ACTIVIDAD 14: TRABAJO COLABORATIVO No. 3

MARCELINO APONTEOSCAR JAVIER JONES ZÁRATE COD. 91284480LINETH MARCELA MANRIQUE COD. 1106893138

Grupo 354

CARLOS EDUARDO OTERO MURILLOTUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍA

CALCULO DIFERENCIAL 2013

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se estudiará el tema Análisis de las Derivadas y sus Aplicaciones.

En el presente trabajo colaborativo encontraremos 10 ejercicios de la unidad tres divididos en tres fases, en la primera se desarrollarán ejercicios de derivadas de funciones y encontrar la ecuación de la recta, en la segunda fase derivadas de orden superior en la tercera límites, puntos de inflexión, coordenadas y aplicaciones de derivadas.

Desarrollaremos cada uno de los ejercicios con su respectivo procedimiento mediante el editor de fórmulas, aplicando cada una de las propiedades de las derivadas según sea el caso y así encontrar la solución a la expresión.

Las derivadas tienen una amplia aplicación, y del buen manejo de sus propiedades, además de tener el buen criterio de cuándo se pueden aplicar se verán sus beneficios, claro está además de la interiorización de los conceptos que la derivada demanda y los principios matemáticos, que son necesarios para llevar a buen fin cada ejercicio.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

FASE 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

1. y=x2−2 x−3 para x=1

Para hallar la ecuación tangente, debemos tener: Pendiente y Punto de paso. Esto lo podemos desarrollar derivando:

y=x2−2 x−3

f (x)=2x−2

Esta nueva función la podemos expresar como la pendiente de la ecuación Tangente mT=f (x ) ya que la derivada de la función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto específico. mT=2x−2

Ahora reemplazamos el punto de paso que nos dan y así obtenemos el valor de la pendiente

m=2(1)−2

m=0

Como ya tenemos el valor de la pendiente, y el valor de x1 debemos hallar el valor de y1 para poder hallar la ecuación de recta tangente. Como ya tenemos x1 el cual es igual a 1, hallamos la imagen de este:

f (x)= y=x2−2 x−3

y=f (1)=12−2(1)−3

y1=−4

Punto= (1 ,−4) y la pendiente m=0

Ahora si podemos hallar la ecuación de la recta tangente, para esto utilizamos el modelo punto pendiente.

y− y1=m(x−x1)

y−(−4)=0 (x−1)

y=4

2. Si f ( x )=x 4− 1

x4−ln 4 Halle el valor de f '(1)

f ( x )=x 4−x−4−ln 4

f '( x)=4 x3+4 x−5−0

f '( x)=4 x3+ 4x5

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

TEOREMA: Sea f (x)y g(x ) funciones diferenciales en x, dado: p(x )=f (x)∗g (x) entonces:

3. f ( x )=sin22 x

f ( x )=sin 2x∗sin2 x

Si u=2x

f (u )=sinu∗sinu

f '(u)=sinu∗cosu+sinu∗cosu

f ' (u )=2¿

Reemplazando:

f ' (u )=2sin 2 x∗cos 2x

FASE 2

4. f ( x )= ln x7

ln x3

f ' ( x )=[( dxdy ln x7)∗ln x3]−[ ln x7∗dxdy

ln x3]( ln x3 )2

Si u=x7

f ' ( x )=[ 7 x6x7 ∗ln x3]−[ ln x7∗dxdy

ln x3]( ln x3 )2

Si u=x3

f ' ( x )=[7 x−1∗ln x3 ]−[ ln x7∗3 x2x3 ]

( ln x3 )2

f ' ( x )=7 x−1∗ln x3−ln x7∗3 x−1

( ln x3 )2

f ' ( x )=7 ln x3−3 ln x7

x (ln x3 )2

f ' ( x )= 21 ln x−21 ln xx (3 (ln x ))∗3( ln x)

f ' ( x )= 0

9 x ( ln x )2=0

5. f ( x )= x

ex

f ' ( x )=

ddxx∗ex−x d

dxex

(e¿¿ x )2¿

f ' ( x )=1∗ex−x ex

e2x

f ' ( x )= ex∗xe x

e2 x=ex (1−x )e2 x

f ' ( x )=1−xex

Derivadas de orden superior.

6. Hallar la tercera derivada de: f ( x )=2sin 2 x

f ' ( x )= ddx20∗sin 2x+ d

dxsin 2 x∗2

Si u=2x

f ' ( x )=0+2 ddusinu

f ' ( x )=0+u ' cosu

Reemplazando

f ' ( x )=2∗2cos2x=4cos 2x

f ' ' ( x )= ddx4 cos2x0+4 d

dxcos2 x

f ' ' ( x )=4 ddxcos2x

Si u=2x

f ' ' (u )=4 dducos u

f ' ' (u )=4(−u' sinu)

Reemplazando u por 2 x

f ' ' ( x )=4 (−2sin 2x )

f ' ' ( x )=−8sin 2x ¿

f ' ' ' ( x )= ddx

¿

f ' ' ' ( x )=−8 ddxsin2 x

Si u=2x

f ' ' ' ( x )=−8(u ' cosu)

Reemplazando u por 2 x

f ' ' ' ( x )=−8(2cos2 x)

f ' ' ' ( x )=−16 cos2x

7. Hallar la segunda derivada de: f ( x )=ex ln x

f ' ( x )= ddxex∗ln x+ex d

dxln x

f ' ( x )=ex ln x+ ex∗1x

f ' ( x )=ex ln x+ ex

x

f ' ' ( x )= ddxe x∗ln x+ex d

dxln x+

ddxex∗x− e

x∗ddx

x

x2

f ' ' ( x )=ex ln x+ ex

x+e x

(x−1)x2

f ' ' ( x )=ex( ln x+ 1x +( x−1)x2 )

f ' ' ( x )=ex( ln x+ 1x + xx2− 1

x2 )

f ' ' ( x )=ex( ln x+ 2x− 1x2 )

FASE 3

8. Usando L’Hopital hallar el límite de: limx→2

x2+2x−8x2−x−2

f ( x )=x2+2 x−8

f ' ( x )=2x+2

g ( x )=x2−x−2

g ' ( x )=2 x−1

limx→2

2 x+22 x−1

=2(2)+22(2)−1

=4+23

=63=2

9. De la curva f ( x )−x2−x Hallar:

a. Las coordenadas del punto crítico.

Para esto derivamos la ecuación y la igualamos a cero.

f ' ( x )=2 x−1→f ' ( x )=0→2x−1=0→x=12

Reemplazando este valor en la ecuación tenemos:

f ( 12 )=(12 )2

−12= 14−12=−14

Por lo tanto, las coordenadas del punto crítico son ( 12 ,−14 )b. Los puntos de inflexión si los hay.

Para esto hallamos la segunda derivada y lo igualamos a cero.

f ' ' ( x )=2→f ' ' ( x )=0→2≠0

Como no existe un valor de x que haga que esta ecuación se cumpla, luego no hay puntos de inflexión.

Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización.

10.En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?

Fórmula del costo total del pedido (x)

CT ( x )=100 .000 .000x

+100x+50

Derivando e igualando a cero para hallar el punto crítico tenemos:

C 'T ( x )=−100.000 .000x2

+100→C'T ( x )=0

−100 .000 .000x2

+100=0→100 x2=100.000 .000

x2=1.000 .000→x=1000

Hallando la segunda derivada para verificar si este punto es mínimo tenemos:

C ' 'T ( x )=200.000 .000x3

Como la segunda derivada evaluada en el punto crítico es positiva, esto nos indica que el punto es mínimo.Por lo tanto debe realizar un pedido de 1000 bultos de cemento.

CT (1000 )=100 .000.0001000

+100 (1000 )+50=200.050

Con un costo del pedido de 200.050.

CONCLUSIONES

Con la presentación de la anterior actividad cada estudiante interactuó en el desarrollo de este último trabajo colaborativo. Se realizaron los ejercicios propuestos reflejando el nivel del conocimiento adquirido como el compromiso propuesto para el desarrollo del trabajo.

Se dio a conocer las bases para el desarrollo de ejercicios de derivadas y sus aplicaciones, con el objetivo de cumplir con lo solicitado en el guía de actividades.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DURAN, J. E. (2011). Cálculo Diferencial. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta Y A Distancia.

Distancia, U. N. (s.f.). Guía de Actividades y Rúbrica de evaluación Act No. 14 Trabajo colaborativo 3. Trabajo Colaborativo y Rúbrica 3- 2013 .