1-Teoría de La Medición y Sistemas de Unidades

1 FÍSICA ELEMENTAL | Universidadel Privada del Norte – Sede Cajamarca 2012-

II

Docente: Jorge Malpica Briones. Lectura Previa El 11 de Diciembre de 1998 fue lanzada la sonda MarsClimateOrbiterdesde Cabo Cañaveral. Era la segunda nave espacial del programa MarsSurveyor ’98 de la NASA, la otra nave era la Mars Polar Lander. Ambas sondas fueron lanzadas por separado pero constituían una única misión con la finalidad de estudiar el clima de Marte. La misión estaba programada para durar dos años terrestres, sin embargo, la MarsClimateOrbiter perdió contacto con la Tierra en Setiembre de 1999, cuando ya había llegado a las inmediaciones de Marte. No se volvió a saber de ella.

¿Cuál fue el error? La sonda fue destruida debido a un error de navegación. El equipo de control de la NASA en la Tierra hacía uso del Sistema Métrico de Unidades (km, kg) para el cálculo de los parámetros de inserción (correcciones de trayectoria de la sonda) y enviaba los datos numéricos a la MarsClimateOrbiter, la cual realizaba los cálculos con el Sistema Inglés de Unidades (milla, libra). Así, la sonda realizaba las correcciones de trayectoria de una manera completamente diferente a lo esperado y durante meses, de tal manera que el error fue acumulativo. Al llegar a las inmediaciones de Marte en Setiembre de 1999, pasó sobre este planeta a 57 km de altura de su superficie, en lugar de los 140 – 150 km previstos. La sonda, de hecho, fue destruida por el calor debido a la fricción con la atmósfera del planeta. La confusión de unidades de medida le costó a la NASA 125 millones de dólares.

𝖋 01. LA MEDICIÓN EXPERIMENTACIÓN Y MEDICIÓN Al igual que otras ciencias la física está basada en

observaciones experimentales y mediciones

cuantitativas, es por ello la importancia de la

experimentación en el proceso de verificación de leyes

o la formulación de éstas; enmarcada en la mejor

prueba que es el experimento. De acuerdo a D. C. Baird: “La experimentación es el proceso completo de identificar una porción del mundo que nos rodea, obtener información de ella e interpretarla”. La experimentación se entiende como una serie de pasos controlables, mediante variables que hace verificable el objeto en estudio. La medición, como parte esencial del desarrollo de la ciencia es cuantificar la realidad que se experimenta. El científico inglés William Thomson Kelvin (1824-1907) resumió laimportancia de la medición, en el siguiente comentario: "Con frecuencia digo que cuando se puede medir y expresar con números aquello sobre lo cual se está hablando, se sabe algo del tema; pero cuando no se puede medir, es decir, cuando no es posible expresarlo con números, el conocimiento es insuficiente".

LÉXICO USUAL EN TEORÍA DE LA MEDICIÓN El estudio de los sistemas de medición está a cargo de la Metrología. Para un entendimiento mutuo a nivel mundial, los metrólogos hacen uso de un léxico acordado internacionalmente por medio del Vocabulario Internacional de Metrología (VIM). Algunas de las definiciones más usuales se dan a continuación:

MAGNITUD(medible): Propiedad física medible de un fenómeno, cuerpo o sustancia, que es susceptible de distinguirse cualitativamente y de determinarse cuantitativamente. EJEMPLOS: Longitud, tiempo, masa, temperatura, resistencia eléctrica, etc.

UNIDAD(de medida): Magnitud particular definida y adoptada por convención, con la cual se comparan magnitudes de la misma

2 FÍSICA ELEMENTAL | Universidadel Privada del Norte – Sede Cajamarca 2012-II

naturaleza para expresarlas cuantitativamente en relación a dicha magnitud. NOTA: Las unidades de medida tienen asignados por convenio sus nombres y símbolos. EJEMPLO: m es el símbolo del metro y A es el símbolo del ampere

VALOR O MEDIDA(de una magnitud):

Expresión cuantitativa de una magnitud en particular, que resulta de comparar la cantidad de magnitud que queremos medir con la unidad de esa magnitud, bajo la forma de un número multiplicado por una unidad. EJEMPLOS: a) LONGITUD DE UNA VARILLA: 5,2m b) MASA DE UN CUERPO: 0,152Kg

VALOR NUMÉRICO: Es el número (sin unidades) expresado en la medida.

MEDICIÓN: Conjunto de operaciones que

tiene por finalidad determinar la medida de una magnitud mediante comparación con la unidad de medida.

MENSURANDO: Magnitud dada, sometida a

medición.

EJEMPLO: la presión de vapor de una muestra dada de agua a 20°C

MEDIDA MATERIALIZADA: Dispositivo destinado a reproducir o proveer de forma permanente durante su empleo, una o varias medidas de un mensurando.

PATRÓN: Medida materializada, aparato de

medición o material de referencia, destinado a definir, conservar o reproducir una unidad para servir como referencia.

EJEMPLOS: a) Patrón de masa de 1Kg b) resistencia patrón de 100Ω

CALIBRACIÓN: Operaciones que establecen bajo condiciones específicas, la relación entre los valores de una magnitud indicados por un instrumento o sistema de medición,

o los valores representados por una medida materializada y los valores correspondientes de la magnitud, realizados por los patrones.

Ejemplo 1. Al medir la profundidad de un pozo petrolero se obtuvo un resultado de 40,5 metros. Mensurando (= magnitud a medir): Longitud Unidad: metro (m) Valor numérico: 40,5 Valor o medida: 40,5 m “Para una magnitud concreta se pueden utilizar diferentes unidades”. Ejemplo 2.El periodo de rotación de la Tierra alrededor de su eje es de 24 h = 86 400 s, donde hora (h) y segundo (s) son unidades alternativas para expresar la misma medida de la magnitud tiempo. EL PROCESO DE MEDICIÓN Una medición se lleva a cabo con una especificación apropiada de:

EL MENSURANDO: La magnitud a medir o el fenómeno específico en estudio.

EL MÉTODO DE MEDICIÓN: Secuencia lógica de operaciones usada en la ejecución de las mediciones de acuerdo con un principio de medición específico. Entre éstos tenemos: El método de sustitución, método diferencial, método de cero, etc.

EL PRINCIPIO DE MEDICIÓN: Fundamento

científico del método de medición utilizado. Entre ellos tenemos: El principio de equilibrio hidrostático en la medición de presiones, el principio de dilatación de fluidos en la medición de temperaturas con un termómetro de mercurio, etc.

EL PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN:

Conjunto de operaciones utilizada en la ejecución de las mediciones, de acuerdo a un método de medición determinado.


En el proceso de medición intervienen un conjunto de factores que son imprescindibles y/o determinan su resultado, la medida:

MENSURANDO: Lo que se mide.

INSTRUMENTO: Con lo que se mide.

PATRÓN: En base al cual se mide.

OPERADOR: Quien mide.

MEDIO O LABORATORIO: Donde se mide.

MAGNITUDES DE INFLUENCIA: Del medio, del instrumento, del operador, etc.

En un sentido amplio, se considera que las magnitudes de influencia incluyen no sólo las condiciones ambientales del medio como son: la temperatura, la presión barométrica, la humedad, etc., sino también incluye fenómenos tales como las fluctuaciones breves de los instrumentos de medición, valores asociados con patrones de medición, la destreza y eficiencia del operador en el manejo de instrumentos y datos de referencia, de los cuales puede depender el resultado de la medición.

𝖋 02. SISTEMAS DE UNIDADES Los sistemas de unidades son convenios establecidos por la comunidad científica, de tal

manera que se haga uso de un mismo lenguaje científico a nivel internacional. Se han creado diferentes sistemas de unidades. Estos son:

Sistema absoluto. Sistema técnico. Sistema Internacional de Unidades.

SISTEMA ABSOLUTO Se clasifica en S. Métrico y S. Inglés.

MAGNITUD MÉTRICO INGLÉS

M.K.S c.g.s F.P.S Masa Longitud Tiempo

kg m s

g cm s

lb pie

s

Fuerza Energía

N J

dina ergio

poundal -

Donde: M.K.S. = Metro - Kilogramo - Segundo c.g.s. = centímetro - gramo - segundo F.P.S = Foot (pie) - Pound (libra) - Second (segundo) lb = libra N = Newton J = Joule SISTEMA TÉCNICO Se clasifica en S. Métrico y S. Inglés.

MAGNITUD MÉTRICO INGLÉS

Masa Longitud Tiempo

U.T.M. m s

slug pie s

Fuerza kg-f lb-f

Donde: U.T.M = Unidad Técnica de Masa kg-f = kilogramo - fuerza lb-f = libra - fuerza SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) El Sistema Internacional de Unidades es el sistema coherente de unidades establecido en 1960 en la 11a Conferencia General De Pesas y Medidas (CGPM). Se abrevia universalmente como SI, del francés Le Système Internationald’Unités y es el sistema adoptado y recomendado para su uso a nivel mundial. Hasta antes de Octubre de 1995 el SI estaba integrado por tres clases de unidades:


Unidades SI de base, Unidades SI suplementarias y unidades SI derivadas. La 20a CGPM, reunida en esa fecha, decidió que las unidades suplementarias (radián y estereorradián) formaran parte de las unidades derivadas adimensionales. Con esta decisión las clases de unidades que forman el SI se redujo a unidades SI de base o fundamentales y unidades SI derivadas. UNIDADES SI DE BASE O FUNDAMENTALES Son siete unidades sobre las que se fundamenta el SI.

MAGNITUD UNIDADES SI DE BASE

NOMBRE SÍMBOLO

Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura termodinámica Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

metro kilogramo segundo ampere kelvin

candela mol

m kg s A K cd

mol

METRO (m): Es la longitud de la trayectoria

recorrida por la luz en el vacío en un lapso de 1/299 792 458 desegundo, (17a CGPM, 1983).

KILOGRAMO (kg): Es la masa igual a la

delprototipo internacionaldel kilogramo, (1a y 3aCGPM, 1889 y 1901)

SEGUNDO (s): Es la duración de 9 192 631

770 períodos de laradiación correspondiente a la transición entrelos dos niveles hiperfinos del estadofundamental del átomo de cesio 133 (13aCGPM, 1967).

AMPERE (A): Es la intensidad de una

corriente constante que mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos de longitud infinita, de sección circular despreciable, colocados a un metro de distancia entre sí, en el vacío, producirá entre ellos una fuerza igual a 2x10-7 newton por metro de longitud (9a CGPM, 1948).

KELVIN (K): Es la fracción de1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (13a CGPM, 1967).

CANDELA (cd): Es la intensidad luminosa en

una dirección dadade una fuente que emite una radiaciónmonocromática de frecuencia

540x1012hertz ycuya intensidad energética en esa dirección es1/683 watt por esterradián (16a CGPM, 1979).

MOL (mol): Es la cantidad de sustancia que

contiene tantasentidades elementales como existen átomos en0,012 kg de carbono 12 (14a CGPM, 1971).

UNIDADES SI DERIVADAS Se expresan algebraicamente en términos de unidades de base u otras unidades derivadas (incluyendo radián y estereorradián). Ciertas unidades SI derivadas tienen nombres y símbolos especiales que son útiles para expresar otras unidades derivadas. Algunas unidades derivadas se muestran en las siguientes dos tablas. Ejemplo 3. La magnitud capacidad de calor tiene por unidad (derivada) al J/K (joule por kelvin) que expresada en unidades de base sería m2 · kg · s-2 · K-1, más extenso. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES DE LAS UNIDADES SI: PREFIJOS SI Mediante éstos, se evita el uso de valores numéricos muy extensos o muy pequeños. Un prefijo se pega directamente al nombre de la unidad o al símbolo de la misma. Cuando se hace esto, las unidades así formadas se denominan “múltiplos y submúltiplos de unidades SI”. En tabla al final de la página se presentan los prefijos SI. Ejemplo 4. Un gigavoltio con símbolos “1 GV” es igual a mil millones de de voltios con símbolos “1 000 000 000 V” UNIDADES FUERA DEL SI Las unidades que están fuera del SI pueden dividirse en tres categorías:

Unidades aceptadas para su uso en el SI.

Unidades aceptadas temporalmente para su uso en el SI.


Unidades no aceptadas en el SI y que se

deben evitar estrictamente.

UNIDADES ACEPTADAS PARA SU USO POR EL SI

NOMBRE SÍMBOLO VALOR EN UNIDADES SI

Tiempo Minuto Hora Día

Ángulo plano

Grado Minuto Segundo Volumen

Litro Masa

Tonelada métrica

min

h d ° ‘ ’’

l, L

t

1 min = 60 s

1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 86 400 s

1° = (π/180) rad 1’ = (1/60)° = (π /10 800) rad 1’’ = (1/60)’ = (π/680 000) rad

1 L = 10 dm3 = 10-3 m3

1 t = 103 kg

UNIDADES ACEPTADAS TEMPORALMENTE PARA SU USO POR EL SI


Longitud Milla náutica Nudo Ångström

Superficie Área Hectárea Barn

Presión Bar Aceleración

Gal

- - Å

a ha b

bar

Gal

1 milla náutica = 1 852 m

1 nudo = (1 852/3 600) m/s 1 Å = 0,1 nm = 10-10 m

1 a = 1 dam2 = 102 m2

1 ha = 1 hm2 = 104 m2

1 b = 1 fm2 = 10-28 m2

1 bar = 105 Pa

1 Gal = 1 cm/s2

UNIDADES NO ACEPTADAS PARA SU USO POR EL SI


Energía Erg (ergio) Caloría

Fuerza Dyne (dina) Kilogramo-fuerza

Longitud Fermi Micrón

Presión Torr Atmósfera estándar

Viscosidad dinámica

Poise Viscosidad cinemática

Stokes

erg (ergio)

calth calIT

cal15 dyn (dina)

kg-f

fermi

μ

Torr

atm

P

St

1 ergio = 10-7 J 1 calth = 4,184 J

1 calIT = 4,1868 J 1 cal15 = 4, 1855 J

1 dina = 10-5 N

1 kg-f = 9,806 65 N

1 fermi = 1 fm = 10-15 m

1 μ = 10-6 m

1 Torr = (101 325/760) Pa

1 atm = 101 325 Pa

1 P = 1 dina · s/cm2 = 0,1 Pa · s

1 St = 1 cm2/s = 10-4 m2/s

REGLAS Y CONVENCIONES DE ESTILO PARA EL USO DE UNIDADES SI 1. Los símbolos de unidades se escriben en

minúsculas, salvo excepciones. No son seguidos de punto a no ser que vayan al final de una frase. Tampoco se alteran por el plural.

Ejemplo 5. CORRECTO INCORRECTO m (metro) kg (kilogramo) g (gramo) l, L (litro)

m., mts, mt, Mt, M kg., kgs, kilo, KG g., grs, gr, Gr l., L., lt, lts, Lt

K (kelvin) k, °K 2. Evitar el uso de abreviaturas para unidades.

Ejemplo 6.

4 s y no 4 seg 70 cm3 y no 70 cc 48 h y no 48 hrs 10 m/s y no 10 mps

3. No usar simultáneamente símbolos y

nombres de unidades. Ejemplo 7.

J/s y no Joule/s J/segundo Joule/segundo

4. Cuando se den valores de magnitudes,

cualquier información concerniente a sus condiciones de medición debe ser presentada de manera que no se asocien con la unidad.

Ejemplo 8.

El contenido de Pb es 5 ng/L

y no 5 ng de Pb/L o 5 ng de plomo/L

El número de densidad de los átomos de O2 es 3 x 1018 cm-3

y no

La densidad es 3 x 1018 átomos de O2/cm3

5. Expresar la información cuantitativa con sus

símbolos respectivos tanto del valor numérico como de la unidad y evitar expresarla con el nombre completo del valor numérico y/o la unidad.


Ejemplo 9. La longitud del láser es 5 m y no

La longitud del láser es cinco metros.

La muestra fue calentada a una temperatura de 955 K por 12 h

y no

La muestra fue calentada a una temperatura de 955 kelvins por 12 horas.

6. Los valores de magnitudes deben escribirse

de manera nítida de tal manera que sea completamente claro a que símbolos de unidades pertenecen los valores numéricos.

Ejemplo 10.

5 m x 3 m x 2 m y no 5 x 3 x 2 m 0 °C a 100 °C o (0 a 100) °C

y no

0 a 100 °C o 0 °C – 100 °C o 0 – 100 °C

(8,2; 9,2; 9,8) Hz

y no

8,2; 9,2; 9,8 Hz

6,3 m ± 0,1 m o

(6,3 ± 0,1) m y no

6,3 ± 0,1 m o

6,3 m ± 0,1

12 s + 3 s = 15 s y no 12 + 3 s = 15 s 7. La combinación de letras “ppm”, “ppb” y

“ppt” que expresan los términos: partes por millón, partes por billón y partes por trillón respectivamente, así como similares, no deben ser usados para expresar valores de cantidades. Una de las razones es la falta de consenso respecto al término billón (en E.E.U.U, un billón es igual a mil millones). En su lugar, se recomienda usar las siguientes formas como en el ejemplo.

Ejemplo 11.

4,3 μL/L o 4,3 V y no 4,3 ppm 5,2 nm/m o 5,2 l

y no

5,2 ppb

710 ps/s o 710 t

y no

710 000 ppb

Donde V, l y t son los símbolos que representan a las magnitudes volumen, longitud y tiempo, respectivamente.

𝖋 03. NOTACIÓN CIENTÍFICA La notación científica, también llamada forma estándar o notación exponencial, es un modo útil de expresar números muy grandes o muy pequeños de una manera más compacta utilizando potencias con base diez. Es usada comúnmente por científicos, matemáticos e ingenieros que trabajan con estos números. En general, los números en notación científica son escritos así:

b10a

Donde el exponente “b” es un entero y el coeficiente “a” un número real llamado significando o mantisa (aunque el término mantisa resulta ambiguo por ser también utilizado en logaritmos). Ejemplo 12. El número diez milésimas o 10 000 se escribe en notación científica 104. El exponente indica el número de ceros que hay a la derecha del 1 en la expresión convencional del número. Análogamente diez milésimas o 1/10 000 = 0, 0001 se escribe en notación científica 1/104 = 10-4. El exponente negativo indica el número de lugares a la izquierda del 1 en que se halla la coma decimal en la expresión convencional del número. CONVERSIÓN DE NOTACIÓN DECIMAL ORDINARIA A NOTACIÓN CIENTÍFICA Y VICEVERSA Para convertir de la notación decimal ordinaria a la notación científica, movemos la coma decimal el número de lugares que deseemos a la izquierda o a la derecha, de tal manera que el significando quede en el rango que deseemos (entre 1 y 10 para la forma normalizada). Ejemplo 14. Si iniciamos con 1 230 000, movemos la coma decimal 6 lugares a la izquierda (si deseamos la forma normalizada) obteniendo 1,23 que multiplicando por 106, nos da 1,23 x 106. Similarmente, si iniciamos con 0,000 000 234, movemos la coma decimal 7 lugares a la derecha obteniendo 2,34 que multiplicando por 10-7, nos da 2,34 x 10-7.


Para convertir de notación científica a notación decimal ordinaria, tomamos el significando y movemos la coma decimal tantos lugares como indique el valor de exponente: a la izquierda si el exponente es negativo o a la derecha si es positivo. Luego, agregamos adelante o atrás, respectivamente, tantos ceros como sean necesarios.

5,7x106=5700000

5,7x10

-6=0,0000057

Ejemplo 15. Si iniciamos con 3,8 x 1010, movemos la coma decimal 10 lugares a la derecha, obteniendo como resultado 38 000 000 000. Similarmente, si iniciamos con -6,4 x 10-3, movemos la coma decimal 3 lugares a la izquierda, obteniendo como resultado -0,0064 Para convertir entre diferentes representaciones de notación científica del mismo número, movemos la coma a la izquierda o derecha tantos lugares como deseemos, de tal manera que el exponente, respectivamente, aumenta o disminuye, en un valor igual a ese número de lugares. Es de utilidad al normalizar. Ejemplo 16. Si iniciamos con 1,563 26 x 1012 y movemos la coma 4 lugares a la derecha, obtenemos como resultado 15 632,6 x 1012-4 = 15 632,6 x 108. Similarmente, si iniciamos con 2,3 x 10-5 y movemos la coma 3 lugares a la izquierda, obtenemos como resultado 0,0023 x 10-5 + 3 = 0,0023 x 10-2.

Ejemplo 17. Conversión de algunos números en notación decimal ordinaria a notación científica (normalizada). 476 341 100 = 4,762 411 x 108

2 873,23 = 2,873 23 x 103 -15000 = -1,5 x 104 0,000 000 0044 = 4,4 x 10-9 0,003 902 = 3,902 x 10-3 -0,080 02 = -8,002 x 10-2 Ejemplo 18. Conversión de algunos números en notación científica a notación decimal ordinaria. 76 x 104 = 760 00 342, 34 x 105 = 34 234 000 -0,0023 x 109 = -2 300 000 45,1234 x 10-5 = 0,000 451 234 0,347 234 x 10-2 = 0,003 472 34 -23 x 10-4 = -0,0023 Ejemplo 19. Normalización de un número en notación científica. 123,24 x 106 = 1,2324 x 108 0, 000 04 x 1011 = 4 x 106 7 864 x 107 = 7,864 x 1010 38,45 x 10-9 = 3,845 x 10-8 0,000 3233 x 10-4 = 3,233 x 10-8 324 x 10-13 = 3,24 x 10-11 OPERACIONES ARITMÉTICAS DE NÚMEROS CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

SUMA Y RESTA:La suma y resta requiere que los números estén representados con la misma parte exponencial, de tal manera que los significandos puedan ser simplemente sumados o restados. Esta operación se puede llevar a cabo con los siguientes pasos: 1o Convertir los números de tal manera que todos tengan la misma parte exponencial. 2oSumar o restar los significandos.

Ejemplo 20. 23,4 x 10-3 + 5,67 x 10-4

= 23,4 x 10-3 + 0,567 x 10-3 = 23,967 x 10-3 = 2,3967 x 10-3

0,0


7,2234 x 108 – 0,000 564 x 1012 = 7,2234 x 108 – 5,64 x 108 = 1,5834 x 108

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Se multiplican (dividen) los significandos y se suman (restan) los exponentes. Luego, si es necesario, se normaliza el resultado.

Ejemplo 21. (5,67 x 10-5)(8,24 x 102)

= 46,7208 x 10-3 = 4,672 08 x 10-2 (2,34 x 102) / (3,9 x 10-7)

= 0,6 x 109 = 6 x 108

POTENCIACIÓN: Se eleva el significando a la

potencia y se multiplican los exponentes. Si es necesario, se normaliza el resultado.

Ejemplo 22. (8,2 x 105)4 = (8,2)4 x 1020

= 4 521,2176 x 1020 = 4,521 2176 x 1023 (3,2 x 104)-3 = (3,2)-3 x 10-12

= 0,0305 x 10-12 = 3,05 x 10-14

RADICACIÓN: Primero, se convierte el número de tal manera que el exponente sea múltiplo del índice de la raíz. Luego, se extrae la raíz del significando y se divide el exponente por el índice de la raíz. Se normaliza el resultado si fuese necesario.

Ejemplo 23.

= 6,14 x 102

-2-23-6/33/1 10 x 79,910 x 93710 x 937

𝖋 04. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas (también llamadas dígitos significativos) de un número son aquellos dígitos que contribuyen significativamente a la precisión de dicho número. El concepto de cifras significativas está ligado a los de aproximación y redondeo, conceptos útiles cuando se trabaja con números extensos y se desea realizar cálculos prácticos.

EXACTITUD Y PRECISIÓN La exactitud de un sistema de medida es el grado de cercanía de las medidas de una cantidad a su valor real. La precisión de un sistema de medida, también llamada reproducibilidad o repetibilidad, es el grado en el cual, medidas repetidas bajo mismas condiciones, muestran los mismos resultados. De esta manera, la exactitud es el grado de veracidad y la precisión el grado de repetibilidad o cercanía entre valores obtenidos al realizar medidas. Ejemplo 24. Lanzamiento de dardos a un blanco inmóvil.

Ilustración de precisión y exactitud como conceptos independientes. Cada columna (A, C y B,D) tiene la misma precisión y cada fila (A, B y C, D) tiene la misma precisión. REDONDEO GAUSSIANO No siempre es necesario trabajar con todas las cifras decimales de un número. Para ello, lo que se hace es suprimir un grupo de éstas de acuerdo a la precisión que nos pidan, esta operación se denomina aproximación. A la mejor de las aproximaciones se le denomina redondeo.

6/333 63 8 10 x 23210 x 23210 x ,322

3/1-63/1-4 10 x 93710 x 37,9


Para redondear un número a determinado orden, se suprimen las cifras hasta dicho orden cumpliendo las siguientes reglas:

Si la primera cifra suprimida es mayor a 5, la cifra anterior (no suprimida) aumenta en una unidad.

Si la primera cifra suprimida es menor a 5, la cifra anterior no aumenta.

Si la primera cifra suprimida es igual a 5 y la

anterior es par, ésta última no aumenta.

Si la primera cifra suprimida es igual a 5y la anterior es impar, ésta última aumenta en una unidad. Si es par no aumenta.

A esta método de redondeo se le da distintas denominaciones:redondeo gaussiano, convergente, imparcial, holandés, de banquero, o de estadístico. Ejemplo 25. Redondeo de números. Redondear 335,863 4733 a 7 dígitos.

Sol: 335,863 4733 ≈ 335,8635

Redondear 346,343 a 4 dígitos.

Sol: 346,343 ≈ 346,3

Redondear 4,75 a 2 dígitos. Sol: 4,75 ≈ 4,8

Redondear 239,8445 a 6 dígitos. Sol:239,8445 ≈ 239,844

Redondear 37,2005 a 5 dígitos.

Sol: 37,2005 ≈ 37,200

Redondear -3,095 a 3 dígitos. Sol:-3,095 ≈ -3,10

GUÍA PARA EL USO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las reglas para identificar cifras significativas de valores cuando se escriben o interpretan números MEDIDOS O CALCULADOS son las siguientes:

Todo dígito diferente de cero es considerado significativo.

Ejemplo 26. 4,23 tiene tres cifras significativas. 2,432 92 tiene seis cifras significativas. 7 773 tiene cuatro cifras significativas. 8 tiene una cifra significativa.

los ceros ubicados entre dígitos distintos de

cero son significativos.

Ejemplo 27. 2, 45002 tiene seis cifras significativas. 400,38 tiene cinco cifras significativas. 10 000,000 01 tiene diez cifras significativas. 2 000 098 tiene siete cifras significativas.

Los ceros escritos a la izquierda del primer

dígito distinto de cero no son significativos. Ejemplo 28. 0,000 234 tiene tres cifras significativas 0,0032 tiene dos cifras significativas 0,000 020 03 tiene cuatro cifras significativas. 0,09 tiene una cifra significativa.

Para números con coma decimal, todos los

ceros ubicados a la derecha del último dígito distinto de cero son significativos.

Ejemplo 29. 34,6300 tiene siete cifras significativas. 0,7500 tiene cuatro cifras significativas. 0,003 400 0900tiene ocho cifras significativas. 700,00 tiene cinco cifras significativas.

Para números sin coma decimal, los ceros

ubicados a la derecha del último dígito distinto de cero, pueden ser o no significativos. Para saber cuál es el número de cifras significativas en este caso, es necesario: a) Si el valor numérico es producto de una

medición, obtener más datos respecto al


procedimiento con que se obtuvo la medida.

b) Expresar el número en notación científica. De esa manera, se evitan ambigüedades.

Ejemplo 31. 1 300 puede tener dos, tres o cuatro cifras significativas. 1 000 200 puede tener cinco, seis o siete cifras significativas. 30 000 puede tener una, dos, tres, cuatro, o cinco cifras significativas. 40 puede tener una o dos cifras significativas Ejemplo 32. Expresando el número 30 000 del ejemplo anterior en notación científica: 3,0000 x 104 tiene cinco cifras significativas. 3,000 x 104 tiene cuatro cifras significativas. 3,00 x 104 tiene tres cifras significativas. 3,0 x 104 tiene dos cifras significativas. 3 x 104tiene una cifra significativa. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS DE NÚMEROS

SUMA Y RESTA: El resultado debe tener tantas cifras significativas a la derecha de la coma decimal como el sumando que tiene la menor cantidad de cifras significativas a la derecha de la coma decimal.

Ejemplo 33. 12,4553 + 223,5 + 234,3 + 4,6

= 474,8553 se redondea a 474,9. 4,45 – 0,4000

= 4,0500 se redondea a 4,05. 0,036 + 0,94 + 2

= 2,976 se redondea a 3,98. 57,57 x 10-3 + 6,68 x 10-4

= 575,7x 10-4 + 6,68 x 10-4 = 582,38 x 10-4 se redondea a 582,4x 10-4.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: El resultado debe tener tantas cifras significativas como el sumando que tiene la menor cantidad de cifras significativas.

Ejemplo 34. 14,67 x 4,7654 = 69,908 418 se redondea a

69,91. 78,6 / 6,644 33 = 11,829 635… se redondea

a 11,8. (2,45 x 104)(1,0088 x 102)

= 2,559 56 x 106 se redondea a 12,56 x 106 (14,7536 x 10-7) / (2,666 X 10-3)

= 5,5339 8 x 10-4 se redondea a 5,534 x 10-4

Para números que NO SON MEDIDOS O

CALCULADOS, que pueden estar presentes en fórmulas matemáticas como constantes, o se obtienen por conteo, se les considera que poseen infinitas cifras significativas.

Ejemplo 35. En la fórmula del área de un triángulo, A =

(b x h) / 2. El número 2 tiene infinitas cifras significativas: 2 = 2,000 000 000…

Se tienen 5 probetas que contienen cada una “a” mL de agua, en total se tiene: (5 x a) mL de agua. El número 5 producto del conteo tiene infinitas cifras significativas: 5 = 5,000 000 000…


ANEXO IMPORTANTE

TABLA DE CONVERSIÓN DE UNIDADES

MAGNITUD UNIDADES SI DERIVADAS

NOMBRE SÍMBOLO

Superficie o área Volumen o capacidad Velocidad lineal Velocidad angular Aceleración Aceleración angular Número de onda (wave) Densidad de masa Volumen específico Densidad de corriente concentración luminosidad

metro cuadrado metro cúbico

metro por segundo radián por segundo

metro por segundo cuadrado radián por segundo cuadrado

inversa de metro kilogramo por metro cúbico metro cúbico por kilogramo ampere por metro cuadrado

mol por metro cúbico candela por metro cuadrado

m2 m3

m/s rad/s m/s2

rad/s2 m-1

kg/m3 m3/kg A/m2

mol/m3 cd/m2

MAGNITUD

UNIDADES SI DERIVADAS CON NOMBRES ESPECIALES

NOMBRE ESPECIAL SÍMBOLO ESPECIAL

EXPRESIÓN EN TÉRMINOS DE

UNIDADES SI DE BASE

Ángulo plano Ángulo sólido Frecuencia Fuerza Presión Energía, trabajo, cantidad de calor Poder, flujo radiante Carga eléctrica, cantidad de electricidad Potencial eléctrico, voltaje, fuerza automotriz Capacitancia Resistencia eléctrica Conductancia eléctrica Flujo magnético Densidad de flujo magnético Inductancia Temperatura Celsius Flujo luminoso Iluminación

radián estereorradián hertz (hercio)

newton pascal

joule (julio) watt (vatio)

coulomb (coulombio) volt (voltio)

farad (faradio) ohm (ohmio)

siemens weber tesla

henry grado Celsius

lumen lux

rad sr Hz N Pa J

W C V F Ω S

Wb T H °C lm lx

m · m-1 = 1 m2 · m-2 = 1

s-1 m · kg · s-2

m-1 · kg · s-2 m2 · kg · s-2 m2 · kg · s-3

s · A m2 · kg · s-3 · A-1

m-2 · kg-1 · s-4 · A2 m2 · kg · s-3 · A-2

m-2 · kg-1 · s-3 · A2 m2 · kg · s-2 · A-1

kg · s-2 · A-1 m2 · kg · s-2 · A-2

K cd · sr

m-2 · cd · sr

PREFIJOS SI

FACTOR PREFIJO SÍMBOLO FACTOR PREFIJO SÍMBOLO

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

yota zeta exa peta tera giga

mega kilo

hecto deca

Y Z E P T G M k h

da

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

deci centi mili

micro nano pico

femto atto

zepto yopto

d c m μ n p f a z y


SEMINARIO DE PROBLEMAS

I. Escriba V de verdadero o F de falso al costado izquierdo de las siguientes afirmaciones. 1. la unidad SI de masa es el gramo (g). 2. La velocidad es una magnitud

fundamental 3. El volumen es una magnitud derivada. 4. La cantidad 10,001 W tiene dos cifras

significativas. 5. La cantidad 0,419 x 106 J tiene tres

cifras significativas. 6. La cantidad 5 x103N tiene tres cifras

significativas. 7. Al multiplicar tres valores medidos

(1,48 m)x(21,45 m)x(0,20 m), el producto 6,3492 m3 está expresado correctamente.

8. El valor medido 7 000 N, se puede representar correctamente como 7 kN

9. Para convertir m/s a km/h basta multiplicar la cantidad en m/s por 3,6 y obtenemos el equivalente en km/h; ya que 3,6 es un factor de conversión.

10. 1 g/cm3 es equivalente a 103 kg/m3.

II. Responda a las siguientes preguntas:

1. Exprese las siguientes cantidades ennotación científica:

a) 0,000000027 m. b) 356 g. c) 47 764 pies2. d) 0,096 Km. e) 0,0001234 mm.

2. Exprese las siguientes cantidades usando

prefijos en vez de notación científica: a)54,7 x 1010 J b)12,3 x 10-5 kg c)4,7 x 1013 g d)0,42 x 10-5 s e)0,06 x 105 Pa f)72 x 102 m/s g)63 x 10-13 N h)4,1 x 107 N.m

3. Cuantas cifras significativas hay en

lossiguientes números: a) 0,006 L b) 0,0605dm c) 60,5 mg. d) 605,5 cm2 e) 960 x 10-3 g

f) 6,0 kg. g) 4867 mi h) 56 mL i) 60 104 ton j) 2 900 g k) 40,2 g/cm3 l) 0,00000003 cm m) 0,7 min n) 4,6 x 1019 átomos.

4. Exprese las siguientes cantidades usandoprefijos en vez de notación científica: a) 3,0 x 10-4m g) 63 x 10-13 N b) 4,7 x 1013 g h) 0,003 x 1011 K c) 72 x 102 m/s i) 12,3 x 10 kg d) 270 x 10-19 Pa j) 0,16 x 10-5 C e) 54,7 x 1010 J k) 4,1 x 107N.m f) 0,42 x 10-5 s l) 410 x 10-7m/s²

5. Redondear las siguientes cantidades de

talmanera que cada medida tenga tres cifrassignificativas. a) 422,32 cm2 b) 3 428 g c) 16,15 s d) 50,51N e) 65,49 J f) 128,50 W g) 129,50 W

6. Entre las alternativas, una de las unidades

no corresponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional:

a) metro (m) b) Pascal (Pa) c) Amperio (A) d) candela (cd)

7. Exprese las siguientes cantidades

utilizando notación científica: a) 100 cm. c) 0.02 Mg b) 2.30 µm. d) 5000 ps.

8. Convertir las cantidades correspondientes

a la unidad indicada: a) 15.2 m a pulgadas. b) 39.02 yardas a Km. c) 5432.90 m a millas.

9. Una membrana celular posee un espesor de 7mm. ¿Cuántas membranas de este


espesor deberían apilarse para conseguir una altura de una pulgada.

10. Un trabajador está pintando las paredes de una pieza cuadrada de 8,0 pies de alto y 12,0 pies en los otros lados. ¿Qué área superficial en m2 debe pintar?

11. Suponga que su cabello crece a razón de 1/32 pulgadas por día. Encuentre la razón de crecimiento en nanómetros (nm) por segundo. Debido a que la distancia entre átomos en una molécula es del orden de 0,1 nm, su respuesta sugiere que como rápidamente capas de átomos son ensambladas en esta síntesis de proteína.

12. El volumen de un libro es de 8,5 in3

(pulgada cúbica). Convierta este valor a m3, usando la definición de que 1 in = 2,54 cm.

13. Una porción rectangular de construcción

tiene 100 pies por 150 pies. Determine el área de esta porción en m2

14. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. ¿Cuál es la velocidad de un avión supersónico que se mueve con una velocidad doble a la velocidad del sonido? Dar la respuesta en kilómetro por hora y milla por hora.

15. Un jugador de baloncesto tiene una altura de 6 pies y 10,5 pulgadas. ¿Cuál es su altura en centímetros?

16. Conduciendo en cerca de unos centros

poblados en la cordillera, usted ve un letrero que indica el límite de velocidad como 9600 furlongs por quincena. ¿Cuánto es esto en mi/h? un furlong es 1/8mi y una quincena es 14 días. (originalmente un furlong era el largo de un surco arado).

17. En un litro hay 1,057 cuartos y 4 cuartos

en un galón. a) ¿Cuántos litros hay en un galón? b) un barril equivale a 42 galones. ¿cuántos metros cúbicos hay en un barril?

18. Una milla cuadrada tiene 640 acres.

¿Cuántos metros cuadrados hay en un acre?

19. Un cilindro circular recto tiene un diámetro de 6.8 pulgadas y una altura de 2 pies. ¿cuál es el volumen del cilindro en pies cúbicos, metros cúbicos?

20. Se quiere medir el volumen de una piedra irregular y se dispone de una probeta que contiene 20cm3 de agua. Se introduce la piedra en la probeta y el agua sube hasta un nivel de 27 cm3. ¿Cual es el volumen de la piedra en mm3, dm3, m3, hm3, L, dL, cL, mL?

21. El kilogramo patrón es un cilindro de platino-iridio de 39,0 mm de altura y 39,0 mm de diámetro. ¿Cuál es la densidad del material?

22. La masa de Saturno es de 5,64x 10 26 kg y

su radio es de 6,00x 107 m. Calcule su densidad.

23. Un teatro mide 40,0m x 20,0m x 12,0m. La

densidad del aire es 1,29 kg/m3 , ¿Cuáles son a) el volumen del teatro y b) la masa del aire que contiene ?

24. Un galón de pintura (volumen = 3,78x10-

3 m3) cubre un área de 25,0 m2 ¿Cuál es el espesor de la pintura en la pared?

25. El Sol posee una masa de 1,99x1030 kg.

Fundamentalmente el Sol está compuesto de hidrógeno, con solo una pequeña cantidad de elementos más pesados. El átomo de hidrógeno tiene una masa de 1,67x10-27 kg. Estimar el número de átomos de hidrógeno del Sol.

26. Juan es campesino y tiene 45 años. Desde

la edad de 13 años que empezó su trabajo recorre diariamente 4 km en promedio ¿Cuál es el orden de magnitud de la longitud total recorrida por Juan?

27. ¿Cuántos gramos de cobre se requieren para construir un cascarón esférico hueco con un radio interior de 5,70 cm y un radio exterior de 5,75 cm. La densidad del cobre es 8,92g/cm3.

28. La cantidad de agua en las presas con frecuencia se mide en acres-pie. Un acre-pie es un volumen que cubre un área de un acre a una profundidad de 1 pie. Un acre


representa un área de 43 560 pies2. Encuentre el volumen en unidades del SI de una presa que contiene 25,0 acres-pies de agua.

29. Una placa circular plana de cobre tiene un

radio de 0.243 m y una masa de 62 kg. ¿Cuál es el espesor de la placa? (densidad del Cu=8900Kg/m3)

30. Al calcular el volumen de un

paralelepípedo se multiplican la longitud de sus tres aristas (3,49 m) x (12,45 m)x(0,21 m), obteniéndose 9,124605 m3. Diga si el valor calculado se escribió correctamente. Si es necesario haga las correcciones que crea conveniente.

31. Asuma que en llenar un tanque de gasolina

de 30 galones toma 7 minutos. a) Calcule la razón a la cual el tanque es llenado en galones por segundo. b) Calcule la razón a la cual el tanque es llenado en m3/s. c) Determine el intervalo de tiempo, en horas, que se necesita para llenar 1 m3 a la misma razón (1 U.S. gal = 231 in3)

32. En otoño de 2002, un grupo de científicos

de los Álamos National laboratory determinó que la masa crítica del Neptunio 237 es unos 60 kg. La masa crítica de un material fisionable es la cantidad mínima que debe juntarse para iniciar una reacción en cadena. Este elemento tiene una densidad de 19,5 g/cm3. ¿Qué radio tendría una esfera de este material que tiene la masa crítica?

33. Una pirámide tiene una altura de 481 pies

y su base cubre un área de 13 acres (ver figura). Si el volumen de la pirámide esta dado por la expresión V = A·h/3, donde A es el área de la base y h es la altura, encuentre el volumen de esta pirámide en m3 (1 acre = 43.560 ft2).

EJERCICIOS ADICIONALES: Revisar el Capítulo 1 del libro Mecánica para Ingenieros_ Estática bedford y desarrollar 25 ejercicios propuestos. Entregarlos en la tercera semana.

1-Teoría de La Medición y Sistemas de Unidades

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