Sumas de Riemann 1

Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann

http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/

1 Como Resolver Problemas de

Aplicaciones De Cálculo Integral.





2

Llegamos al punto importante de los métodos de integración.

En este documento vamos a estudiar algunas de las aplicaciones clásicas en las

cuales se usa el concepto de la integral definida.

Veremos las siguientes aplicaciones:

1) Definición De La Integral En Términos De Sumas De Riemann.

2) Cálculo De Áreas Bajo “La Curva”.

3) Área entre 2 Gráficas.

4) Volúmenes De Sólidos De Revolución.

5) Longitud De Arco.

6) Aplicaciones en Probabilidad.

7) Integrales Dobles.



3

1.- Sumas De Riemann, Sumas Superiores E Inferiores.

OBJETIVO: Aproximar el valor de la integral definida usando sumas de

Riemann.

Recordemos que la aplicación inmediata de la integral definida es como área bajo la

gráfica de una función sobre un intervalo:

b. xhasta a xdesde X, eje ely f(x) de gráfica la entre Área)( dxxf

b

a

Suma De Riemann = Aproximación (numérica) del valor EXACTO de la integral

definida b

a

dxxf )(

.

Suma de Riemann= Suma de áreas de rectángulos generados usando una

“partición” del intervalo original [a,b].



4 Para calcular una suma de Riemann se necesita hacer una partición del intervalo

[a,b], generar rectángulos cuya bases son las longitudes de los sub intervalos,

calcular las áreas de dichos rectángulos y hacer la suma de todas ellas.

La idea principal que dio origen al estudio la integral definida de una función f

sobre un intervalo [a, b], es el de calcular el área entre la gráfica de esa función y el

eje de las X, sobre el intervalo (suponiendo que 0)( xf ).

b. xhasta a xdesde X, eje ely f(x) de gráfica la entre Área)( dxxf

b

a



5

Una partición específica me genera una sola aproximación para la integral

En general, la gráfica de una función no siempre está por encima del eje X,

existirán áreas que estén por encima o por debajo, así que vamos a hablar de

“áreas negativas” y de áreas positivas, aunque parezca algo raro.

Por supuesto que hemos dado un forma de calcular esta integral, usando la integral

indefinida, de hecho, )()()( aFbFdxxf

b

a

, pero para poder describir a la integral

definida como un área, debemos definir otros conceptos importantes que nos ayudarán para tal fin.



6

Sumas De Riemann.

Fórmula y Definiciones.

Idea Geométrica:

Supongamos que queremos aproximar el área bajo la gráfica de la

siguiente función:

Para esta configuración, tenemos que…

Suma De Riemann= Suma De Áreas de 4 Rectángulos.

Área de un rectángulo=Base x Altura.

Base = Longitud del sub intervalo ],[ 32 xx: 23 xx

Altura=valor de un punto intermedio del sub intervalo sustituido en la

función: )( *

3xf.



7

Área de un rectángulo=base x altura= xxfxxxf )())(( 3233

Definición 1. Consideremos una función b].[a, intervaloun sobre definida )(xfy

Sea una nn xxxxx ,,...,,,P 1210 partición del intervalo.

Una partición es una división de una intervalo en partes más pequeñas, definidas

por el conjunto de valores representados por nn xxxxx ,,...,,,P 1210 .

Las particiones se clasifican en:

Particiones Regulares: Si todos los puntos son igualmente espaciados

Particiones Irregulares: Si los puntos no necesariamente están igualmente

espaciados.

La Suma De Riemann de )(xfy , respecto a la partición P sobre el intervalo

],[ ba , se representa y define por:

)(),(

)()(

)()()()()()()()(),(

1

0

1

0

1

11223112001

i

n

i

i

b

a

i

n

i

ii

nnn

b

a

cfxpfS

cfxx

cfxxcfxxcfxxcfxxpfS

Donde ic es cualquier punto sobre el intervalo ],[ 1ii xx , estos pueden ser algunos de

los extremos del intervalo o aquellos puntos donde alcanzamos el mínimo o

máximo en el intervalo.

Esto se lee:

“Suma De Riemann De f(x), sobre el intervalo [a,b], respecto a la partición P”.

Si Suponemos que la gráfica de )(xfy está por encima del semiplano superior,

podremos interpretar está suma como una aproximación al área bajo la gráfica



8 de )(xfy sobre el intervalo ],[ ba . Esta aproximación se hace mediante la suma

de áreas de rectángulos de base )( 1 ii xx y altura )( icf .

En las siguientes gráficas, te muestro una función f(x), el intervalo [0,1] y una

partición definida por los puntos 0,1/3,2/3 y 1.

Existen rectángulos que están por debajo y otros que están por encima.



9

Ejemplos Del Concepto de Sumas De Riemann

Observación: Para poder calcular una suma de Riemann necesitamos 4

elementos.

La función f(x)

El intervalo [a,b]

La partición P

Los puntos ci que nos determinan la altura de los rectángulos.

1.-Consideremos la función

.3,2

5,2,

2

3,1,

2

1,0 partición lay [0,3] intervalo el ,)( 2

Psobrexxf

Calcular la suma de Riemann para estas condiciones.

Solución:

En primer lugar debemos escoger los puntos ic, de manera arbitraria, la única

condición es que estén dentro de cada intervalo correspondiente.

.8.2,5.2,7.1,4.1,7.0,3.0 Cescogemos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9Rectángulos Usados Para Calcuar Una Suma De Riemann Para f(x)=x2.

Notamos que, para esta partición y puntos escogidos en

particular, los rectángulos no cubren perfectamente toda

el área bajo la gráfica de f(x).

Existen "esquinas" que exceden y otras que no cubren

cierta área.

Esquina que está por encima de

la gráfica.

Esquina que está por

debajo de la gráfica.



10

Aplicamos la fórmula:

165.10

92.3125.34450.19800.0245.045.0

)84.7(2

1)25.6(

2

1)89.2(

2

1)96.1(

2

1)49.0(

2

1)9.0(

2

1

)8.2)(2

53()5.2)(2

2

5()7.1)(

2

32()4.1)(1

2

3()7.0)(

2

11()3.0)(0

2

1(

)()()()()()()()(),(

222222

11223112001

23

0

nnn cfxxcfxxcfxxcfxxPxS

223

0 165.10),( uPxS

Interpretación:

El área bajo la grafica de la cuadrática de 0 a 3, es aproximadamente

igual a 10.165 unidades cuadradas ( m2,cm2,km2,etc).

¡OBSERVACIÓN IMPORTANTE!

Los resultados obtenidos van a ser diferentes, si cambiamos el intervalo, la

partición y los puntos que se eligen para generar las áreas de los rectángulos.



11

2.-Consideremos la función

.2,3

5,

3

4,1,

3

2,

3

1,0 partición lay (0,2] intervalo el ),ln()(

Psobrexxf

Calcular la suma de Riemann para estas condiciones.

Solución:

La gráfica de la función logaritmo es:

Si elegimos los límites superiores de cada sub intervalo como puntos para generar

las alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.

x

y



12

Si elegimos los límites inferiores de cada sub intervalo como puntos para generar

las alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.

x

y

y=ln(x)



13

Si elegimos los puntos medios de cada sub intervalo como puntos para generar las

alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.

x

y

y=ln(x)



14

Para calcular la suma de Riemann de este ejemplo elegimos los puntos medios

dentro de cada intervalo.

.6

11,

6

9,

6

7,

6

5,

2

1,

6

1C

escogemos

x

y

y=ln(x)



15

-0.50049

0.20200.13520.05140.0608-0.2310--0.5973

)0.6061 (3

1)0.4055(

3

1)0.1542(

3

1)-0.1823(

3

1)-0.6931(

3

1)-1.7918(

3

1

)6

11ln()

3

52()

6

9ln()

3

4

3

5()

6

7ln()1

3

4()

6

5ln()

3

21()

2

1ln()

3

1

3

2()

6

1ln()0

3

1(

)()()()()()()()()),(ln( 11223112001

2

0

nnn cfxxcfxxcfxxcfxxPxS

-0.50049)),(ln(2

0 PxS

Ejercicios: Calcular las sumas de Riemann para las siguientes funciones, de

acuerdo a los intervalos y particiones dados, tú debes elegir los puntos para

calcular las alturas de los rectángulos.

a).

.2,2

3,1,

2


Psobrexxf

b).

.2,3

5,

3

4,1,

3

2,

3


Psobrexxf

c). .2,

3

5,

3

4,1,

3

2,

3

1,0 partición lay [0,2] intervalo el ),ln()(

Psobrexxf

d).

.2,2

3,1,

2

1,0 partición lay [0,2] intervalo el ,)(

Psobreexf x



16

Observación Importante:

Dada una función f(x), un intervalo [a,b] y una partición P, existe un número

infinito de Sumas de Riemann, una suma para cada elección de los puntos

intermedios de cada subintervalo.

Existen 2 casos especiales clásicos:

Las Sumas Inferiores y Sumas Superiores.

Sumas Inferiores:

Se obtienen cuando seleccionamos los valores ic en los cuales la función )(xfy

tiene un mínimo en el intervalo ],[ 1ii xx .

A esos puntos los representaremos por it .

Entonces la suma inferior queda representada y definida por:

)(

)()(),(

1

0

1

0

1

i

n

i

i

i

n

i

ii

tfx

tfxxPfL

Las sumas inferiores las interpretamos como aproximaciones al área

bajo la gráfica de f(x), usando rectángulos por debajo de esta gráfica.



17

Sumas Superiores:

Se obtienen cuando seleccionamos los valores ic en los cuales la función )(xfy

tiene un máximo en el intervalo ],[ 1ii xx .

A esos puntos los representaremos por is .

Entonces la suma superior queda representada y definida por:



18

)(

)()(),(

1

0

1

0

1

i

n

i

i

i

n

i

ii

sfx

sfxxPfU

Las sumas superiores las interpretamos como aproximaciones al área

bajo la gráfica de f(x), usando rectángulos por encima de esta gráfica.



19

Ejemplos De Sumas Inferiores y Superiores

Ejemplo 1: Aproximar el área bajo la gráfica de 2)( xxf sobre el intervalo [0,2],

respecto a la partición

2,2

3,1,

2

1,0P

, usando sumas superiores y sumas

inferiores.

Suma Inferior:

Desarrollo:

4

7

8

9

2

1

8

1

)4

9(

2

1)1(

2

1)

4

1(

2

1)0(

2

1

)2

3)(

2

32()1)(1

2

3()

2

1)(

2

11()0)(0

2

1(

)()()()()()()()(),(

2222

11223112001

22

0

nnn cfxxcfxxcfxxcfxxPxL

x

y



20 4

7),( 22

0 PxL

Suma Superior:

Desarrollo:

4

15

28

9

2

1

8

1

)4(2

1)

4

9(

2

1)1(

2

1)

4

1(

2

1

)2)(2

32()

2

3)(1

2

3()1)(

2

11()

2

1)(0

2

1(

)()()()()()()()(),(

2222

11223112001

22

0

nnn cfxxcfxxcfxxcfxxPxU

4

15),( 22

0 PxUconclusión.

x

y



21

Ejemplo 2:

Aproximar el área bajo la gráfica de )cos()( xxf sobre el intervalo [-π, π], respecto

a la partición

,2

,0,2

,P

, usando sumas superiores y sumas inferiores.

Desarrollo:

Suma Inferior:

x

y



22

22

)1(2

)0(2

)0(2

)1(2

)cos()2

()2

cos()02

()2

cos())2

(0()cos())(2

(

)()()()()()()()()),(cos( 11223112001 nnn tfxxtfxxtfxxtfxxPxL

Suma Superior:

x

y



23

22

)0(2

)1(2

)1(2

)0(2

)2

cos()2

()0cos()02

()0cos())2

(0()2

cos())(2

(

)()()()()()()()()),(cos( 11223112001 nnn sfxxsfxxsfxxsfxxPxU

x

y



24

Ejemplo 3: Aproximar el área bajo la gráfica de xexf )( sobre el intervalo [-2, 2],

respecto a la partición

2,2

3,1,

2

1,0,

2

1,1,

2

3,2P

, usando sumas superiores y

sumas inferiores.

Desarrollo:

Suma Inferior.

x

y



25

5.59078.

2.24080.18390.11160.0677

)4.4817(2

1)0.3679(

2

1)0.2231(

2

1)0.1353(

2

1

)2

32())1(

2

1())

2

3(1())2(

2

3(

)()()()()()()()()),(exp(

2

3

12

3

2

11223112001

2

2

eeee

cfxxcfxxcfxxcfxxPxL nnn

Suma Superior:

x

yy = exp(x)



26

9.2176

3.69452.24081.35910.82440.50000.3033.183900.1116

)(7.38912

1)0.6065(

2

1)0.3679(

2

1)0.2231(

2

1

)2

32())1(

2

1())

2

3(1())2(

2

3(

)()()()()()()()()),(exp(

22

1

12

3

11223112001

2

2

eeee

cfxxcfxxcfxxcfxxPxU nnn

La Integral Definida Como el Límite de las Sumas de Riemann

Las sumas de Riemann se usan para aproximar el área exacta que está entre la

gráfica de la función y el eje X.

En general, se tiene que, para cualquier partición P:

),()(),( PfUdxxfPfL

b

a

Siendo rigurosos la integral se define mediante el siguiente límite:

x

yy = exp(x)



27

1

000

)(lim),(lim)(n

i

iix

b

ap

b

a

xcfPfSdxxfi

, para toda partición P.

Donde P

se llama norma de la partición y se define como la máxima longitud de

los sub intervalos para una partición específica.

Cada partición P nos genera un valor para la suma de Riemann y por lo tanto un

valor aproximado para la integral (valor exacto).

La partición se puede hacer más fina, esto es tener más puntos, y a medida que

sucede esto el valor de la suma de Riemann se aproxima cada vez más a la integral

definida.

Así que, en el límite (cuando el tamaño de la partición tiende a cero) el valor de la

suma de Riemann es igual al valor exacto de la integral definida.



28

En particular:

Si consideramos una partición regular de n sub intervalos:

n

ablongitud

hintervalo cada de

.

1

0

1

0

1

0

1

0

)(1

lim)(

)()(lim

)(lim

)(lim

),(lim)(

n

i

in

n

i

in

n

i

in

n

i

iin

b

an

b

a

cfn

ab

n

abcf

hcf

xcf

PfSdxxf

El estudio de la integral definida en términos de sumas de Riemann requiere de

tener cierta madurez en conceptos puramente teóricos. No es el objetivo de este

curso, por lo cual no voy a profundizar en este aspecto.

Conclusión:

iin

b

a

xxfdxxf )(lim)(

A los interesados pueden consultar la bibliografía que proporciono al final de este

documento.

Sumas de Riemann 1

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