TRABAJO COLABORATIVO 2 ALGEBRA LINEAL

Grupo 100408_16

GIOVANNY FRANCISCO PULIDO CASTILLO Código. 7174730

CHARYN HAZEL NAGI Código:

FREDY ORLANDO LOPEZ ARANGUREN CODIGO 9636061

JORGE YESID VÁSQUEZ REY Código: 93380529

TUTOR: FELIX ANTONIO GONZALEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD INGENIERIA DE SISTEMAS Y ADMINISTRACION DE EMPRESAS

IBAGUE 06 DICIEMBRE 2015

INTRODUCCIÓN

Los conceptos adquiridos en las unidades anteriores donde vimos la solución y

ejemplos de ecuaciones lineales donde se trabaja los métodos de Gauss Jordan,

determinantes, vectores, planos y espacios vectoriales, los implementaremos en la

solución de los ejercicios propuestos en la actividad colaborativa 2 , se trabajara en

grupo donde los compañeros inmersos en la actividad desarrollaran personalmente

uno o cada uno de los ejercicios, los cuales consolidaremos para la entrega final,

estos métodos los vemos a diario en la resolución de problemas matemáticos

algebraicos lineales, Sistemas de Ecuaciones Lineales, a través de la utilización de

los diferentes métodos: de gauss, de eliminación gaussiana, regla de cramer,

empleando la factorización y la matriz inversa.

TRABAJO COLABORATIVO 2

tilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen)

de los siguientes sistemas lineales:

1.1

x – 4y - 7z = 1

5x – 7y – z =5

-4x + y 6z = -4

(1 −4 −75 −7 −1

−4 1 6|

15

−4)

F2 = F2 − 5f1F3 = F3 + 4f1

(1 −4 −70 13 340 −15 22

| 100) F2 =

1

13 𝐹2

(

1 −4 −7

0 134

13

0 −15 −22

| 100)

F1 = F1 + 4f2F3 = F3 + 15f2

(

1 045

13

0 134

13

0 0224

13

||

100

)

F3 =13

244𝐹3

(

1 045

13

0 134

13

0 0 1

| 100)

F1 = F1 − 45

13 𝐹3

F2 = F2 − 34

13 𝐹3

(1 0 00 1 00 0 1

| 100)

𝑥 = 1𝑦 = 0𝑧 = 0

1.2

3x – 4y – 7z = 11

5x – 7y - z = 18

(3 −4 −75 −7 −1

|11

−18) F1 =

1

3𝐹1 (

1 −4

3−

7

3

5 −7 −1|

11

3

−18) F2 = F2 − 5f1

(1 −

4

3−

7

3

0 −1

3

32

3

|

11

3

−109

3

) F2 = −3F2 (1 −

4

3−

7

3

0 1 −32|

11

3

109) F1 = F1 +

4

3𝐹2

(1 0 −450 1 −32

|149109

) 𝑥 − 45𝑧 = 149𝑦 − 32𝑧 = 109

𝑥 = 149 + 45𝑧𝑦 = 109 + 32𝑧

1.3

X – 4y – 7z + 4w = -11

5x – 7y – z – 5w = -8

-4x + y + 6z – w = -7

6x – y – z – w = -2

(

15

−46

−4−71

−1

−7−16

−1

4−5−1−1

|

−11−8−7−2

) 𝐹2 = 𝐹2 − 5 𝐹1𝐹3 = 𝐹3 + 4𝐹1𝐹4 = 𝐹4 − 6𝐹1

(

1000

−413

−1523

−734

−2241

4−2515

−25

|

1147

−5164

) 𝐹2 =1

13𝐹2

(

1000

−41

−1523

−734

13

−2241

425

13

15−25

||

1147

13

−5164

) 𝐹1 = 𝐹1 + 4𝐹2𝐹3 = 𝐹3 + 15𝐹2𝐹4 = 𝐹4 − 23𝐹2

(

1

000

0100

45

1334

13254

13

−249

13

−48

13

−25

13

−180

13250

13

|

|

47

1347

1342

13

−249

13 )

𝐹3 =13

224𝐹3

(

1

000

0100

45

1334

13

1

−249

13

−48

13

−25

13

−45

56250

13

|

|

47

1347

133

16

−249

13 )

𝐹1 = 𝐹1 − 45

13 𝐹3

𝐹2 = 𝐹2 − 34

13 𝐹3

𝐹4 = 𝐹4 + 249

13 𝐹3

(

1

000

0100

0010

−51

56

−5

28

−45

56215

56

|

|

45

1625

83

16

−249

13 )

𝐹4 =56

215𝐹4

(

1

000

0100

0010

−51

565

28

−45

56

1

|

|

45

1625

83

16

−1743

430 )

𝐹1 = 𝐹1 + 51

56 𝐹4

𝐹2 = 𝐹2 − 5

28 𝐹4

𝐹3 = 𝐹3 + 45

56 𝐹4

(

1

000

0100

0010

0001

|

−189

215331

86

−132

43

−1743

430 )

𝑥 = − 189

215

𝑦 = 331

86

𝑧 = − 132

43

𝑤 = − 1743

430

1.4

x – 4y = -3

5x – 7y = -2

-4x + 16y = -4

Describa el proceso paso a paso.

(15

−4

−4−716

|−3−2−4

) 𝐹2 = 𝐹2 − 5𝐹1𝐹3 = 𝐹3 + 4𝐹1

(100 010 |

11

−16) 𝐹2 =

1

13𝐹2

(100 −410

|−31

−16) 𝐹1 = 𝐹1 + 4𝐹2 (

100 010 |

11

−16)

Este resultado indica que la primera y la tercera ecuación representan RECTAS PARALELAS,

Las cuales nunca interceptan y que la primera y la segunda ecuación SON RECTAS QUE

INTERCEPTAN en X = 1 y Y = 1.

Por lo tanto este sistema de ecuaciones no tiene solución.

2.

Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera

para hallar 𝐴−1).

3x – 4y – 7z = 11

5x – 7y – 2z = -9

-4x + y + 6z = 7

(3 −4 −75 −7 −2

−4 1 6) =A 𝐴−1 =

1

𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝐴𝑑𝑗𝐴 𝐴𝑑𝑗𝐴 = 𝐶𝑜𝑓 𝐴𝑇

CofA=

(

−

|−7 −21 6

|

|−4 −71 6

|

|−4 −7−7 −2

|

− |5 −2

−4 6|

|3 −7

−4 6|

− |3 −75 −2

|

−

|5 −7

−4 1|

|3 −4

−4 1|

|3 −45 −7

|

)

= (−40 −22 −2317 −10 13

−41 −29 −1)

AdjA = (−40 17 −41−22 −10 −29−23 13 −1

) 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 3 (−40 ) − 4 (−22 ) − 7 (−23 )

= −120 + 88 + 161 = 129

𝐴−1 =1

129 (

−40 17 −41−22 −10 −29−23 13 −1

) A. (𝑥𝑦𝑧) = (

11−97

) (𝑥𝑦𝑧) = 𝐴−1 (

11−97

)

(11−97

) = 1

129 (

−40 17 −41−22 −10 −29−23 13 −1

) (11−97

) = 1

129 (

−40( 11) + 17(−9) − 41(7)

−22( 11) − 10(−9) − 29(7)

−23( 11) + 13(−9) − 1(7)

)

(𝑥𝑦𝑧) =

1

129 (

−880−355−377

)

𝑥 =880

129

𝑦 = 355

129

𝑧 =377

129

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1

Contiene los puntos R= ( -8,4,1) y Q = (-1,-8,-3)

𝑅𝑄⃑⃑⃑⃑ ⃑ (−1 − (−8) 𝑖̂ + (−8 − 4)𝑗̂ + (−3 − 1) �̂� = 7𝑖̂ − 12𝑗̂ − 4�̂�

Ecuaciones simétricas 𝑥+8

7 =

𝑦−4

−12 =

𝑧−1

−4

Ecuaciones paramétricas 𝑥 = −8 7𝑡𝑦 = 4 − 12𝑡𝑧 = 1 − 4𝑡

3.2

Contiene a P =( -5, 3, 7) y es paralela a la recta 𝑥−9

−6 =

𝑦+3

−6 =

𝑧+4

2

Ec paramétricas x = -5b- 6t y = 3 – 6t z= -7 + 2t

4.1

Contiene a los puntos S= (-8, 4, 1) Q=(-1, -8, -3) y R=(-3, -2, -1)

𝑆𝑄⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (−1 − (−8) 𝑖̂ + (−8 − 4)𝑗̂ + (−3 − 1) �̂� = 7𝑖̂ − 12𝑗̂ − 4�̂�

𝑆𝑅⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (−3 − (−8) )𝑖̂ + (−2 − 4)𝑗̂ + (−1 − 1) �̂� = 5𝑖̂ − 6𝑗̂ − 2�̂�

𝑆𝑄⃑⃑⃑⃑ ⃑ 𝑋 𝑆𝑅⃑⃑⃑⃑ ⃑ = |𝑖 𝑖 �̂�7 −12 −45 −6 −2

| = (24 − 24)𝑖̂ − (−14 + 20)𝑗̂ + (−42 + 60) �̂�

= 0𝑖̂ − 6𝑗̂ + 18�̂�

O= (x + 8) – 6 (y - 4) + 18(z - 1) = 0

-6y + 24 + 18z – 18 =0 -6y + 18z + 6 = 0 -y +3z + 1 = 0

-y + 3z + 1 = 0

4.2

Contiene el punto P= (-1, -8, -1) y tiene como vector normal ñ⃑ = −3�̂� + 2𝑗̂ − 5�̂�

-3(x + 1) + 2 (y + 8) -5(z+3) = 0

3x – 3 + 2y + 16 – 5z – 15 = 0

-3x + 2y – 5z – 2 = 0 -3x + 2y -5z = 2

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

𝜋1 ∶ 9𝑥 2𝑦−8𝑧=10 𝑦 𝜋2∶ −5𝑥−7𝑦 −8𝑧=2

9𝑥 − 2𝑦 − 8𝑧 = 10−5𝑥 − 7𝑦 − 8𝑧 = 2

(9 −2 −8

−5 −7 −8|102

) 𝐹1 = 1

9 𝐹1

(1 −

2

9

8

9

−5 −7 −8|10

9

2) 𝐹2 = 𝐹2 + 5𝐹1 (

1 −2

9−

8

9

0 −73

9−

112

9

|

10

968

9

) 𝐹2 = −9

73 𝐹2

(1 −

2

9−

8

9

0 1 −112

9

|

10

9

−68

73

) 𝐹1 = 𝐹1 +2

9 𝐹2

(1 0 −

40

73

0 1112

73

|

66

73

−68

73

)

𝑥 − 40

73𝑧 =

66

73 𝑥 =

66

73+

40

73𝑧

𝑦 + 42

73𝑧 = −

68

73 𝑦 = −

68

73 −

42

73𝑧

CONCLUSIONES

Resolvimos mediante factorización, regla de cramer, método de Gauss Jordan, de

matriz inversa, de vectores los distintos sistemas lineales, el trabajo se realizó en

borrador enviando los ejercicios ejecutados en papel, luego se convirtieron a un

editor de cálculo para poder presentarlos con formato matemático requerido,

pudimos establecer mediante diferentes métodos la resolución de las ecuaciones

lineales propuestas para la realización de la actividad colaborativa requerida.

BIBLIOGRAFIA

ICONTEC. (30 de 11 de 2015). ICONTEC. Obtenido de http://normas-

icontec.com/normas-icontec-actualizadas/

wikibooks. (05 de 12 de 2015). Obtenido de

https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/Matrices/Inversa

wikibooks. (30 de 11 de 2015). Sistema de Ecuaciones Lineales. Obtenido de

https://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Fundamental/Sistema_de_Ecu

aciones_Lineales

ZUÑIGA, C. A., & RONDON, J. E. (01 de 09 de 2012). MODULO ALGEBRA

LINEAL, UNAD. Recuperado el 05 de 12 de 2015, de

http://152.186.37.87/inter0805_20152/mod/lesson/view.php?id=4221