1001 Algebra y Trigonomeria

LGEBRA Y TRIGONOMETRA D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S

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Instituto Profesional Dr. Virginio Gmez Departamento de Ciencias Bsicas

Indice

Contenido

Unidad N : Lgica y Cuantificadores"

Lgica &Tablas de Verdad 'Conectivos Lgicos u Operadores Lineales (Negacin, Conjuncin 7Disyuncin, Condicional 8Bicondicional 9Ejercicios "!Tablas de Verdad para Proposiciones Compuestas "$Ejercicios "&Clasificacin de Proposiciones Compuestas "(Leyes del Algebra Proposicional 1*Ejercicios #!Lgica Cuantificacional #"Ejercicios 2"Valor de verdad funcion Proposicional 2&Ejercicios 2'Negacin de Proposiciones $!Autoevaluacin $$

Unidad N 2: Conjuntos

Conjuntos 3'Formas de escribir un conjunto 3(Tipos de Conjuntos 3)Subconjuntos %$Propiedades de los Subconjuntos 4$Ejercicios 4%Operaciones con conjuntos 4'Ejercicios Figuras achuradas &$Propiedades de los Conjuntos 5'Problemas de aplicacin 5*Autoevaluacin 6&

Unidad N 3: Relaciones y Funciones

Propiedades del Producto Cartesiano 6)Relacin (!Representacin Grfica (#Dominio y Recorrido ($Plano Cartesiano 7%Grfico de algunas relaciones 7)Ejercicios )%

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Funcin 8)Ejercicios 8*Tipos de funcion *%Funcin Inyectiva 9(Funcin Sobreyectiva 9)Funcin Biyectiva y Funcin Inversa 9*Anlisis Completo "!%Autoevaluacin 1!*

Unidad N 4: Funcin Exponencial y Logartmica

Funcin exponencial y logartmica 1"$Propiedades de la funcin Exponencial 1"&Aplicaciones de la Funcin Exponencial 1")Funcin Logartmica 1##Propiedades de la Funcin Logartmica 1#'Logaritmos Decimales o Comunes 1#(Logaritmos naturales 1#)Propiedades de los Logaritmo 1$!Ecuaciones exponenciales 1$%Ecuaciones Logartmicas 1$(Sistemas de ecuaciones logartmicas y Exponenciales 1$*Autoevaluacin 1%"

Unidad N 5: Trigonometra

Trigonometra 1 %%Sistemas de Medida 1%'Angulos Cotermiales 1%*Angulo en posicin estndar 1&"Velocidad angular 1Funciones trigonomtricas 1&&Signos de la funciones trigonomtricas 1&&Problemas aplicados 1'"Angulos de elevacin y depresin 1'#Grfico de las funciones trigonomtricas 1($Grfico de la funcin seno 1(%Identidades 1)%Ley de los Senos 1*#Ley de los Cosenos 1**Ecuaciones Trigonomtricas #!$Funciones trigonomtricas inversas #!'

Unidad N 6: Nmeros Complejos

Nmeros Complejos #!*Representacin grfica de los nmeros Complejos #"!Operaciones con complejos 2"$Forma polar de un nmero complejo 2"(Races de un nmero complejo 2#$

Unidad N 7: Polinomios

Polinomios 2$!

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Operaciones con Polinomios 2$!Teorema del cuociente y del resto 2$#Teorema fundamental del lgebra 2$%

Unidad N 8: Induccin Matemtica

Induccin Matematica 2%"

Unidad N 9: Teorema del Binomio

Teorema del Binomio 2%&Frmula general del Binomio 2%&

Bibliografa 2&!

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CAPITULO I

LOGICA Y CUANTIFICADORES

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LOGICA

Existen dos tipos bsicos y reconocidos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajesformales. Los primeros como puede ser: el Francs, el Ingls o el Castellano; tienen su origen y desarrollonatural, es decir, sin el control de ninguna teora. Por otro lado, los lenguajes formales como lasmatemticas y la lgica, fueron desarrollados generalmente a travs del establecimiento de una teora, lacual le d las bases para dichos lenguajes.

En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido unargumento dado.

El razonamiento lgico se emplea en matemtica para demostrar teoremas; en Ciencias de laComputacin para verificar si son o no correctos los Programas; en las Ciencias Fsicas y Naturales, parasacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la Vida Cotidiana, para resolver unamultitud de problemas.

Ciertamente usamos en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad.Toda estructura matemtica necesita tener un razonamiento vlido a travs de un lenguaje que sea de usouniversal.

:Proposicin

Es una expresin con sentido en algn lenguaje que afirma o niega algo y que nos proporcionainformacin.

Las proposiciones en lgica se denotan por smbolos como , etc, que son llamados: ;

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TABLAS DE VERDAD Una Tabla de Verdad es una forma de resumir el valor de verdad de las proposiciones. Esta se construye de acuerdo al nmero de proposiciones distintas que se den.

El nmero de combinaciones posibles de valores de verdad se determina al resolver la expresin

representa el nmero de proposiciones dadas.8

Veamos cmo funciona !!

8 " # # Si hay una sola proposicin, , resolvemos . Esto significa que se" pueden dar y la tabla que resulta es:dos posibles valores de verdad

:ZJ

# : ; 8 # Si hay proposiciones distintas y , entonces resolvemos # %#

Esto significa que se pueden dar de valores de verdad y la tabla que resultacuatro combinacioneses :

: ;Z ZZ JJ ZJ J

8 $ Si hay tres proposiciones , resolvemos

# )$

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Es decir, se pueden dar de valores de verdad y la tabla es:ocho combinaciones

: ; desde enero, mediante la funcin . Determine:QX %! > !$'> "

+ Cuntas langostas invadieron en enero?, En cuntos millones aumentaron las langostas de enero a febrero?- En cunto aumentaron las langostas entre enero y abril?

( X G > La temperatura de la placa de una plancha elctrica en despus de segundos de serenchufada, vara segn la funcin X> #& # ! > #!!" > seg. Determine en cuntos C aument la placa a los 10 segundos, respecto del instante en que fueenchufada.

) Se estima que en ciertas faenas de mantencin elctrica en torres de alta tensin, el % de riesgode accidente aumenta la cantidad de horas de trabajo, segn la funcin > V> ) # > !!%2"Cul es el riesgo de accidentes de un trabajador que ha laborado horas en estas faenas?&

Respuesta

" #) $ aos# + ! , "' - '% . "%% $ 18 de septiembre% + #( G , )' J 9 9& #5 %5 vara entre y ' + %736698/= , ") - #( aumentaron millones aumentaron millones( X#& &! #& por lo tanto aument C) V& "' %

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TIPOS DE FUNCIONES

Funcin Par

0 0 B 0B a B 0 es par Dom

Funcin Impar

0 0 B 0B a B 0 es impar Dom

Nota: Las funciones son . Las funcionespares simtricas respecto del eje y son . impares simtricas respecto del origen de coordenadas

Ejercicios

Dtermine si las siguientes funciones son o Par Impar

+ C lB l , C "B

- 0B B " . 1B B%# Respuesta

Son Par y + - .Es Impar ,

Funcin por tramos

Una regla que defina una funcin puede incluir ms de una frmula. Una funcin definida de estamanera se llama Funcin definida por Tramos.

Ejemplo:

1B B B !B " B ! # Esta funcin es pero se da en dos partes o tramos.una sola,

Si queremos determinar reemplazamos en el primer tramo, es decir, que1 # B #1 # # %#

Para determinar , consideramos el segundo tramo, es decir, 1& 1& & " '

La grfica de la funcin es:1B

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Funcin Constante

Si representa un elemento de cualquier conjunto, entonces la funcin definida por - 0 0B -para todos los del dominio de se llama funcin constante.B 0

El grfico de una funcin constante es:

:Ejemplo

Sea la funcin constante definida por: 0B &

Suponga que el dominio de es el conjunto de nmeros reales, entonces:0

0 $ & 0# & 0 $ & etc. Grafquela Ud.!! Ejercicios

Determina el valor de la funcin para el punto sealado:

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2) Sea 0B #B B B "B & B " % #Hallar:

+ 0! , 0 $ - 0&

3) Sea0B B "B " B "B # B "B $ B "

%

#

Hallar:

a) 0 $ , 0' - 0" . 0 " )

% El precio del metro cuadrado de un material plstico para suelos depende de la cantidad quecompremos, , es el precio en $ y viene dado por la funcion definidaB C 0B

si si si

0B "! ! !&B ! B &!( & ! !# B &! &! B "!!' & ! !!# B "!! "!! B &!!

Cul ser el precio si compro ?$!!7#

Respuesta

1)

# ! "&$ "!) a) b) c)

$ "! $( $ %) a) b) c) d)% ' "$

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FUNCION INYECTIVA

Una funcin es inyectiva si a cada elemento del recorrido le corresponde un slo elemento deldominio, es decir, a cada imagen le corresponde una nica preimagen.

En otras palabras,

Ejemplos

Los siguientes conjuntos son funciones que van de los conjuntos a con Q R Q # $ % y , pero slo algunos cumplen la condicin descrita anteriormente.R " # $ % Determine cul (es) es (son ) (s):inyectiva

1) 2) E # " $ # % " F # " $ # % $

3) G # # $ $

Respuesta

Son inyectivas y .F G

Una forma de verificar si una funcin es Inyectiva, es a travs de la grfica de la funcin, se trazauna recta paralela al eje Y, imaginariamente, esto se llama Test de la Lnea vertical

La funcin de la figura NO es Inyectiva, porque la ecta perpendicular cort tres veces la grfica.

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FUNCION SOBREYECTIVA

Una funcin es sobreyectiva si . todas las imgenes tienen preimagen

Es decir, todos los elementos del conjunto de llegada estn relacionados con un elemento deldominio, no sobra ningn elemento.

El conjunto de llegada se denomina tambin de la funcin.CODOMINIO

Luego, se puede escribir que una funcin es sobreyectiva si:0

Ejemplo

Determine cul(es) de la(s) siguiente(s) funciones son sobreyectiva(s):

Respuesta:

Slo el ejemplo 2) es una funcin sobreyectiva.

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Ejercicios

I) Determine cules de las siguientes funciones son si:inyectivas y/o sobreyectivas

0 Q R

Q # $ % R " # $ %

E # " $ # % #

F # # $ $ % %

G # " $ " % "

H # " $ $ % #

II) Determine en cul de los siguientes diagramas se presenta una funcin :sobreyectiva

Vespuesta

I) Es inyectiva yF HII) Son sobreyectivas 1) 2) 3) y 5)

FUNCION BIYECTIVA

Una funcin es biyectiva si es .inyectiva y sobreyectiva a la vez

Por ejemplo, en el diagrama y en el sistema cartesiano se muestran dosfunciones biyectivas:

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FUNCION INVERSA

Una funcin , s y slo si, es biyectiva.tiene inversa

Ejemplo :

Si una funcin es su inversa:0B

Para obtener la inversa de una funcin, primero se debe determinar si esta es biyectiva y luego laforma de la inversa, para sto se despeja la variable ww wwB

:Ejemplo

Sea . Determine la 0B B C C #B & Forma de la funcin Inversa

Respuesta

Como la ecuacin de esta funcin es una lnea recta, la funcin es . Su inversa se obtienebiyectivadespejando de la ecuacin B C #B &

C #B &

#B & C "

#B C &

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Luego, se intercambian las variables por :C B

Por lo tanto: 0 B B C C B "

Ejercicios

Dadas las siguientes funciones, determine la forma que tiene su :slo funcin inversa

" J B C B #C "!

# K B C C #B $&

$ L B C $B &C "

% M B C "!B #C&

Respuesta

" J B C C #B "! "

# K B C C B & $# # "

$ L B C C B & "$ $ "

% M B C C #B &! "

Sea : A B una funcin, entonces:0

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Resumiendo

") 0 se dir inyectiva si:

Es decir, a imgenes iguales, preimgenes iguales.

# a C bB C 0B) B , A 0 se dir sobreyectiva o epiyectiva si: ,

En forma equivalente BV/- 0

333) 0 se dir biyectiva, s y slo si, es inyectiva y epiyectiva a la vez.

: Si : A B no es Inyectiva, ni Sobreyectiva se puede encontrar unaObservacin 0 restriccin sobre A y B de modo que : A' B' sea Inyectiva y Sobreyectiva, es decir, redefinir la0 funcin 0

Ahora, hagamos un anlisis algebraco completo para un ejercicio en particular !!

Ejemplo :"

Determine si la funcin es ( de no serlo redefnala ):biyectiva

: 0 ( )B 0 B B #

Respuesta

Dominio de la funcin: H970 Codominio de la funcin: G9. 0 Recorrido de la funcin: V/- 0

!

G9. V/- 0

Por lo tanto, . no es sobreyectiva0

Restriccin: Se cambia el codominio por el recorrido !

: 0 !+

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Slo resta analizar su inyectividad: ( ) ( ) 0 B 0 B B B1 2 1 2

Sea ( ) ( )0 B 0 B1 2 ( ) ( )B B" ## # B B1 # Luego: B B B B1 1# #

Por lo tanto, .0 no es inyectiva

Restrinjamos el dominio de la funcin de a para hacerla inyectiva. !

Ahora, es inyectiva y sobreyectiva:0

Redefinida , se tiene:

Por lo tanto, es biyectiva.0

Ejemplo :#

Sea : definida por: ( ) . Si lo es,0 0 B #B " Es una funcin biyectiva?0determine su inversa 0 1

Respuesta:

") Inyectividad:

( ) ( )0 B 0 B1 # #B " #B " "1 # #B #B #1 # es inyectiva.B B 0" #

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#) Sobreyectividad:

Para determinar el recorrido de , despejamos en funcin de . Luego, analizamos las posibles0 B Crestricciones para la variable :C C #B " C " #B

No existen restricciones para .C "# B C

Por lo tanto, y se tiene que es sobreyectiva.V/- 0 G9. 0 0

Como es inyectiva y sobreyectiva, se tiene que es Biyectiva.0 0

Luego, existe la funcin inversa de y se define de la siguiente forma:0

El estudio de una funcin debe considerar los siguientes pasos:Observacin:

1) Para determinar el DOMINIO de una funcin se analizan las posibles indeterminaciones que puede tener la frmula que define a dicha funcin:

) Para determinar el RECORRIDO de una funcin, primero se debe despejar enB funcin de en la frmula que define la funcin.C Luego, se verifican para la expresin que resulta de lo anterior:

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3) Graficar la funcin para verificar el Dominio y Recorrido encontrados.

4) Para verificar la inyectividad, adems, del mtodo analtico (visto anteriormente) est el mtodogrfico que consiste en trazar una recta paralela al eje .B Si la recta corta a la grfica de la funcin en un solo punto a lo largo de toda su grfica, entonces la funcin es inyectiva. Si la recta corta a la grfica de la funcin en dos o ms puntos entonces la funcin no es inyectiva. Para redefinir la inyectividad se debe restringir el dominio de la funcin.

5) Para verificar la sobreyectividad basta comparar el Recorrido encontrado con el Codominio de lafuncin. Esto es: Si entonces es sobreyectiva.G9. 0 V/- 0 0 Si entonces no es sobreyectiva.G9. 0 V/- 0 0 Si el codominio no est dado en forma explcita se supone que .G9. 0 Para redefinir la sobreyectividad se cambia el codominio dado por el recorrido que se hadeterminado.

6) Para determinar la funcin inversa se debe cumplir la condicin de biyectividad de la funcindada. Luego de esto, se define la funcin inversa 0 V/- 0 H970" B C 0 B" La frmula de la inversa se obtiene despejando en funcin de , luego se cambia por e B C B C Cpor en la expresin que resulta del despeje anterior.B

Ejemplos a desarrollar en clases:

Realice un anlisis completo de la funcin definida por: 0B B $" #B

Ejercicios

M B Indique si los valores dados para : pertenecen al dominio de estas funciones: B ! # $ & # ! #&

MM Determine el Dominio de las siguientes funciones:

a) C %B &

b) ( )0 B B (B #$

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c) ( )1 + + $+ "

d) ( ): B ( BB $#

e) ( )< > % # >f) ( )= > > %> $#

g) ( )1 2 &2 $h) ( ): , , $, #II) Determine el Recorrido de las siguientes funciones:

a) ( )0 B )B $

b) ( ); B #B %#

c) ( )< B $B "#B#

d) ( )= > > > %

e) ( )= 2 2 $f) ( ): ; ; &g) ( )7 - & $-#- "

III) Analice Inyectividad, Sobreyectividad y Biyectividad para las siguientes funciones y luegodetermine la funcin inversa ( restrinja si es necesario):

a) : ; ( )0 0 B % #B

b) : ; ( )1 1 B B * !

#

c) : [ , [ ; (: # _ : B &B "!!

d) : ; ( )= " $ = > $> #> "

e) : [ , [ ; ( )7 % _ 7 > > % #

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Respuesta

M

MM )

a) b) c) 1 d)

e) f) g) h) > # 2 , # , $$&

II)

a) b) c) d) C % C "# "#

e) f) g) ! !

$#

III)

a) : ; ( )0 0 B % B# 1 1

b) , ; ( )1 * _ 1 B B *" !

1 c) : [ , [ ; ( ): # _ : B B "!&

" #

!

1

d) : ; ( )= $ " = > > #> $" 1

e) : [ , [ ; ( )7 % _ < > > %" "!

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Un poco de historia.....

El trmino Funcin fue usado por primera vez en por el matemtico francs 1637 RenDescartes para designar una potencia de la variable .B B8 En el matemtico alemn utiliz el trmino para referirse a1694 Gottfried Wilhelm Leibnizvarios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso ms generalizado ha sido eldefinido en por el matemtico alemn, - (1805-1859), quien escribi: "Una1829 J.P.G. Lejeune Dirichlet variable es un smbolo que representa un nmero dentro de un conjunto de ello. Dos variables e estnB Casociadas de tal forma que al asignar un valor a entonces, por alguna regla o correspondencia, se asignaBautomticamente un valor a , se dice que es una funcin (unvoca) de . La variable , a la que seC C B Basignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable , cuyos valoresCdependen de la , se llama variables dependientes. Los valores permitidos de constituyen el dominio deB Bdefinicin de la funcin y los valores que toma constituye su recorrido".C

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AUTOEVALUACION

" 0B % B # B #B " # B % Sea si si #

determine + 0 # , 0# - 0%

# Grafique la siguiente relacin, analizando concavidad, Eje de Simetra, Interseccin con ejes X e Y y vrtice V B C B C %C #

$ 0 E Sea B 0B B #$ B

Determine:

Dominio de + 0B 0 0 & Recorrido de , 0B 1 0 $ c) Inyectividad 2 0 $" Sobreyectividad . 3 0 %" Funcin Inversa (restrinja si es necesario/ % X En 1897 un profesor de Fsica propuso que la temperatura en grados Fahrenheit, en un termmetro "criquet" est dada por

X B %!B%

donde es el nmero de chillidos del grillo por minuto. Si el nmero de chillidosB se aumenta en 10, determine en cunto aument la temperatura

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Respuesta

" + 0 # ! , 0# " 0% no est definido en la funcin

# Concavidad Concavidad hacia la izquierda+ " !

Eje de Simetra

C C #,#+

Interseccin eje \

B & & !

Interseccin eje Y C %C & !# Los puntos son:C " C & T ! " T ! &" # " #

Vrtice

Z B Z * #,#+

Grfico

$ + 0 $ Dom Rec, 0 "

- 0B 0B " #

B # B #$ B $ B" #

" #

B #$ B B #$ B " # # " &B &B" # B B" #

Por lo tanto es Inyectiva0

Rec . G9. 0 0 "

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No es Sobreyectiva, luego restrinjimos0 0 " B 0B B #$ B funcin Inversa 0 " " B 0B $B #B "

indeterminacin0 0 & $) 1 0 $ 2 0 $ ""# 3 0 % #" "

% X ! X ! %! %!!% si ,

, X "! X ! %! %! %# &"!%

. Por lo tanto aument F%# & %! # & # &

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CAPITULO IV

FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

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FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Este tipo de funciones nos permiten representar situaciones de la vida real.

UN EJEMPLO REAL

Algunos tipos de bacterias se reproducen por , dividindose la clula en dos, en"mitosis"espacios de tiempo muy pequeo, en algunos casos cada 15 minutos. Cuntas bacterias se producen enestos casos, a partir de una clula, en un da?

tiempo (min) bacterias15 230 445 860 16

738 B "738 B #738 B $738 B %

Es decir, las bacterias crecen a razn de # Bsi son los intervalos de 15 minutos: en una hora hay 2 = bacterias , en dos horas 2 = esB "' #&'% )decir, en un da , 2 = . bacterias!#% % *' #) # ( * "!

Esto nos da idea del llamado crecimiento exponencial!, expresin que se utiliza cuando algo crece muydeprisa

Una es una funcin definida por una ecuacin de la forma: funcin exponencial

, en la cual 0B , , ! C , "B

, Para que la funcin tenga sentido y se pueda dibujar la base debe ser por, ! qu? Por ejemplo si , cmo se definira ( ) ? Seguro que sabrs que es la, # # "# "# raiz cuadrada de , la cul no existe. Lo mismo pasara con otros valores de , por# B lo que la funcin no tendra sentido.

, !Es claro que si , se trata de la funcin 0, sin inters.

, "Habrs observado tambin que la funcin cuando es muy distinta que cuando , y adems que cuando se trata de una , es decir, de la funcin y = 1,, " , " recta que es una recta horizontal.

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Grfica de funciones exponenciales

Para graficar estas funciones se construye una tabla de valores conveniente para y se determinanBlos valores de al haber reemplazado en la ecuacinC B

La funcin es siempre creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de ), dependiendoBde los valores de la base " ".,

Ejemplo Grafique C $B

Respuesta Haga una tabla de valores de la funcin y a partir de ella, grafquelaC $B En este ejemplo , es decir, la funcin es , $ creciente.

Ejemplo

Grafique C $& B Respuesta

En este ejemplo por lo tanto la funcin es ., $& decreciente

Si observa las grfica vistas en los ejemplos dados notar que se mantienen caractersticascomunes, de aqu obtenemos las propiedades siguientes:

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Propiedades de la funcin Exponencial

* La funcin existe para cualquier valor de . El dominio de la funcin exponencial es elBconjunto de los nmeros reales.

* Los valores de son siempre positivos (prueba cuantos valores desees para ). PorC B tanto: LA FUNCIN SIEMPRE TOMA VALORES POSITIVOS para cualquier valor de . El recorrido de es el conjunto de los nmeros reales positivos.B 0

* En todos los casos la funcin pasa por un punto fijo, la grfica de la funcin intersecta al eje cuando]B ! ! ". Generalmente, el punto

* El eje es una asntota horizontal para la grfica de la funcin exponencial, es decir,\ se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el caso en que y hacia la izquierda en caso de .! , " , "

* La funcin es inyectiva.0

Ejercicios

M Grafique las siguientes funciones, determine, adems cules son crecientes y cules decrecientes:

" 0B # 0B $"# B B$ 0B % 0B %"% B # B MM Las amebas, son seres unicelulares que se reproducen partindose en dos (biparticin). Esto serealiza ms o menos rpidamente segn las condiciones del medio en que se encuentren (cultivo).Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamentecada hora y que, inicialmente, hay una ameba.

a) Calcule el nmero aproximado de amebas que habr segn pasan las horas ycomplete la tabla .

b) Represente grficamente estos datos c) Cambie los ejes y represente la funcin cuyas variables sean, ahora: : nmero de amebasB : tiempo (en horas)C

MMM Las sustancias radiactivas se desintegran transformndose en otras sustancias y lo hacen conmayor o menor rapidez, segn de cul se trate.Supongamos que tenemos 1 kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reducindose a la mitad cadaao. El resto de la masa no desaparece, sino que se transforma en otro componente qumico distinto.

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a) Complete la tabla siguiente (utilize la calculadora para obtener los valores con tres cifras decimales):

b) Represente grficamente los datosc) Cambie los ejes y represente la funcin cuyas variables son, ahora, : peso de la sustancia radiactiva (enBkg) : tiempo transcurrido (en aos) C

Respuesta

M

MM +

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MMM

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APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL

Muchos Modelos matemticos que se presentan en ciencias y matemtica se pueden representarpor funciones exponenciales.

Por ejemplo: La funcin exponencial se aplica a la qumica y fsica. En algunos elementosradioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la leyexponencial y se dice que el elemento decrece o decae.

El Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente deacuerdo a la funcin: , donde es la masa inicial del Polonio, es la masa al cabo7 7 / 7 7! !!!!& >de un tiempo y es el tiempo en das.>

El crecimiento poblacional (Demografa) de una regin o poblacin en aos, parece estar sobre una curvade caracterstica exponencial que sugiere el modelo matemtico dado por: , donde esR R / R! !5 >la poblacin inicial, es el tiempo transcurrido en aos y es una constante. (En 1798, el economista> 5ingls Thomas Malthus observ que la relacin era vlida para determinar el crecimientoR R /! 5 >de la poblacin mundial y estableci, adems, que como la cantidad de alimentos creca de manera lineal,el mundo no poda resolver el problema del hambre. Esta lgubre prediccin ha tenido un impacto tanimportante en el pensamiento econmico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conocecon el nombre de modelo Malthusiano).

En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidadpresente sigue una ley exponencial de disminucin.

Observacin:

La funcin exponencial obedece a todas las leyes de los exponentes.

EL NUMERO e

Quizs ya conozcas un nmero muy especial llamado nmero " ". Si no lo conocas, se trata de un/nmero irracional, por tanto con infinitas cifras decimales y no peridico, cuyo valor es/ # (")#)") en sus seis primeras cifras decimales.

Evidentemente , luego la funcin ya es conocida, siempre creciente./ "

Adems de escribirse como , tambin se escribe como por tratarse de la funcinC / C /B:B Bexponencial ms utilizada

Debido a su importancia muchas calculadoras con funciones cientficas tienen una tecla que nos/ Bpermite calcular los valores de directamente./ B

La funcin exponencial que tiene por base el nmero tiene un especial inters que conocers mejor/cuando se estudien los lmites y los logaritmos Por ejemplo, en Clculo el nmero surge del estudio de /la funcin definida por:0

en donde es un entero positivo.08 " 8"8 8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


119

Puede probarse que los valores de la funcin se acercan al nmero a medida que 08 / 8aumenta de valor, es decir:

cuando " / 8 _"8 8

Ejercicios

" Usando su calculadora (tres decimales aproximado) determine:

+ / , / $ &

- / . / / % # '

/ / #/ 0 / " " #/ / "$ % #"

##

$ # La curva adoptada por un cable o una cuerda larga que cuelga sobre su propio peso entre dossoportes fijos se llama . Puede probarse que bajo ciertas condiciones un cable colgante asume la catenariaforma de la grfica de la funcin:

0B - / /#B- B-

Determine , si + 0# , 0&- 0 $ - #tres decimales aproximado):

Respuesta

" + #! !)' , "%) %"$ - ! !") . %!$ &'%

# + - # B # Para y se tiene:

0# # $ !)'/ /#

## ##

5 , 0& "# #' - 0 $ % (!&

$ Se definen las funciones seno hiperblico, coseno hiperblico y tangente hiperblico como

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


120

-9=2B / /#B B

>+1 2B =/82B-9=2B

Demuestre

a) -9= 2B =/8 2B "# #

, " >+1 2B a B B"-9= 2B#

#

Ejemplos de aplicacin

El estroncio se usa en reactores nucleares y se desintegra de acuerdo a la ecuacin *! E T /!!#%) > donde es la cantidad presente en y la cantidad que queda despus de aos. Si seT > ! E >colocan milgramos de estroncio en un reactor nuclear. Cunto quedar despus de aos?&!! *! "!(Exprese la solucin con dos decimales)

Respuesta:

El modelo es , se reemplazan los datos dados: y E T / T &!! > "!!!#%) >

Luego: E &!!/ !!#%)"! E $*! ")

Despus de aos quedan aproximadamente miligramos de estroncio "! $*! ") *!

Cul es la cantidad inicial?

(dos decimales aproximado)Ejercicios:

" Para el mismo modelo matemtico dado anteriormente, considere a) y , determine T "&!! > ) E b) meses, determine E "&!!! > ") T

2) Si el monto generado por un capital colocado a una tasa de inters compuesto al cabo de G 3 8perodos de capitalizacin es:

Q G " 3 8

a) Determine el Monto que se obtendr al cabo de aos al depositarse $ a una tasa de& "&!!!inters de % anual.&

b) Si el Monto obtenido es de $ , la tasa de inters de % anual y el tiempo transcurrido #!!!!! $ "&aos. Cul fue el capital?

$ T "*(% $ * La poblacin mundial en era aproximadamente de miles de millones y la tasa decrecimiento anual del %. Si se supone un crecimiento continuo entonces , donde es el# T $ * / >!!# >tiempo en aos despus de ."*(% Suponga que no ocurren cambios en la tasa de crecimiento.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


121

Calcule la poblacin para .#!!$ 4) En condiciones ideales el nmero de bacterias presentes en un cultivo en horas est dada por el>modelo , es la tasa de crecimiento y es el nmero de bacterias en el tiempoR> "!!! / 5 "!!!5 >> !

a) Cuntas bacterias habr a las horas si ?$ 5 ! !!"

b) Cuntas bacterias habr a las horas si ?$ 5 ! !#

& C "!!! *% C Se sabe que la concentracin de un frmaco en sangre viene dado por en>miligramos, en horas).>

a) Cul es la dosis inicial?b) Qu cantidad de ese frmaco tiene el paciente al cabo de hora? Y de tres horas?"c) Represente la funcin.

Respuesta

1) + "#$! , "&&' )&

2) $ + "*"%% $ , "#)$(#

$ ' *( miles de millones

% + "!!$ , *%" ('

& > C "!!71a) = 0 b) y = 94 mg en 1 hora> " > $ y = 83 mg en 3 horas

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


122

Otra funcin muy importante que tiene relacin con la funcin exponencial es la funcin logartmica, la cual vamos a estudiar a continuacin

FUNCION LOGARITMICA

Ya que la funcin exponencial definida por es biyectiva, tiene en0 C , Bconsecuencia una funcin inversa. Para encontrarla, haremos lo siguiente: Intercambiamos las variablesB C B , B C e para obtener Esta frmula define a como una funcin de :C

es el exponente al que se eleva la base para obtener C , B

Reemplazando la palabra exponente por la palabra logaritmo podemos reformular la definicinas:

y abreviarla utilizando la frmula:" es el logaritmo en la base de "C , B

Esto nos relaciona la funcin logartmica con la exponencial.

Por lo tanto, la funcin logartmica con base se escribe:,

Es la funcin inversa de la funcin exponencial con base .,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


123

GRAFICO DE LA FUNCION LOGARITMO

La grfica de esta funcin es simtrica a la grfica de la funcin exponencial. Para graficar le asignamos valores a y al remplazarlas en la funcin obtenemos valoresC B ,Cde .B Si la base es mayor que 1, la grfica de la funcin es siempre creciente, (se puede observar comocrece "ms deprisa", cuanto ms pequea es la base del logartmo).

Ejemplo:

Graficar: 0B 691 B # B# C

Ahora grafique usted las siguientes funciones logartmicas:

Ejercicios

+ 0B 691 B , 0B 691 B$ "#

- 0B 691 B " . 0B 691 " B# &

Qu puede observar que tienen en comn estas grficas?

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


124

Algunas aplicaciones de la funcin logartmica

Los astrnomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos clculos decarcter logartmico. La ecuacin logartmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.En la fsica la funcin logartmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el clculodel volumen "L" en decibeles de un slido, para el cual se emplea la siguiente ecuacin = 10 ( /P 691 MM M M! !) , donde es la intensidad del sonido (la energa cayendo en una unidad de rea por segundo), es laintensidad de sonido ms baja que el odo humano puede or (llamado umbral auditivo). Una conversacinen voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.La geologa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logartmicas para el clculo de laintensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud de un terremoto est definidaVcomo en la escala de Richter, donde es la intensidad y es una constante. ( esV 691 EE E E E! !la amplitud de un sismgrafo estndar, que est a kilmetros del epicentro del terremoto)."!!

De la funcin logartmica se puede decir que:

El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. El recorrido es el conjunto de todos los nmeros reales. La grfica pasa por el punto " ! Si , la funcin es creciente. , " Si , la funcin es decreciente. ! , " , s y solo si, 691 B 691 A B A, , * El eje Y es una Asntota vertical , ya que se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que y hacia arriba en caso, " de ("SIEMPRE POR LA DERECHA"), "

En la expresin: se tiene queC 691 B,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


125

La siguiente tabla muestra el paralelismo entre la forma logartmica y la forma exponencial:

Ejemplo:

Calcule los logaritmos siguientes:

a) ? , la solucin es , porque 691 "' % # "'# % b) ? , la solucin es , porque 691 ) $ # )# $

Ejercicios

Encuentre el valor de los siguientes logaritmos:"

) log ) log + "#& , "%*& ( ) log ) log - & . ")

"#& "'

) log ) log / " 0 $ ' $

log log1 '#& 2 ( "& %*

3 #691 #& $ 691 % 691 "& ("#

4 691 "' #691 '% % # $

5 $ 691 "#& 691 "#($ & "$ Dada la funcin logartmica , determina el valor para cada uno de# C 0B 691 B#los siguientes ejercicios

+ 0% , 0$# - 0 "'% . # 0"#) )0 ""#)

/ # 0# '0 "#

VIR

GIN

IO G

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126

Respuesta

" + $ , # - "# . $%

/ ! 0 " 1 % 2 "#

# + # , & - ' .(! / ) Calcule$

+ 691 "!#% , 691 ! !!" - 691 / 691 $"'% $# #

0 691 $ 1 691 2 691 ""#

"#

1 Respuesta

a) 10 b) -3 c) ' d) # / 0 $#

"#

Consecuencias de la definicin

NOTA: Lo siguiente es vlido para cualquier base , 1, ! ,

" El logaritmo de en cualquier base es "cero""

691 " !,

# Si la base y el argumento son iguales, el logaritmo es "

1691 , ,

$ El logaritmo de cero no est definidoww ww

no est definido691 !,

% El logaritmo de un nmero negativo no est definido

& El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es el exponente de la potencia

691 , -,-

Ejercicios

Encuentre los siguientes logaritmos:

+ 691 # , 691 #( # $

- 691 " . 691 + % + 7"

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


127

/ 691 ! 0 691 "! $ &

Respuesta

No est definido No est definido+ " , $ - ! .7 " / 0

LOGARITMOS DECIMALES O COMUNES

La base de una funcin logartmica puede ser cualquier nmero real positivo diferente de . En la"prctica, sin embargo dos son las bases ms importante cuando y (, "! , / # (")

Cuando la base es se escribe y se subentiende que la base es ."! 691 "!

Ejemplo

se escribe 691 "!! 691 "!! "!

Ejercicios

" # Encuentre Ud. el valor de los siguientes logaritmos (use su calculadora, decimales):

a) b) 691 ! !" 691 "!!!!

c) d)691 ! !!!!" 691 & 691 $a b% e) )# 691 % ' 691 ( 0 ' 691 % $ 691 *691 $

2) Se sabe que la concentracin de un frmaco en la sangre viene dado por C "!!! *% C>en miligramos, en horas).> Si queremos que la concentracin no baje de 60 mg, al cabo de cunto tiempo tendremos queinyectarle de nuevo?

$ C " # C B Un cultivo de bacterias crece segn la funcin ( : miles de bacterias, : horas).B"!

Calcule cunto tiempo tardarn en duplicarse.

% Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido desarrollar una tcnicabasada en la concentracin de material radiactivo en su interior. Cuanto ms joven es la roca mayorconcentracin de material radiactivo encontraremos. es la frmula que se utiliza, dondeGB 5 $ >GB > representa la concentracin del material radiactivo, el tiempo transcurrido medido en cientos deaos y " " la concentracin del elemento en el momento de formarse la roca. Si 5 5 %&!! Cunto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentracin de ?+ "&!! Qu concentracin tendramos al cabo de dos siglos ?, ) En qu tiempo se acabara este material ?.-

& En un hbitat adecuado se determin que en 1990 la poblacin de monos fue de 8600,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


128

mientras que en 1995 alcanz los 21000 ejemplares. Asumiendo que el crecimiento depoblacin sigue una ley exponencial de la forma 0> 5 +>

+) En qu ao la poblacin fue aproximadamente de 6000 monos?,) Cuntos ejemplares habr en el ao 2001 ?

Respuesta

" + # % & b) c)

d) e) f) ! ## ' #( " &(#

2 "!! ! *% '! > )2 "&738> Al cabo de aproximadamente )2 "&738

$ " # % B "& )2 "'2 B"! "! 691 $691 #

% + como t = 1, pasaron cien aos. , " ( "!*# La ecuacin no tiene como resultado el nmero cero, por lo que tericamente siempre quedara-un mnimo resto de material radiactivo.

LOGARITMOS NATURALES

Si la base de una funcin logartmica es ..., entonces, / # (")#)")

se escribe y se subentiende que la base es el nmero " "691 B/ 68B /

Ejemplo

se escribe 691 "!! 68"!! /

Ejercicios

Determine usando su calculadora los siguientes logaritmos use tres decimales :

a) 68 #

b) 68 #$%

c) 68 &

d) # 68$ 68%

e) $ 68# & 68$ 68"

VIR

GIN

IO G

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129

f) 68 ' % 68# # g) 68 / "#

Respuesta

a) b) ! '*$ & %&& c) d) " '!* ! )"" e) f) ( &($ ! *'# g) "# ! &

Muchas veces conviene cambiar la base del logaritmo original a una base conocida. Para estonecesitamos la siguiente definicin:

FORMULA DE CAMBIO DE BASE

Si " " y " " son nmeros positivos diferentes de , entonces para cualquier nmero positivo+ , "R se cumple que:

691 R , 691 R691 ,++

Ejemplo

Usando la forma anterior, encuentre el valor de , usando su calculadora691 ")'

Respuesta

En este ejercicio podemos ver que y , ' R ") Como en la calculadora es posible encontrar los logaritmos decimales, cambiaremos a base ,"!entonces + "!

691 ") " '"$"691 ")691 ''

Ejercicios

I) Cambie los siguientes logaritmos a la base que se pide Deje expresado:

a) a base 691 # $&

b) a base 691 $ #%

c) a base691 * $&

II) Encuentre el valor de los siguientes logaritmos usando cambio de base (3 decimalesaproximados):

a) 691 #" (

b) 691 #"% &

VIR

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IO G

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130

c) 691 ") %

d) # 691 "' $ 691 "& & %

e)& 691 (691 )

#

$

Respuesta

I) a) b) c)691 # 691 $ 691 *691 & 691 % 691 &

$ # $

$ # $

II) a) " &'& b) $ $$% c) # !)& d) # %"& e) ( %"'

Para poder resolver ejercicios con logaritmos es necesario que conozcamos algunas de sus leyes.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Sean e nmeros reales positivos , y " " es cualquier nmero real.B C , ! , " 8Entonces:

1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los factores del logaritmo

2) El logaritmo de un cuociente es igual a la diferencia de los factores del logaritmo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


131

3) El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por ellogaritmo de la base de la potencia

Ahora usaremos estas propiedades para resolver los siguientes ejercicios:

Ejemplo

Escriba como suma y diferencia de logaritmos691 B C , # $

Respuesta

691 B C 691 B 691 C, , ,# $ # $ # 691 B $ 691 C, ,

Ejercicios

Escriba los siguientes ejercicios como suma y diferencia de logaritmos. Desarrolle al mximo:

) ) + 691 B C , 691 B C D,,

"#

, $ $ $' $

) )

- 691 . 691B C B B C &B C, # # #$

) )

/ 691 0 691- -

- B % #B ( B $B ( - ,

$

& # #

g) )

691 2 691

B & (B * B B " &

"#& &$ # % $ & (%

)

3 691 B D C "C(

%

Respuesta

+ 691 B 691 C$ $# #, ,

, $ 691 B * 691 C $ 691 D "), ,,

- 691 B 691 C 691 &, , ,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


132

. 691 B 691 B C 691 C"## # ##

/ "%"&

0 691 B % 691 #B ( 691 B 691 $B ( " " "# # #, , , ,

1 % 691 B & $ 691 (B * 691 B 691 B "$ $ $ $#

2 *#

3 691 B ( 691 D % 691 C "C C C

Veamos los casos al revs, es decir, de una suma o resta de logaritmos, escribir como un solo logaritmo

Ejemplo

Escriba como un solo logaritmo la siguiente expresin:

# 691 B $ 691 C 691 7 691 C 691 BC 7, , , , ,$

#

' Observacin

Una forma fcil de resolver estos ejercicios es : Todos aquellos factores a losagrupar por signoscuales precede un signo positivo quedan en el numerador de la fraccin , y los que tienen signo negativo quedan en la fraccin del denominador.

Ejercicios

Escriba como un solo logaritmo:

M $ 691 B 691 C"& a) , ,

b) %& 691 B $ 6917 & 6918 691 ,

c) 691 $ 691 % % 691 7 691 B 691 A, , , , ,

d) 691 B C 691 B C

e) 6917 6918 691 + & 691 , 691 2" "$ %

f) 691 7 691 : 691

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133

g) 691 8 691 ; & 691 < 691 0"#+ + + +

MM Demuestre las siguientes igualdades usando las propiedades de los logaritmos

+691 691 *) 691 691 $#( )#) *

, 691 B $B # 691 691 B "" " B "% % B ##

Respuesta

a) b)691 691B B 8C 7 ,, &

&$ &%

$ c) d) 691 691

7 B A"# B C

B C,

% e) f) 691 6917 8 7 :

+ , 2

VIR

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134

ECUACIONES EXPONENCIALES

Se llama a aquellas ecuaciones que tienen la incgnita en el exponente.Ecuacin Exponencial Algunos ejemplos de estas ecuaciones son los siguientes :

=$# $B#

# # # (B" B B"

Las ecuaciones se pueden presentar de tres formas distintas

CASO 1: Ecuaciones en las cuales se pueden igualar las bases

Algunas veces las ecuaciones exponenciales pueden resolverse consiguiendo que ambos lados dela expresin, estn expresados como potencias de la misma base e igualando posteriormente losexponentes. Para ello hay que tener muy presentes las propiedades de las potencias.

Ejemplo

Resuelva la ecuacin:

# % )B B" "#B

Respuesta

Dado que la ecuacin puede volver a escribirse de la siguiente forma:% # C ) # # $

# % )B B" "#B # # # B # B" $ "#B

# # #B #B# $'B

# #B %B"

Debido a que la funcin exponencial es uno a uno, los exponentes se igualan:

B %B " B "&

VIR

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135

Ejercicios

Encuentre el valor de la incgnita en las siguientes ecuaciones:

" $ $ ( $ * #(B #B" B B" "#B

# # % ) ( $%$BB" #B"

$ & #& & * $ * #(#B" B $B B# # "B

% & " "! "' " %B" %$B #B "B

& $ $ "" & #& "#&BB% % #B #B$ #

' % # ) "# #( B# #B B" #B * $ )#B"B

Respuesta

" B " # B " # * &% $ B "$ % B " "! (& & B # ' B ( ""B "!$ ( B " ) B "# "#B #$

CASO # : Ecuaciones en las cuales no es posible igualar bases

En estos casos para resolverlas debemos aplicar los logaritmos y luego usar las propiedades destos.

Ejemplo

Encuentre el valor de en:B

% & 'B B

Respuesta

Para resolver esta ecuacin aplicamos logaritmos decimales o naturales en ambos lados de laecuacin y luego usamos las propiedades de estos:

% & ' 691B B

691 % & 691 'B B

691 % 691 & 691 'B B

B 691 % B 691 & 691 '

VIR

GIN

IO G

OM

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136

B 691 % 691 & 691 '

B ! &*)691 ' 691 % 691 &

Ejercicios

Encuentre el valor de en las siguientes ecuaciones exponenciales ( exprese el valor de conB Bdos decimales aproximados):

) )" ( $ # % #(#B" B #B" ) )$ $ # % / $!B% B"' &B# ) )& # $ % ' $ % % (B B" "B $ B& %B

)( # % # $##B %B B B

) ) # % ' "B $B

Respuesta

" B ! (# # B ! '$) )$ B $) "* % B " !) & B ! "') ) )'B ! "' (B " $

CASO $ : Ecuaciones en las que los trminos de la ecuacin estn separados por sumas y/o restasque no se pueden realizar

Ejemplo: # # # (B" B B"

Se trata de conseguir que todas las expresiones exponenciales sean iguales y lo ms sencillas posiblesusando las propiedades de las potencias.

# # # # # (B " B B "

## # # # (B

B B

Conseguido sto, usamos una con lo que nos queda la ecuacinvariable auxiliar ? #B

?# ? #? (

Ecuacin de primer grado que sabemos resolver . / 2

?# ? #? (

? #? %? "% (? "% ? #Una vez resuelta se obtiene , con lo que volviendo al cambio realizado al principio se tiene :? # ? #B =2 . Ecuacin exponencial del tipo que hemos trabajado antes, cuya solucin es .# B "B

VIR

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137

Ejercicios

(sug: variable auxiliar+ / &/ %/ ! ? / B B $B #B , & & (&!B" B - % # #B B . * # $ )" !B B# / % # $#!B" B$ 0 & & & '&"B B# B%

Respuesta

y + B ! '( B ! , B $ - B " .B # /B $ 0B !

ECUACIONES LOGARITMICAS

En estas ecuaciones la incgnita se encuentra en el argumento del logaritmoLa forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo. Una vez encontrada lasolucin es conveniente verificar si esta cumple con la igualdad ya que en algunos casos, algunas de lassoluciones que se obtiene para una ecuacin logartmica pueden no ser vlidas.

Ejemplo 1

Resuelva la ecuacin : 691 #B &! #

Respuesta

Como el logaritmo es decimal igualamos logaritmos a ambos lados de la ecuacin:

(691 #B &! 691 "!! #B &! "!! B #& :Ejemplo 2

Resolver la ecuacin 691 $ B 691 # 691 B#

Respuesta

691 $ B 691 # B# $ B # B# B #B $ !# B $B " ! yB $ B "

Al Sustituir el valor en la ecuacin inicial se obtiene$ 691 ' 691 # 691 $

VIR

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138

logaritmos de nmeros negativos que no existen!. Por tanto la nica solucin es B "

Ejercicios

Encuentre el valor de (exprese su respuesta con dos decimales):B

) )" 691 &B 691 "'! # 691 ( B 691 " B "$ $ $ $

) $ # 691 B $ 691 # $ 691 B 691 "$## # # #

) )% 691 B 691 B # $& 68 ' B 68 $ %B # #

) ' 691 B 691 & 691 *# # #

)( 691 B "' #$ # ) )) 68 B " 68 #B "& * 691 68#B !$

) )"! 691 #B $ 691 B 691 & "" % 68B 68 B # 68B 68"#

)"# 691 68B "#'

) "$ 691 B " 691 B " 691 "$"## #

"% 68 B $ 68 B " 68$ 68 B " )"& # 68 B $ 68B 68%

"' 691 B $ 691 B ' "

Respuesta

" B $# # B #) )

$ B % B %"%) )

& B " ' B %&) )

( B *( * )& ) B "') )* B " $' "! B / #) )

""B # "#B / '"$ B & B & "%B & B !" # ( no vale)

VIR

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EZ


139

"& B %*%#&() no vale

"' B %) SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

Como el nombre indica, son sistemas de ecuaciones donde una o ms de ellas son de tipo exponencial ologartmica. Los mtodos de resolucin numricos son idnticos a los expuestos para las ecuaciones.

Ejemplo .- Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente

# $ & +B C" # ) $ ("# ,B" C

De la ecuacinn despejamos + # B

# & $ -B C"

Reemplazamos lo obtenido en la ecuacin ,

# ) $ ("#B" C # # ) $ ("#B C & $ # ) $ ("#C" C "! # $ ) $ ("#C" C

8 "! # $ ("# $$$C

C

$! # $ #% $ #"$'C C

variable auxiliar ? $ . C

$! #? #%? #"$' #'? #"$' ? )"

Reemplazamos en (.

$ )"C C %

Reemplazamos en - # & $B C" # & $B %" # $#B B &

Por lo tanto la Sol : . Es descir, el punto (B & C % & %

VIR

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IO G

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140

Ejercicios

+ # & * ,# & *B C *

691 B 691 C " B CB# C"- .# % !B C "&

# ## ) B #C #B&CBC

/ 0691 B 691 C &691 "BC

691 B 691C #B C "

$

1 2691 B 691 C $ B C "!691 B 691 C " 691 B 691 C # # # 3 4691 B 691 C $ 68B 68C 68#!B C *! / "/ BC Respuesta

+ B # C " , B "! C " - B #! C & . B # C " , /B "!! C "! 0B "! "! #C "! "! # 1B "!! C "! 2B ) C # 3 B "!! C "! 4B % C &

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


141

AUTOEVALUACION

" C + C 691 B Para cada una de las funciones e ContesteB +

+ C) Puede ser negativa la ?, B) Podemos dar a valores negativos?

# B Encuentre el valor de ww ww

+ $ / &B" B $

, 691 68B ' "#

$) Demuestre las siguientes igualdades usando las propiedades de los logaritmos

691 + 691 691 + 691 +" $+ ##

% BEncuentre el valor de

+ 691 $B % 691 # $B # 691 &

, 691 B # $ 691 B#

- # % ) "'B& $#B $B"

& B CEncuentre el valor de e

+ B C ## 691 B " 691 C

, 691 B $ 691 C & # 691 B 691 C $

' $ ' T La Poblacin mundial P en 1985 era aproximadamente miles de ( y la tasa de decrecimiento9anual del % Si se supone un decrecimiento continuo , donde es el tiempo en aos despus de 1985$ >T T / 9 5 >

a) Calcule la poblacin para el ao 2001 (2 decimales)b) En qu ao la poblacin se reduce a la mitad?

( " $ B&Un cultivo de bacterias crece segn la funcin y = y: miles de bacterias, x: horas).a) Cuntas haba en el momento inicial?b) Y al cabo de 10 horas?c) Calcula cunto tiempo tardarn en duplicarse.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


142

Respuesta

2 + B , B /68"#& 68$68$ "'

4 +B #$$* ,B "!! B "! -B "5 ; ; + B #! C # , B "!! C "!

6 miles de millones + T # #$ En el ao 2008 se reduce a la mitad,

VIR

GIN

IO G

OM

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143

CAPITULO V

TRIGONOMETRIA

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


144

TRIGONOMETRIA

Trigonometra, rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de lostringulos. Etimolgicamente significa . Las primeras aplicaciones de lamedida de tringulostrigonometra se hicieron en los campos de la navegacin, la geodesia y la astronoma, en los que elprincipal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no poda sermedida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna.

Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonomtricas en la fsica y en casi todas las ramasde la ingeniera, sobre todo en el estudio de fenmenos peridicos, como el flujo de corriente alterna.

Comenzemos explicando algunos conceptos bsicos

Angulos: Cuando estudiaste geometra plana se te present el concepto de ngulo como el conjunto depuntos sobre dos rayos (o segmentos de recta) que tienen un punto comn.

En trigonometra usaremos el mismo concepto, pero ampliaremos an ms su significado .

.... los dos rayos se llaman y el punto comn .lados vrtice

Generalmente los ngulos se denotan por tres letras maysculas colocadas cada unaE FG en cada rayo del ngulo y otra en el vrtice .S

Otra forma de designar un ngulo es usando letras griegas minsculas, pero estas se encuentran dentro de la regin angular, lo cual representa en realidad, la medida del ngulo. Las ms usadas son !(alfa), (Beta), (gama), (teta) , (fi), etc.." # ) 9

Las figuras que se muestran a continuacin presentan algunas formas que tiene un ngulo.

VIR

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IO G

OM

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145

Estos ngulos se leen ngulo , o bien ngulo .ESF !Para muchas de las aplicaciones de la trigonometra, se requiere un concepto ms general de un ngulo. Se pretende determinar la rotacin usada, al ir de un lado de ste al otro lado. De acuerdo a sto: Para formar un ngulo se considera un en una posicin fija y! lado inicial al otro como lado final o terminal.

La medida de un ngulo est asociada a la rotacin del ngulo. Por ejemplo:!

a) Si la rotacin es en sentido contrario a las manecillas del reloj, la medida del nguloes .positiva

medida de ! !

Por ejemplo 40 !

b) Si la rotacin es en el mismo sentido de las manecillas del reloj, la medida del nguloes negativa

medida de ! ! Por ejemplo = ! #%!

Observe que para los dos casos presentados la medida es slo aproximada.

VIR

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146

OBSERVACION! : Con frecuencia usaremos el nombre de ngulo como medida del ngulo.Esto no debe confundirlo ya que en el contexto general siempre se aclara cul es el significado que sepretende.

Y cmo se mide un ngulo ? ... La medida de un ngulo est dada de acuerdo a ciertos sistemas , los cuales son usados msfcilmente en un campo o en otro .

Nosotros estudiaremos dos sistemas y que adems son los ms usados : el sistema de gradossexagesimales al cual slo se le dice grados y el sistema de radianes.

a) :Medicin en grados Este es el ms conocido y es empleado por los topgrafos y navegantes. En este sistema, se considera al ngulo situado con su vrtice en el centro de un crculo cuyacircunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada una de estas partes tiene la medida de un grado, el cual se escribe 1 .

En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de *! 9 ( / cada una, que va desde a 1 1# ! $'! # 9 9

" ! *!er cuadrante : a9 9 cuadrante : a# *! ")!do 9 9 cuadrante : 18 a 27$ ! !er 9 9 cuadrante : a% #(! $'!to 9 9

b) :Medicin en radianes

Cuando se quiso utilizar el sistema sexagesimal en fsica, para poder calcular el camino desarrollado poralguna partcula en trayectoria circular, se encontraron que este sistema no los ayudaba pues,matemticamente, no est relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se"invent" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ngulo se obtiene al dividir el arcoy el radio de la circunferencia. En este sistema un ngulo extendido (al dividir el arco por el radio) mide3,14 (que es el valor aproximado de " "). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos1ngulos estendidos) mide 2 . El ngulo se denomina radin.1

VIR

GIN

IO G

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147

OBSERVACION

La palabra radianes no se acostumbra escribir

i, yaEs posible escribir la medida de un ngulo usando los dos sistemas ? ... Sque la expresin r que es el permetro de la circunferencia, dice que la circunferencia tiene arcos# #1 1de longitud r alrededor de ella ( un arco de 360 ) . Entonces un ngulo de 360 mide 2 radianes y un1ngulo de 180 mide radianes.1

360 2 1 180 1 Transformacin de la medida de un ngulo de un sistema a otro.

1) Para convertir la medida de un ngulo dado en grados a radianes basta multiplicar por 1180 Esto se deduce de la expresin 180 rad. / 180 1

= rad.")!")! ")! 1

1 rad. 1")!

Ejemplos :

Convierta a radianes, los siguientes ngulos dados en grados y exprese la respuesta en trminosde ,.1

a) 60

60 60 . Simplificando se obtiene 1")! 60 13

b) 105 105 . Simplificando se obtiene 1")! 105 ("#1

2) Para convertir los ngulos dados de radianes a grados basta multiplicar por 1801

. Esto se deduce de la expresin 180 rad. / 1 1 rad.1801 1

1

1 radin")!1

VIR

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IO G

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148

Ejemplos:

Convierta a grados los siguientes ngulos dados en radianes

a) 41

Simplificando se obtiene 4 4

1 11 ")!

41 %&

b) 17

1 1 17 7 ")!

= 17 7180

17 #& ("

Ejercicios :

1) Convierta cada una de los siguientes ngulos dados en grados a radianes, exprese la solucinen trminos de .1

) ) + "$& / #(!

) =, (& 0 "*! o

) - '& 1 $'! 9

) . ")!

2) Convierta cada uno de los siguientes ngulos dados en radianes a grados

) + / 43 1 1"#

) , 0 # "&

VIR

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149

Resumiendo: Los ngulos ms usados y sus equivalentes se muestran en la circunferenciasiguiente

ANGULOS COTERMINALES

Qu pasa si un ngulo es mayor a 360 ( ) o es negativo?#1 En estos casosrecurriremos a otro concepto en ngulos y que es muy til, el de los ngulo Coterminales .

Se llaman a aquellos que tiene los mismos lados inicial yAngulos Coterminales terminal, y por lo tanto tiene las mismas caractersticas. Estos ngulos siempre tienenmedidas de grados que difieren en un mltiplo de 360.

M $'! Si el ngulo es mayor a 9

Los ngulo y son coterminales ya que tiene los mismos lados inicial y terminal."!&! $$!Esto se puede ver ms facilmente haciendo unos clculos previos. Como el ngulo es mayor que 360 , restamos a ste un mltiplo de 360 de la siguiente"!&!forma

2 "!&! $'! $$!

VIR

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150

MM Si el ngulo es negativo Los ngulo y son coterminales , ya que tiene una rotacin negativa y$! $$! $$!para determinar su ngulo coterminal le sumamos un mltiplo de , porque si le restramos un$'!mltiplio de el valor absoluto del ngulo sera mas grande.$'!

+ $$! " $'! $!

Y si el ngulo est dado en radianes ?... Se suma o resta a ste un mltiplo de 2 ,1segn sea el caso.

Ejemplo

Determine un ngulo coterminal a 1571

Como este ngulo es mayor a 2 le restamos esta rotacin1

21571 1 1 (

Resumiendo :

a ) Si un ngulo es mayor a 360 , como en el ejemplo 1, le un mltiplo derestamos360 (o un mltiplo de 2 ).1 b) Si un ngulo es negativo, como en el ejemplo 2, le un mltiplo de 360 (osumamosun mltiplo de 2 ).1

Ejercicios

Determine el ngulo coterminal de los siguientes ngulos , exprese este ngulo entre 0 y 360 obien entre 0 y , segn se pida.#1

500 900 " #

5 $ % %&!1 9

& &"$! ' *&9 9

( ) "$ #1 1

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151

) 3 720 ) 1 935* "!

) 2 040 ) 3 150"" "#

) 200 ) 820"$ "%

Respuesta

" "%! # ")! $ % #(!9 9 91 /2 & ")! ' #'& ( ) $ #1 1 * "#! "! "$& "" #%! "# #(!9 9 9 9 "$"'! "% #'!9 9

ANGULO EN POSICIN ESTANDAR

En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ngulo est en si suposicin estndar vrtice est en el origen y el lado inicial en el eje positivo de las como se muestra en la figuraB

Si el lado terminal de un ngulo en posicin estndar coincide con un eje coordenado, el ngulo sedenomina . Si el lado terminal no coincide con un eje coordenado, entonces el ngulongulo cuadrantalse menciona en trminos del cuadrante en el cual est el lado terminal.

Por ejemplo

VIR

GIN

IO G

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152

Ejemplo :Algunos ngulos del primer cuadrante son 30 , 60 , 350

Algunos ngulos del segundo cuadrante son 95 , 561

Algunos ngulos del tercer cuadrante son 230 , 109 1

Algunos ngulos del cuarto cuadrante son 300 , 1161

Ejercicios

Determine en qu cuadrantes se encuentran los siguientes ngulos

a) 152 b) 33 o o

c) 75 d) 301 o o

Respuesta

a) 152 est en el II cuadranteo

b) 33 est en el I cuadranteo

c) 75 75 est en el I cuadrante $'! #)& Zo o 9 9

d) 301 est en el I cuadranteo Z

Una de las se refiere a la .Aplicaciones de los Angulos dados en radianes velocidad angular Observe que cuando una rueda gira alrededor de su eje a una velocidad constante, el nmero deradianes que se recorre por unidad de tiempo un radio fijo sobre la rueda se denomina velocidad angular dela rueda.

La letra griega (omega) con frecuencia se usa para denotar la velocidad angular (en radianes ).=Si una rueda de radio r unidades gira sin patinar siguiendo una trayectoria recta, entonces la velocidad enel centro est dada por la frmula. es velocidad lineal@

@ < =

:Ejemplo

Una correa de transmisin conecta una polea de radio 2 pulgadas con otra de radio de 5 pulgadas.Si la polea mayor gira 10 radianes. Cuntos radianes girar la ms pequea ?

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153

Respuesta

Cuando la polea mayor gira 10 radianes , el punto P sobre la circunferencia mayor se mover lamisma distancia ( longitud de arco ). Para la polea mayor los datos son ,

pulgadas< & radianes= "!

luego @ & "! pulgadas@ &!

Entonces para la rueda menor se tienen los siguientes datos

pulgadas@ &! pulgadas< # ?A

radianesA A #&@ &!< #

Por lo tanto la polea menor girar radianes#&

Ejercicios " La rueda delantera de una bicicleta tiene un dimetro de 40 cm y la trasera 60 cm. Qu nguloen radianes gira la rueda delantera, si la trasera gira 8 radianes?.

# Suponga que la rueda de un automovil tiene un dimetro pies, cuya frecuencia es de 1600"&rpm (revoluciones por minutos)

a) Encuentre la velocidad angular de la ruedab) Encuentre la velocidad lineal de un punto de la periferia de la ruedaT

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154

$ Sea el siguiente winche de diametro 3 pies

a) Determine el desplazamiento de la carga de levante si la velocidad angular es ( %1 b) Encuentre el ngulo de rotacin (en radianes) del winche para el desplazamiento anterior.

Respuesta

1) 12 # +) La rueda gira un ngulo de en un minuto. El ngulo generado por la lnea#1 ( centro de la rueda) es rpm.ST S A "'!! # $#!!1 1

b) @

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155

:Definicin Suponga que el ngulo est en posicin normal y adems que P(x,y) es un punto sobre el lado!terminal de . Si denotamos la distancia OP como . Entonces se definen las seis funciones! +81 % $ %& & $) ! ! !

-9=/- =/- -9>+81 & & $% $ %! ! !

, =/8 -9= >+81 $$ "# #) ! ! !

-9=/- =/- # -9>+81 # "$ $

! ! ! M + % "$$$II , ! !(($&

Como consecuencia inmediata de estas definiciones, se obtienen las relaciones llamadas tambinrecprocas.

=/8 -9=-9=/- =/- = = 1 1

! !! !

= = 1 1

>+1 -9=/--9>1 =/8! !! !

= = 1 1

=/- -9>1-9= >+1! !! !

Supongamos que necesitamos determinar un ngulo conociendo slo el valor de l a travs de unafuncin trigonomtrica. Por ejemplo , usted sabe que

=/8 ! )%))

Para determinarlo usted debe hacer uso de su calculadora cientfica y usar la funcin INV de ella.

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161

Pero OJO, fjese si esta est en modo radianes ) o (grados sexagesimalesrad deg

Ejemplo

INV =/8 ! )%) )

en deg : ) &( **9 en rad: = 1, 012 ) +81 # (%( ( =/- $ "' ) )

$ -9=/- " "&& )

% =/8 ! **')

& -9=/- " "#)

Respuesta

" '! $ '! 1 ) )9 9 ) ) # (*

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Ejemplo:

Sabiendo que >+1 '! 2$%!!

>+1 '! $%! 2! 2 &)) * -7

Ejemplo

Un cable de sujecin, se amarra a 12 m de la base de un mstil, y el cable forma un ngulo de 15 ocon el sueloCunto mide dicho cable?

Determinamos el valor de a travs de sen 15 = Despejamos B Bo "#B

y obtenemos B %' $'%%

ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESION

Un es aquel que se forma desde la lnea de vista horizontal del observador,ngulo de depresinhasta un objeto abajo de sta. es aquel que se forma sobre la horizontal y el objeto que se observa. Un ngulo de elevacin

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Ejercicios

") Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ngulo de 20 sobre el horizonte,calcular la altura del edificio.

# Un rbol de 100 pies de altura proyecta una sombra de 120 pies de longitud. Encuentre el ngulo deelevacin del sol

$) Una escalera est apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una distancia de 12pies del edificio. A qu altura est el extremo superior de la escalera y cul es la longitud si el ngulo queforma con el suelo es de 70 ?o

%) De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ngulo de depresin de un bote es de 15 .oA qu distancia est el bote del faro?

&) Encuentre la altura de un rbol, si el ngulo de elevacin a su parte superior cambia de 20 a 40 0 ocuando el observador avanza 75 m hacia la base de este.

') Un hombre maneja 500 m a lo largo de un camino inclinado 20 con respecto a la horizontal. A quoaltura se encuentra con respecto al punto de partida?

() Un rbol quebrado por el viento forma un tringulo rectngulo con el suelo. Si la parte quebradahace un ngulo de 50 con el suelo y si la copa del rbol esta ahora a 6 metros de su base. Qu altura tena elrbol?.

)) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del ms bajo de 12 metros de alto, elngulo de elevacin al borde del techo del ms alto es de 40. Cul es la altura del edificio mas alto.?

* Dos caminos rectos se cortan bajo un ngulo de 75 . Hallar la mnima distancia de uno de ellos auna estacin de gasolina que est sobre el otro camino a 300 metros de la encrucijada.

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"! Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros roabajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ngulo de30 con nuestra orilla. calcular la anchura del ro (ver figura)

"") Desde un punto se observa un edificio cuya parte ms alta forma con el suelo un ngulo de 30, siavanzamos 30 metros, el ngulo pasa a ser de 45. Calcular la altura del edificio (ver figura)

"# Un aeroplano parte de un aerdramo elevndose , formando un ngulo de 8 con la horizontal aocuntos metros pasar de la cumbre de un cerro de 110 m situado a 1000 m del aerdromo?

"$ Sobre un peasco situado en la ribera de un ro se encuentra una torre de 125 pies de altura. Desde lo alto de la torre, el ngulo de depresin a un punto situado en la orilla opuesta es y desde la base de la torre el ngulo de depresin del#)9 mismo punto es Calcule cunto mide el ancho del ro y la altura del") 9 peasco.

14) Un piloto mide los angulos de depresin de dos barcos los cuales son y %! 9 Si el piloto est volando a una altura de pies. Encuentre la distancia entre$&!!! los dos barcos.

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Respuesta"

&% ' 7# $* ) !

$ $$:3/=altura del edificio longitud de la escalera $& "#:3/=

% . %%( )7) & 2 %) #7' 2 "("7( ' % La altura del rbol es de 1 , 8 metros.) La altura del edificio mas alto es 27 metros.* *! La mnima distancia es 2 metros."! &( (7

"" %"7

"# $! &7 ,"$ B '!% & : 2 "*' % : ; 14) . p"% $'' %

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APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA

Las razones trigonomtricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver tringulos, ascomo para resolver diferentes situaciones problemticas en otras ciencias.

En Topografa se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ngulo. Por ejemplo, latorre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello sta se apartaba cadavez ms de su vertical. Originalmente tena una altura de m, aproximadamente. En un&% ' "**!observador situado a m del centro de la%'

base de la torre, determin un ngulo de elevacin de a la punta de la torre, el observador para&%determinar al desplazamiento ( hundimiento en el suelo es muy pequeo, comparado con la altura de latorre) aplic la ley del seno para determinar el ngulo de inclinacin y la ley del coseno para determinar eldesplazamiento de la torre.

En ptica, la trigonometra se aplica en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa unaplaca de cierto material.

En la Aviacin, si dos aviones parten de una base area a la misma velocidad formando un ngulo ysiguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.

El capitn de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en lnea recta, ordenandomodificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

Volvamos ahora a la circunferencia. En la figura q ue se muestra a continuacin, el crculo tiene(un radio de 1unidad .

Usando semejanza de tringulo se puede observar que los tringulos A BC y ABC sonsemejantes,por lo tanto no existe diferencia en cuanto al lugar del lado terminal del ngulo en que se alejaP . Usando este concepto definimos las funciones trigonomtricas seno y coseno de la siguiente forma: Como entonces< "

sen = y x! !C -9=

De aqu podemos ver que el sen y son iguales a las coordenadas x e y del punto en! !-9=el crculo unitario.

Es decir, TB C T-9= =/8 ! ! Angulos Cuadrantales

Un ngulo cuadrantal es aquel en el cual el lado terminal del ngulo coincide con un eje delsistema cartesiano. Estos ngulos son 0 , , , y *! ")! #(! $'!en grados sexagesimales o bien entre 0 , , , y en radianes. 32 2

1 1 1 1#

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167

Coordenadas de puntos en un crculo unitario

Sea una circunferencia de ecuacin + = 1, de centro el origen y radio unaB C2 2 unidad , entonces podemos asignar un punto P ( ) en la circunferencia.B C

Los ngulos cuadrantales los hacemos coincidir con lo ejes:

La tabla que resulta con los datos dados es:

ngulo ngulo rad sen cos tang cosec sec cotang 0 =360 0 0 1 0 indeterm. 1 indeterm.90 1 0 indeterm. 1 indeterm. 0180 0

! ! ! ! ! ! ! !

1

0

21

" " " ! "

0 indeterm. indeterm.270 indeterm. indeterm. 0321

Angulos especiales : , y $! %& '! Existen algunos ngulos especiales que mediante nociones geomtricas simple permiten encontrarlos valores exactos de las funciones trigonomtricas. Estos ngulos son , y correspondientes a los nmeros$! %& '!1 1 16 4 3

, , respectivamente.

En la siguiente figura se muestra un ngulo de 30 en posicin estndar Por conveniencia, el punto sobre el lado final del ngulo se tom a una distancia de 2 unidadesTdel origen. Como el sector es parte de un cuarto de circunferencia se ve claramente que el radio de esta es2.

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168

El tringulo que as se forma es rectngulo y por Teorema de Pitgoras podemosdeterminar todos los lados de l. B C

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B C

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170

Pero podemos usar esta informacin para determinar otros ngulos ? S, pero para sto es necesario conocer otro concepto, que es el de y elngulo de referenciacual definiremos a continuacin. Angulos de referencia

Para encontrar las funciones trigonomtricas para un ngulo cualquiera, se usa un ngulo dereferencia del primer cuadrante, agudo y positivo, el cul considera el lado inicialcon el semieje positivo de las X y el lado terminal queda en el primer cuadranre.

Este ngulo se asocia a un tringulo de referencia que es rectngulo.

Este ngulo es de referencia para los siguientes ngulos:

Ejemplo 1

Use un ngulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonomtricas para ."$&

Respuesta

El ngulo de 135 es un ngulo del segundo cuadrante, por lo tanto el ngulo de referencia autilizar es el de 45 , ya que

180 - 135 45

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171

Por lo tanto determinaremos las seis funciones trigonomtricas para el ngulo de 45 , perorecuerde , el ngulo 135 est en el segundo cuadrante, y sto incide en el signo de la funcin.

45 = =/8 =/8 "$&" "9 2 2 45 = -9= -9="$& " "9 2 2 45 = 1 135 = 1>+1 >+1 o o

135 = 1-9>1 %& " -9>+1 9 o

cosec 45 = 2 cosec 135 = 2o o 45 = 2 135 = 2=/- =/- o o Ejemplo 2

Use un ngulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonomtricas para 930

:Respuesta Se observa que el ngulo de 930 es mayor que 360 , luego se le debe restar a ste cualquierentero mltiplo de 360 , sin alterar el valor de las funciones trigonometricas.

930 2 . 360 210

El ngulo de 210 se encuentra en el III cuadrante

El ngulo de referencia es el de 30 ya que 210 180 $! luego las seis funciones trigonomtricas son para este ngulo son

=/8$! -9= $! >+81 $! ! ! !"# # $$ $

-9=/- $! # =/- $! -9>+1 $! $! ! !# $$

Pero como el cuadrante en el cual trabajamos es el tercero entonces el cambiamos los signos Cngulo original

=/8#"! -9=#"! >+81 #"! ! ! !"# # $$ $

-9=/- #"! # =/- #"! -9>+1 #"! $! ! !# $$

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172

Ejercicios

" En los siguientes ejercicios, encuentre el ngulo de referencia y determine las seis funciones!trigonomtricas .

=+ $!! =, $"& o =- #%! 9 ==. "#! 9 =/ $!! 9 =0 $"& 9 # Hallar el valor exacto de estas expresioes, usando ngulos de referencia

+ =/8 -9= =/8& $ (% % %1 1 1

, -9= >+1 >+1&1$ $ '% (1 1

- $ -9= =/8 #-9= # $=/8' ' % $ 1 1 1 1

Respuesta

Angulo de referencia : + '! 9

=/8$!! -9=$!! >+81 $!! $! ! !$# #"

-9=/- $!! =/- $!! # -9>+1 $!! ! ! !# "$ $

Angulo de referencia , %& 9

=/8%& -9= %& >+81 %& "! ! !# ## #

-9=/- %& =/- %& -9>+1 %& "! ! !# ## #

# + , - ## $ % $# '

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173

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS FUNCION SENO

FUNCION COSENO

FUNCION TANGENTE

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174

Recuerde que para hacer la grfica de una funcin cualquiera, se construye primero una tabla devalores de los pares ordenados asociados ( ), despus se marcan los puntos correspondientes y porB Cltimo se unen los puntos con una curva suave.

Qu pasa con las funciones trigonomtricas?

y ser necesario graficar toda la curva para as determinar su forma?

No, ya que estas curvas son continuas uniforme , es decir, peridicas y cada periodo recibe elnombre de un y basta con saber las caracteristicas de este ciclo.ciclo

FUNCION SENO

Cul es un ciclo de la funcin seno ? Si usted mira cuidadosamente, puede observar que un ciclo corresponde a un tramo entre lospuntos ( y ( y el punto medio de l es el punto ! ! # ! ! 1 1

Ahora, resumiremos las propiedades de la funcin seno a travs de un ciclo de la funcin.

1) La funcin seno es peridica, con periodo #12) Para cualquier valor dado a x, la solucin se encuentra entre [" " $ ! 9 El seno de x es igual a cero cuando x x 1% El seno es una funcin impar, por lo tanto, su grfica es simtrica con respecto al origen. sen ( x ) = sen x & la funcin seno decrece entre y 12 2

316) La funcin crece entre 0 y 2 1 12 2C

$ 1

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175

Toda funcin real de la forma

con a , b , c y d 0 B + =/8 ,B - .

se llama funcin SINUSOIDAL O SINUSOIDE

Cambia el grfico segn sea el valor de "a", "b", "c" o "d" ? Si, y veremos cada uno de los casos

1 CASO

Si , entonces , la funcin toma la forma - . ! 0B + =/8, B

Como y = sen x es peridica, de periodo 2 y su grfico tiene la mayor ordenada que es 1,1cuando

, entonces, la funcin , suponiendo que a y b B #5 0B + =/8,B ! !1# 1

es tambin peridica repitindose cada vez que bv

1001 Algebra y Trigonomeria

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