8/16/2019 1.- Trasformada de Laplace (Ejercicios)

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Trasformada de Laplace:

En las cátedras anteriores observamos cómo resolver ecuaciones diferencialeslineales con coeficientes constantes sujetas a condiciones dadas llamadas de frontera

o condiciones iniciales. Recordemos que el método consiste en encontrar la solucióngeneral de las ecuaciones en términos de un número de constantes arbitrarias y luegodeterminar estas constantes de las condiciones dadas.

Algunos matemáticos inquietos, viendo que las manipulaciones algebraicas síconducían a resultados correctos razonaron que debería haber alguna manera decolocar los procedimientos en una base matemática rigurosa. La investigación haciaeste objetivo condujo al poderoso método de las transformadas de Laplace, dichométodo tiene varias ventajas sobre otros métodos. Primero, usando el método

podemos, transformar ecuaciones diferenciales dadas en ecuaciones algebraicas.Segundo, cualesquiera condiciones iniciales dadas automáticamente se incorporan enel problema algebraico de modo que no se necesita hacer ninguna consideraciónespecial sobre ellas. Finalmente, el uso de tablas de transformadas de Laplacereducen el trabajo de obtener soluciones lo mismo que las tablas de integralesreducen el trabajo de integración.

Las transformadas de Laplace tienen muchas otras aplicaciones además deresolver ecuaciones diferenciales, tales como la evaluación de integrales y la soluciónde ecuaciones integrales.

Sea ( ), 0dada. La transformada de Laplace de ( ) se define como: () = ℒ{ ()} = − ()∞

Donde es un parámetro real. El símboloℒ se llama el operador de latransformada de Laplace.

La integral impropia en la ecuación anterior se define como:

lim>∞ − ()

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Y la transformada de Laplace se dice que existe o no de acuerdo a si el límiteexiste o no. Si dicho límite existe decimos que la integral converge. Condiciones bajolas cuales la transformada de Laplace existe las discutiremos luego, Usando laprimera ecuación definida podemos encontrar la transformada de Laplace de varias

funciones, y en las tablas que se les suministrara.

Ejemplo:

Hallar la trasformada de Laplace deℒ{1} yℒ{};Solución 1:

ℒ{1} =∫ − (1)∞ ;lim>∞∫ − = lim>∞− | = lim>∞− = ; si 0.

Solución 2:

ℒ{} =∫ − ( )∞ ;lim>∞∫ −( − ) = lim>∞

( )−( − )| =lim>∞−

( )− = − ; si .

Estas soluciones son las trasformaciones en la tabla número 1 y 5.

Uso de las tablas:

Hallar la trasformada de Laplace deℒ{8} ;ℒ{ ℎ(9 )} ; ℒ{.cos(7 )} Solución 1:

ℒ{8} =8 ∗ℒ{} ;ℒ{8 } = 8 ∗ ! = 8 ∗;ℒ{8 } =48

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Solución 2:

ℒ{ ℎ(9 )} = 9 (9) = 9 81

Solución 3:

ℒ{ .cos(7 )} = 6( 6) (7) = 6 12 13

Uso de la propiedad lineal y teoremas de base:

Hallar la trasformada de Laplace deℒ{5 4} ;ℒ{68 32 7} ; ℒ{94 5sen() 17cos(8 )} Solución 1:

ℒ{5 4} = 5∗ ℒ{ } ;ℒ{5 4} = 5 ∗ 4∗;ℒ{5 4} =48

Solución 2:

ℒ{ 6 32 7} = 6∗ℒ{} 32∗ℒ{} ℒ{7} 6∗ 8!+ 32∗ 1 7 ∗1 = 6 ∗40320 32∗ 1 7 ∗1 241920 32 7 = 7 32 241920

Solución 3:

ℒ{9 4∗ 5∗() 17∗cos(8)}=ℒ{9} 4∗ ℒ{ } 5 ∗ℒ{ ()} 17∗ ℒ{cos(8 )} 9∗ 1 4∗ 1 3 5∗

1 1 17∗

8

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9 4 3 5 1

17 64 =

17 64

5 1

9 4 3