10 eta logaritmikoak Funtzio arrazionalak,...

MATEMATIKA B 163

1. Funtzio arrazionalak …………………… orria 166 Alderantzizko proportzionaltasuneko funtzioak Asintotak Beste funtzio arrazional batzuk

2. Funtzio esponentzialak ……….……… orria 169 Ezaugarriak Hazkuntza esponentziala Aplikazioak 3. Funtzio logaritmikoak ………………… orria 172 Esponentzialaren alderantzizko funtzioa Funtzio logaritmikoa Logaritmoak

Praktikatzeko ariketak

Gehiago jakiteko

Laburpena

Autoebaluazioa

Tutoreari bidaltzeko jarduerak

Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu:

• Alderantzizko funtzioaren ezaugarriak eta deskribatzen dituen fenomenoak ezagutzen.

• Hiperbola baten asintotak aurkitzen.

• Funtzio espotentzialak ezagutu eta irudikatzen.

• Funtzio espotentzialak interes konposatuan eta beste egoera batzuetan aplikatzen.

• Zenbaki baten logaritmoa kalkulatzen.

• Funtzio logaritmikoen grafikoak interpretatzen.

Funtzio arrazionalak, esponentzialak

eta logaritmikoak 10

164 MATEMATIKA B

MATEMATIKA B 165

Hasi baino lehen

Gogora ezazu

Aurreko ikasturtean progresioak ikasi zenituen, bai aritmetikoak bai geometrikoak, agertokian azken hauek errepasa ditzakezu, ongi etorriko zaizu funtzio esponentziala hobeto uler dezazun.

Progresio Geometrikoa Progresio geometrikoa elementu sekuentzia batek osatzen du, elementu bakoitza aurrekoa progresioaren arrazoia deritzon konstante batez biderkatuz lortzen dela.

Ikertu Benjamin Franklinek, zientzialari eta estatista ospetsuak, 1000 librako ondarea utzi zien Boston eta Filadelfia hiriei, ikasle gazteei urteko % 5 maileguan eman ziezaieten. Franklinen aburuz, 100 urteren buruan 131000 libra bihurtuko ziratekeen, horietatik 100000 lan publikotarako erabiliko ziren eta beste 31000 berriro mailegu gisa erabiliko ziren beste 100 urtez. Ongi kalkulatu al zuen?

Funtzio esponentzialak eta logaritmikoak

166 MATEMATIKA B

1. Funtzio arrazionalak

Alderantzizko proportzionaltasuneko funtzioak Alderantzizko proportzionaltasuneko funtzioak alderantziz proportzionalak diren bi magnitude erlazionatzen ditu.

Bere adierazpen aljebraikoa hau da: xk

)x(f =

Bere grafikoa hiperbola da. Irudian f(x)=1/x -en trazadura ikus daiteke.

Haciendo una tabla de valores:

x 1 2 0,5 4 0.25 -1 -2 -0.5

f(x) 1 0,5 2 0,25 4 -1 -0,5 -2

A partir de ésta observa cómo cambia la gráfica al variar el valor de la constante k:

Asintotak f(x)=k/x funtzioaren grafikoan ikus daiteke nola hiperbolaren adarrak koordenatuen ardatzera hurbiltzen diren, asintotak dira.

Funtzio baten grafikoa gero eta gehiago hurbiltzen zaionean zuzen bati, harekin bat eginez, zuzena asintota dela esaten da.

Zuzen hauek planoan edozein norabide har badezakete ere, hemen hauetara mugatuko gara:

Asintota bertikalak. x=a zuzena funtzioaren asintota bertikala da, x-en balioak a-rantz jotzen duela egiaztatzen bada, f(x)-en balioak balio gero eta handiagoetarantz jotzen du, f(x)→+∞, edo txikiagoetarantz, f(x)→-∞.

Asintota horizontalak. y=b zuzena asintota horizontala da funtzioan x→+∞ edo x→-∞ denean, f(x) → b egiaztatzen bada.

o Asintota bertikalak x=1 x→1+ (eskuinaldean) f(x)→+∞ x→1- (ezkerraldean) f(x)→- ∞

o Asintota horizontalak y=1 x→+∞ f(x)→ 2 x→- ∞ f(x)→ 2


• Eremua eta ibilbidea erreal guztiak dira, 0 izan ezik.

• Funtzio bakoitia da: f(-x)=k/(-x)=-f(x).

• k>0 bada, funtzioa beherakorra da eta bere grafikoa 1. eta 3. koadranteetan agertzen da.

• k<0 bada, funtzioa gorakorra da eta bere grafikoa 2. eta 4. koadranteetan dago.

MATEMATIKA B 167

Beste funtzio arrazional batzuk Funtzio arrazionalak adierazpen aljebraikoan polinomioen zatidura dutenak dira.

)x(Q)x(P

)x(f =

• Haien eremua erreal guztiak dira, izendatzailea baliogabetzen dutenak izan ezik. Puntu horietan asintota bertikal bat dago.

• Zenbakitzailearen eta izendatzailearen mailek bat egiten badute asintota horizontala dago.

• Para calcular el punto de corte con el eje OY se calcula f(0), y para calcular los cortes con el eje OX se resuelve la ecuación P(x)=0.

Guztien artean errazena alderantzizko proportzionaltasuneko funtzioa da, atal honen hasieran agertzen dena.

Asintotak kalkulatu eta marrazteak, daudenean, funtzioaren grafikoa nolakoa den oso erraz jakiteko aukera ematen du. Horretarako, zenbakitzailearen eta izendatzailearen arteko zatidura egiten da, ezkerreko adibidean agertzen den bezala.


Ebatzitako ARIKETAK 1. Zein da irudiko angeluzuzenen azalera?

Azalera = oinarria x altuera

Horrela marraztutako angeluzuzen guztietan

Azalera =x·y=4

2. Hurrengo taula alderantziz proportzionalak diren kopuruei dagokie. Osatu eta idatzi y=f(x) funtzioaren adierazpen aljebraikoa.

Alderantziz proportzionalak diren bi kopururen biderkadura konstantea da.

Kasu honetan 0,5·(-12)=(-2)·3=-6

Hau da funtzioa f(x)=x6−

x f(x) -3

0.5 -12

-1,2

-2 3

-3

-1

x f(x) 2 -3

0.5 -12

5 -1,2

-2 3

-3 2

-1 6

Kalkulatu asintotak • Izendatzailea 0 da baldin eta x=1,

AV: x=1

• Zenbakitzailea izendatzailearekin zatitzean 2x –3 x – 1 -2x +2 2 Zatidura Hondarra: –1

21x

11x3x2

)x(f +−

−=

−−

= AH: y=2

Eta gainerakoak hiperbolaren forma adierazten du, honela: y=-1/x

168 MATEMATIKA B


Ebatzitako ARIKETAK

3. Boyle-Mariotteren legearen arabera, gas batek egiten duen presioa eta hartzen duen bolumena alderantziz proportzionalak dira. Gas kopuru zehatz batek 25º-tan 2 litroko bolumena hartzen du eta 3 atmosferaren presioa egiten du.

a) Zein bolumen hartuko du atmosfera baten presioa egiten duenean?.

b) Zein presio egingo du bolumena 3 litrokoa denean?.

c) Idatzi presioa → bolumena funtzioa eta marraztu dagokion grafikoa

P·V=cte. kasu honetan P·V=6

a) P=1 atm. V=6 litro b) V=3 litro P=2 atm.

c) f(x)=x6

8. Hurrengo funtzioetan, marraztu asintotak eta idatzi beren ekuazioa

9. Erabaki zein grafiko dagokion funtzio bakoitzari:

1) 1x

1)x(f

−= → e

2) 1x

1)x(f

+= → b

3) x

1x)x(f

+= → c

4) x

x1)x(f

−= → f

5) 1x1x

)x(f−+

= → a

6) 1x1x

)x(f+−

= → d

AB: x=-1 AH: y=2

AB: x=2 AH: y=1

AB: x=1 AH: y=-2

presioa

MATEMATIKA B 169

Eskuineko grafikoetan ikus daiteke konstante bat y=k·ax biderkatzean OY ardatzarekiko ebakidura-puntua (0,k) dela.

b konstante bat batzean (edo kentzean) grafikoa gorantz (edo beherantz) mugitzen da b unitate eta asintota horizontala y=b izango da.

2. Funtzio esponentzialak

Funtzio esponentziala Funtzio esponentziala y=ax formakoa da, a zenbaki erreal positiboa izanik. Irudian grafiko honen trazadura ikusten da: y=2x.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.5

y 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 -2

Beheko grafikoetan a aldatzen denean grafikoa nola aldatzen den ikus daiteke. Ikusi y=ax eta y=(1/a)x=a-x -en grafikoak simetrikoak direla OY ardatzarekiko.

Hazkuntza esponentziala Funtzio esponentziala agertzen da animalia, landare zein ekonomia arloetako hazkuntza fenomeno askotan. Kasu guztietan aldagaia denbora da.

Hazkuntza esponentzialean, y-ren balio bakoitza aurreko balioa a kopuru konstante batez biderkatuz lortzen da.

k hasierako balioa da (t=0 denean), t igarotako denbora da eta a denbora unitate bakoitzarekin biderkatzen den faktorea da. 0<a<1 bada, beherakuntza esponentziala da.


Eremua zenbaki errealak dira eta ibilbidea erreal positiboak dira. • Jarraia da eremu osoan

zehar • a>1 bada, funtzioa

gorakorra da eremu osoan • OY ardatza mozten du (0,1)

puntuan • OX ardatza asintota

horizontala da • La función es inyectiva, esto

es si am=an entonces m=n.

Laborategi batean bakterio-labore bat daukate, haren pisua 2 bider biderkatzen bada egunero, zein izango da haren hazkundea hasierako pisua 3 gr-koa bada?

Hasieraku pisua: 3 gr Hazkuntz. x 2rekin

x f(x) 0 3·1=3 1 3·2=6 2 3·4=12 3 3·8=24 4 3·16=32

170 MATEMATIKA B

Aplikazioak Funtzio esponentzialak bilakaera prozesuak deskribatzeko balio du, denbora-tarte txiki bateko hazkuntza (edo beherakuntza) hasieran zegoenaren proportzionala izanik. Agertokian hiru aplikazio ikus ditzakezu:

• Populazioen hazkuntza. • Metaturiko diruaren interesa. • Desintegrazio erradioaktiboa.

Interes konposatua

Interes konposatuan C0 kapital batek ematen dituen interesak honi metatzen zaizkio, noizbehinka, interes berriak emateko.

Denbora tarteak, haien buruan interesak kapitalari metatzen zaizkiola, kapitalizazio edo metatze aldiak deitzen dira. t urte badira, r da urteko korritua (urteko interesa %-etan), lortutako azken kapitala formula honek ematen du:

t

0F 100r

1CC ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅=

n denboraldi aintzat hartuz gero (hilabeteak badira n=12, hiruhilekoak badira n=4, egunak badira n=365, etab.), aurreko formula honela geratzen da:

nt

0F 100nr

1CC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅=

Polulazioen hazkuntza

Polulazio baten hazkuntza begetatiboa emandako denbora tarte bateko jaiotza eta heriotzaren.

Hasieran P0 populazioa badugu abiapuntu, i hazkunde-tasarekin (hainbatekoa bider 1 hartuta), t urteren buruan hau izango da:

P=P0·(1+i)t

Desintegrazio Erradioaktiboa

Substantzia erradioaktiboak desintegratu egiten dira denbora igaro ahala. Emandako substantzia erradikoatiboaren kopurua, t denbora igaro ahala geratzen dena,

M=M0·at M0 hasierako masa da 0<a<1 substantziaren eta hartuko dugun denbora unitatearen araberakoa.

Substantzia erradiaktiboen desintegrazioaren azkartasuna desintegrazio aldiaren arabera neurtzen da, masak erdira gutxitzeko ematen duen denbora, hain zuzen.


5000 € jarri dira urteko % 6an. Zenbat izango dira 5 urteren buruan?

• Interesak urtero metatzen badira

13,669106.15000C 5F =⋅= €

• Interesak hilero metatzen badira

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

⋅ 512

F 12006

15000C

25,6744005,15000 60 =⋅= € • Interesak hiruhilero metatzen

badira

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

⋅54

F 4006

15000C

27,6734015,15000 20 =⋅= €

Herri batek 600 biztanle ditu eta bertako biztanleria urtero % 3 hazten da.

• Zenbat biztanle izango dira 8 urteren buruan?

76003.1600P 8 ≈⋅=

Estrontzio-90 gramo bat erdira murrizten da 28 urtean. 2000. urtean 20 gr baldin bageneuzkan eta 2000. urte hori hartzen badugu denbora-jatorri gisa.

• Hau da funtzioa:

x28x

9755,0205,020)x(M ⋅=⋅= • 2053an honela geratuko da:

38,59755,020M 53 =⋅= gr

MATEMATIKA B 171

Ebatzitako ARIKETAK

6. Irudikatu eta aztertu funtzioak

a) f(x)=4·2x b) f(x)=2·3-x+1

Eremua= IR Ibilbidea=(0,+∞) Asintota: y=0 OY ebakidura: (0,4) Gorakorra

7. Egin funtzio esponentzial baten balio taula kasu bakoitzean eta idatzi adierazpen aljebraikoa. a) f(-2)=2/9 b)f(0)=3

eta hazkuntza-konstantea 3 eta txikitze-konstantea 1/4 10. Taula, kasu bakoitzean, funtzio esponentzial bati dagokio. Idatzi formula.

a) y=3x b) f(x)=(1/5)x=5-x

11. Adierazi grafikoa hazkuntza esponentziala edo txikitzea dakarren funtzio bati dagokion. Idatzi funtzioa.

a) b)


Eremua= IR Ibilbidea=(1,+∞) Asintota: y=1 OY ebakidura: (0,4) Beherakorra

x f(x) -2 2/9

-1 2/3

0 2

1 6

2 18

3 54

x f(x) -2 48

-1 12

0 3

1 3/4

2 3/16

3 3/64

x f(x) -2 1/9

-1 1/3

0 1

1 3

2 9

3 27

f(0)=3

f(1)=3·43

41

=

f(2)=163

41

43

=⋅

eta horrela hurrenez hurren

f(x)=3·x

41

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=3·4

f(-2)=2/9 f(-1)=3·2/9=2/3 f(0)=3·2/3=2 f(1)=3·2=6 eta horrela hurrenez hurren f(x)=2·3x

x f(x) -2 25

-1 5

0 1

1 1/5

2 1/25

3 1/125

Ikusi grafikoa f(0)=3 f(1)=6=3·2 f(-1)=1,5=3/2 Hau da funtzioa: f(x)=3·2x eta gorakorra da

Ikusi grafikoa f(0)=1 f(-1)=3 f(-2)=9=32 Hau da funtzioa: f(x)=(1/3)x=3-x eta beherakorra da

172 MATEMATIKA B

3. Funtzio logaritmikoak

Esponentzialaren alderantzizko funtzioa y=f(x) funtzio injektiboa emanik, f-ren alderantzizko funtzioa deitzen zaio beste funtzio bati, g, horrela g(y)=x. Ondoko agertokian urratsez urrats eraikitzen dugu funtzio esponentzialaren alderantzizkoa.

x bakoitzeko lortzen da ax. Lortutako balioa deitzen dugu y edo f(x). Esponentzialaren alderantzizko funtzioa g(y)=x betetzen duena da.

Funtzio hau funtzio logaritmikoa deitzen da eta, ikus dezakezunez, funtzio esponentzialaren simetrikoa da, lehen eta hirugarren koadranteetako erdikariari dagokionez.

Funtzio logaritmikoa Funtzio esponentzialaren alderantzizko funtzioa da eta horrela adierazten da:

y = logax, a>0 denean eta 1 ez denean.

Agertokian haren grafikoa eraikitzen dugu, esponentzialarekin egin genuen antzera. Bere ezaugarriak "simetrikoak" dira.

x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

Beheko grafikoetan a aldatzen denean grafikoa nola aldatzen den ikus daiteke.

Eskuineko grafikoetan ikus daiteke y=k·logax konstante bat biderkatzean aldatu egiten dela funtzioaren hazteko edo txikitzeko azkartasuna (k<0).

b konstante bat batzean (edo kentzean) grafikoa gorantz (edo beherantz) mugitzen da b unitate, abzisen ardatzarekiko ebakidura-puntua aldatuz.


• Eremua erreal positiboak dira eta ibilbidea erreal guztiak dira.

• Jarraia da eremu osoan zehar

• a>1 bada, funtzioa gorakorra da eremu osoan eta 0<a<1 bada, funtzioa beherakorra da.

• OY ardatza mozten du (1,0) puntuan.

• OY ardatza asintota da. • Funtzioa injektiboada, hau

da, am=an bada, orduan, m=n.

f → ← g

2 4

MATEMATIKA B 173

Logaritmoak Bi zenbaki erreal positibo emanda, a eta b (a≠1), b-ko a oinarriko logaritmoa deitzen diogu b lortzeko a berretsi behar den zenbakiari. Aurreko definizioak hau adierazten du:

logab=c ondokoaren baliokidea da: ac=b

Jarri arreta ezkerreko adibideetan.

Logaritoen ezaugarriak • Biderkadura baten logaritmoa:

loga(b·c)=logab+logac

• Zatidura baten logaritmoa: logacb

=logab–logac

• Potentzia baten logaritmoa: loga(bm)=m·logab • Edozein oinarritan: loga1=0 izan ere a0=1

logaa=1 izan ere a1=a

Logaritmo hamartarrak

10 oinarriko logaritmoak dira. Erabilienak dira, eta horregatik ez da normalean oinarria idazten erabiltzen direnean.

log 10 = log 101=1 log 100 = log 102=2

log 1000 = log 103 = 3 log 10000 = log 104 = 4 , etab.

Ikusi orduan 2 zifrako zenbaki baten log-a, 10 eta 100 artekoa, 1,... dela; 3 zifrako zenbakien log-a 2,... izango da; etab.

Bestalde:

log 0,1 = log 10-1 = -1

log 0,01 = log 10-2 = -2 log 0,001 = log 10-3 = -3, etab.

Orduan, 0,01 eta 0,1 arteko zenbaki baten log-a -1,... izango da; 0,001 eta 0,01 arteko zenbaki batena -2,... izango da; etab.

Oinarri-aldaketa Kalkulagailuek bi logaritmo-mota kalkulatzeko aukera ematen dute: hamartarrak (oinarria=10) eta nepertarrak edo naturalak (oinarria=e). Horiek ondorengo ikasturteetan ikasten dira. Beste edozein oinarritan logaritmoak kalkulatu nahi ditugunean, oinarria aldatzeko formulara jo behar dugu:


log2128=7 ←→ 27=128

log3243

1=-4 ←→ 3-4=

2431

log1/28=-3 ←→ (1/2)-3=8

log1/391

=2 ←→(1/3)2=91

Horrela: x=logab ax=b

y=logac ay=c z=loga(b·c) az=b·c

• ax·ay=ax+y=az ⇒ z=x+y

• ax/ay=ax- y=az ⇒ z=x–y

• (ax)m=ax·m=az ⇒ z=x·m

Kalkulagailuarekin Logaritmoak kalkulatzeko

log 9,043

Tekleatu 9 . 043 log

Azalduko da: 0.9563125

Egiaztatu tekla honekin: 10x

Tekleatu INV 10x

Azalduko da: 9.043

Sartzen baduzu:

log 904,3

Tekleatu 904 . 3 log


Ikusi: 904,3=9,043·100

log904,3=log9,043 +2

Oinarri-aldaketa:

log39043

Tekleatu 9043 log


Tekleatu ÷ 3 log


Tekleatu = eta emaitza

ateratzen da: 8,2920484

alog

blogbloga =

174 MATEMATIKA B


Ebatzitako ARIKETAK

12. Irudikatu eta aztertu funtzioak a) f(x)=2·log3x b) f(x)=log3x+1

13. Kalkulatu x kasu bakoitzean, logaritmoaren definizioa aplikatuta:

a) log6(1/6)=x x=-1 6-1=1/6 b) log42=x x=1/2 41/2=2

d) log5125=x x=3 53=125 f) log1/81=x x=0 (1/8)0=1

c) log381=x x=4 34=81

g) log1/525=x x=-2 (1/5)-2=25 d) log3(1/9)=x x=-2 3-2=1/9

h) log1/2(1/16)=x x=4 (1/2)4=1/16

14. log2=0,301030 dela jakinda, kalkulatu kalkulagailuaren laguntzarik gabe:

a) log40 = log(4·10) = log(22·10) = log22+log10 = 2·log2+log10 =

= 2·0,301030+1 = 1,602060

b) log1,6 = log(16/10) = log(24/10) = log24-log10 = 4log2-log10 =

= 4·0,301030-1 = 0,204120

c) log 0,125 = log(125/1000) = log 53/1000) = 3(log5 – log1000 = 3log(10/2) – 3 =

= 3(log10-log2)-3 = 3-3log2-3 = -3·0,301030 = -0,903090

15. Kalkulagailuarekin aurkitu ondorengo logaritmoak:

a) log223,721 = 2log721,23log = 4,5681

b) log325678,34561 = 3log

3456,2log = 0,7760

c) log50,37906 = 5log

37906,0log = -0,6027

d) log70,37906 = 7log

37906,0log = -0,4985 GOGORATU:

alogblog

bloga =

Eremua=(0,+∞) Ibilbidea= IR Asintota: x=0 OX ebakidura: (1,0) Gorakorra

Eremua=(0,+∞) Ibilbidea= IR Asintota: x=0 OX ebakidura: (1/3,0) Gorakorra

MATEMATIKA B 175

Praktikatzeko

1. 276 litro ur botila berdinetan ontziratuko ditugu. Idatzi botila-kopurua eta haien gaitasuna erlazionatzen dituen funtzioa.

2. Mugikor batek 130 km egiten ditu abiadura konstantean. Idatzi abiadura →denbora funtzioa, kalkulatu 50 km/h-ko abiaduran egindako denbora eta abiadura, 5 ordutan egin badu.

3. Minutuko 8 litroko emaria duen iturri batek 42 minutu behar ditu depositu bat betetzeko. Zenbat denbora beharko luke emaria minutuko 24 litrokoa balitz?. Idatzi emaria →denbora funtzioa.

4. Kalkulatu ondorengo funtzioen asintotak:

a) 3x4x2

)x(f++

= b) 3x1x

)x(f−−

=

c) x

1x2)x(f

−= d)

2xx

)x(f+

−=

5. Idatzi grafiko gisa irudikoa bezalako hiperbola, simetria-zentroa (2,-1) puntura mugituta, duen funtzioaren ekuazioa.

6. Liburu baten x aleren argitalpen-kostuak, eurotan, honek ematen ditu: y=21x+24 (x>0). Zenbat kostatzen da 8 ale argitaratzea?, eta 80 ale argitaratzea?. Idatzi ale bakoitzeko kostua ematen duen funtzioa. Ale asko argitaratu arren, zen da gutxieneko kostu unitarioa?

7. 23000 €-ko kapitala zenbat bihurtuko da 15 urteren buruan, urteko % 5,5ean?

8. Urteko % 2ko interes konposatuan jarritako kapitala 3 urteren buruan 9550,87 € bihurtu da. Zein zen hasierako kapitala?

9. 29000 €-ko kapitala, interes konposatuan jarrita, 31390,53 € bihurtu da 4 urteren buruan. Zein korritutan (urteko interesa) jarrita egon da?

10. 7000 €-ko kapitala, % 2ko interes konposatuan jarrita, 8201,61 € bihurtu da zenbait urteren buruan. Zenbat urte igaro dira?

11. Zenbat urtetan egon behar du kapitalak, urteko % 3an, kopurua bikoiztera iristeko?

12. Karbono 14ren desintegrazio-aldia 5370 urtekoa da. 10 gr zein kopurutara pasako didra 1000 urteren buruan?

13. Zenbat urte igaro behar dira K14ren 30 gr-ko lagin bat 20,86 gr bihurtzeko? (K14ren desintegrazio-aldia 5370 urtekoa da).

14. Substantzia erradiaktibo baten 60 gr-ko lagina 35,67 gr-tan bihurtzen da 30 urteren buruan. Zein da desintegrazio-aldia?

15. Bakterio-labore zehatz baten tamaina bikoiztu egiten da 30 minuturo. Laboreak hasieran 5 milioi bakterio baditu, zenbat orduren buruan izango ditu 320 milioi bakterio?

16. Bakterio-labore zehatz baten tamaina bikoiztu egiten da 20 minuturo; 3 orduren buruan laboreak 576 milioi bakterio baditu, zenbat zituen hasieran?


176 MATEMATIKA B

17. Kalkulatu zein zenbaki den:

a) 6 oinarriko logaritmoa 3 duena.

b) 4 oinarriko logaritmoa -3 duena.

c) 10 oinarriko logaritmoa 2 duena.

d) 1/2 oinarriko logaritmoa -3 duena.

e) 1/5 oinarriko logaritmoa 2 duena.

18. Zein oinarritan da...?

a) 0,001en logaritmoa -3.

b) 243ren logaritmoa 3.

c) 8ren logaritmoa 1.

d) 1/8ren logaritmoa -4.

e) 49ren logaritmoa 2.

19. Kalkulatu buruz:

a) 2 oinarriko logaritmoa 32 duena.

b) 5 oinarriko logaritmoa 125 duena.

c) 3 oinarriko logaritmoa 1/9 duena.

d) 7 oinarriko logaritmoa 1 duena.

e) 6 oinarriko logaritmoa 216 duena.

20. log2=0,3010 eta el log3=0,4771 direla jakinda, kalkulatu:

a) log 16

b) log 512

c) log(16/81)

d) log 24

e) log 72

21. Erabili kalkulagailua honen balioa aurkitzeko:

a) log7 12456,789

b) log5 5123,4345

c) log9 47658,897

d) log3 23,146

e) log6 1235,098

22. Ebatzi ekuazio esponentzialak:

a) 32-9x+9=16

b) 272x+3=93

c) 4-3x+8=8

d) 98x-7=1

e) 25-5x-5=1

23. Kalkulatu x-en balioa:

a) 7x=5

b) 5x=7

c) 2,13x=4,5

24. Logaritmoen propietateak aplikatuz, ebatzi ekuazioak:

a) log(32+x2) – 2·log(4-x) = 0

b) 2·logx – log(x-16) = 2

c) logx2 – log10

11x10 + = -2

d) 932

logxlog33x

log22x

log5 −⋅=⋅+⋅

25. Ebatzi sistemak:

a) ⎩⎨⎧

=+=⋅−⋅

1ylogxlog7ylog3xlog2

b) ⎩⎨⎧

=+=+

3ylogxlog70yx

X berretzailean dagoenean

• Ebatzi ekuazioa: 252x-3=125 25=52 eta 125=53, entonces 52(2x-3)=53 berretzaileak berdinduz 2(2x-3)=3 ⇒ x=9/4

• Kalkulatu x hemen: 3x=14 Logaritmoak hartuta: log3x=log14

xlog3=log14 beraz x= 40,23log14log

=

Ekuazioak logaritmoekin Ebatzi ekuazioa: 4·logx=2·logx+log4+2

4·logx - 2·logx =log4+log100 2·logx = log400 logx2=log400 x2=400 ⇒ x=±20


MATEMATIKA B 177

Zenbakia

e zenbakia agertzen den kurba baten formula katenaria da, kurba honek irudikatzen du katea, muturretatik zintzilikatzen denean. Linea elektrikoko kableetan eta arkitektura elementu askotan ikus dezakezu, arkuak, zubiak... parabola batekin nahas daiteke erpinaren inguruetan balio oso hurbilak baititu.

Gehiago jakiteko

Adierazpen honek sortzen du matematikan funtsezkoenetarikoa den zenbakia, e zenbakia, irrazionala eta gutxi gorabeherako balio hau duena: 2,7182818284590452...

y=ex funtzio esponentzialaren eta logaritmo nepertar edo naturalen oinarria da, bizitza errealeko egoera askotan agertzen da.

Lurrikarak, musika eta xanpua Zer dute komunean gauza hain desberdin horiek? bada, logaritmoak, hain zuzen.

Balio oso desberdinak, oso txikietatik oso handietara, hartzen dituzten neurriak irudikatu nahi direnean, eskala logaritmikoa erabiltzen da. Algunos ejemplos en que se utiliza:

• Richter eskala, lurrikaren indarra neurtzen duena.

• Soinuaren intentsitatea bel edo dezibeletan, edo pentagraman bertan.

• Substantzia baten ph-a.

• Izarren magnitudea.


Zenbat bider handiagoa da Richter eskalako 7,9ko magnitudeko lurrikara baten intentsitatea 5eko magnitudekoarekin alderatuta?

Richter eskalako neurriak logaritmo hamartarrak dira: 7,9-5=2,9

102,9=794 bider

Beste hiperbola batzuk Hiperbola konika bat da, zirkunferentzia, elipsea eta parabola bezala, kono bat plano batetik moztutakoan sortzen diren kurbak dira.

Planoko puntuen leku geometrikoa ere bada; haren bi finkoetarako, hau da, fokoetarako, distantzien aldea konstantea da.

Franklinen kalkuluak

Orain gaiaren

hasieran planteatutako

Franklinen ondarearen

problema ebatz dezakezu.

1000 libra urteko %5ean 100 urtez, honetan bihurtzen dira: 1000·1,05100=131.825,67 libra 31000 libra urteko %5ean 100 urtez, honetan bihurtzen dira: 31000·1,05100= 4076539 libra

178 MATEMATIKA B

Gogora ezazu garrantzitsuena

Funtzio arrazionalak Haien adierazpen aljebraikoa bi polinomioen arteko zatidura da.

Alderantzizko proportzionaltasuneko funtzio batek, y=k/x, alderantziz proportzionalak diren bi aldagai erlazionatzen ditu. Bere grafikoa hiperbola bat da, etena x=0 denean, beherakorra k>0 bada eta gorakorra k<0 bada.

Funtzio baten grafikoa gero eta gehiago hurbiltzen zaionean zuzen bati, harekin bat eginez, zuzena asintota dela esaten da.

Zenbakitzaileak eta izendatzaileak maila bera duten funtzio arrazional baten asintotak kalkulatzeko, zatiketa egiten da, eta zatidura da asintota horizontala. Asintota bertikala dago izendatzailea baliogabetzen duten puntuetan, betiere zenbakitzailea ere baliogabetzen ez badute.

Funtzio esponentzialak y=ax formakoak dira, a>0 izanik.

• Haien eremua IR da.

• Jarraia da. • a>1 bada, gorakorra da eta beherakorra

0<a<1 bada.

• OY ardatza mozten du (0,1) puntuan eta (1,a) puntutik igarotzen da.

• OX ardatza asintota horizontala da.

Funtzio logaritmikoak

x zenbaki bakoitzari, emandako a oinarri batean, bere logaritmoa elkartzen diotenak dira, y=logax.

• Su dominio son los reales positivos y el recorrido es IR

• Es continua

• Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1. • Corta al eje OX en (1,0) y pasa por (a,1)

• El eje OY es asíntota vertical.

Bi zenbaki erreal positibo emanda, a eta b (a≠1), bren a oinarriko logaritmo deitzen diogu a jaso beharreko zenbakiari, b lortzeko.

logab=c ondokoaren baliokidea da: ac=b


Logaritmoen ezaugarriak

• Biderkaduraren logaritmoa

loga(b·c)=logab+logac • Zatiduraren logaritmoa

loga(b/c)=logab–logac • Berreturaren logaritmoa

loga(bm)=m·logab • Edozein oinarritan: loga1=0 eta logaa=1

MATEMATIKA B 179

Autoevaluazioa

1. Zein da alderantzizko proportzionaltasun-funtzioa x=1,25 -i y=4 egokitzeko?

2. Idatzi grafikoaren funtzioaren adierazpen aljebraikoa.

3. Kalkulatu ondoko funtzioaren asintotak: 1xx2

)x(f−

−= .

4. Idatzi grafikoaren funtzio esponentzialaren adierazpen aljebraikoa.

5. Kalkulatu 9000 €-ko kapitala zenbat bihurtuko den 3 urteren buruan, urteko % 4,5ean jarrita.

6. Desagertzear dagoen espezie bateko populazioa erdira murrizten da urtero. 9 urteren buruan 12 ale geratzen badira, zein zen hasierako populazioa?

7. Idatzi grafikoaren funtzio esponentzialaren alderantzizkoa den funtzio logaritmikoaren adierazpen aljebraikoa.

8. Kalkulatu: 3125

1log5

9. Jakinik log3=0,4771 eta kalkulagailua erabili gabe, kalkulatu: log8,1

10. Kalkulagailuarekin, aurkitu x-en balioa: 1,97x=215. Borobildu emaitza ehunenetan.


MATEMÁTICAS B 180

Praktikatzeko ariketen ebazpenak

1. y=276/x

2. y=130/x ; denbora=2,6 ; v=26

3. 14 min; y=336/x

4. a) x=-3 y=2

b) x=3 y=1

c) x=0 y=2

d) x=-2 y=-1

5. y= 12x

2−

−

6. 8: 184€; 80: 1704€

f(x)=21+24/x; 21€ minimoa

7. 51347 €

8. 9000 €

9. 2%

10. 15 urte

11. 23 urte

12. 8,86 gr

13. 3000 urte

14. 40 urte

15. 3 ordu

16. 9 milioi

17. a) 216 b) 1/256

c) 100 d) 8 e) 1/25

18. a) 10 b) 3

c) 8 d) 3 e) 7

19. a) 5 b) 3 c) -2

d) 0 e) 3

20. a) 1,2040 b) 2,7090

c) -0,7044 d) 1,3801 e) 1,8572

21. a) 4,8461 b) 5,3072

c) 4,9025 d) 2,8598

e) 3,9731

22. a) x=49/45 b) -3

c) 13/6 d) 7/8 e) -1

23. a) x=0,827 b) x= 1,209

c) x=1,989

24. a) x=-2 b) Ez du ebazpenik

c) 80 y 20 d) ±3 (+ 3 bakarrik balio du)

25. a) x=100 y=0,1

b) (x=50, y=20) (x=20, y=50)

Ez ahaztu jarduerak tutoreari bidaltzea

Funtzio polinomikoak

AUTOEBALUAZIOAREN ebazpenak 1. f(x)= 5/x

2. f(x)= 2/x

3. x=1 y=-2

4. f(x)=(1/3)x = 3-x

5. 10270,50 €

6. 6144

7. y=log3x

8. -5

9. 0,9084

10. 7,92

10 eta logaritmikoak Funtzio arrazionalak,...

Documents

Transcript of 10 eta logaritmikoak Funtzio arrazionalak,...