Capitulo 1 - Transformada de Fourier

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier

• Representar cualquier función periódica o no en todo el intervalo (-∞,∞)

• Se construye una señal f(t) con período T• Extender el período de la señal al infinito

Representación para señal aperiódica

• Serie de Fourier: A medida que T aumenta, las líneas espectrales se juntan. La forma del espectro no cambia.

• Se puede generar espectro de señal aperiódicaa partir de serie de Fourier al considerar que

∞→T


T períodocon f(t) a asociada periódicafunción :)( .aperiódica señal una )( Sea

tftf

T

ZZnTTnTtnTtftfT ∈ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈+ += ,

2,

2)(),()(

2T

2T

−

)(tf )(tfT

T


Tdtetf

TFeFtf

T

T

tjnTn

n

tjnnT

πωωω 2,)(1,)( 0

2/

2/00 = = = ∫∑ −

−∞

−∞=

( )n nSea F TFω =

2T

2T

−

)(tf )(tfT

/2

/21 2( ) ( ) , ( ) ( ) ,n n

Tj t j tT n n T nT

nf t F e F f t e dt n

T Tω ω πω ω ω

∞−

−=−∞

= = =∑ ∫


/2

/21 2( ) ( ) , ( ) ( )

2n n

Tj t j tT n n TT

nf t F e F f t e dt

Tω ωπ ω ω

π

∞−

−=−∞

= =∑ ∫

01( ) ( )

2nj t

T nn

f t F e ωω ωπ

∞

=−∞= ∑

ωΔ

2T

2T

−

)(tf )(tfT

0

2T πω

=

2n n

Tπω =


01( ) ( )

2nj t

T nn

f t F e ωω ωπ

∞

=−∞= ∑


lim ( )TT

f t→∞

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇒

∫∫

∞

−∞=

∞

−∞=

−

ω

ω

ω

ωωπ

ω

deFtf

dtetfF

tj

t

tj

)(21)(

)()(

2T

2T

−

)(tf )(tfT

lim ( )nTF ω

→∞=

1 ( )2

j tF e dωω ωπ

∞

−∞∫ ( )f t=

( ) j tf t e dtω∞ −−∞∫ ( )F ω=

• Transformada directa e inversa de Fourier


( ) ∫∞

−∞=

−=ℑ=t

tjn dtetftfF 0)()()( ωω

( ) ∫∞

−∞=

− =ℑ=ω

ω ωωπ

ω deFFtf tj)(21)()( 1

• Permite ver una señal:– En el dominio del tiempo => f(t)– En el dominio de la frecuencia => F(ω)

• Fn son líneas espectrales: contenido espectral repartido en frecuencias discretas

• F(ω) es función de densidad espectral: contenido espectral repartido en un continuo

• dA=F(ω)dω => elemento de amplitud dentro de un elemento de frecuencia en torno a ω

• Existe relación entre la serie de Fourier de la señal periódica, y la transformada de Fourier para 1 sólo periodo de la señal (ver próxima transparencia).

Función de densidad espectral


A

2T

2T

− τ

∑∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

tjnenSaTAtf 0

2)( 0 ωτωτ

A

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

2)( ωττω nSaAF

0|)(1

ωωω nn FT

F ==

• Dada f(t), la transformada existe si se satisfacen las condiciones de Dirichlet para todo– f(t) tiene un nº finito de máximos y mínimos en [t1,t2]– f(t) tiene un nº finito de discontinuidades en [t1,t2]– f(t) es absolutamente integrable en

• Las condiciones anteriores siempre se cumplen para señales de energía finita en


∫∞

−∞=∞<=

tdttftf )()(

RRtt ∈21,

RR

RR

Teorema de Parseval

• La energía total disipada por una señal f(·) es:

• Si se expresa f*(t) en términos de F*(ω):

• Cambiando el orden de integración:

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−== dttftfdttfE )()()( *2

∫ ∫∞

−∞=

∞

−∞=

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

t

tj dtdeFtfEω

ω ωωπ

)(21)( *

∫ ∫∞

−∞=

∞

−∞=

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

ω ω

ω ωωπ

ddtetfFE tj)()(21 *

)(ωF

• La energía de una señal se puede calcular tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia

• Se puede calcular la energía contenida en una banda de frecuencias [ω1,ω2]

Teorema de Parseval

∫∫∞

−∞=

∞

−∞===

ωωω

πdFdttfE

t

22 )(21)(

Contribución del tiempo t a la energía

Contribución de la frecuencia ω a la energía

Transformadas que incluyen a δ(t)

• Las transformadas de algunas señales de potencia (es decir, de energía infinita) no se pueden calcular usando la integral, por lo que deben calcularse de modo indirecto.

• Función impulso:

– La transformada de un impulso tiene amplitud constante para todo ω y fase lineal. Espectro “blanco”.

∫∫

∞

−∞=

−−

∞

−∞=

−

=−=−ℑ

===ℑ

t

tjtj

t

jtj

edtetttt

edtett

0)()}({

1)()}({

00

0

ωω

ω

δδ

δδ

F(ω)RE

F(ω)IM

ωδ(t-t0)

0)}({)( 0tjettF ωδω −=−ℑ=


0

2tπ

• Exponencial complejo: Su transformada se calcula de modo indirecto.

• Esto permite calcular las transformadas de las sinusoides.


{ })(2}{

)(}{21)}({

21)(

21)}({

0

001

001

0

0

0

ωωπδ

ωωδπ

ωωδ

πωωωδ

πωωδ

ω

ω

ω

ω

ω

−=ℑ⇒

−=ℑ=−ℑℑ

=−=−ℑ

−

∞

−∞=

−− ∫

tj

tj

tjtj

e

e

ede

• Sinusoides:

• El espectro de una sinusoide son 2 impulsos localizados en ω0 y –ω0.


)()(2

)}{cos( 000

00

ωωπδωωπδωωω

++−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

ℑ=ℑ⇒− tjtj eet

jjeetsen

tjtj )()(2

)}({ 000

00 ωωπδωωπδωωω +−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

ℑ=ℑ⇒−

)(2}{ 00 ωωπδω −=ℑ tje


F(ω)RE

F(ω)IM

ω

F(ω)RE

F(ω)IM

ω

)()()}{cos( 000 ωωπδωωπδω ++−=ℑ t )()()}({ 000 ωωπδωωπδω ++−−=ℑ jjtsen

• Función signo:– No es absolutamente integrable– Se calcula de modo indirecto


sgn( ) xxx

=

0{sgn( )} lim ( ) ( )at at j t

ax e u t e u t e dtω∞ − −

−∞→⎡ ⎤ℑ = − −⎣ ⎦∫

0.2 200 0

2{sgn( )} lim limat j t at j ta a

jx e e dt e e dta

ω ω ωω

∞ − −−∞→ →

−⎡ ⎤ℑ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦ +∫ ∫

ωjx 2)}{sgn( =ℑ

0lim ( ) ( )at ata

e u t e u t−

→⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

• Escalón:


ωωπδ

jtuxtu 1)()}({)sgn(

21

21)( +=ℑ⇒+=

F(ω)RE

F(ω)IM

ω

)(tu

sgn( ) 2 ( ) 1t u t= −

• Funciones periódicas– Se pueden expresar como serie de Fourier– Cada término de la serie contribuye con un impulso

• Se pueden representar como serie de Fourier o como transformada que incluye impulsos


∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ℑn

nn

tjnn nFeF )(2 0

0 ωωδπω

A

2T

2T

− τSerieFourier

TransformadaFourier

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

nn

tjn nnSaTAFenSa

TAtf )(

22)(,

2)( 0

00 0 ωωδτωτπωτωτ ω

FnF(ω)


• Tren de impulsos, “peineta”

∑∑

∫

∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

−

−

∞

−∞=

∞

−∞=

=−=⇒

==

=−=

n

tjn

nT

T

T

tjnn

n

tjnn

nT

eT

nTtt

Tet

TF

eFnTtt

0

0

0

1)()(

1)(1

)()(

2/

2/

ω

ω

ω

δδ

δ

δδ


Tabla de transformadas

)(tue at− )/(1 ωja +

)(tute at− 2)/(1 ωja +

tae− )/(2 22 ω+aa)2/( 22 σte− 2/22

2 we σπσ −

)sgn(t )/(2 ωj)/( tj π )sgn(ω


)(tu )/(1)( ωωπδ j+

)(tδ 1

tje 0ω± )(2 0ωωπδ ∓

)(2 ωπδ1

)cos( 0tω )]()([ 00 ωωδωωδπ ++−

)( 0tsen ω )]()([ 00 ωωδωωδπ +−−− j


)/( τtrect )2/(ωττ Sa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

22τ

πWSaW )/( Wrect ω

)/( τtΛ )2/(2 ωττ Sa

)/()/cos( ττπ trectt 2)/(1)2/cos(2

πωτωτ

πτ

−

)2/(2

2 WtSaWπ

)/( WωΛ

22 )/2(1)cos(2ππ Wt

WtW− )/( WωΛ

)(tTδ )(00 ωδω ω

Propiedades Transformada de Fourier

Propiedades de la transformada de Fourier

• Linealidad (debido a que es una integral)

• Conjugadas complejas

– Si f es real, F*(-ω)=F(ω)– Se prueba directamente calculando

)()()}()({ 22112211 ωω FaFatfatfa +=+ℑ

)()}({ ** ω−=ℑ Ftf

*** )()()}({ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛==ℑ ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

− dtetfdtetftf tjtj ωω

• Simetría


)(2)}({)()}({ si

ωπω

−=ℑ⇒=ℑ

ftFFtf

t''''jt

ttj

|)}'(f{'de)'(f

dte)t(f)}t(f{

=−∞

−∞=−

∞−∞=

−

−ℑ ==

==ℑ

∫

∫

ωωω

ω

ωπωωπ

π 12212

Para probarlo basta hacer un cambio de variables entre t y w en la transformada

• Ejemplo– Si se sabe que ,

calcular


)2/()}({ ωSatrect =ℑ)}2/({ tSaℑ

)(2)(2)}2/({ ωπωπ rectrecttSa =− =ℑ

1

5.0

π2

5.0−

5.05.0−

π2π2−

π2π2−

1

1

t

t ω

ω

• Propiedad Escalar

• Prueba: 2 casos: α positivo y α negativo


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ℑ

αω

αα Ftf 1)}({

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−===ℑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===ℑ

∫∫

∫∫∞−

∞

−∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

−

αω

αααα

αω

αααα

ωω

ωω

Fdxexfdtetftf

Fdxexfdtetftf

axjtj

axjtj

1/)()()}({

1/)()()}({

/

/

• Si f(t) se vuelve ancho, F(ω) se vuelve angosto y viceversa:


1

2τ

2τ

−

2πτ

2πτ

−

τ

1

ττ− πτ

πτ

−

2τ

• Desplazamiento en el tiempo (retardo)

• Al retardar la señal, la amplitud del espectro no varía, pero su fase si => información temporal en la fase.


0)()}({ 0tjeFttf ωω −=−ℑ

0( )0 0{ ( )} ( ) ( ) j x tj tf t t f t t e dt f x e dxωω∞ ∞ − +−

−∞ −∞ℑ − = − =∫ ∫

• Ej: Determinar la transformada de:


f(t)

)2/()/4(}){2/(]}2/[]2/[{

]}/)2/[(]/)2/[({)}({

22/2/ ωτωωττ

τττττττ

ωτωτ senjeeSatrecttrect

trecttrecttf

jj =− =

−−+ℑ =−−+ℑ=ℑ

−

ττ−

1

• Desplazamiento de frecuencia (modulación)– Es la propiedad dual a la del retardo

– También ocurre con cos(·)


)(})({ 00 ωωω −=ℑ Fetf tj

∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

− ==ℑ dtetfdteetfetf tjtjtjtj )( 000 )()(})({ ωωωωω

)(21)(

21)(

21)(

21)}cos()({ 000

00 ωωωωω ωω ++−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +ℑ=ℑ − FFetfetfttf tjtj

• Ej: hallar el espectro de:


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

ℑ+ ℑ=

= ℑ

−

2222

})/({2

})/({2

)}cos()/({

00

0

00

ωωττωωττ

ττ

ωτ

ωω

SaASaA

etrectAetrectAttrectA

tjtj

• Derivación

– Porque:


)()( ωωFjtfdtd

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ℑ

{ }

ωω

ωωωωωπ

ωωπ

ω

ω

jFtfdtd

jFdejFtfdtd

deFtf

tj

tj

)()(

)()(21)(

)(21)(

1

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ℑ

ℑ==

=

−∞

∞−

∞

∞−

∫

∫

• Integración:

– donde:

es la componente continua de la señal.

{ } )()()(1)( ωδπωω

τττ 0+=ℑ ∫ −∞= FF

jdf

t

∫∞

−∞==

tdttfF )()0(


• Ejemplo: Determinar la transformada de f(t):

)(tf

)(tdtdf

)(2

2

tdt

fd

A

τ τ2

τA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τA

)()()( 22

2

ωω Fjtdt

fd=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ℑ

( )ωτωτωτωτ

τωω 222 )()( jjjj eeeeAFj −− +−−=

( )τω

ωωτωτωτωτ

2

22

)(jjjj eeeeAF

−− +−−−=


• Convolución en el tiempo– Se denomina convolución entre dos funciones

a la siguiente operación:

– Se cumple la propiedad:∫

∞

−∞=−=∗

ττττ dthfthtf )()()()(

)()()}()({ ωω HFthtf =∗ℑ


• Cambiando el orden de integración:∫ ∫

∞

−∞=

−∞

−∞=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=∗ℑ

t

tj dtedthfthtf ω

ττττ )()()}()({

∫ ∫∞

−∞=

∞

−∞=

− ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=∗ℑ

τ

ω τττ ddtethfthtft

tj)()()}()({

• Propiedad de desplazamiento en el tiempo:

∫∞

−∞=

−=∗ℑτ

ωτ τωτ deHfthtf j)()()}()({

)()()}()({ ωω FHthtf =∗ℑ

∫∞

−∞=−ℑ=∗ℑ

ττττ dthfthtf )}({)()}()({


• Si el sistema es lineal y h(t) es la respuesta al impulso, se cumple:

h(t))(tf )(ty

)}({)(con )()()(

)()()()()(

thHHFY

dthfthtfty

ℑ= =

−=∗= ∫∞

−∞=

ωωωω

ττττ


• Convolución en la frecuencia: Si

• Se prueba de forma semejante a la convolución en el tiempo

[ ])()(21)}()({

)()}({),()}({

2121

2211

ωωπ

ωω

FFtftf

FtfFtf

∗=ℑ⇒

=ℑ =ℑ


Traslación en frecuencia

Retardo

Escala

Conjugada compleja

Linealidad (superposición) )()( 2211 tfatfa + )()( 2211 ωω FaFa +

)(* tf )(* ω−F

)( tf α ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αω

αF1

)( 0ttf − )(0 ωω Fe tj−

)(0 tfe tjω )( 0ωω −F


Simetría par -impar

Dualidad tiempo - frecuencia

Convolución en la frecuencia

Convolución en el tiempo

Modulación de amplitud )cos()( 0ttf ω )(

21)(

21

00 ωωωω −++ FF

∫∞

−∞=−

ττττ dthf )()( )()( ωω HF

)()( 21 tftf ∫∞

−∞=−

uduuFuF )()(

21

21 ωπ

)(tF )(2 ωπ −f

)()(tf

tf

IMPAR

PAR realtFPAR )(imaginariotFIMPAR )(


Integración en el tiempo

Derivación en el tiempo

Como las transformadas de Fourier se obtienen a partir de las series de Fourier, las propiedades de una son aplicables a la otra cambiando ω por nω0 .

)(tfdtd )(ωωFj

∫ −∞=

tdf

τττ )( )()()(1 ωδπω

ω0+ FF

j


Capitulo 1 - Transformada de Fourier

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