Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

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HOJA  10  (A)  –  TEORÍA  DE  LA  RELATIVIDAD  ESPECIAL    TIPO  54    LIBRO  PÁGINA  268:  ejercicios  38  y  40.    10.(A).1. Compara   las   dos   expresiones   siguientes:   “El   tiempo   medido   desde   un   observador   en   movimiento   se  

dilata”,  “Los  relojes  en  un  cuerpo  en  movimiento  se  atrasan”.    10.(A).2. La  Tierra  gira  alrededor  del  Sol,  una  estrella  perteneciente  a  la  galaxia  Vía  Láctea.  Nuestro  Sistema  Solar  

se   encuentra   lejos   del  centro   de   la  galaxia,   a   unos   30000   años   luz   de   distancia.   Imagina   que   una   nave  espacial  que  viaja  a  una  velocidad  que  es  el  80%  de  la  velocidad  de  la  luz  decide  ir  desde  la  Tierra  hasta  el  centro  de  la  galaxia.  a) ¿Cuánto  tiempo  tardaría  desde  el  punto  de  vista  de  alguien  que  se  ha  quedado  en  la  Tierra?  b) ¿Cuánto  tiempo  tardaría  desde  el  punto  de  vista  de  la  nave?  Sol:  a)  𝐭 = 𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎  𝐚ñ𝐨𝐬;    b)  𝐭𝟎 = 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎  𝐚ñ𝐨𝐬  

 10.(A).3. En  un  laboratorio  se  han  ajustado  dos  relojes  idénticos  para  que  suene  un  “tic”  cada  segundo.  Uno  de  los  

relojes   se  mueve   con   una   velocidad   0,6c   y   el   otro   se   encuentra   estacionario.   ¿Cuál   es   el   tiempo   que  transcurre  entre  dos  “tic”  del  reloj  móvil  cuando  el  intervalo  es  medido  por  el  reloj  estacionario? Sol:  ∆𝒕 = 𝟏!𝟐𝟓  𝒔  

 10.(A).4. Un   satélite   se   encuentra   situado   en   una   órbita   geoestacionaria   a   una   altura   de   36   000   km   sobre   la  

superficie  de  la  Tierra  y,  por  tanto,  da  una  vuelta  a  esta  cada  24  h.  a) ¿Cuánto  tardará  el  reloj  del  satélite  en  retrasarse  1  s  respecto  de  los  relojes  terrestres?  b) Indica  alguna  situación  en  la  que  es  necesario  tener  en  cuenta  este  tipo  de  retrasos.  Pista:  ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡′  Sol:  𝟔𝟎𝟐  𝒂ñ𝒐𝒔    

10.(A).5. Una   nave   espacial   abandona   la   Tierra   a   la   velocidad   de   0,98c.   Determina   el   tiempo   que   necesita   el  minutero   de   un   reloj   de   la   nave   en   efectuar   una   revolución   completa   si   la   medición   la   realiza   un  observador  situado  en  la  Tierra  Sol:  𝟑𝟎𝟏!𝟓  𝒔      

10.(A).6. Dos  hermanos  gemelos  tienen  20  años.  A  sale  con  un  cohete  hacia  una  estrella  a  una  velocidad  constante  

de  𝑣 = !!𝑐  y  el  hermano  B  se  queda  en  la  Tierra.  Cuando  el  hermano  A  llega  a  la  estrella,  su  reloj  indica  

que  el  viaje  a  durado  30  años.  ¿Cuántos  años  tienen  en  ese  momento  ambos  hermanos?  Sol:  𝑨:𝟓𝟎  𝒂ñ𝒐𝒔, 𝑩:𝟖𝟎  𝒂ñ𝒐𝒔.  

 10.(A).7. Si   la  vida  media  de   los  piones   (partículas   subatómicas)  en   reposo  es  de  2!6 · 10!!  𝑠.     ¿A  qué  velocidad  

deben  viajar  los  piones  para  que  su  vida  media,  medida  en  el  laboratorio,  sea  de  4!2 · 10!!  𝑠?  Sol:  𝒗 ≈ 𝟎!𝟕𝟗𝒄      

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 10.(A).8. Dos  gemelos  tienen  20  años.  Uno  va  y  vuelve  a  una  estrella  situada  a  𝟐!𝟒 · 𝟏𝟎𝟏𝟎  𝒌𝒎,  con  una  velocidad  

de  𝟎!𝟗𝒄.  Calcula  el  tiempo  que  transcurre  para  cada  gemelo.    Para  el  gemelo  que  se  encuentra  en  la  Tierra:    

𝒕 =𝑒𝑣=

2 · 2!4 · 10!"  𝑚0!9 · 3 · 10!  𝑚/𝑠

= 1′7 · 10!  𝑠   ≈ 𝟒𝟗′𝟑𝟖  𝒉  

 Para  el  gemelo  que  viaja  en  la  nave:    

𝒕! = 𝑡 · 1 −𝑣!

𝑐!= 1!7 · 10!  𝑠 · 1 − 0′9! = 7!75 · 10!  𝑠 ≈ 𝟐𝟏!𝟓𝟑  𝒉  

 TIPO  55    LIBRO  PÁGINA  268:  ejercicio  25.  

 10.(A).9. Un   rectángulo,   cuyos   lados   miden   en   reposo   0!5  𝑚   y   0!75  𝑚,   se   mueve   con   velocidad   𝑣 = !

!𝑐,  

paralelamente  al  lado  mayor.  c) ¿Cuál  será  su  superficie  para  un  observador  en  reposo?  d) ¿Cuál  ha  de  ser  su  velocidad  para  que  a  dicho  observador  en  reposo  le  parezca  un  cuadrado?  Sol:  a)  𝑨 = 𝟎!𝟑𝟐𝟓  𝒎𝟐;        b)  𝒗 ≈ 𝟎!𝟕𝟓𝒄    

10.(A).10. Una  lámina  de  forma  rectangular  en  el  sistema  S’,  ligado  al  rectángulo,  tiene  longitudes  propias  x’  =  4  m  y  

y’  =  2  m.  El  sistema  S’  se  mueve  con  respecto  al  sistema  S  con  una  velocidad  constante  𝑣 = !!!  𝚤.  Halla  las  

dimensiones  de  la  lámina  respecto  al  sistema  inercial  S.  Sol:  𝒙 = 𝟐  𝒎, 𝒚 = 𝟐  𝒎    

10.(A).11. Sobre  el  mapa,  la  distancia  Madrid  –  Sevilla  es  de  470  km,  que  son  recorridos  por  el  AVE  a  una  velocidad  media  de  300  km/h.  Utilizando  la  corrección  relativista,  determina  la  distancia  Madrid  –  Sevilla  percibida  por  un  pasajero  de  dicho  tren.      

10.(A).12. En  el  sistema  S’  de  referencia  se  encuentra  una  barra  inmóvil  de  longitud  L’=  5  m  de  longitud  orientada  un  ángulo  𝛼′ = 37°  respecto  al  eje  X’.  Encuentra  su  longitud  L  y  el  ángulo  𝛼  correspondiente  al  sistema  S  de  

referencia.  S  se  mueve  con  respecto  a  S’  con  velocidad  constante  𝑣 = !!!  𝚤.  

Sol:  𝑳 = 𝟑 𝟐  𝒎,        𝜶 = 𝟒𝟓°    

10.(A).13. Se  determina,  por  métodos  ópticos,  la  longitud  de  una  nave  espacial  que  pasa  por  las  proximidades  de  la  Tierra,  resultando  ser  de  100  m.  En  contacto  radiofónico  los  astronautas  que  viajan  en  la  nave  comunican  que  la  longitud  de  su  nave  es  de  120  m.  ¿Qué  explicación  tienes  para  este  hecho?  ¿A  qué  velocidad  viaja  la  nave  con  respecto  a  la  Tierra?  Sol:  𝒗 ≈ 𝟎!𝟓𝟓𝒄  

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 10.(A).14. Dos  gemelos  tienen  20  años.  Uno  va  y  vuelve  a  una  estrella  situada  a  𝟐!𝟒 · 𝟏𝟎𝟏𝟎  𝒌𝒎,  con  una  velocidad  

de  𝟎!𝟗𝒄.  Calcula  el   tiempo  que  transcurre  para  cada  gemelo  mediante   la  contracción  relativista  de   la  longitud.    Para  el  gemelo  que  se  encuentra  en  la  Tierra:  𝑙 = 2!4 · 10!"  𝑚.    

El  gemelo  que  se  viaja  en  la  nave,  debido  a  que  lo  hace  a  una  velocidad  próxima  a  la  de  la  luz,  la  longitud  que  mide  entre  la  Tierra  y  la  estrella  se  contrae:    

𝑙! = 𝑙 1 −𝑣𝑐

!→ 𝑙! = 𝑙 · 1 −

0!9  𝑐𝑐

!= 𝑙 · 0!19  

 

𝑙! = 1!046 · 10!"  𝑚    

Como  suponemos  que  la  nave  describe  un  movimiento  rectilíneo  uniforme,  podemos  calcular  el  tiempo  que  mide  el  gemelo  que  permanece  en  la  Tierra  y  el  que  mide  el  gemelo  viajero:    

Gemelo  –  Tierra:    

𝒕 =𝑒𝑣=

2 · 2!4 · 10!"  𝑚0!9 · 3 · 10!  𝑚/𝑠

= 1′7 · 10!  𝑠   ≈ 𝟒𝟗′𝟑𝟖  𝒉    

Gemelo  –  Nave:    

𝒕 =𝑒𝑣=2 · 1!046 · 10!"  𝑚0!9 · 3 · 10!  𝑚/𝑠

= 7′75 · 10!  𝑠   ≈ 𝟐𝟏′𝟓𝟑  𝒉  

 10.(A).15. Una  barra  se  mueve  con  velocidad  constante  v  a   lo   largo  del  eje  de  abscisas  respecto  de  un    sistema  

inercial  S.  Un  observador  situado  en  el  sistema  S  encuentra  que  la  longitud  de  la  barra  es  1%  menor  que  su  longitud  propia.  Calcula  el  módulo  de  v.  

 La   longitud   propia   de   la   barra   𝐿!,   es   lo   que   mediría   un   observador   situado   en   un   sistema   inercial   𝑆′  respecto  del  cual  la  barra  se  encuentre  en  reposo.  Entre  ambas  medidas  existe  la  relación:  

𝐿 = 𝐿! 1 −𝑣𝑐

!  

 El  valor  de  𝐿  que  mide  el  observador  situado  en  𝑆  es  un  1%  menor  que  𝐿!:    

𝐿 = 0!99 · 𝐿!    

0!99 · 𝐿! = 𝐿! 1 −𝑣𝑐

!  →      0′99! = 1 −

𝑣!

𝑐!  →    

𝑣!

𝑐!= 1 − 0′99!  

 𝑣! = 𝑐! · 1 − 0′99!    →    𝑣 = 𝑐 · 1 − 0′99!  

 𝒗 = 𝟎!𝟏𝟒𝒄  

   

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   TIPO  56    LIBRO  PÁGINAS  266  y  268:  ejercicios  1,  34,  35  y  36.  

 10.(A).16. Una   partícula   cuya  masa   en   reposo   es  𝑚! = 15  𝑔   se  mueve   con   una   velocidad  𝑣 = !!

!   respecto   a   un  

sistema  de  referencia  S.  Halla  la  masa  relativista  respecto  a  dicho  sistema.  Sol:  𝒎 = 𝟑𝟎  𝒈      

10.(A).17. Una   partícula   en   reposo   tiene   una  masa  𝑚! = 1  𝑘𝑔.   Si   la   partícula   se  mueve   con   velocidad   constante  

𝑣 = !!!  respecto  a  un  sistema  de  referencia  S.  ¿Cuál  es  su  energía  cinética  respecto  al  observador  S?  

Sol:  𝑬𝑪 = 𝟗 · 𝟏𝟎𝟏𝟔  𝑱    

10.(A).18. ¿Qué   trabajo   es   necesario   realizar   para   aumentar   la   velocidad   de   una   partícula   de   masa   en   reposo  𝑚! = 1  𝑔  desde  𝑣! = 0!6  𝑐  hasta  𝑣! = 0!8  𝑐?  Sol:  𝟑𝟕𝟖 · 𝟏𝟎𝟏𝟏  𝑱    

10.(A).19. ¿A  qué  velocidad  la  masa  de  un  cuerpo  será  el  doble  de  la  que  tiene  en  reposo?  Sol:  𝒗 ≈ 𝟎!𝟖𝟔𝟔𝒄    

10.(A).20. La  energía  del  Sol   llega  a   la  Tierra  con  una  potencia  de  1!4  𝑘𝑊/𝑚!.  Considerando  que   la  Tierra  está  a  1!5 · 10!!  𝑚   del   Sol,   calcula   la   cantidad   de  masa   que   pierde   diariamente   el   Sol   para   poder   aportar   la  energía  que  emite.  𝑀!"# = 2 · 10!"  𝑘𝑔  Sol:  𝒎 = 𝟑!𝟖 · 𝟏𝟎𝟏𝟒  𝒌𝒈    

10.(A).21. La  energía  en  reposo  de  un  electrón  es  0,511  MeV.  Si  el  electrón  se  mueve  con  una  velocidad:  v  =  0,8c,  siendo  c  la  velocidad  de  la  luz  en  el  vacío:  a) ¿Cuál  es  la  masa  relativista  del  electrón  para  esta  velocidad?  b) ¿Cuál  es  la  energía  relativista  total?  Sol:  𝒂)  𝒎 = 𝟏!𝟓 · 𝟏𝟎!𝟑𝟎  𝒌𝒈;      𝒃)  𝑬 = 𝟎!𝟖𝟓𝟐  𝑴𝒆𝑽    

10.(A).22. ¿Cuál  es   la  energía  en  reposo,  expresada  en  J  y  en  MeV,  de  un  neutrón?  ¿Qué  energía  cinética  poseerá  cuando  se  mueva  a  0!5𝑐?  Datos:  𝑚! = 1!675 · 10!!"𝑘𝑔, 𝑐 = 3 · 10!  𝑚/𝑠    Sol:  𝑬𝟎 = 𝟗𝟒𝟏  𝑴𝒆𝑽;  𝑬𝒄 = 𝟏𝟒!𝟓𝟔𝑴𝒆𝑽  

 10.(A).23. Un  electrón  tiene  una  energía  en  reposo  de  0!51𝑀𝑒𝑉.  Si  el  electrón  se  mueve  con  una  velocidad  de  0!8𝑐.  

Se  pide  determinar  su  masa  relativista,  su  cantidad  de  movimiento  y  su  energía  total.  Sol:  a)  𝒎 = 𝟏!𝟓𝟏𝟑 · 𝟏𝟎!𝟑𝟎  𝒌𝒈;        b)  𝒑 = 𝟑!𝟔𝟑𝟏 · 𝟏𝟎!𝟐𝟐  𝒌𝒈 ·𝒎/𝒔;        c)  𝑬 = 𝟎!𝟖𝟓  𝑴𝒆𝑽          

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 10.(A).24. ¿Cuál  debería  ser   la  velocidad  de  una  nave  espacial  con  respecto  a   la  Tierra,  para  que  un  observador  

situado  en  la  Tierra  mida  que  su  longitud  es  la  mitad  de  lo  que  mide  un  observador  situado  en  la  nave  espacial?  ¿Cuál  sería  la  energía  cinética  de  la  nave  espacial,  si  su  masa  en  reposo  es  de  5000  kg?  

 

La  longitud  de  la  nave  vista  por  el  observador  dentro  de  la  misma:  𝑙′.  

Longitud  de  la  nave  vista  por  un  observador  en  la  Tierra:  𝑙.  

 

Nos  dicen  que  𝑙! = 2 · 𝑙.  Aplicando  la  fórmula  de  contracción  relativista  de  la  longitud  y  comparándola  con  la  relación  dada  entre  las  longitudes  podemos  calcular  el  factor  de  Lorentz:  

𝑙! = 𝛾 · 𝑙    ⟶    𝜸 = 𝟐  

Una  vez  que  conocemos  el  valor  del  factor  de  Lorentz  podemos  calcular  la  velocidad  de  la  nave  respecto  a  la  Tierra:  

𝛾 =1

1 − 𝑣!

𝑐!

   ⟶    1 −𝑣!

𝑐!=1𝛾!    ⟶    

𝑣!

𝑐!= 1 −

1𝛾!

 

𝑣! = 𝑐! 1 −1𝛾!

   ⟶    𝒗 = 𝒄 𝟏 −𝟏𝜸𝟐

 

Sustituimos  los  datos  y  calculamos  v:  

𝒗 = 3 · 10!  𝑚/𝑠 1 −14≈ 𝟐′𝟓𝟗𝟖 · 𝟏𝟎𝟖  𝒎/𝒔 ≈ 𝟎′𝟖𝟕 · 𝒄  

 

 

Calculamos   ahora   la   energía   cinética   de   la   nave,   teniendo   en   cuenta   los   efectos   relativistas   sobre   la  masa:  

𝐸! = ∆𝑚 · 𝑐! = 𝑚 −𝑚! · 𝑐! =𝑚!

1 − 𝑣!

𝑐!

−𝑚! 𝑐! =1

1 − 𝑣!

𝑐!

− 1 𝑚!𝑐!  

𝐸! = 𝛾 − 1 𝑚!𝑐! = 2 − 1 · 5000  𝑘𝑔 · 3 · 10!  𝑚/𝑠 !  

 

𝑬𝑪 = 𝟒!𝟓 · 𝟏𝟎𝟐𝟎  𝑱