1.3 Suma de Riemann

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Introducción

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S"

en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

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Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)

Ejemplos

Ejemplo # 1

Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

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La suma de Riemann representa la suma de las áreas sobre el eje , menos la suma de las áreas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje .

Ejemplo # 2

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función:

,límites

Ejemplo # 3

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

Ejemplo # 4

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Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función:

,límites

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

1.3 Suma de Riemann (mas conceptos e información)

Definición y representación

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

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Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes:

. Una suma de Riemann se

interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común y de alturas

situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).

Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.

Teorema fundamental

El teorema más elemental es el siguiente:

Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo:

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Prueba

El intervalo I = [0,1] es un espacio métrico compacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe :

es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I:

Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego existe un

natural n tal que (basta con tomar , la parte entera de ).

Para todo x en luego , lo

que también se escribe:

Integrando la relación anterior en se obtiene la siguiente:

Luego sumando los con k variando de 0 a n - 1 se obtiene:

lo que equivale a: . El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y da:

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Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de Riemann, pues

en también tenemos .

Ejemplos

1) Históricamente se ha sabido calcular sumas muy antes de medir áreas mediante integrales. Por esta razón el primer ejemplo utiliza el teorema en el sentido original de definir una integral gracias a las sumas de Riemann. El primer área que necesitó cálculos elaborados fue la definida por la parábola: la cuadratura de la parábola fue resuelta por Arquímedes en el siglo III adC aproximando una porción de parábola por triángulos cuyas superficies forman una sucesión geométrica. Utilizar rectángulos en vez de triángulos permite utilizar las sumas de Riemann.

Se establece por inducción la relación muy conocida que da la suma de los primeros

cuadrados: Luego:

2) ¿Hacia qué valor tiende la sumas de los n inversos empezando por ? En otras palabras,

¿cuál es el límite de la sucesión cuyos primeros términos son:

y así sucesivamente?

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El término general es , es acotado

por y 1 (se mira el número de términos multiplicado por el menor y el mayor

respectivamente), es decreciente (al pasar de un a un+1 se añade pero se

quita que es mayor) luego la sucesión converge.

3) Hallar el límite del producto cuando n tiende hacia el infinito.

Para trasformar un producto de factores estrictamente positivos en una suma se usa el

logaritmo: . El factor n tiende hacia el infinito, mientras que

que es estrictamente negativo

porque la función integrada es estrictamente negativa en [0,1] salvo en

el punto aislado 0 donde es nula. Luego y por tanto .

Generalizaciones

A otros intervalos

Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escogemos un intervalo compacto cualquiera [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de misma longitud

obtenemos una aproximación del área bajo la curva de f por n rectángulos de

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área total , aproximación que se vuelve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente:

La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g, definida en [0, 1]: Concretamente:

.Así

por el teorema en [0, 1],

y: con el cambio de variable:

.

Ejemplo:

A otras subdivisiones

Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utilizado una subdivisión regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera σ de [a, b] es definida por los números x0, x1 ... xn tales que

Se denota δ(σ) la mayor longitud de los intervalos [xk-

1, xk] (k entre 1 y n):

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Con una subdivisión dada σ se puede definir naturalmente dos sumas que denotaremos

El teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente:

Para toda función continua en un intervalo [a, b] las sumas de Riemann convergen hacia la integral de f cuando δ(σ) tiende hacia cero:

A otros puntos de cálculo

Hasta ahora se ha calculado la función a uno u otro extremo de cada segmento, por sencillez; sin embargo la demostración del teorema sigue válida sin esta restricción, lo que permite generalizar aún más las sumas de Riemann escogiendo en cada intervalo [xk-1, xk] el

punto de cálculo de la función, . La suma es entonces

.

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Funciones escalonadas

. El área rojo oscuro mide

, el área total coloreada (rojo + verde) mide

El teorema es, sin sorpresa, el mismo:

Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la suma se precisa

conocer las imágenes y no los mismos.

La función f siendo continua en cada intervalo [xk-1, xk], cada valor vk entre el ínfimo

y el supremo

es la imagen de un punto (por lo menos) del intervalo

por lo que es una suma de

Riemann, donde los son implícitos (y de hecho, desconocidos). En particular

son las sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la subdivisión σ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de funciones escalonadas

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que mejor acotan a f:

y, por definición misma de la integral de Riemann,

es el límite común de

, es decir de

cuando δ(σ) tiende hacia cero.

Rapidez de Convergencia

Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo de n escoger? (hay que tener en cuenta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo). Más importante aún: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-

1, xk].

Método de los rectángulos

El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con los puntos de cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea

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el valor máximo de la derivada en valor absoluto.

Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral verifica:

Prueba: Tomemos n = 1; en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a). Tenemos

(por integración)

luego:

Al pasar del caso n = 1 al caso n cualquiera se remplaza el intervalo [a, b] por otro de

longitud n veces menor, es decir se remplaza en la fórmula b - a por , luego se multiplica por n el error porque hay n pequeños intervalos con la longitud anterior:

es el error máximo.

Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aquí M1 = |m|)

lo que implica que este método dista mucho de ser eficaz: un error en se considera

enorme: tiende muy lentamente hacia cero.

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Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos

Método de los puntos medios

El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular. La suma es

.

Sea

el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto. Entonces el error verifica:

.

Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de Riemann es

.

da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan los valores absolutos por una desigualdad doble)

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y luego

. Observamos que .

Luego

: desigualdad triangular en integrales, luego (1) da:

.

Con n cualquiera, se vuelve que se multiplica por n porque hay n intervalos.

El error es acotado por un término en lo que es mucho mejor que el del método anterior porque converge hacia cero mucho más de prisa.

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Áreas equivalentes

El área del trapecio azul es el mismo que el del rectángulo verde y de los rectángulos adyacientes rojos

Método de los trapecios

El método de los trapecios consiste en aproximar la integral por el área total de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el eje horizontal (ver figura azul). La suma es La suma es

.

Tres interpretaciones del área obtenida por el método de los trapecios

A primera vista (ver figura azul) no corresponde a una suma de Riemann; sin embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados horizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto A); estos puntos siempre existen, en cada intervalo [xk-1, xk], por el

teorema de los valores intermedios: , que es la altura del

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rectángulo, es un valor alcanzado por f porque pertenece al intervalo . Para estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja. El área total (color rosado) está compuesta por:

* dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el caso de un intervalo

de longitud en el método de los rectángulos (punto de cálculo en un extremo del

intervalo), es decir por y

* n - 1 rectángulos de anchura con puntos de cálculo centrales (como el punto B

de la figura) luego el error es acotado por

Luego el error total es inferior o igual a ; por

tanto es acotado por un término en .Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de M1:

, es decir que el error máximo es exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos medios de no obligar a calcular otros

valores de la función salvo los que a menudo ya se han calculado previamente a la estimación de la integral.

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