La Integral de Riemann

Mauricio Vargas S.

8 de marzo de 2014

Índice general

1. La Integral de Riemann 2

1.1. Supremo e Ín�mo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Concepto de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Condiciones de Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Cálculo con Integrales 11

2.1. Teoremas Importantes del Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. La Integral Como Límite de Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Integrales Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Convergencia de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Ejercicios 24

3.1. Ejercicios del Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2. Ejercicios del Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Integrales Propuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4. Soluciones de las Integrales Propuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

CAPÍTULO 1

La Integral de Riemann

1.1. Supremo e Ín�mo

Aclaración importante: En todo lo que sigue A y B serán conjuntos no vacíos deR, el conjunto X sereferirá a X ⊂ R y siempre se asumirá que X ≠ ∅, las particiones P y Q serán subconjuntos �nitos de[a, b]. y dada una función acotada f ∶ X → R usaremos la siguiente notación:

sup f = sup f (X) = sup{ f (x) ∶ x ∈ X}

ınf f = ınf f (X) = ınf{ f (x) ∶ x ∈ X}

Lema 1.1.1. Sean A, B ⊂ R tales que, para todo x ∈ A y todo y ∈ B se tiene que x ≤ y. EntoncessupA ≤ ınf B. Para que supA = ınf B es necesario y su�ciente que, para todo ε > 0 dado, existan x ∈ Ae y ∈ B tales que y − x < ε.

Demostración. Todo y ∈ B es una cota superior de A, luego supA ≤ y. Esto prueba que supA es unacota inferior de B, por lo tanto supA ≤ ınf B. Si la desigualdad es estricta supA < ınf B entoncesε = ınf B−supA > 0 e y−x ≥ ε para cualquier x ∈ A, y ∈ B.Recíprocamente, si supA = ınf B entonces,para todo ε > 0 dado, supA− ε/2 no es una cota superior de A e ınf B + ε/2 no es una cota inferiorde B, luego existen x ∈ A e y ∈ B tales que supA− ε/2 < x ≤ supA = ınf B ≤ y < ınf B + ε/2.

Lema 1.1.2. Sean A, B ⊂ R conjuntos acotados y c ∈ R. También son acotados los conjuntos A+ B ={x + y ∶ x ∈ A, y ∈ B} y cA = {cx ∶ x ∈ A}. Además, se tiene que supA + B = supA + supB,ınf A+B = ınf A+ ınf B y sup cA = c ⋅ supA, ınf cA = c ⋅ ınf A, en el caso en que c ≤ 0. Si c < 0 entoncessup cA = c ⋅ ınf A e ınf cA = c ⋅ supA.

Demostración. Sean a = supA y b = supB, para todo x ∈ A e y ∈ B se tiene que x ≤ a e y ≤ b, luegox + y ≤ a + b. Por lo tanto, a + b es una cota superior de A+ B. Además, dado ε > 0, existen x ∈ A ey ∈ B tales que a − ε/2 < x y b − ε/2 < y, donde a + b − ε < x + y. Esto prueba que a + b es la menor

2

cota superior de A + B., es decir, que supA + B = supA + supB. La igualdad sup cA = c ⋅ supA esobvia si c = 0. Si c > 0, dado cualquier x ∈ A se tiene que x ≤ a, luego cx ≤ ca. Por lo tanto ca es unacota superior del conjunto cA. Además, dado cualquier número d menor que ca, se tiene que d/c < a,luego existe x ∈ A tal que d/c < x. Sigue que d < cx. Esto prueba que ca es la menor cota superior decA, es decir, que sup cA = c ⋅ supA. Los demás casos se demuestran de forma análoga.

Corolario 1.1.1. Sean f , д ∶ X → R funciones acotadas. Para todo c ∈ R son acotadas las funcionesf + д, c f ∶ X → R. Se tiene además que sup f + д ≤ sup f + sup д, ınf f + д ≥ ınf f + ınf д, sup c f =c ⋅ sup f e ınf c f = c ⋅ ınf f cuando c ≥ 0. En eñ caso en que c < 0, se tiene que sup c f = c ⋅ ınf f eınf c f = c ⋅ sup f .

Demostración. En efecto, sean A = f (X), B = д(X), C = ( f + д)(X) = { f (x) + д(x) ∶ x ∈ X}.Evidentemente C ⊂ A + B, luego sup f + д = supC ≤ supA + B = supA + supB = sup f + sup д.Además, sup c ⋅ f = sup{c ⋅ f (x) ∶ x ∈ X} = sup cA = c ⋅ supA, cuando c ≥ 0. Los demás casos sedemuestran de forma análoga.

Observación. Puede darse el caso que sup f + д < sup f + sup д e ınf f + д > ınf f + ınf д. Bastatomar f , д ∶ [0, 1]→ R, f (x) = x y д(x) = −x.

Lema 1.1.3. Dada f ∶ X → R acotada, sean m = ınf f , M = sup f y ω = M − m. Entonces ω =sup{∣ f (x) − f (y)∣ ∶ x , y ∈ X}.

Demostración. Dados x , y ∈ X arbitrarios, para �jar ideas sea f (x) ≥ f (y). Entonces m ≤ f (y) ≤f (x) ≤ M, donde ∣ f (x) − f (y)∣ ≤ M −m = ω. Por otra parte, para todo ε > 0 es posible tomar unpar x , y ∈ X tal que f (x) > M − ε/2 y f (y) < m + ε/2. Entonces

∣ f (x) − f (y)∣ ≥ f (x) − f (y) > M −m − ε = ω − ε

Así, ω es la menor de las cotas superiores del conjunto {∣ f (x) − f (y)∣ ∶ x , y ∈ X}.

Lema 1.1.4. Sean A′ ⊂ A y B′ ⊂ B conjuntos acotados. Si, para cada a ∈ A y cada b ∈ B, existen a′ ∈ Ay b′ ∈ B tales que a ≤ a′ y b′ ≤ b, entonces supA′ = supA y ınf B′ = ınf B.

Demostración. Es claro que supA es un cota superior de A′. Si c < supA existe a ∈ A con c < a, luegoexiste a′ ∈ A′ con c < a ≤ a′, por lo tanto c no es una cota superior de A′. Así, supA es la menor cotasuperior de A′, esto es, supA = supA′. El otro caso es análogo.

1.2. Concepto de Integral

De�nición 1.2.1. Una partición del intervalo [a, b] es un subconjunto �nito de puntos

P = {t0, t1, . . . , tn} ⊂ [a, b]

tal que a ∈ P y b ∈ P.

3

En todo lo que sigue a = t0 < t1 < . . . < tn = b. El intervalo [ti−1, ti] de longitud ti − ti−1 será el i-ésimointervalo de la partición y∑n

i=1(ti − ti−1) = b − a.

Sean P y Q particiones de [a, b]. Se dice que Q re�na la partición P si P ⊂ Q. La forma más simplede re�nar una partición es agregándole un punto.

Dada una función acotada f ∶ [a, b] → R, se usará la notación m = ınf{ f (x) ∶ x ∈ [a, b]} yM = sup{ f (x) ∶ x ∈ [a, b]}.

En particular m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Si P = {t0, t1, . . . , tn} es una partición de [a, b]la notación mi = ınf{ f (x) ∶ ti−1 ≤ f (x) ≤ ti}, Mi = sup{ f (x) ∶ ti−1 ≤ f (x) ≤ ti} y ωi = Mi − miindicará el ín�mo, supremo y la variación de f en el i-ésimo intervalo de P. En el caso en que f escontinua, mi yMi son los valores que f efectivamente toma en [ti−1, ti]. En particular, en este casoexisten xi , yi ∈ [ti−1, ti] tales que ωi = ∣ f (yi) − f (xi)∣.De�nición 1.2.2. La suma inferior de Riemann de f relativa a la partición P es el valor

I( f , P) = m1(t1 − t0) + . . . +mn(tn − tn−1) =n∑i=1

mi(ti − ti−1)

De�nición 1.2.3. La suma superior de Riemann de f relativa a la partición P es el valor

S( f , P) = M1(t1 − t0) + . . . +Mn(tn − tn−1) =n∑i=1

Mi(ti − ti−1)

Es claro que m(b − a) ≤ I( f , P) ≤ S( f , P) ≤ M(b − a) independientemente de la partición elegida.Además, S( f , P) −I( f , P) = ∑n

i=1 ωi(ti − ti−1).

Cuando no haya posibilidad de confusión la notación será I(P) y S(P) en lugar de I( f , P) yS( f , P) respectivamente.

a bt1 t2 t3 t4 t5 a bt1 t2 t3 t4 t5

Suma inferior Suma superior

En caso de que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], los valores deI( f , P) y S( f , P) son valores aproxima-dos, por dé�cit y por exceso respectivamente, del área delimitada por a y b verticalmente y por lacurva que describe f y el eje x horizontalmente. Es decir, la suma superior o inferior de Riemann deuna función positiva corresponde a una aproximación del área bajo la curva que describe f .

4

De�nición 1.2.4. La integral inferior y la integral superior de una función acotada f ∶ [a, b] → Restán de�nidas respectivamente por

∫ b

af (x)dx = sup

PI( f , P) y ∫ b

af (x)dx = ınf

PS( f , P)

donde el supremo e ín�mo son tomados en relación a todas las particiones P del intervalo [a, b].

Teorema 1.2.1. Cuando se re�na una partición, la suma inferior no disminuye y la suma superior noaumenta. Es decir, P ⊂ Q ⇒ I( f , P) ≤ I( f ,Q),S( f ,Q) ≤ S( f ,Q).

Demostración. Supongamos que la partición Q = P ∪ {r} resulta de agregar a P un punto r tal queti−1 < r < ti . Sean m′ y m′′ los in�mos de los intervalos [ti−1, r] y [r, ti] respectivamente. Es claro quemi ≤ m′, mi ≤ m′′ y ti − ti−1 = (ti − r) + (r − ti−1). Por lo tanto,

I( f ,Q) −I( f , P) = m′′(ti − r) +m′(r − ti−1) −mi(ti − ti−1)= (m′′ −mi)(ti − r) + (m′ −mi)(r − ti−1) ≥ 0

Aplicando inducción, repitiendo el procedimiento anterior para obtener Q agregando k puntos a P,se tiene el resultado general. De manera análoga, P ⊂ Q ⇒ S( f ,Q) ≤ S( f , P).

Corolario 1.2.1. Para dos particiones cualquiera P y Q del intervalo [a, b] y cualquier función acotadaf ∶ [a, b]→ R se tiene que I( f , P) ≤ S( f , P).

Demostración. P ∪ Q re�na a las particiones P y Q, luego I( f , P) ≤ I( f , P ∪ Q) ≤ S( f , P ∪ Q) ≤S( f ,Q).

Corolario 1.2.2. Dada f ∶ [a, b]→ R, si m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] entonces

m(b − a) ≤ ∫ b

af (x)dx ≤ ∫ b

af (x)dx ≤ M(b − a).

Demostración. Las desigualdades de los extremos deberían ser claras y la desigualdad central seobtiene aplicando directamente el corolario 1.2.1 y el lema 1.1.1.

Corolario 1.2.3. Sea P0 una partición de [a, b]. Si consideramos las sumas de Riemann I( f , P) yS( f , P) relativas a las particiones P que re�nan P0, se obtienen los mismos valores para ∫ b

a f (x)dx y

∫ ba f (x)dx.

Demostración. Se obtiene aplicando el teorema 1.2.1 y el lema 1.1.4.

5

De�nición 1.2.5. Una función acotada f ∶ [a, b] → R es Riemann integrable cuando la integralsuperior y la integral superior de esta son iguales. Es decir,

∫ b

af (x)dx = ∫ b

af (x)dx .

Este valor se llama integral de Riemann y se denota simplemente como ∫ ba f (x)dx cuando ambas

integrales, superior e inferior, coinciden.

Note que x es una variable muda. En efecto, es indistinto escribir ∫ ba f (t)dt en lugar de ∫ b

a f (x)dx.Cuando no haya posibilidad de confusión la notación será simplemente ∫ b

a f .

La integral de Riemann, por consistir en sumas de Riemann, se aproxima al área bajo la curva de f ycuando la suma inferior y superior son iguales es posible re�nar las particiones de [a, b] de maneraque la ingral de Riemann converga al verdadero valor del área bajo la curva de f .

Hasta ahora se ha mencionado el caso de las funciones positivas para dar un signi�cado geométricoa la integral. Si f (x) ≥ 0 en [a, b] o f (x) cambia de signo en [a, b] la interpretación geométrica noes tan clara pero las sumas y la integral de Riemann obedecen a la misma lógica.

En término generales el área interna ∫ ba f (x)dx y el área externa ∫ b

a f (x)dx, siguiendo un criteriogeométrico, pueden ser diferentes.

Ejemplo 1.2.1. Sea f ∶ [a, b]→ R de�nida por

f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si x ∈Q0 si x ∈ I

Dada una partición arbitraria P, como cada intervalo [ti−1, ti] contiene números racionales e irracio-nales. tenemos que mi = 0 yMi = 1, luegoI( f , P) = 0 y S( f , P) = b − a. Así, f no es integrable deacuerdo al criterio de Riemann, pues ∫ b

a f (x)dx = 0 y ∫ ba f (x)dx = b − a.

Ejemplo 1.2.2. Sea f ∶ [a, b] → R de�nida por f (x) = c para todo x ∈ [a, b]. Entonces, in-dependientemente de la partición P, se tiene que mi = Mi = c en todos los intervalos, luegoI( f , P) = S( f , P) = c(b − a). De este modo f es integrable, con ∫ b

a f (x)dx = ∫ ba f (x)dx ∫ b

a f (x)dx.

Teorema 1.2.2. Sea f ∶ [a, b]→ R acotada. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

Proposición 1 f es integrable.

Proposición 2 Para todo ε > 0, existen particiones P y Q de [a, b] tales que S( f ,Q) −I( f , P) < ε.

Proposición 3 Para todo ε > 0, existe una partición P = {t0, t1, . . . , tn} de [a, b] tal que S( f , P) −I( f , P) = ∑n

i=1 ωi(ti − ti−1) < ε.

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Demostración. Sean A el conjunto de todas las sumas inferiores y B el conjunto de todas las sumassuperiores de f . Aplicando el corolario 1.2.1, se tiene que I ≤ Spara todo I ∈ A y S ∈ B. Si 1 esválida, entonces supA = supB. Luego, aplicando el lema 1.1.1, se concluye que 1⇒ 2. Para probar que2⇒ 3 basta observar que S( f ,Q) −I( f , P) < ε entonces, como P ∪ Q re�na a P y Q, aplicandoel teorema 1.2.1 que I( f , P) ≤ I( f , P ∪ Q) ≤ S( f , P ∪ Q) ≤ S( f ,Q), de donde se concluye queS( f , P ∪ Q) −I( f , P ∪ Q) < ε. Finalmente, 3⇒ 1 se obtiene aplicando el lema 1.1.1.

Ejemplo 1.2.3. Sea f ∶ [a, b]→ R de�nida por

f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

c si a < x ≤ bd si x = a

Supongamos que f es integrable, con ∫ ba f (x)dx = c(b − a). Supongamos que c < d para �jar

ideas. Entonces, dada una partición P = {t0, t1, . . . , tn} cualquiera tenemos que m1 = c, M1 = d ymi = Mi = c para 1 < i ≤ n. Por lo tanto,S( f , P)−I( f , P) = (d− c)(t1− t0). Dado ε > 0 arbitrario, sepuede tomar una partición P con t1 − t0 < ε/(d − c) y se tiene que S( f , P) −I( f , P) < ε. Luego f esintegrable. Además, comoI( f , P) = c(b−a) para toda partición P, se tiene que ∫ b

a f (x)dx = c(b−a)y siendo f integrable resulta que ∫ b

a f (x)dx. El resultado también es válido cuando f (x) = c paratodo x ∈ [a, b) y f (x) = c para todo x ∈ (a, b).

1.3. Propiedades de la integral

Teorema 1.3.1. Sea a < c < b. Una función acotada f ∶ [a, b]→ R es integrable si, y sólo si, f restringidaa [a, c] y [c, b] es integrable. Si esto es cierto, se tiene que ∫ b

a f (x)dx = ∫ ca f (x)dx + ∫ b

c f (x)dx.

Demostración. Sean A y B los conjuntos de las sumas inferiores de f ∣[a, c] y f ∣[c, b] respectivamente.A+ B es el conjunto de las sumas inferiores de f relativas a las particiones de [a, b] que contienen alpunto c. Aplicando el corolario 1.2.3, para calcular la integral inferior de f , bastará considerar lasparticiones mencionadas, pues re�nan la partición P0 = {a, b, c}. Aplicando el lema 1.1.2

∫ b

af (x)dx = supA+ B = supA+ supB = ∫ c

af (x)dx + ∫ b

cf (x)dx .

Análogamente

∫ b

af (x)dx = supA+ B = supA+ supB = ∫ c

af (x)dx + ∫ b

cf (x)dx .

Luego

∫ b

af (x)dx − ∫ b

af (x)dx = ( ∫ c

af (x)dx − ∫ c

af (x)dx) + ( ∫ b

cf (x)dx − ∫ b

cf (x)dx) .

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Como las integrales que aparecen dentro de los paréntesis son no negativas, su suma será cero siambas son nulas. Así, f es integrable si, y sólo si, f restringida a [a, c] y [c, b] lo es. En caso a�rmativoes valida la igualdad ∫ b

a f (x)dx = ∫ ca f (x)dx + ∫ b

c f (x)dx.De�nición 1.3.1. Una función f ∶ [a, b]→ R es escalonada si existe una partición P = {t0, t1, . . . , tn}de [a, b] y números reales c1, . . . , cn tales que f (x) = ci cuando ti−1 < x < ti . Note que esta de�niciónnada dice sobre los valores de f (ti).Ejemplo 1.3.1. Aplicando el teorema 1.3.1 y el ejemplo 1.2.3 se tiene que toda función escalonada esintegrable.

La igualdad ∫ ba f (x)dx = ∫ c

a f (x)dx + ∫ bc f (x)dx tiene sentido cuando a < c < b. Para que sea válida

sean cuales sean a, b, c ∈ R, asumiremos que ∫ aa f (x)dx = 0 y ∫ b

a f (x)dx = − ∫ ab f (x)dx en todo

lo que sigue. Estas igualdades aplican a toda función integrable. Las posibilidades a considerar son:a ≤ b ≤ c, a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c, b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b y c ≤ b ≤ a. En cada caso, la integrabilidad se tienesi f es integrable en el mayor intervalo.

Teorema 1.3.2. Sean f , д ∶ [a, b]→ R integrables. Entonces

Proposición 1 f + д es integrable y

∫ b

a[ f (x) + д(x)]dx = ∫ b

af (x)dx + ∫ b

aд(x)dx .

Proposición 2 f ⋅ д es integrable. Si c ∈ R, ∫ ba c ⋅ f (x)dx = c ⋅ ∫ b

a f (x)dx.

Proposición 3 Si 0 < k < ∣д(x)∣ para todo x ∈ [a, b], entonces el cuociente f /д es integrable.

Proposición 4 Si f (x) ≤ д(x) para todo x ∈ [a, b], entonces ∫ ba f (x)dx ≤ ∫ b

a д(x)dx.

Proposición 5 ∣ f ∣ es integrable y ∣ ∫ ba f (x)dx∣ ≤ ∫ b

a ∣ f (x)∣dx.

Demostración. Se hará por partes:1: Dada una partición arbitraria P de [a, b], se denotará por m′

i , m′′i a los ín�mos de f , д y f + д

respectivamente en el i-ésimo intervalo de P, tenemos que m′i + m′′

i ≤ mi aplicando el corolario1.1.1, luego I( f , P) +I(д, P) ≤ I( f + д, P) ≤ ∫ b

a ( f + д) para toda partición P. Se tomamos dosparticiones P y Q tendríamos que

I( f , P) +I(д,Q) ≤ I( f , P ∪ Q) +I(д, P ∪ Q) ≤ ∫ b

a( f + д).

Por lo tanto,

∫ b

af + ∫ b

aд = sup

PI( f , P) + sup

QI(д,Q)

= supP,Q

[I( f , P) +I(д,Q)] ≤ ∫ b

a( f + д).

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De manera análoga se tendría que

∫ b

af + ∫ b

aд ≤ ∫ b

a( f + д) ≤ ∫ b

a( f + д) ≤ ∫ b

af + ∫ b

aд

Si f y д son integrables, lo anterior se reduce a igualdades lo que prueba el resultado.2: Sea K tal que ∣ f (x)∣ ≤ K y ∣д(x)∣ ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Dada una partición P, sean ω′

i , ω′′i

y ωi las variaciones de f , д y f ⋅ д respectivamente en el i-ésimo intervalo [ti−1, ti]. Para cualquierx , y ∈ [ti−1, ti] se tiene:

∣ f (y) ⋅ д(y) − f (x) ⋅ д(x)∣ = ∣( f (y) − f (x))д(y) − f (x)(д(y) − д(x))∣≤ ∣ f (y) − f (x)∣∣д(y)∣ + ∣ f (x)∣∣д(y) − д(x)∣≤ K(ω′

i + ω′′i )

Luego ∑ni=1 ωi(ti − ti−1) ≤ K ⋅ [∑n

i=1 ω′i(ti − ti−1) +∑n

i=1 ω′′i (ti − ti−1)]. La integrabilidad de f ⋅ д se

obtiene aplicando el teorema 1.2.2.Si c ≥ 0 , se tiene queI(c f , P) = c ⋅I( f , P) para toda partición P, aplicando el lema 1.1.2,

∫ b

acd = ∫ b

ac f = c ⋅ ∫ b

af = c ⋅ ∫ b

ac f .

El caso en que c < 0, se tiene queI(c f , P) = c ⋅S( f , P), luego ∫ ba c f = ∫ b

a c f = c ⋅ ∫ ba f = c ⋅ ∫ b

a f .3: Como f /д = f ⋅ (1/д) se debe probar que 1/д es integrable. Esto sería cierto si 0 < k ≤ ∣д(x)∣ paratodo x ∈ [a, b]. Sean ωi y ω′

i las oscilaciones de д y 1/д en el i-ésimo intervalo de una partición P.Dado ε > 0, es posible tomar una partición P de manera que∑n

i=1 ωi(ti − ti−1) < ε ⋅ k2. Para cualquierpar x , y en el i-ésimo intervalo de P se tiene que

∣ 1д(y) −

1д(x)∣ =

∣д(x) − д(y)∣∣д(y)д(x)∣ ≤ ωi

k2,

por lo tanto ω′i ≤ ωi/k2. Sigue que∑n

i=1 ω′i(ti − ti−1) < ε, luego 1/д es integrable.

4: Si f (x) ≤ д(x) para todo x ∈ [a, b] entonces I( f , P) ≤ I(д, P) y S( f , P) ≤ S(д, P) para todapartición P, donde ∫ b

a f ≤ ∫ ba д.

5: La desigualdad inmediata ∣∣ f (y)∣ − ∣ f (x)∣∣ ≤ ∣ f (y) − f (x)∣ prueba que la variación de ∣ f ∣ encualquier conjunto no supera a la de f . Luego, f integrable⇒ ∣ f ∣ integrable. Además, como −∣ f (x)∣ ≤f (x) ≤ ∣ f (x)∣ para todo x ∈ [a, b], resulta de la parte anterior que

− ∫ b

a∣ f ∣ ≤ ∫ b

af ≤ ∣ f ∣

es decir, ∣ ∫ ba f ∣ ≤ ∫ b

a ∣ f ∣.

Corolario 1.3.1. Si f ∶ [a, b] → R es integrable y ∣ f (x)∣ ≤ K para todo x ∈ [a, b], entonces ∣ ∫ ba f ∣ ≤

K(b − a).

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Observación: Si una función integrable f ∶ [a, b] → R es tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]entonces ∫ b

a f ≥ 0. Esto es consecuencia de la proposición 4. Podría darse el caso en que siendof (x) ≥ 0 se tiene que ∫ b

a f = 0 sin ser f nula. Basta tomar f (x) = 1 en un conjunto �nito de puntos en[a, b] y f (x) = 0 fuera de [a, b]. Del ejemplo 1.3.1, f es integrable y su integral tiene valor cero. Aparte,si f es continua y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces ∫ b

a f = 0 implica que f es nula. En efecto,si existiera x0 ∈ [a, b] con f (x0) = c > 0, existiría un sub intervalo de [a, b], [α, β] ⊂ [a, b], tal quef (x) > c/2 para todo x ∈ [a′, b′]. Entonces, como f (x) ≥ 0, se tiene que ∫ b

a f ≥ ∫ b′a′ f > c/2 ⋅ (b′ − a′),

lo que resulta en una contradicción.

1.4. Condiciones de Integrabilidad

Teorema 1.4.1. Toda función continua f ∶ [a, b]→ R es integrable.

Demostración. Dado ε > 0, por la continuidad uniforme de f en un compacto [a, b], existe δ > 0 talque x , y ∈ [a, b], ∣y − x∣ < δ implican que ∣ f (y) − f (x)∣ < ε/(b − a). Sea P una partición de [a, b]cuyos intervalos tienen una longitudmenor a δ. En todo intervalo [ti−1, ti] de P existen xi , yi tales quemi = f (xi) yMi = f (yi), dondeωi = f (yi)− f (xi) < ε/(b−a). En consecuencia,∑n

i=1 ωi(ti−ti−1) < ε.Aplicando el teorema 1.2.2, f es integrable.

Teorema 1.4.2. Toda función monótona f ∶ [a, b]→ R es integrable.

Demostración.Para �jar ideas, sea f nodecreciente pero no constante.Dado ε > 0, sea P = {t0, t1, . . . , tn}una partición de [a, b] cuyos intervalos tienen longitud menor a ε/[ f (b) − f (a)]. Para cada i =1, . . . , n se tiene que ωi = f (ti) − f (ti−1) por lo tanto∑n

i=1 ωi = f (b) − f (a) yn∑i=1

ωi(ti − ti−1) <ε

f (b) − f (a) ⋅n∑i=1

ωi = ε.

Entonces f es integrable.

10

CAPÍTULO 2

Cálculo con Integrales

2.1. Teoremas Importantes del Cálculo Integral

Teorema 2.1.1. (Teorema Fundamental del Cálculo)Sea f ∶ I → R una función continua en el intervalo I. Las siguientes proposiciones son equivalentesrespecto de una función F ∶ I → R:

Proposición 1 F es una integral inde�nida de f , esto es, existe a ∈ I tal que F(x) = F(a) + ∫ xa f (t)dt

para todo x ∈ I.

Proposición 2 F es una primitiva de f , esto es, F ′(x) = f (x) para todo x ∈ I.

Demostración. Se hará por partes:1⇒ 2: Si x0, x0 + h ∈ I entonces F(x0 + h)− F(x0) = ∫ x0+h

x0 f (t)dt y h ⋅ f (x0) = ∫ x0+hx0 f (x0)dt, por lo

tantoF(x0 + h) − F(x0)

h− f (x0) =

1h ∫

x0+h

x0( f (t) − f (x0))dt.

Dado ε > 0, por la continuidad de f en x0, existe δ > 0 tal que t ∈ I y ∣t − x0∣ < δ implican∣ f (t) − f (x0)∣ < ε. Entonces 0 < ∣h∣ < δ, x0 + h ∈ I implican

∣F(x0 + h) − F(x0)h

− f (x0)∣ ≤1∣h∣ ∫

x0+h

x0∣ f (t) − f (x0)∣dt

< 1∣h∣ ⋅ ∣h∣ ⋅ ε = ε.

Lo que prueba que F ′(x0) = f (x0).2 ⇒ 1: Sea F ′ = f . De la parte anterior, tomando a ∈ I es posible de�nir φ(x) = ∫ x

a f (t)dt y se

11

tiene que φ′ = f . Como F , φ ∶ I → R tienen la misma derivada, son funciones que di�eren en untérmino constante. Como φ(a) = 0, la constante es F(a). Por lo tanto F(x) = F(a) + φ(x), esto es,F(x) = F(a) + ∫ x

a f (t)dt para todo x ∈ I.

Probamos que toda función continua posee una primitiva. De manera más precisa, si f ∶ [a, b]→ Res integrable entonces F ∶ [a, b] → R, de�nida por F(x) = ∫ x

a f (t)dt, es derivable en todo puntox0 ∈ [a, b] en el cual f sea continua, se tendrá que F ′(x0) = f (x0). En dicho punto también esderivable la función G ∶ [a, b] → R de�nida por G(x) = ∫ b

x f (t)dt. Se tiene que G′(x0) = − f (x0).En efecto, F(x) +G(x) = ∫ b

a f (t)dt es igual a una constante c ∈ R, entonces F ′(x) +G′(x) = 0.

También probamos que si F ∶ [a, b] → R es una función C1, es decir, que tiene derivada continua,entonces F(x) = F(a)+ ∫ x

a F ′(t)dt. En particular, F(b) = F(a)+ ∫ ba F ′(t)dt. Lo que se reduce a que

la integral ∫ ba f (x)dx es una primitiva de f . Si F ′ = f entonces ∫ b

a f (x)dx = F(b) − F(a).

El mismo argumento utilizado para probar que 2⇒ 1 permite asegurar que si una función integrablef ∶ [a, b] → R es continua en el punto c ∈ [a, b] entonces la función F ∶ [a, b] → R, de�nida porF(x) = ∫ x

a f (t)dt, es derivable en c, y se tiene que F ′(c) = f (c).Ejemplo 2.1.1. Adicional al último comentario, F ∶ [a, b] → R puede ser continua en c ∈ [a, b]pero f puede presentar una discontinuidad en el mismo punto sin generar una contradicción. Seaf ∶ [0, 2]→ R de�nida por

f (t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si 0 ≤ t < 11 si 1 ≤ t ≤ 2

Tomando F ∶ [0, 2]→ R de�nida por ∫ x0 f (t)dt se tiene que

F(t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si 0 ≤ t < 1x − 1 si 1 ≤ t ≤ 2

Un grá�co de ambas funciones puede ser ilustrativo:

0 1 2

1

0 1 2

1f F

Se tiene que F es continua pero no derivable en t = 1 y dicho punto corresponde a una discontinuidadde f .

12

Teorema 2.1.2. (Cambio de Variable)Sea f ∶ [a, b]→ R continua, д ∶ [c, d]→ R con derivada continua y д([c, d]) ⊂ [a, b]. Entonces

∫ д(d)

д(c)f (x)dx = ∫ d

cf (д(t)) ⋅ д′(t)dt.

Demostración. Aplicando el teorema 2.1.1, f tiene una primitiva F ∶ [a, b]→ R y es ∫ д(d)д(c) f (x)dx =

F(д(d)) − F(д(c)). Por otra parte, aplicando la regla de la cadena, se tiene que (F ○ д)′(t) =F ′(д(t)) ⋅ д′(t) = f (д(t)) ⋅ д′(t) para todo t ∈ [c, d]. Luego F ○ д ∶ [c, d]→ R es una primitiva de lafunción continua t ↦ f (д(t)) ⋅ д′(t). Por lo tanto, ∫ d

c f (д(t)) ⋅ д′(t) = F(д(d)) − F(д(c)), lo queprueba el resultado.

El teorema anterior es una buena justi�cación para darse el trabajo de escribir ∫ ba f (x)dx en lugar de

∫ ba f . Para cambiar la variable en ∫ д(d)

д(c) f (x)dx, es posible tomar x = д(t). Con esto el diferencial dex será dx = д′(t)dt. La sustitución resulta en

∫ д(d)

д(c)f (x)dx = ∫ d

cf (д(t)) ⋅ д′(t)dt.

El cambio en los límites de integración es casi inmediato. Si t cambia de c a d, x = д(t) cambia deд(c) a д(d).

En lo que sigue también se usará la notación F ∣ba = F(b) − F(a).

Teorema 2.1.3. (Integración por Partes)Si f , д ∶ [a, b]→ R tiene derivada continua, entonces

∫ b

af (x)д′(x)dx = ( f ⋅ д)∣ba − ∫ b

af ′(x) ⋅ д(x)dx .

Demostración.Note que f ⋅ д es una primitiva de f ⋅ д′+ f ′ ⋅ д siguiendo las reglas del cálculo diferencial.Luego es casi inmediato que integrando esto último, y aplicando el teorema 2.1.1, se tiene el resultado.

Algunos textos contienen demostraciones bastante más complejas de este teorema. La escencia siguesiendo la misma. Por otra parte, si tomamos f (x) = u y д(x) = v se tendrá que f ′(x)dx = du yд′(x)dx = dv, aplicando el teorema 2.1.2 sobre este punto se tendría que el teorema 2.1.3 se puedereescribir

∫ b

audv = uv − ∫ b

avdu

es decir, se tiene la frase “un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme”.

Teorema 2.1.4. (Fórmula del Valor Medio)Sean f , p ∶ [a, b] → R, f continua, p integrable y p(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Existe un númeroc ∈ [a, b] tal que ∫ b

a f (x)p(x)dx = f (c) ⋅ ∫ ba p(x)dx.

13

Demostración. Para todo x ∈ [a, b], se tiene que m ≤ f (x) ≤ M, con m y M ín�mo y supremorespectivamente de f en [a, b]. Como p es no negativa, se tiene quem ⋅ p(x) ≤ f (x) ⋅ p(x) ≤ M ⋅ p(x)para todo x ∈ [a, b]. SeaA = ∫ b

a p(x)dx, de las últimas desigualdades resultam⋅A ≤ ∫ ba f (x)p(x)dx ≤

M ⋅ A. Como Af es continua, se tiene que ∫ ba f (x)p(x)dx = A ⋅ f (c) para algún c ∈ [a, b], lo que

prueba el resultado.

Corolario 2.1.1. Sea f ∶ [a, b]→ R continua. Existe c ∈ [a, b] tal que

∫ b

af (x)dx = f (c) ⋅ (b − a).

Lema 2.1.1. Sea φ ∶ [0, 1]→ R con derivada enésima continua, entonces

φ(1) =n−1∑i=0

φ(i)(0)i!

+ ∫ 10(1 − t)n−1(n − 1)! φ(n)(t)dt.

Demostración. Para n = 1 se tiene que φ(1) = φ(0) + ∫ 10 φ′(t)dt, lo cual es cierto por el teorema 2.1.1.Para n = 2 se aplica el teorema 2.1.2 y se tiene

∫ 10 (1 − t)φ′′(t)dt = (1 − t)φ′(t)∣10 + ∫ 10 φ′(t)dt = −φ′(0) + φ(1) − φ(0)

luego

φ(1) = φ(0) + φ′(0) + ∫ 10 (1 − t)φ′′(t)dt.

Para n = 3 también se aplica el teorema 2.1.2 y resulta

∫ 10(1 − t)22

φ(3)(t)dt = (1 − t)22

φ′′(t)∣1

0+ ∫ 10 (1 − t)φ′′(t)dt

= −φ′′(0)2

+ φ(1) − φ(0) − φ′(0)

luego

φ(1) = φ(0) + φ′(0) + φ′′(0)2

+ ∫ 10(1 − t)22

φ(3)(t)dt.

El resultado general se concluye por inducción.

Teorema 2.1.5. (Fórmula de Taylor con Resto Integral)Si f ∶ I → R tiene enésima derivada continua en [a, a + h], entonces

f (a + h) = f (a) + f ′(a) ⋅ h + . . . + f (n−1)(a)(n − 1)! ⋅ h

n−1 + ( ∫ 10(1 − t)n−1(n − 1)! f

(n)(a + th)dt) hn .

Demostración. Sea φ ∶ [0, 1] → R de�nida por φ(t) = f (a + th), se tiene que φ(i)(0) = f (i)(a)h i .Aplicando el lema 2.1.1 se tiene el resultado.

14

Teorema 2.1.6. (Fórmula de Taylor con Resto de Lagrange)Sea f ∶ I → R de clase Cn en algún intervalo cuyos extermos son a, a + h ∈ I, entonces existe θ ∈ [0, 1]tal que

f (a + h) = f (a) + f ′(a) ⋅ h + . . . + f (n−1)(a)(n − 1)! h

n−1 + f (n)(a + θh)n!

⋅ hn .

Demostración. Sea A = ∫ 10(1−t)n−1(n−1)! f (n)(a + th)dt y aplicando el teorema 2.1.4, se tiene que existe

θ ∈ [0, 1] tal queA = f (n)(a + θh) ∫ 10

(1 − t)n−1(n − 1)! dt =

f (n)(a+θh)

n!.

Note que esta demostración se podría haber generalizado con hipótesis menos restrictivas sobre f .En efecto, el resultado se tiene si f es una función n-veces derivable en un intervalo (a, b) y conf (n−1) continua en [a, b].

2.2. La Integral Como Límite de Sumas de Riemann

De�nición 2.2.1. La norma de una partición P = {t0, . . . , tn} ⊂ [a, b] es el valor ∣P∣ y corresponde ala longitud del mayor intervalo ti − ti−1 de entre todos los intervalos de P.

Teorema 2.2.1. Sea f ∶ [a, b] → R una función acotada. Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que∣P∣ < δ ⇒ S( f , P) < ∫ b

a f (x)dx + ε.

Demostración. Para �jar ideas, supongamos que f (x) ≥ 0 en [a, b]. Dado ε > 0, existe una particiónP0 = {t0, . . . , tn} de [a, b] tal que

S( f , P0) < ∫ b

af (x)dx + ε

2.

SeaM = sup f . Tomemos δ tal que 0 < δ < ε/2 ⋅Mn. Si P es cualquier partición [a, b] con ∣P∣ < δ, sean[rα−1, rα] los intervalos de P contenidos en algún intervalo [ti−1, ti] de P0 con [rβ−1, rβ] los restantesintervalos de P. Cada uno de estos contiene a lo menos un punto ti en su interior y a lo más nintervalos [rβ−1, rβ]. Denotemos [rα−1, rα] ⊂ [ti−1, ti] por α ⊂ i. Cuando α ⊂ i se tiene queMα ≤ Miy ∑α⊂i(rα − rα−1) ≤ ti − ti−1. Estos números son todos no negativos, luego ∑α⊂i Mα ⋅ (rα − rα−1) ≤

15

Mi(ti − ti−1) yMβ ⋅ (rβ − rβ−1) ≤ M ⋅ δ. Por lo tanto,

S( f , P) =∑αMα ⋅ (rα − rα−1) +∑

βMβ ⋅ (rβ − rβ−1)

≤n∑i=1

Mi(ti − ti−1) +M ⋅ n ⋅ δ

< S( f , P0) + ε/2

< ∫ b

af (x)dx + ε.

En el caso general, como f es acotada, existe una constante c tal que f (x)+ c ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].Tomando д(x) = f (x) + c se tiene que S(д, P) = S( f , P) + c ⋅ (b − a) y

∫ b

aд(x)dx = ∫ b

af (x)dx + c ⋅ (b − a),

lo cual vuelve al caso anterior.

S( f , P) < ∫ ba f (x)dx + ε equivale a ∣∫ b

a f (x)dx −S( f , P)∣ < ε. Luego el teorema 2.2.1 equivale a decirque lım∣P∣→0S( f , P) = ∫ b

a f (x)dx. De forma análoga se tiene que lım∣P∣→0I( f , P) = ∫ ba f (x)dx.

De�nición 2.2.2. Una partición ponderada del intervalo [a, b] es un par P∗ = (P, ξ), con P ={t0, . . . , tn} partición de [a, b] y ξ = (ξ1, . . . , ξn) una colección de n números escogidos de forma talque ti−1 ≤ ξi ≤ ti para cada i = 1, 2, . . . , n.

De�nición 2.2.3. La suma superior de Riemann de f relativa a la partición P∗ es el valor

∑( f , P∗) =n∑i=1

f (ξi)(ti − ti−1).

En adelante se usará la notaciónM( f , P) = ∑( f , P∗) por simplicidad.

Claramente, sea cual sea el modo de ponderar la partición P, se tiene que

I( f , P) ≤ M( f , P) ≤ S( f , P).

M( f , P) tiene un límite y corresponde al valor L, es decir L = lım∣P∣→0M( f , P) , si para todo ε > 0dado, es posible obtener δ > 0 tal que ∣M( f , P) − L∣ < ε independientemente de la partición y con∣P∣ < δ.

Teorema 2.2.2. Si f ∶ [a, b]→ R es integrable entonces

∫ b

af (x)dx = lım

∣P∣→0M( f , P).

16

Demostración. Aplicando el teorema 2.2.1, si f es integrable entonces

lım∣P∣→0

I( f , P) = lım∣P∣→0

S( f , P) = ∫ b

af (x)dx .

ComoI( f , P) ≤ M( f , P) ≤ S( f , P), es directo que lım∣P∣→0∑( f , P∗) = ∫ ba f (x)dx.

La recíproca del teorema también se cumple.

Ejemplo 2.2.1. Dada la función f (x) = x(x + 2), a ≤ x ≤ 2a, a > 0. Calcule ∫ 2aa f (x)dx como límitede sumas de Riemann.

Solución:Usaremos la suma superior de Riemann para llegar al resultado. Consideremos la particióndel intervalo [a, 2a] obtenida al dividir el intervalo en n subintervalos de longitud a/n. Entoncescada subintervalo Ii tiene la forma

Ii = [a + a(i − 1)n

, a + ain] , i = 1, . . . , n

Entonces

f (a + ain) ⋅ a

n= (a + ai

n)(a + ai

n+ 2) ⋅ a

n

= (a2 + a2 in2

+ 2a + a2 in+ a2 i

2

n2+ 2a i

n) ⋅ a

n

= a3n+ 2a3 i

n2+ a3 i

2

n3+ 2a2 i

n2+ 2a

2

nLuego

S( f , P) =n∑i=1

f (a + ain) ⋅ a

n

= a3 + a3 n + 1n

+ a36

(n + 1)(2n + 1)n2

+ a2 n + 1n

+ 2a2

Por lo tanto,

∫ 2aaf (x)dx = lım

n→∞S( f , P) = 7

3a3 + 3a2

Ejemplo 2.2.2. Calcule usando la de�nición de integral de�nida

∫ 311x2dx .

Solución:Usaremos la sumamedia (o ponderada) de Riemann para llegar al resultado. Consideremosla partición por intervalos de igual medida P(x0, . . . , xn) dada por

xi = 1 +2in= n + 2i

n, i = 1, . . . , n

17

Nótese que√xixi−1 ∈ [xi−1, xi]. Por ejemplo, con i = 1

xi =n + 2n

⇒ √xi =

√n + 2n

xi−1 = 1 ⇒√xi−1 = 1

y se tiene que√xixi−1 =

√n + 2n

∈ [1, n + 2n

]

Ahora podemos calcular la suma media (o ponderada)

M( f , P) =n∑i=1

f (√xixi−1) ⋅2n=

n∑i=1

1xixi−1

⋅ 2n

=n∑i=1

2( n+2i

n ) ( n+2(i−1)n ) n

=n∑i=1

2(n + 2i)(n + 2[i − 1]) = n ⋅ [ 1

n + 2(i − 1) −1

n + 2i ]

Para resolver la sumatoria se puede aplicar la propiedad telescópica y se obtiene

M( f , P) = n ⋅n∑i=1

[ 1n + 2(i − 1) −

1n + 2i ] = n ⋅ [ 1

n− 1n + 2n] = 2

3

Por lo tanto,

∫ 31 f (x)dx = lımn→∞

M( f , P) = 23

Ejemplo 2.2.3. Usando que lımn→∞

1k + 2k + . . . + nk

nk+1 = 1k + 1 , k ∈N. Dados a > 0 y k ∈N, calcular

∫ a

0xkdx

Solución: Usaremos la suma inferior de Riemann para llegar al resultado. f (x) = xk es continua ypor lo tanto ∫ xkdx existe. Tomando la partición

P(x0, . . . , xn) = {0, an,2an, . . . ,

nan

}

Se tiene que

I( f , P) =n∑i=1

f ([i − 1]an

) ⋅ an

= 0 ⋅ an+ (a

n)k⋅ an+ . . . + ([n − 1]a

n)k

⋅ an

= ak+1nk+1 (1

k + 2k + . . . + [n − 1]k)

18

Usando el límite dado

∫ a

0f (x)dx = lım

n→∞I( f , P) = ak+1

k + 1 , a > 0.

Ejemplo 2.2.4. Calcular

∫ 0−axkdx

usando el mismo método que en el ejercicio anterior.

Solución: Tomando la partición

P = {−a,−(n − 1)an

, . . . ,−2an,−a

n, 0}

se tiene que

I( f , P) =n∑i=1

f (−[i − 1]an

) ⋅ an

= 0 ⋅ an+ (−a

n)k⋅ an+ (−2a

n)k⋅ an+ . . . + (−[n − 1]a

n)k

⋅ an

= (−a)k ⋅ ank+1 (1k + 2k + . . . + [n − 1]k)

= −(−a)k+1nk+1 (1k + 2k + . . . + [n − 1]k)

Por lo tanto,

∫ a

0f (x)dx = lım

n→∞I( f , P) = −(−a)k+1

k + 1 , a > 0

Ejemplo 2.2.5. Usando los ejercicios anteriores pruebe que

∫ b

axkdx = 1

k + 1(bk+1 − ak+1), a < b

Solución:Hay tres casos dependiendo de los valores de a y b.

Caso 1: 0 < a < b:

∫ b

0xkdx = ∫ a

0xkdx + ∫ b

axkdx

bk+1k + 1 =

ak+1k + 1 + ∫

b

axkdx ⇒ ∫ b

axkdx = bk+1 − ak+1

k + 1

19

Caso 2: a < b < 0:

∫ 0a xkdx = ∫ b

axkdx + ∫ 0b xkdx

− ak+1k + 1 = ∫

b

axkdx − bk+1

k + 1 ⇒ ∫ b

axkdx = bk+1 − ak+1

k + 1

Caso 1: a < 0 < b:

∫ b

axkdx = ∫ 0a xkdx + ∫ b

0xkdx

∫ b

axkdx = − ak+1

k + 1 +bk+1k + 1+ ⇒ ∫ b

axkdx = bk+1 − ak+1

k + 1

2.3. Integrales Impropias

Teorema 2.3.1. Sea f ∶ (a, b] → R acotada, tal que f restringida a [c, b] es integrable para cadac ∈ (a, b]. Entonces, sea cual sea el valo de f (a), se tiene una función integrable f ∶ [a, b] → R, con∫ ba f (x)dx = lımc→a+ ∫ b

c f (x)dx.

Demostración. Sea K tal que a ≤ x ≤ b ⇒ ∣ f (x)∣ ≤ K. Dado ε > 0, tomemos c ∈ (a, b] conK(c − a) < ε/4. Como f restringida a [c, b] es integrable, existe una partición P de [c, b] tal queS( f , P) −I( f , P) < ε/2. Entonces Q = P ∪ {a} es una partición de [a, b] tal que

S( f , P) −I( f , P) ≤ 2K(c − a) +S( f , P) −I( f , P) < ε.

Luego f ∶ [a, b]→ R es integrable. La integral inde�nida F ∶ [a, b]→ R, F(x) = ∫ bx f (t)dt cumple

la condición de Lipschitz ∣F(y) − F(x)∣ ≤ K∣y − x∣, entonces es uniformemente continua, dondeF(a) = lımc→a+ F(c) = lımc→a+ ∫ b

c f (x)dx.

Lo anterior es análogo para una función f ∶ [a, b)→ R bajo las mismas condiciones.

De�nición 2.3.1. Si f ∶ (a, b]→ R no es acotada pero es continua. La integral impropia ∫ ba f (x)dx

se de�ne

∫ b

af (x)dx = lım

ε→0+ ∫b

a+εf (x)dx .

En cada intervalo cerrado [a + ε, b], f es continua, por lo tanto integrable. El problema está en laexistencia de un límite superior.

De�nición 2.3.2. En caso de existir el límite superior de f , la integral de f será convergente y encaso contrario divergente.

20

En el caso de una función continua no acotada f ∶ [a, b) → R se trata de forma análoga, pues∫ ba f (x)dx = lımε→0+ ∫ b−ε

a f (x)dx.

El caso f ∶ (a, b) → R continua se reduce a los casos anteriores tomando c ∈ (a, b) y la integral∫ ba f (x)dx = ∫ c

a f (x)dx + ∫ bc f (x)dx.

Ejemplo 2.3.1. Sea f ∶ (0, 1]→ R de�nida por f (x) = 1/xα. Suponiendo α ≠ 1, se tiene que

∫ 101xα dx = lımε→0+ ∫

1

ε

1xα dx = lımε→0+

x1−α

xα ∣1

ε

= lımε→0+

1 − ε1−α

1 − α

=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+∞ si α > 111 − α

si α < 1.

Cuando α = 1, se tiene que

∫ 101xdx = lım

ε→0+ ∫1

ε

1xdx = lım

ε→0+ln x∣

1

ε= lım

ε→0+− ln x = +∞.

Por lo tanto ∫ 10 1/xα dx diverge si α ≤ 1 y converge para 1/(1− α) si α < 1. En particular con α = 1/2 setiene que ∫ 10 1/

√x dx = 2.

Ejemplo 2.3.2. Sea f ∶ [0, 1)→ R de�nida por f (x) = 1/√1 − x2. Entonces

∫ 101√1 − x2

dx = lımε→0+ ∫

1−ε

0

1√1 − x2

dx

= lımε→0+

arc sen x∣1−ε

0

= lımε→0+

arc sen(1 − ε)

= arc sen 1 = π/2

Cuando f ∶ (a, b]→ R es no negativa para todo x ∈ (a, b] entonces la integral ∫ ba f (x)dx converge

si, y sólo si, existe K > 0 tal que ∫ ba+ε f (x)dx ≤ K para todo ε ∈ (0, b − a) pues la función φ(ε) =

∫ ba+ε f (x)dx es no creciente. Si existe д ∶ (a, b]→ R tal que ∫

ba д(x)dx es convergente y 0 ≤ f (x) ≤ K ⋅

д(x) para todo x ∈ (a, b] entonces ∫ ba f (x)dx es convergente ya que, en tal caso, φ(ε) ≤ K ⋅∫ b

a д(x)dxpara todo ε ∈ (0, b − a).

Ejemplo 2.3.3. La integral I = ∫ 10 1/√

(1 − x2)(1 − k2x2) dx converge si k ∈ R es tal que k2 < 1.En efecto, como 0 ≤ 0 ≤ 1, se tiene que 1 − k2 ≤ 1 − k2x2. Tomando K = 1/

√1 − k2 sigue que

1/√

(1 − x2)(1 − k2x2) ≤ K/√1 − x2 y por lo tanto I ≤ ∫ 10 K/

√1 − x2 = K ⋅ π/2.

21

2.4. Convergencia de Integrales

De�nición 2.4.1. La integral impropia ∫ ba f (x)dx es absolutamente convergente cuando ∫ b

a ∣ f (x)∣dxconverge. De forma análoga al caso de las series, la convergencia de ∫ b

a ∣ f (x)∣dx implica la conver-gencia de ∫ b

a f (x)dx y esto es un criterio util de convergencia para integrales.

De�nición 2.4.2. Dada f ∶ (a, b]→ R continua, se de�ne su parte positiva y su parte negativa, paraa < x ≤ b, respectivamente como f + y f − de�nidas por

f + =max{ f (x), 0}f − =max{− f (x), 0}

Con lo anterior se tiene que f + = 12(∣ f (x)∣ + f (x)) y f − = 1

2(∣ f (x)∣ − f (x)) de manera que f + y f −son continuas. Además, f + y f − son funciones no negativas, f = f + − f − y ∣ f ∣ = f + + f −, con f + ≤ ∣ f ∣y f − ≤ ∣ f ∣. De estas desigualdades se tiene que ∫ b

a f (x)dx es absoultamente convergente y entonces∫ ba f + y ∫ b

a f − convergen. Luego ∫ ba f (x)dx = ∫ b

a f +(x)dx − ∫ ba f −(x)dx es convergente.

Otro criterio de convergencia es el siguiente: Si f , д ∶ [a, b)→ R son continuas y ∫ ba д(x)dx converge

entonces la condición ∣ f (x)∣ ≤ k ⋅ д(x) para todo x ∈ [a, b) implica que ∫ ba es (absolutamente)

convergente.

Ejemplo 2.4.1. Si f ∶ [a, b) → R es continua y existen constantes k > 0 y α < 1 tales que ∣ f (x)∣ ≤k/(b − x)α para todo x ∈ [a, b) entonces la integral ∫ b

a f (x)dx es (absolutamente) convergente.

De�nición 2.4.3. Dada f ∶ [a,+∞)→ R continua, se de�ne la integral impropia de f como

∫ +∞

af (x)dx = lım

A→+∞f (x)dx .

Si tal límite existe, la integral es convergente y en caso contrario es divergente.

En forma análoga a lo anterior, si f ∶ (−∞, b]→ R, se tiene la convergencia si el límite ∫ b−∞

f (x)dx =lımB→−∞ ∫ b

B f (x)dx existe. Para una función f ∶ (−∞,+∞)→ R, se toma cualquier punto arbitrarioa ∈ R, por ejemplo, a = 0, y se tiene que

∫ +∞

−∞

f (x)dx = ∫ a

−∞

f (x)dx + ∫ +∞

af (x)dx .

Ejemplo 2.4.2. Sea f ∶ [1,+∞)→ R de�nida por f (x) = 1/xα. Si α ≠ 1 se tiene que

∫ A

1

1xα dx =

A1−α−1

1 − α⇒ ∫ +∞

0

1xα dx =

11 − α

.

Luego la integral es convergente si α > 1. Por otra parte, si α ≤ 1 entonces ∫ +∞1 1/xα dx diverge. Estocontrasta con el caso de la misma función en el intervalo (0, 1].

22

Ejemplo 2.4.3. Se tiene que ∫ +∞0 1/(1 + x2) = π/2. En efecto, arctan x es una primitiva de 1/(1 + x2).Por lo tanto

∫ +∞

0

11 + x2

dx = lımA→+∞

(arctanA− arctan 0) = π2.

De manera análoga al caso de intervalos acotados, una integral ∫ +∞a f (x)dx es absolutamente con-vergente si ∫ +∞a ∣ f (x)∣dx converge. En este caso ∫ +∞a f (x)dx es convergente.

Es posible dar un criterio de comparación: Si f , д ∶ [a,+∞) → R son continuas, ∫ +∞a д(x)dxconverge y existe k > 0 tal que ∣ f (x)∣ ≤ k ⋅ д(x) para x ≥ a, entonces ∫ +∞a f (x)dx es (absolutamente)convergente.

Ejemplo 2.4.4. Si ∣ f (x)∣ ≤ k/xα con α > 1, entonces ∫ +∞a f (x)dx es (absolutamente) convergente.

Ejemplo 2.4.5. Sea a > 0. La integral ∫ +∞a 1/x2dx converge y es directo que su valor es 1/a. Sabiendoque la derivada de arctan x es 1/(1+x2) se tiene, por comparación, que ∫ +∞a 1/(1+x2)dx es convergenteya que 1/(1 + x2) ≤ 1/x2.

23

CAPÍTULO 3

Ejercicios

3.1. Ejercicios del Capítulo 1

Aclaración importante: En todos los ejercicios A y B serán conjuntos no vacíos deR, cuando aparezcael conjunto X se re�ere a X ⊂ R y las particiones P y Q serán subconjuntos �nitos de [a, b].

Ejercicio 1. Pruebe que dados A, B, tales que para todo x ∈ A e y ∈ B se tiene que x ≤ y. Entoncessup(A) ≤ ınf(B). Para que sup(A) = ınf(B) es necesario y su�ciente, para todo ε, existan x ∈ A ey ∈ B tales que x − y < ε.

Ejercicio 2. Pruebe que dados A, B conjuntos acotados y c ∈ R. Entonces los conjuntos A + B ={x + y ∶ x ∈ A, y ∈ B} y c ⋅A = {c ⋅x ∶ x ∈ A} también son acotados. Además se tiene que sup(A+B) =sup(A) + sup(B), ınf(A + B) = ınf(A) + ınf(B), sup(c ⋅ A) = c ⋅ sup(A) e ınf(c ⋅ A) = c ⋅ ınf(A),cuando c ≥ 0. Si c < 0, entonces sup(c ⋅ A) = c ⋅ ınf(A) e ınf(c ⋅ A) = c ⋅ sup(A).

Ejercicio 3. Pruebe que dadas f , д ∶ X → R funciones acotadas. Entonces las funciones f + д, c f ∶X → R también están acotadas para todo c ∈ R. Además sup( f + д) ≤ sup( f )+ sup(д), ınf( f + д) ≥ınf( f ) + ınf(д), sup(c f ) = c ⋅ sup( f ) e ınf(c f ) = c ⋅ ınf( f ) cuando c ≥ 0. Si c < 0, entoncessup(c f ) = c ⋅ ınf( f ) e ınf(c f ) = c ⋅ sup( f ).

Ejercicio 4.Veri�que que las funciones f , д ∶ [0, 1]→ R de�nidas por f (x) = x y д(x) = −x cumplenque sup( f + д) < sup( f ) + sup(д) e ınf( f + д) > ınf( f ) + ınf(д).

Ejercicio 5. Sean m = ınf( f ), M = sup( f ) y d = M − m. Pruebe que dada f ∶ X → R acotada,entonces d = sup{∣ f (x) − f (y)∣ ∶ x , y ∈ X}. Hint: Asuma que f (x) ≥ f (y).

Ejercicio 6. Si para cada a ∈ A y b ∈ B existen a′ ∈ A′ y b′ ∈ B′ tales que a ≤ a′ y b ≤ b′. Pruebe quedados A′ ⊂ A y B′ ⊂ B acotados, entonces sup(A′) = sup(A) e ınf(B′) = ınf(B).

24

Ejercicio 7. Pruebe que cuando se re�na una partición, la suma inferior no disminuye y la sumasuperior no aumenta. Es decir: P ⊂ Q ⇒ I( f , P) ≤ I( f ,Q) y S( f ,Q) ≤ S( f , P).

Ejercicio 8. Pruebe que para cualesquiera particiones P,Q del intervalo [a, b] y cualquier funciónacotada f ∶ [a, b]→ R se tiene queI( f , P) ≤ S( f ,Q).

Ejercicio 9. Pruebe que la función f ∶ [a, b] → R de�nida por f (x) = c es integrable y calcule lassumas superior e inferior de f dada cualquier partición P de [a, b].

Ejercicio 10. Sea f ∶ [0, 2]→ R de�nida por f (x) = 1 − x. Veri�que que f es integrable y calcule lassumas superior e inferior considerando una partición equiespaciada de [0, 2].

Ejercicio 11. Sea f ∶ [0, n] → R de�nida por f (x) = 2−x . Veri�que que f es integrable y calcule lassumas superior e inferior considerando una partición equiespaciada de [0, n].

Ejercicio 12. Pruebe que la función f ∶ [a, b]→ R de�nida por

f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si x ∈Q1 si x ∈ I

no es integrable.

Ejercicio 13. Dada la parábola f (x) = x2 sobre [0, 2]. Aproxime el área comprendida entre el ejex, la curva f (x) y las rectas x = 0 y x = 2 usando una suma inferior de Riemann y una particiónequidistante P de cinco intervalos con ωi como el punto medio de cada intervalo.

Ejercicio 14. Considere la partición equiespaciada P = {t0, . . . , tn} con ti = i/n para i = 0, 1, . . . , n.Usando sumas de Riemann y la partición equiespaciada mencionada, pruebe que

∫ 10 xdx = 12

Hint: Al plantear la suma de Riemann hágalo en dos casos: cuando ωi = 1/2 y cuando ω′i = (2i− 1)/2n.

Ejercicio 15. Pruebe que dada f ∶ [a, b]→ R, si m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces

m(b − a) ≤ ∫ b

af (x)dx ≤ ∫ b

af (x)dx ≤ M(a − b)

Ejercicio 16. Pruebe la siguiente proposición: Sea P0 una partición de [a, b]. Si consideramos lassumasI( f , P) y S( f , P) relativas exclusivamente a las particiones que re�nan P0, obtendremos losmismos valores de ∫ b

a f (x)dx y ∫ ba f (x)dx.

25

Ejercicio 17. Sea f ∶ [a, b]→ R de�nida por

f (x)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si x ∈Q1 si x ∈ I

Veri�que que f no es integrable.

Ejercicio 18. Sea f ∶ [a, b] → R de�nida por f (x) = c para todo x ∈ [a, b]. Veri�que que f esintegrable.

Ejercicio 19. Sea f ∶ [0, 1]→ R tal que

f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si x = 01/2n si 1/2n+1 < x ≤ 1/2n , n ∈N ∪ {0}

Pruebe que f es integrable y calcule ∫ 10 f (x)dx

Ejercicio 20. Sea f ∶ [−a, a]→ R integrable. Si f es una función impar, pruebe que ∫ a−a f (x)dx = 0.

Si f es par pruebe entonces que

∫ a

−af (x)dx = 2 ∫ a

0f (x)dx

Ejercicio 21. Sea f ∶ [a, b]→ R una función integrable, tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Pruebeque si f es continua en el punto c ∈ [a, b] y f (c) > 0, entonces ∫ b

a f (x)dx > 0.

Ejercicio 22. Sea f ∶ [a, b]→ R de�nida como

f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x si x ∈Qx + 1 si x ∈ I

Calcule las integrales superior e inferior de f . Use la función integrable д ∶ [a, b]→ R en vez de x, yde�na

φ(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

д(x) si x ∈Qд(x) + 1 si x ∈ I

Calcule las integrales (inferior y superior) de φ en función de la integral de д.

Ejercicio 23. Sea f ∶ [a, b] → R una función acotada. Pruebe que las siguientes a�rmaciones sonequivalentes:

Proposición.1 f es integrable.

26

Proposición.2 Para todo ε > 0, existen particiones P,Q de [a, b] tales que S( f ,Q) −S( f , P) < ε.

Proposición.3 Para todo ε > 0, existe una partición P = {t0, . . . , tn} de [a, b] tal que S( f , P) −I( f , P) = ∑n

i=1 ωi(ti − ti−1) < ε.

Ejercicio 24. Veri�que que se cumplen las equivalencias del ejercicio 17 en el caso de la funciónf ∶ [a, b]→ R de�nida por

f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

A si x = ac si a < x ≤ b

Ejercicio 25. Pruebe que dados a < c < b una función acotada f ∶ [a, b] → R es integrable siy sólo si f ∣[a,c] y f ∣[c,b] son integrables. Prueba además que en tal caso se tiene que ∫ b

a f (x)dx =∫ ca f (x)dx + ∫ b

c f (x)dx.

Ejercicio 26. Pruebe que toda función escalonada es integrable y que ∫ ba f (dx) = ∑n

i=1 ci(ti − ti−1).

Ejercicio 27. Sean f , д ∶ [a, b]→ R funciones integrables. Pruebe las siguientes proposiciones:

Proposición 1 La suma f + д es integrable y

∫ b

a[ f (x) + д(x)]dx = ∫ b

af (x)dx + ∫ b

aд(x)dx

Proposición 2 El producto f ⋅ д es integrable. Si c ∈ R,

∫ b

ac ⋅ f (x)dx = c ⋅ ∫ b

af (x)dx

Proposición 3 Si 0 ≤ k ≤ ∣д(x)∣ para todo x ∈ [a, b], entonces el cociente f /д es integrable.

Proposición 4 Si f (x) ≤ д(x) para todo x ∈ [a, b] entonces

∫ b

af (x)dx ≤ ∫ b

aд(x)dx

Proposición 5 ∣ f ∣ es integrable y

∣ ∫ b

af (x)dx∣ ≤ ∫ b

a∣ f (x)∣dx

27

Ejercicio 28. Pruebe que si f ∶ [a, b]→ R es integrable y ∣ f (x)∣ ≤ K para todo x ∈ [a, b] entonces

∣ ∫ b

af (x)dx∣ ≤ K(b − a)

Ejercicio 29. Pruebe que toda función continua f ∶ [a, b]→ R es integrable.

Ejercicio 30. Pruebe que toda función monótona f ∶ [a, b]→ R es integrable.

3.2. Ejercicios del Capítulo 2

Los ejercicios 1 a 36 corresponden a problemas teóricos y los problemas 37 a 50 corresponden aproblemas de resolución.

Aclaración importante: En todos los ejercicios A y B serán conjuntos no vacíos deR, cuando aparezcael conjunto X se re�ere a X ⊂ R y las particiones P y Q serán subconjuntos �nitos de [a, b].

Ejercicio 1. Analice la siguiente frase: "La derivada corresponde a la idea geométrica de tangente ya la idea física de velocidad. La integral corresponde a la idea geométrica de área y a la idea física detrabajo."

Ejercicio 2. Sea f ∶ X → R continua sobre X. Pruebe que las siguientes a�rmaciones son equivalentes:

Proposición 1 F es una integral inde�nida de f , es decir existe x0 ∈ X tal que F(x) = F(x0) +∫ xx0 f (t)dt para todo x ∈ X.

Proposición 2 F es una primitiva de f , es decir F ′(x) = f (x) para todo x ∈ X.

Ejercicio 3. Sean F ∶ [a, b] → R de�nida por ∫ xa f (t)dt, G ∶ [a, b] → R de�nida por ∫ b

x = f (t)dty f una función continua. Pruebe que en x0 ∈ [a, b] se tiene que F ′(x0) = f (x0), G′(x0) = − f (x0),F(x)+G(x) = ∫ b

a f (t)dt es contante y que además F ′(x)+G′(x) es nula. Dé un ejemplo y veri�queel resultado.

Ejercicio 4. Sea F ∶ [a, b] → R una función con derivada continua. Pruebe que F(x) = F(a) +∫ xa F ′(t)dt, F(b) = F(a) ∫ b

a F ′(t)dt y si F ′ = f entonces ∫ ba f (x)dx = F(b)− F(a). Dé un ejemplo y

veri�que el resultado.

Ejercicio 5. Sean f ∶ [a, b] → R una función continua, д ∶ [c, d] → R con derivada integrable yд([c, d]) ⊂ [a, b]. Pruebe que

∫ д(d)

д(c)f (x)dx = ∫ d

cf (д(t))д′(t)dt

28

Ejercicio 5. Sean f , д ∶ [a, b]→ R funciones con derivadas integrables. Pruebe que

∫ b

af (x) ⋅ д′(x)dx = f ⋅ д∣ba − ∫ b

af ′(x)д(x)dx

Ejercicio 6. Sean f , p ∶ [a, b] → R tales que f es continua y p es integrable y tal que p(x) ≥ paratodo x ∈ [a, b]. Pruebe que existe c ∈ (a, b) tal que ∫ b

a f (x)p(x)dx = f (c) ⋅ ∫ ba p(x)dx.

Ejercicio 7. Sea f ∶ [a, b]→ R continua. Pruebe que existe c ∈ (a, b) tal que ∫ ba f (x)dx = f (x) ⋅ (b −

a).

Ejercicio 8. Sea φ ∶ [0, 1]→ R una función con derivada enésima integrable. Pruebe que

φ(1) =n−1∑i=0

φ(i)(0)i!

+ ∫ 10(1 − t)n−1(n − 1)! ⋅ φ

(n)(t)dt

Ejercicio 9. Sea f ∶ X → R una función con derivada enésima integrable en [a, a + h]. Pruebe que

f (a + h) = f (a) + f ′(a) ⋅ h + . . . + f (n−1)(a)(n − 1)! ⋅ h

n−1 + [ ∫ 10(1 − t)n−1(n − 1)! f

(n)(a + th)dt] ⋅ hn

Ejercicio 10. Sea f ∶ X → R una función con derivada enésima continua en [a, a + h]. Pruebe queque existe t ∈ (0, 1) tal que

f (a + h) = f (a) + f ′(a) ⋅ h + . . . + f (n−1)(a)(n − 1)! ⋅ h

n−1 + f (n)(a + th)n!

⋅ hn

Ejercicio 11. Sea f ∶ [a, b]→ R una función acotada. Pruebe que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que∣P∣ < δ ⇒ S( f , P) ≤ ∫ b

a f (x)dx + ε.

Ejercicio 11. En base al ejercicio anterior pruebe que lım∣P∣→0 S( f , P) = ∫ ba f (x)dx y lım∣P∣→0 s( f , P) =

∫ ba f (x)dx

Ejercicio 12. Si f ∶ [a, b] → R es una función integrable, P∗ = (P, ξ) es una partición ponde-rada y se de�ne la suma de Riemann ∑( f , P∗) = ∑n

i=1 f (ξi)(ti − ti−1). Pruebe que ∫ ba f (x)dx =

lım∣P∣→0∑( f , P∗).

Ejercicio 13. Dados x , y ∈ R+ pruebe que log(xy) = log(x) + log(y).

29

Ejercicio 14. Dado r ∈Q pruebe que log(xr) = r ⋅ log(x).

Ejercicio 15. Pruebe que log ∶ R+ → R es una función sobreyectiva.

Ejercicio 16. Pruebe que la función exponencial exp ∶ R→ R+ es una función biyectiva con derivadaenésima continua, tal que [exp(x)]′ = exp(x) y exp(x + y) = exp(x) ⋅ exp(y) dados x , y ∈ Rcualesquiera y además exp(r) = er para todo r ∈Q.

Ejercicio 17. Dado cualquier polinomio p(x). Pruebe que

lımx→+∞

p(x)ex

= 0

Ejercicio 18. Sea f ∶ X → R una función derivable en X y tal que f ′(x) = k ⋅ f (x). Si para algúnx0 ∈ X se tiene que f (x0) = c pruebe que f (x) = c ⋅ ek(x−x0) para todo x ∈ X. En base a esto y usandola de�nición de derivada pruebe que

lımx→0

ex − 1x

= 1

Ejercicio 19. Sea f ∶ [a, b]→ R una función acotada y tal que f ∣[c,d] es integrable para todo c ∈ (a, b].Pruebe que dado cualquier valor de f (a) se tiene que

∫ b

af (x)dx = lım

c→a+ ∫b

cf (x)dx

Ejercicio 20. Pruebe el resultado del ejercicio anterior para una función f ∶ [a, b)→ R.

Ejercicio 21. Sea f ∶ [0, 1]→ R de�nida por f (x) = 1/xr con r = 1. Calcule el valor de la integral de f .

Ejercicio 22. Calcule la integral del ejercicio anterior cuando r ≠ 1.

Ejercicio 23. Sea f ∶ [0, 1)→ R de�nida por f (x) = 1/√1 − x2. Calcule el valor de la integral de f .

Ejercicio 24. Encuentre las condiciones sobre k para que

∫ 10dx√

(1 − x2)(1 − k2x2)

sea una integral convergente.

Ejercicio 25. Pruebe que si ∫ ba ∣ f (x)∣dx es una integral convergente entonces ∫ b

a f (x)dx es conver-gente.

30

Ejercicio 26. Sean f+, f− ∶ (a, b]→ R de�nidas por f+(x) =max{ f (x), 0} y f−(x) =max{− f (x), 0}.Pruebe que si ∫ b

a f (x)dx es convergente entonces ∫ ba f+(x)dx y ∫ b

a f−(x)dx son integrales conver-gentes.

Ejercicio 27. Sea f ∶ [a,+∞) → R una función integrable en [a, t] para todo t ∈ [a,+∞). Pruebeque si lımx→+∞ f (x) ≠ 0 entonces ∫∞a f (x)dx diverge.

Ejercicio 28. Sea f ∶ [0,+∞) de�nida por f (x) = 2x. Veri�que que la integral

∫ ∞

02xdx

es una función tal que no existen k > 0 y r < 1 tales que

∣ f (x)∣ ≤ k(b − x)r

En base a su resultado deduzca que la integral de f no es convergente.

Ejercicio 29. Encuentre las condiciones sobre r ∈ R para que la integral

∫ ∞

1

dxxr

sea convergente.

Ejercicio 30. Analice la convergencia de la integral I = ∫∞1 dxx y el valor del límite lımx→+∞

1x . En base

a su resultado pruebe que, en general, no es es cierto que una función debe tener integral convergentepara que el límite de dicha función sea cero.

Ejercicio 31. Sea f ∶ [0,+∞) de�nida por f (x) = 1/xr con r ≠ 1. Determine en qué di�eren lascondiciones sobre r en el caso en que ∫ 10 f (x)dx es convergente en comparación con el caso en que∫ +∞1 f (x)dx es convergente.

Ejercicio 32. Sea a > 0. Veri�que que la integral

∫ +∞

a

dxx2

es convergente y en base a este resultado pruebe que la integral

∫ +∞

a

dx(1 + x2)

es convergente.

31

Ejercicio 33. Veri�que que

∫ +∞

a

dx(1 + x2) = π

2y además deduzca que dicha integral es igual a arctan(x). Utilizando el resultado del ejercicio anterior¿se puede decir que arctan(x) es una función convergente?

Ejercicio 34. Sea Γ ∶ (0,+∞)→ R de�nida para todo t > 0 por Γ(t) = ∫ +∞0 e−xx t−1dx. Veri�que quela integral de Γ es convergente.

Ejercicio 35. Veri�que que

∫ +∞

0

sen(x)x

converge pero no absolutamente.

Ejercicio 36. Sean f ∶ [a,+∞) → R una función continua y monótona creciente y an = f (x) paracada número natural n ≥ a. Pruebe que la serie∑ an converge si y sólo si ∫ +∞a f (x)dx converge.

Ejercicio 37. Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de sustitución

1. ∫ (a + bx)ndx , b ≠ 0, n ≠ 1

2. ∫ dxa + bx

, b ≠ 0

3. ∫ dx√a − x2

, a > 0

4. ∫ 2x + 1x2 + x + 1dx

5. ∫ (a + bx2)nxdx , b ≠ 0, n ≠ 1

6. ∫ dx√a + x2

7. ∫ sen2(x) cos(x)dx8. ∫ x

(x2 + 1)n dx , n ≠ 1

Ejercicio 38. Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes

1. ∫ xexdx

2. ∫ ln(x)dx3. ∫ xn ln(x)dx , n ≠ −1

4. ∫ arc sen(x)dx

5. ∫ sen(ln(x))dx

Ejercicio 39. Integración inmediata:

a) Determine la primitiva f (x) si se sabe: f ′′(x) = 12x − 1x2, f ′(1) = 1 y f (1) = 2.

32

b) Determine la primitiva f (x) si se sabe: f ′(x) = 14 + x2

y f (2) = 1.

Ejercicio 40. Integración por sustitución simple:

1. ∫ x sen(3x2 − 2)dx 2. ∫ (4x − 8)√x2 − 4x + 13xdx

Ejercicio 41. Integración por partes:

1. ∫ (3x − 1) cos(2x + 1)dx 2. ∫ sen(2x) exp(−3x)dx

Ejercicio 42. Integración por fracciones parciales:

1. ∫ x − 1x2 − 5x + 6dx 2. ∫ 2x − 1

x3 − 5x dx

Ejercicio 43. Integración por sustitución trigonométrica:

1. ∫ sen2(x) cos(x)dx 2. ∫ 1√a + x2

dx , a ∈ R

Ejercicio 44. Resuelva la siguiente integral combinando métodos:

∫ 1x√1 + x2

dx

Ejercicio 45. Calcule la integral inde�nida:

∫ cos2(x)dx

Ejercicio 46. Calcule la integral inde�nida:

∫ x + 1x2 + 1dx

Ejercicio 47. Sea f ∶ [0, 2]→ R de�nida por

f (t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si 0 ≤ t < 11 si 1 ≤ t ≤ 2

33

Encuentre la función F tal que F(x) = ∫ x0 f (t)dt. ¿Qué puede decir respecto de la continuidad y

diferenciabilidad de F y f en x0 = 1?

Ejercicio 48. SeaF(x) = ∫ y

x(exp(−x) − exp(−2x))dx

encuentre el máximo valor de la integral respecto a los límites de integración si se sabe que y − x = c(c es constante).

Ejercicio 49. Sea y = f (x) tal que f (x) ∶ R→ R+ encuentre el valor de y que cumple

y′ = y

Ejercicio 50. Determine si las siguientes integrales son convergentes:

1. ∫ 10dx

1 − cos(x)

2. ∫ 3−3

dxx3

3. ∫ 1−1

dx3√x

4. ∫ +∞

0

dx(1 + x)

√x

5. ∫ ∞

−∞

dx1 + x6

6. ∫ ∞

1

xdx1 − ex

3.3. Integrales Propuestas

1. ∫ sen xesec xcos2 xdx

2. ∫ cos 2x1 + sen 2x dx

3. ∫ cos x√1 + sen x

dx

4. ∫ arc sen x√1 − x2

dx

5. ∫ tan xcos2 x

dx

6. ∫ 1√x2 + 2x + 2

dx

7. ∫ x7 + x2x4 − 1 dx

8. ∫ 1 − 4x + 8x2 − 8x3x4(2x2 − 2x + 1)2 dx

9. ∫ 3x − 7√x3 − 6x2 + 11x − 6

dx

10. ∫ cos x1 + sen2 x dx

11. ∫ cot xln(sen x)dx

12. ∫ x2/3(x5/3 + 1)2/3dx

34

13. ∫ 1 + ex1 − ex

dx

14. ∫ cos√xdx

15. ∫ 1sen x cos x

dx

16. ∫ √1 − sen xdx

17. ∫ 1(a2 − x2)3/2dx

18. ∫ sen xcos2 x − 5 cos x + 4dx

19. ∫ e2x3√1 + ex

dx

20. ∫ 1x6 − 1dx

21. ∫ 1x(2x3 + 1)2dx

22. ∫ x2/3 − 2x1/3 + 1x + 1 dx

23. ∫ 1x(x2 + 1)2dx

24. ∫ ln√x − 1dx

25. ∫ 11 − tan2 x dx

26. ∫ x + 1x3 − x2

dx

27. ∫ xx2 + 4x + 3dx

28. ∫ 1ex + e−x

dx

29. ∫ 4x3 + 4x dx

30. ∫ x5x2 + 8x + 5dx

31. ∫√x2 − a2x

dx

32. ∫ ex cos 2xdx

33. ∫ 1x(3

√x + 1)

dx

34. ∫ 1x(1 + 3

√x)

dx

35. ∫ cot x1 + sen2 x dx

36. ∫ x5√1 + x2

dx

37. ∫ e4x(1 + e2x)2/3dx

38. ∫ 1x1/5

√1 + x4/5

dx

39. ∫ x sec2 xdx

40. ∫ x arc sen xdx

41. ∫ x3 + x2x2 + x − 2dx

42. ∫ x3 + 1x3 − 1dx

43. ∫ x(x − 1)2dx

44. ∫ 2e2x − ex√3e2x − 6ex − 1

dx

45. ∫ x + 1(x2 + 2x − 3)2/3dx

46. ∫ 1(2x + 1)

√x2 + x

dx

47. ∫ 1x2

√a2 − x2

dx

48. ∫ (1 − x2)3/2dx

35

49. ∫ ln(x +√1 + x2)dx

50. ∫ x tan2 xdx

51. ∫ arctan xx2dx

52. ∫ x +√x + 1

x + 2 dx

53. ∫ x cos2 xdx

54. ∫√4 + 3x4 − 3x dx

55. ∫ 1e4x + 4e2x + 3dx

56. ∫ x ln√x + 2dx

57. ∫ (x + 1)2exdx

58. ∫ arcsecxdx59. ∫ 8

x4 + 2x3dx

60. ∫ xx4 − 16dx

61. ∫ 11 + cos2 x dx

62. ∫ x3ex2dx

63. ∫ cos x√4 − cos2 x

dx

64. ∫ x2 sen(1 − x)dx

65. ∫ x3(x2 + 1)2dx

66. ∫ x√2x + 1dx

67. ∫ ln(x +√x2 − 1)dx

68. ∫ 1x −

√1 − x2

dx

69. ∫ arc sen√xdx

70. ∫ ln(x +√x)dx

71. ∫ x1 − x4

dx

72. ∫ x2√1 + x6

dx

73. ∫ ex√e2x − 1

dx

74. ∫√arccoshxx2 − 1 dx

75. ∫ √1 − x2 arc sen xdx

76. ∫ x sen2 2xdx

77. ∫ tan xtan x + sec x dx

78. ∫ 1√e2x + 1

dx

79. ∫ 1(1 + x)2

3

√1 − x1 + x

dx

80. ∫ 1sen x − cos x dx

81. ∫ sec xcos2 x + 4 sen x − 5dx

82. ∫ x3√1 − x2

dx

83. ∫ 1x(2 + ln x)dx

84. ∫ cos 2x − 1cos 2x + 1dx

36

85. ∫ 1x3 + 1dx

86. ∫ e2x4√ex + 1

dx

87. ∫ 2 cos x − 5 sen x3 cos x + 4 sen x dx

88. ∫ e√xdx

89. ∫ sen√x + 1dx

90. ∫ sen4 3x cos2 3xdx91. ∫ 2x3 + 11x + 8x3 + 4x2 + 4x dx

92. ∫ 1√3 − 4x − x2

dx

93. ∫ 2x2 + 1x3 − 6x2 + 12x − 8dx

94. ∫ 1x4 − x

dx

95. ∫ cot2 3x

sen4 3xdx

96. ∫ cot 3x√sen2 3x − 1/4

dx

97. ∫ arc sen√2x√

1 − 2xdx

98. ∫ √tan xdx

99. ∫ xn ln xdx , n ∈ R

100. ∫ 2x2 − x + 2x5 + 2x3 + x

dx

101. ∫ 19 cos2 x − 16 sen2 x dx

102. ∫ 1cosh x + senh x dx

103. ∫ 2 + 2 cosh x − senh x2 + cosh x + senh x dx

3.4. Soluciones de las Integrales Propuestas

Nota: Se omite el término “+c” para ahorrar espacio.

1. esec x

2.12ln ∣1 + sen 2x∣

3. 2√1 + sen n

4.12(arc sen x)2

5.12tan2 x

6. ln ∣x + 1 +√x2 + 2x + 2∣

7.x44+ 12ln ∣x4 − 1∣

8. − 13x3

− 4x − 22x2 − 2x + 1 − 4 arctan(2x − 1)

9. ln ∣(x − 2)(x − 3)(x − 1)2 ∣

10. arctan(sen x)

11. ln(ln sec x)

12.925

(x5/3 + 1)5/3

13. −2 ln(1 − ex) + x

14. 2√x sen

√x + 2 cos

√x

37

15. ln ∣ tan x∣

16.2 cos x√1 − sen x

17.x

a2√a2 − x2

18.13ln( 1 − cos x4 − cos x )

19.3(1 + ex)10(2ex − 3)−1

20.112ln

(x − 1)2(x2 − x + 1)(x + 1)2(x2 + x + 1)−

√36arctan

√3x

1 − x2

21.13ln ∣ 2x

3

6x3 + 3 ∣ + (6x3 + 3)−1

22.3(x2/3 − 4x1/3)

2+ ln (x1/3 + 1)4√

x2/3 − x1/3 + 1+ 3√3arctan( 2√

3(x1/3 − 1

2))

23.12(ln x1 + x2

− x21 + x2

)

24. (x − 1) ln√x − 1 − x

2

25.14ln ∣1 + tan x1 − tan x ∣ +

12x

26.1x+ 2 ln ∣1 − 1

x∣

27.12ln ∣(x + 3)

3

x + 1 ∣

28. − 12(e2x − 1)

29. ln ∣ x√x2 + 4

∣

30.13arctan

5x + 43

31.√x2 − a2 − a ⋅ arctan

√x2 − a2a

32.ex5(cos 2x + 2 sen 2x)

33. ln∣x∣

(1 + 3√x)2

34. ln ∣ x(1 + 3

√x)3

∣

35. ln∣ sen x∣√1 + sen2 x

36.8 − 4x2 + 3x415(1 + x2)−1/2

37.3 3√1 + e2x

8(e2x − 3)−1

38.52(1 + x4/5)1/2

39. x tan x + ln ∣ cos x∣

40.14(x

√1 − x2 + (2x2 − 1) arc sen x)

41.x22+ ln((x + 2)4/3(x − 1)2/3)

42. x + ln ∣ x − 1x

∣

43. ln ∣x − 1∣ − 1x − 1

44.1√3ln

RRRRRRRRRRRex − 1 +

√e2x − 2ex − 1

3

RRRRRRRRRRR+23√3e2x − 6ex − 1

45.23(x2 + 2x − 3)1/3

46. arctan(2√x2 + x)

47. −√a2 − x2a2x

38

48.18(5x − 2x3)

√1 − x2 + 3

8arc sen x

49. x ln(x +√1 + x2) −

√1 + x2

50. x tan x − x22+ ln ∣ cos x∣

51. ln∣x∣√1 + x2

− arctan xx

52. x+ 1+2√x + 1−2 ln ∣x+ 1∣−2 arctan

√x + 1

53.x2 + x sen 2x

4+ cos 2x

8

54.83arctan

√4 + 3x4 − 3x −

4x − 33

√4 + 3x4 − 3x

55.112

(ln 3 + e2x(1 + e2x)3 + 4x)

56.14(x2 − 4) ln(x + 2) − x2

8+ x2

57. (x2 + 1)ex

58. xarcsecx − ln(∣x∣ +√x2 − 1)

59. 2( 1x− 1x2

) ln ∣ xx + 2 ∣

60.116ln ∣x

2 − 4x2 + 4 ∣

61.1√2arctan( tan x√

2)

62.12(x2 − 1)ex2

63. ln ∣ sen x∣ +√3 + sen2 x

64. (x2 − 2) cos(1 − x) + 2x sen(1 − x)

65.12(ln(x2 + 1) + 1

x2 + 1)

66.115

(3x − 1)(2x + 1)3/2

67. x ln(x +√x2 − 1) −

√x2 − 1

68.12ln ∣t −

√1 − t2∣ − 1

2arc sen x

69.12√x − x2 − 1

2(1 − 2x) arc sen

√x

70. ln((x +√x)x

1 +√x

) − x +√x

71.12arctanhx2

72.13arcsenhx3

73. arccoshex

74.23(arccoshx)3/2

75.14arc sen2 x − x2

4+ 12x√1 − x2 arc sen x

76.14x2 − 1

8sen4x − 1

32cos 4x

77. sec x − tan x + x

78. ln(√e2x + 1 − 1) − x

79. −38(1 − x1 + x

)4/3

80.1√2ln ∣ csc(x − π

4)∣ − cot(x − π

4)

81. ln[(1 − sen x)1/2(1 + sen x)−1/10(2 −sen x)4/9] + 1

6 − 3 sen x

82. − 13(1 − x2)1/2(2 + x2)

83. ln ∣2 + ln x∣

84. x − tan x

85. ln3√x + 1

6√x2 − x + 1

+ 1√3arctan

2x − 1√3

86.421

(ex + 1)3/4(3ex − 4)

39