1. Teorema de Cambio de Variable para la Integral de Riemann. · Teorema de Cambio de Variable para...

Cambio deVariable en la

integralRiemann.

Teorema de Cambio . . .

JJ II

J I

1. Teorema de Cambio de Variable para la Integral de Riemann.

En el caso de la integral de Riemann para funciones reales de una variable real, se puede demostrarun teorema de cambio de variable de forma muy sencilla utilizando los teoremas fundamentalesdel calculo, en condiciones “buenas” sobre la funcion que se quiere integrar y sobre la funcion decambio de variable:

Supongamos que g : [a, b] −→ R es una funcion continua en [a, b], derivable en (a, b) y conderivada continua, y que f : R −→ R es una funcion continua. Entonces el teorema de cambiode variable asegura que∫ g(b)

g(a)

f =

∫ b

a

(f ◦ g) · g′

En efecto, si F es una primitiva de f en [g(a), g(b)], se tiene que∫ g(b)

g(a)

f = F (g(b))− F (g(a))

Por otro lado, la regla de la cadena asegura que (F ◦ g)′ = (F ′ ◦ g) · g′ = (f ◦ g) · g′, es decir,F ◦ g es una primitiva de (f ◦ g) · g′, y se tiene tambien∫ b

a

(f ◦ g) · g′ = F ◦ g(b)− F ◦ g(a) = F (g(b))− F (g(a))


integralRiemann.


JJ II

J I

Se pueden dar teoremas mas generales de cambio de variable, con condiciones menos fuertessobre la funcion f (solo integrable) y mas fuertes en la funcion g (difeomorfismo de clase C1

en (a, b)), a los que llegaremos como caso particular del teorema de cambio de variable parafunciones de varias variables que vamos a demostrar.

La situacion en el caso de funciones en Rn sera en terminos generales la siguiente: tendremosun conjunto medible-Jordan N , una funcion biyectiva y diferenciable g : N −→ Rn, y una funcionintegrable f definida en g(N) = M . Y se tratara de demostrar que, en ciertas condiciones, severifica la igualdad∫

M

f =

∫N

(f ◦ g) · |Jg|

donde |Jg| es el valor absoluto del Jacobiano de g.Para ello habra que asegurar primero que g(N) es un conjunto medible-Jordan, para que tenga

sentido la integral de f sobre M = g(N); en segundo lugar habra que demostrar que la funcion(f ◦ g) · |Jg| es integrable; y por ultimo habra que comprobar la igualdad de las integrales.

Iremos resolviendo cada uno de estos problemas en varios pasos, empezando por casos sencillossobre las funciones f y g. El primer teorema va encaminado a establecer condiciones suficientessobre la funcion g para asegurar que transforma conjuntos medibles en conjuntos medibles.

Por la mayor comodidad que supone en la utilizacion de las bolas como rectangulos, utilizare-mos en Rn la norma infinito: si x = (x1, . . . , xn), la norma infinito de x es

‖x‖∞ = max{|x1|, . . . , |xn|}


integralRiemann.


JJ II

J I

Con esta norma, la bola de centro x y radio r > 0 es

B(x, r) = {y ∈ Rn : max{|x1 − y1|, . . . , |xn − yn|} ≤ r}

que es el rectangulo [x1 − r, x1 + r]× · · · × [xn − r, xn + r]

−1 1

−1

1

n = 2

B(0, 1)B(0, 1)

n = 3

Antes de nada, conviene tener en cuenta la siguiente observacion:

Observacion 1. En las definiciones de conjuntos de contenido cero y de medida cero, se puedensustituir los rectangulos por cubos (rectangulos con todos lados de la misma longitud).


integralRiemann.


JJ II

J I

En efecto, basta tener en cuenta que para todo ε > 0, un rectangulo R de Rn se puedeincluir en otro rectangulo R′ de modo que v(R′) ≤ v(R) + ε, y tal que las longitudes de loslados de R′ sean numeros racionales. De esta forma, si R′ = [a1, b1] × · · · × [an, bn], conbi − ai = ri ∈ Q, podemos escribir ri = ki/m poniendo comun denominador, lo que quiere decirque cada segmento [ai, bi] se puede subdividir en ki intervalos de longitud m−1; por tanto R′ sepuede dividir en k1 · · · · · kn cubos de lado m−1, y la suma de los volumenes de estos cubos esigual al volumen de R′.

R

R′

1/m

1/m

En consecuencia para todo ε > 0, un rectangulo R en Rn esta contenido en una familia finitade cubos Q1, . . . , Qk de modo que

∑ki=1 v(Qi) ≤ v(R) + ε

�

Utilizaremos tambien la siguiente definicion:

Definicion (Funcion Lipschitziana). Sea U un conjunto en Rn, y G : U −→ Rm una funcion.


integralRiemann.


JJ II

J I

Se dice que G es lipschitziana si existe una constante K > 0 tal que para todo par de puntos xe y en Rn se verifica

‖G(x)−G(y)‖ ≤ K ‖x− y‖

Por ejemplo, las aplicaciones lineales son funciones lipschitizianas en todo Rn, y si F es unafuncion diferenciable en un punto x0 de un abierto U , entonces es localmente lipschitziana, esdecir, existe una bola centrada en x0 y contenida en U donde F es lipschitziana.

Teorema 1. 1. Sea H ⊂ Rn un conjunto de medida cero (resp. de contenido cero) y seag : H −→ Rm (n ≤ m) una aplicacion lipschitziana. Entonces g(H) tiene medida cero(resp. contenido cero).

2. Sea A ⊂ Rn abierto, y g : A −→ Rm (n ≤ m) una funcion de clase C1 en A. SeaH ⊂ A un conjunto de medida cero (resp. contenido cero) tal que H este contenido enA. Entonces g(H) tiene medida cero(resp. contenido cero).

3. Sea A ⊂ Rn abierto y g : A −→ Rm (n ≤ m) una funcion de clase C1 en A. Sea H ⊂ Aun conjunto de medida cero. Entonces g(H) tiene medida cero.

Observacion 2. El ultimo apartado del teorema no es cierto sustituyendo medida cero porcontenido cero.


integralRiemann.


JJ II

J I

Para poner un ejemplo, considerese la funcion g : (−π2

, π2) −→ R, definida por g(x) = tan(x)

y el conjunto H = {π2− 1

n, n ∈ IN}.

g es una funcion de clase C1 en el abierto A = (−π2

, π2), H es un conjunto de contenido

nulo, pues es una sucesion convergente en R, y verifica H ⊂ A, y sin embargo g(H) no puedetener contenido nulo ya que no es un conjunto acotado (g(π

2− 1

n) = tan(π

2− 1

n) tiende a infinito

cuando n tiende a infinito).�

Como consecuencia del teorema anterior veamos ahora que un difeomorfismo de clase C1

en un conjunto abierto de Rn transforma conjuntos medibles en conjuntos medibles. De hecholo demostramos en condiciones un poco mas generales, que incluyen la mayorıa de los casospracticos.

Proposicion 1. Sea A un abierto de Rn y sea g : A −→ Rn una funcion de clase C1 en A. SeaH un conjunto medible-Jordan, tal que H ⊂ A y tal que la restriccion de g a H0, interior de H,sea un difeomorfismo de clase C1. Entonces g(H) es medible-Jordan.


integralRiemann.


JJ II

J I

H0g(H0)

A g(A)

g

g|H0

Demostracion:Si H es medible-Jordan, en particular es acotado y por tanto su adherencia H es compacto.Entonces como g(H) ⊂ g(H), y g(H) es compacto por ser la imagen por una funcion continuade un conjunto compacto, se tiene que g(H) es acotado.

Ademas, g(H) es el menor cerrado que contiene a g(H), y por tanto g(H) ⊂ g(H).Por otro lado, la hipotesis de que g|H0 : H0 −→ g(H0) es un difeomorfismo de clase C1

implica, como consecuencia del teorema de la funcion inversa, que g(H0) es abierto, y por tantoque g(H0) ⊂ g(H)0.

Por ultimo,

Fr(g(H)) = g(H) \ g(H)0 ⊂ g(H) \ g(H0) ⊂ g(H \H0) = g(Fr(H))

Aplicando el teorema anterior al conjunto Fr(H), que es un subconjunto cerrado de A de


integralRiemann.


JJ II

J I

contenido cero, se tiene que g(Fr(H)) tiene contenido cero, y por tanto tambien Fr(g(H)) tienecontenido cero.

En consecuencia, g(H) es medible-Jordan.�

Otra aplicacion sencilla del teorema anterior es la siguiente demostracion de que todo sub-espacio vectorial propio de Rn (un subespacio vectorial se llama “propio” si no es el vacıo ni eltotal) es un conjunto de medida nula, que utilizaremos mas adelante.

Proposicion 2. Todo subespacio vectorial propio de Rn tiene medida cero.

Demostracion:Sea H un subespacio de Rn de dimension k < n, y sea {v1, . . . , vk} una base de H. Cada vectorv de H sera de la forma v =

∑ki=1 λivi con (λ1, . . . , λk) ∈ IRk . Definamos entonces la funcion

g : IRk+1 −→ Rn

(λ1, . . . , λk, λ) −→k∑

i=1

λivi

Es claro que podemos poner H = g(IRk × {0}).Ahora bien, IRk × {0} tiene medida cero en IRk+1:


integralRiemann.


JJ II

J I

En efecto, (IRk × {0}) ⊂∞⋃i=1

Qi donde

Qi =

k︷︸︸︷[−i, i]× · · · × [−i, i]×[

−ε

(2i)k · 2i+1,

ε

(2i)k · 2i+1]

y

∞∑i=1

v(Qi) =∞∑i=1

(2i)k ε

(2i)k · 2i+1= ε


integralRiemann.


JJ II

J I

Y, por ultimo, g : IRk+1 −→ Rn es lipschitziana:

‖g(λ1, . . . , λk, λ)− g(µ1, . . . , µk, µ)‖∞ =

= ‖k∑

i=1

(λi − µi)vi‖∞ ≤k∑

i=1

|λi − µi|‖vi‖ ≤

≤ max{|λi − µi|, 1 ≤ i ≤ k} ·k∑

i=1

‖vi‖

≤ ‖(λ1, . . . , λk, λ)− (µ1, . . . , µk, µ)‖∞ · L

siendo L =∑k

i=1 ‖vi‖.Aplicado el teorema se deduce que H = g(IRk × {0}) tiene medida nula.

�

Antes de seguir adelante con la demostracion de una primera version de cambio de variable,para aplicaciones lineales, vamos a destacar algunas observaciones tecnicas que se repiten en lasdemostraciones siguientes.

Observacion 3. Si Q es una familia finita de conjuntos medibles en Rn que no se solapan (esdecir, M0

i ∩M0j = ∅, para todo i 6= j), entonces

v(⋃

M∈Q

M) =∑M∈Q

v(M)


integralRiemann.


JJ II

J I

En efecto, podemos poner

v(⋃

M∈Q

M) = v

((⋃

M∈Q

M0) ∪ (⋃

M∈Q

Fr(M))

)

Aquı, (⋃

M∈Q M0) y (⋃

M∈Q Fr(M)) son conjuntos disjuntos. Ademas, para cada M ∈ Q,la frontera Fr(M) de M tiene contenido cero, por lo que el conjunto (

⋃M∈Q Fr(M)) tiene

contenido cero. Entonces

v(⋃

M∈Q

M) = v(⋃

M∈Q

M) =∑M∈Q

v(M0) =∑M∈Q

v(M)

�


integralRiemann.


JJ II

J I

Observacion 4. Sea Q una familia de conjuntos medibles en Rn que no se solapan, y sea U unabierto en Rn tal que el conjunto M = (

⋃N∈Q N) verifique M ⊂ U . Sea g una funcion de clase

C1 de U en Rn, tal que la restriccion a M0 sea un difeomorfismo de clase C1. Entonces

v(g(M)) =∑N∈Q

v(g(N))

M g(M)

Ug(U)

g

N

g(N)


integralRiemann.


JJ II

J I

En efecto, por un lado

v(g(M)) = v

(g(⋃

N∈Q

N)

)= v

(g(⋃

N∈Q

N0) ∪ g(⋃

N∈Q

Fr(N))

)=

= v

(( ⋃N∈Q

g(N0))∪( ⋃

N∈Q

g(Fr(N))))

≤ v(⋃

N∈Q

g(N0)) + 0

=∑N∈Q

v(g(N0))

puesto que, por el teorema 1,⋃

N∈Q g(Fr(N)) tiene contenido cero.Por otro lado, como

⋃N∈Q g(N0) es un subconjunto de g(M), es claro que

v(⋃

N∈Q

g(N0)) ≤ v(g(M))

Por tanto,

v(g(M)) =∑N∈Q

v(g(N0)) =∑N∈Q

(v(g(N0)) + v(g(Fr(N)))

)=

∑N∈Q

v(g(N))


integralRiemann.


JJ II

J I

como querıamos demostrar.�

Por ultimo nos interesa destacar una propiedad de descomposicion de los isomorfismos linealesde Rn, (aplicaciones lineales biyectivas de Rn en oRn):

Observacion 5. Todo isomorfismo lineal L : Rn −→ Rn se puede descomponer como com-posicion de aplicaciones lineales “elementales” de los tres tipos siguientes:

Si x = (x1, · · · , xn) y Lx = ((Lx)1, · · · , (Lx)n)

• Tipo A: Existe λ ∈ R y existe i, 1 ≤ i ≤ n tal que (Lx)i = λxi, y (Lx)j = xj para todoj 6= i.

• Tipo B: Existen i, k, 1 ≤ i, k ≤ n, tales que (Lx)i = xk, (Lx)k = xi, y (Lx)j = xj, paratodo j 6= i, k.

• Tipo C: Existen i, k, 1 ≤ i, k ≤ n tales que (Lx)k = xi + xk y (Lx)j = xj para todoj 6= k.

Este resultado, que no vamos a demostrar, es el fundamento del metodo de Gauss para lainversion de matrices.

Con estas observaciones, podemos demostrar el siguiente teorema:


integralRiemann.


JJ II

J I

Teorema 2. Toda aplicacion lineal L : Rn −→ Rn transforma conjuntos medibles-Jordan enconjuntos medibles-Jordan. Ademas, para cada conjunto medible-Jordan M en Rn se tiene

v(L(M)) = | det L| · v(M)

Demostracion:Toda aplicacion lineal en Rn es una funcion de clase C1 en todo el espacio Rn. Distinguiremosdos casos: cuando L es un isomorfismo y cuando no lo es.

Caso primero: Supongamos que L no es un isomorfismo. Entonces la imagen L(Rn) es unsubespacio vectorial propio de Rn, y por tanto, por la proposicion 2, L(Rn) tiene medida cero.Ademas todo subespacio vectorial es un cerrado, y por otro lado, si M es medible-Jordan enparticular es acotado y L(M) es tambien acotado.

Ası que tenemos L(M) ⊂ L(M) ⊂ L(Rn), donde L(M) es un subconjunto compacto de unconjunto de medida nula. En consecuencia L(M) tiene contenido nulo, y tambien L(M) tienecontenido nulo.

En particular L(M) es medible, y v(L(M)) = 0. Como por otro lado el determinante det Les cero, por no ser L un isomorfismo, tambien se verifica que | det L| · v(M) = 0, y se tiene elresultado.

Caso segundo: Supongamos ahora que L es un isomorfismo en Rn.En primer lugar, todo isomorfismo lineal es un difeomorfismo de clase C1 en todo Rn, por lo

que, aplicando la proposicion 1, L transforma conjuntos medibles-Jordan en conjuntos medibles-Jordan.


integralRiemann.


JJ II

J I

En segundo lugar, demostraremos que basta probar el teorema en el caso en que L es unaaplicacion lineal elemental como las definidas en la observacion anterior. En efecto, si L es unisomorfismo, existe una descomposicion de L de la forma L = L1 ◦ L2 ◦ · · · ◦ Lk, donde Li

son aplicaciones elementales, 1 ≤ i ≤ k. Si suponemos que el resultado es cierto para estasaplicaciones elementales, y M es un conjunto medible en Rn, se tiene

v(L(M)) = v(L1(L2 ◦ · · · ◦ Lk(M))) =

= | det L1|v(L2 ◦ · · · ◦ Lk(M)) = · · · = | det L1| . . . | det Lk| · v(M) =

= | det L|v(M)

y por tanto el resultado serıa cierto tambien para L.Y en tercer lugar vamos a ver que dada una aplicacion elemental L, basta demostrar el

resultado cuando el conjunto medible M es un rectangulo.En efecto, supongamos que el resultado es cierto para rectangulos, y sea M un conjunto

medible-Jordan cualquiera. Sea A un abierto en Rn tal que M ⊂ A.Dado ε > 0, sea P una particion de A tal que

S(χM , P )− S(χM , P ) < ε

Si llamamos E1 =⋃{R ∈ P , R ∩M 6= ∅} y E2 =

⋃{R0, R ∈ P , R ⊂ M}, se tiene:


integralRiemann.


JJ II

J I

a) E1 y E2 son medibles-Jordan, por ser union finita de conjuntos medibles. Ademas E2 ⊂M ⊂ E1, y por tanto v(E2) ≤ v(M) ≤ v(E1).

b)

S(χM , P ) =∑R∈P

MR(χM)v(R) =∑

R∈P,R∩M 6=∅

v(R) = v(E1)

puesto que si R ∩ M = ∅ la funcion caracterıstica de M vale cero en cada punto de R, yMR(χM) = 0, y por otro lado, si R ∩ M 6= ∅ entonces hay al menos un punto de R en el queχM vale uno, y MR(χM) = 1.

Y analogamente

S(χM , P ) =∑R∈P

mR(χM)v(R) =∑

R∈P,R⊂M

v(R) =

=∑

R∈P,R⊂M

v(R0) = v(E2)

c) L(E1)) = L(⋃{R ∈ P , R ∩M 6= ∅}) =

⋃{L(R), R ∈ P , R ∩M 6= ∅} y por tanto, si

el resultado es cierto para rectangulos,

v(L(E1)) =∑

R∈P, R∩M 6=∅

v(L(R)) = | det L|v(E1)


integralRiemann.


JJ II

J I

Y analogamente, L(E2) =⋃{L(R0), R ∈ P , R ⊂ M}, y

v(L(E2)) =∑

R∈P, R⊂M

v(L(R0)) = | det L|v(E2)

d) Por otro lado, de la desigualdad E2 ⊂ M ⊂ E1 se deduce que tambien L(E2) ⊂ L(M) ⊂L(E1), y por tanto

v(L(E2)) ≤ v(L(M)) ≤ v(L(E1))

Sustituyendo v(L(E2)) y v(L(E1)) por los valores obtenidos en (c), se tiene

| det L|v(E2) ≤ v(L(M)) ≤ | det L|v(E1) I

Por ultimo, si en la desigualdad obtenida en (a) multiplicamos por | det L|, se tiene

| det L|v(E2) ≤ | det L|v(M) ≤ | det L|v(E1) II

Restando I y II, se obtiene

| det L|(v(E2)− v(E1)) ≤ v(L(M))− | det L|v(M) ≤≤ | det L|(v(E1)− v(E2))


integralRiemann.


JJ II

J I

de donde

|v(L(M))− | det L|v(M)| ≤ | det L|(v(E1)− v(E2)) =

= | det L|(S(χM , P )− S(χM , P )) ≤ | det L|ε

Como esto es cierto para todo ε > 0, tiene que ser

v(L(M)) = | det L|v(M)

Luego, efectivamente, si el resultado se demuestra para rectangulos, entonces es cierto paracualquier conjunto medible-Jordan.

Sea entonces R un rectangulo, R = [a1, b1]× . . . ,×[an, bn], y L una aplicacion lineal elemen-tal.

Primer caso: Si L es de tipo A, es decir, existe i, 1 ≤ i ≤ n tal que (Lx)i = λxi para algunnumero real λ, y (Lx)j = xj para todo j 6= i, la matriz de la aplicacion lineal es de la forma


integralRiemann.


JJ II

J I

i

i

1. . . 0

1λ

1

0 . . .

1

donde son cero todos los terminos fuera de la diagonal, y unos todos los terminos de la diagonalexcepto el de lugar ii que vale λ. En particular, | det L| = |λ|.

Por otro lado, la imagen del rectangulo R es un rectangulo

L(R) = {L(x1, . . . , xi, . . . , xn), (x1, . . . , xi, . . . , xn) ∈ R} =

= {(x1, . . . , λxi, . . . , xn), (x1, . . . , xi, . . . , xn) ∈ R} =

= [a1, b1]× · · · × [λai, λbi]× · · · × [an, bn]

que tiene volumen v(L(R)) = |λ|v(R) = | det L|v(R), y se tiene el resultado.Segundo caso: Si L es de tipo B, es decir, existen i, k, 1 ≤ i, k ≤ n tales que (Lx)i =

xk, (Lx)k = xi y para todo j 6= i, k (Lx)j = xj, la matriz de L es de la forma


integralRiemann.


JJ II

J I

i k

i

k

1. . . 0

0 1. . .

1 0

0 . . .

1

donde son unos todos los elementos de la diagonal excepto los de los lugares ii y kk, que pasana las posiciones ik y ki, y son cero todos lor terminos que no estan indicados explıcitamente.

Es claro entonces que | det L| = 1. Por otro lado, la imagen del rectangulo R es un rectangulo

L(R) = {L(x1, . . . , xi, . . . , xk, . . . , xn), (x1, . . . , xi, . . . , xk, . . . , xn) ∈ R} =

= {(x1, .., xi−1, xk, xi+1, .., xk−1, xi, xk+1, .., xn), (x1, .., xi, .., xk, .., xn) ∈ R} =

= [a1, b1]× · · · × [ai−1, bi−1]× [ak, bk]× [ai+1, bi+1]× . . .

· · · × [ak−1, bk−1]× [ai, bi]× [ak+1, bk+1]× · · · × [an, bn]


integralRiemann.


JJ II

J I

que tiene el mismo volumen que R. Por tanto tambien en este caso

v(L(R)) = v(R) = | det L|v(R)

Tercer caso: Si L es de tipo C, es decir, existen i, k, 1 ≤ i, k ≤ n tales que (Lx)k = xi + xk,y para todo j 6= k (Lx)j = xj, la matriz de L es de la forma

i

i

k

1. . . 0

1. . .

1 1

0 . . .

1

donde son unos todos los terminos de la diagonal y el de posicion ki, y son cero todos losterminos que no aparecen indicados explıcitamente. En particular el determinante de L verifica| det L| = 1.

Por otro lado, la imagen de R esta contenida en el rectangulo

L(R) = {L(x1, . . . , xk, . . . , xn), (x1, . . . , xk, . . . , xn) ∈ R} =


integralRiemann.


JJ II

J I

= {(x1, ..., xk−1, xi + xk, xk+1, ..., xn), (x1, ..., xk−1, xk, xk+1, ..., xn) ∈ R} ⊂⊂ [a1, b1]× ...× [ak−1, bk−1]× [ai + ak, bi + bk]× [ak+1, bk+1]× ...× [an, bn]

= R′

Llamemos R′′ al rectangulo

R′′ = [a1, b1]× · · · × [ak−1, bk−1]× [ak+1, bk+1]× · · · × [an, bn]

Aplicando el Teorema de Fubini para calcular v(L(R)), se tiene

(*) v(L(R)) =

∫R′

χL(R) =

=

∫R′′

(∫[ai+ak,bi+bk]

χL(R)(y1, .., yk, .., yn)dyk

)d(y1, .., yk−1, yk+1, .., yn)

Ahora bien, fijo (y1, . . . , yk−1, yk+1, . . . , yn) en R′′, la funcion χR) vale uno en (y1, . . . , yk−1, yk, yk+1, . . . , yn)si y solo si este punto esta en L(R), es decir, si y solo si existe un punto (x1, . . . , xi, . . . , xk, . . . , xn) ∈R tal que

y1 = x1; . . . ; yi = xi; . . .

yk = xi + xk = yi + xk

. . . ; yn = xn


integralRiemann.


JJ II

J I

lo que equivale a que yk ∈ [yi +ak, yi + bk]. Sustituyendo estos lımites en la integral (*), se tiene

v(L(R)) =

∫R′′

(∫ yi+bk

yi+ak

1dyk

)d(y1, . . . , yk−1, yk+1, . . . , yn) =

=

∫R′′

(bk − ak)d(y1, . . . , yk−1, yk+1, . . . , yn) =

= (bk − ak)v(R′′) = v(R)

lo que prueba que tambien en este ultimo caso v(L(R)) = | det L|v(R), y termina la demostraciondel teorema.

�

Este teorema que acabamos de demostrar es el primer teorema de cambio de variable. Sipensamos en la aplicacion lineal L como una funcion de cambio de variable, L es una funcionde clase C1 en todo Rn, tal que para cada x ∈ Rn la diferencial de L en x es la propia funcionL (dL(x) = L). El teorema asegura que L transforma conjuntos medibles-Jordan en conjuntosmedibles-Jordan, y, expresando los volumenes mediante la integral de la funcion caracterıstica,que ∫

L(M)

1 = v(L(M)) = | det L|v(M) = | det L|∫

M

1 =

=

∫M

1 · | det L| =∫

M

1 ◦ L · |JL|


integralRiemann.


JJ II

J I

donde JL es el Jacobiano de L, que es la formula de cambio de variable para la funcion integrablef ≡ 1 y la funcion de cambio g = L.

El siguiente paso en la demostracion del teorema de cambio de variable general es el caso enque f es la funcion constantemente uno, y g es una funcion de clase C1. Para este resultadoutilizaremos un lema de tipo tecnico sobre el comportamiento de una funcion en relacion consu diferencial, que suele utilizarse tambien en las demostraciones de los teoremas de la funcioninversa y de la funcion implıcita del calculo diferencial.

Lema 1. Sean U un abierto de Rn, y g : U −→ Rn una funcion de clase C1 en U . Sea a ∈ Utal que dg(a) = I, la identidad en Rn, y sea r > 0 tal que la bola cerrada de centro a y radio r,B(a, r), este contenida en U . Supongamos que existe ε, 0 < ε < 1, tal que ‖dg(x)−dg(z)‖ ≤ εpara todos x, z ∈ B(a, r). Entonces

B(g(a), (1− ε)r) ⊂ g(B(a, r)) ⊂ B(g(a), (1 + ε)r)

B(a, r)

ar

g(a)(1− ε)r

(1 + ε)r

g(B(a, r))

g


integralRiemann.


JJ II

J I

Demostracion:Empecemos con el primer contenido, y veamos en primer lugar que basta demostrarlo en el casoa = g(a) = 0.

En efecto, si definimos h(x) = g(x+a)−b, donde b = g(a), definida en el abierto V = U−a,h es una funcion de clase C1 en V , con h(0) = 0 y dh(0) = dg(a) = I. Supongamos que hcumple el teorema; entonces, como g(y) = h(y − a) + b para cada y ∈ U , si

z ∈ B(g(a), (1− ε)r) = B(b, (1− ε)r) = b + B(0, (1− ε)r)

se tiene que z = b+w con w ∈ B(0, (1− ε)r). Por hipotesis, B(0, (1− ε)r) ⊂ h(B(0, r)), y portanto, existe x ∈ B(0, r) tal que w = h(x); y tomando y = x + a se tiene y ∈ B(a, r) y ademas

z = b + h(y − a) = g(y)

Es decir, B(g(a), (1− ε)r) ⊂ g(B(a, r))Ası pues, supongamos que g es una funcion de clase C1 en un abierto U de Rn que contiene a 0,

con g(0) = 0 y dg(0) = I, y sean r > 0, 0 < ε < 1 tales que B(0, r) ⊂ U , y ‖dg(x)−dg(z)‖ ≤ εpara todos x, z ∈ B(0, r). Hay que probar que para todo y ∈ B(0, (1− ε)r) existe x ∈ B(0, r)tal que y = g(x).

Dado y ∈ B(0, (1− ε)r), definimos la funcion

gy(x) = x− g(x) + y


integralRiemann.


JJ II

J I

en B(0, r). La funcion gy transforma B(0, r) en sı misma, pues para todo x ∈ B(0, r)

‖gy(x)‖ = ‖x− g(x) + y‖ ≤ ‖x− g(x)‖+ ‖y‖ =

= ‖g(x)− g(0) + dg(0)(x)‖+ ‖y‖ ≤≤ ‖x‖ · sup

z∈B(0,r)

‖dg(z)− dg(0)‖+ ‖y‖ ≤

≤ r · ε + (1− ε) · r = r

aplicando el teorema del valor medio a la funcion h(x) = g(x)− dg(0)(x).El conjunto B(0, r) es un espacio metrico completo, al ser un subconjunto cerrado de Rn,

que es completo. Y ademas gy es contractiva:

‖gy(x)− gy(z)‖ = ‖x− z + g(x)− g(z)‖ =

= ‖dg(0)(x− z)− g(x)− g(z)‖ ≤≤ ‖x− z‖ · sup

u∈B(0,r)

‖dg(0)− dg(u)‖ ≤

≤ ε‖x− z‖

aplicando el teorema el valor medio a la funcion h(x) = dg(0)(x)− g(x). Como 0 < ε < 1 porhipotesis, efectivamente la funcion gy es contractiva, y podemos aplicar el teorema del punto fijo


integralRiemann.


JJ II

J I

para asegurar que existe un unico punto x ∈ B(0, r) tal que

x = gy(x) = x− g(x) + y

Para este punto se tiene entonces g(x) = y, como querıamos demostrar.

Para el segundo contenido, dado y ∈ g(B(a, r)), existe x ∈ B(a, r) tal que y = g(x), yentonces

‖g(x)− g(a)‖ ≤ supz∈B(a,r)

‖dg(z)‖ · ‖x− a‖

aplicando el teorema del valor medio a la funcion g; por hipotesis, para cada z ∈ B(a, r)

‖dg(z)‖ ≤ ‖dg(z)− dg(a)‖+ ‖dg(a)‖ ≤ 1 + ε

y por tanto y ∈ B(g(a), (1 + ε)r), lo que termina la demostracion del teorema.�

Proposicion 3. Sea R un rectangulo en Rn, y U un abierto tal que R ⊂ U . Sea g una funcionde U en Rn, que sea un difeomorfismo de clase C1 en U . Entonces

v(g(R)) =

∫R

|Jg|


integralRiemann.


JJ II

J I

Demostracion:Si g es una aplicacion lineal, el resultado es consecuencia inmediata del teorema 2, como yaobservamos despues de su demostracion.

El caso general se demuestra aproximando g por su diferencial. Supondremos primero que Res un cubo en Rn, es decir, que tiene todos sus lados de la misma longitud. Entonces para cadaN ∈ IN , se puede dividir R en una particion de Nn cubos de lado N−1, y considerando en Rn

la norma infinito, cada cubo se puede poner a la vez como una bola para la norma. Si llamamosS a estos cubos, se tiene que v(g(R)) =

∑S v(g(S)), ası que basta demostrar el resultado para

cada cubo S, y se puede suponer que el radio de S es todo lo pequeno que sea necesario.Como g es un difeomorfismo de clase C1, la funcion x −→ ‖dg(x)−1‖ es continua en U , y

alcanzara en R su supremo por ser R compacto. Existira entonces una constante C > 0 tal que‖dg(x)−1‖ ≤ C para todo x ∈ R.

Por otro lado, dado ε, 0 < ε < 1, como la funcion x −→ ‖dg(x)‖ es uniformemente continuaen R, podemos tomar N suficientemente grande para que se verifique ‖g(x)− g(z)‖ ≤ ε/C paratodo x, z ∈ S.

Sea a el centro de S; se tiene

‖dg(a)−1 ◦ dg(x)− dg(a)−1 ◦ dg(z)‖ ≤ ‖dg(a)−1‖ · ε

C≤ ε

Por el lema anterior, dg(a)−1 ◦ g(S) contiene una bola de radio (1 − ε) por el radio de S,y esta contenido en una bola de radio (1 + ε) por el radio de S; como estas bolas son a su vez


integralRiemann.


JJ II

J I

cubos, las llamaremos Q y Q′ respectivamente, de modo que

Q ⊂ dg(a)−1 ◦ g(S) ⊂ Q′

y aplicando a cada conjunto la funcion dg(a)

dg(a)(Q) ⊂ g(S) ⊂ dg(a)(Q′)

Como dg(a) es una aplicacion lineal y dg(a)(Q) es un conjunto medible-Jordan, aplicando ellema 1, si s es el radio de S, el volumen de dg(a)(Q) verificara

v(dg(a)(Q)) = |Jg(a)|v(Q) = |Jg(a) (1− ε)nsn =

= |Jg(a)| · v(S)− ε · C1 · v(S)

para una cierta constante C1

((1− ε)n = 1 +n∑

k=1

(nk)(−1)n−kεn−k =

= 1− ε(n∑

k=1

(nk)(−1)n−k−1εn−k−1) = 1− ε · C1

Analogamente dg(a)(Q′) es un conjunto medible de volumen

v(dg(a)(Q′)) = |Jg(a)|v(Q′) = |Jg(a)| · v(S) + ε · C2 · v(S)


integralRiemann.


JJ II

J I

para una cierta constante C2.En consecuencia

|Jg(a)|v(S)− εC1 ≤ v(g(S)) ≤ |Jg(a)|v(S) + εC2v(S)

Tomando ınfimos y supremos cuando a recorre S,

mS(|Jg|) · v(S)− εC1v(S) ≤ v(g(S)) ≤ MS(|Jg|) · v(S) + εC2v(S)

Y sumando en S,

S(|Jg|, P )− εC1v(R) ≤ v(g(R)) ≤ S(|Jg|, P ) + εC2v(R)

Como esto vale para todo ε, 0 < ε < 1, y la funcion |Jg| es integrable al ser una funcioncontinua, se tiene que cumplir∫

R

|Jg| ≤ v(g(R)) ≤∫

R

|Jg|

lo que prueba el resultado.�

En la demostracion de la proposicion habıamos supuesto que R era un cubo. En el casogeneral en que R es un rectangulo, definimos δ = d(R,U c) = inf{‖x − y‖, x ∈ R, y ∈ U c},


integralRiemann.


JJ II

J I

la distancia de R al complementario de U , que es un numero estrictamente positivo al ser R uncompacto contenido en el abierto U (la demostracion se deja como ejercicio), y consideramos elconjunto K = R + B(0, δ/2), que es un compacto contenido en U y que contiene a R. Dadoε > 0 podemos escoger un rectangulo R1 tal que R ⊂ R1 ⊂ K, v(R1) ≤ v(R) + ε, y deforma que R1 se puede descomponer como union finita de cubos, R1 =

⋃ki=1 Qi (como en la

observacion 1).

R R

R2

R1K

U U


integralRiemann.


JJ II

J I

Entonces

v(g(R)) ≤ v(g(R1)) =k∑

i=1

v(g(Qi)) =n∑

i=1

∫Qi

|Jg| =∫

R1

|Jg| =

=

∫R

|Jg|+∫

R1\R|Jg| ≤

≤∫

R

|Jg|+ C · v(R1 \R) ≤∫

R

|Jg|+ C · ε

siendo C una cota de |Jg| en K, que existe por ser, por hipotesis, |Jg| una funcion continua enU , y K ⊂ U compacto.

Y analogamente, podemos escoger un rectangulo R2 contenido en R, tal que v(R) ≤ v(R2)+ε, y de modo que R2 se pueda descomponer como union finita de cubos R2 =

⋃mj=1 Qj (con un

proceso analogo al definido en la observacion 1). De este modo∫R

|Jg| ≤∫

R2

|Jg|+∫

R\R2

|Jg| ≤ v(g(R2)) + C · v(R \R2) ≤

≤ v(g(R)) ≤ v(R) + C · ε

Se deduce entonces que para todo ε > 0

−C · ε ≤ v(R)−∫

R

|Jg| ≤ C · ε


integralRiemann.


JJ II

J I

y por tanto que v(R) =∫

R|Jg|

�

Como consecuencia se obtiene con relativa facilidad el siguiente resultado, que es la terceraversion del teorema de cambio de variable:

Proposicion 4. Sea R un rectangulo en Rn, y U un abierto tal que R ⊂ U . Sea g : U −→ Rn

un difeomorfismo de clase C1 de U en g(U). Y sea f una funcion integrable en g(R). Entonces(f ◦ g) es integrable en R y∫

g(R)

f =

∫R

(f ◦ g)|Jg|

Demostracion:En primer lugar, veamos que la funcion (f ◦ g) es integrable: si notamos por D(h) el conjuntode puntos de discontinuidad de una funcion h, en general, tenemos

D(f ◦ g) = {x ∈ U, f ◦ g no es continua en x} =

= {x ∈ U, f no es continua en g(x)} =

= g−1({y ∈ g(U), f no es continua en y}) =

= g−1(D(f))

Como g−1 : g(U) −→ U es una funcion de clase C1, por la hipotesis sobre g, transformaconjuntos de medida cero en conjuntos de medida cero, y en particular el conjunto D(f), que tiene


integralRiemann.


JJ II

J I

medida cero por ser f integrable, en el conjunto de puntos de discontinuidad de la composicionf ◦ g que tendra medida cero.

En consecuencia, tambien es integrable la funcion (f ◦ g) · |Jg| por ser producto de funcionesintegrables.

En segundo lugar, dada una particion cualquiera P de R, para cada rectangulo S definido porP y cada y ∈ g(S) se tiene

mS(f ◦ g) = mg(S)(f) ≤ f(y) ≤ Mg(S)(f) = MS(f ◦ g)

(con la interpretacion habitual de mA(f) = inf{f(t), t ∈ A}, y MA(f) = sup{f(t), t ∈ A})

∫S

mS(f ◦ g) · |Jg| =∫

S

mg(S)(f) · |Jg| =

= mg(S)(f)

∫S

|Jg| = mg(S)(f)v(g(S)) =

∫g(S)

mg(S)(f) ≤

≤∫

g(S)

f ≤

≤∫

g(S)

Mg(S)(f) = Mg(S)(f)v(g(S)) = Mg(S)(f)

∫S

|Jg| =

=

∫S

Mg(S)(f) · |Jg| =∫

S

MS(f ◦ g) · |Jg|


integralRiemann.


JJ II

J I

Y tambien se tiene, trivialmente∫S

mS(f ◦ g) · |Jg| ≤∫

S

(f ◦ g)|Jg| ≤∫

S

MS(f ◦ g) · |Jg|

Restando las dos desigualdades, y sumando en S,

∣∣∣∣∫g(R)

f −∫

R

(f ◦ g)|Jg|∣∣∣∣ ≤

∑S

(MS(f ◦ g)−mS(f ◦ g))

∫S

|Jg| ≤

≤ C ·∑

S

(MS(f ◦ g)−mS(f ◦ g)) v(S) =

= C ·(S((f ◦ g), P )− S((f ◦ g), P )

)siendo C una cota de |Jg| en R. Como hemos probado ya que (f ◦g) es integrable, esta diferenciapuede hacerse tan pequena como se quiera, lo que implica que∫

g(R)

f =

∫R

(f ◦ g)|Jg|

como querıamos demostrar.�

Por ultimo, vamos a demostrar la version definitiva del teorema de cambio de variable parala integral de Riemann de funciones de varias variables:


integralRiemann.


JJ II

J I

Teorema 3 (Cambio de Variable en Rn).

Sea U un abierto de Rn, y sea g : U −→ Rn una funcion de

clase C1 en U . Sea M un conjunto medible-Jordan tal que M ⊂ U ,

y supongamos que la restriccion de g al interior de M , g|M0 es un

difeomorfismo de clase C1. Sea f una funcion integrable en g(M).

Entonces (f ◦ g) es integrable en M , y∫g(M)

f =

∫M

(f ◦ g)|Jg|

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)Podemos suponer para la demostracion que M es cerrado: en efecto, como M es acotado,

entonces M es compacto y por tanto g(M) = g(M); se tiene entonces∫g(M)

f =

∫g(M)

f =

∫g(M)

f = (1)


integralRiemann.


JJ II

J I

y si el resultado es cierto para conjuntos medibles cerrados

(1) =

∫M

(f ◦ g)|Jg| =∫

M

(f ◦ g)|Jg|

Sea entonces M un conjunto medible-Jordan, cerrado (y por tanto compacto), tal que M ⊂U . Veamos en primer lugar que la funcion (f ◦ g) es integrable en M , estudiando el conjunto depuntos de discontinuidad.

Sea δ = d(M, U c), la distancia de M al complementario de U , que es un numero estrictamentepositivo al ser M compacto, U c cerrado y M ⊂ U ; consideramos el conjunto K = M+B(0, δ/2),que es un compacto que contiene a M en su interior, y que esta contenido en U .

Como por hipotesis Fr(M) tiene contenido cero, dado 0 < ε < (δ/2)n, existe una familiafinita de cubos S1, . . . , Sk tales que Fr(M) ⊂

⋃ki=1 S0

i , y∑k

i=1 v(Si) ≤ ε; podemos suponerademas que para todo i, Si ∩ Fr(M) 6= ∅ (si no eliminarıamos ese rectangulo), con lo quenecesariamente Si ∩M 6= ∅. En particular el volumen de cada Si es menor que ε, y por tanto, sili es la longitud del lado de Si, li ≤ ε

1n ≤ δ/2, y por tanto cada Si esta contenido en K.

Consideramos A un cubo en Rn que contenga a K, y definimos una particion P de Aprolongando los lados de los cubos Si, 1 ≤ i ≤ k.


integralRiemann.


JJ II

J I

M

K

A

Si M

K

A

Si

Sea Q1 la familia de los rectangulos definidos por P que no cortan al interior de ningun Si,pero estan contenidos en el interior de M , y sea Q2 la familia de los rectangulos definidos por Pque estan contenidos en algun Si, 1 ≤ i ≤ k.


integralRiemann.


JJ II

J I

Q1 Q2

M

K

A

Si

Observese que si R es un rectangulo de los definidos por P que corta a M , necesariamente


integralRiemann.


JJ II

J I

esta en algunas de las dos familias:En efecto, si R ∈ P, y R 6∈ Q2, entonces R ∩ S0

i = ∅ para todo ,i, 1 ≤ i ≤ k, y por tantoR ∩ Fr(M) = ∅. Se tiene entonces que

R ∩M = R ∩ (M0 ∪ Fr(M)) =

= (R ∩M0) ∪ (R ∩ Fr(M)) = (R ∩M0)

de modo que si R∩M es no vacıo, serıa a la vez abierto y cerrado en R como subespacio metricode Rn, y como R es conexo, tiene que ser el vacıo o el total R; en el primer caso R no corta aM , y en el segundo R estarıa contenido en M0, y por tanto estarıa en Q1.

Llamemos

M1 =⋃{R ∈ Q1} =

⋃{R,R ∈ P , R ⊂ M0}

M2 = M \M1 ⊂⋃{R ∈ Q2} =

k⋃i=1

Si

y sean D(f ◦ g) el conjunto de puntos de discontinuidad de f ◦ g, y D(f) el conjunto de puntosde discontinuidad de f . Se tiene

D(f ◦ g) = (D(f ◦ g) ∩M1) ∪ (D(f ◦ g) ∩M2)


integralRiemann.


JJ II

J I

D(f ◦ g) ∩M1 = {x ∈ M1, f ◦ g no es continua en x} =

= {x ∈ M1, f no es continua en g(x)} =

= (g|M1)−1({y ∈ g(M1), f no es continua en y}) =

= (g|M1)−1(D(f) ∩ g(M1))

D(f) tiene medida cero, ya que por hipotesis f es integrable en g(M), y (g|M1)−1 es una

funcion de clase C1 en g(M0), que es un abierto que contiene a g(M1), por la hipotesis de que ges un difeomorfismo de clase C1 en M0. Entonces (g|M1)

−1(D(f) ∩ g(M1)) tiene medida cero,y existira una familia numerable de rectangulos {Ri} tal que

(g|M1)−1(D(f) ∩ g(M1)) ⊂

∞⋃i=1

Ri

y

∞∑i=1

v(Ri) ≤ ε

Por otro lado,

D(f ◦ g) ∩M2 = {x ∈ M \M1, f no es continua en g(x)}


integralRiemann.


JJ II

J I

es un subconjunto de M2, que esta contenido en⋃k

i=1 Si, union finita de cubos, cuya suma devolumenes es menor que ε.

En consecuencia, D(f ◦ g) esta contenido en una union numerable de rectangulos, con sumade volumenes menor o igual que 2ε.

Como esto se puede hacer para cualquier ε > 0, se tiene que D(f ◦ g) tiene medida cero, yque f ◦ g es integrable.

Como |Jg| es una funcion continua en U , en particular es continua y acotada en el compactoM , y por tanto es integrable en M ; luego la funcion (f ◦ g) · |Jg| es tambien integrable en M .Para demostrar el teorema queda por probar la igualdad de las integrales.

Sea ε > 0, y consideremos A, P , Q1 y Q2, M1 y M2 como antes.Como M1, M2, g(M1) y g(M2) son medibles-Jordan, M = M1∪M2, g(M) = g(M1)∪g(M2),

y g(M1) =⋃

R∈Q1g(R), se tiene


integralRiemann.


JJ II

J I

∫g(M)

f =

∫g(M1)

f +

∫g(M)\g(M1)

f =

=∑

R∈Q1

∫g(R)

f +

∫g(M)\g(M1)

f =

=∑

R∈Q1

∫R

(f ◦ g)|Jg|+∫

g(M)\g(M1)

f =

=

∫M1

(f ◦ g)|Jg|+∫

g(M)\g(M1)

f

de donde∫g(M)

f −∫

M1

(f ◦ g)|Jg| =∫

g(M)\g(M1)

f


integralRiemann.


JJ II

J I

y ∣∣∣∣∫g(M)

f −∫

M1

(f ◦ g)|Jg|∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫g(M)\g(M1)

f

∣∣∣∣ ≤≤∫

g(M)\g(M1)

|f | ≤∫

g(M2)

|f | ≤ (*)

≤ C1 · v(g(M2)) = C1 · v(g(⋃{Si ∩M, 1 ≤ i ≤ k})) =

= C1 ·k∑

i=1

v(g(Si ∩M)) ≤ C1 ·k∑

i=1

v(g(Si))

teniendo en cuenta que g(M)\g(M1) ⊂ g(M2) y |f | es una funcion positiva, y utilizando despuesla observacion 4; la constante C1 es una cota de |f | en el compacto K que contiene a M .

Aplicando el teorema del valor medio a la funcion g en cada rectangulo Si, si a es el centrode R, y C2 es una cota de ‖dg‖ en K, se tiene que para cada x ∈ Si existe z ∈ Si tal que

‖g(x)− g(a)‖ ≤ ‖dg(z)‖ · ‖x− a‖ ≤ C2 · ‖x− a‖

es decir, g(Si) esta contenido en un cubo de centro g(a) y lado C2 veces el lado de Si; de estemodo, v(g(Si)) ≤ Cn

2 · v(Si), para cada i, 1 ≤ i ≤ k. Por tanto∫g(M2)

|f | ≤ Ck∑

i=1

v(Si) ≤ Cε (**)


integralRiemann.


JJ II

J I

para una cierta constante C = C1 · Cn2 .

Por otro lado,∣∣∣∣∫M

(f ◦ g)|Jg| −∫

M1

(f ◦ g)|Jg|∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫M\M1

(f ◦ g)|Jg|∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∫M2

(f ◦ g)|Jg|∣∣∣∣ ≤ ∫

M2

|f ◦ g| · |Jg| ≤

≤ C1 · C3v(M2) ≤ C ′ · ε (***)

donde C3 es una cota de |Jg| en K, y C ′ = C1 · C3.Como consecuencia de las desigualdades (*), (**), y (***),

−ε · C ≤∫

g(M)

f −∫

M1

(f ◦ g)|Jg| ≤ ε · C

y

−ε · C ′ ≤∫

M1

(f ◦ g)|Jg| −∫

M

(f ◦ g)|Jg| ≤ ε · C ′

y sumando las dos desigualdades

−ε(C + C ′) ≤∫

g(M)

f −∫

M

(f ◦ g)|Jg| ≤ ε(C + C ′)


integralRiemann.


JJ II

J I

Como esto es cierto para cualquier ε > 0, se tiene la igualdad de las integrales y el fin de lademostracion del teorema.

J(Volver al enunciado) �

1. Teorema de Cambio de Variable para la Integral de Riemann. · Teorema de Cambio de Variable para...

Documents

Transcript of 1. Teorema de Cambio de Variable para la Integral de Riemann. · Teorema de Cambio de Variable para...