1- Teoría unid1 - matematexx.files.wordpress.com · Manejar el concepto de logaritmo y sus...

Colegio Vizcaya 1º Bachiller

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UNIDAD 1:

NÚMEROS RACIONALES E

IRRACIONALES

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OBJETIVOS DIDÁCTICOS En esta unidad aprenderás a:

1. Identificar números naturales, enteros, racionales e irracionales.

2. Operar correctamente con números reales.

3. Operar correctamente con expresiones algebraicas.

4. Realizar correctamente las potencias de números reales y las operaciones con radicales.

5. Reconocer y definir los conjuntos más usuales de números reales (intervalos y entornos), así como sus uniones e intersecciones.

6. Manejar el concepto de logaritmo y sus propiedades.

7. Conocer el concepto de valor absoluto.

CONCEPTOS

1. Números racionales: definición. Expresión decimal y fraccionaria.

2. Números irracionales: definición.

3. Números reales: definición. Operaciones y propiedades. Densidad.

4. Potencias de exponente cualquiera.

5. Radicales: definición. Operaciones con radicales. Racionalización.

6. Intervalos y entornos. Unión e intersección.

7. Logaritmos: definición y propiedades. Cambio de base.

8. Valor absoluto. Definición y cálculo.

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NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 1. INTRODUCCIÓN

Los conjuntos de números van ampliándose históricamente a medida que surgen actividades que hacen necesario su uso.

Desde la más rudimentaria, contar, que da lugar a los números naturales

N = ⎨1, 2, 3, 4, ... ⎬, pasando por repartir, que hace necesario el nacimiento de los números racionales Q = {a/b, b }0≠ , comerciar con saldos negativos, que origina el conjunto de los números enteros Z = ⎨...,-2,-1,0,1, 2, ...⎬ y construir, comparar, edificar, medir… que requiere que el conjunto de números se amplíe de nuevo.

Los números no son un invento de la humanidad, siempre han estado ahí, en el entorno y las actividades que nos rodean, haciéndose notar, a pesar del rechazo que ha generado la existencia de algunos de ellos, como el 0 y 1- .

Son sus grafías las que han experimentado una evolución asombrosa a lo largo

de la historia, para responder a las necesidades crecientes en su uso hasta alcanzar la forma que tienen en la actualidad. 2. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS

Números NATURALES: N = ⎨1, 2, 3, 4, ...⎬

Números ENTEROS: Son los números naturales, sus opuestos y 0. Z = ⎨..., - 2, - 1, 0, 1, 2, ...⎬ Números RACIONALES: Se llama número racional al que puede expresarse como fracción de números enteros.

Q ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∈= 0b;Zb,a /ba

Su expresión decimal es exacta o periódica (pura o mixta).

Actividad: 1. Construye un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1, ¿cuánto mide su hipotenusa?.

Actividad: 2. Define, con los apuntes de cursos anteriores, qué se entiende por decimal exacto o periódico, y escribe cómo se realiza el paso de nº decimal a fracción y viceversa.

3. ¿Cuál sería el resultado de estas operaciones? 00

,30

,03

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Números IRRACIONALES:

Los números irracionales, al contrario que los racionales, no pueden expresarse como cociente de números enteros, luego no pueden ser ni decimales exactos ni periódicos. Por tanto, los definimos como: “El conjunto de números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas”. Dicho conjunto se designa con la letra I.

Son ejemplos de números irracionales: ...e,,2 π Dado que no se puede conocer su valor exacto (por eso se designan con letras o símbolos), se suelen utilizar aproximaciones mediante números racionales cercanos. Por ejemplo ≅π 3’1416, e

7183'2≅ .

Números REALES: Es el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales. Se designa con la letra R. R=Q ∪ I Se representan en la recta real asignando a cada punto un número. Entre cada dos números reales hay infinitos números reales.

R

Q I

53 -

72 π

…. e…

Z -4 -7 …

N 8 3 ….

Actividad: 4. ¿Cuál es el número real siguiente a 1? ¿y el anterior a 2? ¿Son consecutivos los números reales?

Actividad: 5. Clasifica los siguientes números indicando cuál es el conjunto (N, Z, Q, R) más

pequeño al que pertenecen:

5, - 7, 0’23, 5/4, 218

, 3− , 3 5− , 2π−

, 7'4 , 4−

6. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:

a) 3’222... b) 7 c)-0’1010010001...

d) -3’28888... e) 0’4353535... f) 11

g) 120’143143... h) 121

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3. INTERVALOS Y ENTORNOS

Los números reales pueden representarse en la recta real agrupados en

intervalos y entornos:

- Intervalo abierto: ( ) { }bxa/Rxb,a <<∈= a b

- Intervalo cerrado: [ ] { }bxa/Rxb,a ≤≤∈=

a b

- Intervalo semiabierto o semicerrado: [ ) { }bxa/Rxb,a <≤∈= a b ( ] { }bxa/Rxb,a ≤<∈= a b

- Intervalos infinitos: ( ) { }ax/Rx,a >∈=∞ a [ ) { }ax/Rx,a ≥∈=∞

a

( ) { }ax/Rxa, <∈=∞− a

( ] { }ax/Rxa, ≤∈=∞−

a

- Entorno simétrico de centro a y radio r:

( )ra,ra)r,a(E +−= a – r a a + r

- Entorno lateral por la izquierda de centro a y radio r:

( )a,ra)r,a(E −=− a – r a

- Entorno lateral por la derecha de centro a y radio r:

( )ra,a)r,a(E +=+ a a + r

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- Entorno reducido de centro a y radio r:

( ) { }ara,ra)r,a(E* −+−= a – r a a + r

Ejemplo: [-2,3] --------- ----- -2 3 E(2,4) = (-2,6) -2 6 E * (-1,3)= (-4,2)-{ }1- -4 -1 2 Unión : Se define la unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por todos los elementos de ambos conjuntos. Se escribe A∪ B. Intersección: Se define la intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos comunes de ambos conjuntos. Se escribe A∩ B. Ejemplos:

1) A = ⎨2, 4, 6⎬

B = ⎨1, 2, 3⎬

A∪ B = ⎨1, 2, 3, 4, 6⎬ A∩B = ⎨2⎬

2) [-3,5) ∪ (2,9) = [-3,9) [-3,5] ∩ (2,9) = (2,5] ( ] [ ] =∩ 8,64,2 φ (φ significa conjunto vacío: que no contiene ningún elemento)

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4. VALOR ABSOLUTO

Se define el valor absoluto de un número real como su distancia al 0, es decir el valor absoluto de un número a es el propio número a si es positivo y su opuesto –a si es negativo (Recuerda que si a es negativo, -a es positivo). Se escribe ⎢a ⎢

⎩⎨⎧

<−≥

=0aa0aa

a

Ejemplos: ⎢7 ⎢= 7 ⎢- 7 ⎢= 7 ⎢x ⎢= 4 ⇒ x = 4 , x = - 4 x-5=2 ⇒ x=7 ⎢x – 5 ⎢= 2 x-5=-2 ⇒ x=3

Actividad: 7. Representa los siguientes conjuntos numéricos:

a) (-3,-1) b) {x / - 2 ≤ x < 5 } c) (- ∞,0) ∪ (3,+∞) d) [4,+∞) e) [-2,5) ∪ (5,7] f) (- ∞,1) ∪ (1,+∞)

8. Expresa como desigualdad y como intervalo y representa:

a) x es menor que – 5. b) 3 es menor o igual que x. c) x está comprendido entre – 5 y 1. d) x está entre – 2 y 0, ambos incluidos.

9. Expresa en forma de intervalo los siguientes entornos:

a) E* (-5,6) c) E ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

31

,31

b) E+ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛21

,32

d) E ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛74

,0

10. Identifica los entornos E (-1,6), E* (0,4), E 2,5(− ) y E+ (0,6) con el conjunto

que le corresponda: a) A = { x ∈ R / 0 < x < 6 } b) B = { x ∈ R / - 7 < x < 5 } c) C = { x ∈ R / - 4 < x < 4 } - { 0 } d) D = { x ∈ R / 3 < x < 5 }

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5. NÚMEROS REALES. OPERACIONES. (REPASO)

5.1. SUMA a + b ∈ R, ∀ a, b ∈ R (la suma de dos números reales siempre es otro nº real. La suma es una operación interna) - Propiedades: a) Conmutativa: a + b = b + a ∀ a, b ∈ R b) Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ R c) Elemento neutro: 0 ∈ R a + 0 = a d) Elemento opuesto: ∀ a ∈ R, ∃ - a ∈ R / a + ( - a ) = 0 Por cumplir estas cuatro propiedades, se dice que R es un GRUPO ABELIANO respecto a la suma. 5.2. PRODUCTO ba ⋅ ∈ R, ∀ a, b ∈ R (el producto de números reales también es una operación interna).

- Propiedades: a) Conmutativa: a·bb·a = ∀ a, b ∈ R

b) Asociativa: ( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅ ∀ a, b, c ∈ R c) Elemento neutro: 1 ∈ R a1a =⋅

d) Elemento inverso: 1a1

·a/Ra1

,R0a =∈∃∈≠∀

Se deduce que el conjunto de los números reales R, es también GRUPO ABELIANO respecto al producto. Además también se cumple:

Distributiva respecto a la suma

∀ a, b, c ∈ R, ( ) c·ab·acb·a +=+

Actividad: 11. Hallar el valor absoluto de: 7’4, 0, - 5’87. 12. ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades?

a) 3 |x| = b) 0 |x| = c) 31x =+ d) 3 |x| =

13. ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) 3 |x| < b) 3 |x| ≥

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Por cumplir estas 9 propiedades se dice que R tiene estructura de CUERPO CONMUTATIVO respecto a la suma y el producto.

5.3. RESTA Por existir elemento opuesto, podemos definir la resta como la suma con el opuesto a – b = a + (-b )

5.4. COCIENTE

Por existir elemento inverso )0b(b1

·aba

≠=

5.5. POTENCIACIÓN. PROPIEDADES

a) Potencias de exponente entero: Zn,Radondean ∈∈

- Si n > 0 a...aaaan ⋅⋅⋅⋅= (n factores)

- Si n = 0 10 =a (ya que a 1aa

an

nnn0 === − )

- Si n < 0 ( )1aaaqueyaa1

a 0nnn

n ==⋅= --

b) Potencias de exponente fraccionario:

n mnm

aa = ya que (am ) n1

= a nm

Propiedades: - nmnm aaa +=⋅

- nmnm aa:a −=

- nmnm a)a( ⋅=

- mmm ba)ba( ⋅=⋅

- mmm b:a)b:a( =

- n

n

a

1a =−

5.6. RADICACIÓN. OPERACIONES CON RADICALES

- Definición: Radical es toda expresión de la forma n a donde a es el radicando y n

es el índice de la raiz, siendo: abba nn =⇔=

- Operaciones

a) Suma: Sólo se puede sumar radicales cuando al simplificarlos, tienen el mismo índice y el mismo radicando, sacando como factor común dicho radical

( )nnn acbacab +=⋅+⋅

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b) Producto :

• Si los radicales tienen el mismo índice: nnn baba ⋅=⋅ porque

( ) nnn baba111

⋅=⋅

• Si tienen distinto índice hay que reducir previamente a índice común buscando su m.c.m.

Ejemplo:

4 373 2 cba5·ba3 = 12 3333734424 c)b()a(5b)a(3 = 12 3132934 cba53 = a 12 35342 bca53b

c) Cociente :

• Si los radicales tienen el mismo índice: nnn b/ab:a = porque

( ) nnn b:ab:a111

=

• Si tienen distinto índice hay que reducir previamente a índice común buscando su m.c.m.

d) Potenciación :

( ) n mmn aa = porque n mnm

mn/1 aa)a( ==

e) Radicalización :

nmm n aa ⋅= porque nmnm1

m/1n/1 aa)a( ⋅⋅ ==

f) Racionalización

- Racionalización de denominadores:

a) b

a multiplicamos y dividimos por b

b) n mb

a multiplicamos numerador y denominador por n mnb −

c) cb

a

± multiplicamos numerador y denominador por el conjugado.

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Ejemplos:

1. 2x2

2x2

2·2

2x2

2

x2===

2. 5 32

25 +=

5 25 3

5 2

22

2)25( +=

5 5

5 2

2

2)25( +=

22)25( 5 2+

3. 33

2

−=

333

6)33(2

39)33(2

)33()33(

)33(2 +=

+=

−+

=+⋅−

+⋅

Actividad: 14. Realiza las siguientes operaciones:

a) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+ 1

53

:43541

21

21

31

=

b) (a+ b+c)2 + (a–b)2 + (a+c)3 =

c) =−−+− 65053

24183547

d) =⋅⋅ 43

23

32

32

e) ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅− 6336

34

49:3512

f) ( )=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−423

3

2

43

:21

242

g) ( )( )

=⋅

⋅⋅

21

3

31

21

x33

x223

h) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−34

13

53

aab

ba

i) =⋅⋅⋅4 3 3 4

b1

bb1

b

j) =⋅⋅⋅ 32

32

ba

bbba

k) Racionaliza:

3 2

2

yx

xy3)a

5332

3253)b

+

− 4 5

6)c

5 32 523

7)d

⋅⋅

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6.- LOGARITMO DE UN NÚMERO. PROPIEDADES

Seguramente, serías capaz de resolver la ecuación: 2 x · 2= 64, aunque la incógnita (x) esté en el exponente. Para ello, bastaría con expresar toda la igualdad en base 2:

2 1x + = 2 6 ⇒ x+1 =6 ⇒ x=5. Sin embargo, resultaría más difícil despejar con precisión la incógnita en esta ecuación:

2 x ·2 = 40

ya que, siguiendo la estrategia anterior: 2 1x + = 40, sólo podríamos dar un valor aproximado a x, pues 40 no es potencia de 2. Deducimos que x+1 debe ser 5’??..

pues 25 =32 y 2 6 =64. Por tanto, x= 4’??? . Podríamos buscar con la calculadora una buena aproximación, probando con distintos valores. No obstante, parece conveniente definir alguna herramienta matemática útil cuando se trata de manejar exponentes. Sabemos que en toda potencia aparecen tres elementos: base, exponente y

potencia o resultado. 2 3 = 8 Necesitamos conocer dos de los tres elementos para calcular el tercero:

a) Si conocemos la base y el exponente: 32 = y debemos calcular el resultado, la operación se llama POTENCIA y te resulta conocida. b) Si disponemos del exponente y la potencia: 3 = 8 y tenemos que calcular la base, la operación se llama RADICACIÓN y, aunque la has estudiado

anteriormente, se escribe con otro formato: 3 8 = c) La tercera posibilidad es que conozcamos la base y el resultado de la potencia: □ 2 = 8

Es entonces cuando debemos calcular el exponente. Esto es lo que conocemos con el nombre de LOGARITMO. Logaritmo es un sinónimo de exponente LOGARITMO ≡ EXPONENTE También se escribe con otro formato: log 82 = Se lee “logaritmo en base 2 de 8 “ Ejemplos:

a) log 162 =4 porque 2 4 = 16 b) log21

2 = -1 porque 2211=−

c) log 15 = 0 porque 5 0 = 1

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Actividad: 15. Completa los siguientes logaritmos:

log 93 = log 33 = log 421 = log 17 =

log91

31 = log 5

5 = log

641

4 = log41

2 =

Si no consigues hacerlo con cálculo mental, puedes llamarle x y pasar al formato potencia, es decir:

log 273 =x ⇒ 3 x = 27 ⇒ 3 x = ( )21

33 ⇒ 3 x =3 23

⇒ x = 23

luego log 273 = 23

Ahora que comprendes el concepto, vamos a escribir una definición precisa del concepto de logaritmo: Definición: Se define el logaritmo en base a de b, como el exponente x al que hay que elevar a para obtener b, es decir

baxblog x

a =⇔=

Cuando se manejan números muy grandes o muy pequeños, es más cómodo utilizar sólo los exponentes. ¿Sabías que los números de la escala de Richter que mide la fuerza de los terremotos, son logaritmos? Actividad: 16. Calcula ahora los siguientes logaritmos: log 31 = log 42 − = log 02 = log 2− 4= Si has encontrado dificultades para resolverlos, igual has llegado a alguna de las siguientes conclusiones: Características: 1) La base a tiene que ser un nº positivo y distinto de 0 y 1, ya que una base

negativa puede dar lugar a potencias no reales: (-1) 23

= 3)1(− = 1− ?????

(en la unidad 5 veremos los números complejos, que surgen de las raíces de números negativos).

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Además, no tiene sentido hablar de log 31 ó log 50 , pues cualquier potencia de 1 es igual a 1 (nunca podría ser 3), y cualquier potencia de 0 sería 0, es decir, sólo existirían log 11 y log 00 y serían igual a todos los números reales. 2) Por otra parte, la potencia b no puede ser negativa ni 0,

Potencia b>0

logab = c Exponente c cualquier nº real

Base

a>0 a ≠ 1

3) Los logaritmos más utilizados son los de base 10, llamados logaritmos decimales, en los que no es necesario precisar la base, ( blogblog10 = ) y los logaritmos neperianos, de base el nº e ≅ 2’7182… cuya notación es Lna= log ae . Ejemplos: log100=2, log0’1= -1 Lne=1 Actividad: 17. Calcula los siguientes logaritmos:

=

=

=

=

x

3a

a

a

Lne

alog

alog

1log

Propiedades de los logaritmos: Recuerda siempre que un logaritmo es un exponente y, por tanto, debe cumplir las mismas propiedades. Sabemos que al multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los

exponentes ya que: a aaaaaa23 ⋅⋅⋅⋅=⋅ = a5 ⇒ a nm a⋅ = a nm+

Si el exponente del producto es la suma de los exponentes, el logaritmo del producto, debe ser la suma de los logaritmos, es decir: 1) log clogblog)cb( aaa +=⋅

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Por la misma razón, y dado que el exponente del cociente de dos potencias,

es la resta de los exponentes: nmn

m

aaa −= , se cumplirá que el logaritmo del cociente es

la resta de los logaritmos:

2) clogblogcb

log aaa −=

Por último, al elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: (a nm) = a nm⋅ ya que (2 3 ) =2 2 33 2⋅ = 2·2·2 · 2·2·2 = 2 6 , Luego debe cumplirse que:

3) blognblog an

a ⋅=

(recuerda que tanto n como el log ba son los exponentes) Esta última propiedad puede razonarse de otra manera, utilizando la propiedad 1:

log nab = log )b....bbb(a ⋅⋅⋅ = log ba + log ba +…+ log ba = n· log ba

n veces n veces

Ejemplos: a) Conocido el log 2=0’301 , calcula log20 y log0’08 log20 = log(2·10) = log2+log10 = 0’301+1 = 1´301

log0’08=log1008

= log8 - log100 = log2 3 - log100 = 3·log2 – 2 = 3·0’301-2

b) Sabiendo que logx+log3 = log12, halla x log(x·3) = log12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x=4

Como has podido observar, estas propiedades nos permitirán obtener otros logaritmos a partir de uno o varios conocidos, o despejar incógnitas afectadas por logaritmos.

También es cierto que la mayoría de los logaritmos son números irracionales difíciles de precisar. Además, la infinidad de bases posibles hace más difícil la tarea. Por eso, tan sólo se manejan con asiduidad las bases 10 y e, que son las que puedes encontrar en cualquier calculadora. Pero entonces, ¿cómo calcular log 53 ?

Muy sencillo, se ha encontrado una fórmula que permite el paso de una base a otra.

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Fórmula del cambio de base Para pasar de base a a base b

alogxlog

xlogb

ba =

Sería entonces cierto que pasando a base 10 y utilizando la calculadora:

log 53 = 3log5log

= 465'1477'0698'0

=

Vamos a demostrar esta fórmula utilizando el formato de potencia que resulta más familiar. Demostración Para ello, nombramos con una letra a cada logaritmo:

pxloga = , qxlogb = y salogb = . Queremos demostrar que sq

p =

Se cumple que: qp

sb

qb

pa

ba

absalog si

xbqxlog si

xa pxlog si

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=

=⇒=

=⇒=

⇒ (b ps ) = b q

Sustituyendo a por b s

Luego, ( )sq

pqspbbbb qspqps =⇒=⇒=⇒= como queríamos demostrar

c.q.d. Por último, vamos ahora a resolver la ecuación que habíamos planteado al principio de este punto:

2 x ·2 = 40 ⇒ 2 1x+ =40 ⇒ log 402 = x+1 ⇒ 2log40log

= x+1 ⇒

x+1=301'0602'1

⇒ x+1 = 5’322 ⇒ x= 4’32

Actividad: 18. Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

a) =−−+ 2log9log41

log64log 2322

b) =−+ 1log271

log321

log 232

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19. Calcula la base de estos logaritmos:

a) 3125logx = b) 241

logx = c) 204'0logx −=

d) 291

logx −= e) 21

2logx =

20.Sabiendo que log 3 = 0’477, calcula el logaritmo decimal de 30, 300,

3000, 0’3, 0’03, 0’003.

21. Sabiendo que log k = 14’4 calcula:

a) 100k

log b) ( )2k1'0log ⋅ c) 3

k1

log d) ( )21

klog

22. Si log k = x, escribe en función de x:

a) log k2 b) 100k

log c) k10log

23. Comprueba que 61

alog

aloga1

log

3

−=

+

24. Siendo log 2 = 0’301 y log 3 = 0’477 calcula:

a) log 5 b) log 24 c) log 18 d) log 38

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EJERCICIOS 1. Indica si es verdadero o falso:

a) [ 1,+∞) ⊂ (1,+∞ ) b) ∅ ⊂ (-1,1) c) (- ∞, ∞) ⊂ [0,+∞) d) (-1,1) ⊂ [-1,1)

** El símbolo ⊂ significa “contenido en” A está contenido en B: A ⊂ B** 2. Dados los conjuntos:

a) A = { x ∈ R / -7 ≤ x < 4 } b) B = { x ∈ R / 4≤ x < 6 } c) C = { x ∈ R / 0 < x < 5 }

Calcula:

a) A∪B b) A∩B c) (A∪B)∩C d) A∩B∩C e) A∩(B∪C) f) A∪B∪C

3. Realiza las siguientes operaciones:

a) =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+−+

x4x

x43

x1x1

x1x1

b) =⋅⋅⋅⋅

−−

−−

122

432

757575

4. Calcula:

a) =1024log2 b) =641

2log c) =3log3

d) =2

1log

21 e) =001'0log f) =3log

3

g) =8log2 h) =π 1log 5. Sabiendo que log 2 = 0’301, calcula:

a) 3 02'0log b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

8

1log c)

8025'0

log d) 5

32'01

log

Sabiendo que log 3 = 0’477, ¿cuánto valdrá 10log3 ?

6. Sabiendo que 3=bloga y 59 =bloga , ¿cuál será el valor de a? 7. ¿Qué relación existe entre a y b en los siguientes casos?

i. log a – log b = 0 ii. log a = log b + log 2 iii. log a = 2 log b iv. log a = 1 + log b

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a. =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−−

51

43

114

21

43

95

b. 5 – ( - 2 ) + ( - 8 ) – ( - 4 ) – 5 = c. 7 – ( - 3 ) ⋅ ( - 8 ) – 3 : ( - 1 ) + 5 =

d. =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−21

:31

351

41

21

31

43

e. =−−

−−+

+− 1x

x11x1x3

1xx2

2

f. ( ) =+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+− 34

23xx

x1

x

1

x

1

g. ( ) =−−−+− 323 x2x3x812x23

h. =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−122

123

31

2121

i. =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−− 3202

56

:31

456

:325

31

43

j. =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

271

31

:76

52

76

51

53

2

k. =8

8

6

3

4

a:a

a

a:a

a

l. =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅

ab2

:a

b4b2a

32

2

9. De los siguientes números di cuáles son racionales y cuáles irracionales. Añade

también si son periódicos o no, indicando si existe, cuál es el período. a) 7’64 b) 0’23414141... c) 1’7320 d) 6’12354635463546... e) 3 f) 3’07007000700007... g) 0’6666.... h) 6

10. Extrae factores de los siguientes radicales:

a) 8 b) 3a83 ⋅

c) 342 yxyx2 d) 45

6

y81

x32

e) 58

10

y

x5 f) 73 ab84

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20


a) ( )[ ] =−323 b) ( ) ( )35 4:4 −−

c)

32

53

31

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ d)

( ) ( )23

932

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −⋅−

e)4315323

23

34

53:

53

53

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

f)2

43 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

g)1

212

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

h) 132 xxx − i) ( )[ ] 33a−

−

j)

5

32

3

z

xy52 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ k) 2

3

5−

l) ( )31

8− m)21

425

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

n) ( ) 5'064'0 − ñ) 3 64278 ⋅⋅

o) ( )3 42197 p) 5 00032'0

q) 16561 +++ r) 3 4 3248 ⋅⋅

12. Introduce factores bajo el signo radical:

a) 4227

31

b) x1

x c) yxz2

xy23

d) baba

baba

−+

+−

e) 375

32 −

13. Escribe en forma de potencias los radicales:

a) 5x3 b) 4 2ab c) 43

51

2 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

d) 3 xx e) 51a1a

−+

f) x3

x3b2 3

14. Escribe como radicales las potencias:

a) ( )25

x2 − b) 52

5−

c) 43

21

21

zyx4−

d) 51

1

43

23−

−

−

+ e) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡− 2

323

223

5ab35a3

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21

15. Realiza las siguientes operaciones: a) 43 754 ⋅⋅ b) 43 abab ⋅⋅

c) 243192108487125 +−−+ d) 32a4

1:b2

e) ( )43 3432 − f) 25x9

x5x362x4x3 −−+−

g) ( )33 y2x2xy − h) ( )( ) a2a3a3a3a3 −++−+−−

i) ( )1x

11x3 2

−− j) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅

ab2

:a

b4b2a

32

2

k) ( )( )5253 −+ l) 812 25:125

m) xx

xxx 332

⋅

⋅⋅ n) 423 ab3ba75 +

ñ) 333125

x65

4x3

29x2

3 ⋅+⋅−⋅ o) 34

4 32

3

33−

− ⋅

p) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 142121

2331423

baaab

baba

−−−−

−−−

⋅−⋅⋅

⋅⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

q) ( )yx

y25xy25yxyx

y9x9yxyx

yx32

22

+−

−+

+−+−+

−

16. Racionaliza las siguientes expresiones:

a) 53

15

+ b)

5 32 523

7

⋅⋅ c)

x1x1

−+

d) 732

52

+− e)

4 34

32

− f)

22 ba

ba

−

−

g) 3223

2

− h)

12

1

+ i)

abba

abba

+

−

j)2a

a4 2

+−

− k)

3 33

2

− l)

3 29

23


a. ( )3 3

2725083 +−

b. 12

34

ba

ab

ba⋅

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22

c.

52

254

365

71

53

22 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

d. 324

52

132

121

38

1:423

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

e. 4315323

23

34

53

:53

53

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

f. 7553

2732

4823

124 ++−

g. ( )81

168324385 8106 +⋅−+⋅−⋅

h. abba2ba 3 223 ⋅⋅

i.

8 7

5 46 5

4 3

3 2

a

aa

a:a

a

⋅

j. ( ) ( )( ) 222

2323

qp

qppq−

k. 2

22

2 n

nmm

nm

m

nm +⋅

−⋅

+

l. 6 53

3 2

xax

xaax

⋅

⋅

m. 3

342

2

426

d

cbcd

db

ca4adb

cda

acd

+−

18. Expresar en forma de intervalo los siguientes entornos:

E (-1,10), E+ (3,2), E- (-8,3) y E*(1,5)

19. Define y representa gráficamente:

a) E ( 0, 3) ∪ E ( 2, 3) b) [ - 3, - 1) ∩ ( -2, 5 ] c) [ - 3, 0 ) ∩ [ - 2, ∞ )

20. Calcula:

=⋅

⋅35

6 2

25122

464log

21. Si log 2 = 0’301 y log 3 = 0’477, halla:

a) =048'0log b) =4'14

8'10log

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23

22. Calcula x:

a) 3001'0logx = b) 1xlog9 = c) 21

xlog25 =

23. Calcula y representa gráficamente los siguientes conjuntos:

a) A ∩ B b) A ∪ B c) A ∩ B ∩ C d) A ∪ C

siendo: )5,0(EA += { }6x4/RxB <≤∈=

{ }x2/RxC <∈= 24. Expresa en forma de intervalo y represéntalos gráficamente:

a) )6,5(EA −= −

b) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21

,32

EB

c) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= +

31

,31

EC

d) { }x5/RxD ≤∈= e) { }9x3/RxE ≤≤−∈= f) { }3x2/RxF ≤<−∈=

25. Siendo log 2 = 0’301 y log 3 = 0’477, calcula:

a) 2

2724

log ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ b) 62'12'1

log c) 162

log4

d) 4'14log e) 000.36log f) 76'5log

g) ( )4'24'6log ⋅ h)59

log3

i) 4 25'781log

j) 015'0log 26. Halla el valor de x en las siguientes igualdades:

a) 2xlog5 = b) 3125logx = c) x16log2 =

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24

CUESTIONES 1. Razona si estas afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Todo número entero es racional. b) Hay números irracionales que son enteros. c) Todo número irracional es real. d) Algunos números enteros son naturales. e) Hay números decimales que no pueden ser expresados como una fracción. f) Todos los números decimales son racionales. g) Entre dos números enteros siempre hay otro número entero. h) Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales. i) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales. j) Los números racionales llenan la recta. k) Los números irracionales llenan la recta.

2. Si x ∈ R, explica si es verdadero o falso:

a) x2 es siempre positivo o nulo. b) x3 es siempre positivo o nulo. c) 3 x solo existe si x ≥ 0. d) x -1 es negativo si lo es x. e) – x2 es siempre negativo.

3. ¿Cuál es la respuesta correcta?

a) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=−

93

327 3

1 b)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−= −

−

22

2

1

4 121

4. Si log x = 9, ¿cuál será el valor de x

log1

?

5. ¿Es cierto que aa =− para todo número real a? ¿Y aa −=− ?

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UNIDAD 2: ECUACIONES Y SISTEMAS

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OBJETIVOS DIDÁCTICOS:

1. Resolver ecuaciones de primer y segundo grado de forma analítica e interpretar gráficamente las soluciones.

2. Resolver ecuaciones sencillas de grado superior y bicuadradas.

3. Resolver ecuaciones radicales, exponenciales y logarítmicas.

4. Resolver y clasificar sistemas de hasta tres ecuaciones lineales con tres

incógnitas mediante los métodos de sustitución, igualación, reducción y Gauss.

5. Resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

6. Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

7. Manejar el método gráfico de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas.

8. Resolver problemas de programación lineal.

CONCEPTOS

1. Ecuación: concepto y clasificación. 2. Ecuaciones de primer y segundo grado: resolución y significado geométrico.

3. Ecuaciones de grado superior, radicales, exponenciales y logarítmicas: concepto

y resolución.

4. Sistemas de ecuaciones lineales: concepto y clasificación.

5. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: métodos de resolución (reducción, sustitución e igualación) y significado geométrico.

6. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas: método de Gauss.

7. Sistemas de ecuaciones no lineales.

8. Sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas: resolución

9. Programación lineal.

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27

ECUACIONES Y SISTEMAS

1. ECUACIONES

Definición: Se llama ecuación a toda igualdad entre dos expresiones algebraicas; en ellas intervienen cantidades desconocidas llamadas incógnitas. Los valores de las incógnitas para los que se cumple la igualdad se llaman soluciones.

Actividad: 3x+y=5 ( x=0 y=5 ) es una solución. ¿puedes encontrar más?

1. ¿cuántas soluciones hay? 2x 2 +x-1=0 ¿cuántas soluciones tiene? hállalas

x-2 = x+5 ¿cuántas soluciones tiene? ¿qué puedes deducir?

2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Son de la forma ax+b=0, con a≠0.

Su solución es ab

x−

= y coincide con el punto de corte con el eje X de la recta

y = ax + b.

ab−

(Observa que si queremos hallar los puntos de corte con el eje X de la función y=ax+b, debemos hacer y=0, es decir, ax+b=0 , lo que supone resolver la ecuación).

3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Son de la forma 0cbxax2 =++ con a≠0, a,b,c ∈ R. Sus soluciones son de la forma:

a2ac4bb

x2 −±−

=

Pueden darse tres casos:

a) Si ⇒>− 0ac4b2 dos soluciones reales.

b) Si ⇒=− 0ac4b2 existe una única solución real doble.

c) Si ⇒<− 0ac4b2 no existe solución real, sino compleja. Gráficamente las soluciones coinciden con los puntos de corte en el eje X de la

parábola cbxaxy 2 ++= a) b) c)

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28

4. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

a) Ruffini: investiga sobre ello repasando tus apuntes del año anterior. Te facilitamos un ejemplo.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación: 030x9x13x3x 234 =++−− 1 - 3 - 13 9 30

- 2 - 2 10 6 -30 1 - 5 - 3 15 0 5 5 0 - 15 1 0 - 3 0

030x9x13x3x 234 =++−− equivale a: ( )( )( ) 03x5x2x 2 =−−+ ⇒ 3x03x2 ±== ⇒-

( )( )( )( ) 03x3x5x2x =+−−+ ⇒ x+2=0, x-5=0, x- 3 =0 ó x+ 3 =0 Las soluciones son: 3,3,5,2x −−=

Actividad: 2. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) ( ) ( ) ( )1xx55x4x53x5 2 −=−−−

b) ( )2

2x2x

31x 2

22 +

=−+−

Actividad: 3. Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior:

a) 012x16xx4x 234 =−+−−

b) 04x4x5x3 23 =−−+

c) 0x20x16xx 234 =−−− d) Escribe un polinomio cuyas raíces sean 1, 4, -4, 0. e) 01x3x3x 23 =−+−

f) 03x8x3x2 23 =−−−

g) 06xxx3x 234 =−−+−

h) 03x11x11xx2 234 =−−−−

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29

b) Ecuaciones bicuadradas:

Son de la forma 0cbxax 24 =++ , con 0a ≠ .

Una ecuación bicuadrada se puede reducir a una ecuación de 2º grado, haciendo el cambio )zxzx 242 == (⇒ Ejemplo:

Resuelve la ecuación: 036x13x 24 =+−

z = 9

⇒=+− 036z13z2 2

5132

14416913z

±=

−±=

z = 4 z = 9 3x9x2 ±== ⇒⇒

2±=x4=x4=z 2 ⇒⇒ Soluciones: x=3,-3, 2 y -2.

La descomposición factorial sería: ( )( )( )( ) 02x2x3x3x =+−+−

Compruébalo utilizando Ruffini

5. ECUACIONES IRRACIONALES

Definición: Son aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.

Actividad: 4. Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior:

a) 04x5x9 24 =−+

b) 04x5x 24 =+−

c) 03x4x 24 =+−

d) 02xx 24 =−+

e) 01xx2 24 =−+

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30

Ejemplo:

Resuelve la ecuación: 78x25x =+++

8x28x214495xnotable)

identidad una es miembro segundo (el miembros ambos cuadrado al Elevamos*8x275x raices las de una Aislamos*

+++−=+

+=+

⇒

-⇒

( )grado) segundo de ecuación( 01136x288xtérminos Agrupamos*

2704x104x8x2196cuadrado al vez otra Elevamos*

52x8x214

semejantes sean que términos agrupando raiz la aislar a Volvemos*

2

2

=+

++=+

+=+

-⇒⇒

2280288

278400288

2454482944288

x±

=±

=−±

= =

x = 4 si es solución = x = 284 no es solución. ¿Por qué?

Compruébalo

IMPORTANTE: Debes verificar todas las soluciones pues hay muchas posibilidades de que aparezcan soluciones falsas.

Investiga por qué.

6. ECUACIONES EXPONENCIALES

Definición: Son aquellas cuya incógnita figura como exponente.

Ejemplos: 1) Resuelve la ecuación: 93333 2xx1x =++ +−

Escribimos todo en función de la potencia 3 x :

9339333 xx

x

=⋅++ ⇒ 939131

3x =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++ ⇒ 93

331

3x =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⇒

⇒ 2x3393 2xx =⇒=⇒=

Si quieres puedes resolverla mediante un cambio de variable t3x =

Actividad: 5. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 07x1x =+−−

b) 3x3x3x3 +=+−

c) x13x2 =+−−

d) 35x3x =−−

e) 1x3x36 =−−−

f) 43xx41 =++−

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31

2) Fíjate en el siguiente ejemplo: 04254 xx =+⋅−

04254 xx =+⋅− ⇒ 04252 xx2 =+⋅−

hacemos el cambio t2x = ⇒ 04t5t2 =+⋅− ecuación de 2º grado

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒==⇒

=⇒=⇒=

±=

−±=

0x2121

2x2242

352

16255t

0x

2x

3) 113 1x2 =+ ¿Cómo lo resolverías? ¡Claro! Utilizando logaritmos.

2

111logx 111logx2 11log1x2 3

33

−=−==+ ⇒ ⇒ ⇒ x=

2

13log11log

−=

= 2

1477'0041'1

−=

21182'2 −

= =2182'1

0’591

7. ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Definición: Son aquellas cuya incógnita aparece sometida a la operación logaritmo:


a) 01255 xx2 =−−

b) 1203333 1xx1x2x =+++ −++

c) 04254 xx =+⋅−

d) 1862

42x

1x

=+

−

e) 25 2x3 =−

f) 1x1x2 2162 +− =−

g) 3329 1x1x =⋅− −−

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32

Ejemplo: Resuelve la ecuación: 3logxlog45logxlog2 −=−

3logxlog45logxlog2 −=− 3logxlog45logxlog 2 −=−⇒

⇒ ⇒=3x

log45x

log2

0)15x(x0x15xx15x3x

45x 22

2

=−⇒=−⇒=⇒= ⇒

x=0 ⇒

x-15=0 ⇒ x=15 Comprueba las soluciones y recuerda que no existen logaritmos de números

negativos ni de cero.

8. ECUACIONES LINEALES

Definición: Se llama ecuación lineal a toda igualdad de la forma: bxa...xaxa nn2211 =+++

donde ia son los coeficientes, ix incógnitas y b el término independiente. Observa que puede haber un número cualquiera de incógnitas, todas ellas con exponente 1.


a) 2log4xlog = b) )x56log(xlog2 +−=

c) 10x

log40logxlog 3 =−

d) 932

logxlog33x

log22x

log5 −=+

e) 2)x5log(

)x11log(3log 3

=−

−+

f) 3)1x9log()1xlog( =++− g) 1)2x5(log)4x(log2 33 =+−+ h) )2x(log3)2x(log)4x7(log 555 +−=−−+

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33

Ejemplo: 2x – y + z – 3t = 7

Según sus soluciones, una ecuación lineal pueden ser: a) Compatible determinada: tiene solución única.

2 + x = 3 ; x = 3 – 2 ; x = 1

b) Compatible indeterminada: tiene infinitas soluciones. x + y = 0 ; x = - y

c) Incompatible: no tiene solución.

x + 5 = x – 1 ; 0 = – 6 imposible.

9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definición: Un sistema formado por m ecuaciones y n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones de la forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−−−−−−−−−−−−−−−−−

=+++

=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

siendo ija los coeficientes, ix las incógnitas y ib los términos independientes.

Si todos los términos independientes son iguales a cero, se llama sistema

homogéneo. Los sistemas pueden ser: - Compatibles:

+ Determinado: solución única + Indeterminado: infinitas soluciones

- Incompatibles: no tiene solución.

10. SISTEMAS LINEALES DE DOS INCÓGNITAS

Definición: Son de la forma: ⎩⎨⎧

=+=+

'cy'bx'acbyax

Métodos de resolución:

a) Método de sustitución:

Despejamos el valor de una de las incógnitas en una de las ecuaciones y la sustituimos en la otra

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34

Ejemplo:

⇒⎩⎨⎧

=+=−5yx423y3x7

⇒−= x45y ⇒=−− 23)x45(3x7 ⇒=+− 23x1215x7

385y ,2x 38x19 −=−==⇒=

b) Método de igualación:

Despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones e igualamos los valores obtenidos Ejemplo:

⇒⎩⎨⎧

=+=−5yx423y3x7

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

x45y3

23x7y

⇒−=−

x453

23x7⇒−=− x121523x7

3y2x38x19 −=⇒=⇒= c) Método de reducción:

Consiste en conseguir un sistema equivalente eliminando alguna incógnita

Ejemplo :

⇒⎩⎨⎧

=+=−5yx423y3x7

⎩⎨⎧

=+=−

15y3x1223y3x7

19x = 38 3y2x −=⇒=⇒ d) Método gráfico:

Gráficamente cada una de las ecuaciones representa una recta. Por ser la solución un punto que satisface ambas ecuaciones, tiene que ser un punto en común, es decir, su punto de corte:

- Si el sistema es compatible determinado: dos rectas secantes

⎩⎨⎧

=−=+

4yx25yx

- Si el sistema es compatibles indeterminado: dos rectas coincidentes

⎩⎨⎧

=+=+

10y2x25yx

- Si el sistema es incompatible: dos rectas paralelas.

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35

11. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODO DE GAUSS

Consiste en aplicar reiteradamente el método de reducción hasta conseguir un

sistema triangular en el que la primera ecuación tenga 3 incógnitas, la segunda 2 y la tercera 1. Amplía esta información con las explicaciones de clase. Ejemplo:

Resuelve el siguiente sistema: ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+−=−−

=++

5z2y2x0z3yx2

1zyx

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=−+−=−−

−=++

5z2y2x0z3yx2

)2(1zyx⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−−

=++

4zy32z5y31zyx

⇒ ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−−

=++

6z62z5y3

1zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=

1z1y

1x

Recuerda que debes comprobar la solución en las tres ecuaciones.

Actividad: 8. Escribe una ecuación que forme con la dada un sistema incompatible.

⎩⎨⎧ =+ 5yx

*¿Qué observas al resolver los tres sistemas?

9. Encuentra un número de dos cifras sabiendo que éstas suman 11 y que si invertimos el orden de las cifras el número obtenido excede en 45 al número dado. 10.En un parking hay 37 vehículos entre coches, motos y camiones de 6 ruedas. El número de motos excede en 3 al de coches y camiones juntos. Halla el número de vehículos de cada clase si en total suman 118 ruedas. 11. En un centro hay dos equipos de fútbol A y B. Si del equipo A pasan tres personas al B en ambos queda el mismo número. En cambio, si del B pasan 7 al A queda en éste un número que es el cuadrado de los de aquél. ¿Cuántos deportistas hay en cada equipo? 12. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida en metros tres números pares consecutivos. ¿Cuánto mide cada lado?

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36

12. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Actividad: 13. Resuelve por el método de Gauss:

a) 5zy2x33zy2x24z2y3x

=++=++=−+

b) 16z3yx25z2yx3zy2x3

=++−=−+=−+

c) 7z3x

5zyx24zyx

=+=+−

=+− d)

1z2y3x5z2x

18z9y3x5

=−+−=−

−=−+

e) x - 2y – 3z = 3 2x – y - 4z = 7 3x - 3y - 5z = 8

Ejemplos:

a) ⇒⎩⎨⎧

=+

=+

40yx

4yx22

⇒−= y4x ( ) ⇒=+− 40yy4 22 40yyy816 22 =++−

012y4y024y8y2 22 =−−⇒=−−

⇒±

=+±

=2

842

48164y

⎩⎨⎧

=⇒−=−=⇒=6x2y2x6y

b) ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅

=⋅

933

122yx2

yx

2y2x2y2x

0yx

33

222y2x

0yx

−=⇒=⇒⎩⎨⎧

=+=+

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

+

c) ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

27yx

105yx⇒+−=+⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

+=2yy54729y105

y27y105

y105x

⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

⇒±

=−±

=⇒=+−121x16y144x39y

22355

22496302555

y0624y55y2

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37

13. INECUACIONES

Definición: Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones

algebraicas en la que intervienen incógnitas. Pueden aparecer los signos <, >, ≥, ≤. Dos inecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Se cumple que:

a) Si a los dos miembros de la inecuación se les suma o resta un mismo número, se obtiene una inecuación equivalente.

b) Si se multiplica o divide ambos miembros por un número positivo, se

obtiene una ecuación equivalente.

c) Si se multiplica o divide ambos miembros por un número negativo, resulta otra inecuación con el signo de desigualdad contrario, pero equivalente a la dada.

14. INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Ejemplo:

4x12x362

x6x2x6xx3

2x

x6x32x

−≤⇒≥−⇒≥−+

⇒≥+−⇒−≥−

Las soluciones son: ( ]4,x −∞−∈ - 4

Actividad: 14. Resuelve los sistemas no lineales:

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=⋅4yx

25622 yx

b) ⎩⎨⎧

=−=+

1ylogxlog22yx

c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=−

5yx1422 yx

d) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

+=

5ylogxlog

12y

logxlog

e) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−+

+=

2yxyx

1y2x

f) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=2

2

ylog6xlog

2)yxlog(

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38

15. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Ejemplo:

( ]3,2x2x

3x2x3x4

6x2

12x3

x2

14x8x3−∈⇒

⎩⎨⎧

−>≤

⇒⎩⎨⎧

−>≤

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−>

+≤+

- 2 3

16. INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Ejemplo:

4yx2 ≤−

Dibujamos la recta 2x – y = 4. Los puntos de corte son (0, - 4) y (2, 0). En los

puntos de esta recta, se cumple que 2x-y es igual a 4. En los demás puntos, 2x-y será distinto de 4, es decir, mayor o menor. Cada semiplano corresponde a uno de los dos signos. La solución corresponde a uno de los semiplanos. Se elige un punto cualquiera de uno de ellos (0, 0) y se sustituye en la inecuación. Si la satisface, su semiplano será la solución, si no, lo será el otro.

17. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Se resuelve cada inecuación por separado y se llama solución o región factible al recinto intersección de todos los semiplanos.

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18. PROGRAMACIÓN LINEAL

Un problema de programación lineal pretende hallar el máximo o mínimo de una función llamada función objetivo, sujeta a un conjunto de restricciones en forma de inecuaciones.

Ejemplo:

Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de

paseo y de montaña que se venderán a 120 y 90 €, respectivamente. Para la de paseo son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de montaña 2kg de cada uno de los dos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el máximo beneficio?

Pasos para resolverlo:

1. Definir incógnitas: x = bicicletas de paseo y = bicicletas de montaña

⎩⎨⎧

≥≥

0y0x

2. Restricciones:

- Restricción del acero: 80y2x ≤+ - Restricción del aluminio: 120y2x3 ≤+

3. Función objetivo: (en este caso beneficio que se quiere maximizar)

y90x120z +=

Actividad: 15. Resuelve los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−≤

−≤+

0xy24x

y5222x3

b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤−≥+

≤+≤+

x210y50yx

20y5x38yx

c)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++

>+

−<

−−

≥

32

1y4

3x33

1y34

x23x4

0x

www.M

atemati

ca1.c

om


40

4. Dibujamos la región factible:

- ⎩⎨⎧

==

0y0x

- 802 =+ yx ⇒ (0, 40) y (80,0) - 120y2x3 =+ ⇒ (0,60) y (40,0)

60

40 A B 20 D C 20 40 60 80 5. Calculamos los vértices de la región factible:

A = (0,40) (punto de corte de las rectas: 80y2x =+ , x = 0) B = (20,30) (punto de corte de las rectas 80y2x =+ , 120y2x3 =+ )

C = (40,0) (punto de corte de las rectas 120y2x3 =+ , y = 0) D = (0,0)

6. Se sustituyen esos valores en la función objetivo para comprobar cuál de ellas

corresponde al valor máximo: ( yxz 90120 += ) A ⇒ 360040900120 =⋅+⋅=z €

B ⇒ 510027002400309020120 =+=⋅+⋅=z € C ⇒ 480009040120 =⋅+⋅=z € D ⇒ 00900120 =⋅+⋅=z €

7. La solución es el vértice B, es decir 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña.

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41

Actividad: 16. Halla los vértices del recinto del plano formado por las soluciones del sistema

de inecuaciones:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+≤≥+

≤≥≥

2xy22y2x

4x0y0x

17. Determina los valores máximo y mínimo de la función y8x2z −= sometida a

las restricciones:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≤+

≤+≤−

≥−≥−

0x24y2x3

4y2x12y2x3

0y20y4x

18. En una fábrica reciben diariamente 700 kg de café tipo C y 800 kg de café

tipo D. Con ellos se realizan dos mezclas. Las de tipo A que consta de 2 partes de café tipo C y 1 de tipo D en la que gana 15 céntimos de euro y la de tipo B que consta de 1 parte de tipo C y 2 de tipo D en la que gana 20 céntimos de euro en kilo. Halla la cantidad de mezcla que la casa debe preparar de cada clase para que la ganancia sea máxima.

19. Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mínimo de 24 unidades del pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se comercializan dos tipos de compuestos C y D, elaborados con ambos piensos. El paquete C contiene 1 unidad de A y 5 de B, siendo su precio de 60 céntimos de euro, y el de D contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio de 180 céntimos de euro. ¿Qué cantidades de C y D deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el coste mínimo.

20. Una empresa construye en dos factorías (F1, F2) tres tipos de barcos

deportivos (A, B, C). La factoría F1 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 5 de tipo B y 1 de tipo C, siendo su coste de mantenimiento mensual de 36.000 euros, y F2 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 1 de tipo B y 2 de tipo C, siendo su coste mensual de 18.000 euros. La empresa se ha comprometido a entregar anualmente, a cierto club náutico, 3 barcos de tipo A 15 de tipo B y 12 de tipo C. ¿Cuántos meses al año deberá trabajar cada factoría con objeto de que la empresa cumpla su compromiso con el mínimo coste?

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EJERCICIOS

1. Resuelve las ecuaciones de 2º grado: a) 08x6x5 2 =−+ b) )1x(3)3x(x2 −=+ c) (2x –3 )2 = 8x d) 2x(x + 3) = 3 (x – 1)

2. Resuelve las ecuaciones radicales:

a) 15x1 =+

b) 2xx1 =+−

c) 2xx =−

d) 5x5x =++

e) 1x25x 2 =−−

f) 64x1x2 =++−

g) 1x3x27 =+−+

h) 2x1 =−

i) x9x3 −=+−

j) x11x9 =−−

k) 12x22x =+++

l) 14x23x =+++

m) 14x31x2 =+++

3. Resuelve las ecuaciones bicuadradas: a) 025x26x 24 =+− b) 03x11x4 24 =−+ c) 09x9x4 24 =−− d) 012x27x6 24 =+− e) 08x6x5 24 =−+ f) 04x17x4 24 =+−

4. Descomponer en factores:

a) 06xx4x 23 =++− b) 06x7x3 =−− c) 02xx2x 23 =−−− d) 02x3x3 =+− e) 02x5x5x2 34 =−+−

5. Resuelve las ecuaciones exponenciales:

a) 29476 4x3 =⋅ − b) 1255x = c) 4x3264 += d) 113 1x2 =+ e) x48x3 75 =+ f) 24339 1x =⋅ −

g) 15 20x2x =−−

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h) 5x1x

2x

339 −

+

−

=

i) 6428 x1 =⋅ −

j) 813 x32x =−

k) 22 5 =−x l) 642 4x3 =+ m) 13333 2x1xx =++ −−

6. Resuelve los sistemas de inecuaciones:

a) ⎩⎨⎧

+−≥−+<−

4y21x37y43x6

b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−<−+

−≥

−

6y

563x

2x

125y2

34x2

7. Resuelve las ecuaciones logarítmicas:

a) log x + log 30 = 4 b) 4)3x(log2 =+ c) 2)16xlog(xlog2 =−−

d) 2)x5log(

)x11log(2log 2

=−

−+

e) log x – log 5 =6 f) log (x + 5 ) = log ( x2 – 1 )

8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⋅

1622

3222

y5

x3

y2x

b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−⋅

=⋅+⋅−

+

3396515

8076253y1x

1yx

c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

−

273

33y3x2

y2x

d) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⋅−

=+

3232

522yx

yx

e) ⎩⎨⎧

=+=−

1ylogxlog0y5x3

9. Antonio mezcla café de clase A a 950 pts el kilo con café de clase B a 1400

pts el kilo y obtiene 9 kilos de mezcla. El kilo de café mezclado cuesta 1150 pts. ¿ Cuántos kilos de café de cada clase ha mezclado?

10. En la bolsa A y en la bolsa B hay un total de 80 bolas. Si pasamos 10 bolas

da la bolsa B a la bolsa A, el número de bolas de la bolsa A es 3 veces el número de bolas de la bolsa B. ¿Cuántas bolas hay en cada bolsa?

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11. En un avión van 192 personas entre hombres y mujeres. El número de mujeres es 3/5 del número de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres van en el avión?

12. La suma de dos números es igual a 54. La quinta parte del mayor es igual a

la cuarta parte del menor. ¿Cuáles son esos números?

13. Un padre tiene el triple de la edad que su hija. Si el padre tuviera 30 años menos y la hija tuviera 8 años más, los dos tendrían la misma edad. ¿Cuál es la edad de la hija y cuál la del padre?

14. En una clase hay 45 alumnos entre chicos y chicas. Practican natación el

32% de los chicos y el 60% de las chicas. Si el número total de alumnos que practican natación es igual a 20, ¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en la clase?

15. La base de un rectángulo es 4/3 de su altura y su perímetro es igual a

28cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?

16. En un camping hay 120 vehículos entre coches y motos. Si se van 40 coches, el número de coches y el número de motos es igual. ¿Cuántos coches y motos hay en el camping?

17. Un inversor, que tiene 28.000€, coloca parte de su capital en un banco al 8%

y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente 200€ más que la segunda, ¿cuánto coloco en cada banco?

18. La superficie de un triángulo equilátero es de 50m2. Calcula el lado.

19. Un país compra 540.000 barriles de petróleo a tres suministradores distintos

que lo venden a 28, 27 y 31 dólares el barril, respectivamente. La factura total asciende a 16 millones de dólares. Si del primer suministrador recibe el 30% del total del petróleo comprado, ¿qué cantidad ha comprado a cada suministrador?

20. Un granjero espera obtener 36€ por la venta de huevos. En el camino al

mercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta en 0’45€ el precio de la docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio?

21. Pepe y Olga hacen un trabajo en tres horas. Si Pepe lo hiciera solo, tardaría

4 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría Olga en hacerlo sola?

22. En una fábrica de piensos se utilizan tres ingredientes, A, B y C, para la elaboración de alimento para el ganado. Se dispone de 90 toneladas de A, 90 de B y 70 de C, y se desea fabricar dos tipos de pienso M1 y M2. Una tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C, y una tonelada de M2 requiere 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C. Sabiendo que cada tonelada de M1, se vende a 7 euros y cada una de M2 a 6 euros. ¿Cuántas toneladas de cada pienso M1 y M2 deben facturarse para obtener un beneficio máximo?

23. Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los de tipo

F1 cuestan 300 euros y los de tipo F2, 500 euros. Sólo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 euros para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta

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posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30% del precio de compra?

CUESTIONES

1. ¿Qué condición ha de cumplir una ecuación de 2º grado para que una de sus raíces sea 0? Pon un ejemplo.

2. ¿Tiene soluciones reales una ecuación de 2º grado cuyos coeficientes sean

todos iguales? Pon un ejemplo.

3. Un alumno dice que toda ecuación de 2º grado cuyo término independiente es negativo tiene raíces reales. ¿es cierto?

4. Si dos números son iguales, sus cuadrados también lo son, ¿es cierto el recíproco?

5. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede tener

exactamente dos soluciones? Pon un ejemplo.

6. Determina para que valores de b la ecuación 09bxx2 =+− tiene: a) Una solución. b) Dos soluciones.

7. ¿Qué valor ha de tomar k para que la ecuación 0kx6x2 =+− tenga una

solución?

8. Escribe una ecuación que tenga por soluciones 2xy3x 21 −== .

9. ¿Para qué valores de k tiene solución la ecuación 0kx2 =+ ?

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UNIDAD 3:

FUNCIONES

-PROPIEDADES GLOBALES -OPERACIONES -FUNCIONES ELEMENTALES -INTERPOLACIÓN

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1. Analizar si una gráfica es o no función. 2. Analizar las características de una función (dominio, imagen, simetrías, periodicidad, extremos

absolutos y relativos, acotación y asíntotas) a partir de su gráfica.

3. Calcular dominios de una función a partir de su expresión analítica.

4. Calcular la simetría de una función a partir de su expresión analítica.

5. Representar gráficamente funciones a partir de unas características.

6. Interpretar la evolución de un fenómeno asociado a su gráfica.

7. Operar con funciones dadas por su expresión analítica.

8. Componer funciones dadas por su expresión analítica.

9. Encontrar la función recíproca de otra dada.

10. Representar gráficamente funciones constantes, afines, lineales, cuadráticas, racionales del tipo k/x, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

11. Reconocer las familias de funciones elementales a partir de su expresión analítica o de su gráfica.

12. Determinar el polinomio interpolador de grado 1 ó 2 que se ajusta a una tabla de valores dados.

13. Interpolar y extrapolar valores que no aparecen en la tabla de datos conocidos.

CONCEPTOS

1. Función: definición y expresión 2. Dominio y recorrido de una función.

3. Acotación. Extremos relativos y absolutos. 4. Simetrías, periodicidad y monotonía (crecimiento y decrecimiento).

5. Tendencias de una función. Asíntotas. Ramas infinitas. 6. Suma, resta, producto y cociente de funciones.

7. Composición de funciones.

8. Función recíproca f -1 de una dada.

9. Funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2.

10. Funciones del tipo k/x

11. Funciones exponenciales.

12. Funciones logarítmicas.

13. Funciones trigonométricas.

14. Funciones definidas a trozos.

15. Interpolación lineal y cuadrática.

16. Extrapolación.

17. Situaciones reales, interpolación y extrapolación.

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FUNCIONES 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Una función real de variable real f es toda aplicación de un subconjunto D ⊆ R en R, entendiendo por aplicación una correspondencia que asocia a cada elemento de D un único elemento de R. Se expresa:

f: D R x y = f(x)

o simplemente y = f(x), donde x es el origen o variable independiente, e y es la imagen de x mediante f o variable dependiente. (1) (2) La gráfica (1) no es función pues existen valores de x para los que le corresponden varios valores de y, la gráfica (2) si es función pues para cada valor de x existe un único valor de y. Las funciones pueden venir dadas mediante una fórmula matemática (lo que se denomina expresión analítica), mediante una tabla de valores o bien mediante una gráfica. Dentro del primer grupo se encuentran las funciones a trozos, que se caracterizan por contener varias expresiones matemáticas según el intervalo que se trate.

Ejemplo

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤

<

=3x 2

3x1- x

-1x x

)x(f 2

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49

1. ¿Cuáles de las siguientes gráficas son funciones?

2. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

2.1. Dominio de una función

Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x, para los cuales existe un valor de la variable independiente y, es decir, existe imagen mediante la función. Se escribe Dom(f) Analíticamente:

2.1.1. Funciones polinómicas

01n

n axa...xa)x(f +++= todos los valores reales de x admiten imagen. Dom(f) = R

2.1.2. Funciones racionales

Cocientes de polinomios: )x(Q)x(P

)x(f = . No pertenecen al dominio aquellas x que

anulen el denominador (ya que no tiene sentido dividir entre cero)

Ejemplo

2x5x3)x(f 2 +−= ⇒ Por ser una función polinómica Dom(f) = R

Ejemplo

1. 2x06x36x35x2

)x(f −=⇒=+⇒+−

= { }2R)f(Dom −−=⇒

Actividad:

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50

2.1.3. Funciones irracionales

Sea nf(x)= g(x)

a) Si n es par: g(x)≥0 (ya que no tiene sentido hallar la raíz de índice par de un número negativo)

b) Si n es impar: Dom(f) = Dom(g)

2.1.4. Funciones exponenciales

Sea g(x)f(x)=a . Dom(f) = Dom(g)

2.1.5. Funciones logarítmicas

af(x)=log (g(x)), entonces g(x)>0 puesto que no existen logaritmos de números negativos ni de cero.

Ejemplo

1. 23

x03x23x2)x(f ≥⇒≥−⇒−= ⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡ ∞=⇒ ,23

)f(Dom

2. ⎩⎨⎧

−=⇒=+−=⇒=+

⇒≥++

⇒++

=3x06x2

1x01x0

6x21x

6x21x

)x(f

Realizamos una tabla para saber dónde será positivo o igual a cero el cociente: (- 4) - 3 (-2) -1 (0)

1x + - - - 0 +

6x2 + - 0 + + +

6x21x

++

+ ∃ - 0 +

( ) [ )∞−∪−∞−= ,13,)f(Dom

Ejemplo ⇒−= 3 3x2)x(f R)3x2(Dom)f(Don =−= ya que 2x – 3 es una función

polinómica

Ejemplo:

⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⇒=x2

Dom)f(Dom3)x(f x2

al ser una función racional denominador

igual a cero, x=0 { }0R)f(Dom −=⇒

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2.1.6. Funciones a trozos

En este caso, el dominio es la unión de los dominios de las funciones que le

componen, sin olvidar en que intervalos está definida cada una de ellas. Gráficamente: Cuando la función viene dada gráficamente para calcular el dominio, simplemente aplastamos la gráfica sobre el eje X. De esta forma, colocamos cada valor de la imagen y sobre su origen x, y así tendríamos señalados los x que tienen imagen, quedando huecos en los x que no tienen imagen.

2.2. Recorrido de una función Es el conjunto de todas las imágenes de la función f, es decir:

Im(f) =⎨f(x)/x∈Dom(f)⎬

Cuando la función viene dada gráficamente para calcular la imagen, simplemente aplastamos la gráfica sobre el eje Y.

Ejemplo:

),2()f(Dom2x06x3)6x3(log)x(f 2 ∞=⇒>⇒>−⇒−=

Actividad: 2. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) 5x9x

)x(f2

+−

= b) 3x24x

)x(f+−

=

c) 5x43

x)x(f 2 −+= d) 5

8x3x)x(f

2 +−=

e) 1x22x3

)x(f−+

= f) )8x5log()x(f −=

g) 2x3x

)x(f−+

= h) ( )( )7xx1)x(f +−=

i) 2x

x2x3

5)x(f

−+

+= j) )4xlog()x(f 2 −=

k) )5x(log)x(f 3 −= l) 1x35)x(f +=

m) 4x2x5

4)x(f += n) 33x2

x)x(f

−=

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52

Actividad: 3. A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición:

1. R

1) 2)

2. { }3R −

3. { }0R −

3) 4)

4. [ )2,+∞

5. [ )3,+∞

5) 6)

6. ( )0,+∞

7. ( ].3−∞

7) 8)

8. ( )0,+∞

9. ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ − +∞

9) 10)

10. { }1R − −

11. [ )3,− +∞

11) 12)

12. [ )1,− +∞

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53

Actividad: 4. Relaciona cada gráfica con su recorrido:

13. ( ].2−∞

13) 14)

14. ( ].0−∞

15. { }1R −

15)

16)

16. ( ].4−∞

17. ( ) [ ),0 1,−∞ ∪ +∞

17) 18)

18. { }0R −

19. ),0( ∞

19) 20)

46

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

20. R

21. { }2R −

21)

46

8Y

X

2

6 82−4 −2−8 −6−2

−4

−6

4

22)

22. { }3R − −

23. [ )3,0

23) 24)

24. [ )2,− +∞

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54

3. MONOTONÍA

3.1. Funciones estrictamente crecientes y crecientes

a) Una función es estrictamente creciente en un punto x = a si existe un entorno de a, es decir un intervalo (a-r,a+r) ∀x1,x2∈(a-r,a+r) con x1<x2 se cumple

)x(f)x(f 21 < . (Es decir, en un intervalo pequeño alrededor del punto a al aumentar la x aumente la y)

b) Una función es creciente en un punto x = a si existe un entorno de a, es decir un intervalo (a-r,a+r) ∀x1,x2∈(a-r,a+r) con x1<x2 se cumple )x(f)x(f 21 ≤ .

Estrictamente creciente en c creciente en c

3.2. Funciones estrictamente decrecientes y decrecientes

a) Una función es estrictamente decreciente en un punto x = a si existe un

entorno de a (a-r,a+r) ∀x1,x2∈(a-r,a+r) con x1<x2 se cumple )x(f)x(f 21 > . (Es decir, en un intervalo pequeño alrededor del punto a al aumentar la x disminuye la y)

b) Una función es decreciente en un punto x = a si existe un entorno de a, es

decir un intervalo (a-r,a+r) ∀x1,x2∈(a-r,a+r) con x1<x2 se cumple )x(f)x(f 21 ≥ .

Estrictamente decreciente en c decreciente en c

y y f(x) f(x) a c b x a c b x

y y f(x) f(x) a c b x a c b x

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55

Las funciones constantes son crecientes y decreciente a la vez ya que verifican ambas definiciones: y = f(x) = cte 4. EXTREMOS RELATIVOS

4.1. Máximo relativo Una función f(x) alcanza un máximo relativo en x = a si su imagen f(a) es el

mayor valor que toma la función en un intervalo alrededor del punto, es decir si existe un intervalo alrededor de a tal que: ∀ x∈ (a-r,a+r) f(x) < f(a),

4.2. Mínimo relativo Una función f(x) alcanza un mínimo relativo en x = a si su imagen f(a) es el

menor valor que toma la función en un intervalo alrededor del punto, es decir si existe un intervalo alrededor de a tal que: ∀ x ∈ (a-r,a+r), f(x) > f(a)

4.3. Máximo absoluto

Una función f(x) alcanza un máximo absoluto en x = a si f(a) es el mayor valor que toma la función en todo su dominio.

Una función será (estrictamente) creciente o (estrictamente) decreciente en un intervalo si lo es en cada punto del intervalo

a es un máximo relativo b es un mínimo relativo a b

Actividad: 5. Analiza la monotonía de las funciones que aparecen en la actividad 3.

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56

4.4. Mínimo absoluto

Una función f(x) alcanza un mínimo absoluto en x = a si f(a) es el menor valor que toma la función en todo su dominio.

Los extremos absolutos son también extremos relativos.

5. FUNCIONES ACOTADAS

5.1. Función acotada superiormente

Una función f(x) está acotada superiormente si todas las imágenes son menores o iguales que un número real, es decir si y sólo si ∃ k∈R tal que f(x) ≤ k, ∀x∈Dom(f). K se llama cota superior y cualquier valor mayor que k también lo es.

5.2. Función acotada inferiormente

Una función f(x) está acotada inferiormente si todas las imágenes son mayores o iguales que un número real, es decir si y sólo si ∃ k’∈R tal que f(x) ≥ k’, ∀x∈Dom(f). K’ se llama cota inferior y cualquier valor menor que k’ también lo es.

6. FUNCIONES SIMÉTRICAS

6.1. Respecto al eje Y

Cada x y su opuesto tienen la misma imagen, es decir f(x) = f(-x) ∀x∈Dom(f).

Hablamos de función par.

Una función está acotada si lo está superior e inferiormente. Gráficamente si la función es acotada está contenida por completo en una banda horizontal.

Actividad: 6. Analiza los extremos de las funciones de la actividad 3.

Actividad: 7. Analiza la acotación de las funciones de la actividad 3.

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57

6.2. Respecto al origen de coordenadas

Cada x y su opuesto tienen imágenes opuestas, es decir, f(x)= - f(-x) ∀x∈Dom(f). Hablamos de funciones impares.

a) No puede existir simetría respecto al eje X puesto que se contradice con

la definición de función al exigir que cada punto tenga dos imágenes. b) Pueden existir otros ejes o puntos de simetría, de igual forma que no

tiene porqué existir ningún tipo de simetrías.

Ejemplo: Dada la función 24 xx)x(f += , veamos si presenta simetría par:

( ) ( ) )x(fxxxx)x(f 2424 =+=−+−=− , como f(-x)=f(x) la función es par.

Ejemplo:

Dada la función x2x)x(f 3 += , veamos si presenta simetría impar:

)x(fx2x)x(2)x()x(f 33 ≠−−=−+−=− no es par

( ) )x(fx2xx2x)x(f 33 =+=−−−=−− es impar

Actividad: 8. Analiza la simetría de las funciones de la actividad 3. 9. Calcula la simetría de las siguientes funciones: a) 24 x3x)x(f −= b) xx5x)x(f 35 +−= c) 2xx)x(f −=

d) xx

x)x(f

3

2

+= e)

2x

x)x(f

2

5

+= f) 5 35 xx)x(f +=

g) 3 3x1)x(f +=

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58

7. TENDENCIAS DE UNA FUNCIÓN. ASÍNTOTAS. RAMAS INFINITAS

a) Una función tiende hacia un valor constante k cuando al aumentar o

disminuir los valores de la indeterminada x, los correspondientes valores de la variable dependiente y se van aproximando al valor constante k.

Se expresa de la siguiente forma: Cuando x tiende a más infinito f(x) = y tiende a k.

x → ∞ ⇒ f(x) → k Cuando x tiende a menos infinito f(x) = y tiende a k.

x → − ∞ ⇒ f(x) → k k

x → − ∞ ⇒ f(x) → k x → ∞ ⇒ f(x) → k

La recta y = k es una asíntota horizontal.

b) Si x tiende a un valor constante la función puede tender a más o menos infinito, pueden darse los siguientes casos:

a a

∞→⇒→ − )x(fax ∞→⇒→ + )x(fax a a

−∞→⇒→ − )x(fax −∞→⇒→ + )x(fax

La recta x = a es una asíntota vertical, en todos los casos.

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59

c) Si x tiende a más o menos infinito, la función puede tender a más o menos infinito.

x f(x)x f(x)→ −∞ ⇒ → −∞→∞ ⇒ → −∞

x f(x)x f(x)→ −∞ ⇒ →∞→∞ ⇒ →∞

8. FUNCIONES PERIÓDICAS

Una función es periódica de periodo T, si T es el menor número real que cumple f(x) = f(x+T) ∀x∈Dom(f). Esto significa que la función se repite idénticamente en cada intervalo de amplitud T.

9. SUMA Y RESTA DE FUNCIONES

9.1. Suma de funciones

Dadas dos funciones f(x) y g(x), llamamos suma de f y g a otra función (f+g)(x) / (f+g)(x) = f(x)+g(x). El dominio de la suma es la intersección de los dominios.

Ejemplo:

Dadas las funciones x1

)x(g,5x)x(f 2 =+= , entonces la función suma

será: ( )x1

5x)x(g)x(f)x(gf 2 ++=+=+ , el dominio será: { }0R)f(Dom −=

Actividad: 10. Analiza las asíntotas de las funciones de la actividad 3.

Actividad: 11. Dibuja una función periódica de periodo T=2 y otra de periodo T=3. 12. Analiza las funciones 13, 14, 20, 21 y 24 de la actividad 4. (Dominio, Imagen, puntos de corte, monotonía, extremos, acotación, periodicidad y simetría)

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60

* Si los dominios respectivos son disjuntos, no existe la función suma.

9.2. Función nula

Se llama función nula a f(x)=0. Es el elemento neutro para la suma de funciones.

9.3. Función opuesta

Se llama función opuesta de f y se escribe –f a la función: (-f)(x)=-f(x)

La gráfica de la función opuesta es simétrica respecto al eje X. 9.4. Resta de funciones

Dadas dos funciones f(x) y g(x), llamamos resta de f y g a otra función (f-g)(x):

(f-g)(x) = f(x)-g(x).

10. PRODUCTO Y COCIENTE DE FUNCIONES

10.1. Producto de funciones

Dadas dos funciones f y g, llamamos producto de f y g a otra función f·g : (f·g)(x)=f(x)·g(x).

10.2. Función unidad

Se llama función unidad a f(x)=1. Es el elemento neutro para el producto de funciones.

10.3. Función inversa

Se llama función inversa de f y se escribe 1/f a la función (1/f)(x)=1/f(x) El dominio de 1/f es: Dom(1/f)=Dom(f)-{x/f(x)=0}

Ejemplo:


)x(g,5x)x(f 2 =+= , entonces la función

multiplicación será: ( )x

5x2)x(gf

+=⋅ , el dominio será: { }0R)f(Dom −=

Ejemplo:


)x(g,5x)x(f 2 =+= , entonces la función resta será:

( )x1

5x)x(gf 2 −+=− , el dominio será: { }0R)f(Dom −=

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61

10.4. Cociente de funciones

Dadas dos funciones f y g, llamamos cociente de f y g a otra función f/g:

f f(x)(x)=

g g(x)⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

El dominio de f/g es: Dom(f/g)=Dom(f)∩Dom(g)-{x/g(x)=0}

11. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 11.1. Función compuesta

Dadas dos funciones f y g, llamamos función compuesta y escribimos g o f a la

función ( ) ( )g f (x)=g f(x)

La composición NO cumple la propiedad conmutativa, SI la asociativa: ( ) ( )f g h=f g h

11.2. Función identidad

Se llama función identidad a f(x)=x. Es el elemento neutro de la composición.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

f(x)=x g f (x)=g f(x) =g x

g(x) f g (x)=f g(x) =g x

f g x f(x) g(f(x))

( ) ( )go f (x)=g f(x)

Ejemplo:

22

1x+1 x 1 x 1 x -11f(x)= (x)= x+11 f x>1 x x>1x

≤ ⎧⎧ ≤ ≠⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎨⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎩

Ejemplo:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1f(x)= g f (x)=g f(x) =g = +5

x x x1

g(x)=x+5 f g (x)=f g(x) =f x+5 =x+5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

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62

12. FUNCIÓN RECÍPROCA

Dada una función f inyectiva, se llama función recíproca y se escribe f-1 a la

función que cumple: -1f(x)=y f (y)=x⇒ Se observa que Dom(f-1) = Im(f)

Para que exista f-1 es necesario que f sea inyectiva, es decir:

)x(f)x(fxx 2121 ≠⇒≠ , o lo que es lo mismo: si 2121 xx)x(f)x(f =⇒= puesto que si dos originales distintos tuvieran la misma imagen, f-1 no podría ser función.

* “Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto a la bisectriz del 1er-3er cuadrantes y=x”

f(x)=y x y f-1(y)=x

Ejemplo: Calculamos la función recíproca de 3x2)x(f +=

a) f es inyectiva: ?xx)x(f)x(f¿ 2121 =⇒=

212121 xxx2x23x23x2 =⇒=⇒+=+ b) Despejamos la x:

23y

x3yx23x2y−

=⇒−=⇒+=

c) Intercambiamos x por y:

23x

)x(f 1 −=−

Actividad:

13. Sean 4x2)x(gy3x1x3

)x(f +=+−

= . Calcula:

a) (fog)(x) b) (gof)(x) c) f-1(x) d) f-1(2) e) (f – g)(x) f) (f – g)(0) g) (f / g)(x) h) g-1(x)

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63

13. FUNCIONES POLINÓMICAS

Son aquellas de la forma 011

1 ...)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

− , donde

naaa ,...,, 10 son números reales. Su dominio es R. 13.1. De grado cero Son de la forma Rkdondekxf ∈= ,)( . Se llaman funciones constantes.

Dom(f) = R Im(f) = k.

K f(x) = k

13.2. De grado uno Son de la forma f(x) = ax + b, 0a ≠ , a representa la pendiente de la recta y b

la ordenada en el origen, es decir pasa por el punto (0,b) - y = ax + b se dice función afín - y = ax se dice función lineal.

Dom(f) = R, Im(f) = R Para representar una recta es necesario conocer dos puntos y unirlos. a>0 a<0

13.3. De grado dos

Son de la forma 0a,cbxax)x(f 2 ≠++= . Su gráfica es una parábola, si a>0 está orientada hacia arriba y si a<0 está orientada hacia abajo.

El vértice de la parábola responde a la expresión:

)y,x(V 00= donde a2b

x0−

= .

La parábola es simétrica respecto a la recta a2b

x−

= y por ello para dibujarla es

suficiente situar el vértice y conocer mediante una tabla de valores, algún punto anterior y posterior. Puede cortar al eje X en dos, uno o ningún punto.

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64

a>0 a<0

14. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ =xk

y

Veamos las gráficas x2

y,x2

y−

==

- Dom (f) = { }0−R

- Im (f) = { }0−R - No hay puntos de corte con los ejes. - k>0 ⇒ f es decreciente en ),0()0,( ∞∪−∞

- k<0 ⇒ f es creciente en ),0()0,( ∞∪−∞ - No acotadas - No periódicas - Simetría impar

15. FUNCIONES EXPONENCIALES

Son funciones de la forma y = xka con a>0, 1≠a . Veamos las gráficas: x

x

21

y,2y ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

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- Dom (f) = R - Im (f) = ),0( ∞ - Cortan al eje y en el punto (0,k). - a>1 ⇒ f es creciente en R - a<1 ⇒ f es decreciente en R - Acotadas inferiormente k’ = 0 - No periódicas - No simetricas

16. FUNCIONES LOGARITMICAS

Son funciones de la forma 1a,0a,Radondexlogy a ≠>∈= . Veamos las gráficas xlogy,xlogy

212 ==

La función logarítmica es inversa de la función exponencial, las gráficas son

simétricas respecto a la recta y = x.

- Dom(f) = (0,∞ ) - Im(f) = R - ∀a cortan al eje X en (1,0) y no cortan al eje Y. - a>1 ⇒ f es estrictamente creciente en (0,∞ ) - 0<a<1 ⇒ f es estrictamente de decreciente en (0,∞ ) - No acotadas - No periódicas - No simétricas

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66

17. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas que vamos a estudiar son y = senx, y = cosx, y = tgx

17.1 Gráfica del seno

- Dom (f) = R - Im (f) = [ ]1,1− - Periodica T = 2π⇒ estudiamos el resto de las características en el intervalo

[ ]π2,0 - Puntos de corte: (0,0), (π ,0), (2π ,0)

- Máximos: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛1,

2π

- Mínimos: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −1,2π3

- Acotada superiormente por k = 1 - Acotada inferiormente por k’ = - 1 - Simetría impar

- Estrictamente creciente ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −2π

,2π

- Estrictamente decreciente ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2π3

,2π

17.2. Gráfica del coseno

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67

- Dom (f) = R - Im (f) = [ ]1,1− - Periodica T = 2π⇒ estudiamos el resto de las características en el intervalo

[ ]π2,0

- Puntos de corte: (0,1), ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛0,

2π

, ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛0,

2π3

- Máximos: ( )1,0 - Mínimos: ( )1,π − - Acotada superiormente por k = 1 - Acotada inferiormente por k’ = - 1 - Simetría par - Estrictamente decreciente ( )π,0 - Estrictamente creciente ( )π2,π

17.3. Gráfica de la tangente

- Dom (f) = R - ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈π+π

Zk/k2

- Im (f) = R - Periodica T = π⇒ estudiamos el resto de las características en el intervalo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−2π

,2π

- Puntos de corte: (0,0) - Estrictamente creciente - Simetría impar - No acotada

18. FUNCIONES A TROZOS

Vienen expresadas por diferentes expresiones matemáticas en intervalos disjuntos.

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68

19. INTERPOLACIÓN: INTRODUCCIÓN

En muchas observaciones y experimentos, no contamos con la expresión

de una función, sino con una tabla de “observaciones” representadas como pares de puntos. Es necesario encontrar una función sencilla que pase por esos puntos. Y nos permita interpolar entre dos cualesquiera de ellos o extrapolar a cualquier valor exterior a la tabla.

Las funciones más sencillas son las polinómicas de grado uno y dos. 20. INTERPOLACIÓN LINEAL

Conocidos dos pares de puntos (xo,yo), (x1,y1) se calcula la recta que

pasa por ellos y = ax + b resolviendo el sistema al sustituir los puntos.

Ejemplo: Calcula la función de interpolación lineal que pasa por los puntos (2,3) y (-1,0). La función de interpolación lineal es de la forma y = ax +b, como pasa por esos puntos tenemos el sistema:

⎩⎨⎧

+−=+=

ba0ba23

resolvemos por sustitución a = b 1bb33bb23 =⇒=⇒+=⇒

1a =⇒ El polinomio de interpolación lineal será: y = x + 1

Actividad: 14. Representa la función y = -3x+1 en el intervalo [1,5). 15. Una función lineal cumple que f(1)=3 y f(-2)=-9. Halla su expresión analítica.

16. Representa las parábolas: a) y = x 2 -2x+3 b) y= 2x31

-x+3 en (-1,3].

17. Encuentra la expresión analítica de las funciones:

46

8Y

X

2

6 82−4 −2−8 −6−2

−4

−6

4

18. Representa las siguientes funciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<<+

≤−

=x53

5x21x

2x1x2

)x(f 2 b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−<<

<=

x33x2x02

0xx)x(f

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤−−<<−

≥

=1x1x2

0x1x

0xsenx

)x(f 2 d) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

<=

x03

0xx1

)x(fx

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69

21. INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

La tabla de puntos puede alejarse mucho del gráfico de una recta, por lo que la interpolación lineal podría producir un error muy grande. En este caso, se puede utilizar la interpolación cuadrática mediante la función y = ax2 + bx + c. Para ello es necesario utilizar tres puntos (xo,yo), (x1,y1), (x2,y2), y resolver el sistema de tres ecuaciones al sustituirlos.

Ejemplo: Calcula la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos (0,0), (4,4), (1,-2).

La función de interpolación cuadrática es de la forma cbxaxy)x(f 2 ++== , como pasa por esos tres puntos tenemos el sistema:

⎩⎨⎧

+=−+=

⇒⎩⎨⎧

+=−+=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=−++=

=

ba2ba41

ba2b4a164

cba2cb4a164

c0 resolvemos por reducción

multiplicando a la segunda ecuación por –1

3bb411aa33ba2ba41

−=⇒+=⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

−−=+=

El polinomio de interpolación cuadrática será: x3xy 2 −=

Actividad: 19. Obtén la función de interpolación lineal que pasa por los puntos: (-1,1) y (2,4). Interpola el valor a = 0 y extrapola el valor a = 5. 20. Determinar el polinomio interpolador cuya gráfica pasa por los puntos (-1,12), (0,6) y (3,0). Encuentra por interpolación el valor del polinomio para x = 2’75 y encuentra por extrapolación el valor que toma el polinomio x = -1’25.

21. Encuentra por interpolación, un polinomio de grado 2 cuya gráfica pase por los puntos (1,-5), (2,2) y (-1,-7)

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70

EJERCICIOS

1. Relaciona cada función con su respectivo dominio de definición:

1) =+2

11

yx

1. ( ] [ ), 1 1,−∞ − ∪ +∞

2) +

= 22 xy

x 2. { }2R − −

3) = −2y x 3. { }3R −

4) =− 21

3y

x x 4. [ )1,− +∞

5) ( )2

23xy

x=

− 5. [ )3,− +∞

6) 1

2y

x=

− 6. { }3, 3R − − +

7) = −2 1y x 7. { }0, 3R −

8) =−21

9y

x 8. R

9) = −3 1y x 9. [ )2,+∞

10) 1

2y

x=

+ 10.

1 ,3⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠

11) 1y x= + 11. ( )2,+∞

12) 3y x= + 12. { }0R −

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71

2. Relaciona cada dominio de definición con su respectiva función:

1) ( )2,+∞

1. 2 2

9x xy

x− −

=+

2) { }7R − −

2. 3

8xy

x=

−

3) ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ − +∞

3. 1

2y

x=

−

4) { }2, 2R − −

4. 2

1-16

yx

=

5) ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞

5. 3 4y x= −

6) [ ) ( )0,8 8,∪ +∞

6. 1

3xy =

7) ( )0,+∞

7. 3

7y

x=

+

8) ( ) ( ] [ ), 9 9, 1 2,−∞ − ∪ − − ∪ +∞

8. 22 4y x= +

9) 4 ,3⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠

9. log( 3)y x= +

10) ( )3,− +∞

10. 2

2log

xyx

=

11) [ )5,+∞

11. 5y x x= + −

12) R 12.

2 41

xyx−

=+

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72

3. Analiza las siguientes funciones: a)

3 2

-6 - 4 - 2 3 5 - 1 b) - 4 4

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73

c) 1

- 1 2 4 10

- 2

d) 5

1

- 6 - 2 2 6

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74

e) 4 - 4 - 2 2 4

f)

5 4 3

3 6 10 -2

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75

g) 4 2

1

-5 -1 2 5 8 12 15 - 4 h) 3

-7 –5 –3 - 1 3 5 7 - 3

5 i) 2

- 8 – 3 3 6 8 10

- 3

4. Halla la expresión analítica de las gráficas e, f, g, h, i.

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76

5. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) 12x)x(f 65

+= b) x2

5x)x(f

32

−= c) 2x5)x(f −=

d) 2xx

7x)x(f

24 ++

+= e) 2x3x)x(f 2 −+−= f) x

52

)x(f −=

g) 5x2x3)x(f 2 +−= h) xx

3)x(f

2 += i)

x5x

2)x(f

2 +−=

j) 3 2xx3)x(f −= k) 1x4

3xx7)x(f

2

2

−

++= l) 348 xxx)x(f +−=

m) x7

3)x(f =

6. Dibuja las gráficas correspondientes a las funciones con las características

que se citan a continuación: a) Dom(f)= ( ] [ )∞∪−∞− ,, 22 , Im(f)= ( ]2,∞− , máximos relativos en los puntos (-

3,2) y (3,2) b) Dom(f)=R, Im(f)= [ ]11,− , creciente en el intervalo ( )0,∞− y decreciente en el

intervalo ( )∞,0 c) Dom(f)= ( ) ( )∞∪−∞− ,, 11 , Im(f)= ( )22,− y decreciente en todo el dominio. d) Dom(f)=R, Im(f)= ( )23,− , mínimo relativo en el punto (-2,-1) y máximo

relativo en el punto (0,1) e) Dom(f)= ( )0,∞− , Im(f)= ( )∞,1 y estrictamente creciente en todo su dominio. f) Dom(f)=R-{ }0 , Im(f)=R, estrictamente creciente en ( )0,∞− y estrictamente

decreciente en ( )∞,0 g) Dom(f)=R, Im(f)= [ )∞,0 , simetría respecto del eje de ordenadas, máximo

relativo en el punto (0,2) y mínimos relativos en (3,0) y (-3,0) h) Dom(f)=R, simetría respecto del origen de coordenadas, acotada por –1 y 1,

alcanzando la función ambos valores, mínimo relativo en (-2,-1) y máximo relativo en (2,1).

9. Sean f(x) = 2x + 5, g(x) = 5x21x3

−+

y h(x) = x573x2

−+

. Calcula:

a) Las recíprocas de f(x), g(x) y h(x). b) (fog)(1), (hof)(0) c) (f/g)(-1), (f⋅g)(2), (h+g)(-2) y (g-h)(3)

10. Sea f(x) = 1x3x2

−+

, halla f -1(2).

11. Sean f(x) = 3x+2 y g(x) = 1x23x++

, halla (fog)(x) y (gof)(x).

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77

12. Sean f(x) = 23x− y g(x) = 3x2 2 + . Calcula:

a) (f – g)(x), (f – g)(2) b) (f⋅g)(x), (f⋅g)(- 1) c) (f /g)(x), (f /g)(- 2)

13. Calcula si es posible la función recíproca de f(x) = 3x1x

−+

.

14. Dada la función f(x) = 4x – 6; se pide:

a) ¿Existe f –1(x) ? b) Si existe, calculala. c) Calcula ))3(f(f 1− y ))3(f(f 1−

16. Dadas las funciones f(x) = x13x2

−+

y g(x) = 3x2 – 1, calcula (fog)(x) y la

función inversa de f(x).

17. Dada la función 2x2x2)x(f −= , comprueba que se verifica )1x(f)x(f +=−

18. Sean 1x

1)x(gy1x2)x(f

+=−= . Calcula:

a) (f + g)(2) b) Dom(f - g)

19. Hallar la función recíproca de 3x24x3

)x(gyx

3x2)x(f

−+

=−

=


a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+<<

≤

=x51x2

5x0x

0x0

)x(f 2

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<+−

≤<

≤

=

5x32xx

3x0x

0x1

)x(f2

2

22. Obtén la función cuadrática de interpolación cuya gráfica pasa por los puntos: (0,4), (2,9), (4,20)

23. Dada la tabla de la función f(x), calcula el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pase por los puntos (1,2), (2,-1) y (3,6)

24. La población activa española en el sector agrícola en los años que se indican fue:

x 1988 1990 1991 f(x) 1694’2 1485’5 1341’1

Donde el número de ocupados viene dado en miles.

a) Obtén la función de interpolación cuadrática.

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78

b) Determina por interpolación el número de ocupados en el sector agrícola en el año 1989 y por extrapolación el número de ocupados en el año 1992.

25. Representa gráficamente la función f(x) =⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

<≤−+−<−

2x1x

2x12x1x1

Indica también su dominio.

26. Dada la función f(x) = 2x – 2x2, comprueba que verifica f(-x) = f(x+1). 27. Elena va a visitar a su amiga Teresa y tarda 15 minutos en llegar a su

casa que está a 1 km. de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida.

a) Identifica la variable dependiente y la independiente b) Representa la función tiempo-distancia c) Encuentra su expresión analítica.

CUESTIONES

1. ¿Existe alguna función par e impar a la vez? ¿Cuál? 2. Dibuja una función periódica que no sea trigonométrica.

3. Si f(x) es estrictamente creciente en R, ¿puede ser par? , ¿puede ser

acotada superiormente?

4. Dadas las funciones f(x) = x y g(x) = 5+x

1, la función f g es

a) (f g)(x) = 5+x

1

b) (f g)(x) = 5+x

1

c) (f g)(x) = 5+x

x

d) (f g)(x) = 5+x

x

5. Sobre las funciones del ítem anterior, podemos afirmar que el dominio de f es: a) R * = R-{0} b) R +

* = reales positivos sin el 0

c) R + = reales positivos d) R - = reales negativos

6. El dominio de g es: a) [-5,∞ ) b) (-5, )∞ c) R – {5} d) R – {-5}

7. El dominio de f g es:

a) R + b) (-5, )∞ c) [-5,∞ ) d) R – {-5}

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79

8. Relaciona cada gráfica con su recorrido:

1. ( ].2−∞

2) 3)

2. ( ].0−∞

3. { }1R −

4) 5)

4. ( ].4−∞

5. ( ) [ ),0 1,−∞ ∪ +∞

6) 7)

6. { }0R −

7. ( ),0−∞

8) 9)

46

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

8. R

9. { }2R −

10)

46

8Y

X

2

6 82−4 −2−8 −6−2

−4

−6

4

11)

10. { }3R − −

11. [ )0,+∞

12) 13)

12. [ )2,− +∞

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80

9. Asocia cada expresión analítica con su respectiva gráfica:

1. 53 +−= xy

2. ( )22+= xy 1. 2.

3. xy 31log=

4. xy 3= 3. 4.

5. 24xy −=

6. xy 3log= 5.

6.

7. 5 13

y x= − −

8. x

y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

31

7. 8.

9. 13

yx

=+

10. xy += 3

9. 10.

11. 31+=

xy

12. 3y x= −

11. 12.

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81

10. Asocia a cada una de estas gráficas su ecuación:

1) 14

yx

=−

2) 1y x= − +

1. 2.

3) 1 2yx

= +

4) 2y x=

3. 4.

5) 23

4xy −

=

6) 34xy −

= 5. 6.

7) 22 2y x= − 8) 2 2y x= −

7. 8.

9) 3y x= −

10) 1 23

yx

= +−

9. 10.

11) 1 3yx

= −

12) 3y x= + 11. 12.

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82

11. A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición:

13. R

14) 15)

14. { }3R −

15. { }0R −

16)

17)

16. [ )2,+∞

17. [ )3,+∞

18) 19)

18. ( )0,+∞

19. ( ].3−∞

20) 21)

20. ( )0,+∞

21. ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ − +∞

22) 23)

22. { }1R − −

23. [ )3,− +∞

24) 25)

24. [ )1,− +∞

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83

12. Asocia cada gráfica con su correspondiente ecuación:

1. 23xy −=

1) 2)

2. 12

x

y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3. 3 2xy = −

3) 4)

4. ( )3log 2y x= −

5. 3xy =

5) 6)

6. 3logy x=

7. 13

x

y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

7) 8)

8. 2xy =

9. ( )2log 1y x= +

9) 10)

10. 1 2logy x=

11. 2logy x=

11) 12)

12. 1 3logy x=

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84

13. Asocia cada función con su gráfica.

1) 2( )1

xq xx

=−

2) 32)( += xxi

3) 212)(

−+

=xxxg 4) 2( ) 2p x x x= − −

5) 2( ) 1s x x= +

6) 413)( 2 −

−=

xxxh

7) xxm −= 2)( 8)

12)( 2

2

−=

xxxl

9) 4)( 2 −= xxj

10) 2

1)(+

=x

xk

11) ( ) 1r x x= −

12) 1)( 2 −= xxf

14. Dadas las funciones f(x) = 1-x1-x2

y g(x)= x+1 , señala la afirmación

correcta: a) Las funciones f y g son iguales, aunque Dom(f) ≠ Dom(g) b) Las funciones f y g son distintas, aunque si x 1≠ , f(x) = g(x) c) Las funciones f y g sion distintas y, salvo algún x aislado, f(x)≠ g(x)

d) Nada de lo anterior es cierto.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

-1 1 -2 2

2

1

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85

15. Dadas las funciones f(x) = 2 - x y g(x) = x 2 +x -2, se puede asegurar que:

a) f es una función impar b) g es una función par c) f+g es una función par d) f+g es una función impar.

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Colegio Vizcaya 1ºBachiller

86

UNIDAD 4:

LÍMITES Y

CONTINUIDAD

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87

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Calcular las tendencias de una función a partir de su gráfica 2. Resolver las indeterminaciones más usuales en el cálculo de

límites.

3. Determinar de forma intuitiva la continuidad de una función a partir de su gráfica.

4. Resolver mediante el cálculo de límites, la continuidad de una

función dada por su expresión analítica.

CONCEPTOS

1. Límite de una función en un punto. 2. Límites laterales.

3. Propiedades de los límites.

4. Cálculo de límites.

5. Indeterminaciones del tipo ∞−∞∞∞

≠ ,,00),0(

0kk

6. Continuidad de funciones.

7. Tipos de discontinuidad.

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88

LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. DEFINICIÓN

Intuitivamente, el límite de una función f(x) en un punto x = a, es el valor al que tienden las imágenes y = f(x) de los orígenes x cuando estos se aproximan o tienden a “a”. (Llamamos “tender” a acercarse infinitamente a x=a. Esta aproximación sería un proceso infinito, sin final, porque, como sabes, los números reales no son consecutivos, y siempre podrías encontrar un nº real más cercano a “a” que el anterior.)

Veamos una serie de ejemplos que nos acerquen a la idea de límite:

El límite no depende del punto “a” puesto que sólo se observan las

imágenes de los puntos de sus entornos próximos, aunque lo lógico es que los puntos próximos a “a” tengan sus imágenes próximas a la suya f(a). Por eso los límites se calculan, en principio, sustituyendo x por a, es decir, hallando f(a). Sin embargo aunque f(a) no exista puede haber límite.

Actividad:

1. Escribe valores de x que “tienden” a 3. A medida que se acercan, ¿dónde tienden sus imágenes?

2 3

Actividad: 2. ¿Cuánto vale la imagen de 5? Si consideramos valores que “tienden a 5, ¿dónde tienden sus imágenes? 3

5

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89

Definición

No siempre el límite en un punto tiene que ver con la imagen de dicho punto. De hecho, en un punto puede haber imagen y no límite, límite y no imagen, puede haber ambas cosas siendo iguales o distintas entre sí y puede que no exista ninguna de las dos. Observa un ejemplo de cada caso: A) Imagen sí, límite no: B) Imagen no, límite no:

2 2

Actividad: 3. ¿Cuánto vale la imagen de 4? Si consideramos valores que “tienden a 4, ¿dónde tienden sus imágenes? 3

2 4

Actividad: 4. ¿Cuánto vale la imagen de 3? Si consideramos valores que “tienden a 3, ¿dónde tienden sus imágenes? ¿Qué opinas del límite en este caso? ¿Podría haber dos? 2 1 3 www.M

atemati

ca1.c

om


90

C) Imagen no, límite no: D) Imagen y límite sí. Iguales entre sí:

2 2 E) Imagen y límite sí. Distintos entre sí.

2

Definición: f(x) L a f(x) tiene límite L cuando x tiende a “a” y se escribe L)x(fLim

ax=

→ si para

cualquier entorno de L (es decir un intervalo) ( )εL,εL +− ), existe un entorno

de a ( )δa,δa +− ) tal que todos los ( )δa,δax +−∈ tienen sus imágenes

( )εL,εL)x(f +−∈ . Dicho de otra forma, para cualquier “alrededor” de L, encontraremos un

pequeño entono de “a”, cuyos puntos tienen sus imágenes en el entorno de L. De esa forma, aseguramos que los puntos próximos a “a” tienen sus imágenes próximas a L.

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91

2. LÍMITES LATERALES

Se dice que el límite por la derecha de f(x) en el punto “a” es 1L y se

escribe 1ax

L)x(fLim =+→

si los x próximos a “a” por su derecha, tienen sus

imágenes tendentes a 1L y se dice que el límite por la izquierda de f(x) en el

punto “a” es 2L y se escribe 2ax

L)x(fLim =−→

si los x próximos a “a” por su

izquierda, tienen sus imágenes tendentes a 2L .

La condición necesaria y suficiente para que exista límite en un punto es que existan sus límites laterales y sean iguales.

=+→

)x(fLimax

=→

)x(fLimax

)x(fLimax −→

Ejemplo:

Dada la función f(x) = 3x153<x1x2+x

1<x1+x32

≥≤

Halla el límite en los puntos 0,1,2 y 3 A) 1=)1+x3(lim=)x(flim

0→x0→x

(Los valores de x muy próximos a 0 están TODOS en la primera rama de la función).

B) 4=)1+x3(lim

3=)x2+x(lim=)x(flim

-1→x

2

+1→x

1→X No existe límite.

(Hemos tenido que realizar por separado los límites laterales ya que los x próximos a 1 por su derecha, son mayores que 1 y están en la segunda rama, y los valores próximos por su izquierda, son menores que 1 y se encuentran en la primera rama). C) 8=)x2+x(lim=)x(flim 2

2→x2→x

(Los x muy próximos a 2 están TODOS entre 1 y 3).

D) 15=)x2+x(lim

15=15lim=)x(flim 2

-3x

+3x

3x

→

→

→ El límite existe y es igual a 15

(Los x que tienden a 3 se encuentran en dos ramas distintas de la función: los que tienden por la derecha ( 3’0001, 3’0000001…)que están en la tercera rama por ser mayores que 3, y los que tienden por su izquierda( 2’999, 2’9999998…) que son menores que 3 y están en la segunda).

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92

Tanto “a” como L pueden ser infinito:

L L

L)x(fLim

x=

∞→ L)x(fLim

x=

∞−→

a

∞=→

)x(fLimax

∞=

∞−=

−

+

→

→

)x(fLim

)x(fLim

ax

ax

∞=∞→

)x(fLimx

∞−=

∞=

∞→

∞−→

)x(fLim

)x(fLim

x

x

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93

3. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

a) El límite de f(x) en x = a existe si coinciden los límites laterales y, de ser así, es único.

b) ( )( ) )x(g)x(fxgf LimLimLimaxaxax →→→

±=±

c) ( )( ) )x(g)x(fxgf LimLimLimaxaxax →→→

⋅=⋅

d) ( )( ) )x(g/)x(fxg/f LimLimLimaxaxax →→→

=

e) ( )( ) )x(fkxkf LimLimaxax →→

⋅=

f) ( ))x(g

ax

)x(g

ax

Limax)x(f)x(f LimLim →⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

Como puedes observar, operar con límites es sencillo, pues se cumple que el límite de la suma, resta, multiplicación, división y potencia, es la suma, resta, multiplicación, división y potencia de los límites, respectivamente. Si disponemos de la gráfica de la función, parece sencillo calcular el límite en cada punto. Pero lo habitual, es que conozcamos, no su gráfica, sino su fórmula o expresión analítica. Necesitamos, por tanto, aprender a calcular límites a partir de la expresión analítica de la función.

4. CÁLCULO DE LÍMITES

El cálculo de límites se realiza sustituyendo en f(x) el valor x = a, aunque es posible que ello nos conduzca a una indeterminación del tipo:

∞⋅∞≠∞−∞∞∞ ∞ 0,0,,1),0k(

0k

,00

,, 00

¿Cuánto es 00

ó ∞∞

?

Actividad: 5. Dibuja una función que cumpla: 3)x(flim

1x=

→, f(1) = 0, 5)x(flim

x=

∞→, −∞=

−∞→)x(flim

x, ∞=

−→)x(flim

2x y que

no exista límite en x=3.

Actividad: 6. Calcula los siguientes límites:

a) 5lim3x→

b) 2

xxlim −

+∞→ c) 1lim

x−

−∞→ d)

30x x

1lim

+→ e) 4

xxlim

−∞→

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94

Muy sencillo, sabemos que 3515

= porque 3·5=15. Luego 00

debe ser un nº

que multiplicado por 0 dé 0. ¡¡Y todos los números reales cumplen eso!! Por tanto,

00

es un número cualquiera o indeterminado, es decir, 00

=k porque k·0=0.

Se dice entonces que 00

es una INDETERMINACIÓN.

Observa que ocurre exactamente lo mismo con la operación ∞∞

. Sabemos que

cualquier nº multiplicado por ∞ , da ∞ . Por eso, ∞∞

=k ya que k· ∞=∞

Luego, también ∞∞

es una INDETERMINACIÓN.

De hecho, son la misma operación ya que podemos escribir: ∞∞

=

0503

= 0·50·3

= 00

Veamos como determinar las indeterminaciones:

a) Indeterminaciones 0kcon0k

≠

Esta “indeterminación” es diferente a las demás pues 0k

no es igual a cualquier

nº real. De hecho no es igual a ninguno, pues ningún nº real multiplicado por 0 puede dar k. Ya sabíamos que cualquier número dividido entre 0 da ∞ . El problema está en el signo: puede ser ± ∞ . Ello se debe a que el denominador no es 0 exactamente, sino que “tiende” a serlo, y no sabemos si se acerca a 0 por su izquierda (por los números negativos), o por su derecha (positivos). Por eso es necesario calcular los límites laterales, para determinar si el resultado es +∞ , -∞ . Si existen los límites laterales y son iguales, la función tiene límite; si son distintos, el límite no existe.

Ejemplo:

.límiteexistenoosintdistsonlateraleslímiteslosComo0

21x

20

21x

2

:lateraleslímitesloscalculamos,adominerdetin02

1x2

Lim

Lim

Lim

1x

1x

1x

−∞==−

+∞==−

=−

−→

+→

→

−

+

Actividad: 7. Calcula los siguientes límites: (Tipo k/0 k 0≠ )

a) 1x

x3lim

21x −→ b)

6x2x

lim3x +−→

c) 4x

1lim

4x −→ d)

20x x1

lim→

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95

b) Indeterminación :00

b1) Si f(x) es racional (cociente de polinomios), se descomponen numerador y denominador en factores y se simplifica. (el factor (x – a) será común a ambos)

b2) Si f(x) contiene raíces cuadradas, se multiplica numerador y denominador por el conjugado.

c) Indeterminación ∞∞

:

Antes de estudiar la manera de resolver esta indeterminación veamos el

siguiente límite: 2)+x-x(lim 2

x ∞→ = 2∞ - 2+∞ = ∞

La resta 2∞ - ∞ es igual a ∞ ya que a 2∞ = ∞ ·∞ (infinitas veces ∞ ) sólo le quitamos

∞ ( una vez ∞ ) y, por tanto, seguirá quedando ∞ . Sumarle después 2 es irrelevante.

Ejemplo:

112)1x()2x(

)1x)(2x()2x)(1x(esnumeradorel,másrdescomponepuede

senoadormindenoelcasoesteen,adormindenoynumerador

factoresenmosdescompone,adominerdetin00

2x2x3x

LimLim

Lim

2x2x

2

2x

=−=−=−

−−−−

=−

+−

→→

→

Ejemplo:

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )6

1113

11013

11x13

x1x1x3

1x11x1x3

1x1

1x1x3

1x1

1x1

1x1

x3

adormindenodelconjugadoelpor

adormindenoynumeradormosmultiplica,adominerdetin00

1x1

x3

LimLim

LimLimLim

Lim

0x0x

0x220x0x

0x

−=−+⋅

=−

+−⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+−⋅

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

+−⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−⋅

−−

=−−

→→

→→→

→

Actividad: 8. Calcula los siguientes límites: (Tipo 0/0 )

a) 1x1x

lim4

3

1x −−

→ b)

x1)x1(

lim2

0x

−+→

c) 21x )1x(

2x2lim

−−

→ d)

xxx2x2

lim20x +

+−−→

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96

Podemos deducir, que al cambiar x por ∞ en un polinomio, el término de mayor grado convierte en irrelevantes a todos los demás pues, si es de grado 4 por ejemplo, ax e+dx+cx+bx+ 234 , 4∞ = ∞ · 3∞ es infinitas veces 3∞ ,

mientras que el siguiente término bx 3 sólo contiene b veces 3∞ (un nº finito). (Sumar o restar 2 a ∞ , es lo mismo que sumar o restar ∞ a 2∞ , 2∞ a 3∞ , y así sucesivamente : irrelevante).

Nos basaremos en esta conclusión para resolver la indeterminación ∞∞

.

d) Indeterminación ∞−∞ :

d1) Si f(x) es la resta de dos funciones racionales se opera primero hasta conseguir una función racional.

Ejemplo: 1)

−∞==⇒∞−∞

=−

+−−∞→−∞→−∞→

xLimxx

Lim3x

1x6xLim

x

2

x

2

x

Ejemplo:

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

21

1x1

1x1x1x

1x1x1xx2

1x1x1x1x2

1x1xseráque

adormindenocomúnallevamos,adominerdetin,1x

1

1x

x2

Lim

LimLimLim

Lim

1x

1x1x1x

21x

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−

−+

∞−∞=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−−

→

→→→

→

2)

03

x3

Limx

x3Lim

x

x3Lim

1x

1xx3Lim

x3

2

x6

2

x6

2

x=

∞===⇒

∞∞

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+−∞→∞→∞→∞→

Actividad: 9. Calcula los siguientes límites: (Tipo ∞∞ / )

a) 2x1x2

lim3

2

x +−

∞→ b)

2x51xx2

lim2

2

x +−−+

∞→ c)

5xx23xx4

lim2

23

x +−+−

−∞→ d)

x1)x1(

lim2

x

−+∞→

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97

d2) Si f(x) es una resta de funciones con raíces cuadradas, se multiplica y se divide por la expresión conjugada.

5. CONTINUIDAD Una idea intuitiva es que la función continua es aquella que puede ser

dibujada sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente una función es continua en x = a si:

Veamos como cada condición es imprescindible observando como su

incumplimiento conlleva una discontinuidad:

a a a ∃ f(a) )x(fLim

ax→∃ )a(f)x(fLim

ax≠

→

Ejemplo:

01

x1x

1Lim

x1x

x1xLim

x1x

x1xx1xLim

.conjugadaresiónexplaporadormindeno

ynumeradormosmultiplica,adominerdetin,x1xLim

24x

24

44

x24

2424

x

24

x

=∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

∞−∞=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

∞→

∞→∞→

∞→

Condiciones para que una función sea continua en el punto x = a:

a) )f(Domadonde)a(fExiste ∈ b) )x(fLimExiste

ax→

c) )a(f)x(fLimax

=→

Actividad: 10. Calcula los siguientes límites: (Tipo ∞−∞ )

a) )x3x(lim 2

x−+

∇∞→ b) )x31x(lim 2

x−+

∞→ c) 1xx2x(lim 22

x−−−

∞→)

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98

Una función es continua en un intervalo si lo es en cada punto del

intervalo.

6. TIPOS DE DISCONTINUIDAD

La discontinuidad en x = a se dice evitable si, existiendo límite en x = a, o no existe f(a) o no coincide con el límite, y se dice inevitable si, no existe Lim f(x) independientemente de si existe o no imagen.

En este caso, por ser distintos los límites laterales, puede ser inevitable de salto finito si ambos límites lo son, o de salto infinito si alguno de ellos es infinito.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

infinito salto -finito salto -

inevitable idadDiscontinu -

evitable idadDiscontinu -

idaddiscontinu de Tipos

Ejemplo:

Dada la función f(x) = 4-x4-x2

2 , estudia la continuidad en los puntos x= 0, 2 y

-2. A) En x=0, analizamos las tres condiciones: 1) f(0)= 1 existe imagen

2) 4-x4-x2

lim 20→x= 1 existe límite

3) f(0)= )x(flim0x→

son iguales

luego la función es continua en x=0.

B) En x=2, 1) f(2)= 00

no existe, luego la función no es continua en x=2.

Para conocer el tipo de discontinuidad necesitamos saber si existe o no límite.

2) 4-x4-x2

lim 22x→=

00

(indeterminación) = 2)-2)(x+(x

2)-x(2lim

2→x=

2+x2

lim2→x

= 42

= 21

Por tanto, la función presenta una discontinuidad evitable en x=2.

**El factor (x-2) no se podría simplificar al hallar la imagen f(2) porque, en ese caso, x sería exactamente 2 y el factor tomaría el valor 0. Sabemos que no se puede simplificar el 0. Sin embargo, en el límite, x toma valores muy próximos a 0 pero ninguno igual, luego el factor x-2 no es 0 y se puede simplificar. Eso hace que haya límite pero no imagen.**

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99

Veamos lo que ocurre en una función a trozos:

C) En x=-2 1) f(-2)= 08-

= -∞ no existe. Veamos el tipo de discontinuidad:

2) 4-x4-x2

lim 2-2→x=

08-

indet. Calculamos los límites laterales:

4-x4-x2

lim 2+-2→x= -0

-8= +∞

4-x4-x2

lim 2--2→x= +0

-8= -∞

como son distintos no hay límite. luego en x=-2, la función presenta una discontinuidad inevitable de primera especie de salto infinito. Representa gráficamente el resultado del límite y verifica que se produce un salto infinito.

Ejemplo:

Dada la función f(x) = 3≥x2+x33<xx2

estudia la continuidad en x=1,3.

A) En x=1 , analizamos las tres condiciones: 1) f(1) = 2·1=2 existe imagen 2) 2=x2lim

1→x existe límite

3) f(1) = 2=x2lim1x→

son iguales

f(x) es continua en x=1 B) En x=3, 1) f(3)=3·3+2=11

2) 6=x2lim

11=)2+x3(lim=)x(flim

3→x

+3→x

3→x no existe límite

f(x) presenta en x=3 una discontinuidad inevitable de primera especie de salto finito. ¿Crees que esta función podría tener otros puntos de discontinuidad además de x=3?

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100

Actividad: 11. Estudia la continuidad de las siguientes funciones definidas a trozos y especifica el tipo de discontinuidad:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤−−<<−−+

≥

=1x1x2

0x12xx

0x1

)x(f 2 b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

0xx

0xx)x(f

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤−

<−+=

4x54x22x

2xx24x)x(f

2

d) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<=

0x4

0xx3

)x(fx

12. Indica el valor de k para el que la función f(x) = ⎩⎨⎧

≥+<−

2xkx32x1x

sea continua en todo R.

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101

EJERCICIOS 1. Dada la función:

f(x) 3 2 -6 - 4 - 2 3 5 - 1 Calcula los siguientes límites e imágenes: a)

5xlim

−→f(x) b) )x(flim

4x −→ c) )x(flim

6x +−→ d) )x(flim

0x→ e) )x(flim

3x→ f) )x(flim

x +∞→

g) )x(flim5x→

h) )x(flim2x −→

i) )x(flimx −∞→

j) )x(flim6x −−→

k) )x(flim6x −→

l) )x(flim1x −→

m) f(-6) n) f(0) o) f(3) p) f(-4) q) f(5) r) f(-2) 2. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos indicados.

Representa gráficamente los resultados.

a) f(x) = 4x

x2

3

− en -2, 1, 2 b) f(x) =

1x1x2x2

−+−

en 0, 1

3. Calcula el límite cuando x ∞→ de las funciones y representa los resultados

obtenidos.

a) f(x) = -x 2x72 ++ b) f(x) = x52

c) f(x) = 2x-x 2 d) f(x) = 5

2x3 3 −

4. Calcula el límite cuando x ∞→ y x −∞→ de las siguientes funciones y

representa los resultados obtenidos.

a) f(x) = 2x1−

b) f(x) = 1x

x22

3

+ c) f(x) =

4

4

x1x3

+−

d) f(x) = 2x 1xx5 35 +−+

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102

5. Calcula los siguientes límites:

1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−→ 1x

7

4x5x

421x

Lim 2) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

∞→xx3x3

xLim

3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

→ 20x x3x

1x1

Lim 4) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−→ 3x

5

6x5x

223x

Lim

5) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

∞→x7x5x 22

xLim 6) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−→ 31x x1

3x1

1Lim

7) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

∞→x2x4x2

xLim 8) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−→ x

x11Lim

0x

9)4x4x

x2x2

2

2xLim

+−

−→

10) x

x42Lim

0x

−−→

11)9x

3x2x2x2

23

3xLim

−

−−−→

12)x2x3

xx2x42

23

0xLim

+

+−→

13)4x

8x6x2

4xLim

−+−

→ 14)

4x

1x2x33

2

xLim

+

−−∞→

15)1x

1xLim

1x −

−→

16) x1x1

xLim

0x −−+→

17)4xx

x3x2132

3

xLim

−+

−+∞→

6. Representa gráficamente funciones que satisfagan las siguientes condiciones: a) 2)x(fLim

2x−=

→; f(2)=5; Domf=R; Imf=(-2,+∞)

b) 4)x(gLim1x

=→

; g(x) estrictamente creciente en ( )1,∞− ; Img= ( ]4,∞−

c) 3)x(hLim2x

=−→

; 5)x(hLim2x

=+→

; h(2)=·; Domh= [ ]3,0

d) )x(t)x(t4)x(t LimLimLim1x0x1x →→−→

===

e) )x(f;2x0)x(f;2x0)x(f Lim

2x→∃<∀≤>∀>

f) Domf = R - ( ]3,2 ; Imf = R; 0)x(fLim2x

=−→

; 2)x(fLim3x

−=+→

; f(0)=0

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103

7. Dibuja la siguiente función y calcula los límites que se indican:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤+=

1x20x1x)x(f

2

)x(fLim

x −∞→; )x(fLim

0x −→; )x(fLim

0x +→; )x(fLim

x +∞→


a) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

∞→x6x5xLim 2

x b) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−∞→ 2x

4

6x5x

3Lim 2x

c) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

∞→1xxxLim 2

x d) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−→ 4x4x

6x5xLim 2

2

2x

e) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

∞→1x1xLim 22

x f) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−

−→ 31x x1

3x1

1Lim

g) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−+−→ 3x

5

6x5x

2Lim 23x

h) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

∞→1xxxLim 2

x

i) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++

∞→x1xxLim 2

x j)

1x

2xx2xLim 2

23

1x −

−−+→

k) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+

∞→

2323

xxxx3xLim l) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−

−−→ x2x

2

2xx

3Lim 222x

m) 6xx

x2x3xLim 2

23

2x −−

++−→


1. 1x

1xLim

2

1x −

−→

2. x5x2

x3x6x2Lim 2

23

0x +

−+→

3. 1x

1xLim 2

3

1x −

−→

4. 2x3x

1xLim 2

2

1x ++

−−→

5. 3x

9x6xLim

2

3x −

+−→

6. 1xxx

x2x4x2Lim 23

23

1x +−−

+−→

7. 25x

10x5xLim 2

2

5x −

+−→

8. 2x3x3x

6x7x2Lim 23

2

2x +++

++−→

9. 1x

1xLim

1x −

−→

10. ( )2x2xLimx

−−+∞→

11. x1x1

xLim

0x −−+→ 12. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

∞→x6x5xLim 2

x

13. 9x6x

x3xLim 2

2

3x +−

−→

14. 49x

3x2Lim 27x −

−−→

15. 2x3x

4xLim 2

2

2x +−

−→

16. 1x

1xLim 2

3

1x −

+−→

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104

10. Calcula la continuidad de:

1. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤−−≤<−

≥

=1x1x2

0x1x

0x1

)x(f 2 2. ⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

0xx

0xx)x(f

3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+<<

≤

=5x1x2

5x0x

0x0

)x(f 2 4. ⎪⎩

⎪⎨⎧

>+≤=

3x1x23xx)x(f

2

5. ⎩⎨⎧

=≠+

=2x42x2x

)x(f 6. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤−

<−=

4x54x22x

2x4x)x(f

2

7. ⎩⎨⎧

<−−≥+

=0x1x0x1x

)x(f

11. Dada la función f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤−

−<+

1x11x2x

2x1x32 calcula:

a) )x(flim

2x +−→ b) )x(flim

2x −→ c) )x(flim

0x→ d) )x(flim

1x −→ e) )x(flim

1x +→

f) )x(flim1x→

g) )x(flimx +∞→

h) )x(flimx −∞→

i) )x(flim3x→

j) f(-2)

k) f(1) l) f(-1) m) f(7) Comprueba los resultados obtenidos realizando la representación gráfica.

12. ¿Existe algún valor de k para el que la función f(x) = ⎩⎨⎧

=≠

0xk0xx/5

sea continua?

13. Estudia la continuidad de la función f(x) = ⎩⎨⎧

∉∈

Zx0Zx1

14. Calcula el límite cuando x tiende a 2 de las funciones:

a) f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

2xx5

2x2x4x2

b) g(x) = ⎩⎨⎧

≥<−

2x22x1x3

c) h(x) = ⎩⎨⎧

≤+>−

2x2x4xx3

d) i(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<−

3xx

3x2x

x

2

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105

15. Estudia la continuidad de f(x) = 1x1x

2

3

−−

en los puntos x=-1, x=0 y x=1.

16. Estudia la continuidad en x=0 y x= 2 de la función f(x) = 2x

52 −

17. Estudia la continuidad de la función:

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<

≤−

3x33x1x

1x1x22 en los puntos x=1, x=3, x=0.

18. Estudia la continuidad de las funciones:

a) f(x) = ⎩⎨⎧

≥−<

3xx13xx2

b) f(x) = 4x

x32 −

c) f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<+−

≤+

3x33x01x

0x1x2

d) f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<

1x2

1xx1

19. ¿Existe algún valor de k para el que la función f(x) = ⎩⎨⎧

=≠

0xk0xx/5

sea continua?

20. Estudia la continuidad de la función f(x) = ⎩⎨⎧

∉∈

Zx0Zx1

CUESTIONES 1. Si una función es estrictamente creciente en todo R, ¿significa esto que ∞=

∞→)x(flim

x? Si no es así, pon un ejemplo que lo demuestre.

2. ¿Puede una función f tener como dominio R-{ }a y existir el )x(flim

ax→? Si tu

respuesta es afirmativa, pon un ejemplo. 3. ¿Puede una función ser continua en un punto x=a y no existir en dicho punto? 4. ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que no esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto?

5. La función f(x) = ⎩⎨⎧

≥−<+2x1x22x1x

, en x=2 es

a) continua, pues )2(f)x(flim2x

=→

b) discontinua, pues )x(flim)x(flim2x2x +→−→

≠

c) discontinua, pues no existe f(2) d) nada de los anterior es cierto.

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106

6. Sea la función F(x): º 1 º a b c • m 6.1 Señala la afirmación correcta: a) F(a) = 1 b) F(0) = 1 c) F(c) = 1 d) F(c) no existe 6.2 Señala la afirmación correcta: a) 1)x(Flim

ax=

→ b) 1)x(Flim

cx=

→ c) ∞=

→)x(Flim

cx d) m)x(Flim

ax=

→

6.3 Señala la afirmación correcta: a) 1)x(Flim

x=

−∞→ b) F(0)=0 c) ∞=

→)x(Flim

bx d) F(b)=0

6.4 Señala la afirmación correcta: a) 1)x(Flim

0x=

−→ b) −∞=

−→)x(Flim

bx c) ∞=

−→)x(Flim

cx d) 1)x(Flim

x=

∞→

6.5 Señala la afirmación correcta:

a) Si x<0, entonces F(x)>0 b) Si x>c, entonces F(x)>1 c) Si 0<x<b, entonces F(x)<0 d) Si b<x<c, entonces F(x)>1

7. Si f(x)=1x1x

2

3

−−

, entonces

a) f(1) = )x(flim

1x→=1

b) f(1) = )x(flim1x→

=23

c) f(1) no existe, pero )x(flim1x→

=23

d) f(1) no existe, pero )x(flim1x→

=1

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107

UNIDAD 5:

DERIVADAS

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108

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Aplicar correctamente las reglas de derivación, así como la regla de la cadena en la derivación de la composición de funciones; derivando operaciones de funciones.

2. Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

dado.

3. Determinar, mediante el cálculo de derivadas laterales, la derivabilidad de una función en un punto.

4. Encontrar las derivadas sucesivas de una función.

CONCEPTOS

1. Derivada de una función en un punto. 2. Función derivada. Derivadas laterales.

3. Cálculo de derivadas.

4. Derivadas de operaciones con funciones.

5. Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.

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109

DERIVADAS 1. PROBLEMA DE LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO

Para ver el concepto de derivada, vamos a enfrentarnos en primer lugar al problema geométrico de trazar la tangente a una curva en uno de sus puntos.

El concepto de recta tangente a una curva en un punto como el de la recta que corta a la curva en un punto no es riguroso, ya que :

En este caso la recta no es tangente.

Sin embargo puede ser tangente y cortar en más de un punto

Por todo esto es necesario hacer una definición precisa de la recta tangente

a la curva en un punto. Consideramos una curva y un punto P0, para ello elegimos el conjunto de

puntos P1, P2, P3, ..., Pn, ... de la curva que se aproximan al punto P0, y consideramos las rectas secantes que pasan por P0 y Pi con i ≥1, estas rectas se van a aproximar a la recta t que va a ser la tangente en P0.

P1

P2

Pn

t P0

Se puede definir: tangente a la curva en un punto P0, se define como la

posición límite t, si existe, de las secantes P0P1, ...,P0Pi,..., cuando Pi se aproxima a P0.

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110

Designamos unas coordenadas a P y P1: f(a+h) P1 P

f(a)

a a+h P (a,f(a)) y P1 (a+h, f(a+h)) Escribimos la ecuación de la tangente en forma punto-pendiente:

Punto P(a, f(a)) Pendiente )m(Limm sec

PPtg

1 →=

En primer lugar calculamos las pendientes de las secantes, para ello

consideramos el vector →

1PP : →

1PP = (a+h-a,f(a+h)-f(a)) = (h, f(a+h)-f(a))

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+==⇒

−+==

→→ h)a(f)ha(f

Lim)m(Limmh

)a(f)ha(fvv

m0h

secPP

tg1

2sec

1

Luego la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a será:

Se dice que f(x) es derivable en x=a, y se denota por )a('f , si existe el límite, (es lo que llamamos derivada de una función f(x) en x=a y se denota

)a('f ):

)ax(m)a(fy tg −⋅=−

)ax(h

)a(f)ha(fLim)a(fy

0h−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=−

→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

→ h)a(f)ha(f

Lim)a('f0h

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111

Geométricamente la derivada de una curva en un punto x=a representa la pendiente de la tangente a la curva f(x) en x=a.

2. DERIVADAS LATERALES. FUNCIÓN DERIVADA

Hemos visto que la función derivada de una función f en un punto x=a, es f ‘(a) si existe y viene dada por:

Si f ‘(a) es un número real, entonces f es derivable en a, si no es un número real entonces no existe el límite y la función no es derivable en a.

Como la derivada de una función en un punto viene dada por un límite, podemos definir las derivadas laterales de la siguiente forma:

a) Derivada lateral por la izquierda de f en x=a:

b) Derivada lateral por la derecha de f en x=a:

Diremos que f es derivable en x=a si existen las derivadas laterales y coinciden:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

→ h)a(f)ha(f

Lim)a('f0h

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

−→

−

h)a(f)ha(f

Lim)a('f0h

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

+→

+

h)a(f)ha(f

Lim)a('f0h

)a('f)a('f)a('f +− ==

Ejemplo:

Sea ⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥=

2xx2xx)x(f

2 ¿Existe )2('f ?

( )

( ) 4h4Limh

)h4(hLim

hhh4

Lim

h4hh44

Limh

4h2Lim

h)2(f)h2(f

Lim)2('f

0h0h

2

0h

2

0h

2

0h0h

=+=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

+++

+++

→→→

→→→

+

=−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

+→→→

−+−− 0

2h

2hLim

h4h2

Limh

)2(f)h2(fLim)2('f

0h0h0h-∞

Dibuja la función y comprueba los resultados obtenidos.

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112

Lo que hemos hecho hasta ahora es calcular la derivada en un punto determinado a, pero puede que queramos calcular la derivada de f en varios puntos, para ello calculamos la derivada de f en un punto genérico x y luego particularizaremos a los puntos deseados. Si f es derivable en un intervalo de R, la función derivada de f es la que a cada x del intervalo le hace corresponder la derivada de f en dicho punto. Esta función se designa por: Una función f es derivable en un intervalo si lo es en cada punto del intervalo.

3.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

+→ h)x(f)hx(f

Lim)x('f0h

Ejemplo:

Sea f(x) = x5

, calcular ( ) ( )2' f y 1' f :

( )

45

2

5)2('f

515

1

5)1('f

x

5)x('f

x

5xx5

x)0x(5

x)hx(5

Limhx)hx(

h5Lim

hx)hx(

h5

Limh

x)hx(h5x5x5

Lim

hx)hx(

hx5x5

Limh

x5

hx5

Limh

)x(f)hx(fLim)x('f

2

2

22

0h0h0h0h

oh0h0h

−=

−=

−=−

=−

=

−=⇒

−=

⋅−

=⋅+

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+

−

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+−−

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅++⋅−

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

+=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

→→→→

→→→

Actividad:

1. Estudia si es derivable las siguientes funciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

0xx

0xx)x(f b)

⎩⎨⎧

≤−>−

=3x5x3x3x

)x(f

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113

3. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIÓN FUNCIÓN SIMPLE FUNCIÓN COMPUESTA FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA Función constante

k 0

Función identidad x 1 Función potencial nx n f )x(' f fn 1n ⋅⋅ −

Función exponencial

xe fe ' fe f ⋅

Función exponencial Base ≠ e

xa fa Lna ' faf ⋅⋅

Función logarítmica

x Ln f Ln f' f

Función logarítmica Base ≠ e

xloga floga Lnaf' f

⋅

Función exponencial potencial

g f ' ' ffgLnfgf 1gg ⋅⋅+⋅⋅ −

Función coseno x cos f cos ' f f sen ⋅− Función seno x sen f sen ' f f cos ⋅ Función tangente x tg f tg ( ) ' fftg1

fcos

' f 22

⋅+=

Función arco coseno

arccos x arccos f 2f-1

' f −

Función arco seno

arcsen x arcsen f 2f-1

' f

Función arco tangente

arctg x arctg f 2f1

' f

+

Actividad: 3. La función simple es un caso particular de la función compuesta, completa la tabla basándote en las fórmulas de la función compuesta.

Actividad:

2. Mediante la definición, halla la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) 6x7)x(f 2 −= en x = 1 b) 2x

3)x(f = en x = 2

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114

4. DERIVADAS SUCESIVAS

Sabemos que f es derivable en un intervalo si lo es en cada punto del intervalo, por lo tanto podemos hallar su función derivada, )x('f . Puede ocurrir que 'f sea derivable, luego podemos hallar su derivada ''f)''f( = , llamada derivada de segundo orden o derivada tercera y así sucesivamente siempre y cuando la derivada obtenida sea derivable, es decir podemos calcular las derivadas sucesivas

,...f...,,'''f,''f,'f n

5. OPERACIONES CON DERIVADAS 5.1. Derivada de la suma

( ) (x) ' g(x)' f(x) ' gf ±=±

5.2. Derivada del producto

( ) (x) ' g(x) f(x) g(x)' f(x) ' gf ⋅+⋅=⋅

5.3. Derivada del producto de una función por un escalar

( ) (x)' fk(x) ' fk ⋅=⋅

5.4. Derivada del cociente

)x(g

(x)' gf(x)-g(x)(x)' f(x) '

gf

2

⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

5.5. Derivada de la composición (Regla de la cadena)

(x)' g))x(g(' f)x()'fog( ⋅=

Ejemplo

Hallar 3n x)x(fsiendo),x(f = 2x3)x('f = x6)x(''f = 6)x('''f =

0)x('f v = 4npara0)x(f n ≥=⇒

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115

Ejemplo

2senx)x(f = , calcular su derivada. Aplicamos la regla de la cadena

donde senxf(x) y ,x)x(g 2 == . Se tiene:

( ) x2cosx ' senx 22 ⋅=

Actividad: 4. Calcula las siguientes derivadas:

a) 7x4)x(f = b) 5x2)x(f −= c) 6)1x2()x(f +=

d) 31

x4)x(f−

= e) 21

3 xx)x(f ⋅= f) 531

xx3)x(f−

=

g) 2x

x5)x(f = h) 3

12 )1x()x(f −= i)

xx

)x(f =

5. Calcula las siguientes derivadas:

a) x4e)x(f = b) 2x3e)x(f −= c) 1x2

2)x(f +=

d) xx 53)x(f ⋅= e) 3x

x

x36

x27)x(f

3

2

+

−=


a) x

Lnx)x(f = b)

Lnxe

)x(fx

=

c) 7x5 2

2)x(f −= d) 1x2x3

e)x(f +=

e) ( )7xlog

3)x(f

23

6x5

+=

−

f) ( ) ( )2x5ln3 e7x5x2)x(f −⋅+−=


a) ( )x4sen)x(f = b) senx4)x(f =

c) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

4x

sen)x(f d) ( )4xtg)x(f =

e) )2x5(cos)x(f 3 += f) )2cos()x(f 1x3 −=

g) )2x5x2(arcsen)x(f 2 +−= h) )x2arccos(ln)x(f = i) ))1x3(sen(arctg)x(f −= j) ))1x3((logtg)x(f 3 −=

8. Halla )0(f v si xe)x(f =

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116

6. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE

La ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto x = a, en su forma punto-pendiente es:

7. FUNCIONES NO DERIVABLES

En aquellos puntos donde la función es discontinua no es derivable puesto que no es derivable en dichos puntos. Sin embargo, existen puntos donde la función es continua y no es derivable, son los puntos angulosos.

Esta función es continua en el punto a, Pero no es derivable ya que no existe la Derivada en dicho punto no existe a

(a) ' fm dondea)-(x m)a(fy

=⋅=−

Ejemplo

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 5x3)x(f 2 −= en el punto x = 2:

m1226(2) ' f6x(x) ' f ==⋅=⇒=

7512523)2(f 2 =−=−⋅= Luego la ecuación será: )2x(127y −=−

Actividad: 9. Halla la ecuación de la recta tangente en el punto x = - 2 a la función

5x3)x(f 3 −= .

10. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 5x7x4)x(f 3 −+−= en el punto x = - 3.

11. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x2 – 5x + 3 en el

punto x = - 2.

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117

8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 8.1. Monotonía de una función

Teorema Dada una función f(x) y un punto x = a donde es derivable. Entonces:

a en edecrecient nteestrictame es f(x) entonces 0, (a) ' f Si 2)

a en creciente nteestrictame es f(x) entonces ,0)a('fSi)1<>

Demostración

0ax

)a(f)x(fLim

hf(a)-h)f(a

Lim (a) ' fax0h

>−−

=+

=→→

(ya que estamos considerando que la

derivada en x=a es positiva) entonces en un entorno de a (a-h,a+h) ⇒>−−

0ax

)a(f)x(f

a en creciente nteestrictame es )x(fa f(x) ax siaf(x) ax si⇒

⎩⎨⎧

<⇒<>⇒>

(se demuestra de la misma forma para estrictamente decreciente)

Teorema Dada la función f(x) es derivable en el punto x = a :

0(a) ' f entonces a, en edecrecient nteestrictame es f(x) 2)Si

0(a) ' f entonces a, en creciente nteestrictame es f(x)Si)1≤

≥

(es decir cabe la posibilidad de la igualdad a cero) Vamos a fijarnos en el siguiente ejemplo.

3x)x(f = en x = 0 es estrictamente creciente pero

0)0('f3x (x) ' f 2 =⇒=

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118

8.2. Extremos relativos

Teorema

Si f(x) es derivable en a y a es un extremo relativo entonces 0(a) ' f = Demostración

Por ser a un extremo, la función no crece ni decrece en a y, por tanto, (a) ' f no

puede ser mayor ni menor que 0. Como existe, sólo puede ser igual a cero. El recíproco no es cierto, ya que hay puntos tales que 0(a) ' f = que no son extremos como en el ejemplo anterior.

Teorema

Dada la función f(x) y el punto x = a, si 0(a) ' f = y existe (a) '' f entonces:

f(x) de relativo máximo un es a entonces 0, (a) '' f Si 2)

f(x) de relativo mínimo un es a entonces ,0)a(''fSi)1

<

>

Si a es un mínimo relativo de f en un entorno de a las pendientes de las tangentes aumentan, por tanto ' f es creciente en el entorno entonces 0(a) '' f > luego su derivada '' f es positiva

8.3. Asíntotas

Definición

Una asíntota de la función f(x) es un recta que tiende a cortarse con la curva f(x) en el infinito.

La recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si

±∞=→

)x(fLimax

x = a

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119

La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si b)x(fLim

x=

±∞→

y = b

La recta y = mx + n es una asíntota oblicua de la función f(x) si:

x)x(f

Limmx ∞→

= y [ ]mx)x(fLimnx

−=∞→

y = mx + n

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120

Ejemplo 1: Calcula los intervalos de monotonía de la función x4x4x)x(f 23 +−=

1) Realizamos la primera derivada: 4x8x3)x('f 2 +−= 2) Se estudia su signo según sus puntos de corte con el eje X:

⇒=+−⇒= 04x8x30)x('f 2 resolver una ecuación de 2º grado:

⎩⎨⎧

=±

=−±

=3/2

26

486

48648x

x 2/3 2 f ‘ + 0 - 0 + Entonces se deduce:

La función es estrictamente creciente en:

( )∞∪⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∞− ,2

32

,

La función es estrictamente decreciente en:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2,

32

Esta sería la gráfica de la derivada de f(x)

2/3 2

Ejemplo 2: Puede ocurrir que f ‘ (x) sea distinta de cero:

01x3)x('fxx)x(f 23 ≠+=⇒+= . Si 0)x('f ≠ entonces o siempre es positiva o siempre negativa, en este caso siempre es positiva luego f(x) es estrictamente creciente en todo su dominio

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121

Ejemplo 3:

Calcula los extremos de la función: 1x

x)x(f

2

−=

1) Se calcula la derivada de la función y se iguala a cero:

( ) ( ) ( )

⎩⎨⎧

=

−⇒=−⇒=−

−=

−

−−=

−

−−⋅=

20

x

)2x(x0x2x01x

x2x

1x

xx2x2

1x

x)1x(x2)x('f 2

2

2

2

22

2

2

2) Se calcula )x(''f y se sustituyen los puntos obtenidos:

( ) ( ) ( )

( )( ) 34

4

22

4

22

)1x(

2

1x

11x2)1x(

x2x1x2x2x2

)1x(

)1x(2)x2x()1x(2x2)x(''f

−=

−

⋅−⋅=

−

+−+−⋅−=

−

−⋅⋅−−−⋅−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>==⇒=

⇒<−==⇒=

mínimo021)-(2

2(x)'' f2x Si

máximo02(-1)

2(x) '' f0x Si

3

3

3) Hallamos las imágenes de esos puntos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒==⇒=

⇒==⇒=

mínimo es (2,4) punto el 414

f(2)2x Si

máximo es (0,0) punto el01-0

f(0)0x Si

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122

Lo que se ha visto en el punto 8 se utilizará para representar funciones, para ello seguimos los pasos:

a) Dominio. b) Puntos de corte. c) Simetrías d) Monotonía e) Extremos f) Asíntotas

Ejemplo 4:

Calcula las asíntotas de la siguiente función: x

1x)x(f

2 +=

1) Asíntotas horizontales:

∞=∞→

)x(fLimx

y −∞=∞−→

)x(fLimx

no existen

2) Asíntotas verticales:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−∞==

+∞====

−→

+→

→

−

+

0

1)x(fLim

0

1)x(fLim

01

)x(fLim

0x

0x

0x x=0 es una asíntota vertical

3) Asíntotas oblicuas:

[ ] 0x1

Limx

x1xLimx

x1x

Limmx)x(fLimn

1x

1xLim

x)x(f

Limm

x

22

x

2

xx

2

2

xx

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=−=

=+

==

∞→∞→∞→∞→

∞→∞→

Luego y = x es una asíntota oblicua

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123

Ejemplo 5:

Representar la función: 1x

x)x(f

2

−=

a) Dominio: Función racional, denominador igual a cero 1x01x =⇒=−⇒

{ }1RDomf −= b) Puntos de corte:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒=⇒=⇒−

=⇒=

⇒=⇒=

)0,0(0xx01x

x00ySi

)0,0(0)0(f0xSi

22

c) Simetrías:

par no)x(f1x

x)x(f

2

⇒≠−−

=−

parim no)x(f1x

x1x

x)x(f

22

⇒≠+

=−−

−=−−

No tiene simetría d) Monotonía: (sigue el ejemplo 1)

( )( )

01x

x2x

)1x(

xx2x2

)1x(

x1-x2x(x) ' f

2

2

2

22

2

2

=−

−=

−

−−=

−

−⋅=

( )⎩⎨⎧

==

⇒=−⇒=−⇒2x0x

02xx0x2x2

x -1 0 1/2 2 3

f ‘ + 0 - 0 + f (x) es creciente en ( ) ( )∞∪∞− ,20 , f (x) es decreciente en ( )2,0 e) Extremos: (sigue el ejemplo 3)

( )( ) ( ) ( )( )

( )[ ]( )

( )( ) ( )34

4

22

4

22

1x

2

1x

11x2

1x

x2x1x2x2x2

1x

1x2x2x1x2-2x(x) '' f

−=

−

−=

=−

+−+−−=

−

−−−−=

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124

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⇒>==⇒=

=⇒<−=−

=⇒=

relativo mínimo 2x021-2

2(2) '' f2x Si

relativo máximo 0x0210

2(0) '' f0x Si

3

3

Hallamos las imágenes de los puntos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒==⇒=

⇒=−

=⇒=

relativo mínimo es )4,2(412

f(2)2x Si

relativo máximo es )0,0(01

0f(0)0x Si

2

f) Asíntotas:

Horizontal:

+∞=

∞→f(x) Lim

x ∞=

−∞→-f(x) Lim

x

no tiene asíntotas horizontales

Vertical:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−∞==

+∞====

−

+

→

+→

→

-1x

1x

1x

0

1f(x) Lim

0

1f(x) Lim

01

)x(fLim

x=1 es una asíntota vertical

Oblicua:

[ ] 11-x

x Lim

1xxxx

Limx1x

x Limmx-f(x) Limn

1xx

x Lim

xf(x)

Limm

x

22

x

2

xx

2

2

xx

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−==

=−

==

∞→∞→∞→∞→

∞→∞→

y=x+1 es una asíntota oblicua Ahora sólo queda dibujar la función

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125

Actividad: 12. Representa las siguientes funciones:

a) 2x3x)x(f 3 +−= b) x2

x)x(f

2

−=

c) 32 x2x3)x(f −= d) 2x

3)x(f

−=

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Colegio Vizcaya 1º Bachiller C.C.S.S.

126

EJERCICIOS 1. Calcula la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes funciones, en

los puntos que se indican:

a) 2x4x3)x(f −= en x = 1, x = 2 b) xcos)x(f = en x = π

c) 3x)x(f 4 += en x = - 4

d) 3xx2)x(f 3 +−= en x = 0, x = 1

e) 6x2)x(f 5 += en x = -1

2. Halla )1(f vI − si x2)x(f =

3. Halla )x(fn si )x3(log)x(f 2= 4. Calcula las siguientes derivadas:

1) 32

4 )3x()x(f−

+= 2) x)x(f = 3) 43

21

31

xxx)x(f−

=

4) ( )

x

x3x)x(f

32 −−

= 5) 3

2

x

3x)x(f

−= 6)

( )( )3

2

2x

2x)x(f

+

−=

7) 6x)x(f = 8) 5x

3)x(f = 9)

3 x

3)x(f =

10) ( )423 4xx)x(f −⋅= 11) ( )42 4x)x(f += 12) 3 3 1x)x(f +=

13)( )525 3xx

1)x(f

+−= 14)

41x

)x(f2 −

= 15) 5x4

3)x(f

2 +=

16) x3

4)x(f = 17) x23)x(f ⋅= 18) 2ee)x(f xx2 2

−−=

19)22 xx 32)x(f ⋅= 20)

4e

)x(fx2−

= 21) ( )3x2 1e)x(f +=

22) ( )7xlog)x(f 23 += 23) ( )53

5 x43log)x(f −= 24) ( )2eLn)x(f x +=

25) ( ) ( )2x1x2Ln)x(f 22 −⋅−= 26) ( )1xLn)x(f 2 += 5. Estudia si es derivable las siguientes funciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥=

2xx2xx)x(f

2 b)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤>−

=2xx22x3x

)x(f


a) 16x8x)x(f 24 +−=

b) 42 x2x4)x(f −=

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127

c) 4xx2

)x(f+

−=

d) 1x

4)x(f

2 +=

e) 2x2x

)x(f+−

=

f) 4x

x)x(f

2 −=


a) ( )6xlog 252)x(f −= b)

2

2

x1

x1ln)x(f

−

+=

c) xlnx)x(f = d) ( )[ ]4x5x2ln)x(f 23 −−=

e) 1e

1e)x(f

x

x

+

−= f)

x

x

e1

eln)x(f

+=

g) )x5ln(4 4))x5(ln(log)x(f ⋅= h)

33

x3

xlog

3x7)x(f

7

−=

i) ( ) ( )322 x4x5x3x83x2)x(f −−⋅+−= j) x7

x2

2

7)x(f =


a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

x

x

e1

eLn)x(f b) ( )3x5log)x(f 2

3 −=

c) xee)x(f = d)

xxe)x(f =

e) xxx)x(f = f) 1x

1x

a)x(f −+

=

g) 2x2sen)x(f = h) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=x1

xtg)x(f 2

i) xcos1

senx1Ln)x(f

−+

= j) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

=x11x

arcsen)x(f 2

k) ax

arctga1

)x(f = l) 1x

xgcot)x(f

−=

m) senxa)x(f = n) x2

arccosx)x(f 2 ⋅=

ñ) ( ) xarctgx)x(f = o) 32 )1x2(sen3)x(f +=

p) ( )( )LnxcosLn)x(f 3= q) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=x

senxsen)x(f

r) ( ) 4senx2 1x)x(f ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= s) ))x2sen(sen(sen)x(f =

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128

t) 1x

4 x2

3Ln

)Lne(arccos5)x(f

−= u)

x55

x3

xgcot)x(f ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

v) x1

arcsen5)x(f xx2

= w) ( )2x3 x552 exsenLn)x(f =

13. Calcular las siguientes derivadas:

a) ( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

+=

xe1

1xsenLn)x(f b) ( )[ ]xcos1x2tg)x(f 2 ⋅+=

c) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= +1x3 2

earcsen)x(f d) ( )( )1x2logarccos)x(f 3 +=

e) ( )2x5arctg)x(f 3 += f)1x3x5

1x32

2

2)x(f+−

+ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

g) ( )( )2xsenarctg)x(f 2 −= h) ( )( )232 x3x1tg)x(f −+=

i) ( )( )( )32 1x5xLncos)x(f +−= j) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+=

3x

7xarcsen)x(f

2

k) ( ) x22 x7x)x(f −=

14. ¿Es derivable la función ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤>−

=2xx22x3x

)x(f en el punto x = 2 ?

15. Calcular las derivadas:

a) ( )( ) ( )2x5logx2 43Ln)x(f−

=

b) ( )( ) ( )( )( )2x3Lntg1x5arcsen)x(f 22 −−=

c) ( )( )( ) ( )1x2cos24 7x5logarccos)x(f

−−=

d) ( )7xlog

3)x(f

25

3x27x5

−=

−−

CUESTIONES

1. Calcula en cada una de las siguientes funciones las derivadas que se indican:

f(x) 2 Calcula )2(f ′ -2 y = - x

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129

y = 2x – 1 f(x) 3 y = 1 2 6

Calcula )6(f)2(f

′′

2. La gráfica adjunta corresponde a la función derivada de una función f(x)

2 3

Indica cuál de las gráficas A, B, C corresponde a la función f(x) 3 2 - 3 3

- 3 3 -3

3. Dada la función f(x)=ax + b, calcula a y b de modo que f(1) = 1 y 2)1(f =′ . 4. ¿Cuál debe ser el valor de m y n para que la recta y = mx + n sea tangente a la

curva x3xy 3 −= en el punto de abscisa x = -1?

5. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) La derivada del producto de una constante por una función es igual a la

constante por la función. b) La derivada del producto de una constante por una función es igual a la

derivada de la función. c) La derivada del producto de una constante por una función es igual a la

constante por la derivada de la función.

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130

6. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) Si la derivada de una función es positiva (negativa) en un conjunto,

entonces es creciente (decreciente) en dicho conjunto. b) Si la derivada de una función es positiva (negativa) en un conjunto,

entonces es decreciente (creciente) en dicho conjunto. c) El signo de la derivada no influye en el crecimiento o decrecimiento de la

función en un conjunto.

7. Llamamos puntos críticos de la función a aquellos que: a) Anulan la función. b) Anulan la función y la derivada de la función. c) Anulan la derivada de la función.

8. La derivada de la función y = f(x) en el punto x = a es:

a) h

)x(f)hx(flim

0h

−+→

b) ax

)a(f)x(flim

ax −−

→

c) h

)a(f)ha(f −+

d) Ninguna de las expresiones anteriores

9. Si f es una función polinómica de tercer grado, se puede asegurar que: a) f’’’(x)=0 b) f iv (x)=0 c) f’’’ es de primer grado d) f iv (x)=k ≠ 0

10. Si la función f(x) cumple f’(a)= -2, puede asegurarse que:

a) f es continua en a b) f es creciente en a c) f’ es constante d) Nada de lo anterior

11. Razona cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: a) si f es continua en x=a, entonces es derivable en x=a b) si f es derivable en x=a, entonces es continua en x=a c) si f es derivable en x=a, entonces es creciente en x=a d) si f no es derivable en x=a, entonces no es continua en x=a.

12. Si una función es creciente en el intervalo (a,b), ¿de qué signo es la derivada

en dicho intervalo?

13. Pon tres ejemplos de funciones cuya derivada sea f’(x) = 2x.

14. ¿Cuál es el valor de la derivada en el vértice de una parábola? ¿Cómo calcularías dicho vértice? Calcúlalo en la parábola y = x 2 -2x+3 y generaliza a y = ax 2 +bx+c.

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131

UNIDAD 6:

PARÁMETROS

ESTADÍSTICOS

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132


1. Identificar los conceptos estadísticos más habituales: carácter, modalidad del carácter, población, individuo, muestra, variable estadística.

2. Recoger, ordenar y elaborar tablas de datos, así como representar

gráficamente la información que proporcionan.

3. Identificar variables cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas.

4. Calcular parámetros estadísticos: moda, medias, mediana, cuantiles,

recorridos, varianza y desviación típica.

5. Interpretar el significado de los distintos parámetros estadísticos.

CONCEPTOS

1. Conceptos básicos de estadística: población, muestra, individuo, carácter, modalidad y variable estadística.

2. Tablas de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

3. Gráficos de variables cualitativas, cuantitativas discretas y continuas.

(Diagrama de rectángulos, de sectores, de barras, pictogramas, polígono de frecuencias, histogramas y pirámide de población)

4. Parámetros de centralización: moda, medias, mediana y cuantiles.

5. Parámetros de dispersión: recorridos poblacional e intercuartílico, varianza y

desviación típica.

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133

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

1. INTRODUCCIÓN

La estadística tiene como objetivo examinar a los individuos de un conjunto para describir e interpretar la información obtenida.

Se utilizan métodos basados en la observación y el recuento y con los datos recogidos una vez ordenados intentar obtener una información lo más completa posible.

Con los datos recogidos y ordenados, se construirán tablas, se realizarán gráficos y se calcularán parámetros estadísticos.

2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA

Definimos:

a) Población: conjunto de personas o cosas sobre el que se va a realizar el estudio.

b) Muestra: conjunto de elementos de la población elegidos para el estudio y a

partir de los cuales se obtendrán los resultados buscados.

c) Individuo: cada elemento de la población.

Ejemplo 1: Sondeo de opinión realizado por una empresa para conocer la intención de

voto de los habitantes de una ciudad. Consideramos un conjunto de personas a las que se ha realizado la entrevista.

El conjunto de personas que pueden votar son las que tienen 18 años o más. El sondeo es imposible realizárselo a todas esas personas, por eso se eligen

un grupo entre ellas.

Actividad 1: Considerando el ejemplo 1, indica cuál es la población, muestra e

individuo.

Ejemplo 2: Se desea conocer los gustos y preferencias de cómo ocupan el tiempo libre

los jóvenes con edades entre 18 y 20 años. Para ello se ha dispuesto de un cuestionario del siguiente tipo, en el que han de decidirse por distintas posibilidades de espectáculos, música y deportes.

ESPECTÁCULOS Cine Teatro Conciertos Televisión MÚSICA Rock Clásica Jazz Salsa DEPORTES Natación Baloncesto Fútbol Tenis

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134

Definimos: d) Carácter: cualidad observable en todos los individuos de la población y

objeto de estudio. • Cuantitativo: si el carácter puede tomar valores numéricos

(talla, notas de un examen,...) • Cualitativo: si el carácter no puede ser representada por un

número, es no medible (sexo) e) Modalidades de un carácter: son las diferentes posibilidades que ofrece el

carácter que se estudia, cada individuo pertenece a una y sólo una ( sexo: hombre, mujer)

f) Variable estadística: es una aplicación estadística que asigna a cada

modalidad de un carácter cuantitativo su número correspondiente, es decir el conjunto de los valores o números que puede tomar cada modalidad (número de hijos de una familia 0, 1, 2, 3,...)

• Discreta: cuando el conjunto de los valores reales que puede tomar es finito ( número de hijos)

• Continua: cuando puede tomar todos los valores reales de un intervalo ( talla) En general todas las relacionadas con espacio (longitud), tiempo (duración), peso, velocidad,...

3. TABLAS

Los datos recogidos se distribuyen en tablas estadísticas. Vamos a distinguir dos casos:

a) El tamaño de la muestra es grande, pero los valores que puede tomar es pequeño.

Actividad 2:

Considerando el ejemplo 2, indica cuál es la población, muestra, individuo, caracteres y modalidades.

Ejemplo 3 Consideramos el número de suspensos de una clase de 1º de Bachiller de 30

alumnos después de la 1º evaluación: 2, 0, 3, 5, 1, 0, 2, 2, 3, 4, 6, 2, 3, 3, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 2

Los valores distintos que puede tomar son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y se

designará con ix Contamos cuántos alumnos tienen cada valor:

0 suspensos = 7 alumnos 1 suspensos = 7 alumnos 2 suspensos = 8 alumnos 3 suspensos = 5 alumnos 4 suspensos = 1 alumno 5 suspensos = 1 alumno 6 suspensos = 1 alumno

Podemos formar la siguiente tabla:

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135

b) El tamaño de la muestra y los valores que puede tomar son grandes, por

lo que los datos se agrupan en intervalos.

Número de suspensos

ix Número de alumnos que tienen esos suspensos

0 7 1 7 2 8 3 5 4 1 5 1 6 1

Total 30 El número total de alumnos lo designamos con N

Ejemplo 4: Consideramos el peso de las 30 personas de la clase de 1º de Bachiller:

71.8, 63.9, 62.5, 72.4, 57.2, 54.3, 58.4, 60.5, 62.5, 71.4, 70, 62.5, 66.3, 55.3, 54, 54.8, 53.2, 49.2, 61.3, 62.3, 67.5, 63.2, 62.9, 68.5, 65.2, 59.3, 58.4, 56.2, 59.3, 56.5

Vamos a agrupar los datos en intervalos de la misma amplitud, consideramos los valores extremos que son: 49.2 y 72.4 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ )70,75 ,70,65,60,65,55,60 ,50,55 ,50,45

Contamos cuántos alumnos tienen valores en esos intervalos: [ ) =50,45 1 [ )50,55 = 4 [ )55,60 = 8 [ ) =60,65 9 [ ) =70,65 4 [ ) =70,75 4

Podemos formar la siguiente tabla:

Intervalos Número de alumnos que

tienen su peso en ese intervalo

[ )50,45 1

[ )50,55 4

[ )55,60 8

[ )60,65 9

[ )70,65 4

[ )70,75 4

Total 30

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136

4. TIPOS DE FRECUENCIAS

3.1. Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta de una variable cuantitativa es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor, se designa con in . En el ejemplo 3: in representa el número de alumnos que tienen un número determinado de suspensos “ i “. En el ejemplo 4: in representa el número de alumnos que tienen su peso en un determinado intervalo “ i ”

3.2. Frecuencia relativa La frecuencia absoluta, depende del tamaño de la muestra, al aumentar la muestra aumenta la frecuencia absoluta por lo que a veces no es útil para hacer el estudio estadístico. Para ello se introduce el concepto de frecuencia relativa que es el cociente de la frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra N y se designa con if

Nn

f ii =

in = frecuencia absoluta N = tamaño de la muestra 3.3. Frecuencia absoluta acumulada La frecuencia absoluta acumulada de un valor es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o iguales que el, se designa iN .

11 nN =

212 nnN +=

3213 nnnN ++= 3.4. Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada de un valor es la suma de las frecuencias

relativas de todos los valores menores o iguales que él se designa iF

En este tipo de tablas se tienen intervalos llamados clases y no valores ix por lo que se utilizarán lo que llamaremos marca de clase que no es más que el punto medio del intervalo, es decir:

Intervalo de clase: [ai, bi)

Marcas de clase: mi 2

ba ii +=

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11 fF =

212 ffF +=

3213 fffF ++= 5. GRÁFICOS DE VARIABLES CUALITATIVAS

5.1. Diagrama de rectángulos:

Representación sobre ejes cartesianos. En el eje X representamos los valores que puede tomar el carácter y en el eje Y las frecuencias absolutas.

02000400060008000

100001200014000160001800020000

BovinoOvinoPorcinoCaprino

Actividad 3: Considerando los ejemplos 3 y 4, realiza la tabla de frecuencias y en el 4 además calcula la marca de clase.

Ejemplo 5: El censo, en miles de cabezas, del ganado en el territorio español, en 1994 fue:

Ganado Número de cabezas Bovino Ovino

Porcino Caprino

5300 18047 12308 2601

Es una variable cualitativa, los datos se representan en diagrama de rectángulos o en sectores.

Ejemplo 5:

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138

5.2. Diagrama de sectores:

Círculo con sectores de ángulo proporcional a la correspondiente frecuencia.

5.3. Pictograma:

Son dibujos representativos al carácter a estudiar, cuyo tamaño o número es proporcional a las frecuencias absolutas. 5.4. Cartograma:

Es un caso particular de pictograma, la representación se hace sobre un mapa.

Ejemplo 5:

Bovino14%

Ovino47%

Porcino32%

Caprino7%

Ejemplo 6: En una clase hay 15 chicas y 5 chicos:

Chicas Chicos Cada dibujo representa 5 chicas en el primer caso y 5 chicos en el segundo

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139

6. GRÁFICOS DE VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS

6.1. Diagrama de barras

Representación sobre ejes cartesianos. En el eje X representamos los valores que puede tomar la variable, y en el eje Y los valores que toman las frecuencias.

6.2. Polígono de frecuencias absolutas

Resulta de unir los extremos superiores del diagrama de barras.

Ejemplo 3: x - n 0 - 7 1 - 7 2 - 8 3 - 5 4 - 1 5 - 1 6 - 1 0 1 2 3 4 5 6

Ejemplo 3: x - n 0 - 7 1 - 7 2 - 8 3 - 5 4 - 1 5 - 1 6 - 1 0 1 2 3 4 5 6

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7. GRÁFICOS DE VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS

7.1. Histograma de frecuencias

Representación sobre los ejes cartesianos, formado por rectángulos yuxtapuestos, cuyas bases tienen la amplitud del intervalo y altura con las frecuencias.

7.2. Polígono de frecuencias

Polígono que une los puntos medios de las alturas de los rectángulos que se

forman en el histograma.

7.3. Pirámide de población

Relaciona tres variables, una de las cuales es la edad, es muy utilizado en demografía.

Ejemplo 4:

0123456789

45-5050-5555-6060-6565-7070-75

Ejemplo 4: 9 8 4 1

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141

8. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Sirven para determinar los valores centrales o medios de la distribución. 8.1. Media aritmética

Sea X variable estadística de k modalidades, donde a cada valor xi le

corresponde una frecuencia ni, llamamos media aritmética y la denotamos x a:

kk11kk11 fx...fx

Nnx...nx

x ++=++

=

Si los datos están en intervalos, xi es la marca de clase de cada intervalo. La media aritmética nos da una idea de en torno a qué valor se encuentran

concentrados los valores de una variable estadística, en ocasiones no es representativo.

Ejemplo 3: Consideramos la tabla realizada: Número de suspensos

ix Número de alumnos que tienen esos suspensos in

ii nx ⋅

0 7 0 1 7 7 2 8 16 3 5 15 4 1 4 5 1 5 6 1 6

Total 30 Suma=53

767'13053

x ==

Ejemplo 4: Consideramos la tabla realizada:

Intervalos Número de alumnos que tienen su peso en ese intervalo in

Marca de clase im

ii nm ⋅

[ )50,45 1 47’5 47’5

[ )50,55 4 52’5 210

[ )55,60 8 57’5 460

[ )60,65 9 62’5 562’5

[ )70,65 4 67’5 270

[ )70,75 4 72’5 290

Total 30 Suma=1840

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142

333'6130

1840x ==

8.2. Moda

Se llama moda al valor de la variable estadística que posee mayor frecuencia, es decir el que más veces se repite y se representa por Mo. La moda no tiene por que ser única, puede haber variables estadísticas con más de una moda.

Cálculo:

a) Variable discreta:

Es el valor que toma la variable con mayor frecuencia absoluta.

b)Variable continua:

En este caso hablamos de clase modal, será la que mayor frecuencia

absoluta tendrá. Puede tomarse como moda la marca de clase, pero si se desea mayor precisión, hallamos la moda de la siguiente forma:

1i

DDD

cLMoi

ii

++

⋅+=

Sea [a,b) la clase modal: Li = a, límite inferior de la clase modal. c = b – a, amplitud del intervalo. Di = ni – ni-1, donde ni y ni-1 son frecuencias absolutas Di+1 = ni – ni+1, donde ni y ni-1 son frecuencias absolutas

Ejemplo 3: Es una variable discreta y la mayor frecuencia absoluta es 8, el valor que le corresponde es 2, se deduce: Mo = 2

Ejemplo 4: Es una variable continua y la mayor frecuencia absoluta es 9, el intervalo que le corresponde que será la clase modal es [ )65,60 , calculamos la moda aplicando la fórmula:

( )( ) ( ) 833'60833'060

65

6061

56051

1560

498989

560Mo =+=+=⋅+=+

⋅+=−+−

−⋅+=

Mo = 60’833 es el valor que mayor frecuencia absoluta tiene. Importante: el valor resultante de la Moda debe estar dentro del intervalo de la clase modal.

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143

8.3. Mediana

Llamamos mediana al valor de la variable que divide a la distribución en dos partes iguales, es decir deja tras de sí el 50% de la distribución y la denotamos Me.

Cálculo:

a) Si X es discreta con datos simples (es decir frecuencia absoluta es la unidad) los ordenamos de menor a mayor:

• Si el número de datos es impar, entonces el valor central es la mediana. • Si es par, entonces hacemos la media aritmética de los dos valores

centrales.

b) Si X es discreta con muchos datos, calculamos las frecuencias absolutas acumuladas Ni, tomando como mediana el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada exceda a la mitad del número de datos. (Ni = n1 + n2 + ... + ni) Si la mitad del número de datos coincide con la frecuencia absoluta acumulada, será la semisuma de dicho valor y el siguiente de la tabla.

Ejemplo 7: Variable discreta con un número impar de datos, en este caso 7 datos, la

mediana es 3. ix 0 1 2 3 4 5 6

in 1 1 1 1 1 1 1

Variable discreta con un número par de datos, en este caso 6 datos, la

mediana es 5'225

232

==+

.

ix 0 1 2 3 4 5

in 1 1 1 1 1 1


ix Número de alumnos que tienen esos suspensos in

iN

0 7 7 1 7 14 2 8 22 3 5 27 4 1 28 5 1 29 6 1 30

Total 30

Calculamos la mitad de los datos, es decir es 15230

2N

== , la primera frecuencia

absoluta acumulada que excede a 15 es 22 y el valor de la variable que le corresponde 2, la mediana Me = 2. Es decir el 50% de los alumnos tendrán 2 o menos suspensos.

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144

c) Si X es continua o discreta con datos agrupados en intervalos, entonces consideramos la clase mediana que corresponde al intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada excede a la mitad del número de datos, para hallar la mediana:

i

1i

n

N2N

cLiMe−−

⋅+=

Sea [a,b) la clase mediana: Li = a, límite inferior del intervalo de la clase mediana. c = b – a, amplitud del intervalo. N = número total de datos. Ni-1 = frecuencia absoluta acumulada anterior. ni = frecuencia absoluta de la clase mediana.

9. MEDIDAS DE POSICIÓN

Al estudiar la mediana hemos visto que, una vez ordenados de menor a mayor los datos la mediana los divide en dos partes iguales. Tiene interés estudiar otros parámetros llamados cuantiles, los cuales dividen los datos en función de otras cuantías. Los más frecuentes son:



iN

[ )50,45 1 1

[ )50,55 4 5

[ )55,60 8 13

[ )60,65 9 22

[ )70,65 4 26

[ )70,75 4 30

Total 30

Calculamos la mitad de los datos, es decir es 15230

2N

== , la primera frecuencia

absoluta acumulada que excede a 15 es 22 y la clase mediana que le corresponde es [ )60,65 , calculamos la mediana por la fórmula.

111'61111'1609

1060

92

5609

1315560Me =+=+=⋅+=

−⋅+=

Me = 61’111, el 50% de los alumnos de esa clase pesan menos que 61’111. Importante: el valor resultante de la Mediana debe estar dentro del intervalo de la clase mediana.

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145

9.1. Cuartiles

Son tres valores que dividen los datos en cuatro partes iguales, y se denotan C1, C2 y C3.

Cálculo:

Si la variable es discreta calculamos las frecuencias absolutas acumuladas Ni, y consideramos el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta

acumulada exceda a 4

iN ⋅.

Si X es continua o discreta con datos agrupados en intervalos, entonces consideramos el primer intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada

excede a 4

iN ⋅, para hallar los cuartiles:

Ejemplo 3: Calculamos C1, C2 y C3

C1

⇒=⋅

=⋅

5'74

13041N

la primera frecuencia absoluta acumulada superior a

7’5 es 14 y el valor de la variable que le corresponde es 1, C1 = 1. Es decir el 25% de los alumnos tendrán menos de 1 suspenso.

C2 = Me = 2 C3

⇒=⋅

=⋅

5'224

33043N

la primera frecuencia absoluta acumulada superior

a 22’5 es 27 y el valor de la variable que le corresponde es 3, C3 = 3. Es decir el 75% de los alumnos tendrán menos de 3 suspensos.

i

1i

ii n

N4

iN

cLC−−

⋅

⋅+=

Sea [a,b) el intervalo del cuartil: Li = a, límite inferior del intervalo. c = b – a, amplitud del intervalo. N = número total de datos. Ni-1 = frecuencia absoluta acumulada anterior. ni = frecuencia absoluta del intervalo.

Ejemplo 4: Calculamos C1, C2 y C3

C1

⇒=⋅

=⋅

5'74

13041N

la primera frecuencia absoluta acumulada superior

a 7’5 es 13 y el valor del intervalo que le corresponde es [ )55,60 , calculamos C1 por la fórmula:

563'56563'15585'12

5585'2

5558

55'7555C1 =+=+=⋅+=

−⋅+=

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146

9.2. Deciles

Son nueve valores que dividen los datos en diez partes iguales, y se denotan D1, D2, D3,..., D8 y D9.

Cálculo:



iN ⋅.

Si X es continua o discreta con datos agrupados en intervalos, entonces

consideramos el primer intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada

excede a 10

iN ⋅, para hallar los deciles:

El 25% de los alumnos pesan menos que 56’563. Importante: el valor resultante del cuartil debe estar dentro del intervalo.

Ejemplo 3: Calculamos D7

⇒=⋅

=⋅

2110

73010

7N la primera frecuencia absoluta acumulada superior a

21 es 22 y el valor de la variable que le corresponde es 2, D7 = 2. Es decir el 70% de los alumnos tendrán menos de 2 suspensos.

i

1i

ii n

N10

iN

cLD−−

⋅

⋅+=

Sea [a,b) el intervalo del decil: Li = a, límite inferior del intervalo. c = b – a, amplitud del intervalo. N = número total de datos. Ni-1 = frecuencia absoluta acumulada anterior. ni = frecuencia absoluta del intervalo.

Ejemplo 4: Calculamos D8

⇒=⋅

=⋅

2410

83010

8N la primera frecuencia absoluta acumulada superior

a 24 es 26 y el valor del intervalo que le corresponde es [ )70,65 , calculamos D8 por la fórmula:

5'675'2654

1065

42

5654

2224565D8 =+=+=⋅+=

−⋅+=

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147

9.3. Percentiles

Son 99 valores que dividen los datos en 100 partes iguales, y se denotan P1, P2, P3,..., P98 y P99.

Se tiene la siguiente relación: C1 = P25 D5 = C2 = P50 =Me C3 = P75 D9 = P90

Cálculo:



iN ⋅.

Si X es continua o discreta con datos agrupados en intervalos, entonces

consideramos el primer intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada

excede a 100

iN ⋅, para hallar los percentiles:

El 80% de los alumnos pesan menos que 67’5. Importante: el valor resultante del decil debe estar dentro del intervalo.

Ejemplo 3: Calculamos P37

⇒=⋅

=⋅

1'11100

3730100

37N la primera frecuencia absoluta acumulada

superior a 11’1 es 14 y el valor de la variable que le corresponde es 1, P37 = 1. Es decir el 37% de los alumnos tendrán menos de 1 suspenso.

i

1i

ii n

N100

iN

cLP−−

⋅

⋅+=

Sea [a,b) el intervalo del percentil: Li = a, límite inferior del intervalo. c = b – a, amplitud del intervalo. N = número total de datos. Ni-1 = frecuencia absoluta acumulada anterior. ni = frecuencia absoluta del intervalo.

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148

10. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Nos dan una idea sobre la representatividad de las medidas centrales, a mayor dispersión menor representatividad. Es decir, miden el grado de alejamiento de los datos respecto de una medida central 10.1. Recorridos

a) Recorrido poblacional: Llamamos recorrido poblacional de una distribución a la diferencia entre el

mayor y el menor valor de la variable estadística. Se representa por R. Cuanto menor sea el recorrido, mayor será el grado de representatividad de

las medidas centrales. En el caso de variable continua, se toma la diferencia máxima posible entre

los límites de los intervalos.

b) Recorrido intercuartílico

Llamamos recorrido intercuartílico de una distribución a la diferencia entre

los cuartiles C3 y C1. Se denota Ri

Ejemplo 4: Calculamos 37P :

1'11100

3730100

37N=

⋅=

⋅ la primera frecuencia absoluta acumulada superior a

11’1 es 13 y el valor del intervalo que le corresponde es [ )55,60 calculamos

37P por la fórmula:

813'58813'35585'30

5581'6

5558

51'11555P37 =+=+=⋅+=

−⋅+=

El 37% de los alumnos pesan menos que 58’813. Importante: el valor resultante del percentil debe estar dentro del intervalo.

Ejemplo 3: Calculamos el recorrido poblacional, llamado también rango: R = 6 - 0 = 6 Ejemplo 4: R = 75 – 45 =30

Ejemplo 3: Calculamos el recorrido intercuartílico:

Ri = C3 - C1 = 22’5 – 7’5 = 15

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149

10.2. Desviaciones a) Se llaman desviaciones respecto a la media a las diferencias entre cada

valor de la variable y la media aritmética:

b) Se llama desviación media respecto a la media, a la media de las desviaciones respecto a la media:

N

dn...dnD kk11

x++

=

Si x

D es pequeño, los datos están concentrados alrededor de la media.

c) Se llama desviación media respecto a la mediana a la media de las

desviaciones respecto a la mediana:

N

Mexn...MexnD kk11

Me−++−

=

10.3. Varianza y desviación típica Son las medidas de dispersión más utilizadas

Se llama varianza de una variable a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. La varianza es siempre positiva o nula. Se denota VAR(X)

2k2k1

21

2kk

211 x

Nnx....nx

N

xxn...xxn)X(VAR −

++=

−++−=

Cuando trabajamos con variables continuas o discretas con datos agrupados

en intervalos, se toma como valor de la variable la marca de clase Se llama desviación típica de una variable a la raíz cuadrada de la varianza y

se representa por s.

En las distribuciones simétricas se observa: a) En ),( sxsx +− se encuentra el 68´3 % de los datos.

b) En )2,2( sxsx +− se encuentra el 95´4 % de los datos.

c) En )3,3( sxsx +− se encuentra el 99´7 % de los datos

xxd...,,xxd,xxd kk2211 −=−=−=

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150


ix

Número de alumnos que tienen esos suspensos in

ii nx ⋅ i

2i nx ⋅

0 7 0 0 1 7 7 7 2 8 16 32 3 5 15 45 4 1 4 16 5 1 5 25 6 1 6 36

Total 30 Suma=53 Suma = 161

Antes se ha calculado 767'13053

x == , calculamos la varianza y la desviación

típica:

( ) 245'2122'3367'5767'130161

xN

nx)X(VAR 22i

2i =−=−=−⋅

=∑

498'1245'2)X(VARs ===



Marca de clase

im

ii nm ⋅ i

2i nm ⋅

[ )50,45 1 47’5 47’5 2256’25

[ )50,55 4 52’5 210 11025

[ )55,60 8 57’5 460 26450

[ )60,65 9 62’5 562’5 35156’25

[ )70,65 4 67’5 270 18225

[ )70,75 4 72’5 290 21025

Total 30 Suma=1840 Suma = 114137’5

Antes se ha calculado 333'6130

1840x == , calculamos la varianza y la desviación

típica:

( ) 846.42737'3761583'3804333'6130

5'114137x

Nnx

)X(VAR 22i2i =−=−=−⋅

=∑

546'6846'42)X(VARs ===

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151

Ejemplo 5: Dada la siguiente tabla, correspondientes a las notas de 1º de Bachiller (xi) en la tercera evaluación en la asignatura de Matemáticas:

xi ni nixi ⋅ ni)xi( 2 ⋅ Ni

1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 3 4 12 36 5 4 7 28 112 12 5 8 40 200 20 6 4 24 144 24 7 4 28 196 28 8 2 16 128 30 9 2 18 162 32 10 1 10 100 33 N=33 177 1079

Es una variable cuantitativa discreta:

xi = los valores que toma la variable ni = el número de personas que han sacado la nota xi (frecuencia absoluta) N = número de individuos al que le hacemos el estudio, en este caso el número de

personas que realizan el examen de la tercera evaluación nixi ⋅ = multiplicación de la primera por la segunda columna, la suma de esta

columna (177) se utilizará para calcular la media.

ni)xi( 2 ⋅ = multiplicación de la tercera columna por la primera, la suma de esta

columna (1079) se utilizará para calcular la varianza. Ni = frecuencia absoluta acumulada N1 = n1, N2 = N1 + n2, N3 = N2 + n3, N4

= N3 + n4 y así sucesivamente, observa que la última frecuencia absoluta acumulada coincide con N.

Media: 36'533177

N

nixix ==

⋅= ∑ la nota media de la clase

Varianza:

( )97'373'287'32)36'5(

331079

xN

ni)xi()x(VAR

2

22

=−=−

=−⋅

= ∑

(Recuerda: la varianza siempre es una cantidad positiva)

Desviación típica: 99'1=97'3=VAR=s=σ xx

Moda: elegimos el mayor ni en este caso es 8 y el xi que le corresponde es 5 luego Mo = 5, es decir la nota que más personas han sacado es 5.

Mediana: calculamos 5'16=2N

, consideramos el Ni superior a 16’5, en este

caso es 20 y el xi correspondiente es 5, luego Me = 5, es decir el 50% de los alumnos han sacado una nota igual o menor que 5 y el otro 50% han sacado una nota mayor o igual que 5.

C3, D7 y P75:

C3: primero calculamos 75'244

33343N

=⋅

=⋅

, consideramos el Ni

superior que es 28 y el xi que le corresponde es 7, luego C3=7, es decir el 75% ha sacado nota inferior a 7 y el 25% nota superior a 7.

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152

D7: primero calculamos 1'2310

73310

7N=

⋅=

⋅, consideramos el Ni

superior que es 24 y el xi que le corresponde es 6, luego D7=6, es decir el 70% ha sacado nota inferior a 6 y el 25% nota superior a 6.

P75: primero calculamos 75'24100

7533100

75N=

⋅=

⋅, consideramos el Ni

superior que es 28 y el xi que le corresponde es 7, luego P75=7, es decir el 75% ha sacado nota inferior a 7 y el 25% nota superior a 7.

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153

EJERCICIOS

1. La habilidad de una prueba de habilidad motora por parte de 60 niños ha dado

los resultados siguientes: 15, 35, 18, 23, 75, 81, 19, 27, 15, 18, 63, 45, 31, 32, 45, 18, 29, 17, 30, 77, 76, 75, 19, 15, 23, 35, 81, 41, 76, 24, 27, 69, 15, 18, 13, 18, 76, 14, 29, 31, 52, 46, 18, 17, 35, 62, 44, 34, 18, 27, 32, 74, 19, 31, 47, 19, 82, 50.

a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5. b) Representación gráfica. c) Media, varianza, desviación típica. d) Moda, mediana, C3, D6, P83 e) Recorrido poblacional e intercuartílico.

[ )b,a [ )22,17 [ )27,22 [ )32,27 [ )37,32 [ )42,37 [ )47,42 [ )52,47 [ )57,52 [ )62,57 [ )67,62 [ )72,67 [ )77,72 [ )82,77

2. Una determinada especie de mamíferos tiene en cada parto un número variable de hijos. Se observa que las camadas de 35 familias durante un año han sido las que se recogen en la tabla adjunta:

Nº de hijos

xi Nº de familias ni

0 2 1 3 2 10 3 10 4 5 5 0 6 5 7 0

a) Representación gráfica. b) Media, varianza, desviación típica. c) Moda, mediana, C2, D7, P33 d) Recorrido poblacional e intercuartílico.

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154

3. Dadas las siguientes notas de 20 estudiantes: 6 , 3 , 2 , 5 , 7 , 5 , 9 , 7 , 6 , 1 ,

4 , 6 , 6 , 4 , 2 , 10 , 8 , 7 , 5 , 9. a) Exponer la tabla de frecuencias, frecuencias acumuladas y los gráficos de

frecuencias absolutas. b) Los valores de moda, mediana, P32, D6 y C3. c) La media, desviación típica y varianza.

4. La siguiente tabla corresponde a la distribución de las tallas de 100 alumnos:

Tallas(cm) [140,150) [150,160) [160,170) [170,180) [180,190) [190,200) [200,210) Frecuencias 3 11 25 30 16 12 3

a) Gráficos de las frecuencias absolutas. b) Media, varianza y desviación típica. c) Moda, mediana, P7, C1 y D4.

5. Se desea estudiar el peso de los jugadores de baloncesto de la liga española. Para ello, se toma una muestra de 40 jugadores y se recogen los datos: 70, 72, 74, 80, 84, 92, 79, 80, 86, 79, 91, 88, 78, 98, 89, 83, 83, 83, 84, 83, 88, 89, 78, 77, 71, 70, 73, 75, 76, 78, 96, 78, 87, 89, 78, 88, 86, 89, 98, 86ª)

a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5. b) Construye una tabla en la que aparezcan todas las frecuencias que has

estudiado. c) Representación gráfica. d) Calcula la media, varianza y desviación típica. e) Calcula la moda mediana P76, C3 y D9. f) Calcula el recorrido poblacional y el intercuartílico

6. A partir de la siguiente representación gráfica construye una tabla en la que aparezcan los valores de la variable, las frecuencias relativas y absolutas. ¿De qué tipo es la variable?

10 9 8 6 3

2 10 20 30 40 50 60 70 80 7. Una semana antes de las elecciones municipales, el periódico local publica la

siguiente encuesta:

- El 25% de los electores votará al partido A. - El 24% votará al partido B. - El 31% votará al partido C. - El 20% no votará.

Representa gráficamente esta información.

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155

8. Consideramos la siguiente representación gráfica:

10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a) ¿De qué tipo de variable se trata? b) ¿Cuál es la moda? c) ¿Qué valor toma la mayor frecuencia absoluta? d) ¿Y la mayor frecuencia relativa? e) Calcula la mediana f) Calcula la varianza y la desviación típica?

9. La siguiente tabla refleja el número de veces que al lanzar el dado 200 veces

acertamos en los blancos (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Blancos Repeticiones 1 35 2 36 3 35 4 a 5 b 6 30

Se pide:

a) Determina los valores que deben tomar los parámetros a y b, sabiendo que la puntuación media fue 3.4

b) Construye el diagrama de barras correspondiente a esta distribución. c) Construye el polígono de frecuencias.

10. Preguntados 60 alumnos por el número de miembros de su familia, las respuestas han sido: 3, 5, 7, 2, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 7, 3, 3, 3, 3, 8, 5, 6, 4, 5, 5, 4, 5, 6, 6, 4, 5, 3, 2, 8, 6, 5, 2, 4, 5, 4, 5, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 6.

a) Construye la tabla de frecuencias conocidas con los datos anteriores. b) Construye sus gráficas. c) Calcula la media, moda, mediana d) Calcula la varianza, desviación típica. e) C1, D7, P62 f) Recorrido poblacional e intercuartílico.

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156

11. Calcula los datos que faltan en las tablas estadísticas: a)

Calificación ni fi Insuficiente 0’375 Suficiente 20 Notable 16 Sobresaliente Total 80

b)

xi ni Ni fi 1 3 2 4 3 16 0’15 4 7 5 5 28 6 38 7 7 45 8

12. Se quieren hacer los siguientes estudios:

a) La profesión que piensa tener cada alumno de tu clase. b) El número de horas diarias que ven la T.V. los chicos y chicas de tu

pueblo entre 14 y 16 años de edad. c) Intención de voto de cada español con derecho a votar.

Responde, razonadamente, si cada uno de estos estudios se pueden hacer tomando las respectivas poblaciones o habría que tomar muestras.

13. Clasifica los siguientes caracteres estadísticos:

a) Número de huesos de cada ser vivo. b) Intención de voto. c) Velocidad que en un instante dado, llevan los vehículos que circulan por

las carreteras españolas. d) Talla de calzado de los alumnos de tu centro. e) Tipos de zumos que prefieren los adolescentes.

14. Di, en cada caso, cuál es la población y cuál la variable que se quiere estudiar y

si ésta es cualitativa o cuantitativa, especificando si es discreta o continua. a) Tiempo dedicado a las tareas domésticas por los hombres y las mujeres

que trabajan fuera del hogar. b) Estudios que quieren hacer las alumnas y los alumnos de un centro

escolar al terminar la ESO. c) Intención de voto en unas elecciones autonómicas.

15. Para una competición deportiva, se quieren comprar camisetas del mismo color a los alumnos de una clase. Las tallas son las siguientes: 30, 28, 32, 34, 26, 28, 30, 30, 28, 32, 30, 28, 34, 28, 26, 32, 30, 34, 28, 28, 34, 30, 30, 32, 30, 30, 30.

a) ¿Cuántas veces se repite la talla 30? ¿Y la 28? b) Haz una tabla donde aparezcan las tallas en una columna y el número de

veces que se repiten en otra (frecuencia absoluta).

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157

16. Las edades de los empleados de una empresa son:

25, 26, 25, 50, 28, 45, 43, 42, 38, 28, 23, 25, 29, 30, 32, 33, 38, 40, 45, 50, 55, 60, 23, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 37, 38, 39, 36, 37, 38, 32, 40. Agrupa los datos en intervalos de 5 años, y construye una tabla de frecuencias absolutas y relativas.

17. En los gráficos siguientes están expresados los resultados de una encuesta

realizada a 10.000 conductores sobre la conveniencia de usar el cinturón de seguridad:

¿Se pone siempre el Si tiene cinturones atrás, cinturón de seguridad? ¿se los abrocha?

si63%

no37%

0%0%

si26%

no74%

r 30%r 40%

a) ¿Cuántos conductores de los encuestados no se pone siempre el cinturón de seguridad?

b) Hay 6.300 conductores que han respondido una de las cuatro respuestas de la encuesta. ¿Cuál ha sido esa respuesta?

18. La duración en segundos de las llamadas de una empresa tomadas de un recibo

son las siguientes: 120, 131, 142, 157, 15, 27, 94, 57, 62, 12, 49, 58, 149, 210, 120, 131, 80, 94, 71, 23, 15, 7, 21, 32, 239, 210, 49, 57, 139, 21, 74, 31, 23, 59, 70, 234, 12, 77, 54, 200, 157, 170, 42, 48, 48, 49.

a) Agrupa los datos en 8 clases y forma la tabla de frecuencias completa. b) Representa el histograma y el polígono de frecuencias. c) Representa el histograma y el polígono de frecuencias acumulados.

19. Con el fin de estimar el grupo sanguíneo más abundante en un centro, hemos

estimado una muestra de 25 alumnos. Los resultados han sido: A, A, O, A, O, O, O, O, A, O, O, A, A, O, O, B, AB, B, A, A, A, O, B, B, O.

a) ¿Cuál es la variable que estudiamos? ¿De qué tipo es? b) Halla la moda, razonando la respuesta.

20. Las notas de Matemáticas de un grupo de alumnos han quedado distribuidas de

la siguiente forma: NOTAS Nº DE ALUMNOS

1 2 2 2 3 3 4 5 5 7 6 6 7 3 8 2 9 2 10 1

Calcula la media, la moda y la mediana de las notas de Matemáticas.

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158

21. El entrenador de un equipo de baloncesto duda entre seleccionar a Elena o a

María. Los puntos conseguidos por cada una, en una semana de entrenamiento fueron éstos:

Elena 18 23 22 24 19 25 16 María 18 26 18 28 22 17 18

a) ¿Cuál de las dos tiene mejor media? b) ¿Cuál de las dos tiene menor desviación típica? ¿Cuál de las dos es más regular?

22. En un control de velocidad en carretera se obtuvieron los siguientes datos:

Velocidad en km/h Número de coches

60-70 5 70-80 15 80-90 27 90-100 38 100-110 23 110-120 17

a) Haz una tabla con las marcas de clase y las frecuencias. b) Calcula la media y la desviación típica. c) ¿Qué porcentaje de coches circula por encima de 90 km/h?

23. El número de personas que viven en cada uno de los portales de una barriada

son: 63, 58, 70, 47, 120, 76, 80, 59, 80, 70, 63, 77, 104, 97, 78, 90, 112, 88, 67, 58, 87, 94, 100, 74, 55, 80, 75, 49, 98, 67, 84, 73, 95, 121, 58, 71, 66, 87, 76, 56, 77, 82, 93, 102, 56, 46, 78, 67, 65, 95, 69, 90, 58, 76, 54, 76, 98, 49, 87, 69, 80, 64, 65, 56, 69, 68, 99, 106

a) Haz una tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de amplitud diez.

b) Representa gráficamente.

24. Completa los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:

xi ni Ni fi 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 8

a) Calcula la media, mediana y moda 25. En la fabricación de un cierto tipo de clavos, aparecen un cierto nº de ellos

defectuosos. Se han estudiado 200 lotes de 500 clavos cada uno obteniendo:

Clavos defectuosos 1 2 3 4 5 6 7 8 Nº de lotes 5 15 38 42 49 32 17 2

a) Calcular la mediana y el percentil 20.

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26. En el estudio de un cierto fenómeno se obtiene la siguiente tabla:

xi 7 10 12 16 19 20 21 ni 6 7 16 17 22 19 17

Calcula los cuartiles 1 y 3 correspondientes.

27. La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas de respuestas contestadas

a un test de 24 preguntas por 50 personas:

xi [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) fi 0.1 0.3 0.3 0.2 0.4

a) Calcula las frecuencias absolutas. b) Representa gráficamente.

28. Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican según la

tabla siguiente:

Tallas(cm) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190) [190,195) [195,200) Frecuencias 1 3 4 8 5 2

a) Calcula media, moda y mediana. b) Calcula la desviación típica. c) Los cuartiles 1 y 3.

29. Los pacientes que acuden a una consulta médica se distribuyen, según la edad,

en una tabla: X (edad) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,05) [05,60) Frecuencias 7 10 30 18 12 3

a) Representa gráficamente. b) Media, desviación típica, mediana y moda.

30. En una Comunidad Autónoma se ha observado que el número de ancianos

abandonados en los asilos en los meses de verano ha aumentado considerablemente. Concretamente, en el último verano 14700, distribuidos según el siguiente gráfico:

34%

17%

41%

8%

¿Cuántos ancianos han sido abandonados cada mes?

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UNIDAD 7:

DISTRIBUCIONES

BIDIMENSIONALES

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1. Elaborar e interpretar tablas estadísticas bidimensionales. 2. Calcular e interpretar parámetros estadísticos de centralización y dispersión

de las distribuciones marginales, así como la covarianza.

3. Analizar el grado de relación entre dos variables mediante el coeficiente de correlación lineal.

4. Estudiar el comportamiento de una de las variables de una distribución

bidimensional respecto a la otra variable, utilizando rectas de regresión.

CONCEPTOS

1. Variable estadística bidimensional. 2. Distribuciones marginales y condicionadas.

3. Representación gráfica: nube de puntos.

4. Medidas de centralización y dispersión: medias, varianzas y deviaciones

típicas marginales y covarianza.

5. Correlación: coeficiente de Pearson.

6. Regresión: rectas de regresión.

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DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

1. INTRODUCCIÓN

Hemos estudiado las variables estadísticas de forma individual, pero también las podemos estudiar de forma conjunta.

Si tenemos en cuenta dos caracteres del mismo individuo obtenemos una variable estadística bidimensional, tiene interés estudiar el grado de relación existente entre las variables unidimensionales que intervienen. Por ejemplo, si pretendemos estudiar el rendimiento de los alumnos en función de las horas que estudian.

2. VARIABLE ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

Como son variables

Ejemplo 1: Las calificaciones obtenidas por 18 alumnos en las asignaturas de Matemáticas y Estadística son las siguientes: (3,5), (4,5), (6,8), (7,7), (5,7), (8,9), (7,10), (3,4), (5,7), (4,4), (8,10), (5,5), (5,7), (8,9), (8,10), (8,5), (5,7), (5,5). La primera nota representa la de Matemáticas y la segunda representa la de Estadística. Las calificaciones de Matemáticas son 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Las calificaciones de Estadística son 4, 5, 7, 8, 9 y 10. Podemos considerar dos variables unidimensionales, sea X la calificación en Matemáticas e Y la calificación en Estadística. (Para las frecuencias absolutas contamos cuantas veces aparece cada calificación)

ix in ii nx ⋅ i

2i nx ⋅

3 2 6 18

4 2 8 32

5 6 30 150

6 1 6 36

7 2 14 98

8 5 40 320

Suma = 18 Suma = 104 Suma = 654

iy in ii ny ⋅ i

2i ny ⋅

4 2 8 32

5 5 25 125

7 5 35 245

8 1 8 64

9 2 18 162

10 3 30 300

Suma = 18 Suma = 124 Suma = 928

Como son variables unidimensionales, podemos estudiar los parámetros estadísticos ya vistos.

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Calculamos la media, varianza y desviación típica de cada una de ellas:

778'518104

Nnx

x ii ==⋅

=∑

889'618124

Nny

y ii ==⋅

=∑

948'2385'33333'36)778'5(18654

xN

nx)X(VAR 22i

2i =−=−=−⋅

=∑

098'4458'47556'51)889'6(18928

yN

ny)Y(VAR 22i

2i =−=−=−⋅

=∑

717'1948'2)X(VARsX ===

024'2098'4)Y(VARsY ===

Analizamos los 18 pares de notas, indicando cuantas veces se repite cada

par: (3,4) ⇒ 1 vez (3,5) ⇒ 1 vez (4,4) ⇒ 1 vez (4,5) ⇒ 1 vez (5,5) ⇒ 2 veces (5,7) ⇒ 4 veces (6,8) ⇒ 1 vez (7,7) ⇒ 1 vez (7,10) ⇒ 1 vez (8,5) ⇒ 1 vez (8,9) ⇒ 2 veces (8,10) ⇒ 2 veces Estos datos los podemos agrupar en otro tipo de tabla que llamaremos tabla

de doble entrada: En la primera columna se representan las distintas calificaciones que se han obtenido en Matemáticas (X)

En la primera fila se representan las distintas calificaciones que se han obtenido en Estadística (Y)

El resto de los valores que aparecen en la tabla son las veces que aparece cada par que llamaremos frecuencias absolutas conjuntas.

Si sumamos los valores que aparecen en la tabla por filas nos darán las frecuencias absolutas de X, Ai (última columna) y si sumamos por columnas nos darán las frecuencias absolutas de Y, Bj (última fila).

Si sumamos la última fila o la última columna nos dará el valor de N.

X Y 4 5 7 8 9 10 Ai

3 1 1 2

4 1 1 2

5 2 4 6

6 1 1

7 1 1 2

8 1 2 2 5

Bj 2 5 5 1 2 3 N=18

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164

La distribución bidimensional aparece cuando en una población se estudian dos caracteres simultáneamente. Se representa por el par (X,Y) el cual toma los valores (xi,yj), donde 1≤ i ≤ n , 1≤ j ≤ m.

Si representamos estos pares en un sistema de ejes cartesianos se obtiene un conjunto de puntos sobre el plano que se denomina diagrama de dispersión o nube de puntos.

Estos valores permiten construir una tabla de frecuencias absolutas de doble entrada, al número de veces que se representa el par (xi,yj) le llamamos frecuencia absoluta conjunta nij.

X Y y1 y2 y3 ... ym Ai

x1 n11 n12 n13 ... n1m A1

x2 n21 n22 n23 ... n2m A2

x3 n31 n32 n33 ... n3m A3

... ... ... ... ... ... ...

xn nn1 nn2 nn3 ... nnm An

Bj B1 B2 B3 ... Bm N

X e Y son variables unidimensionales que les llamaremos variables marginales.

∑=

=m

1jiji nA frecuencia absoluta marginal de X

∑=

=n

1iijj nB frecuencia absoluta marginal de Y

∑∑==

==m

1jj

n

1ii BAN

Se llaman frecuencias relativas a N

nf ijij =

3. DISTRIBUCIONES MARGINALES

De la tabla de frecuencias absolutas de doble entrada, podemos considerar cada una de las variables unidimensionales X,Y:

X Frecuencia absoluta Y Frecuencia absoluta

marginal marginal

x1 A1 y1 B1

... ... ... ...

xn An ym Bm

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165

4. Parámetros estadísticos

4.1. Medias de las variables X e Y

NAx...Ax

x nn11 ++=

NBy...By

y mm11 ++=

El punto ),( yx se denomina centro de gravedad de la distribución bidimensional.

4.2. Varianza y desviación de X e Y

2n2n1

21n

2n1

21 x

NAx...Ax

NA)xx(...A)xx(

)X(VAR −++

=−++−

=

2m2m1

21m

2n1

21 y

NBy...By

NB)yy(...B)yy(

)Y(VAR −++

=−++−

=

)X(VARSX =

)Y(VARSY =

5. COVARIANZA DE LA VARIABLE (X,Y)

Se llama covarianza de una variable (X,Y) a la media aritmética de los productos de las desviaciones típicas de cada variable respecto a su media; se denota SXY:

yxnyxN1

)n)yy)(xx((N1

S ij

n

1i

m

1j

n

1i

m

1jjiijjiXY −=−−= ∑ ∑ ∑ ∑

= = = =

Ejemplo 1: Calculamos la covarianza, importante para poder calcular el coeficiente de correlación de Pearson que se verá mas adelante:

639'2805'39444'42805'3918764

805'39

18160144407049481405020161512

889'6778'52108298

181581107177186475255154144153143

SXY

=−=−=

−+++++++++++

=⋅−⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

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166

6. CONCEPTO GENERAL DE CORRELACIÓN

Se llama correlación a la teoría que trata de estudiar la relación o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional.

a) Correlación lineal: si el diagrama de puntos se condensa en torno a una línea recta.

b) Correlación curvilínea: si el diagrama de puntos se condensa en torno a una curva.

c) Correlación positiva o directa: a medida que crece una variable crece la otra.

d) Correlación negativa o inversa: a medida que crece una variable la otra decrece.

e) Correlación nula: no existe ninguna relación entre ambas variables; en este caso los puntos del diagrama están esparcidos al azar; sin formar ninguna línea, y se dice que las variables están incorreladas.

f) Correlación de tipo funcional: si existe una función que satisface todos los valores de la distribución. En caso contrario hablamos de dependencia aleatoria.

7. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL

El procedimiento más frecuente para asignar valores a las distintas correlaciones es a partir del coeficiente de correlación de Pearson (siempre que exista una correlación lineal), y viene dado por:

YX

XY

SSS

r =

Su signo viene dado por el de SXY ya que SX, SY son mayores que cero.

• r > 0 ⇒ correlación directa

• r < 0 ⇒ correlación inversa - 1 ≤ r ≤ 1

• r = 0 ⇒ no existe correlación

a) Si r = - 1, entonces todo valor (xi,yj) que tome la variable (X,Y) se encuentran situados en una recta; satisfacen la ecuación de una recta, existe una dependencia funcional.

b) Si –1 < r < 0, entonces existe una correlación negativa y será más fuerte a medida que r se aproxima a – 1 y más débil a medida que se aproxima a 0, existe una dependencia aleatoria.

c) Si r = 0, no existe relación entre las dos variables, X e Y son aleatoriamente independientes.

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167

d) Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva y será más fuerte a medida que r se aproxime a 1 y más débil a medida que se aproxime a 0, existe una dependencia aleatoria.

e) Si r = 1, todos los valores que toma la variable (X,Y) se encuentran situados sobre una recta, satisfacen la ecuación de una recta, existe una dependencia funcional.

a) b) c)

d) e)

8. IDEA INTUITIVA DEL AJUSTE DE RECTA DE REGRESIÓN A UN DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Se llama recta de regresión a la línea que se aproxime lo mejor posible a la nube de puntos. El método más sencillo es el método gráfico.

8.1. Estudio analítico de la regresión lineal

Consideramos dos variables X e Y, entre ellas existe una fuerte correlación, entonces el diagrama de puntos se condensa en torno a una recta.

Sea X variable independiente e Y la variable dependiente; vamos a intentar encontrar la ecuación de la recta que mejor se ajuste a la nube. Para ello vamos a utilizar el método de los mínimos cuadrados que consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados experimentalmente y los teóricos que se obtengan mediante la recta. De la aplicación de este método se deduce que la recta de regresión pasa por ),( yx .

Por tanto la recta de regresión de Y sobre X, es de la forma:

Ejemplo 1:

759'0024'2717'1

639'2SS

Sr

YX

XY =⋅

== correlación aleatoria directa fuerte www.Mate

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)xx(S

Syy

2X

XY −=− , 2X

XY

S

S es el coeficiente de regresión.

Análogamente, si consideramos Y variable independiente y X variable dependiente podemos hallar la recta de regresión de X sobre Y:

)yy(S

Sxx

2Y

XY −=− , 2Y

XY

S

S es el coeficiente de regresión.

La fiabilidad de los cálculos obtenidos mediante las rectas de regresión será mayor cuanto mayor sea el valor absoluto del coeficiente de correlación lineal r.

En los casos en los que el coeficiente esté próximo a cero las estimaciones no tienen sentido.

Las estimaciones tienen sentido para los valores de las variables próximos a los datos.

Ejemplo 1: Calculamos la recta de regresión de X sobre Y:

)889'6y(895'0778'5x)889'6y(948'2639'2

778'5x)yy(S

Sxx

2Y

XY −=−⇒−=−⇒−=−

388'0y895'0x166'6y895'0778'5x −=⇒−+= www.M

atemati

ca1.c

om


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EJERCICIOS

1. Dada la variable bidimensional (X,Y) con la siguiente tabla de frecuencias de doble entrada:

X Y 1 2 4 6 1 2 0 1 1 2 3 1 0 1 5 0 1 0 5

a) Calcula el coeficiente de correlación entre X e Y; interpreta el resultado. b) Si X = 3, ¿cuánto se espera que valga Y?

2. Se han estudiado los errores cometidos por un grupo de 117 personas en una

prueba ortográfica x, y en otra de cálculo numérico, y. Los resultados están recogidos en la tabla adjunta. 0 1 2 3 4 0 24 6 1 0 0 1 11 29 2 3 0 2 7 8 6 2 0 3 2 3 3 7 1 4 1 0 2 4 5 a) Calcula el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables. b) ¿Cuántos errores ortográficos se esperan, si los errores de cálculo numérico

fueran 5? ¿Tiene sentido?

3. Una empresa dedicada a realizar encuestas, dispone de 125 encuestadores que hemos distribuido según las variables siguientes:

X: Número de encuestas que han realizado. Y: Número medio de visitas que han debido efectuar para realizarlas X Y ( ]5251 ',' ( ]5352 ',' ( ]5453 ',' ( ]5554 ','

( ]100, 0 4 3 1 ( ]1510, 1 4 6 1 ( ]2015, 4 16 13 2 ( ]3020, 4 27 6 3 ( ]5030, 5 10 4 1 ( ]10050, 5 3 2 0

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables. b) Si se han realizado 25 encuestas, ¿cuántas visitas se han debido efectuar?

4. Se han estudiado las calificaciones de 100 alumnos en dos asignaturas:

Matemáticas (X) y Física (Y), obteniéndose los siguientes resultados: 75'5x = 5y = 75'0SX = 25'1SY =

Además se sabe que el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables es r = 0’9.

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a) ¿Qué predicción darías para la calificación en la asignatura de Física para un alumno que ha obtenido 6’5 en Matemáticas?

b) Obtener la recta de regresión que explica la puntuación de Física en

función de la puntuación en Matemáticas. 5. ¿Qué significa que en una distribución bidimensional el coeficiente de correlación

sea: 1, 0.98, - 0.12, - 0.89 y 0.22? Dibuja el diagrama de puntos que le corresponde a cada uno de ellos.

6. La tabla siguiente proporciona la distribución conjunta de frecuencias absolutas de

la variable TARJETAS (X), que representa el número de tarjetas de crédito que posee una persona, y la variable COMPRAS (Y), que refleja el número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito. X Y 1 2 3 4 1 20 16 2 0 2 10 4 6 0 3 8 2 8 4

a) Calcula el coeficiente de correlación entre X e Y; interpreta el resultado. b) Si X = 4, ¿cuánto se espera que valga Y?

7. Una empresa desea conocer la relación existente entre el número de horas

trabajadas y los salarios percibidos por sus empleados, tenemos la siguiente tabla donde:

X: Número de horas semanales trabajadas Y: salario mensual percibido (en decenas de euros)

X Y ( ]15050, ( ]250150, ( ]350250,

( ]155, 40 8 4 ( ]2515, 10 12 15 ( ]3525, 5 26 26

a) ¿Puede considerarse que las variables X e Y son incorreladas? b) Obtener el salario medio para un empleado que ha trabajado 29 horas

semanales. 8. Considerando la siguiente tabla bidimensional: X / Y 8 9 10 3 4 13 3 5 6 7 7 a) Calcula el coeficiente de correlación entre X e Y; interprétalo. b) Si X = 4, ¿qué resultado cabe esperar para Y?

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171

9. En una muestra de 64 familias se han estudiado el número de miembros en edad

laboral, X, y el número de ellos que están en activo, Y. Los resultados son los siguientes:

X 1 2 4 3 4 3 2 3 4 Y 1 1 2 1 1 3 2 2 3 ni 6 10 8 12 16 1 2 5 4

a) Calcula el coeficiente de correlación entre X e Y; interpretándolo en términos del enunciado.

b) Si una familia tiene 5 miembros en edad laboral, ¿cuántos cabe esperar que estén en activo?

10. La siguiente tabla muestra el número de gérmenes por centímetro cúbico de un

determinado cultivo según el tiempo transcurrido: Nº de horas 0 1 2 3 4 5 Nº de gérmenes 20 26 33 41 47 53 a) Calcula la recta de regresión para predecir el nº de gérmenes por cm3 en función

del tiempo. b) ¿Qué cantidad de gérmenes por cm3 es predecible encontrar cuando hayan

transcurrido 6 horas? ¿ Es buena esa predicción? 11. Representa la nube de puntos asociada a:

a) Correlación lineal inversa fuerte. b) Correlación lineal inversa débil. c) Correlación lineal directa fuerte. d) Correlación lineal directa débil. e) Incorreladas.

12. La estatura media de una muestra de padres es de 1’68m con una desviación típica de 5 cm. En una muestra de sus hijos, la estatura media es de 1’70 m con una desviación típica de 7’5. El coeficiente de correlación entre las estaturas de padres e hijos es 0’7. Si un padre mide 1’80m, ¿qué estatura se estima que tendrá su hijo?

13. De las siguientes afirmaciones indica cuales son verdaderas, en caso de ser alguna

falsa, di cuál sería la afirmación correcta: a) La correlación es de tipo funcional si existe una función tal que algunos

de los valores la satisfacen. b) Si r = - 0’24, la correlación es fuerte y directa. c) La correlación es directa si al aumentar una variable la otra disminuye. d) Si r = 0, la nube de puntos está distribuida al azar.

14. Si la covarianza es cero, ¿cómo son las rectas de regresión? ¿cuánto vale r? 15. ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión? 16. ¿Qué condición debe cumplir r para que las estimaciones hechas con la recta de

regresión sean fiables?

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17. En una clase compuesta por 30 alumnos se ha hecho un estudio sobre el número

de horas diarias de estudio X y el número de suspensos Y, obteniéndose los resultados: (2,0), (2,2), (0,5), (2,1), (3,5), (4,0), (2,5), (1,2), (2,2), (3,3), (2,2), (4,0), (3,0), (1,2), (2,1), (3,1), (2,0), (1,3), (3,1), (2,1), (3,1), (2,3), (3,4), (5,2), (3,2), (2,2), (1,4), (4,0), (3,0), (3,1)

a) Halla la tabla de doble entrada. b) Representa los datos en la nube de puntos. c) Calcula r. d) Si un alumno ha estudiado 3 horas diarias, ¿cuántos suspensos se

espera que tenga?

18. Los resultados de una encuesta realizada a 20 familias acerca de su nivel de ingresos anuales X (en decenas de miles de euros) y el número de vehículos que poseen Y son los siguientes:

X Y 1 2 3 ( ]32, 5 2 0 ( ]53, 2 4 1 ( ]85, 0 2 4

a) Calcula la recta de regresión que explique el número de vehículos de una

familia a través de sus ingresos anuales. b) Dada una familia con unos ingresos de 100000 euros, ¿cuántos vehículos

habrá en dicha familia? ¿es fiable esa predicción? 19. Una encuesta de salarios entre licenciados proporciona los siguientes datos: Edad 28 28 32 35 38 44 49 52 58 62 66 70 Salario 2’2 2’2 3’8 4’2 4’2 5’3 7’3 6’4 6’7 5’3 6’0 5’1

a) Construye la nube de puntos e interprétala. b) ¿Qué salario se espera para un licenciado de 50 años? ¿Es buena esa

predicción?

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UNIDAD 8:

COMBINATORIA

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1. Distinguir entre variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias, permutaciones con repetición y combinaciones.

2. Manejar las fórmulas de cálculo de la combinatoria.

3. Asignar los conceptos de la combinatoria a situaciones reales y aplicarlos a

la resolución de problemas.

4. Calcular potencias n-ésimas de binomios utilizando la fórmula del Binomio de Newton.

CONCEPTOS

1. Factorial de un número. 2. Variaciones ordinarias y con repetición. 3. Permutaciones ordinarias y con repetición.

4. Combinaciones.

5. Números combinatorios. Triángulo de Tartaglia.

6. Binomio de Newton.

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175

1. INTRODUCCIÓN

La combinatoria es la rama de la matemática que tiene por objeto el estudio de los diferentes agrupamientos y ordenaciones que pueden recibir los elementos de un conjunto, con independencia de la naturaleza de los mismos. Es una herramienta fundamental en estadística, sobre todo si se trabaja bajo el concepto de probabilidad.

A la hora de agrupar los elementos de un conjunto, podemos tener presentes tres criterios:

- Considerar, o no, el orden de los elementos dentro de cada agrupación.

- Repetir, o no, los elementos dentro de cada agrupación. - Decidir el número de elementos que tendrán las agrupaciones.

En definitiva nuestro problema consistirá en: - dado un conjunto de m elementos - contar las maneras de agruparlos - en grupos de n elementos - considerando un criterio para el orden - y un criterio para la posibilidad de repetición de los elementos

2. FACTORIAL DE UN NÚMERO

Se llama factorial de un número natural n al resultado de multiplicar los n primeros números naturales.

Se representa por n! y se lee factorial de n o n factorial:

Se define: 1!=1 y 0!=1

3. VARIACIONES

3.1. Variaciones ordinarias o sin repetición

¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los números del 1 al 5?

Observa que para la primera cifra hay 5 posibilidades, para la segunda

cuatro posibilidades y para la tercera tres posibilidades. En total:

Números posibles )!35(

!5!2!5

1212345

345−

==⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

( ) ( ) 123...2n1nn!n ⋅⋅−⋅−⋅=

Ejemplos:

212!2 =⋅= 6123!3 =⋅⋅=

241234!4 =⋅⋅⋅= 12012345!5 =⋅⋅⋅⋅=

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176

Se llaman variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n, (n≤m) a los distintos grupos formados por n elementos, de forma que:

- En cada grupo se consideran n elementos distintos. (No hay repeticiones)

- Dos grupos son distintos entre sí, si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación.

El número de variaciones de m elementos tomados de n en n, se denota n,mV y se calcula:

3.2. Variaciones con repetición

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los nº del 1 al 5?

Observa que para la primera cifra hay 5 posibilidades, para la

segunda 5 y para la tercera 5. Entonces:

Números posibles = 1255555 3 ==⋅⋅ Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados

de n en n, a los distintos grupos formados por n elementos, de forma que: - Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos. - Dos grupos son distintos entre sí, si se diferencian en algún elemento

o en el orden de colocación El número de variaciones de m elementos tomados de n en n, se

denota n,mVR y se calcula:

nn,m mVR =

Ejemplo: ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir tres premios distintos entre los 30 alumnos de una clase, de manera que sólo puedan recibir un premio?

- m = 30 número total de alumnos - n = 3 premios que hay - Importa el orden, ya que los premios son distintos

24360282930!27!30

)!nm(!m

V 3,30 =⋅⋅==−

= formas

)1nm(...)1m(m12...)1nm()nm(12...)2m()1m(m

)!nm(!m

V n,m +−⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅

=−

=

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4. PERMUTACIONES

A las variaciones en las que toman parte todos los elementos m = n se llaman permutaciones.

4.1. Permutaciones ordinarias o sin repetición

Se llaman permutaciones de m elementos a los distintos grupos que se forman con esos m elementos, de manera que:

- En cada grupo intervienen los m elementos sin repetirse ninguno. - Dos grupos son distintos entre sí, si el orden de colocación de alguno

de los m elementos es distinto.

!mVP m,mm ==

4.2. Permutaciones con repetición

Se llaman permutaciones con repetición de m elementos, donde el 1º se repite a1 veces, el 2º se repite a2 veces, el último se repite an veces ( ma...aa n21 =+++ ) a los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos de forma que:

Ejemplo: Si lanzamos al aire una moneda cinco veces, ¿cuántos resultados distintos podemos obtener?

- m = 2 (posibilidades de la moneda, cara cruz) - n = 5 (las veces que lanzamos la moneda) - Importa el orden y además se puede repetir.

322VR 55,2 == posibles resultados

Ejemplo:

¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los nº 1,2 y 3?

- Importa el orden - No se repiten las cifras porque deben ser distintas - m = 3 (nº total de elementos) - n = 3 (queremos nº de tres cifras)

6123!3P3 =⋅⋅== números posibles.

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- Cada grupo se compone de a1 veces el primer elemento, a2 veces el 2º,..., am veces el último.

- Dos grupos se diferencian en el orden de colocación de alguno de sus elementos.

!a...!a!m

Pn1

a,...,am

n1

⋅⋅=

5. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

En una clase van a hacer un torneo de baloncesto ya que han salido cuatro equipos. En una primera fase se tienen que enfrentar de todas las formas posibles. Veamos cuántos partidos deben jugar.

Sean esos equipos A, B, C, D. Las parejas que se pueden formar son

las siguientes: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

- Cada grupo se diferencia en al menos un elemento. - No me importa el orden ya que AB es lo mismo que BA

Este problema nos lleva a definir las combinaciones

Se llaman combinaciones de m elementos tomados de n en n,

(n≤m) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los n elementos, de forma que:

- Cada grupo está formado por n elementos distintos entre sí, no puede haber ningún elemento repetido.

- Dos grupos son distintos entre sí, si se diferencian en algún elemento sin tener en cuenta el orden.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

nm

)!nm(!n!m

C n,m

Aplicando las combinaciones al ejemplo anterior:

Ejemplo: ¿Cuántos nº de 4 cifras se pueden formar con el 2 y el 3, de forma que a parezcan cada uno de ellos 2 veces?

- Importa el orden. - Cada número se repite dos veces. - n = 4 ( son nº de 4 cifras)

Son permutaciones con repetición

612121234

!2!2!4

P 2,24 =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

=

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179

612121234

!2!2!4

C 2,4 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

== posibilidades que era lo que ya habíamos visto

6. NÚMEROS COMBINATORIOS

Se llama nº combinatorio de índice m y orden n, al nº de combinaciones de m elementos tomados de n en n tal que m≥ n≥ 0, se lee m sobre n:

)!nm(!n!m

nm

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

6.1. Propiedades

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− n

1mnm

1nm

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nm

mnm

c) m2mm

...1m

0m

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

d) 1mm

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

e) 10m

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

f) 100

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

g) m1m

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ejemplo:

De entre 30 personas, ¿cuántas parejas pueden formarse? - No me importa el orden - No se pueden repetir - m = 30 (nº total de elementos) - n = 2 ( queremos formar parejas)

43522930

!28!2!30

C 2,30 =⋅

=⋅

=

Ejemplo1:

32255

45

35

25

15

05 5 ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

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180

7. TRIÁNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA

Si ordenamos los números combinatorios en filas de arriba abajo según su índice, y en cada fila, de izquierda a derecha según su orden, se forma un triángulo, llamado triángulo de Pascal o de Tartaglia.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

44

34

24

14

04

33

23

13

03

22

12

02

11

01

00

146411331

12111

1

8. BINOMIO DE NEWTON

A la hora de resolver problemas en Matemáticas se utilizan las igualdades notables:

222 bab2a)ba( ++=+ Si multiplicamos esta expresión por (a+b) obtenemos:

32233 bab3ba3a)ba( +++=+ Si volvemos a multiplicar por (a+b) se obtiene:

4322344 bab4ba6ba4a)ba( ++++=+

- En el desarrollo de 4)ba( + aparecen 5 términos.

- Los coeficientes de 4)ba( + coinciden con los elementos de la fila cuarta del triángulo de Pascal.

- Los exponentes de a van disminuyendo de 1 en 1, desde 4 hasta 0. - Los exponentes de b van aumentando de 1 en 1, desde 0 hasta 4.

Ejemplo 2:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛14

34

Compruébalo

Ejemplo 3:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛36

35

25

Compruébalo

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181

- En cada término del desarrollo, la suma de los exponentes de a y b es igual a 4. La expresión n)ba( + se conoce como Binomio de Newton y es la

siguiente:

n01n111n0nn bann

ba1n

n...ba

1n

ba0n

)ba( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ −−

- En el desarrollo de n)ba( + aparecen n + 1 términos.

- Los coeficientes de n)ba( + coinciden con los elementos de la fila n-ésima del triángulo de Pascal.

- Los exponentes de a van disminuyendo de 1 en 1, desde n hasta 0. - Los exponentes de b van aumentando de 1 en 1, desde 0 hasta n. - En cada término del desarrollo, la suma de los exponentes de a y b es igual

a n.

Ejemplo: Desarrolla las potencias de los siguientes binomios:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) =⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅⋅+−⋅+⋅⋅=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−+=−

44332223440

3122130444

b211b2a4b2a6b2a41a1b2a44

b2a34

b2a24

b2a14

b2a04

b2ab2a

432234 b16ab32ba24ba8a +−+−

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182

EJERCICIOS

1. En una carrera de 500 metros participan doce corredores. ¿De cuántas maneras pueden adjudicarse las medallas de oro, plata y bronce?

2. Con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9:

a) ¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse? b) ¿Cuántos serán múltiplos de 5?

3. Con los dígitos 3 y 6, ¿cuántos números distintos de 4 cifras pueden formarse? ¿ Cuántos serán mayores que 5000?

4. Con las letras de la palabra Israel, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden

hacerse? ¿ Cuántas de ellas empiezan por ris?

5. ¿Cuántos números diferentes pueden escribirse con las cifras de 111446? ¿Cuántos empiezan por 61?

6. Si se unen seis vértices de un heptágono, ¿cuántos hexágonos se obtienen?

7. ¿Cuántas jugadas distintas es posible obtener al extraer 6 cartas de una

baraja española?

8. Alberto dispone de 5 licores distintos para preparar combinados. Suponiendo que todos pueden mezclarse entre sí, se pide:

a) ¿Cuántas bebidas diferentes podrá obtener? b) ¿Cuántas de esas bebidas estarán formadas exactamente por 4

licores? c) ¿Cuántas se obtendrán mezclando tres licores o menos de tres?

9. ¿Cuántos números de 4 cifras podrán escribirse con los dígitos 0, 2, 4 y 6? 10. Con los dígitos 2, 4, 6 y 8, ¿cuántos números de dos cifras pueden

formarse? ¿Cuántos de ellos tendrán dos cifras distintas? ¿Cuántos de estos números serán mayores que 30?

11. ¿De cuántas formas pueden cubrirse los cargos de presidente,

vicepresidente, secretario y tesorero de un club deportivo, sabiendo que hay 14 candidatos?

12. Con los dígitos 3, 5 y 8, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse?

¿Cuántos son menores de 600? ¿Cuántos son pares?

13. ¿Cuántos números distintos pueden formarse con las cifras del número 441214?

14. Con las letras de la palabra lengua:

a) ¿Cuántas palabras pueden formarse? b) ¿Cuántas empiezan por n y terminarán por a?

15. ¿De cuántas formas pueden sentarse 12 personas en una fila de doce butacas de un cine, si dos de ellas deben de estar en los extremos?

16. ¿De cuántas maneras se podrán introducir 6 tarjetas postales diferentes en

6 sobres de distintos colores, suponiendo que en un sobre no puede meterse más de una tarjeta?

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183

17. ¿Cuántas apuestas hay que rellenar para asegurarse un pleno al quince en las quinielas, si hay 7 empates y 4 victorias a domicilio?

18. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las

que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

19. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de notable? ¿Cuántas empiezan por vocal? ¿Cuántas empezarán por tel?

20. Disponemos de 30 cuentas para hacer un collar. Sabiendo que 12 son rojas,

14 negras, 2 blancas y 2 amarillas, ¿cuántos collares distintos podemos hacer, engarzando las 30 cuentas en un hilo? ¿Y si queremos que las cuentas blancas queden colocadas en los extremos?

21. ¿Cuántas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden

escribir sólo con las letras s, o?

22. A una fiesta acuden 14 invitados y todos intercambian un apretón de manos entre sí. ¿Cuántos apretones de manos se han producido?

23. En una liga de baloncesto juegan 20 equipos, todos contra todos (ida y

vuelta). ¿Cuántos partidos se habrán jugado al final de la liga?

24. Con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5 ¿cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar?

a) ¿Cuántos de esos números empiezan por 1? b) ¿Cuántos terminan en 5? c) ¿Cuántos empiezan por 1 y acaban en 5? d) ¿Cuántos son pares? e) ¿Cuántos son múltiplos de 5? f) ¿Cuántos son mayores de 20000?

25. Suponiendo que en la naturaleza existieran 100 elementos distintos y queremos formar sustancias de tres elementos. ¿Cuántas sustancias distintas tendríamos?

26. Para hacer un viaje de fin de curso, un grupo de 30 estudiantes decide

nombrar una comisión de organización, formada por 7 miembros elegidos entre todos ellos. ¿Cuántas comisiones diferentes podrán formarse?

27. Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los 30 alumnos de una

clase?

28. Se dispone de siete colores para diseñar una bandera que tiene tres bandas horizontales de igual ancho pero de distinto color.

a) ¿Cuántas banderas se pueden diseñar que no tenga ningún color repetido?

b) ¿Y si se pueden repetir los colores?

29. En un plano se han situado 15 puntos, de forma que no hay 3 alineados. ¿Cuántas rectas pueden trazarse?

30. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 15 caramelos entre 20 niños, de

forma que ninguno de ellos reciba más de uno?

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184

31. Resuelve: a) 12V 2,x =

b) 2,x4,x V30V ⋅=

c) 3x,7x,7 CC +=

32. Resuelve:

a) 243VR 5,x =

b) 2,x4,x C5C3 ⋅=⋅

33. Calcula x en cada una de las siguientes igualdades:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2x

4x4

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2x

3x

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4x

5x

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛37

2x

3x

34. Calcula el valor de m en las siguientes expresiones:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3

1m2

3m

b) 16mm

...1m

0m

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

c) 31mm

...2m

1m

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

35. ¿Cuál es la suma de todos los elementos de la fila décima del triángulo de

Pascal? 36. Comprueba las siguientes igualdades:

a) 3,84,85,8 V15VV ⋅=−

b) 6,87,98,10 V81VV ⋅=−

37. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2

3n72n

1n

0n −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+++

1n

1n

1n6n3n2

38. Calcula el valor de x:

a) 1P2P nn −⋅= b) 33,n22,n PVPV3 ⋅=⋅⋅

c) 1VRVRVR 1,x2,x3,x −=−−

39. En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una

comisión interna de 3 personas. ¿Cuántas comisiones se pueden formar?

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185

40. De las siguientes expresiones, di cuáles son ciertas y cuáles falsas.

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛77

44

33

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛56

36

26

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛35

25

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛78

67

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛18

17

f) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

05

41. Calcular las siguientes potencias:

a) 42)a3a9( −

b) 5

41

x21

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

c) ( )63a −

d) ( )74x2 −

42. Hallar el sexto término del desarrollo 8)1x2( − 43. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve

cifras significativas del sistema decimal?

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1- Teoría unid1 - matematexx.files.wordpress.com · Manejar el concepto de logaritmo y sus...

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