A “

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DIVISIBILIDAD < > MULTIPLICIDAD

Indicar que: un número entero A es divisible entre ó múltiplo de otro número positivo B, se considerará equivalente, y se denotará: o o A = B ó A = B ó A=nB, n ZB: Módulo

Ejemplos:

o o o o21= 7 , - 45 = 9 , 5 = 5 , 0 = 3

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OBSERVACIONES

Todo número entero positivo es divisible por si mismo y por la unidad.

La unidad es divisor de todo número entero .

El cero es múltiplo de todo número entero.

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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Es un conjunto de reglas que , aplicadas a las cifras de un número , nos permite anticipar entre qué cantidades es divisible dicho número. En caso contrario , nos permite calcular el residuo en forma directa.

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Número Criterio 2 * El número acaba en cifra par 3 * La suma de sus cifras es

múltiplo de 3 4 * El número formado por las dos

últimas cifras es múltiplo de 4

5 * La última cifra es 0 ó 5

9 * La suma de sus cifras es multiplo de 9

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REPRESENTACION LITERAL DE UN NUMERO

Cuando no se conocen las cifras de un número éstas se representan mediante la notación: N =

EJEMPLO: Si el número se escribe como :

abcdef

abcdefN oo

ófedcba 93

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NUMEROS PRIMOS Llamados también primos absolutos, son

aquellos números que poseen únicamente dos divisores: a la unidad y el mismo número.

Ejemplos:

2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…

Todos los números primos son impares, a excepción del 2.

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Números Simples: Son aquellos números enteros positivos que poseen a lo más dos divisores, y están formados por la unidad y los números primos. Ejms: 1, 2, 3, 5, 7, 23, 29, 37, 89, 187, 193,..

Números Compuestos: Son aquellos números enteros positivos que poseen más de dos divisores. Ejemplos: 4 , 6, 12, 35, 80, 100, 118, 258, …

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NUMEROS PRIMOS ENTRE SI (P.E.S.I.)

Se les denomina también primos relativos o coprimos, y son aquellos números que tienen como único divisor común a la unidad.

Ejm. 6, 14, 21 son números P.E.S.I porque DIVISORES

6 : 1, 2, 3, 614 : 1, 2, 7, 14 ,el único divisor común es 121 : 1, 3, 7, 21

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PROPIEDADES

Dos o más números consecutivos son siempre números P.E.S.I.

Dos o más números impares consecutivos son siempre números P.E.S.I.

Si dos números A y B son P.E.S.I. entonces:

a) A, B y A + B son P.E.S.I.

b) A, B y A – B son P.E.S.I.

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA.

Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes , elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. Esta representación es única, salvo el orden de sus factores. A esta representación se le denomina: Descomposición Canónica del Número.

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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCM de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones:

1. Es un múltiplo común de los números.

2. Es el menor de estos múltiplos comunes.

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Ejm. Halle el MCM de 4, 6 y 8

: 4,8,12,16, 20,24, 28, 32, 36, 40,44,48…

: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …

: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …

Múltiplos comunes: 24, 48, …

El menor de estos múltiplos comunes es 24

M.C.M.(4, 6, 8) = 24

o

4o

6o

8

18

Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180

MCM(40, 78, 85)=2.2.2.3.3.5.13 = 4680

13

5

3

3

2

2

2

111

1131

5135

15135

45395

453910

903920

1807840

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Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180

MCM(40,78,180) =

5.3.2=180

13.3.2=78

5.2=40

22

3

6804=13.5.3.2 23

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCD de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones:

1. Es un divisor común de los números.

2. Es el mayor de los divisores comunes.

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Ejm. Halle el MCD de 12, 16 y 20

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

16 : 1, 2, 4, 8, 16

20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20Divisores comunes: 1, 2, 4

El mayor de estos divisores comunes es 4

M.C.D.(12, 16, 20) = 4

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Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800

MCD(400,800,1800)=2.2.2.5.5 = 200

5

5

2

2

2

942

452010

22510050

450200100

900400200

1800800400

PESI

MÉTODOS PARA CALCULAR EL M.C.D.

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Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800

MCD(400,800,1800) =

223

25

24

5.3.2=1800

5.2=800

5.2=400

200=5.2 23

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PROPIEDADES FUNDAMENTALES

Con respecto a las operaciones con números múltiplos de un mismo módulo:

a) b)

c) Si

d) Si

no

no

no

=+ no

no

no

=-

no

no

=A.K⇒Ζ∈K∧=A

nom+n

o=A⇒Ζ∈m∧=A

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Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos:

i) Si

ii) Si

)c,b,a(MCMo

co

bo

ao

=A⇒=A∧=A,=A

r±=N⇒

r±=N∧r±=N,r±=N

)c,b,a(MCMo

co

bo

ao

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Dado un número N donde:

Se cumple:

NdecompuestosdivisoresdeCantidad:CDC

NdeprimosdivisoresdeCantidad:CDP

NdesimplesdivisoresdeCantidad:CDS

NdedivisoresdeCantidad:CD

)N(

)N(

)N(

)N(

)N()N(

)N()N()N(

CDP+1=CDS

CDC+CDS=CD

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Si un número N se descompone canónicamente:

Entonces:

.......c.b.a=N γβα

)...1+γ).(1+β).(1+α(=CDN