La transformadadeFourier*

DE LA SERIE DE FOURIER A LA TRANSFORMADA DE FOURIER*

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:*

Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.*

Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2*

Si el periodo del tren de pulsos aumenta...-20-100102000.511.5p = 1, T = 2tf(t)t-20-100102000.511.5p = 1, T = 5f(t)*

-50050-50050...el espectro se "densifica". *

En el lmite cuando T, la funcin deja de ser peridica:

Qu pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?*

Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":*

El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresin de una funcin f(t) no peridica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armnicos de frecuencia nw0, sino como una funcin continua de la frecuencia w.

As, la serie:

al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:*

Recordemos:

La serie de Fourier es:-T/2< x < T/2

O bien:Cuando T , nw0 w y w0 dw y el sumatorio se convierte en:*

La transformada de FourierEs decir,

donde:

Estas expresiones nos permiten calcular la expresin F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.*

La transformada de Fourier y la transformada inversa de FourierEn algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la anti-transformada para obtener simetra en la expresin, como: 1/(2).*

Notacin: A la funcin F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir

En forma similar, a la expresin que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F 1 ,es decir*

Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:

Solucin. La expresin en el dominio del tiempo de la funcin es:*

Integrando:

Usando la frmula de Euler:

*

En forma grfica,la transformada es:p =1 *

Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una funcin rectngulo.

Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una funcin triangulo.

Sinc2(ax) es el patrn de difraccin de una ranura.La funcin sinc(x)*

Demostrar que la transformada de Fourier de la funcin tringulo, D(t), es sinc2(w/2)w01t011/2-1/2TF*

Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la funcin escaln unitario o funcin de Heaviside, u(t):

Grafica U(w) = F[u(t)].Qu rango de frecuencias contiene U(w)?Cul es la frecuencia predominante?*

La funcin delta de Kronecker y delta de Dirac*

La funcin impulso o delta de DiracRecordemos que podemos pensar en la funcin delta como el lmite de una serie de funciones como la siguiente:tf1(t)fm(t) = m exp[-(mt)2]/p*

Y recordemos algunas propiedades de la funcin d*

Transformada de Fourier de la (t):wwd(w)Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1/(2) es:tRecordemos*

*

*

Transformada de Fourier de la funcin coseno+w0 0 -w0 w *

Transformada de Fourier de la funcin seno:+w0 0 -w0 w sen(w0t) t 0 *

La transformada de Fourier de la onda plana exp(iw0 t)La TF de exp(iw0t) es una frecuencia pura. F {exp(iw0t)} 0 w0 w *

F {exp(iw0t)} 0 w0 w TF0 w TF*

Encontrar la transformada de Fourier de la funcin:*

La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.TFMs adelante lo demostraremos.*

La transformada inversa de FourierDada la funcin en el espacio recproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:*

*

*

*

A partir de la definicin, obtener la transformada inversa de Fourier de la funcin:Respuesta.Integrando en el plano complejo:*

Si x > 0:Haciendo lim R*

Entonces: Si x < 0:*

-RRHaciendo lim REntonces:*

Algunas funciones no poseen transformada de FourierLa condicin de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F(w) exista es:

es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintticamente a cero cuando x tiende a + y en general no tienen transformadas de Fourier.*

La TF y su inversa son simtricas.Si la TF de f(t) es F(w), entonces la TF de F(t) es:Renombrando la variable de integracin de t a w, podemos ver que llegamos a la TF inversa:Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado."Que podemos escribir:*

La transformada de Fourier es en general complejaLa transformada de Fourier F(k) y la funcin original f(x) son ambas en general complejas.

De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:*

La transformada de Fourier cuando f(x) es realLa TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:

*

Propiedades de las transformadas de Fourier:1. Linealidad:*

La transformada de Fourier de la combinacin lineal de dos funciones.f(t)g(t)tttwwwF(w)G(w)f(t) + g(t)F(w) + G(w)*

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:La funcin f(t) se puede escribir tambin del siguiente modo:*

Luego:*

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:*

Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:*

*

2. Escalado:*

Efecto de la propiedad de escaladof(t)F(w)PulsocortoPulsomedioPulsolargoMientras ms corto es el pulso, ms ancho es el espectro.Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecnica cuntica.*

La transformada de Fourier respecto al espacioSi f(x) es funcin de la posicin,k se conoce como frecuencia espacial.Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y se aplica los dominios x y k.*

3. Traslacin en el dominio de tiempos*

4. :5. :*

5. Identidad de Parseval :En particular:*

Toda funcin puede escribirse como la suma de una funcin par y una funcin imparE(-x) = E(x)O(-x) = -O(x)E(x)f(x)O(x)Sea f(x) una funcin cualquiera.*

Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):*

Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):*

6. Transformada de la derivada:7. Transformada xf(x):Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores.Y en general:Y en general:*

1. Encontrar la transformada de Fourier de la funcin:

2. A partir del resultado anterior y una conocida propiedad de la transformada de Fourier, determina la transformada de Fourier de la funcin:*

*

Encontrar la transformada de Fourier de la funcin: siendo a>0 constante.Derivando tenemos:Transformando a ambos lados de la ecuacin y usando las siguientes propiedades de la TF:Veamos otra aplicacin de estas dos ltimas propiedades:*

u2 = ax2/2u2 = t*

ConvolucinSe define la integral de convolucin de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:*

*

rect(x) * rect(x) = D(x)Ejemplo visual:*

Convolucin con la funcin deltaConvolucionar una funcin con una delta, simplemente centra la funcin sobre la delta.

*

Propiedades de la convolucinCommutativa:

Asociativa:

Distributiva:*

El teorema de convolucin o teorema de Wiener-Khitchine Convolucin en el espacio real es equivalente a multiplicacin en el espacio recproco.*

Ejemplo del teorema de convolucin*

Demostremos el teorema de convolucin.*

Aplicando la TF a ambos lados:*

Ejemplo de aplicacin del teorema de convolucin:Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:Podemos hacerlo aplicando la definicin:*

*

TFTFPero, tambin podemos usar:*

*

Calcular la transformada de Fourier del producto de convolucin de lassiguientes funciones:*

El producto de convolucin de las funciones f(t) y g(t) es:es decir que el producto de convolucin de f(t) y g(t) son dos funcionespulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya grfica es lasiguiente:*

y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:*

Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier delproducto de convolucin de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolucin, segn el cul, la transformada de Fourier del producto de convolucin de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivasde f(t) y g(t):*

Calculamos la transformada de Fourier de g(t):*

que coincide con la transformada que habamos calculado del otro modo.*

Utilizar el teorema de convolucin para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente funcin:Tenemos que calcular la antitransformada:*

y, llamando:nos queda que:*

Por tanto, la integral de convolucin de g(t) consigo misma queda:donde*

Luego:*

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