Teoria de la integral de riemann

Conceptos previos: partición, sumas superiores e inferiores,

integral de Riemann.

Condiciones de integrabilidad.

Propiedades de la integral (Teorema fundamental del Cálculo).

Aplicaciones: procesos acumulativos continuos (valores totales a

partir de marginales), cálculo de áreas, volúmenes, volúmenes de

revolución...

Teoría de la Integral

1

Sea una función definida y acotada en un

intervalo Construiremos la integral de en ,


:f D R R

, .a b f ,a b

, .b b

a af f x dx

ln( 2), 0,8 .f x x

15.1201609311.90128511

Aproximaciónes por exceso y por defecto,

ln( 2),

0,8 .

f x x

2, 0,10 .f x x

2

ordenados de menor a mayor tales que


Definición: Llamamos partición de un conjunto A a una colección de

subconjuntos disjuntos de A tales que su unión es el conjunto A.

1 2, ,..., ,mP P P A

1 21

... .m

m ii

P P P P A

, , 1,2,..., , .i jP P O i j m i j

Una partición de un intervalo es conjunto de puntos

0 1, ,..., ,mx x x a b

0 , .mx a x b

,a b

Así, el intervalo queda dividido en m subintervalos:

Para construir la integral consideraremos los m subintervalos

,a b

1 1 2 1, , , ,..., , .ma x x x x b

1 1 2 1, , , ,..., ,ma x x x x b

que se solapan en los extremos. 3

1x 2x 3x4xa b1mx...


Definición: Decimos que una partición es más fina

que otra si todos los elementos de están en

Ejemplos: son particiones de

es más fina que (esto es, ), ya que

0 1 0 1' ' , ' ,..., ' , ,..., .q mP P x x x x x x

0 1' ' , ' ,..., 'qP x x x 'P .P 0 1, ,..., mP x x x

' 0,3,6P

0,3,6 0,2,3,5,6 .

0,2,3,5,6 ,P 0,6 .

'P PP 'P

1 2 3 4 5 6 0

P

'P

''P''P P

'' 0,1,6 .P

'' 0,1,2,3,5,6 .P P

Puede ocurrir que dos particiones no sean comparables (p.e., y ). P ''P

La unión de dos particiones siempre es más fina que cualquiera de ellas

por separado.

0,2,3,5,6 ,P

' 0,3,6P

4


0,2

supx

f x

2,4

supx

f x

4,6

supx

f x

6,8

supx

f x

Si la función es continua tiene un

mínimo y un máximo en cada

subintervalo, y coinciden con el ínfimo

y el supremo respectivamente.

Consideremos la función definida y acotada en el

intervalo , y una partición de este. :f D R R

,a b 0 1, ,..., mP x x x

Puesto que está acotada en , lo está en cada subintervalo

Tiene, por tanto, en cada uno de ellos, un ínfimo y un supremo.

f ,a b 1, .i ix x

1 ,

sup ,i i

ix x x

M f x

1 ,

inf .i i

ix x x

m f x

5


a1x 2x b x

f x

1 2,

supx x x

f x

Si la función no es continua es

posible que en algún subintervalo

tenga un supremo pero no un

máximo, o un ínfimo pero no un

mínimo.

Consideremos la función definida y acotada en el

intervalo , y una partición de este. :f D R R

,a b 0 1, ,..., mP x x x

Puesto que está acotada en , lo está en cada subintervalo

Tiene, por tanto, en cada uno de ellos, un ínfimo y un supremo.

f ,a b 1, .i ix x

1 ,

sup ,i i

ix x x

M f x

1 ,

inf .i i

ix x x

m f x

6


Definición: Sean la función definida y acotada en el

intervalo , y una partición de este. Llamamos

suma superior asociada a y al número real

:f D R R

,a b 0 1, ,..., mP x x x

f P

1

1

, .m

i i i

i

S f P M x x

Análogamente, la suma inferior es

1

1

, .m

i i i

i

s f P m x x

Las sumas superiores e inferiores son

aproximaciones, por exceso y por defecto

respectivamente, al valor de la integral de la

función en el intervalo.

Si la función es no negativa, también son

aproximaciones al valor del área delimitada

por el eje de abscisas y la gráfica de la

función entre los extremos del intervalo. 7


Proposición: Sean y dos particiones del intervalo . Si es

más fina que se cumple que

Dem. (esbozo): Por definición,

, , ' .s f P s f P

P 'P ,a b P

'P

, , ' ,S f P S f P

En otras palabras, particiones más finas producen aproximaciones

más exactas al valor de la integral.

1

1

, ,m

i i i

i

S f P M x x

1

1

, ' ' ' ' .q

j j j

j

S f P M x x

Todos los elementos de están en , por lo que

cada subintervalo de se puede

expresar como unión de varios subintervalos de .

P

P

'P'P

1jx jx

f x

1' , 'j jx x

El supremo de la función en cada uno de estos

subintervalos de es menor o igual que el supremo

en el subintervalo de en el que éste está

contenido.

P'P

8


15.12016093 14.41126539

14.03360387 13.83865432

ln( 2), 0,8 .f x x Ejemplo:

9


11.90128511 12.80182748

13.22888492 13.43629484

ln( 2), 0,8 .f x x Ejemplo:

10


2, 0,10 .f x x

4.295243138 2.788328511

-3.610451012 -1.164518564

Ejemplo:

11


Proposición: Para cualesquiera y , particiones del intervalo

sean o no comparables, se cumple que

Dem.: Consideremos la partición

, , ' .S f P s f P

P 'P , ,a b

En otras palabras, todas las sumas superiores son mayores que las

sumas inferiores con independencia de la partición a la que estén

asociadas.

1 1

1 1

, '' '' '' '' '' '' '' , '' .r r

h h h h h h

h h

S f P M x x m x x s f P

'' '.P P P

'' ,P P , , '' .S f P S f P

'' ',P P , '' , ' .s f P s f P

, , '' , '' , ' .S f P S f P s f P s f P

12

Análogamente, la integral inferior es

Teoría de la Integral Las sumas superiores están acotadas inferiormente por cualquiera

de las sumas inferiores. Por tanto, existe un valor ínfimo de las

sumas superiores.

S

s

P m

ás fin

as

P m

ás fin

as

Definición: Llamamos integral superior de la

función en el intervalo al ínfimo de sus

sumas superiores.

f ,a b

Estas integrales existen y tienen valores reales

siempre que la función es acotada, y se cumple que

.b b

a af x dx f x dx

inf , .b

a Pf x dx S f P

, , ' .S f P s f P

, ' .b

af x dx s f P

.b b

a af x dx f x dx

Dem.: Para cualesquiera y , P 'P

Tomando el ínfimo del primer miembro,

Tomando el supremo del segundo,

.,sup PfsdxxfP

b

a

13


La integral superior de la función en el intervalo es un

único valor real

para el cual se cumple que para todo existe una partición

tal que

f ,a b

b

af x dx

0 P

0 , .b

aS f P f x dx

Las siguientes caracterizaciones de las integrales superior e inferior

serán útiles para demostrar las propiedades de la integral.

En efecto, por un lado , .b

aS f P f x dx P

Por otro lado, para todo existe una partición

suficientemente fina tal que

, .b

aS f P f x dx

0

Este valor debe ser único. Por reducción al

absurdo, si para algún y

0 , ,S f P A

0 , ,S f P B A B

A B

A

B

S

P m

ás fin

as

b

af x dx

0 A B

, ,S f P B A B , 0.S f P A 14


Definición: Las integrales superior e inferior de la función en el

intervalo son dos únicos valores reales

para los cuales se cumple que para todo existe una partición

tal que

f

,a b

b

af x dx

0 P

0 , .b

af x dx s f P

Razonando de forma análoga para la integral inferior tenemos las

siguientes definiciones.

,b

af x dx

0 , ,b

aS f P f x dx

15


Definición: Una función definida y acotada en un

intervalo es integrable si su integral superior e inferior son

iguales. Entonces, la integral de en es el valor común de las

integrales superior e inferior.

:f D R R

,a b

,a bf

.b b

a af x dx f x dx

b

af x dx

S

s

.b

af x dx

.b

af x dx

S

s

b

af x dx

Ejemplo: La función de Dirichlet definida en el intervalo por

no es integrable en .

,0

,1

Qx

QxxD

1,0

1,0 16


Definición: (Integral como número frontera entre sumas superiores

e inferiores) Una función definida y acotada en un

intervalo es integrable si y sólo si existe un único valor real

para el cual se cumple que para todo existe una partición tal

que

:f D R R ,a b

b

af x dx

0 P

0 , .b

af x dx s f P

0 , ,b

aS f P f x dx

Llamamos integral de en al valor f ,a b .b

af x dx

CNS

La siguiente definición de la integral proporciona una condición

necesaria y suficiente para que una función sea integrable.

*

* En, p.e., Puig Adam (1973) y Rey Pastor (1961). 17

Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.

Proposición (CNS de integrabilidad): Una función

definida y acotada en un intervalo es integrable si y sólo si

para todo existe una partición tal que

:f D R R

,a b

0 P

, , .S f P s f P CNS

18

.b

af x dx

,S f P

,s f P

.b

af x dx

.b

af x dx

, .s f P b

af x dx

b

af x dx ,S f P

.b

af x dx

,S f P

,s f P

0

.b

af x dx


Dem.: Si es integrable, para todo existe una partición tal

que

f P

0 , .2

b

af x dx s f P

0 , ,2

b

aS f P f x dx

, , .S f P s f P

0

CN

19




:f D R R

,a b

0 P

, , .S f P s f P





:f D R R

,a b

0 P

, , .S f P s f P

Dem.(cont.): Si no es integrable, f b

af x dx .

b

af x dx

Para un tal que b

af x dx

b

af x dx

no existe una partición tal que

, , ,S f P s f P

P

ya que para cualquier partición

, , .S f P s f P b

af x dx

b

af x dx

S

s

.b

af x dx

.b

af x dx

CS

20

Si la función es integrable en , para cualquier existe una

partición suficientemente fina tal que


Definición: (Integral considerada como límite I) Una función

definida y acotada en un intervalo es integrable en si y

sólo si para cualquier sucesión de particiones de cuya

norma tienda a cero se cumple que

,a b

La Integral considerada como límite.

Consideremos el intervalo y una sucesión numerable de particiones

. del mismo para la cual la amplitud del mayor subintervalo (o norma de

la partición) tienda a cero.

,a b

f 0P

.,, PfsPfS

kP

Por tanto, para cualquier sucesión de particiones cuya norma tienda a

cero,

.0,,lim

0max 1

kkxx

PfsPfSkii

Por otro lado, este límite sólo es cero para cualquier sucesión de particiones

cuya norma tienda a cero si se cumple (1) , y, por tanto, si la función es

integrable.

(1)

kP

f

,a b

kP ,a b

b

ak

xxk

xxdxxfPfsPfS

kiikii

.,lim,lim0max0max 11

,a b

21

existe y tiene el mismo valor para cualquier elección de , entonces la

función es integrable y su integral es el valor común del límite.



Elijamos un punto cualquiera en cada subintervalo de una

partición .Esto es,

ii xx ,1it

.i i im f t M

Por tanto, la suma verifica

P

1

1

, ,m

i i i

i

f P T f t x x

, , , , .s f P f P T S f P

Así, si es integrable en , las sumas superior e inferior tienen un

límite común, y este es el mismo que el de la suma para

cualquiera que sea la elección de en cada subintervalo. Esto es,

f ii xx ,1

, ,f P T

it

Por otro lado, si el límite

it

11

max 01

lim ,i i k

m

i i ix x

i

f t x x

11

max 01

lim .i i k

m b

i i iax x

i

f t x x f x dx

22

Se cumple que

1 2 1, ,..., , , .m i i iT t t t t x x

Observación:

Si para alguna elección de no existe el límite anterior o este es distinto

para distintas elecciones de , la función no es integrable.

Por tanto, la existencia del límite para una elección concreta de no

garantiza que la función sea integrable. Así ocurre, por ejemplo, con la

función de Dirichlet, para la cual el límite anterior tiene valor uno o cero

según como elijamos .

asociada a cualquier sucesión de particiones cuya norma

tiende a cero tiene el mismo límite para cualquiera que sea la

elección de en cada subintervalo Entonces



Definición: (Integral considerada como límite II) Una función

definida y acotada en un intervalo es integrable en si y

sólo si toda sucesión de sumas de la forma

,a b

f

kP

,a b

it

1

1

m

i i i

i

f t x x

.,1 ii xx

11

max 01

lim .i i k

m b

i i iax x

i

f t x x f x dx

it

it

it

it 23


Proposición (CS de integrabilidad): Toda función

continua en es integrable en

:f D R R

, .a b ,a b

1

1

, , ,m

i i i i

i

S f P s f P M m x x

1 ,

sup ,i i

ix x x

M f x

1 ,

inf .i i

ix x x

m f x

Dem.:

Así, para demostrar que es integrable basta con probar que para

todo existe una partición tal que f

1

1

.m

i i i i

i

M m x x

0 P

Por ser continua en un intervalo cerrado y acotado (compacto),

para todo existe un tal que

,a bf' 0 0

, ', ' , ' '.x x x x f x f x (Continuidad uniforme)

(1)

Teniendo en cuenta la definición de sumas superiores e inferiores,

24



continua en es integrable en

:f D R R

, .a b ,a b

Tomando una partición tal que 1 1,2,..., ,i ix x i m

1, ' , , ' ',i ix x x x f x f x

'.i iM m y

1 1

1 1

' ' .n m

i i i i i i

i i

M m x x x x b a

Así, para esta partición se cumple que

Tomando tenemos el resultado (1) buscado.

'b a

Dem. (cont.):

25

es la integral de en para cualquiera que haya sido la elección de

en y para cualquier sucesión de particiones cuya norma tienda a

cero.

Sea una función continua y, por tanto, integrable en . Entonces el

límite


it


11

max 01

limi i k

m

i i ix x

i

f t x x

f ,a b

ii xx ,1

f ,a b

Definición: Sea una función continua en un intervalo . Para

cualquier sucesión de particiones cuya norma tienda a cero y una

elección arbitraria de puntos en cada subintervalo

f ,a b

11

max 01

lim .i i k

m b

i i iax x

i

f t x x f x dx

it ii xx ,1

Integral de Cauchy

26

donde es la amplitud de cada intervalo en la partición , y el

número de veces que hemos repetido el proceso.

Tomemos una partición del intervalo en dos subintervalos de igual

amplitud. Subdividiendo sucesivamente cada subintervalo de una partición

en dos con la misma amplitud tenemos la sucesión de particiones:

Ejemplo:



2,1

,2

4,

2

3,

2

22,

2

3,12

P

,4

8,

4

7,

4

6,

4

5,

4

44

P

,8

16,...,

8

10,

8

9,

8

88

P

,2

,24 2

,28 3

,2,11 P ,1

,2

,...,2

,1

,

n

n

n

n

n

n

n

nPn ,2kn

...

.11 a

.2

12 a

.4

14 a

.8

18 a

.1

nan

na knP

...

.2,1,, baxxf

27

Tomemos en cada subintervalo un punto . Con esta

elección, por ser la función creciente, tenemos que el valor en cada

subintervalo coincide con el máximo de la función en el mismo. Así,

Ejemplo (cont.):



.2,1,, baxxf

i it x

,2

4,

2

3,

2

22,

2

3,12

P

,4

8,

4

7,

4

6,

4

5,

4

44

P

,8

16,...,

8

10,

8

9,

8

88

P

,2,11 P 1 1, , 2 2 1,f P T f a

,2

,...,2

,1

,

n

n

n

n

n

n

n

nPn

...

...

ii xx ,1

if t

2

3 1 4 1 3 4 1, , ,

2 2 2 2 2 2 2f P T f f

4

5 6 7 8 1, ,

4 4 4 4 4f P T f f f f

,4

1

4

8

4

7

4

6

4

5

1 2 1

, , ...n

n nf P T

n n n

...

...

28

2 2

1 11 2 ... 1 1 2 ... 1n n n n n n n n n n

n n

Ejemplo (cont.):



.2,1,, baxxf

11 2 1...

n nn n n n

n n n n n

1 2 2 1

, , ...n

n n nf P T

n n n n

n sumandos.

progresión aritmética de diferencia 1. 2

1

2

1 nnnaa n

.2

131

2

11

2

12 n

n

n

nn

nn

nnn

1

2

11max 0

1

3 1 3lim lim .

2 2i i n

n

i i ix x n

i

nf t x x xdx

n

La amplitud de los subintervalos, , tiende a cero si y sólo si

Así, nan

1 .n

29

Teoría de la Integral: Propiedades

Propiedades de la integral:

1. La integral es un número real.

2. .b a

a bf x dx f x dx

3. Linealidad (el conjunto de las f. integrables es un E.V. Y la

aplicación que asocia a cada función su integral es una A.L.).

.b b b

a a af g x dx f x dx g x dx

.b b

a ak f x dx k f x dx

3. I.

3. II.

5. Monotonía I. Si y son integrables en y f g ,a b , ,f x g x x a b

con , entonces .b b

a af x dx g x dx

En particular, si entonces 0 , ,f x x a b

a b

0.b

af x dx

4. Toda función constante es integrable y

.b

ak dx k b a

30

Teoría de la Integral: Propiedades Propiedades de la integral:

6. Monotonía II. Si es integrable en , también lo es , y f ,a b f

.b b

a af x dx f x dx

.b

af x dx A B C

a b x

f

A

B

C

7. Aditividad respecto al intervalo de

integración. Sean Una función

. es integrable en si y sólo si lo es en

. y en , y se cumple que

f.a c b

,a c ,a b

,c b

.b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

f

AC

a b x

B

b

af x dx A B C

a c b x

f

AB

A B

Sin embargo, que una función definida como valor absoluto de otra sea

integrable no garantiza que la original también lo sea.

Contraejemplo: donde es la función de Dirichlet. ,2/1xD D


3. Linealidad. .b b b

a a af g x dx f x dx g x dx 3. I.

De estas relaciones tenemos que

Dem.: Sean y integrables en Para todo existe tal que f g , .a b

0 , .2

b

af x dx s f P

0 , ,2

b

aS f P f x dx

0 P

0 , .2

b

ag x dx s g P

0 , ,2

b

aS g P g x dx

(1)

(2)

(3)

(4)

0 , , ,b b

a aS f P S g P f x dx g x dx (1)+(3)

(2)+(4) 0 , , .b b

a af x dx g x dx s f P s g P

Así, 0 , ,b b

a aS f g P f x dx g x dx

0 , .b b

a af x dx g x dx s f g P

Por tanto es integrable en y ,a bf g

.b b b

a a af g x dx f x dx g x dx 32


3. Linealidad.

Para ,

Sea integrable en Para todo existe tal que f , .a b

0 , ,b

af x dx s f P

0 , ,b

aS f P f x dx

0 P

(1)

(2)

.b b

a ak f x dx k f x dx 3. II.

0k

0 , ,b

ak S f P k f x dx k

0 , .b

ak f x dx k s f P k

,f k f

0x 1x 2x

f

k f

2M

2k M

1M

1k M

1

1,

sup , .i i

i ix x x

f x f x x x x

1

1,

sup , .i i

i ix x x

k f x k f x x x x

1 1, ,

sup sup .i i i ix x x x x x

k f x k f x

(3)

(4)

Dem.:

33


Dem. (cont.):

3. Linealidad. .b b


1 ,1

, supi i

m

i i ix x xi

k S f P k f x x x

1 ,1

sup , .i i

m

i i ix x xi

k f x x x S k f P

0 , .b

aS k f P k f x dx k

Por tanto,

0 , .b

ak S f P k f x dx k (3)

Así, cuando (3) es equivalente a 0k

De forma análoga, cuando (4) es equivalente a 0k

0 , .b

ak f x dx s k f P k

Esto garantiza que, para todo la función es integrable en

y 0k k f ,a b

.b b


34


3. Linealidad.

Para ,

Dem. (cont.):

0 , ,b

af x dx s f P

0 , ,b

aS f P f x dx (1)

(2)

.b b


0k

0 , ,b

ak S f P k f x dx k

0 , .b

ak f x dx k s f P k

1

1,

sup , .i i

i ix x x

f x f x x x x

1

1,

sup , .i i

i ix x x

k f x k f x x x x

11

,,

sup inf .i i

i ix x xx x x

k f x k f x

(5)

(6)

,f k f

0x 1x 2x

f

k f

2M1k M

1M

2k M

35


3. Linealidad.

Dem. (cont.):

.b b


0 , .b

ak S f P k f x dx k (5)

1 ,1

inf , .i i

m

i i ix x x

i

k f x x x s k f P

Por tanto,

Así, cuando (5) es equivalente a 0k

De forma análoga, cuando (6) es equivalente a 0k

Esto garantiza que, para todo la función es integrable en

y 0k k f ,a b

.b b


1 ,1

, supi i

m

i i ix x xi

k S f P k f x x x

0 ,b

as k f P k f x dx k 0 , .

b

ak f x dx s k f P k

0 ,b

ak f x dx S k f P k 0 , .

b

aS k f P k f x dx k

36


3. Linealidad.

Dem. : Esta propiedad se puede demostrar también aplicando el concepto

de integral considerada como límite.

.b b


Debemos demostrar que existe el límite

b

a

m

i

iiixx

dxxfxxfkii

.lim1

10max 1

m

i

iiixx

xxfkkii 1

10max 1

lim

y tiene el mismo valor para cualquier elección de y cualquier sucesión

de particiones cuya norma tienda a cero. Esto se cumple para , por ser

integrable, y

if

Por tanto,

m

i

iiixx

m

i

iiixx

xxfkxxfkkiikii 1

10max

1

10max 11

limlim

b

adxxfk

En consecuencia es integrable y su integral es b

adxxfkfk

37


4. Toda función constante es integrable y

.b

ak dx k b a

1 1

1 1

, .m m

i i i i

i i

S k P k x x k x x k b a

Para cualquier partición , PDem.:

1 1

1 1

, .m m

i i i i

i i

s k P k x x k x x k b a

, , .b

as k P s k P k dx k b a

Así, es claro que

38


5. Monotonía I. Si y son integrables en y f g ,a b , ,f x g x x a b

con , entonces .b b

a af x dx g x dx a b

Dem.: f g ,a b

, , .b

af x dx s f P s g P

, .f x g x x a b Sean y integrables en y

Por reducción al absurdo, si ,b b

a af x dx g x dx

,S f P

,s f P

b

af

,S g P

,s g P

b

ag

para cualquier 0b b

a ag x dx f x dx

existe una partición tal que

, .b b b

a a aS f P f x dx g x dx f x dx

Esto es, , ,b

aS f P g x dx

lo cual contradice (1).

Para cualquier partición ,P

y

, , ,b

aS f P S g P g x dx (1)

39


6. Monotonía II. Si es integrable en , también lo es , y f ,a b f

.b b

a af x dx f x dx

Dem.: Empezamos demostrando que la función es integrable en f , .a b

1

1

1,,1

, , sup infi i i

i i i

m

i ix x xx x xi

S f P s f P f x f x x x

11

1,,1

sup inf , , .i i i

i i i

m

i ix x xx x xi

f x f x x x S f P s f P

Igual si sup. e inf. son del mismo signo.

, , , , ,S f P s f P S f P s f P

Por ser integrable, para todo existe una partición tal que

Para cualquier partición de se cumple que

f P

P ,a b

0

y es integrable en f , .a b

40


6. Monotonía II. Si es integrable en , también lo es , y f f

.b b

a af x dx f x dx

Dem. (cont.):

,f x f x x a b

, .f x f x x a b

Por la propiedad de monotonía anterior,

,b b

a af x dx f x dx

.b b b

a a af x dx f x dx f x dx

.b b

a af x dx f x dx

,a b

41


7. Aditividad respecto al intervalo de integración. Sean

Una función .es integrable en si y sólo si lo es en y en

. , y se cumple que f

.a c b ,a c ,a b

,c b .b c b


a c b x

f

AB

Dem.: Empezamos demostrando que si es integrable en y

también lo es en ,a cf ,c b

, .a b

Por ser integrable en y , para cualquier existen particiones

y de y respectivamente tales que ,a c ,c b

1P0

2P ,a c ,c b

1 1, , ,2

S f P s f P

2 2, , ,2

S f P s f P

Así, es una partición de para la cual 1 2P P ,a b

1 2 1 2, , , ,S f P P S f P S f P

1 2 1 2, , , .s f P P s f P s f P

Por tanto, 1 2 1 2, ,S f P P s f P P

y es integrable en , .a bf42

Demostramos ahora que si es integrable en también lo es en

y Por ser integrable en , para cualquier existe una

partición de tal que


Dem. (cont.):

,a cf , .c b

,a b

,a b

P

0

, , .S f P s f P ,a b

Si no está en , consideramos la partición que resulta de añadir a

el punto . Por ser más fina cumple también la relación anterior.

Descomponiendo en dos particiones, y , de y

respectivamente,

c P 'P Pc

'P1P 2P

1 2' ,P P P

1 1 2 2, , , , , , ,S f P s f P S f P s f P S f P s f P

donde cada sumando es positivo y, por tanto, menor que . En

consecuencia, la función es integrable en los dos subintervalos y

,a c




.a c b ,a c ,a b

,c b .b c b


,a c , .c b

,c b

43

Demostremos ahora que


Dem. (cont.): .b c b


10 , .2

c

af x dx s f P

10 , ,2

c

aS f P f x dx

Las integrales de en y son dos únicos valores para los cuales

se cumple que para cualquier existen particiones y de y

de respectivamente tales que

,a c ,c b

1P0 2P ,a c

,c b

f

20 , .2

b

cf x dx s f P

20 , ,2

b

cS f P f x dx

1 20 , , ,c b

a cS f P S f P f x dx f x dx

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)+(3)

(2)+(4) 1 20 , , .c b

a cf x dx f x dx s f P s f P

1 2, , .S f P P P P

1 2, , .s f P P P P




.a c b ,a c ,a b

,c b .b c b


como queríamos demostrar. 44


2 ,

0,3 .

f x x E x

x

Ejemplo:


acotada y con un número finito de puntos de discontinuidad en

es integrable en

:f D R R

, .a b

,a b

RRDf :

integrable fderivable f continua f

2 ,

0,3 .

f x x E x

x

, .a b

En otras palabras, las funciones continuas y las que sólo son

discontinuas en un número finito de puntos son funciones integrables.

45

de para la cual

es continua y, por tanto, integrable, en el intervalo cerrado Por

tanto existe una partición de tal que



acotada y con un número finito de puntos de discontinuidad en

es integrable en

:f D R R

, .a b

,a b

Dem.: Sin pérdida de generalidad, supongamos que tiene una única

discontinuidad en Para demostrar que es integrable en

basta con demostrar que lo es en y en , .c a b

f

Consideremos el intervalo (la dem. para es análoga).

,a b ,a c , .c b

,a c

, .a c

f

,a c P , , .S f P s f P

Sea la partición de que resulta de añadir a . 'P c P

Y sean y el supremo e ínfimo de en

, .a c

H h f

, , 1S f P s f P H h H h

Sean y el supremo e ínfimo de en

, .c c

M m f

1 .M m

Para todo existe una partición ' 1 0M m 'P

,a c

,a c

, ' , ' 1 '.S f P s f P H h

xa bcc

f

m

MHh

,c b

f

46


Existen, además, funciones con un número infinito de puntos de

discontinuidad que son integrables.

Ejemplo:

1

2

1

3

1

4

1

5

1

610

10,1 ,

1

0 0.

si x

Ef xx

si x

47

Teoremas fundamentales del cálculo integral.

Proposición: Sea una función definida, acotada e

integrable en un intervalo , y sean y el supremo y el

ínfimo de en . Entonces existe algún tal que

:f D R R ,a b M m

f ,a b ,m M

.b

af x dx b a

a b x

f

M

m

a b x

f

M

m

, ,m f x M x a b

.b b b

a a am dx f x dx M dx

.

b

af x dx

m Mb a

.b

am b a f x dx M b a

, , .

b

af x dx

m Mb a

En efecto,

(Promedio integral) a b x

f

M

m


Proposición (Teorema de la Media): Sea una

función continua en un intervalo . Entonces existe algún

tal que

:f D R R ,a b ,c a b

.b

af x dx f c b a

, , .

b

af x dx

m Mb a

Dem.: Por ser la función continua alcanza en el

intervalo un máximo y un mínimo globales, y

estos coinciden con su supremo y ínfimo

respectivamente.

Sabemos que

Por el Teorema de Darboux la función, continua en un compacto, toma

todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo. Por tanto,

, , .

b

af x dx

c a b f cb a

a b x

f

M

m

f c

c

49


Proposición (Teorema de la Media): Sea una

función continua en un intervalo . Entonces existe algún

tal que

:f D R R ,a b ,c a b

.b

af x dx f c b a

Observaciones:

1. A menos que la función sea

monótona, en general no hay

garantía de que el punto que verifica

la relación sea único.

2. Que exista un punto que

verifique la relación no garantiza

que la función sea continua.

,c a b

a b x

f

M

m

c 'c

a b x

f

M

m

c 50


Proposición: Sea una función integrable en un

intervalo . Entonces la función :f D R R

,a b

, ,x

ax f t dt x a b

es continua en

(Función integral)

, .a b

a b

f

tx

x

a b

f

tx

x

x h

x h x

Dem.:

x h x

a af t dt f t dt

.x h

xf t dt

,,

sup , inf .t x x ht x x h

M f t m f t

Sean

Por ser integrable en f ,m M , ,x x h

.x h

xf t dt x h x h

tal que

x h x

Así,

0 0

lim lim 0,h h

x h x h

y es continua.


Proposición (Primer teorema fundamental del cálculo):

Sea una función continua en un intervalo .

Entonces la función integral :f D R R ,a b

es derivable en y se cumple que ,a b ' , .x f x x a b

, ,x

ax f t dt x a b

Dem.: La función integral es derivable si existe y es real el límite

0 0

1lim lim .

x h

xh h

x h xf t dt

h h

Por ser continua, según el teorema de la media tal que f ,c x x h

0 0 0

1 1lim lim lim .

x h

xh h hf t dt f c h f c f x

h h

.x h

xf t dt f c x h x f c h

Teniendo en cuenta que cuando c x 0,h

Por tanto, ' .x f x continua. f

52


' .f x dx F x F x f x x A

Definición: Una función es una primitiva de otra en un

conjunto si la derivada de la primera coincide con la segunda,

F f

Si es una primitiva de , para cualquier constante la función

también es una primitiva de . En efecto, F f c

G F c f

' ' .G x F x x

Por el primer teorema fundamental sabemos que una función

continua en un intervalo tiene al menos una primitiva, la función

integral. Si tiene otras, estas difieren sólo en una constante.

A

53

Puesto que y difieren en una

constante. Esto es, para algún real,


Proposición (Segundo teorema fundamental del cálculo o regla

de Barrow): Sea una función continua en un

intervalo . Y sea tal que :f D R R

,a b

Entonces

' , .F x f x x a b F

.b b

aaf x dx F b F a F x

Dem.: Por ser continua, la función integral es derivable y

' , .x f x x a b

f

, .x

ax f t dt F x c x a b

Fc

0 .a

aa f t dt F a c

.b

ab f t dt F b F a

En el extremo inferior,

En el extremo superior,

.c F a

,,'' baxxFx

54


función función integral .x

ax f t dt f

integrable, f existe y es continua.

continua

num. finito de

puntos de discont.

ff

CS

continua, f derivable y ' .x f x

(es una primitiva de ) f. tiene al menos

una primitiva

f

CS Para cualquier primitiva de , F f

.b

af t dt F b F a

En resumen,

(Barrow)

55


7

2

1.dx

xEjemplo:

56

es continua y, por tanto, integrable, y su función integral es

derivable –es una primitiva de -.

f

f

2

1 1, ' .

x

x dt xt x

La función integral así expresada no es útil para la aplicación de la

regla de Barow.

7 7 2 77

22 2 2 2

1 1 1 17 2 .dx x dt dt dt

x t t t

0

La función también es una primitiva de . Así, lnF x x f

7 7

22

17 2 ln7 ln 2.dx F x F F

x

La función integral es 2

12 ln ln 2.

x

x dt F x F xt

c

Cambio de variable.

t x g t

x f x ,c d ,a b

Esta relación se obtiene haciendo la

sustitución , ' .x g t dx g t dt

Proposición: Sea una función continua en Y

sea una función monótona de clase en un

intervalo tal que y

:f D R R , .a b

Entonces

: 'g D R R 1C

,c d .g c a g d b

' .b d

a cf x dx f g t g t dt

.1

32

xxf

.12 tetg t

.2

11

3'

22te

tetgtgf t

t

Ejemplo:

a bc

d

57

Cambio de variable.

Proposición: Sea una función continua en Y

sea una función de clase en un intervalo

tal que y

:f D R R , .a b

Entonces

: 'g D R R 1C ,c d

.g c a g d b

' .b d

a cf x dx f g t g t dt

Dem.: Por ser continua la función integral, , es

derivable y f

x

adzzfx

.' xfx

Esto es, es una primitiva de . f

La función

es composición de dos funciones de clase , y, por tanto, también de

clase . Aplicando la regla de la cadena,

tg

adzzftgtg

1C1C

.'''' tgtgftgtgtg

Por tanto, es una primitiva de (la existencia de

una primitiva está garantizada porque la función subintegral es continua), y

tg tgtgf '

cgdgtgdttgtgfd

c

d

c '

b

adzzfab . 58

'd

En efecto, si la función no es monótona y existen

dos valores y tales que

entonces

Cambio de variable.

Observación: El requisito de monotonia que algunos autores exigen a la

función se puede suavizar. g

'dd ,'dgdg

,'''

d

c

d

cdttgtgfdttgtgf

ya que .0'''

d

d

d

dtgdttgtgf

a b

c

d

.xxf

.242 tttg

.' tgtgf

.820122' 23 ttttgtgf

Ejemplo:

59

Referencias:

Balbas, Gil, Gutierrez (1988). Análisis matemático para la Economía II. Ed.

AC.

Spivak, Michael (1970). Calculus. Cálculo infinitesimal. Vol.II. Ed. Reverté.

Apostol, Tom M. (1960). Análisis Matemático. Ed. Reverté.

Puig Adam, P. (1973). Cálculo integral. Ed. Biblioteca Matemática. Madrid.

Rey Pastor, J. (1961). Elementos de la Teoría de Funciones. Madrid.

60

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